Electronica aplicada 3

Jacobi Diego Matas UTN-FRP 2011

Electronica Aplicada 3

Universidad Tecnologica NacionalFacultad Regional Parana 25 de junio de 2011

Tipos de Ruido y distorsion.Resumen

Ruido: Perturbacion electrica que tiende a interferir con la recepcion normal de la senal transmitida.

Ruido blanco: (o termico, o de Johnson-Nyquist) Se genera por la agitacion termica (movimientoaleatorio) de los portadores de carga en un medio cuya temperatura este arriba de 0K. Sucede conindependencia del voltaje aplicado.

La velocidad de este movimiento aumenta con la temperatura en forma tal que la densidad de po-tencia de ruido termico producida es proporcional a la resistencia del conductor y a su temperaturaabsoluta, de donde proviene el nombre de ruido termico.

Tiene espectro de frecuencia plano (se relaciona con 1/1), sin embargo, resultados de mecanicacuantica indican que las fuentes termales de ruido fsico decaen a cero a frecuencias arbitrariamentealtas.

La potencia de ruido: P (n) = kBTB, voltaje cuadratico medio de ruido: V2n = 4kBTRB, y la

corriente cuadratica media I2n = 4kBTGB.

La constante de Boltzman es kB = 1,38 1023

Ruido rojo: Es conocido tambien como ruido flicker o ruido browniano en honor a Robert Brown, eldescubridor del movimiento browniano, y como ruido marron (por la traduccion del apellido Brown,que significa marron). No es un ruido muy comun, pero existente en la naturaleza. El ruido rojoesta compuesto principalmente por frecuencias graves y medias y se relaciona con 1/f2.

Ruido rosa: Ruido aleatorio que posee una densidad espectral de potencia que se relaciona a travesde 1/f con la frecuencia. El nombre deriva pues es un intermedio entre el ruido blanco y el ruido

rojo o browniano. Aparece solo cuando hay corriente y puede expresarse como i2n(f) =KI

f . Para

disminuir el ruido 1/f se suele trabajar con corriente de polarizacion muy bajas.

El ruido 1/f se presenta en semiconductores debido a la captura y recombinacion de portadoresdebido a variaciones de simetra cristalina por las impurezas, y minusculas fluctuaciones termicas.

Tambien se presenta ruido 1/f en lo contactos, o resistencias con falta de homogeneidad.

(D)Ruido de disparo: (o ruido shot) Originado por el numero fluctuante de portadores de cargasque se emiten al azar de catado a anodo.

(T)Ruido de disparo en cada union de un T.

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(T)Ruido termico en la resistencia de esparcido de base.

(T)Ruido de particion: Es la fluctuacion estadstica de la proporcion de portadores en un transistorde dos o mas junturas que parten del emisor y se divide entre colector y base.

(Ant)Proveniente de fuentes externas: Todo cuerpo con temperatura irradia energa y esta puedeser captada por la antena. Se representa como termico con una resistencia ficticia igual a la deradiacion y temperatura Tant.

(FET)Ruido termico generado en la resistencia de canal.

(FET)Ruido termico de canal acoplado a la compuerta de la capacitancia canal-compuerta.

(FET)Ruido 1/f o rosa por debajo de 100 Hz

(MOSFET)Ruido 1/f o rosa por debajo de 10 kHz

(JFET)Ruido de disparo por la corriente inversa pequena en la union de compuerta.

Saturacion: Recorta picos y genera armonicas que pueden no ser deseadas.

Voltaje de saturacion Vsat: (BJTs) La excitacion debe permanecer pequena y que no supereuna tension eficaz Veff .

En baja frecuencia Vsat coincide con VCEsat. En alta frecuencia NO, ya que esta relacionadocon el tiempo en estado de saturacion requerido para que realmente sature.

Resistencias de saturacion Ron: (FETs). Limita la salida maxima pero no afecta la operacionen la region activa.

Se presenta cuando el voltaje de drenador instantaneo mnimo es igual al producto de lacorriente de drenador por la resistencia de saturacion. min{vd(t)} = VDD IdmR = IdmRonPara evitar saturacion, VDD debe ser menor que un Veff .

Cargas reactivas: Reduce la eficiencia, provocan aumento en la disipacion de energa y puedenproducir la ruptura del secundario del transformador de acople.

Son causadas por desintonia, variacion de la impedancia del filtro de salida con la frecuencia deoperacion, la inductancia del transformador y las variaciones de la impedancia de antena.

(IMD) Distorsion de intermodulacion: consiste en productos de frecuencias que resultan en armoni-cas cercanas a la frecuencia de la portadora.

Proviene de la incapacidad de un sistema (como un amp.) de comportarse en forma lineal. Causa: Efectos de cruce por cero. Causa: Reduccion de la ganancia ante una corriente elevada. Causa: Saturacion. Causa: Variacion de la capacidad de juntura (como la de colector) con la tension aplicada

(tension de colector). Esta capacidad variable es inherente del dispositivo y su proceso defabricacion, pero su efecto es pequeno y se suelen poner capacidades mayores en paralelo parapoder calcular y compensar el efecto.

Medicion: Se mide con analizador de espectro y se usan dos senales de igual amplitud con unf 2kHz entre si. La medida es la razon entre el producto mas grande de salida con laamplitud de los tonos. Hasta 30cdB suele ser aceptable.

Distorsion de cruce: En configuracion de contrafase o de circuitos complementarios, los BJTs yFETs no son capaces de cambiar bruscamente de un modo de corte a uno activo. El cambio esgradual y no-lineal. Este periodo de cambio genera una gran distorsion que es mas notorio consenales de baja amplitud.

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Se puede reducir polarizando las bases y/o compuertas un offset adicional. Sin embargo, demasiadapolarizacion se traduce en ganancia excesiva para senales de baja amplitud, y la cantidad correctase determina en forma experimental.

La razon mnima de IMD ocurre con una corriente estable de 1 al 10 % de la de pico de colector.Cada dispositivo llevara corriente durante poco mas de medio ciclo.

Variacion de : Una RE ayuda a eliminar las variaciones de respecto de la corriente, la tempe-ratura y la frecuencia: vE = (iC + iB)RE = (1 + 1/)iCRE iCRERetroalimentacion puede ayudar a linealizar la caracterstica de entrada de corriente a traves de lacaracterstica de tension de salida. Se puede usar realimentacion de corriente, de tension o acopladocon trafo.

