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UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA
AREA DE ELECTROMAGNETISMO.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas.
Eduardo Nebot del Busto
Memoria presentada para la evaluación de trabajo academicamente dirigido.
Zaragoza, 5 de Julio de 2004
AGRADECIMIENTOS.
Me gustaría agradecer a la Universidad de
Zaragoza la puesta en marcha del sistema de superación
de asignaturas optativas mediante la realización de
trabajos académicamente dirigidos, que permiten al
alumno introducirse en el mundo de la física experimental
de una manera mucho más profunda de lo que requiere la
titulación en Ciencias Físicas.
Una mención especial para mi director Juan
Pablo Martínez por su inagotable paciencia y a Jose
María Forniés por su desinteresada colaboración a lo
largo de los meses que ha durado esta experiencia.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
1
INDICE
1. Introducción. 3
2. Medios dieléctricos.
2.1 Desarrollo multipolar del potencial escalar. 5
2.2 Aproximación dipolar, mecanismos de polarización y vector
polarización. 7
2.3 Comportamiento bajo campos armónicos. 11
2.4 Ecuaciones de Debye. 14
3. Caracterización de dieléctricos.
3.1 Propagación de ondas guiadas. 21
3.2 Líneas de transmisión. 27
3.3 Fundamento del método de la guía cortocircuitada. Método de
Roberts Von Hippel. 33
4. Adquisición y tratamiento de los datos.
4.1 El montaje experimental. 37
4.2 Adquisición y tratamiento. 39
4.3 Resultados. 41
5. Conclusiones. 51
6. Referencias. 53
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
2
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
3
1. INTRODUCCIÓN.
Una parte del electromagnetismo experimental concentra su interés en la
completa caracterización de diferentes medios por su posible aplicación a la fabricación
de dispositivos de microondas. En este trabajo nos concentramos en la determinación de
la permitividad compleja de ciertos medios dieléctricos, propiedad que fija la respuesta
que van a tener dichos materiales bajo la acción de una señal electromagnética. Esta
determinación se hace para una frecuencia fija de 9.226 GHz y diferentes temperaturas
(0-160ºC).
Existen varios métodos para la determinación de la permitividad dieléctrica
compleja como son las técnicas de reflectometría en el dominio del tiempo (TDR) y el
método de la guía cortocircuitada, técnica utilizada en nuestro caso. El primero de los
dos métodos nos permite con una sola medida el conocimiento de la constante
dieléctrica del material en un amplio rango de frecuencias mientras que el segundo,
caracteriza al medio a una frecuencia determinada. Aunque pueda parecer más pobre en
cuanto a la información obtenida, el método de la guía cortocircuitada permite adaptar
la instalación experimental de forma más sencilla que el primero de ellos para obtener la
variación de la constante dieléctrica con la temperatura.
A lo largo del curso pasado, en la parte experimental de la asignatura
Propagación guiada y sistemas radiantes, ya se utilizó la técnica de TDR para la
caracterización de dieléctricos. Debido a esto, en este trabajo nos centraremos en el
método de Roberts-Von Hippel para la guía cortocircuitada como un método alternativo
para la determinación de constantes dieléctricas. A partir de este método vamos a poder
obtener información a cerca de la dependencia con la temperatura de dicha magnitud,
algo que no nos permiten las instalaciones de TDR de que disponemos.
Ambos métodos se nutren del amplio conocimiento que se tiene hoy en día de
la propagación guiada de campos electromagnéticos. Los parámetros de interés se
obtienen experimentalmente situando la muestra dieléctrica problema en una sección de
una guía de ondas o línea coaxial, y estudiando en detalle el comportamiento de la
estructura del campo en el interior de la guía en cuestión.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
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La primera parte del texto, y como ayuda a la posterior comprensión de los
resultados experimentales obtenidos, se da una pequeña introducción con las principales
características de los medios dieléctricos, así como las definiciones de las magnitudes
físicas de mayor interés para estos materiales como son la susceptibilidad dieléctrica,
permitividad dieléctrica o constante dieléctrica, etc. Dichas propiedades están
íntimamente relacionadas con la respuesta del medio a la acción de campos a nivel
microscópico, por los que también se introducen los distintos fenómenos que tienen
lugar a este nivel en un medio dieléctrico dependiendo de la frecuencia de la excitación.
Debido a la amplia utilización de la propagación guiada en la caracterización
de dieléctricos es también necesario el introducir unas breves nociones acerca de cómo
se propagan los campos electromagnéticos a través de una guía y más en particular, en
una guía rectangular que va a ser la de mayor interés en este caso. Especialmente útil
para el método de la guía cortocircuitada va a ser el estudio de la guía rectangular como
línea de transmisión, es decir, centrándonos no en como se propagan los campos
electromagnéticos en su interior sino en como se propagan las ondas de tensión e
intensidad a lo largo del metal que conforma la guía. Esto es, estudiaremos la guía como
un elemento de circuito.
Finalmente, comprobaremos como a partir de los valores experimentales
obtenidos para la constante dieléctrica en función de la temperatura, es posible deducir
información, no solo de la respuesta del medio a la acción de campos
electromagnéticos, sino también de procesos de deshidratación. Dichos procesos son
interesantes debido a sus aplicaciones de secado industrial.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
5
2. MEDIOS DIELÉCTRICOS.
El principal propósito de este trabajo es el describir algunas propiedades
esenciales de ciertos medios dieléctricos, los cuales consideraremos como aquellos
medios que no poseen cargas que puedan moverse libremente en su interior..
Sin embargo, que un medio material no posea cargas libres no quiere decir que
no vaya a responder a la acción de un campo electromagnético. En esta sección vamos a
describir brevemente como responden este tipo de medios, a nivel microscópico, cuando
sobre ellos se aplica un campo electromagnético, y el efecto observable
macroscópicamente que se produce sobre él.
El comportamiento de los medios dieléctricos cuando son sometidos a la
acción de campos armónicos en el rango de las microondas, lo plantearemos bajo el
modelo de Debye que explicaremos posteriormente.
2.1 Desarrollo multipolar del potencial escalar.
Sabemos que el potencial generado por una distribución de cargas confinadas
en una región V ′ del vacío viene dada por:
( ) ( ) Vdrr
rrV
′⋅′−′
=Φ ∫′
rr
rr ρ
πε 041 (2.1)
En esta expresión las coordenadas primadas hacen referencia a los puntos fuente, puntos
donde se encuentran las cargas, mientras que las coordenadas sin primar hacen
referencia a los puntos campo, puntos donde estamos calculando el potencial, como se
muestra en la figura 2.1.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
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Figura 2.1: Coordenadas empleadas en el cálculo del potencial creado por una
distribución de cargas
La anterior expresión del potencial escalar permite efectuar un desarrollo
multipolar de la forma:
( )
++
⋅+=Φ ∑
ji
jiij R
xxQ
Rrp
Rqr
,53
0 21
41
K
rr
πε (2.2)
donde rrR ′−=rr es la distancia entre el punto de observación y el origen de
coordenadas.
Los denominados momentos multipolares de la distribución de cargas
quedan definidos de la siguiente manera:
Momento monopolar o carga total de la distribución:
( ) VdrqV
′′= ∫′
rρ (2.3)
Momento dipolar de la distribución:
( ) VdrrpV
′′′= ∫′
rrr ρ (2.4)
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
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Tensor momento cuadrupolar:
( ) ( ) VdrrxxQV
jiij ′′′−′′= ∫′
rρ23 (2.5)
Los distintos términos de la expresión (2.2) reciben la denominación de
término monopolar, dipolar, cuadrupolar, etc, constituyendo los términos multipolares
del potencial.
2.2 Aproximación dipolar, mecanismos de polarización y vector polarización.
Aproximación dipolar:
Los distintos términos del desarrollo multipolar representan las sucesivas
potencias de R1 . Por tanto para puntos que estén a la misma distancia del origen los
términos contributivos suelen ser los primeros del desarrollo siendo el resto
prácticamente despreciables.
