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DEPARTAMENTO DE ELCTRICA Y ELECTRNICACARRERA DE INGENIERIA EN ELECTRNICA E

INSTRUMENTACIN

ELECTROMAGNETISMO II

UNIDAD III

QUINTO ELECTRNICA

FECHA DE ENTREGA: 13/08/2015

ONDAS GUIADAS Y RADIACION

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Una gua de onda es una estructura a travs de la cual las ondas electromagnticaspueden transmitirse punto a punto y dentro de las cuales los campos estn confinados,hasta cierto punto.Las guas de onda pueden emplear cualquier nmero de conductores y dielctricos osolamente dielctricos y no conductores.

Una antena es cualquier dispositivo que radia energa electromagntica al espacio,donde esta

se origina en una fuente que alimenta a una antena a travs de una

lnea de transmisin o gua de ondas.CAMPOS EN LAS LINEAS DE TRANSMISION Y CONSTANTES

FUNDAMENTALESEl voltae y la corriente en forma fasorial son!

Vs(z )=V0 ejz

Is(z)=V

0

Z0ejz

Z0=L/C

"ampo elctrico!

Esx(z )=Vs

d=

V0

d e

jz

"ampo magntico!

Hsy(z )=Ksz=Isz

b=

V0

b Z0ejz

El fluo de potencia en la lnea se encuentra por medio del vector de #oynting.s}

2Z0=

1

2{VsI

b Z0 (bd )=|V0|

2

V

0

Pz=0

b

0

d1

2 {ExsHys }dxdy=

1

2

V0

d

La capacitancia y la conductancia por unidad de longitud son simplemente las de laestructura de placas paralelas, suponiendo campos estticos.

C=

'b

d

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1413 C!"#$"% &'()*+),*$"- $,.)()$"-

En este caso, la distribucin de corriente la determinan las funcionesde Bessel, y tanto la resistencia como la inductancia interna seexpresan mediante frmulas muy complicadas. En los manuales setabulan sus valores y es necesario utiliar las tablas para tama!os deconductores muy pe"ue!os a altas frecuencias y para tama!os deconductores muy grandes a ba#as frecuencias, como es el caso de lasl$neas de transmisin de potencia.

1414 L,)" $'$%"( &"%."- '()*+),*$"-

#ara la lnea de transmisin $ifilar que muestra la figura %&.& con conductores de radio

a y conductividad c con una separacin entre centros igual a d y un medio de

permea$ilidad, permitividad '

, y conductividad c , la capacitancia est dada

por

Figura 14.4Geometra de la lnea de transmisin biflar.

La inductancia e'terna est dada por!

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&a conductancia por unidad de longitud se puede escribir, a partir deuna inspeccin de laexpresin para la capacitancia,

&a resistencia por unidad de longitud es el doble de la del conductorcentral del cable coaxial, Por 'ltimo, utiliando las expresiones para lacapacitancia y la inductancia externa se obtiene un valor para laimpedancia caracter$stica(

1415 L,)" $'$%"( &""- '()*+),*$"-

( $aas frecuencias, en donde se puede suponer una distri$ucin de corriente uniforme,se de$en modificar una ve) ms las e'presiones de L yR, no as las de C y G, tenemosentonces!

141 L,)" ) $*(!*$,." &""- '()*+),*$"-

La configuracin en microcinta, mostrada en la figura %&.*, consiste en un dielctrico

+el cual se supone que no tiene prdidas de grosor d y permitividad 'r=

'0 , que se

encuentra entre un plano de tierra conductor y una frana conductora de ancho w. La

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regin arri$a de la frana superior es aire +en esta caso o un dielctrico de menorpermitividad.El campo elctrico resultante, originado en el conductor superior y terminado en elinferior, e'istir dentro de am$as regiones, su$strato y aire. Lo mismo es vlido para elcampo magntico, el cual circula alrededor del conductor superior. Esta configuracin

del campo electromagntico no se puede propagar slo como una onda -E, de$ido aque las velocidades de onda dentro de los dos medios son diferentes. En lugar de ello se

presentarn ondas que tengan componentes en z de E y H , con las magnitudes de lascomponentes dez esta$lecidas de tal forma que los campos en el aire y en el dielctricoalcancen velocidades de fase iguales.#ara comen)ar, es til considerar las caractersticas de la lnea de microcinta cuando eldielctrico no est presente. /uponiendo que am$os conductores tengan grosores muy

peque0os, la impedancia interna ser desprecia$le, por lo que la velocidad de fasedentro dela lnea llena de aire, p1, ser!