Ruido Erratico: Incluye el ruido atmosferico y el ruido espacial, que es consecuencia entre otrascausas de la ionizacion y recombinacion de moleculas gaseosas por accion de la radiacion solar,cosmica, campos electricos intensos, etc. Afecta principalmente las transmisiones inalambricas.

Ruido producido por el hombre: Comprende la radiacion electromagnetica emitida por artefactosempleados por el hombre. En general se origina en conmutaciones, chispas o emision voluntaria oinvoluntaria de radiofrecuencia. Incluye las perturbaciones ocasionadas por la modificacion de lacarga en sistemas de alimentacion y por filtrado insuficiente en las fuentes de corriente continuaque rectifican una corriente alterna. Este ultimo es el clasico zumbido a la frecuencia de linea enlos amplificadores de audio.

Ruido Circuital: Es el ruido introducido por los propios elementos del circuito y se debe a losfenomenos fsicos que tienen lugar en ellos. Por ejemplo la agitacion termica de los electrones en lasresistencias (que da origen al ruido termico), las pequenas variaciones de temperatura con el tiempo,la naturaleza discreta de las cargas que atraviesan una barrera de potencial en los dispositivoselectronicos y la fluctuacion de conductancia en los contactos imperfectos.

El ruido electromagnetico puede eliminarse con blindajes metalicos conectados a tierra.

El ruido llamado jitter consiste en fluctuaciones de fase aleatorias de una senal. Que se traducenen variaciones de frecuencia. El PLL puede ser usado como filtro de fase para eliminar este ruido,siempre que este no provoque el desenganche.

Burst noise: Los semiconductores dopados con metales pesados como el oro exhiben breves rafagasde ruido de baja frecuencia con cambios de nivel entre dos o mas valores. Cuando este ruido esamplificado y emitido por altavoces percibe como el ruido que produce la coccion de maz inflado,razon por la cual se lo denomina tambien ruido de fritura (pop-corn noise).

El ruido burst esta siempre acompanado por el ruido 1/f y el ruido shot. La densidad espectral depotencia del ruido de rafaga se aproxima por la expresion i2n(f) =

KIc

1+( ffc )2

Bibliografa

Herbert L. Krauss, Charles W. Bostian, Frederik H. Raab: Estado solido en ingeniera de radio-comunicacion. Editorial Limusa

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Diseno de radiadores de calor.Resumen

Pd TJ JC TC CH TH HA TA

La confiabilidad de los transistores decrece al aumentar la temperatura de la union.

La presencia de reactancia en la carga aumentara la disipacion maxima.

El flujo de calor se puede analizar con un circuito termico de la misma manera que se analiza elflujo de corriente en uno electrico.

La potencia disipada o fuente de calor es analoga a una fuente de corriente.

Las temperaturas son analogas a los voltajes y cada elemento en la trayectoria termica tiene unaresistencia termica asociada a el.

En el circuito:

El primer elemento JC es la resistencia termica de union-base. El segundo elemento CH esta asociada al montaje sobre el disipador. El tercer elemento HA es el disipador de calor al ambiente, que incluye los principios de

radiacion, conveccion y conduccion. La conveccion es por lo comun, no lineal.

Bibliografa


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Ruido TermicoResumen

La temperatura de un material provoca agitacion en los electrones libres responsables de la con-duccion electrica de un material.

Estos provocan corrientes que idealmente deberan ser estadisticamente nulas, sin embargo se ob-serva una pequena corriente fluctuante aleatoriamente de media cero llamado ruido termico.

Se puede sustituir una resistencia ruidosa por una fuentede tension mas una resistencia ideal del mismo valor conV 2n = 4kBTRB

O por una fuente de corriente con una resistencia idealen paralelo del mismo valor con I2n =

4kBTBR

El ruido termico tiene valor medio nulo, es decir lmT1T

T0in(t)dt = 0

La constante de Boltzmann es kB = 1,381 1023 J

K

En termodinamica se demuestra que la funcion de autocorrelacion promedio de in(t) es inin() =

kBTR

e ||t0

t0que es casi un impulso a medida que t0 0.

La autocorrelacion promedio es igual a la antitransformada de la densidad de potencia media:

F1

{limT0

|VT (w)|2

T

}= vv() v

2(f) = limT2|VT (w)|2

T= 2F

{vv()

}I2n(f) = i

2n(f) = 2

kBT

R

e||t0

t0ej2fd =

4kBT

R

1

1 + (2ft0)2=

4kBT

R

1

1 + ( ff0 )2

donde f0 =1

2t0que es del orden de 1011Hz.

Esto establece un limite superior para considerar a este ruido como constante. Esto es, para aplica-ciones de extremadamente alta frecuencia donde la temperatura ya no existe en el concepto de lafsica cuantica.

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Una tension externa aplicada no modifica la fuente de ruido.

El ruido termico debido a su naturaleza no correlacionada, permiteutilizar el principio de superposicion para calcular el ruido en redesde resistencias. vo = vo1 + + von

Para resistencias en serie: V 2n = 4kBT (R1 +R2)

Ademas, cada vo puede considerarse como la respuesta de un sis-tema lineal: Vok(w) = Hk(w)Vk(w).

Por lo tanto las densidades de potencia a la salida pueden super-ponerse: V 2o = |H1|

2V 21 + + |Hn|

2V 2n

Teorema de Nyquist : Un dipolo pasivo, formado por resistenciasruidosas a una misma temperatura T, capacitores e inductanciascuya funcion impedancia es Z(jw), puede sustituirse por una im-pedancia ruidosa de igual valor en serie con una fuente de ruidocon densidad espectral de potencia media:

V 2n = 4kBT




Ruido termicoCircuito RC paralelo

Enunciado:

Suponga el circuito RC paralelo de la figura.Calcular la Densidad espectral de potencia de ruido a la salida.