En este estudio vamos a considerar medios dieléctricos que tratados de una
forma macroscópica son eléctricamente neutros. Así, al hacer un promedio sobre un
volumen suficientemente grande su carga neta va a ser nula y no va a tener contribución
el término monopolar. Por tanto, el término más importante en el desarrollo del
potencial va a ser el término dipolar, que desde un punto de vista macroscópico es
equivalente a tratar al dieléctrico como una distribución de dipolos. A este tratamiento
se le conoce como aproximación dipolar.
Mecanismos de polarización:
Cuando sobre un medio dieléctrico se aplica un campo eléctrico, ya sea
estático o dinámico, se produce en su interior una reordenación de carga que
microscópicamente da lugar a la aparición de dipolos eléctricos. El efecto de la
aparición de dichos dipolos se observa macroscópicamente.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
8
La aparición de estos dipolos se puede producir mediante distintos tipos de
mecanismos:
Polarización de orientación. Este mecanismo da lugar a la aparición de
polarización inducida debido a la orientación, en la dirección del campo
aplicado, de los momentos dipolares que poseen las moléculas que componen
ciertos medios (sustancias polares). Un ejemplo de ello sería la molécula de
agua.
Figura 2.2: Momento dipolar eléctrico en la
molécula de agua.
En este caso, debido a la diferente afinidad de los átomos, el enlace covalente
tiene polaridad y debido a la geometría de la molécula, ésta tiene momento
dipolar.
En las sustancias polares y en ausencia de campo eléctrico los
dipolos (debido a la agitación térmica) están orientados al azar y
macroscópicamente no se observan. Sin embargo, al aplicar un campo Er
los
dipolos tienden a orientarse en la misma dirección del campo. A este fenómeno
se le conoce como polarización de orientación.
Polarización de distorsión. La aplicación de campos eléctricos sobre medios
materiales puede producir la modificación de su distribución de carga generando
la aparición de dipolos eléctricos. Dependiendo de la forma en que son
inducidos los dipolos se distinguen dos tipos de polarizaciones:
Polarización electrónica. En primera aproximación se puede decir que
el dipolo es inducido a nivel atómico debido a un desplazamiento
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
9
relativo entre el centro de cargas de la corteza electrónica y el núcleo
atómico.
Figura.2.3: Momento dipolar eléctrico en el átomo por
desplazamiento relativo entre el núcleo y la corteza electrónica.
Polarización iónica. Los dipolos son inducidos a nivel cristalino (en
cristales iónicos) debido a un desplazamiento relativo entre iones
positivos y negativos
Figura 2.4: Aparición de momento dipolar eléctrico por
desplazamiento relativo de las capas iónicas.
Vector polarización. Permitividad dieléctrica estática.
Definimos el vector polarización como el momento dipolar eléctrico por
unidad de volumen:
dVpdPrr
= (2.6)
En esta definición, dV debe ser lo suficientemente pequeño para poder ser considerado
como infinitesimal pero lo suficientemente grande como para contener un número
elevado de dipolos que nos permita hacer esta definición macroscópica.
La relación entre el campo eléctrico aplicado y el vector polarización que
aparece puede ser complicada, aunque en la mayoría de los casos dicha expresión podrá
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
10
ser simplificada. En principio, el momento dipolar inducido sobre cada átomo pr va a
depender del campo local que actúa sobre dicho átomo. Así, la expresión para pr podrá
ser desarrollada en serie de potencias de LOCALEr
:
( ) ( ) ( ) Krrrr
+++=32
LOCALLOCALLOCAL EEEp γβα (2.7)
donde:
0=
∂∂
=ELOCALE
prr
α ,0
2
2
=
∂∂
=ELOCALE
pr
r
β , ...
son los coeficientes del desarrollo.
En la mayor parte de los casos podremos quedarnos en el término lineal y
afirmar que el momento dipolar inducido en el átomo es proporcional al campo local
que actúa sobre el mismo:
( )LOCALEprr α= (2.8)
donde la constante de proporcionalidad se conoce como polarizabilidad del átomo.
Tal y como se ha definido en la expresión (2.6), el vector polarización
representa un promedio de los momentos dipolares individuales de un número elevado
de átomos contenidos en un cierto volumen. Si promediamos sobre la expresión (2.8)
para calcular el vector polarización se obtiene que es proporcional al campo eléctrico
macroscópico (C. Kittel, 1996):
EPrr
χε 0= (2.9)
La constante de proporcionalidad es el producto entre la permitividad dieléctrica del
vacío 0ε y la susceptibilidad dieléctrica χ .
Dado que el vector desplazamiento eléctrico viene definido como:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
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PEDrrr
+= 0ε (2.10)
Si sustituimos (2.9) en esta definición podemos relacionar Dr
y Er
según:
( ) EEDrrr
εχε =+= 10 (2.11)
donde ε se conoce con el nombre de permitividad dieléctrica o constante dieléctrica
del medio. En la practica, es usual utilizar la constante dieléctrica relativa al vacío:
10
+== χεεε r (2.12)
2.3 Comportamiento bajo campos armónicos.
Cuando se aplica sobre un medio dieléctrico un campo que varía con el
tiempo, los dipolos que forman el material tratan de orientarse siguiendo las variaciones
del campo, sin embargo, su respuesta no es instantánea. Los dipolos asociados a cada
uno de los mecanismos de polarización descritos con anterioridad tienen distinto tiempo
de respuesta.
El tiempo de respuesta para los procesos de orientación es largo. Los dipolos
permanentes de los materiales necesitan un tiempo relativamente elevado para
orientarse en la dirección que les marca el campo externo. Si el campo externo aplicado
es armónico en el tiempo y su frecuencia demasiado elevada, los dipolos no podrán
seguir al campo externo y la polarización de orientación no se producirá.
Si la frecuencia del campo de excitación sigue aumentando, tampoco los
dipolos debidos al desplazamiento relativo entre capas iónicas podrán inducirse al
mismo ritmo al que oscila el campo. Llegado este punto la polarización iónica dejará de
producirse. Por último, a frecuencias muy elevadas también los dipolos electrónicos
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
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serán incapaces de inducirse al ritmo que les marca el campo externo y ninguno de los
tipos de polarización contribuirá.
Supongamos que sobre un medio dieléctrico aplicamos un campo armónico en
el tiempo de la forma:
tjeEE ⋅⋅−⋅= ω
0
rr (2.13)
de manera que, aparece un vector desplazamiento que viene dado por:
( )δω +⋅⋅−⋅= tjeDD 0
rr (2.14)
donde δ es el desfase que puede aparecer entre D y E debido a la fenomenología citada.
Ahora bien, si tenemos en cuenta la expresión (2.11) y sustituimos en ella los
valores armónicos de Er
y Dr
obtenemos que:
00 EeD jrr
⋅=⋅ ⋅ εδ (2.15)
donde ahora debemos tener en cuenta que ε es una magnitud compleja que la
expresamos de la forma:
εεε ′′⋅−′= j (2.16)
La relación anterior puede separarse en dos ecuaciones igualando las
componentes reales e imaginarias entre sí:
00 cos EDrr
⋅′=⋅ εδ
00 sin EDrr
⋅′′=⋅ εδ (2.17)
De modo que, despejando de estas dos ecuaciones obtenemos la componente real e
imaginaria de la permitividad ε del dieléctrico:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
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δε cos0
0 ⋅=′ED
δε sin0
0 ⋅=′′ED
(2.18)
De las dos ecuaciones anteriores podemos interpretar ε ′ y ε ′′ como la proporción de
vector desplazamiento eléctrico que varía en fase y en cuadratura de fase con el campo
eléctrico respectivamente. Por otro lado, si ε ′′ es distinta de cero, la respuesta del
medio se está frenando de alguna manera y por lo tanto representará la existencia de una
pérdida de energía. Así, estas dos magnitudes contienen información física del
dieléctrico, pudiendo definirse también la tangente de pérdidas como:
εεδ′′′
=tan (2.19)
La tangente de pérdidas es una magnitud adimensional que refleja las pérdidas de
energía en un dieléctrico. Esta interpretación es sencilla debido a que únicamente en el
caso de que ε ′′ sea nula la tangente de pérdidas también se anula.
