26-9-2011

TEMA DOS | ING. SANTIAGO GONZLEZ LPEZ

UNAM ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

CAPITULO DOS

CAPACITORES

Un capacitor es un elemento que almacena carga y capacitancia la propiedad que la determina

cuanta energa puede guardar.

Dos conductores separados por aislantes o el vaco forman un capacitor.

Conductor A

+

Conductor B

1. Inicialmente con conductor tiene una carga neta de cero.

Q=0

2. Cargas de un capacitor

La manera ms comn es conectar los bornes de una batera a cada extremo del capacitor.

3. Se desconecta la batera

Cargas de igual magnitud pero de signo contrario.

1.

2. Constante de proporcionalidad (C)

C (capacitancia)

3. Unidades

[

]

F: farad

Calculo de la capacitancia, capacitor de placas planas paralelas.

Distancia de separacin entre placas.

1 El campo elctrico entre placas es uniforme.

2 Las cargas de las placas estn distribuidas en superficies opuestas.

3 Mediante la ley de Gauss

De la definicin de Potencial

-sustituyendo ecuacin 1 en ecuacin 2

De la definicin de capacitancia

Sustituyendo 3 en definicin de capacitancia

Ecuacin de capacitancia para un capacitor de placas planas y paralelas con vaco

entre ellas.

En el vaco (aire) la capacitancia C es una constante independiente de la carga del capacitor o de la

diferencia de potencial entre placas.

Las placas de cierto capacitor de placas planas paralelas en un vaco estn separadas 5.0 (mm) y

tienen 2.0 de rea. Se aplica una diferencia de potencial de 10,000[v] entre los Barnes del

capacitor.

Caractersticas de un capacitor

Capacitancia (Energa almacenada)

Voltaje (Ruptura) Voltaje mximo que soporta antes de ser destruida.

Valores Comerciales (estandarizados)

1

1.2

1.5 Mltiplos

2.2

3.3 y

4.7

5.6 Submltiplos

6.8

8.2

9.1

1. De acuerdo con Gauss

2. Potencial ( de un dipolo)

[

]

3. De la definicin de capacitancia

Capacitor Cilndrico

1. De acuerdo con Gauss

2.

3. La capacitancia por unidad de longitud es:

Vemos que la capacitancia de los cilindros coaxiales estn determinada en una totalidad por

las dimensiones; aunque con un material aislante entre el conductor interior y el conductor

exterior.

Conexiones Serie y Paralelo

Conexin Serie

Inicialmente sin carga.

1. Se aplica y la carga Q tiene la misma magnitud.

Los capacitores se cargan

Nota:

En una conexin en serie, la magnitud de la carga de todas las placas es la misma.

2.

Capacitancia Equivalente

En una conexin Serie, la capacitancia equivalente siempre es menor, que el menor de los valores

de los capacitores.

Circuito Paralelo

Las cargas en una conexin paralelo en cada capacitor no son iguales pues llegan indistintamente a

uno u otro capacitor.

En una conexin paralelo la cada de potencial en capacitor es la misma.

Generalizando

Almacenamiento de energa en capacitores y energa de campo elctrico

Muchas de las aplicaciones ms importantes de los capacitores dependen de la capacidad para

almacenar energa.

La energa Potencial Elctrica almacenada en un capacitor cargado, es simplemente la cantidad de

trabajo que se necesita para cargarlo.

El (W) consiste en separar cargas opuestas y colocarlas en conductores diferentes.

La energa Potencial (U) de un capacitor cargado, se halla colocando el (W) que se necesita para

cargarlo.

1. Proceso de Carga del Capacitor

2. Sean la diferencia de potencial y la carga en una etapa intermedia del proceso de

carga.

3. Relacin entre trabajo y el potencial elctrico.

4. En la etapa intermedia y para conocer el trabajo total realizado

5. Sustituyendo ecuacin 1 en 2

6. Integrando desde que hasta que quede cargado el capacitor

7. Energa Potencial Almacenada en un capacitor

[

]

Esta ecuacin nos indica que la capacitancia, mide la facultad de un capacitor de almacenar

tanta energa como cargar.

