TRABAJOS DE ESTADISTICA Vol. 1, N~m. 1, 1986, pp. 127 a 139

EL VALOR DIFUSO ESPERADO CON INTEGRALES SEMICONORMADAS

Revisado, noviembre 1985.

Fermin Sudrez Pedro Gil Departamento de Materaaticas Unicersidad de Oviedo

RESUMEN

En este trabajo usamos las integrales semiconormadas para ampliar la definici6n del valor difuso esperado (F.E.V.) (Kandel, 1979); extendemos algunas de las propiedades dadas por ~ste criticando su intenci6n de que el F.E.V. sea lineal. Finalmente damos una condici6n necesaria y suficiente para que cualquier integral semiconormada tenga algunas propiedades de linealidad.

Palabras clave: Integral semiconormada. Valor difuso esperado. Medida difusa.

Clasificaci6n A.M.S.: 03E72.

Title: Fuzzy expected value with semiconormed integrals

SUMMARY

In this paper we first use the semiconormed fuzzy integrals in order to extend the definition of the fuzzy expected value (F.E.V.) (Kandel, 1979). We generalize some of the properties due to Kandel with a criticism about his purpose of constraining the F.E.V. to be linear. Finally, a necessary and sufficient condiction is given in order to guarantee some linearity properties for any semiconormed fuzzy integral.

Key words: Semiconormed fuzzy integral. Fuzzy expected value. Fuzzy measure.

A.M.S. 1980 Subject Classification: 03E72.

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1. Introducci6n

El proyecto de crear una estadistica difusa dotada de instrumentos propios de la teoria de subconjuntos difusos ha venido preocupando a varios investigadores. Especialmente interesado parecer ser A. Kandel, quien introdujo el t6rmino de valor difuso esperado (F.E.V.,fuzzy expected value) (ver Kandel, 1979, 1980 y 1981) como concepto paralelo al de esperanza matem~itica para medir promedios a trav6s de medidas difusas y usando la integral de Sugeno (ver Sugeno, 1974).

En un intento de dotar al F.E.V. de propiedades de linealidad, Kandel incurre en un importante error puesto de manifiesto de forma indepen- diente por Klement y Ralescu (1983) y F. Su~irez (1983).

En esta primera parte daremos un breve resumen de los conceptos y notaciones utilizados en el resto del trabajo. En la segunda parte definimos el concepto de t -semiconorma en I-a, hi, que ser~i una importante herra- mienta en la definici6n de las integrales difusas, y damos un m6todo de obtenci6n. La tercera parte es un resumen del estudio de las integrales semiconormadas y de sus propiedades m~is importantes. Es en la cuarta parte en la que hacemos uso de los conceptos anteriores para definir una familia de operadores, los _I_-F.E.V., que contienen al F.E.V. de Kandel y de las que estudiamos su compor tamiento ante transformaciones crecien- tes. Por 61timo extraemos las conclusiones en la parte quinta con un teorema que nos da una condici6n necesaria y suficiente para que cualquier integral semiconormada sea lineal.

Veamos algunos de los conceptos generales de la teoria de subconjun- tos difusos utilizados a lo largo de este trabajo.

1.1. DEFINICION

Sea X un conjunto y fl una ~-~ilgebra de subconjuntos de X. Una aplicaci6n g:fl --. [0, 1-] se dice que es una medida difusa si:

1. ~ g(r = 0; g(X) = 1 2. ~ Si A c B =~ g(A) <. g(B) 3. ~ Si {A.}.~N es una sucesi6n mon6 tona de elementos de fl (A.

A.+ ~ o A.+ I ~ A., V n e N), entonces

tim g(A.) = 9(lim A.)

A la terna (X, fl, g) se le denomina espacio de medida difusa.

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1.2. DEFINICiON

Sean h" X ~ [0, 1], H'-" = {x[h(x) >! ~} y H~, h = {x/h(x) > n}. La fun- ci6n h se dice que es fl-medible si H i e fl o H'~ h e r , V ote [0, 1].

AI con jun to de aplicaciones de X --* [0, 1] fl-medibles Io denota remos por L~

1.3. DEFINICION

Una aplicaci6n h: X --. [0, 1] nos define un subcon jun to difuso de X (normalmente la notaci6n es /aA). Cuando A es un con jun to cl~isico I~a(x)e {0, 1}, ' r (vet Zadeh, 1965).