La constante dieléctrica del medio va a depender fuertemente de la frecuencia
del campo aplicado debido a la diferencia en el tiempo de respuesta de los distintos
mecanismos de polarización como ya hemos visto.
En la figura 2.5, se observa como la evolución cualitativa de la constante
dieléctrica en la región correspondiente al proceso de polarización orientacional tiene
una forma diferente a la de las regiones de polarización iónica y electrónica. Esto es
debido a que los dos últimos mecanismos de polarización obedecen a fenómenos físicos
completamente diferentes. La polarización de orientación refleja un fenómeno de
reorientación de dipolos permanentes ya existentes en el medio, llamado también
proceso de relajación Sin embargo los fenómenos de polarización de distorsión
obedecen a procesos de deformación de la distribución de cargas, los cuales pueden dar
lugar a fenómenos de resonancia. En estos, los iones o electrones absorben mas energía
cuando la frecuencia de excitación del campo coincida con frecuencias propias de
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
14
oscilación de las cargas, es decir, cuando su frecuencia coincide con una frecuencia
crítica.
Figura 2.5: Variación de la constante dieléctrica con la frecuencia.
En la figura puede observarse con mayor claridad como los distintos
mecanismos de polarización contribuyen en distintos rangos de frecuencia tal y como se
había adelantado. A baja frecuencia contribuyen todos los fenómenos de polarización.
Ahora bien, a medida que aumenta la frecuencia los dipolos no pueden seguir al campo
y dejan de contribuir (esto suele ocurrir para frecuencias correspondientes al rango del
infrarrojo IR ), luego los iones ( )UV y finalmente, ni siquiera los electrones ( )RX .
Como es sabido, los electrones de capas internas de los átomos tienen frecuencias de
oscilación alrededor de 1019 Hz ( )RX . Por esta razón, cualquier onda electromagnética
de frecuencia superior no excita ningún tipo de transición electrónica ni produce
contribución alguna a la polarización del material.
2.4 Ecuaciones de Debye.
Cuando la polarización de orientación está presente es el término que más
significativamente contribuye y vamos a observar un proceso de relajación. Los dipolos
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
15
permanentes, asociados a moléculas, relajan hacia una posición de equilibrio. Esta
relajación se produce a una velocidad dada por un determinado tiempo de relajación ( )τ
que estará directamente relacionado con el tiempo característico de las rotaciones
moleculares posibles dentro del medio a estudio. Estos tiempos corresponden
normalmente a frecuencias en el rango de microondas e infrarrojo lejano.
Para tratar este problema, Debye propuso que el comportamiento de los
dipolos bajo la acción de un campo es el típico comportamiento asintótico ( )∞→t de
los fenómenos transitorios. Por tanto, la polarización de orientación vendrá dada por la
expresión:
( )
−⋅=
− τt
dsO ePtP 1rr
(2.20)
siendo dsPr
la polarización de saturación y OPr
denota la contribución de la polarización
de orientación a la polarización total.
Figura 2.6: Polarización de orientación en función del tiempo
Si derivamos la expresión de la polarización de orientación respecto al tiempo
obtenemos la ecuación de relajación:
( ) ( )ττ
τ tPPe
Pdt
tPd OdstdsO
rrrr−
=⋅=− (2.21)
Consideramos ahora un campo armónico, tjeEE ⋅⋅−⋅= ω0 . Si suponemos válida
la ecuación de relajación, con la salvedad de que ahora la polarización dipolar de
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
16
saturación depende del tiempo ( )( )tPP dsds
rr= debido a que para cada valor del campo
eléctrico dsPr
toma un valor distinto, la ecuación de relajación (2.21) toma la forma:
( ) ( ) ( )τ
tPtPdt
tPd OdsO
rrr−
= (2.22)
Evidentemente, también tendremos que añadir la contribución a la
polarización debida a los mecanismos de distorsión que se producen hasta altas
frecuencias ∞Pr
. Esta contribución a la polarización vendrá dada por:
( ) EEPrrr
⋅−=⋅⋅= ∞∞∞ 00 εεχε (2.23)
donde ∞ε y ∞χ son las contribuciones de los procesos de alta frecuencia a la constante
dieléctrica y susceptibilidad respectivamente.
Teniendo en cuenta todo lo anterior, la polarización de saturación ( )tPds será igual a:
( ) ( ) ( ) ( ) EEEPPtP sssds
rrrrrr⋅−=⋅−−⋅−=−= ∞∞∞ εεεεεε 00 (2.24)
donde sPr
y sε serán las contribuciones a la polarización cuando la frecuencia del
campo externo que la produce sea nula, es decir, la contribución estática.
Por tanto, si sustituimos el valor de ( )tPds
r resulta que:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]tPtEdt
tPdOs
Orr
r
−⋅−⋅= ∞εετ1 (2.25)
y si integramos esta ecuación obtenemos ( )tPO
r:
( ) ( )tEi
ectP st
O ⋅⋅⋅−
−+⋅= ∞−
τωεετ
1
r (2.26)
donde:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
17
τt
ec −⋅ es un término transitorio que desaparece cuando t es muy grande.
( )tEi
s ⋅⋅⋅−
− ∞
τωεε
1 es un término estacionario.
Para tiempos grandes el término transitorio desaparece y la polarización de
orientación es:
( ) ( )tEi
tP sO
rr⋅
⋅⋅−−
= ∞
τωεε
1 (2.27)
y como sabemos que ( ) ( )tEtP dO
rr⋅⋅= χε 0 y que
0
0
εεε
χ−
=d , tenemos la siguiente
igualdad:
τωεε
εε⋅⋅−
−=− ∞
is
10 ⇒ τω
εεεε
⋅⋅−−
+= ∞
is
10 (2.28)
Una vez obtenida la permitividad podemos despejar ambas componentes, real
e imaginaria:
220 1 τωεε
εε⋅+
−+=′ ∞s (2.29)
( )∞−⋅⋅+
⋅=′′ εε
τωτωε s221
(2.30)
Las ecuaciones (2.29) y (2.30) son conocidas como ecuaciones de Debye, cuyas
componentes se representan en la figura 2.7.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
18
Figura 2.7. Parte real e imaginaria de la permitividad en función de ω⋅τ.
Como podemos observar en las gráficas anteriores, para τ
ω 1≈ , ε ′ decrece
mientras que ε ′′ tiene un máximo. Este comportamiento es el comportamiento general
de un sistema que relaja en función de la frecuencia.
Por tanto, lo que ocurre en estos casos es que:
A frecuencias bajas los dipolos siguen al campo.
A frecuencia τ
ω 1≈ se produce un tránsito de una zona a otra y un pico en la
gráfica de ε ′′ que nos indica que se produce absorción de energía.
A frecuencias altas los dipolos no pueden seguir el campo.
Podemos hacer experimentos muy interesantes para sacar τ e incluso
podemos obtener la dependencia de τ con la temperatura ( )( )Tττ = . Así, si medimos
( )Tεε = a una frecuencia fija, como τ cambia con T , podremos obtener la
dependencia térmica de los tiempos de relajación.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
19
Experimentalmente lo que se observa es que cuanto mayor es la temperatura
menores son los tiempos de relajación. Además, también se ve que:
Cuando extωτ≈
1 , donde extω es la frecuencia del campo externo, se produce el
proceso de Debye.
Cuando extω es muy grande el proceso se da a mayores temperaturas.
En la figura 2.8 se muestra la dependencia con la temperatura obtenida
experimentalmente de ε ′ y ε ′′ para el hielo.