Energa y Campo Elctrico

La ecuacin anterior asocia la energa de un capacitor con la energa potencial de sus cargas, un

punto de vista alternativo es atribuir esta energa al campo elctrico que existe sus placas.

(

)

Ad=Volumen entre placas (v)

Densidad de Energa Elctrica en un vaco

Energa por unidad de volumen

Valida con respecto a cualquier capacitor en un vaco y cualquier configuracin de campo elctrico

en un vaco.

Observacin

Pensamos que el vaco no contiene materia; pero el vaco puede tener no obstante, campos

elctricos y por tanto energa. As pues, el espacio vaco no est necesariamente vaco a final de

cuentas.

Capacitor con Dielctricos

Dielctrico: material no conductor entre placas.

Funciones

1. Resuelve el problema mecnico de mantener 2 conductores separados por una distancia (d)

pequea.

2. Aumenta la diferencia de potencial (v+) posible entre placas del capacitor, y almacena

mayores cantidades de carga Q y energa (U).

3. La capacitancia es mayor con dielctrico

Vamos a examinar el efecto de llenar el interior de un capacitor con un material dielctrico

(Faradax 1837)

Polarizacin de la Materia

Cuando cualquier campo descargado se coloca dentro e un campo elctrico , le produce en el

una redistribucin de las partculas cargadas de los tomos.

Si el cuerpo es de un material conductor, sus electrones libres se trasladan de tal forma que el

volumen del cuerpo constituye una regin equipotencial.

Si es el material aislante, los electrones y los ncleos positivos de cada tomo o molcula sufren

un desplazamiento, debido a la accin del campo, pero en este caso el cuerpo no constituye una

regin equipotencial.

Los materiales que tiene este comportamiento se conoce con el nombre de dielctricos.

Nota: en los casos descritos, la carga neta del cuerpo es nula, aunque algunas regiones del mismo

adquieren un exceso de carga + -.

A las cargas que aparezcan en la superficie del cuerpo, debido al proceso mencionado, se le

denomina cargas inducidas y, cuando ha ocurrido el desplazamiento de cargas debido a un campo

elctrico, se dice que la materia se ha polarizado.

En los dielctricos, las cargas de las molculas no pueden sufrir desplazamientos semejantes

a los que experimentan los electrones de conduccin en un bloque metlico.

Por consiguiente, los desplazamientos originados por fuerzas elctricas debidas a campos

elctricos externos al dielctrico son muy pequeas y la magnitud de estos depender de la

mayor o menor rigidez con los que las cargas de un tomo o molcula estn unidos.

Constantes Dielctricas

Si tenemos

Definiendo el vector polarizacin (P)

| | [

]

Densidad indicada de carga elctrica

Al aplicar un dielctrico, diferente intensidades de campo elctrico (E), las fuerzas elctricas sobre

las cargas de dicha sustancia variaron en relacin directa a las intensidades aplicadas. Esto quiere

decir que se modificara, en caso, el momento dipolar de las molculas y, en consecuencia, la

polarizacin de dicha sustancia.

Adems, si con una misma intensidad de campo elctrico, se emplean diversas sustancias la

polarizacin en cada una de ellas, ser en general, diferente y esto depender de la rigidez con que

las cargas estn dispuestas en un tomo dado.

Definicin

Susceptibilidad elctrica .

Magnitud que cuantifica el comportamiento descrito, y establece relacin entre la polarizacin y el

campo elctrico.

Primero, Susceptibilidad

Segundo: Se convierten en una ecuacin cuando se introducimos una constante de proporcionalidad

que de acuerdo con el sistema de unidades resulta (permitividad del vaco).

Anlisis dimensional de

La susceptibilidad es una cantidad adimensional que nos indica la forma como se comporta una

sustancia al caer introducida en una regin en la que existe un campo elctrico, y su valor ser

tpico para cada sustancia.