donde "1es la capacitancia de la lnea llena de aire +o$tenida del campo elctrico eneste caso, y c es la velocidad de la lu). "on el dielctrico en su lugar, la capacitanciavara2 sin em$argo, la inductancia no, siempre y cuando la permea$ilidad dielctrica sea31, se convierte en!

ref=C

C0=( cVp )

2

EC28

En la ecuacin +45 est implcito que una capacitancia C de la microcinta resultara sitanto la regin de aire como la de su$strato se llenaran de manera homognea conmaterial que tuviera una constante dielctrica ref. La constante dielctrica efectiva esun parmetro cuya utili)acin es conveniente, ya que ofrece una forma de unificar los

efectos del dielctrico y de la geometra del conductor.#or otro lado, para una frana superior muy angosta, o w6d peque0a, las regiones dedielctrico y de aire contienen, a grandes rasgos, cantidades iguales de fluo elctrico.En ese caso, la constante dielctrica efectiva se apro'ima a su valor mnimo, dado por el

promedio de las dos constantes dielctricas.#or lo tanto, se o$tiene el rango de valores permitidos de r,ef!

1

2(r+1 )

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Un procedimiento para o$tener la impedancia caracterstica sera evaluar, en primerainstancia, la impedancia llena de aire para un determinado valor w/d. 7espus,conociendo la constante dielctrica efectiva, determinar la impedancia real utili)ando+8%. 9tro pro$lema sera determinar la relacin requerida w/d para un determinado

material de sustrato, con el fin de alcan)ar la impedancia caracterstica deseada.

Z0=

Z0aire

r,efEC31

OPERACIN DE LA GU6A DE ONDA 7ASICA

Las guas de onda asumen muchas formas diferentes que dependen del propsito de lagua y de la frecuencia de las ondas que se transmitirn. La forma ms simple +entrminos de su anlisis es la gua de placas paralelas que muestra la figura.

9tras formas son las guas de tu$era hueca, incluyendo las guas de ondas rectangularesde la figura.

y la gua cilndrica mostrada a continuacin.

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"ada una de estas estructuras posee ciertas ventaas so$re las dems, dependiendo de laaplicacin y de la frecuencia de las ondas que se transmitirn. /in em$argo, todas lasguas presentan los mismos principios $sicos de operacin.

( medida que la frecuencia aumenta, un cam$io muy significativo se presenta en la

forma como se propagan los campos a travs de la lnea. (unque la configuracin delcampo original an puede estar presente, surge otra posi$ilidad, que se muestra en lafigura %&.%%. 7e nuevo, una onda plana se est propagando a lo largo de la direccin delee )2 sin em$rago, lo hace por medio de una serie de refle'iones en )ig:)ag en las

placas superior e inferior. Los vectores de onda ;a y ;d estn asociados con las ondas depropagacin hacia arri$a y hacia a$ao, respectivamente, y stas tienen magnitudesidnticas.

#ara que dicha onda se propague, todas las ondas que se propagan hacia arri$a de$enestar en fase +como tam$in de$e ser en el caso de las ondas que se propagan haciaa$ao./i la frecuencia de operacin est por de$ao de la frecuencia de corte, el nodo no se

propagar2 si est por arri$a, se propagar. /in em$argo, el modo -E no tienefrecuencia de corte2 ser soportado a cualquier frecuencia. ( una frecuencia determinadala gua soportar varios modos de propagacin, cuya cantidad depende de la separacinentre placas y de la constante dielctrica en el interior del medio, como se mostrar. Elnmero de nodos se incrementa a medida que se eleva la frecuencia.7e manera consistente con el estudio anterior so$re la refle'in o$licua, se identifica unmodo transversal elctrico o -E cuando E es perpendicular al plano de incidencia+polari)ado en s2 esto posiciona a E paralelo al plano transversal de la gua de onda, ascomo a las fronteras.