En la entrada tendremos un ruido termico producido por la resistencia de Sni(f) = kBT

La funcion de transferencia del circuito es: H(w) = 11+j wwc

La densidad espectral de energa sera: |H(f)|2 = 11+j 2fwc

2 = 1|1+j 2fwc |2 = 11+( 2fwc )2Entonces la densidad espectral de ruido a la salida, para un sistema lineal e invariante en el tiempocomo se ha visto en sistemas de comunicaciones, sera: Sno(f) = |H(f)|2 Sni(f) = 11+( 2fwc )2

kBT

Para obtener la potencia total de salida para un ancho de banda B[Hz] tal que wc = 2B, integra-mos y aplicamos la formula de tabla

0

11+(ax)2 dt [

1a tg

1 (ax)]0 =1a2

Sno =

0

|H(f)|2 Sni(f)df = kBT

0

1

1 + ( 2f2B )2df = kBTB

2

Al producto Bn = B2 se lo denomina ancho de banda equivalente de ruido, que es el ancho de

banda requerido por una resistencia R para entregar la misma potencia de ruido termico a la salida.

Reemplazando B = wc2 =1

2RC y dado que Sno =V 2no4R

,

calculamos la tension de ruido cuadratico como: V 2no = kBT1

2RC2 4R =

kBT

C

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Ruido termicoCircuito pasa banda LCR serie

Enunciado:

Suponga el circuito pasa banda RLC de la figura.Calcular la Densidad espectral de potencia ruido a la salida.

En la entrada tendremos un ruido termico producido por la resistencia de Sni(f) = kBT

La funcion de transferencia del circuito es: H(w) = RR+jwL+ 1jwc

= 11+jQ

(ww0w0w

)donde w20 =

1LC y Q =

w0LR =

f0B .

La densidad espectral de energa sera: |H(f)|2 = 11+jQ( ww0w0w )

2 = 11+jQ( ww0w0w )2 = 11+Q2( ww0w0w )2Entonces la densidad espectral de ruido a la salida, para un sistema lineal e invariante en el tiempo

como se ha visto en sistemas de comunicaciones, sera: Sno(f) = |H(f)|2 Sni(f) =kBT

1 +Q2(ww0 w0w

)2Suponiendo un f 0, la DEP de ruido se puede expresar como: Sno(f) =

kBT

1 + 4B2 (f f0)2

Dado que Sno =V 2no4R

,

calculamos la tension de ruido cuadratico como: V 2no(f) =4kBRT

1 + 4B2 (f f0)2

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Ruido termicoCircuito RL RC

Por el metodo de Superposicion:

Vo = V1R2 +

1jwC

R1 +R2 + j(wL 1wC

) + V2 R1 + jwLR1 +R2 + j

(wL 1wC

)V 2o = V

21

R2 +1

jwC

R1 +R2 + j(wL 1wC

) 2

+ V 22

R1 + jwLR1 +R2 + j (wL 1wC )2

=V 21

R2 + 1jwC 2 + V 22 |R1 + jwL|2R1 +R2 + j (wL 1wC )2=

V 21

(R22 +

1(wC)2

)+ V 22

(R21 + (wL)

2)

(R1 +R2)2

+(wL 1wC

)2V 21 = 4kBTR1

V 22 = 4kBTR2

V 2o = 4kBTR1

(R22 +

1(wC)2

)+R2

(R21 + (wL)

2)

(R1 +R2)2

+(wL 1wC

)2Por el metodo de Nyquist:

V 2o = 4kBT




Ruido en Diodos de junturaResumen

Los diodos y transistores generan ruido shot o ruido shot o dedisparo.El circuito equivalente basico del diodo de juntura incluye unaresistencia serie rS (resistividad del silicio) y una resistenciashunt en paralelo con una fuente de corriente.

Hay ruido termico en la resistencia rS , por lo que seincluye un generador de tension con V 2n = 4kBTrSB.

El ruido flicker y el ruido shot(i2n = 2qI) pueden ser re-presentados con una unica fuente de corriente en paralelocon una resistencia shunt rd =

kBTq(I+I0)

I2n = 2qIB +KI

fB

El ruido shot o de disparo o de emision tiene una distribucion esencialmente plana y, por tanto, seconsidera ruido blanco. Se origina por la fluctuacion estadstica de los portadores de carga q que seemiten al azar en una juntura semiconductora cuando circula una corriente I.

La corriente en un diodo de juntura esta dada por: I = I0

(eqVkBT 1

)q = 1,6x1019coulombs

La componente exponencial proviene de los portadores mayoritarios que se difunden de una regiona la otra.

La componente individual proviene de los portadores minoritarios generados termicamente quesiempre estan presentes.

Al ser de distinto origen, las senales de ruido son no correlacionadas y se pueden sumar las densidadesde potencia de portadores mayoritarios y minoritarios. Ej. V 2n = V

2n1 + V

2n2 + . . . .

Si fueran correlacionados (provienen de la misma fuente): V 2n = V2n1 + V

2n2 + 2KVn1Vn2

Para el ruido shot: i2n = 2qI0eqVkBT + 2qI0 = 2q(Idc + 2I0)

Se puede observar que aun en la ausencia de polarizacion, hay ruido a la salida.

Para grandes polarizaciones inversas es I = I0 y por lo tanto: i2n = 2qI0

Para grandes polarizaciones directas I0 es despreciable quedando: i2n = 2qI

Este modelo no es valido para los diodos que operan en la region de ruptura inversa como los zener,para estos aparecen otras fuentes de ruidos denominados ruidos microplasticos.

El ruido flicker o 1/f se presenta en semiconductores debido a la captura y recombinacion deportadores debido a variaciones de simetra cristalina por las impurezas, y minusculas fluctuacionestermicas.

Tambien se presenta ruido 1/f en lo contactos, o resistencias con falta de homogeneidad.

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Ruido en transistores BJTResumen

Enunciado:

Las fuentes de ruido en transistores de union, sonel ruido de disparo en cada union de diodo, el ruidotermico en la resistencia de esparcido de base (lla-madas rx, r

b o r

bb), el ruido flicker o ruido 1/f y

un ruido de particion.

El ruido de particion se origina por la fluctuacion estadstica de la corrientes de colector y base,debido a como la corriente de emisor se divide en colector y base.

El ruido flicker o ruido 1/f se presenta sobre los transistores y se observa en bajas frecuencias esapreciable por debajo de los 100 kHz. Se origina principalmente por una recombinacion superficialde portadores minoritarios en la region de agotamiento del emisor-base. Es la fuente principal deruido en amplificadores de CC.