Aplicando Gauss en las superficies mostradas

Recordando que | | | |

Despejando la magnitud del campo elctrico se tiene

Definiendo una nueva con una nueva constante dielctrica que denominaremos permitividad

relativa, como: Adimensional

De la expresin 1, podemos concluir que el campo elctrico en un punto (P) se ve denominado por

un factor al introducir en esa regin una sustancia dielctrica.

El campo elctrico que origina la ionizacin del dielctrico se conoce como campo elctrico de

ruptura, y el fenmeno de ionizacin de la sustancia se denomina ruptura de rigidez dielctrica.

Dielctrico Susceptibilidad Permitividad Relativa

Campo E de ruptura

Aire 0.00059 1.00059 0.8

Bakelito 3.8 4.8 12

vidrio 3.5 4.5 13

Vaco 0 1 00

Vectores Elctricos

D Desplazamiento elctrico

Definicin:

Establece la relacin entre el campo vectorial E y el campo vectorial de desplazamiento elctrico D,

vlida para materiales lineales e istropos.

Para este tipo de materiales, los vectores para cada punto, son paralelas entre s y en sus

magnitudes se relacionan por la pemitividad del material en cuestin.

Para un campo vectorial cualquiera

C el flujo se calcula:

Evaluando el flujo del campo vectorial D a travs de una superficie, el cual llamaremos

Flujo de a travs de una superficie Gaussiana.

Superficie Gaussiana en forma de paraleleppedo rectngulo para evaluar el flujo D.

1. En las caras 3,4,5y 6 la integral nula ya que para ellas son perpendiculares

(cos 90=0).

2. En la cara 2 la integral es nula ya que se localiza al interior de un cuerpo cargado y ,

por el de .

3. Solo la integral de cara 1 es diferente de cero.

3.1 son paralelos (cos 0=1).

3.2 como el campo vectorial D es uniforme, su magnitud es constante

3.3 De la definicin D ecuacin 1

El flujo del campo vectorial D(Desplazamiento elctrico), es igual a la cantidad de carga de la

placa encerrada por la superficie Gaussiana empleada.

Generalizacin de la Ley de Gauss con un dielctrico presente.

3.4La magnitud del vector D, es:

| |

Experimento de Faraday

Descubri que q>q es decir la carga en un capacitor con dielctrico es mayor que en aquel que

contiene aire o vaci entre placas.

El dielctrico en el capacitor le permite almacenar ms cargas, y por tanto en presencia mejora el

desempeo del capacitor.

Campo Elctrico en un Dielctrico

El campo neto en el aislante es menor que el campo aplicado, pues

Como concluyo Faraday la tendencia del dielctrico a disminuir el campo, se ve balanceado

suministrar a las placas cuando se inserta el dielctrico.

3. Para un capacitor de placas planas paralelas

4. Cuando el dielctrico este presente

5. Puesto que los campos elctricos han de ser iguales

Igualando ecuacin 1 y 2

Esta ecuacin nos indica que debido a la presencia de un dielctrico la carga q, aumenta en una

proporcin .

Capacitancia con dielctrico (C)

Por definicin

Sabemos que

Donde

Ningn dielctrico real es un aislador perfecto. En consecuencia, siempre hay cierta corriente de

fuga entre placas con carga de un capacitor con dielctrico.

Carga inducida y Polarizacin

Lneas de campo elctrico

(imagen)

Densidad superficial carga (+)

Densidad de superficial de carga (-)

Insertando un Dielctrico y manteniendo Q=cte.

El potencial V disminuye en un factor

La carga densidad superficial de las placas , no cambia, pero aparece una carga inducida de

signo opuesto en cada superficie del dielctrico, A esta redistribucin se le conoce como

polarizacin.

1. Su pondremos que

2. Densidad Neta de carga en cada lado del capacitor con dielctrico

3. El campo elctrico ( E) total para un par de placas planas paralelas (Gauss).

Sin dielctrico

Con dielctrico

4. Sabemos que

5. Sustituyendo ecuacin 1 y ecuacin 2 en ecuacion3.

(

)

Resumen

1.

2.

3.

4.