ANLISIS DE LAS ONDAS PLANAS EN LAS GU6AS DE ONDAS DE PLACASPARALELAS

(hora se investigarn, utili)ando el modelo de la onda plana para los campos modales,las condiciones en las cuales se presentarn los nodos en una gua de onda.

La figura mostrada a continuacin +a muestra de nuevo una trayectoria de )ig:)ag2 sinem$argo, esta ve) se di$uan los frentes de fase asociados con dos de las ondas que sepropagan hacia arri$a. En la figura +$ el ngulo de la onda se ha austado de tal formaque las dos ondas estn ahora en fase.

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F$9+(" Las componentes de vector de onda hacia arri$a sonkmy B m , las componentes de fase a'ial

y transversal. #ara formar el vector de onda hacia a$ao,kd la direccin de

km es contraria.

Los valores de kmy B m solo podrn tomar ciertos valores discretos que correspondan

a ciertas direcciones permitidas de ky kd tales que se satisfaga el requerimiento del

frente de fase coincidente. #or geometra se ve que para cualquier valor de m!

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Bm=k2km

2

( lo largo de la e'posicin se supondr que el medio dentro de la gua no tendrperdidas y no ser magntico, de tal forma que!

k=!"# $

,

=

!$r,

c =!%

c

Lo que se e'presa tanto en trminos de la constante dielctrica $r,

o del ndice de

refraccin % del medio. /e requiere que el corrimiento de fase total en todo el viae

redondo sea mltiplo entero de 4

km=m&d

Los cual es vlido para am$os modos -E y -. #or lo tanto los ngulos de onda de losdos modos permitidos se calcula fcilmente con!

m=cos1( m&kd)=cos1( m&c!%d )=cos1( m2%d )

7onde = es la longitud de onda en el espacio li$re.

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F$9+(" El corrimiento neto de la fase en un viae de ida y vuelta en la gua de placas paralelas seencuentra midiendo, en primera instancia, el corrimiento de fase transversal entre placas de la onda inicialhacia arri$a a2 posteriormente, se mide el corrimiento de fase transversal de la onda refleada hacia a$ao,mientras se toma en cuenta el corrimiento de fase de refle'in de la placa superior $2 por ltimo, se suma

el corrimiento de fase en la refle'in so$re la placa interior2 por lo tanto regresa al punto donde empe),pero con una nueva onda hacia arri$a c.

La resonancia transversal ocurre si la fase en el l punto final es la misma que lacorrespondiente al punto de inicio +las dos ondas hacia arri$a estn en fase.

F$9+(" 141El corrimiento de fase de una onda que se reflea so$re una superficieperfectamente conductora depende de si la onda incidente es -E +polari)ada en s o -+polari)ada en p. En am$os di$uos se muestran los campos elctricos conformeaparecen inmediatamente adyacentes a la frontera conductora.En a, el campo de una onda -E invierte la direccin de la refle'in con el fin de

esta$lecer un campo neto igual a cero en la frontera. Esto constituye un corrimiento defase

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4

% m c

m kwnd

=

/e define la frecuencia de corte en radianes para el modo m como,

cm

m cw

nd=

#or lo que +&1 se convierte en,4

% cmwnw

mc w

=

/i la frecuencia de operacin > es mayor que la frecuencia de corte para el modo m,entonces ese modo tendr una constante de fase ?m que ser un valor real y, por lotanto, se propagar. #ara > @ >cm, ?m es imaginario y, por lo tanto, ese modo no se

propagar.(sociada con la frecuencia de corte est la longitud de onda de corte, =cm, definidacomo la longitud de onda en el espacio li$re en la que ocurrir el corte para el modo m.Asta ser,

4 4cm

cm

c nd

w m

= =

Btese, por eemplo, que en una gua llena de aire +n C % la longitud de onda a la que elmodo de orden ms $ao se propaga primero es =c%C 4d, o la separacin entre placasque es de la mitad de la longitud de onda. El modo m se propagar siempre que > D >cm,o de manera equivalente, siempre que = @ =cm. El uso de la longitud de onda de corte

permite construir una segunda forma de la ecuacin +&4!4

4%m

cm

n

= =

E)%! 141Una gua de ondas de placas paralelas tiene una separacin entre placas d C % cm y est

llena con tefln, el cual tiene una constante dielctrica

r

C 4.%. 7etermnese lafrecuencia de operacin m'ima tal que slo el modo -E se propague. (simismo,

encuntrese el rango de frecuencias en el que se propagarn los modos -E% y -% +m C% y no as los modos de orden mayor.