Para facilitar la notaci6n enten'deremos por 1 = [0,1], x v y = m~ix (x, y) y por x /x y = min (x, y).

2. T-semiconormas

2.1. DEFINICION

Una t - semiconorma en [a, b] es una aplicacidn ob__L de [a, b] x [a, b] en [a, b], que deno ta remos por _1_ para simplificar la notacion, tal que verifique:

A) s _ ( x , a ) = x , V x e [ a , b ]

B) Si x i ~< x2 e Yl ~ 3'2 ~ l ( x l , Yl) ~<

<~ I ( x 2 , Y2), V x l , x2, Yl e Y2 de [a, b].

Es inmediato comproba r que las siguientes aplicaciones verifican las propiedades A) y B) de la definici6n anterior.

2.2. EJEMPLOS

_._Ll(x,y ) = x ^ y

__Z2(x, y) = b - (b - x)(b - y)

(b - a)

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/ 3 ( x , y ) = b ^ (x + y - a )

{~ v y si x ^ y~< 2 14"~x 'Y)= si x ^ y > 2 V A e [ a , b ]

Se comprueba que para toda t -semiconorma en I'a, b] _L se verifica que

_L l(x, Y) ~< l ( x , y) ~< __/_,~. o(X, y) , V x, y e [a, b]

Cuando a = 0 y b = 1 a la aplicaci6n __1_ la l lamaremos simplemente t- semiconorma y la representaremos por _L.

Veamos c6mo obtener t-semiconormas en [a, b] a partir de otras t- semiconormas en [a, b] ; para ello necesitamos de los siguientes resultados cuyas demostraciones omitimos por ser muy similares a l a s usadas para obtener resultados equivalentes para t-normas por Schweizer y Sklar (1961).

2.3. LEMA

Sean ao e [a, b-I, Io = [a,ao], 11 = [ao, b] y h una aplicaci6n de [a, b] en Io continua y estrictamente creciente, (h(a) = a y h(b) = ao). Sea h* la aplicaci6n

h*(x)={hb -l(x) siSi xEXeI~

Se verifica que h* es creciente y h*[h(x)] = x, V x ~ [a, b]. Mediante el lema anterior obtenemos el siguiente teorema.

2. T e o r e m a

Sea ___L una t-semiconorma en [a, b] y sean h, h*, I0 e 11 definidos como en el lema anterior. Entonces la aplicaci6n definida en [a, b] x l-a, b] por lh(x, y) = h*{Z_[h(x), h(y)]} es una t -semiconorma en [a, b].

Este teorema refleja las ilimitadas posibilidades de definir t-conormas, lo que, a su vez, nos permitir~i definir diferentes integrales semiconorma- das, como veremos en la siguiente secci6n.

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3. Las integrales semiconormadas

En 1o que sigue supondremos que todas las funciones h son elementos de L~ y todos los conjuntos elementos de ft.

En F. Su~irez (1983) se definen las integrales semiconormadas como:

3.1. DEFINICION

Sea (X, fl, g) un espacio de medida difusa, hEL~ y 2- una t- semiconormada. La integral s emiconormada 2- de h sobre A con respecto

�9 a 9 se define:

f4 h 2- g = inf2- [ct, g(A n H'~h)] (3.1)

Es inmediato c o m p r o b a r que podemos cambiar I por [0, I) en (3.1) sin que 6sta cambie de valor. Una mayor informacidn, asi como las demostra- ciones de las siguientes propiedades pueden encontrarse en Su~rez y Brezmes (1984) y Sufirez y Gil (86).

3.2. PROPOSICION

Para cualesquiera t - semiconorma 2_ y medida difusa g se verifican las siguientes propiedades :

- - L a integral de Sugeno es una integral semiconormada.

-- fAa-Lg = a, Va~l

--Si h~ <~ h2=~ fah, 2-g ~ fAh22-g

- -S iA=B=~fh2-o<~fsh• VheL~

- - f (a^h) 2 - g = a ^ f h• Vael

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--fAh-.Lg=fx(h AI'IA)-Lg

- - L #a -L g = g(A)

t~

- - S e a • una t -semiconorma continua y sea {h,}N una sucesidn de funciones de L~ T h (6 h. ,L h). Se cumple que:

a) h e L~

b) fAh.-LgTfah• ZgJ,;ah-Lg)

Como corolario de los anteriores resultados podemos considerar los siguientes.