Figura 2.8: Dependencia de la constante dieléctrica del hielo con la temperatura a diferentes
frecuencias [ Smyth y Hitchcock, J. Am. Chem. Soc. 54, 4631 (1932)].
En la figura 2.8 puede observarse como conforme aumenta la frecuencia del
campo externo la constante dieléctrica va disminuyendo hasta que para muy alta
frecuencia toma el valor debido a los mecanismos de distorsión (polarización iónica y
electrónica).
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
20
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
21
3. CARACTERIZACIÓN DE DIELÉCTRICOS.
3.1 Propagación de ondas guiadas.
Las técnicas electromagnéticas utilizadas para la caracterización de
dieléctricos necesitan de un amplio conocimiento de la propagación de ondas
electromagnéticas guiadas, de modo que vamos a introducir brevemente los conceptos
básicos necesarios.
La distribución de campos electromagnéticos en el interior de una guía de
ondas puede obtenerse mediante la resolución de las ecuaciones de Maxwell y la
aplicación de las condiciones de contorno que correspondan en cada caso:
libreD ρ=⋅∇rr
0=⋅∇ Brr
dtBdEr
rr−=∧∇
dtDdJH c
rrrr+=∧∇ (3.1)
En los puntos en los que no hay cargas ni corrientes, y en régimen armónico,
los campos Er
y Hr
satisfacen la ecuación de ondas homogénea:
02
222 =
∂∂⋅−∇
tEkEr
rr
02
222 =
∂∂⋅−∇
tHkHr
rr (3.2)
donde k es el número de ondas:
( )ωεσωµ jjk −=2 (3.3)
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
22
y σ , ε y µ son la conductividad, constante dieléctrica y permeabilidad magnética del
medio a través del cual se están propagando los campos electromagnéticos.
La solución general de estas ecuaciones de onda, que corresponde a la
propagación libre de los campos, puede expresarse como combinación lineal de ondas
planas, de la forma:
( ) ( )rktjeEtrErrrrr ⋅−⋅⋅⋅= ω
0,
( ) ( )rktjeHtrHrrrrr⋅−⋅⋅⋅= ω
0, (3.4)
donde:
El número de ondas es: µεω ⋅⋅=kr
, caso particular de la ecuación (3.3) para
medios dieléctricos perfectos (conductividad nula).
La velocidad de fase es: ( ) 21−⋅= εµFv .
La resolución de la distribución de campos en el interior de un sistema guiado,
consiste pues en la resolución de las ecuaciones (3.2) restringidas por las siguientes
condiciones de contorno en la superficie de separación entre el medio que rellena la guía
y el medio que la limita:
( ) 012 =−× EEnrrr
( ) SJHHnrrrr
=−× 12
( ) σ=−⋅ 12 DDnrrr
( ) 012 =−× BBnrrr (3.5)
donde SJr
y σ representan la densidad de corriente y densidad de carga acumulada en
la superficie de contorno en cuestión.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
23
Modos del campo.
En un sistema guiado existe una dirección de propagación que podemos elegir
coincidente con el eje OZ y una sección transversal a esta dirección de propagación que
se mantiene constante conforme aumenta el valor de la coordenada z. Como ya se ha
dicho, en el espacio interior a dicho sistema guiado se verifica la ecuación de ondas
(3.2).
Por un lado, las soluciones obtenidas en el interior de la guía las podremos
descomponer espectralmente como suma de ondas planas de diferente frecuencia. Por
otro lado, podremos descomponer dicha soluciones como suma a los diferentes modos
del campo, es decir:
( ) ( )∫ ∑+∞
∞−
±±= tj
n
zn eeREdtRE n ωγωω ,,rrrr
( ) ( )∫ ∑+∞
∞−
±±= tj
n
zn eeRHdtRH n ωγωω ,,rrrr
(3.5)
siendo Rr
el vector de posición correspondiente a un punto en el interior de la guía, nEr
y nHr
las amplitudes de los campos del modo n-ésimo y nγ la constante de propagación
correspondiente a dicho modo.
Debido a las propiedades de simetría traslacional del problema, los campos
pueden descomponerse en una componente transversal y una componente en la
dirección de propagación completamente independientes:
( ) ( ) ( )ztREtREtRE zT)rrrrr
,,, +=
( ) ( ) ( )ztRHtRHtRH zT)rrrrr
,,, += (3.6)
teniendo en cuenta que las componentes transversales de los campos están ligadas a
través de la relación:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
24
( ) ( )( )MODOTMODO
MODOT EzZ
Hr)r
×=1 (3.7)
donde MODOZ denota la impedancia característica de cada uno de los modos del campo,
que para el caso de los modos TE y TM son:
ωεγ
jZTM =
γωµjZTE = (3.8)
Notar que solo especificamos las impedancias de los modos TE y TM debido a
que en una guía formada por un único conductor como va a ser nuestro caso, no se
propagan modos TEM (D. K. Cheng, 1989).
Teniendo en cuenta las expresiones anteriores y haciendo uso del operador:
zzT ∂∂
+∇≡∇ )rr (3.9)
las ecuaciones de Maxwell (3.1) pueden expresarse de la siguiente manera:
zz EzE )r= (3.10)
( ) zEzET)r)r
××= (3.11)
( ) zTTz EBzj
zE
∇=×−∂∂ rr)r
ω (3.12)
( ) zTTz BEzj
zB
∇=×−∂∂ r)r
ωεµ (3.13)
( ) ZT BjEz ω−=×∇⋅rr) (3.14)
( ) ZT EjBz ωεµ−=×∇⋅rr) (3.15)
zEE z
TT ∂∂
−=⋅∇r
rr (3.16)
zBB z
TT ∂∂
−=⋅∇r
rr (3.17)
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
25
Si consideramos el caso de modos TM, es decir, anulamos la componente z
del campo Hr
, podemos comprobar que cada una de las componentes de los campos
eléctrico y magnético pueden ser obtenidos a partir de zE . Es decir, la componente z
del campo eléctrico es la función generatriz del modo TM, y satisface la ecuación de
ondas:
( ) 0)(22 =+∇ TMzcT Ek (3.18)
donde 2ck es un número real positivo que va a fijar la frecuencia de corte.
Por último, si sobre la solución de esta ecuación imponemos que la
componente z del campo eléctrico sobre la superficie conductora que delimita la guía
sea nula:
( ) 0)( =CONDUCTORTMzE (3.19)
se obtiene la solución para los campos en el modo TM:
( ) zTc
TMT Ek
E ∇±=rr
2
γ (3.20)
( ) ( ))(1
TMTTM
TMT EzZ
Hr)r
×= (3.21)
22ckkj −=γ (3.22)
En la ecuación (3.22) se ve mas claramente el significado de ck , ya que si el número de
ondas de la onda libre k es menor que ck , la constante de propagación γ va a ser
puramente real, lo que va a implicar que no se propague la onda en el interior de la
guía.
Análogamente, la existencia de un modo TE es debida a la componente z del
campo magnético, de forma que las configuraciones de campos se pueden obtener sin
mas que resolver la ecuación equivalente a (3.18) junto con sus condiciones de
contorno:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
26
( ) 0)(22 =+∇ TEzcT Hk (3.23)
( ) 0)( =∇⋅CONDUCTORTEzHn
rr (3.24)
( ) 0=TEzE (3.25)
y como consecuencia de las cuales se obtiene:
( ) zTc
TET Hk
H ∇−=rr
2
γ (3.26)
( ) ( ))(TETTETET HzZEr)r
×−= (3.27)
En la parte experimental expuesta a continuación se ha utilizado una guía de
ondas rectangular por la cual, como ya hemos dicho, no pueden propagarse modos
TEM. Por tanto, resolviendo las anteriores ecuaciones e introduciendo la geometría de
nuestro problema en particular, obtenemos:
22
2
+
=
an
bmkc
ππ (3.28)
donde a y b son las dimensiones internas de la sección transversal de la guía (ver
figura 4.2) y m , n representan dos números enteros.