El modelo de la figura se llama modelo de Van der Ziel para un transistor en base comun.

Las fuentes de ruido se definen como sigue:

I2en = 2qIEB V2bn = 4kBTrxB I

2cm = 2qB[ICO + IC(1 0)]

donde IE es la corriente de emisor directa, IC es la corriente de colector directa, ICO es la corrientede colector inversa, rx es la resistencia de esparcido de base y 0 es la ganancia de corriente encortocircuito.

Este circuito no considera el ruido 1/f y es valido hasta frecuencias del orden f = f

1 0

Convirtiendo las fuentes de corriente a fuentes de tension, y realizando las siguientes consideracionesnos queda:

rx


donde Rs es la resistencia de fuente que se ha agregado.

V 2gn = 4kBTRsB V2en = 2kBTreB re =

kBT

qIEV 2cn =

2kBT0r2c (1 0)Bre

El unico generador de ruido termico es Vbn debido a que la unica resistencia fsica que existe en elmodelo es rx. Todos los otros generadores son de ruido de disparo.

Por otro lado, un modelo hbrido PI para un emisor comun es el siguiente:

I2on = 2q |IC |B I2in = 2q |I B |B I B = IB + 2I

donde I es la corriente de base en polarizacion inversa.

Este modelo es valido hasta las frecuencias de fT /2 aproximadamente.

Se puede disminuir al mnimo el ruido del transistor, eligiendo una Rs adecuada.

Las siguientes figuras muestran curvas de la figura de ruido en transistores respecto de la frecuencia,la resistencia vista desde la base Rs = R1 R2 Ri y la corriente de polarizacion IC .

El aumento de la figura de ruido en alta frecuencia se debe a que la ganancia disminuye pero elruido a la salida no.

La familia de curvas de la ultima figura corresponde a los contornos de NF constante. Es muy utilpara el diseno ya que indica cuales son los valores de IC y Rs para determinada cota de NF.

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Ruido.Ejemplo

Enunciado:

5 Antena

Ti = 50KSNRi =1857,4

Cable Coaxil

L1 = 0,5dBTe1

AmplificadorG2 = 30dBTe2 = 6K

BN = 20MHz

MezcladorG3 = 16dBNF3 = 6dBBN = 20MHz

To = 293KSNRo 30dB

Encontrar:

1. Temperatura de ruido equivalente total: TeT

2. Potencia de la antena: Pant

Primero convertir todos los valores de decibeles a valores lineales con xcdB = 10 log10 x.Si no se indica la temperatura a la cual trabaja cada componentes por separado, se asume que estan

a una temperatura ambiente de T = T0 = 293K.

Calculamos la TeT :

G1 =1

L1=

1

1,12= 0,89

G2 = 30dB = 1000

G3 = 16dB = 39,81

NF1 = L1 = 1,12

NF3 = 6dB = 3,98

Te1 = (NF1 1)T = 35,16KTe3 = (NF3 1)T = 873,14K

TeT = Te1 +Te2G1

+Te3G1G2

= 42,87K

Calculamos la Pant:

SNRi = NFantSNRo

NFant = 1 +TeTTi

= 1,8574

SNRo = 30dB = 1000

SNRi = 1857,4

=SiNi

= 1857,4

Pant = Si = 1857,4Ni

NI = kBTiBN = 1,381014

Pant 25,63pW

Note que NO utilizamos la ultima ganancia para el calculo de la temperatura de ruido equivalente.La constante de Boltzman es kB = 1,38 10

23

Bibliografa


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Ruido.Examen 28 de julio 2003

Enunciado:

Tx Coaxil 1L1

Rep. 1G1

. . . Coaxil nLn

Rep. nGn

RxCalcular que cantidad de repetidores N se necesita y la ganancia Ga de los mismos de tal modo que laatenuacion neta del conjunto sea unitaria y la figura de ruido mnima . Gi

Li= 1 FT = min

La distancia entre las ciudades es de l = 150[Km], la atenuacion del coaxil es de A = 10[dB/Km] y lafigura de ruido de cada repetidor es de Frep = 4, 75[dB].

A = 10dB

kmd = 150km

Frep = 4,75dB 2,98

Lc = la atenuacion del cable coaxialFcoax = figura de ruido del cable coaxialFrep = figura de ruido del repetidorFcr = figura de ruido del conjunto coaxil-repetidor

Lc = 10dB

km

150km

N=

1500

NdB

Fcoax = Lc =1500

N 10 150010N = 10 150N

Fcr = Fcoax +Frep 1Gcoax

= Lc + Lc(Frep 1)= Lc + LcFrep Lc= LcFrep

Fcr = 2,98 10150N

La expresion de la figura de ruido total es: FT = Fcr1 +Fcr21G1

+ Fcr31G1G2 + . . .Sabiendo que las ganancias de cada conjunto CR son unitarias y las figuras de ruido iguales, y

derivando e igualando a cero para encontrar el mnimo de la figura de ruido:

FT = Fcr1 + (Fcr2 1) + (Fcr3 1) + . . .= Fcr + (n 1)(Fcr 1)= Fcr + (n 1)Fcr (n 1)= Fcr + nFcr Fcr n+ 1

FT = nFcr n+ 1FT = 2,98n10

150n n+ 1

dFTdn

= 2,98 1 10150n + 2,98n10

150n ln 10(150

n2) 1 + 0 = 0

= 2,98 10150n 2,98 2,3 150 1

n10

150n 1 = 0

= 2,98 10150n 1028,1

n10

150n = 1

= 10150n (2,98 1028,1

n) = 1

El primer multiplicando es siempre mayor que cero, por lo que podemos deducir como condicion queel segundo multiplicando debe ser mayor a cero. (2,98 1028,1n ) > 0 n 0 (impedancia positiva) se comportacomo inductor y si Z < 0, como capacitor ya que ZC = j 1wCC .

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Cristales resonadoresFinal 29 de febrero de 2008

Enunciado:

Un cristal tiene una Z(jw) = j253221 en una frecuencia f = 500Hz. Sufrecuencia de resonancia serie es fs = 299741Hz y la impedancia en resonanciaserie fue de Zs = 45. La resonancia paralelo es de fp = 300213Hz. Calcular:

Cp, Cs, Ls, Rs, Q

Z(jw) = j253221

f = 500Hz

fs = 299741Hz

Zs = 45

fp = 300213Hz

Resolucion

Cp = 1

wXZ

(w2 w2sw2 w2p

)Ls =

1

Cp(w2p w2s)Cs =

1

w2sLsRs = Zs Q =

2fsLsRs

Tenemos la frecuencia serie y la frecuencia de operacion, entonces calculamos Cp.