Utili)ando +&%, la frecuencia de corte para el primer modo de propagacin +m C % ser

%1%1%

%

4.FF %1%.18 %1 %1.8

4 4 4.%

cc

w xf x Hz GHz

= = = =

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#ara que slo se propaguen ondas -E se de$e tener que f @ %1.8 GH). #ara que sepropaguen solamente los modos -E% y -% +unto con el -E, el rango defrecuencias de$e ser c% @ @ c4, donde c4 C 4c%, de +&%. #or lo tanto, lasfrecuencias a las que se tendrn los modos m C % y el -E ser %1.8 GH) @ f @ 41.IGH).

E)%! 142En la gua de placas paralelas del eemplo %&.% la longitud de onda de operacin es C 4mm. J"untos modos de gua de onda se propagarnKLa propagacin del modo m requiere que @ cm. #ara la gua de onda y longitud deonda dados la desigualdad se convierte utili)ando +&8 en,

4 4.%+%1 4

mmmm

m.$*"La fi$ra ptica tra$aa segn el mismo principio que la gua de onda de placa dielctricae'cepto por la seccin transversal circular. La fi$ra ptica de ndice escalonado presentaun ncleo de alto ndice de refraccin, con radio a, est rodeada de un revestimiento conmenor ndice de refraccin, de radio $. la lu) se confina en el ncleo de la fi$ra pormedio del mecanismo de refle'in total.

El anlisis de la fi$ra ptica es complicado. Esto se de$e, so$re todo, a la seccintransversal circular, aunado al hecho de que, por lo general, es un pro$lema en tresdimensiones2 en la gua de ondas de placas slo eran dos dimensiones las queinteresa$an. Es posi$le anali)ar la fi$ra utili)ando rayos dentro del ncleo que serefleen en la frontera del revestimiento a medida que la lu) se propaga por la fi$ra.Esto se hi)o con la gua de placas y se o$tuvieron resultados de manera muy rpida. /inem$argo, este mtodo es difcil de aplicar en la fi$ra de$ido a que las trayectorias de losrayos son complicadas.

/e han desarrollado modos de la fi$ra que puedan asociarse con los tipos de rayosindividuales, o con com$inaciones de stos, pero es ms fcil o$tenerlos resolviendo de

manera directa la ecuacin de onda.

Va se estudi cmo los ndices de refraccin del ncleo y del revestimiento en la gua deonda de placas necesitan ser muy parecidos en valor con el fin de lograr la operacin enun solo modo o en unos cuantos modos. Los fa$ricantes de fi$ras pticas han tomadomuy en serio este resultado, de tal manera que la condicin de guiado d$il es, dehecho, cumplida en la mayora de las fi$ras pticas disponi$les en el mercadoactualmente. Las dimensiones tpicas de una fi$ra ptica mono modo son entre * y %13m de dimetro del ncleo, y un dimetro del revestimiento por lo general de %4* 3m.La diferencia de ndice de refraccin entre el ncleo y el revestimiento es, tpicamente,de una peque0a fraccin del % por ciento.

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La etapa final en el anlisis consiste en o$tener una ecuacin a partir de la cual puedandeterminarse los valores de los parmetros modales u, w y $para una frecuencia deoperacin y construccin de fi$ra determinados.

En la gua de ondas de placa se encontraron dos ecuaciones que usa$an argumentos deresonancia transversal y stos esta$an asociados con las ondas -E y - en la placa.