3.3. COROLARIO

-- fa(hl A h2)-L g ~ fA

-- fa(hl v h2)-L g ~ ;.t

- - fAm~h l g >/ ;A h "L g v

- - fAr, B h l g " ;4h i g A

Sea M =

h~ Zg A

hl -Lg v

B h J-g i

j h• B

f h

4 h2-L g

fa h2 _l_ g

_L g y sea h* definida por:

~'M si x e H 'h M h*(x) h(x) en otro caso

entonces:

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- -Sea Sh I ,. una sucesidn de L~ Para toda t -semiconorma J_ continua se tiene que

L ( l i 2 i ? f h , ) - l - g < ~ l i 2 i : f { L h , - l - g }

Esta flltima propiedad podemos considerarla como una versi6n del lema de Fa tou para integrales semiconormadas (ver Smirez y Brezmes, 1984).

4. El valor difuso esperado

En varios trabajos, A. Kandel define el valor difuso esperado de una aplicacidn h e L~ con respecto a ia medida difusa g como

i �9 thx ] F.E.V.(h) = sup [:~ A g tn , j , = inf{~ v g(H~h)} ~ e l : t e l

(4.1)

Es inmediato comprobar que (4.1) es igual a

inf{= v g(H~h)} = f~ 17 1~ 0 a e l

Esta definici6n, asi como algunas propiedades del F.E.V., han sido expuestas en A. Kandel (1979, 1980 y 1981). En estas mismas referencias el autor extiende la definicidn del F.E.V. a aplicaciones que son los transfor- mados "afines (G(h) = m.h + n, con m ~> 0). de elementos de L~ aplicando a 3' a g en (4.1) la misma transformacidn que se le hace a h. es decir:

4.1. DEFINICION (KANDEL)

F .E.V.(G.h) = sup [~ A (Gog)(H~ :h)}

siendo G(x) = m x + n con m > 0.

Con la anterior definici6n el autor obtiene el siguiente resultado.

(4.2)

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4.2. PROPOSICION

Sean m > 0 y 11 constantes, y sea h e L~ entonces:

F.E.V. G(m. h + n) = m F.E.V. (h) + n

En Klement y Ralescu (1983) y F. Sufirez (1983) se encuent ran contrae- jemplos en los que queda de manifiesto que el F.E.V. (Gh) no est~i bien definido, con 1o que se ve la necesidad de cambiar la notaci6n y denota r a

esta 61tima expresi6n por F.E.V. G(Gh).

4.3. DEFINICION

Sean h e L~ y .1_ una t-semiconorma. Se define el Z-va lor difuso esperado como:

_I_-F.E.V.(h) = fx h .1_ g (4.3)

De manera an~iloga a la de Kandel podemos ampliar la definicidn anterior a aplicaciones t ransformadas de otras por medio de funciones crecientes cuyo conjunto imagen sea un intervalo cualquiera [a, b] de R. Para ello necesitamos ampliar la definici6n de integral s emicornomada c o m o sigue:

4.4. DEFINICION

Sea G una aplicaci6n estrictamente creciente de I sobre [a, b] y sea ___k una t -semiconorma en [a, b]. Se define la integral s emiconormada 6;:

( G ) f ( ( G o h) l g = inf l {~, (Gog)(G~~ (4.4) Jx ee[a. b]

Con la anterior definicidn se generaliza la definici6n 4.3 c o m o sigue.

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4.5. DEFINICION

Sea h ~ L~ y ___1_ una t - s e m i c o n o r m a en [a, b] ; se define el ___,_L 6--valor

difuso e s p e r a d o de G o h por"

I - F . E . V . G(G o h) = (G) Ia (Go h) L J_ g

C u a n d o a = O , b = 1 y _ l_ (x ,y )=x v y, 1o d e n o t a m o s por F.E.V. c(G o h).

4.6. PROPOSICiON

La definicion 4.5 coincide con la 4.1 c u a n d o _L(x, y) = x v y. En efecto, es fiicil ver que

inf { c t v (Gog)(H'~~ = inf =~[,.h] r

Para simplificar la no tac i6n l l amaremos :

(I) =

(2) =

{a v (Gog)(HG~~

inf {a v (Gog)tH~:h)} ,,~ [o. b]

sup {a ^ (Goo)(HG"h)} ~[a,b]

Es evidente que (2) ~< (I). V e a m o s que la des igua ldad no puede ser estricta; en caso contrar io , existirfi un L ~ [a, b] tal que

(2) < L < (1) => (G o g)(H~. ~ < L = ~ L < (1) -%<

<.% L v (Go g)(H~ ~h) = L

con lo que se llega a una contradicc i6n.