Cp = 1,253nF

Con este valor podemos calcular Ls y luego Cs:

Ls = 71,388mHy Cs = 3,95pF Q = 2978 f = 472Hz

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Osciladores LC - Esquema GeneralResumen

Este circuito Colpitts es de Emisor Comun.Los ejercicios de practica son Base Comun yganancia de corriente y se ve en otro apartadocon otro circuito equivalente.

Agrupamos ro y Z2 como Z2 = ro Z2

v1 = gmv1Z 2

Z1 + Z 2 + Z3Z1

v1v1

= gmZ1Z 2

Z1 + Z 2 + Z3

=gmZ1

Z1 +roZ2

(ro+Z2)+ Z3

roZ2(ro + Z2)

=gmZ1roZ2

Z1(ro + Z2) + roZ2 + Z3(ro + Z2)

=gmroZ1Z2

ro(Z1 + Z2 + Z3) + Z2(Z1 + Z3)

Si hacemos que las impedancias sean compo-nentes reactivos puros, entonces: Zk = jXk

v1v1

=gmroX1X2

X2(X1 +X3) + jro(X1 +X2 +X3)

Para que oscile, este cociente debe ser real ala frecuencia de oscilacion y mayor que uno:

X1 +X2 +X3 = 0

X2 = X1 +X3

v1v1

=gmroX1X2

X2(X2) + jro(0)=gmroX1X2

X22> 1

gmroX1X2

> 1

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Por lo tanto, para que esto se cumpla:

Si gm > 0 (emisor comun) y X1 y X2 son del mismo signo, y X3 de signo diferente debido ala relacion X1 +X2 +X3 = 0

Si gm < 0 (base comun) y X1 y X2 son de distinto signo, y X3 puede ser de cualquier signo.

Entonces siempre hay dos capacitivas y una inductiva (Colpitts) o viceversa (Hartley).

Osciladores reales requieren tambien de una red de polarizacion.

Los transistores tienen capacidades parasitas en su junturas que son convenientes reducir para poderaumentar la estabilidad en frecuencia, ya que estas ademas varan con la temperatura o condicionesde polarizacion.

Entonces los valores que efectivamente tienen efecto en sobre la frecuencia de alimentacion son parael Colpitts: C 1 = C1 + Cbe y C

2 = C2 + Cce

Para que el efecto de Cbe y Cce sea despreciable, C1C2 debe ser grandes, y como X1+X2+X3 = 0,entonces el inductor debera ser muy pequeno.

Ocurre aveces que es demasiado pequena, por lo que no hay valores comerciales. Esto se puedearreglar agregando un capacitor serie C3. De esta forma se obtiene una reactancia inductiva muypequena de un inductor no tan pequeno.

Debido a que X3 = XL3 + XC3 0, resulta que XC3 debe ser aproximadamente igual al XL3 deforma que esten casi en resonancia, actuando como filtro para las distorsiones.

Bibliografa

Federico Miyara: Osciladores Senoidales. Segunda Edicion. Ano 2004

UTN-FRP 2011 24




Osciladores - Esquema GeneralAmplitud de oscilacion

Resumen

La amplitud de oscilacion queda limitada por la no-linealidad mas proxima al punto de trabajo delcircuito.

La ganancia del amplificador es mayor al tener carga mas debil en continua.

Las fuentes de alimentacion no tienen impedancia de salida tan baja en alta frecuencia que encontinua, por lo que la corriente oscilante producira cadas de tension oscilantes en la alimentacion.

Las oscilaciones en la fuente de alimentacion produce radiacion electromagnetica, ya que actua comoantena, que altera el funcionamiento del resto de los circuitos.

Segun como se haya elegido el punto de trabajo del circuito (VCEQ e ICQ), la amplitud quedaradeterminada por el corte o la saturacion.

Si en vez de una resistencia Rc se utiliza un choque, debido a que este almacena corriente y la liberaen el ciclo puesto, y que la tension en esta es la derivada de la corriente vL = L

diLdt , esta podra tener

tension negativa cuando la corriente es decreciente. Y la tension sobre el colector puede ser mayorque VCC .

Si hay saturacion, sera siempre del transistor y no de la fuente.

UTN-FRP 2011 25


Analicemos este circuito con choque.

iC = (i1 + i2)iC = ICQ + I sinwt = ICQ + ic

vS = VSO + vs VCC + vs

Luego, estudiando el circuito en alterna queda lainductancia del choque en paralelo con la R y po-demos hallar vs.

vs = ic Z = ic R jwL = ic |R jwL| ej

= icjwRL

R+ jwL= ic

j(wRL)(R jwL)R2 w2L2

= icjwR2L+ w2RL2

R2 + w2L2

= icw2RL2 + jwR2LR2 + w2L2

ej tan1 wR2Lw2RL2= ic

(w2RL2)2 + (wR2L)2

R2 + w2L2ej tan

1 RwL

= icw2L2R2(w2L2 +R2)

R2 + w2L2ej tan

1 RwL

= icwLR

R2 + w2L2ej tan

1 RwL

vs = iCmax sin(wt+ )wRL

R2 + w2L2

La condicion para que el circuito no entre encorte es que iCmin = ICQ iCmax > 0

Cuando ic(t) = ICQ el transistor comienza acortarse. En ese caso:

vs = ICQwRL

R2 + w2L2sin(wt+ )

Para maximizar la amplitud de salida convie-ne que el transistor limite por saturacion envez de por corte.

La tension maxima sobre el transistor es cuan-do hay tension mnima sobre la carga.

La tension mnima alcanzada por vs debe sermenor que la de saturacion: vSmin < VCEsat

vSmin = VCC ICQ |R jwL|

vSmin = VCC ICQwRL

R2 + w2L2< VCEsat

ICQ >VCC VCEsat|R jwL|

Entonces la forma de onda resultante paracuando la saturacion se produce antes que elcorte es la siguiente:

Bibliografa


UTN-FRP 2011 26




Estabilidad del OsciladorResumen

Estabilidad en frecuencia:

Se produce debido a los polos propios del am-plificador, a capacidades parasitas que intro-ducen defasajes adicionales, derivas termicas,efectos de dispersion, etc.