En la fi$ra ptica no se aplica la resonancia transversal directamente, sinoimp17ci"amen"e, haciendo que todos los campos satisfagan las condiciones de frontera enla interfase ncleo6revestimiento,8 C a.S

/e han aplicado las condiciones en los campos transversales para o$tener la ecuacin.La condicin que falta es la continuidad de las componentes en z de E y H. En laapro'imacin del guiado d$il se han despreciado todas las componentes en z2 sinem$argo, se considerarn ahora en este ltimo eercicio. Utili)ando la ley de Raraday ensu forma escalar, la continuidad deHzs en8 C a es la misma que la continuidad de lacomponente enz de3WEs, siempre y cuando C1 +o tiene el mismo valor en am$asregiones. Especficamente

El procedimiento comien)a e'presando el campo elctrico en +%4% en trminos de lascomponentes8 y 9 y, despus, aplicando +%4&. Aste es un procedimiento muy largo y sedea como eercicio +o, tam$in, puede encontrarse en la lectura complementaria *. Elresultado es la ecuacin del eigenvalor para los modos L# en la fi$ra ptica de ndiceescalonado deguiado d$il!

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Grfca de intensidad de los dos primeros modos LPen una fbra de ndice escalonado de guiado dbil, en uncin del radio

normalizado

#ara determinar las intensidades, es decir, para o$tener u y O se utili)a la frmula deudolf:Beumann, la cual es vlida para %.8 @ &@ 8.*!

601=1.14280.9960

Una ve) o$tenido 601 , se puede encontrar 01 si se conoce &)9tra simplificacin

importante del modo LP01 es la apro'imacin de su perfil de intensidad a una

funcin gaussiana, puede e'presarse como!

I01 7 I0 e2p2 /p

0

2

En el caso de las fi$ras de ndice escalonado, el meor auste entre la apro'imacingaussiana y la intensidad modal real est dado por la frmula de arcuse!

p0

a 70.65+

1.619

V3 /2 +

2.879

V6

El radio de campo modal +a la longitud de inda citada es otra especificacin importante+unto con la longitud de onda de corte de las fi$ras pticas comerciales tipomonomodo.

Grfcas de intensidad del modo LP01en una fbra de ndice escalonado de guiado dbil

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Es importante conocerla por varias ra)ones. Una de ellas es que en el empalme ocone'in de dos fi$ras pticas monomodo se o$tendr la menor prdida de cone'in siam$as fi$ras tienen el mismo radio de campo modal y si am$os ees de las fi$ras estne'actamente alineados. 9tra ra)n es que, un radio de campo ms peque0o significa quee'iste menos pro$a$ilidad de que la fi$ra sufra de prdidas como resultado de do$leces.

Uno modo confinado con prdidas tiende a radiar ms energa hacia fuera a medida quela fi$ra se do$la. Rinalmente, el radio de campo modal est directamente relacionadocon la constante de fase del modo, puesto que si u y O son conocidos, dicho valor puedecontraerse. #or lo tanto, un conocimiento de cmo cam$ia esta fase con la frecuencia,

puede encontrarse a travs de la medicin del cam$io con respecto a la frecuencia delradio del campo modal.

PRINCIPIOS 7SICOS DE LAS ANTENASEl propsito de este estudio es proporcionar una comprensin $sica de cmo loscampos electromagnticos radian a partir de distri$uciones de corriente. (s que primerose o$tendr el campo especfico formado a partir de una fuente especfica variante en el

tiempo. En este anlisis de las ondas y campos en medios materiales y en guas de ondaslo se estudiar el movimiento de las ondas en el medio, sin tomarse en cuenta lasfuentes de los campos.(hora se supone que un filamento de corriente como fuente, colocada dentro de unmedio infinito si n prdidas. El filamento tiene una longitud diferencial, pero see'tendern los resultados con facilidad a un filamento corto comparado con la longitudde onda, especficamente menor a un cuarto de longitud de onda, apro'imadamente.

Filamento de corriente dierencial de longitud d llea una corriente ! " !ocos#$t%

( una distancia correspondientes a %1 o ms longitudes de ondas del elemento decorriente oscilante en todos los trminos, a e'cepcin del trmino del inverso de la

distancia1

r , pueden despreciarse y los campos distantes o de radiacin se

transforman en!

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Ers=0

E.s=j0#d%

2rse%.e

2&r

Hs=j0

# d%2r

se%.e2&r

E.s=% Hs

Una variacin de campo elctrico conforme1

r3 de$e traer a la memoria el campo

electrosttico del dipolo, este trmino representa la energa almacenada en un camporeactivo y no contri$uye en la radiacin de energa.