Cada par m , n determina el valor de ck para un modo diferente y siendo el
TE10 el correspondiente a frecuencia de propagación mas baja, denominado modo
fundamental. La guía utilizada en la parte experimental tiene unas dimensiones tales que
este va a ser el único modo que va a propagarse.
Por último, notar que la longitud de onda de la onda libre λ , la longitud de
onda de corte c
c kπλ 2
= y la longitud de onda guiada Gλ están relacionadas a partir de la
expresión:
222
111
CG λλλ+= (3.29)
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
27
3.2 Líneas de transmisión.
Vamos a centrar nuestra atención en el comportamiento de una línea de
transmisión uniforme, es decir, una guía de ondas tratada como un circuito eléctrico,
cuando al final de la misma se coloca una impedancia de carga LZ . Para ello, vamos a
tomar como origen para la coordenada z , el punto de conexión del generador con la
línea:
Figura 3.1: Línea de transmisión cargada con una impedancia ZL adaptada al generador. Se
toma como origen de coordenadas el punto de conexión con el generador.
Consideraremos la situación de línea adaptada en el que la impedancia interna
del generador es igual a la impedancia intrínseca de la línea.
En este caso, la solución de la ecuación de ondas para el voltaje y la intensidad
en una línea de transmisión puede expresarse como:
( ) zz eVeVzV ⋅−⋅−+ ⋅+⋅= γγ00 (3.30)
( ) zz eIeIzI ⋅−⋅−+ ⋅+⋅= γγ00 (3.31)
donde +0V , −
0V , +0I e −
0I son las amplitudes de las ondas viajeras hacia la derecha (+) y
hacia la izquierda (-) de intensidad y de tensión respectivamente.
Se define la impedancia característica de una línea como:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
28
µε ⋅=
10Z (3.32)
con ε y µ constante dieléctrica y permeabilidad magnética del medio que ocupa la
línea de transmisión.
Los valores de −0V , +
0I e −0I están interrelacionados con la impedancia
característica del medio a través de:
−
−
+
+
−==0
0
0
00 I
VIV
Z (3.33)
En el punto lz = , además de cumplirse estas ecuaciones, vamos a tener que
( ) ( )lIZlV L ⋅= , luego podremos escribir:
( ) ll eVeVlV ⋅−⋅−+ ⋅+⋅= γγ00 (3.34)
( ) llll eZV
eZV
eIeIlI γγγγ ⋅−⋅=⋅+⋅=−
⋅−+
⋅−⋅−+
0
0
0
000 (3.35)
A partir de (3.34) y (3.35) podemos expresar +0V y −
0V en función del voltaje e
intensidad en el punto lz = :
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]lIZZelIZlVeV L
ll
⋅+⋅=⋅+⋅=⋅⋅
+000 22
γγ
(3.36)
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]lIZZelIZlVeV L
ll
⋅−⋅=⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅−
−000 22
γγ
(3.37)
Introduciendo estos dos resultados en (3.30) y (3.31) obtenemos la expresión
general para el voltaje y la intensidad en función de las impedancias de la guía y de
carga como:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
29
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]zlL
zlL eZZeZZlIzV −⋅−−⋅ ⋅−+⋅+⋅= γγ
002 (3.38)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]zlL
zlL eZZeZZ
ZlIzI −⋅−−⋅ ⋅−−⋅+⋅⋅
= γγ00
02 (3.39)
Estas funciones pueden ser escritas de la forma siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]zsenhZzZlIzV L ′⋅⋅+′⋅⋅⋅=′ γγ 0cosh (3.40)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]zZzsenhZZ
lIzI L ′⋅⋅+′⋅⋅⋅=′ γγ cosh00
(3.41)
El coeficiente de reflexión, definido como el cociente entre las amplitudes de
tensión reflejada e incidente, viene dado en el punto lz = por:
0
0
ZZZZ
VV
L
L
+−
==Γ +
−
(3.42)
Considerando que el coeficiente de reflexión es una magnitud cuyo módulo
siempre va a ser menor o igual que la unidad, podemos expresarlo en forma módulo-
argumento como:
Γ⋅⋅Γ=Γ θje (3.43)
Línea sin pérdidas.
Si consideramos el caso particular de una línea sin pérdidas, se cumple que
βγ ⋅= j . Si tenemos en cuenta la forma módulo-argumento del coeficiente de
reflexión, podemos expresar el voltaje y la intensidad a lo largo de la línea de la
siguiente forma:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
30
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ]zljzljL eeZZlIzV −⋅−⋅−⋅⋅ Γ⋅Γ+⋅⋅+⋅= βθβ 2
0 12
(3.44)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ]zljzljL eeZZ
ZlIzI −⋅−⋅−⋅⋅ Γ⋅Γ−⋅⋅+⋅⋅
= βθβ 20
0
12
(3.45)
Por tanto, el voltaje y la intensidad en una línea de transmisión cargada, tienen
forma de onda estacionaria. Debido a ello se define la razón de onda estacionaria
(S.W.R, standing wave ratio) como:
Γ−
Γ+==
11
MIN
MAX
VV
S (3.46)
El módulo del coeficiente de reflexión podemos expresarlo en función de la
razón de onda estacionaria:
11
+−
=ΓSS (3.47)
Línea cortocircuitada.
Cuando la guía esta terminada en cortocircuito, la impedancia de carga será
0=LZ y el coeficiente de reflexión en la carga será 1−=Γ , como puede verse en
(3.42) lo que equivale a 0=S .
Para el estudio de líneas de transmisión, suele ser útil introducir la coordenada
zlz −=′ que mide distancias tomando como origen el punto donde está situada la
carga:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
31
Figura 3.2: En el estudio de líneas de transmisión se toma como origen de
coordenadas la carga y se miden distancias respecto de ella.
El voltaje y la intensidad en cualquier punto de la línea pueden expresarse en
función de la coordenada z′ como:
( ) ( ) ( ) [ ][ ]zjzjL eeZZzIzV ′⋅⋅−⋅′⋅⋅ Γ⋅Γ+⋅⋅+⋅
=′=′ βθβ 2
0 12
0 (3.48)
( ) ( ) ( ) [ ][ ]zjzjL eeZZ
ZzIzI ′⋅⋅−⋅′⋅⋅ Γ⋅Γ−⋅⋅+⋅⋅=′
=′ βθβ 20
0
12
0 (3.49)
Las posiciones de máximo y mínimo para ( )zV ′ e ( )zI ′ a lo largo de la línea
estarán en los puntos que cumplan las siguientes condiciones:
Máximos de ( )zV ′ , y por tanto, mínimos de ( )zI ′ .
nz ⋅⋅=−′⋅⋅ Γ πθβ 22 con K3,2,1,0=n (3.50)
Máximos de ( )zI ′ y mínimos de ( )zV ′ .
( ) πθβ ⋅+⋅=−′⋅⋅ Γ 122 nz con K3,2,1,0=n (3.51)
Utilizando las ecuaciones (3.48) y (3.49) podemos observar que en los puntos
de la línea de transmisión donde aparecen máximos de tensión, la impedancia de la línea
vendrá dada por:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
32
( ) ( )( ) 00 1
1ZSZ
zIzVzZ ⋅=
Γ−
Γ+⋅=
′′
=′ (3.52)
y en los puntos en los que la tensión es mínima, la impedancia será:
( ) ( )( ) 00
111
ZS
ZzIzVzZ ⋅=
Γ+
Γ−⋅=
′′
=′ (3.53)
En la figura 3.3 podemos ver como varían la tensión y la intensidad en la
línea conforme nos alejamos del origen ( 0=′z ) cuando la línea está cortocircuitada.
Figura 3.3: Evolución teórica del voltaje e intensidad en el interior de una línea cargada con una
impedancia ZL=0.