La condicion de Barkhausen dice que:a(jw)(jw) = 1

La condicion sobre la frecuencia de oscilaciones: arg(a(jw)(jw)) = 180

El argumento de un producto, es la suma delos argumentos: arg(a(jw)) + arg((jw)) =180

Si se produce una variacion arg(a), o masgenericamente se debera producir una va-riacion arg() igual y opuesta de maneraque compense la fase de 180. De manera que: arg() =

Por otro lado, la fase de es dependientede la frecuencia, por lo tanto, una variacion arg() lleva un cambio en la frecuencia deoscilacion w0.

SF = arg()

w0= arg()

w

w0

w0 =

arg()w

w0

La derivada SF se denomina factor de estabi-lidad en frecuencia absoluto.

Cuanto mas alto sea este valor, menos variarala frecuencia.

El factor de estabilidad en frecuencia relativoes:

SFR = w0SF =w0w0

= w0 arg()

w

w0

Calculo simplificado de SFR:Si = A+ jB, entonces arg() = tan1 BA

Derivando: w tan1 B

A =1

1+(BA )2BAAB

A2 =

BAABA2+B2

Para cumplir la condicion de oscilacion de real, B debe ser cero, por lo que: w arg() =BAA2 =

B

A

Finalmente: SFR = w0B

A

UTN-FRP 2011 27


Estabilidad en amplitud:

Las causas estan asociadas con la saturaciony la variacion de parametros.

El oscilador se mantiene estable debido a laresistencia dinamica negativa que disminuyela ganancia al aumentar la amplitud.

Este proceso requiere que para conocer el pun-to de estabilidad se llegue a la saturacion endeterminados periodos de tiempo, agregandoun alto contenido armonico.

Se utiliza un circuito realimentado adicional.

La amplitud de salida debe ser aquella quehaga que la ganancia de lazo sea 1 y portanto se tengan los polos exactamente sobreel eje imaginario.

La forma de salida debe ser senoidal con unalto grado de pureza.

El circuito propuesto muestrea la salida deamplitud con un rectificador con filtrado su-ficiente para que pueda despreciarse el rippley que maneje algun dispostivo conectado a lared de oscilacion, como un FET actuando co-mo resistencia variable.

La constante de tiempo es = (Ra +Rb)C

Suponiendo que




Oscilador Sintonizado por ColectorResumen

El circuito tanque tiende a comportarse comocortocircuito a la frecuencia de oscilacion.

La resistencia de entrada al transistor r seincluye ya que provoca un defasaje.

La condicion de oscilacion surge de plantearel cociente: v2v1 1

I1 = ICI1V1

Cs +I1V1

= gmVi1

CsV1I1

+ 1

= gmVi1

Cs

(L1s M

2s2

Ri+sL2

)+ 1

V2 = sM

1 + sL2RiI1

V2Vi

= gmMsCs[L1s(Ri + sL2)M2s2] +Ri + sL2

= gmMwL2w + (M2 L1L2)Cw3 + jRi[L1Cw2 1]

En la frecuencia de oscilacion, este cocientedebe ser real y mayor que uno. Por lo tanto:

L1Cw20 1 = 0 w0 =

1L1C

Y1 =I1V1

Es la admitancia vista del primariodel transformador.

Debe hallarse considerando las ecuaciones deltransformador ideal:

v1 = L1di1dt

+Mdi2dt

v2 = Mdi1dt

+ L2di2dt

V1 = L1sI1 + MsI2

V2 = MsI1 + L2sI2 = I2Ri

I2 = V2Ri

V2 = MsI1 sL2V2Ri

V2(1 + sL2Ri

) = MsI1

V2 = sM

1 + sL2RiI1

I2 = V2Ri

= s MRi + sL2

I1

V1 =

(L1s

M2s2

Ri + sL2

)I1

Podemos realizar la siguiente simplificacion para hacer M2 L1L2 = 0 :

UTN-FRP 2011 29


L1 = Kn21 L2 = Kn

22 M = Kn1n2

Con esto el cociente queda:

V2V1

=gmRiMw0L2w0

=gmRiM

L2 1

O lo que es lo mismo:

V2V1

= gmRin1n2 1

Bibliografa


UTN-FRP 2011 30




Oscilador por Rotacion de FaseResumen

Se utiliza un elemento activo inversor a, y una cascada de celulas RC que producen rotaciones defase que juntas como maximo llegan a 270.

Pero estas celular producen un defasaje de 180a alguna frecuencia de que sera de resonancia debidoal Critero de Barkhausen.

La salida se obtiene de la salida del elemento activo.

V iVi

= aH1H2H3

H = H1 = H2 = H3

=VRV1

=R

R+ 1sC=

sCR

sCR+ 1

V iVi

= asCR

sCR+ 1

sCR

sCR+ 1

sCR

sCR+ 1

= a(sCR)3

(sCR+ 1)3

= a(sCR)3

(sCR)3 + 3(sCR)2 + 3sCR+ 1

V iVi

= a(jwCR)3

(jwCR)3 + 3(jwCR)2 + 3jwCR+ 1

= aj(wCR)3

j(wCR)3 3(wCR)2 + j3wCR+ 1

= aj(wCR)3

[1 3(wCR)2] + j[3wCR (wCR)3]j

j

= a(wCR)3

j[1 3(wCR)2] [3wCR (wCR)3]

= a(wCR)3

(wCR)3 3wCR+ j[1 3(wCR)2]

NO DA LO MISMO QUE EN EL LIBRO Miyara.

Por mallas no me dio lo mismo.

Considerando todo como una unica Z =[[[[[

1sC R

]+ 1sC

] R]

+ 1sC] R]

tampoco da lo mismo.

Un PDF de autora Lucelly Reyes llamado Oscilador por rotacion de fase con un subtitulo Electroni-ca y microelectronica para cientficos. Lo resuelve por mallas y le da muy similar.