4.7. DEFINICION

Sea _ una t - s emicono rma en [a, b] y _L la co r r e spond ien t e t-semico-

n o r m a en I. Diremos que una aplicaci6n f de I sobre [a, b] es lineal respecto a _L si

&_If(x), f (y ) ] = f[_L(x, y)] , V x, y ~ I

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Se puede comprobar que cualquier aplicaci6n estrictamente creciente y sobre es lineal respecto a la t-semiconorma Zl(x,y) = x v y.

4.8. PROPOSICION

Sea G una aplicaci6n de I sobre [a ,b] fl-medible, estr icramente creciente y lineal respecto respecto a la t-semiconorma • Se verifica que

Demostracidn

(G) fx(GOh) L__g = inf Z[a, CGog)(H'f 'h)] = ae[a,b] (*__)

= inf _--L [G~ G-'(oO, Goo(H'~hJa :cs[a,b]

inf G { I [ G - ' ( e ) , g(H'~-,(a) )]} =

(*_*IG~ inf • g(H'~)]}

(*) Por ser G lineal y H'aG :h ,h = HG-~(a ). (**) Haciendo G - I ( ~ ) = ft.

4.9. COROLARIO

La proposici6n 4.2 se verifica. La demostraci6n es inmediata con l ( x . 3") = x v y y G(x)=mx+n.

5. Conclusi6n

La propia naturaleza de las medidas difusas hace que no se le puedan exigir propiedades de linealidad a las medidas de eentralizaci6n obtenidas a partir de elias.

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En nuestra opini6n, el problema le surge a Kandel por intentar que las integrales difusas sean lineales cuando, en general, no 1o son, y e s por eso por 1o que queremos resaltar que si G oheL~ en general F.E.V. (G o h)/= F.E.V. c(H o h).

Si se quiere que las integrales difusas tengan propiedades de linealidad

habria que usar el siguiente resultado.

5.1. TEOREMA

Sean a, b e R +, f y h e L~ + bh e L~ entonces:

f x ( a f + b h ) _ l _ g = a f x f _ l _ g + b f , h_l_g, V t-semiconorma _l_

si y s61o si g es una medida de probabilidad tal que g(A) e {0, 1}, V A e/3. La condici6n necesaria est5 probada en Klement y Ralescu (1983) para

l ( x , y) = m~ix (x, y). Veamos la condici6n suficiente. Es f~icil probar que si g(A) e {0, 1 }, V A e/3, para toda t -semiconorma se

verifica que

f x . f l g = i n f{~e [0, 1]/g(HT) = O}

Por otra parte:

HT c', H~ = '" ~+/~ (5.1)

Sean

"so = inf {~e I/g(H; I) = O}

flo = inf {~. e I/g(H; h) = O}

~'0 = inf {ct e I/g(H; f-h) = O}

= g(H'~;) = g(H'~o) = g(H'/; +h) = 0

, f+h =~ g(H ~o+/?o) ~< g(U'~o) + g(H'~o) = 0 =~ ~o + [3(, >1 70

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

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Si

~'o < OCo + / ~ o ~ Yo = (~o - e) + (/~o - e)

para algfin e = ~ g(H'fo +h) >~ 9(H"ro-~ n H~o-O (*=) 1

en contra de (5.5). La igualdad (*) es debida a que 9 es una medida de probabil idad tal que g(A) = 9(B) = 1 =~ g(A n B) = 1.

Por otra parte:

x a "J l g = inf {~ �9 I]9(H~ / ) = 0} =

,f = i n f { ~ � 9 I/g(H~/,) = 0} = i n f { a - f l � 9 I /g(H~) = 0} =

= a . inf {fl �9 [0, 1]a]/g(H~) = 0} I*_'1

= a - i n f {fl �9 I/g(H'~) = 0} = a fx f 1 g

(**) Ya que H ~ -- ~b, Vfl/> 1]a.

Anfilogamente, para

fx b . h J_g = b Ix h l g

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