Por tanto, la impedancia en cualquier punto de la línea vendrá dada por:
( ) ( )( )
( )( )zZZ
zZZZ
zIzVzZ
L
L
′⋅⋅+′⋅⋅+
⋅=′′
=′γγ
tanhtanh
0
00 (3.54)
En el caso particular de una línea sin pérdidas ( βγ ⋅= j ), podemos escribir (3.54)
como:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
33
( ) ( )( )zZjR
zRjZRzZ
L
L
′⋅⋅⋅+′⋅⋅⋅+
⋅=′ββ
tantan
0
00 (3.55)
donde hemos denotado por 0R a la impedancia característica de la línea debido a que en
una línea sin pérdidas dicha impedancia es resistiva.
3.3 Fundamentos del método de la guía cortocircuitada. Método de Roberts-Von Hippel.
Para la determinación de constantes dieléctricas de distintos medios se necesita
de una guía de ondas cortocircuitada y parcialmente rellena por el dieléctrico a
caracterizar.
Figura 3.4. Guía de ondas rellena de una muestra dieléctrica a lo largo de
una longitud conocida de esta.
En nuestro caso vamos a trabajar con una guía rectangular en la que se va a
propagar un modo TE10 por lo que la impedancia de la guía en las zonas vacía, y rellena
de dieléctrico, vendrán dada por:
0γµω ⋅⋅
=jZa (3.56)
1γµω ⋅⋅
=jZb (3.57)
con 0γ y 1γ constantes de propagación en vacío y dieléctrico respectivamente.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
34
Ahora, nos va a interesar el valor de la impedancia de entrada en el punto de
interfase vacío-dieléctrico ( )eZ . Así, teniendo en cuenta que 0=LZ por estar la línea
terminada en cortocircuito y teniendo en cuenta también (3.56) obtenemos lo siguiente:
( )LZZ be ⋅⋅= 1tanh γ (3.58)
Usando (3.56) y (3.57) podemos rescribir esta expresión como:
( )LZZ ae ⋅⋅⋅= 11
0 tanh γγγ
(3.59)
Así, a efectos de cálculo podemos sustituir el tramo de línea rellena de dieléctrico por
una impedancia de carga de valor eZ .
Supongamos que nos situamos en un punto de la línea minz en el cual la
tensión es mínima. Según (3.54) la impedancia de la línea en ese punto será:
( ) ( )( )min0
min0min tanh
tanhzZZzZZ
ZzZea
aea ⋅⋅+
⋅⋅+⋅=
γγ
(3.60)
Además, según (3.52) esta impedancia también puede ser escrita como:
( ) aZSzZ ⋅= −1min (3.61)
Si igualamos (3.60) y (3.61) y despejamos eZ de dicha igualdad obtenemos:
( )( )min0
min0
tanhtanh1
zSzS
ZZ ae ⋅−⋅⋅−
⋅=γγ
(3.62)
Igualando esta expresión a (3.59), multiplicando ambos miembros de la igualdad por 1−L y reordenando tenemos lo siguiente:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
35
( ) ( )( )
⋅⋅−⋅⋅−
⋅=
⋅⋅
min0
min0
01
1
tanhtanh11tanh
zSzS
LLL
γγ
γγγ (3.63)
A continuación vamos a proceder a modificar el segundo término de (3.63). En
primer lugar, vamos a utilizar que la constante de propagación 0γ es puramente
imaginaria (suponemos línea sin pérdidas) y de valor:
g
jjλπβγ 2
00 ⋅=⋅= (3.64)
siendo gλ la longitud de onda guiada. Además, como ( ) xjxj tantanh ⋅−=⋅ podemos
expresar (3.63) como:
( ) ( )( )
⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅=
⋅⋅
min0
min0
01
1
tantan11tanh
zjSzSj
LjLL
ββ
βγγ (3.65)
La posición del máximo de tensión puede escribirse en función del espesor de
la muestra dieléctrica y de la posición del máximo de tensión medida respecto del
cortocircuito como:
Llz −=max . (3.66)
Figura 3.5: Esquema del cambio de coordenadas para la posición del máximo de tensión
(mínimo de señal).
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
36
Sabemos que en una guía vacía, las posiciones en las que tenemos un mínimo
de tensión están situadas según (3.51). Como en este caso la línea está terminada en
cortocircuito tendremos que πθ =Γ (por ser 1−=ΓL ). Por tanto se va a cumplir:
( ) πβ ⋅+=⋅ 10 nl (3.67)
De esta forma:
( ) ( )( ) 01tantan 00 =⋅+=⋅ πβ nl (3.68)
Entonces, utilizando lo anterior y la relación trigonométrica:
( )βαβαβα
tantan1tantantan⋅
±=±
m (3.69)
tenemos finalmente que:
( ) ( )[ ] ( )[ ]000min0 tantantan lLlLlz −−⋅=−⋅=⋅ βββ (3.70)
Con esta última relación podemos escribir (3.65) de la siguiente forma:
( ) ( )[ ]( )[ ]
+−⋅⋅++−⋅⋅⋅+
⋅⋅=
⋅⋅
LlljSLllSj
LjLL
00
00
01
1
tantan11tanh
ββ
βγγ
(3.71)
La ecuación (3.71) es una ecuación trascendente y en su resolución están basados los
resultados experimentales expuestos en la parte final del texto. Dicha ecuación no
admite solución analítica y debe ser resulta por métodos gráficos y/o numéricos. En este
caso, la resolución se logra mediante la ayuda de un programa de cálculo.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
37
4. ADQUISICIÓN Y TRATAMIENTO DE LOS DATOS.
4.1 EL montaje experimental.
El dispositivo utilizado para la determinación de constantes dieléctricas
mediante el método de la guía cortocircuitada consta esencialmente de los siguientes
elementos:
Figura 4.1: Dibujo esquemático de la disposición de los diferentes elementos en el montaje
experimental.
Un diodo gunn con su correspondiente alimentación y modulación que genera
una señal 9.23 GHz.
Una guía rectangular ranurada de dimensiones interiores.
mma 030.10= mmb 298.22=
Figura 4.2: Dimensiones internas de la guía rectangular
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
38
Un medidor de ondas estacionarias que proporciona valores de tensión relativos a
una referencia. En particular, el medidor proporciona valores en escala decibélica
de la forma:
( )VV
dBV 0log10 ⋅= (4.1)
donde 0V es la tensión de referencia y V la detectada.
Una sonda ( antena diodo actuando como receptora) acoplada a un sistema que
permite su desplazamiento a lo largo de la guía. El movimiento se realiza a partir
de un tornillo micrométrico que nos proporciona la posición de la sonda respecto
a una cierta posición de referencia.
Figura 4.3: Vista del sistema de adquisición que permite detectar mediante la sonda los
máximos de señal y mediante la escala calibrada las posiciones de dichos máximos en la guía.
Una serie de células de las mismas dimensiones transversales que la guía y
diferentes espesores cuya misión va a ser la de servir de alojamiento para la
muestra cuya constante dieléctrica vayamos a determinar. Debido a que en
muchas ocasiones nos va a interesar medir muestras líquidas, la parte de la guía
rectangular a la que se va a conectar la muestra está terminada en una ventana de
cuarzo de manera que el líquido quede confinado en la zona de interés.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
39
Figura 4.4. Célula de espesor L que se sitúa al final de la guía como contenedor de
la muestra problema..
Por último, tras la célula portamuestras se sitúan ambos, célula y cortocircuito,
conectados a un sistema de calentamiento. El sistema consta de un contenedor
de aceite, calentado mediante una resistencia, y una bomba a motor que hace
circular aceite sobre el módulo que contiene la muestra dieléctrica elevando así
su temperatura. Dicho sistema permite controlar y visualizar en cada momento la
temperatura a la que se encuentra la muestra. La parte contigua de la guía es a su
vez refrigerada por agua para evitar daños y dilataciones por calentamiento.