Segun el libro Miyara es :

V iVi

=a(wCR)3

(wCR)3 5wCR j[6(wCR)2 1]

UTN-FRP 2011 31


Para que el circuito oscile debe ser real y mayor que uno, entonces:

6(w0CR)2 1 = 0 w0 =

16RC

A esa frecuencia el cociente sera:

V iVi

=a(w0CR)

3

w0CR[(w0CR)2 5]=

a( 16RC

CR)2

[( 16RC

CR)2 5]=

a 1616 5

= a29

1

El circuito oscilara si esta ganancia es mayor que 1, es decir si a > 29

Por lo tanto sera un amplificador inversor con ganancia mayor a 29.

Factor de estabilidad de frecuencia relativa:

arg() = tan1(

6(wRC)2 1(wRC)3 5(wRC)

)

warg

w0,B=0

=1

1 + (BA )2

BAABA2

w0,B=0

SFR = w012RC(wRC)

(wRC)3 5wRC

=1

6RC

12RC(wRC)

(wRC)3 5wRC

=12

6[(wRC)2 5]

SFR =12

6[ 16 5]= 1,0135 1

Este resultado significa que una variacion de fasede 1[rad] produce una variacion relativa de 100 %en la frecuencia, o equivalente, una variacion de1produce cerca del 2 % de variacion de frecuencia.

Bibliografa


UTN-FRP 2011 32




Oscilador por Puente de WienResumen

Su estabilidad en frecuencia es pobre, ha-ciendolo inviable para aplicaciones de preci-sion.

Se sustituye la red de rotacion de fase por elPuente de Wien.

De la figura se observa que la salida es la dife-rencia de dos tensiones de dos divisores. Unodependiente de la frecuencia y el otro no.

V2Vi

= aZ4

Z3 + Z4= a

R41sC4

R4+1sC4

R3 +1sC3

+R4

1sC4

R4+1sC4

= asR4C3

s2R3C3R4C4 + s(R3C3 +R4C4 +R4C3) + 1

V1Vi

= aR2

R1 +R2

V iVi

=V2 V1Vi

= a

(sR4C3

s2R3C3R4C4 + s(R3C3 +R4C4 +R4C3) + 1 R2R1 +R2

)Reemplazamos s = jw

V iVi

=V2 V1Vi

= a

(jwR4C3

jw(R3C3 +R4C4 +R4C3) w2R3C3R4C4 + 1j

j R2R1 +R2

)V iVi

=V2 V1Vi

= a

(wR4C3

w(R3C3 +R4C4 +R4C3) j[w2R3C3R4C4 + 1] R2R1 +R2

)Para que oscile, este cociente debe ser real y mayor que uno.

w2R3C3R4C4 + 1 = 0 w0 =1

R3C3R4C4=

1

=1

V iVi

= a

(R4C3

+ +R4C3 R2R1 +R2

)= a

(R4C3

2R3C3 +R4C3 R2R1 +R2

)(

R42R3 +R4

R2R1 +R2

) 1a

UTN-FRP 2011 33


Inestabilidad debido a los polos del amplifi-cador:Lugar de races del oscilador ideal.Y lugar de races del oscilador con 3 polos agregadospor el amplificador, uno de ellos dominante y dos dealta frecuencia.Si la ganancia en continua del amplificador es losuficientemente grande, se tendran dos modos na-turales de oscilacion. Por lo cual, la salida seravo = A1e

a1t sinw1t+A2ea2t sinw2t.

Cuando se alcance la saturacion las amplitudes seacomodaran en dos senoidales.La amplitud de la senoidal de alta frecuencia sueleser mas pequena.La magnitud relativa de la oscilacion parasita esmayor cuando la principal pasa por cero.

Factor de estabilidad de frecuencia relativa:

(s) =V iVi

= a

(sR4C3

s22 + s(2 +R4C3) + 1 R2R1 +R2

)

warg (jw) =

warg

(1 2w2 + j(2 R1R2 )w

1 2w2 + j3w

)

=

warg

(A+ jB

A+ jD

)Por condicion de oscilacion, para que el interior sea real, A = 0, que se reemplazara despues de derivar.

warg (jw) =

warg (A+ jB)

warg (A+ jD)

=

warg

(BABA

A2 +B2

) w

arg

(DADA

A2 +D2

)

warg (jw) = A

B+A

D

= 22w0

(2 R1R2 )w0+22w0

3w0

= 2

(1

2 R1R2 1

3

)

SFR = w02

(1

2 R1R2 1

3

)

12 R1R2

Se puede concluir que mientras mas proximo sea elvalor de R1 a 2R2, mayor sera el valor de SFRALERTA DEDUCCION MAGICA pagina 29, for-mula 90 del Miyara.

SFR 2

9a

De esto se concluye que la estabilidad en frecuenciadel oscilador, esta limitada solamente por la ganan-cia finita a del amplificador empleado.

UTN-FRP 2011 34


Puente de Wien controlado con FET para estabilidad en amplitud:Para que el FET funcione en su zona de re-sistencia controlada por VGS , su tension VDSdebe ser baja, tipicamente menor que 1V, pa-ra lo cual:

R2R1 +R2

vomax > 1, podemos aproximar:

(R4

2R3 +R4 R

2

R1 +R2

) 1a 0

R42R3 +R4

>R2

R1 +R2

donde R2 = R2 rDS

El capacitor C es aveces necesario para esta-bilizar el lazo de control de ganancia.

Entonces, una solucion para la condicion deoscilacion es disminuir ambos terminos ha-ciendo R4


Puente de Wien controlado:

Controlado por termistores:

Sustituyendo R1 o R2 por resistencias varia-bles con la temperatura.

Al aumentar la amplitud de salida aumenta lacorriente, por lo tanto aumenta la disipacionde potencia y la disipacion de temperatura.

La variacion de la resistencia puede ser posi-tiva (como en cualquier resistencia, reempla-zando R2) o negativa (como en un termistorsemiconductor, reemplazando R1).

Requieren de una corriente relativamente al-ta para lograr una variacion apreciable de lasresistencias. Esto puede solucionarse con unseguidor de emisor a la salida.

Controlado por elementos no-lineales:

Reemplazar R1 por un elemento no lineal.

Como las ventajas del Oscilador Puente deWien se presentan con ganancia alta, se utilizanormalmente con operacionales, cuya satura-cion es muy brusca. El uso de elementos conalinealidad mas gradual, mejora la forma deonda, reduciendo la ganancia en forma suave.