/e de$e aplicar el vector #oynting para o$tener la e'presin cuantitativa de la potenciaradiada y as las e'presiones de las componentes de radiacin de las intensidadeselctricas y magnticas son!

r=E.H=(0# d2r )2

%se%2

.se%2(!8

2&r

)

La potencia instantnea total de radio r0 es!

P=0

2&

0

&

r r02

se%. d.d

y la potencia promedio est dada por la mitad de la amplitud m'ima!

Ppr#m=(00 d)2

%&

3=40&2( 00 d)

2

Los conductores de una linea de transmision $ifilar en un circuitoa$ierto estan separadasF1Q, y la distri$ucion de onda estacionaria en la linea sera sinusoidal. La corrienre escero en cada uno de los e'tremos y tiene un cuarto de longitud de onda a partir de cadae'tremo, y la corriente continua variando de esta forma hacia el centro.En una antena muy corta solo se podra ver la primera porcion de la onda senoidal2 la

ampitud de la corriente es cero en cada e'tremo y se incrementa apro'imademante en

una forma lineal hasta un valor ma'imo de I0 en el centro2 como se puede apreciar

en la figura 142@

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Esta antena tiene corrientes idnticas en las dos mitades y puede alimentarseadecuadamente por medio de una lnea $ifilar, donde las corrientes en los dos polosconductores sean iguales en amplitud pero opuestos en direccin. El espacio en el

punto de alimetacin es peque0o y sus efectos se pueden despreciar. ( una antenasimtrica de este tipo se le conoce con el nom$re de dipo1o) /e considera que las se0alesque llegan a cualquier punto # del campo desde los dos e'tremos de la antena estn enfase.

La corriente promedio a lo largo se la antena esI

0

2 dondeI

0 es la corriente de

entrada en las terminales centrales y la potencia ser un cuarto de su valor anterior y,por lo tanto, la resistencia de radiacin ser tam$in se un cuarto del valo dado en laecuacin./olamente se notara que para la antena ms popular en el mundo, el dipolo de media

onda (d=/2) , eventualmente se o$tuvieron los resiltados siguientes!

Los resultados pueden meorarse considerando una distri$ucion de corriente linealmientras se ignora el retardo.La corriente promedio es la mitad del valor m'imo, la potencia es un cuarto y la

resistencia de radiacin disminuye a un valor igual a 5&2

o &F.8X. (hora el

resultado es muy peque0o, principalmente porque el valor promedio de una onda

triangular es menor que el valor promedio de una onda sinusoidal.

Electromagnetismo II Pgina %/

F$9+(" 142@ Una antena corta

(d

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En una antena lineal, el efecto de retardo es siempre un efecto de cancelacin y, por lotanto, su consideracin de$e siempre llevar a valores ms peque0os de resistencia deradiacin. Esta disminucin es de magnitud relativamente peque0a aqu +de 51 aS8.%X, ya que los elementos de corriente que tienden a cancelarse entre s son aquellos

que estn en los e'tremos del dipolo, y stos son de amplitud peque0a! adems, lacancelacin es la mayor en una direccin a lo largo del ee de la antena, donde todos loscampos de radiacin son cero en una antena lineal. (ntenas de uso generali)ado que seclasifican como dipolos son los elementos que ms se utili)an en las antenas receptorasde -Y y R.La antena monopo1o es la mitad del tama0o de un dipolo ms plano prefectamenteconductor, como se muestra en la figura %&.81a. En la figura %&.81$ se puede o$servarque los campos so$re el plano son los mismos para las antenas monopolo y dipolo. La

potencia radiada y la resistencia de radiacin del monopolo son la mitad de los valorescorrespondientes al dipolo.

Las antenas monopolo pueden tra$aar con ca$le coa'ial por de$ao del plano y tienenel conductor central conectado a la antena por medio de un pequeo aguero y suconductor e'terior conectado al plano. /i la regin por de$ao del plano es inaccesi$le oinconveniente, el coa'ial se puede instalar so$re la parte superior del plano y su

conductor e'terior conectado a ste. 7entro de los eemplos de este tipo de antenasestn las torres radiodifusin de ( y las antenas de $anda civil.

F$9+(" 1430 a Un monopolo ideal est siempre asociado con un planoconductor perfecto. $ El monopolo ms su imagen forman yn dipolo.