4.2 Adquisición y tratamiento.
La determinación de la constante dieléctrica de un medio material a partir del
método de la guía cortocircuitada exige la resolución de la ecuación trascendente
(2.33) que realizaremos por métodos numéricos. Los parámetros experimentales
necesarios para la resolución de dicha ecuación son:
Las posiciones del primer mínimo de ondas estacionarias cuando la guía no esta
cargada 0l y la posición del mínimo l cuando la guía esta cargada que según
(3.1) corresponderá a un máximo en le señal ( )dBV detectada por el medidor.
Definimos el desplazamiento relativo md como:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
40
Llldm +−= 0 (4.2)
siendo L el espesor de la muestra dieléctrica. La posición de estos máximos se
determina a partir de los valores obtenidos desplazando la sonda a lo largo de la
guía ranurada, cuando observamos en el medidor de ondas estacionarias la
máxima señal.
La diferencia entre el máximo y el mínimo de señal obtenido tanto en línea
cargada como en línea en vacío:
( ) ( )MINMAX dBVdBV −=0α (4.3)
( ) ( )MINMAXDIEL dBVdBV −=α (4.4)
Estas relaciones permiten calcular la razón de ondas estacionarias para una guía
de ondas rellena de vacío 0S o del dieléctrico que estemos utilizando en cada
caso DIELS a partir de (3.1). Una vez calculados estos valores se puede obtener la
razón de ondas estacionarias en la guía cargada a partir de la expresión:
DIELSSS111
0
+= (4.5)
Con los parámetros 0α , DIELα y md y conocida la frecuencia que estamos
utilizando en el interior de la guía, mediante un programa de cálculo obtenemos la parte
real e imaginaria de la constante dieléctrica del medio que deseamos caracterizar. Cabe
indicar, que en todo el proceso de la determinación experimental de los parámetros
necesarios para la resolución de la ecuación trascendente, es necesario mantener estable
la temperatura de la muestra. De esta manera, podremos repetir el proceso descrito para
diferentes temperaturas consiguiendo así la evolución térmica de la constante
dieléctrica.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
41
4.3 Resultados.
Perfil de ondas estacionarias.
Antes de proceder a la medida de la permitividad compleja de medios
dieléctricos se comprobó como se distribuye la señal en el interior de la guía cuando
está cortocircuitada. A partir de un barrido de medidas tomando los valores de ( )dBV
para diferentes puntos se determinó la distribución de ondas estacionarias.
Mediante el mismo procedimiento, el perfil de señal en el interior de la guía
cuando esta se encontraba cargada con metanol para comprobar el efecto que produce
en la señal en vacío el introducir un medio material al final de la guía.
40 80 120
25
30
35
40
45
50
55
60
65
23.482mm
23.482mm
metanol aire
V (d
B)
Posición (mm)
Figura 4.5. Resultados experimentales obtenidos para la distribución de ondas en la guía
cuando esta se encuentra en vacío y cargada con una muestra de metanol.
En la figura 4.5 se pone de manifiesto el desplazamiento de los máximos (o
mínimos) de señal cuando la guía esta cargada respecto a la guía de referencia (guía en
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
42
vacío) así como la atenuación producida para el metanol, considerado como un
dieléctrico estándar. Tal y como se ha demostrado a lo largo de la sección 3.3 en la
obtención de la ecuación trascendente, es este hecho el que va a permitir la medida de
la constante dieléctrica en función de la temperatura.
Notar además que en la figura no estamos dando la distancia desde la sonda
hasta la posición del cortocircuito, sino que el cero de la escala que mide las posiciones
está situado en un lugar arbitrario a lo largo de la guía (o fuera de ella). Sin embargo,
este hecho no conlleva ningún problema ya que, como hemos dicho previamente, el
parámetro necesario para la resolución de la ecuación trascendente no es ninguna
posición absoluta, sino la distancia relativa entre dos posiciones md .
Por último, a partir de la determinación del perfil de ondas estacionarias en el
interior de la guía podemos obtener la longitud de onda guiada gλ . Como la posición de
un máximo de señal (mínimo de tensión) viene dada por (3.51), se puede obtener
fácilmente que la distancia que separa dos máximos de señal viene dada por:
2maxgz
λ=∆ (4.6)
según lo cual la longitud de onda guiada es:
mmg 964.46=λ (4.7)
La longitud de onda de corte del modo 10TE viene dada, según (3.28), por:
bkc
C 22==
πλ (4.7)
Teniendo en cuenta que la longitud de onda libre es mm 517.32=λ y la expresión
(3.29) podemos calcular la longitud de onda guiada a partir de los parámetros
geométricos de la guía obteniendo:
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
43
( ) mmTEORICAg 516.47=λ (4.8)
Este cálculo nos permite comprobar que el método de la guía cortocircuitada
es útil en el cálculo de gλ con relativa precisión y que en este caso hemos cometido un
error del 1.16 %.
Constante dieléctrica del metanol.
Mediante el procedimiento anterior se ha determinado experimentalmente la
dependencia de la constante dieléctrica relativa del metanol, para la frecuencia de
trabajo de 9.23 GHz, con la temperatura.
El procesado de los parámetros experimentales por el programa de cálculo ha
proporcionado los resultados expuestos en la tabla 1:
dB 6.340 =α GHzf 23.9= mmL 0.3=
T (ºC) dm (mm) α (dB) ε´ ε´´ 22,3 0,85 10,1 7,149 8,273 27,9 0,80 10,4 7,262 8,632 31,6 0,70 10,5 7,645 8,806 35,5 0,70 10,8 7,607 9,153 40,8 0,65 11,0 7,817 9,414 43,8 0,60 11,1 8,056 9,546 47,9 0,65 11,1 7,809 9,537 52,0 0,45 11,7 8,924 10,206
Tabla 1. Valores experimentales obtenidos para la permitividad relativa del metanol.
Como podemos observar en la tabla, en este caso estamos limitados a un
pequeño rango de temperaturas debido a que el punto de ebullición del metanol es de
64,5 ºC. Sin embargo, debido a que las condiciones de presión en el interior de la célula
portamuestras varían al aumentar la temperatura, respecto de la presión atmosférica, no
podremos aumentar la temperatura de la muestra hasta dicho punto.
En la figura 4.6 se puede comprobar como la variación de la constante
dieléctrica con la temperatura, tanto la parte real como la parte imaginaria, sigue una
tendencia claramente creciente y de una forma suave. Así pues, no aparece ninguna
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
44
temperatura en particular para la cual se produzca un fenómeno de relajación
dieléctrica.
0
5
10
15
20 30 40 50 60
Parte realParte imaginaria
Con
stan
te d
ielé
ctri
ca
Temperatura (ºC) Figura 4.6. Evolución de la constante dieléctrica del metanol con la temperatura.
0
0.5
1
1.5
2
20 30 40 50 60
Tan
gent
e de
pér
dida
s
Temperatura (ºC) Figura 4.7. Evolución de la tangente de pérdidas del metanol con la temperatura.
Observamos también como la constante dieléctrica del metanol admite
perfectamente un ajuste a una dependencia lineal con la temperatura en la cual la
pendiente es prácticamente nula:
( ) ( )191.0978.6010.0047.0 ±+⋅±=′ Tε
( ) ( )191.0978.6005.0059.0 ±+⋅±=′′ Tε (4.9)
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
45
Esto nos indica que en este rango de temperaturas no se produce una modificación
significativa del comportamiento del metanol bajo la acción del campo. En la figura
4.7 queda de manifiesto con mayor claridad ya que la tangente de pérdidas permanece
prácticamente constante con la temperatura, admitiendo un ajuste a una recta paralela al
eje de las temperaturas.
Constante dieléctrica del etilenoglicol.
Otra muestra líquida estudiada es el etilenoglicol, considerado como un
dieléctrico patrón, cuyos resultados obtenidos se muestran en la tabla 2. En este caso, el
punto ebullición del compuesto de 197 ºC nos permite caracterizarlo en un rango más
amplio de temperaturas.
dB 2.270 =α GHzf 23.9= mmL 0.3=
T (ºC) dm (mm) α (dB) ε´ ε´´ 21,6 1,95 7,5 5,868 5,325 30,9 1,40 7,0 6,774 5,661 37,2 0,7 9,9 7,71 8,176 47,2 0,8 10,8 7,159 9,101 51,6 0,55 10,5 8,307 9,646 61,6 0,55 12,5 8,479 12,963 66,3 0,3 13,9 11,23 13,292 76,2 0,3 14,5 11,83 14,361
Tabla 2. Valores experimentales obtenidos para la permitividad del etilenoglicol.
Como se ve en la figura 4.8, para el etilenoglicol si se observa una fuerte
dependencia con la temperatura de la respuesta del medio a la acción del campo.
En la figura 4.9 queda de manifiesto una clara variación del comportamiento
del etilenoglicol al modificar su temperatura, apareciendo un pico en la tangente de
pérdidas a una temperatura en torno a los 60 ºC.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
46
3
8
13
18
20 40 60 80 100
Parte realParte imaginaria
Con
stan
te d
ielé
ctri
ca
Temperatura (ºC) Figura 4.8. Evolución de la constante dieléctrica relativa del etílenoglicol con la temperatura.
0
0.5
1
1.5
2
20 40 60 80 100
Tan
gent
e de
pér
dida
s
Temperatura (ºC)
Figura 4.9. Evolución de la tangente de pérdidas con la temperatura.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
47
Constante dieléctrica del K2HPO4.3H2O.
La muestra más interesante debido a las conclusiones que se pueden extraer de
su caracterización es el fosfato K2HPO4.3H2O. Dicha muestra es un compuesto sólido
por lo que nos va a permitir una mayor maniobrabilidad así como un mayor aumento de
temperatura, facilitando la caracterización en un amplio rango térmico.
En un barrido en temperatura se obtuvieron los resultados para la constante
dieléctrica de una masa de 1.165 g de muestra en un rango de temperatura de entre 50 y
160 grados centígrados. Dichos resultados están expuestos en la tabla 3:
dB 0.300 =α GHzf 23.9= mmL 65.2=
T (ºC) dm (mm) α (dB) ε´ ε´´ 50,3 4,78 19,4 6,029 0,805 55,6 -0,29 14,1 17,226 11,051 59,8 -1,02 14,0 17,397 6,391 64,9 -0,16 14,4 17,161 12,393 69,9 0,14 15,7 17,006 17,330 75,2 0,31 16,0 14,762 20,028 78,9 0,04 16,0 18,717 16,353 84,9 0,51 16,2 10,251 21,498 90,1 0,18 16,6 18,293 19,505 95,2 -0,25 16,8 21,504 12,202 100,1 -0,25 16,8 21,504 12,202 103,4 -0,18 17,1 22,078 13,206 106,4 -0,15 17,2 22,172 13,766 110,4 -0,22 17,3 22,345 12,661 115,3 -0,38 16,8 21,338 10,482 120,5 -0,15 16,8 21,355 13,713 125,5 -0,25 15,2 18,774 11,916 132,0 0,08 16,0 18,227 16,875 138,0 -0,25 12,3 14,862 10,103 143,0 7,11 11,9 8,113 1,026 148,0 3,08 18,2 3,208 2,284 151,0 3,68 19,1 4,391 1,423 155,0 4,98 18,9 6,270 0,795 161,3 4,38 19,5 5,510 0,945
Tabla 3. Valores experimentales obtenidos para la permitividad del K2HPO4.3H2O.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
48
De la representación grafica de los resultados expuestos en la tabla 3 se
pueden extraer importantes conclusiones. En primer lugar hay que indicar que la
respuesta de este fosfato a la aplicación de un campo armónico de frecuencia 9.23 GHz
es muy sensible a las variaciones térmicas.
0
5
10
15
20
25
30
40 60 80 100 120 140 160 180
Parte realParte imaginaria
Con
stan
te d
ielé
ctri
ca
Temperatura (ºC) Figura 4.10. Evolución la constante dieléctrica relativa al vacío del K2HPO4.3H2O con la
temperatura.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
40 60 80 100 120 140 160 180
Tan
gent
e de
pér
dida
s
Temperatura (ºC) Figura 4.11. Evolución la tangente de pérdidas del K2HPO4.3H2O con la temperatura.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
49
Las variaciones obtenidas para la constante dieléctrica del compuesto en el
rango térmico de estudio las podemos achacar, teniendo en cuenta los resultados
obtenidos por otros autores para compuestos poli-hidratados, a un proceso de
deshidratación que tiene lugar en el rango 50 - 270 ºC. Podemos entender que a partir
de 53 ºC se comienza a producir una destrucción progresiva de la estructura cristalina
del compuesto y que en el rango más bajo de temperaturas pierde el agua de adsorción
superficial que hubiese podido adquirir. En torno a los 65 ºC, después del primer pico
en la parte imaginaria de la permitividad, el compuesto comienza a perder la molécula
de agua menos ligada a la red perdiéndose ½ molécula de agua en el rango 65 – 83 ºC.
En el rango 83 – 120 ºC el compuesto perdería de nuevo ½ molécula de agua y en el
último intervalo 120-160 ºC la segunda molécula de agua de las tres que contiene.. Se
obtiene entonces que el K2HPO4.3H2O pierde dos moléculas de su agua estructural en
el rango térmico estudiado. Notar de nuevo que estos resultados no son sino una
estimación basándonos en resultados complementarios obtenidos por A.T.D y A.T.G
para compuestos similares, ya que para poder obtener resultados precisos a cerca de los
procesos de deshidratación sería necesario un estudio más detallado del compuesto
problema.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
50
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
51
5. CONCLUSIONES.
Tras un breve recordatorio a las principales características de los medios
dieléctricos, la parte teórica de este trabajo ha centrado su atención en explicar el
método de la guía cortocircuitada de Roberts-Von Hippel utilizado posteriormente para
la determinación de la permitividad dieléctrica compleja de las muestras a caracterizar.
Una parte del experimento sobre la que no se ha hecho demasiado énfasis a lo
largo del texto, es la de la puesta a punto del dispositivo experimental. En particular,
como ya hemos comentado, la dependencia de la permitividad del metanol con la
temperatura es bien conocida a la frecuencia de trabajo de 9.23 GHz, de modo que se
utilizó este dieléctrico, así como el etilenoglicol, para la calibración del sistema de
medida.
Una vez calibrado el montaje, se ha procedido a la caracterización en función
de la temperatura del fosfato trihidratado K2HPO4.3H2O. De la determinación de la
constante dieléctrica de este compuesto hemos concluido, con reservas debido a la
necesidad de un análisis térmico del compuesto, que las fuertes variaciones en su
constante dieléctrica se deben a un proceso de deshidratación. En el rango térmico de
estudio, el fosfato pierde una molécula y media de su agua estructural a razón de ½
molécula entre 65 y 83 ºC, ½ molécula entre 83 y 120 ºC y por último ½ molécula entre
120 y 160 ºC.
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
52
Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
53
6. REFERENCIAS.
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Caracterización de dieléctricos a frecuencia de microondas
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complejas: método de Von-Hippel”, Tesina de la Universidad de
Zaragoza (1990).
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Universidad de Zaragoza (2001).
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mesure des permittivites dielectriques en bandes X et VHF”, Rev.
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[16]. J.M. Forniés-Marquina, J. Navarro, G. Vicq, “Contribución al
cálculo numérico de la permitividad dieléctrica”, Rev. Inf. Autom.
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déshydratation de quelques phospates, par leur caractérisation
diélectrique et thermique”, J. Chim. Phys. 92 (1995).