La inestabilidad se apenas la necesaria paraque el oscilador pase de inestabilidad a es-table, ya que se elije R1 de modo que cuan-do los diodos conducen, la resistencia efectivaR1 = R1 R1 hace que no se cumpla la con-dicion de oscilacion.

Cuando los diodos no conducen, la resistenciaefectiva es R1 = R1 y se elije de forma quecumpla siempre la condicion de oscilacion.

La alinealidad es suave ya que los diodos nocomienzan a conducir repentinamente si no enforma gradual.

Bibliografa


UTN-FRP 2011 36




Oscilador Pierce a CristalResumenEs un tipo Colpitts donde se reemplaza el in-

ductor por un cristal piezoelectrico.

Dado que la frecuencia de oscilacion de-bera ser tal que se cumpla X1 +X2 +X3 = 0,y debido a que el inductor se comporta in-ductivamente solo entre las frecuencias ws ywp que son aproximadamente iguales, pode-mos entender que la frecuencia de oscilacionsera altamente determinada por la impedan-cia ZC del cristal.

La frecuencia exacta de oscilacion sera cuandola impedancia capacitiva se iguala a la induc-tiva:

X(w0) =1

w0C1+

1

w0C2= ZC(w0)

ws < w0 < wp w0 =1LC

A la frecuencia de oscilacion, el cristaltendra impedancia inductiva (LC).

Luego se continua con los mismos pasos vistospara los circuitos anteriores.

Hallarvgsvgs

hacer la parte imaginaria igual a

cero y despejar w0.

Hallar gm para cuandovgsvgs 1, sabiendo que

para casos practicos se puede considerar yfs =gm + j0.

Bibliografa

Federico Miyara: Osciladores Senoidales.Segunda Edicion. Ano 2004

Herbert L. Krauss, Charles W. Bostian, Fre-derik H. Raab: Estado solido en ingenierade radiocomunicacion. Editorial Limusa

UTN-FRP 2011 37




Oscilador Hartley a CristalResumen

Es un tipo Hartley donde se reemplaza unode sus inductores por un cristal piezoelectrico,y el otro por un circuito sintonizado (tanqueLC) funcionando inductivamente.

El circuito tanque brinda reactancia inductivaa la frecuencia del cristal.

El circuito tanque tambien filtra las compo-nentes armonicas debidas a la saturacion delFET.

La inductancia variable se realiza por mediode un nucleo de ferrite enrroscable a profun-didad variable.

La capacidad que se usa es la capacidadparasita del transistor.

Bibliografa


UTN-FRP 2011 38




Oscilador Colpitts GeneralizadoResumen

V iVi

= gmZ2 [Z3 + Z1]

Z = R 1sC

=1

sC

R

R+ 1sC

=R

sCR+ 1V iVi

= gmR2

sC2R2 + 1 [sL3 +

R1sC1R1 + 1

]

= gmR2

sC2R2 + 1 [R1 + s

2C1R1L3 + sL3sC1R1 + 1

]

= gmR2

sC2R2+1[R1+s

2C1R1L3+sL3sC1R1+1

]R2

sC2R2+1+ [R1+s

2C1R1L3+sL3sC1R1+1

]

= gm1

R2sC2R2+1

+ [R1+s2C1R1L3+sL3sC1R1+1

]

R2sC2R2 + 1

[R1 + s

2C1R1L3 + sL3sC1R1 + 1

]

= gmR2[R1 + s

2C1R1L3 + sL3]

R2(sC1R1 + 1) + [(R1 + s2C1R1L3 + sL3)(sC2R2 + 1)]

= gms2C1R1R2L3 + sR2L3 +R1R2

sC1R1R2 +R2 + sC2R2R1 +R1 + s3C1R1L3C2R2 + s2C1R1L3 + s2C2R2L3 + sL3


s3[C1R1L3C2R2] + s2[C1R1L3 + C2R2L3] + s[C1R1R2 + C2R2R1 + L3] + [R2 +R1]


s3[C1R1L3C2R2] + s2L3[C1R1 + C2R2] + s[L3 +R1R2(C1 + C2)] +R2 +R1

La resistencia R2 agrupa las resistencias decarga y salida de cualquier implementacion.

La resistencia R1 agrupa las resistencias deentrada y de polarizacion.

VER: Este desarrollo puede estar mal, pe-ro ser coincidente. Debera ser: V i =gmViZ2 Z1Z1+Z2+Z3

Se puede simplificar el numerador sabiendo que las impedancias de R1 y de R2 son de mucho mayormagnitud que sL3 o que

1sC1

y 1sC2 . Entonces R1 >>1

w0C1y R2 >>

1w0C2

V iVi

=gmR1R2

s3[C1R1L3C2R2] + s2L3[C1R1 + C2R2] + s[L3 +R1R2(C1 + C2)] +R2 +R1

Los terminos con exponente impar, seran los imaginarios. Reemplazamos s = jw0 e igualamos acero para hacer el cociente real:

s3[C1R1L3C2R2]+s[L3 +R1R2(C1 +C2)] jw0[L3 +R1R2(C1 +C2)w20(C1R1L3C2R2)] = 0

w0 =

L3 +R1R2(C1 + C2)

C1R1L3C2R2=

1

C1R1C2R2+

(C1 + C2)

C1L3C2

UTN-FRP 2011 39


Continuando con la simplificacion mencionada:

w0 =

(C1 + C2)

C1L3C2=

1L[C1 C2]

V iVi

(jw0) =gmR1R2

R2 +R1 w20L3[C1R1 + C2R2] 1

=gmR1R2

R2 +R1 (C1+C2)C1L3C2 L3[C1R1 + C2R2]

=gmR1R2

R2 +R1 [R1 (C1+C2)C2 +R2(C1+C2)

C1]

=gmR1R2

R2 +R1 [R1C1C2 +R1 +R2C2C1

+R2]

=gmR1R2

R1C1C2

+R2C2C1

=gm

1R2

C1C2

+ 1R1C2C1

1

gm 1

R2

C1C2

+1

R1

C2C1

Realizando un cambio de variable x = C2C1 enel resultado anterior graficamos:

1

xR2+

x

R1 gm

El rango de valores de x = C2C1 para que seproduzca la oscilacion, es:

x2R2 +R1xR2R1

gm

x2R2 +R1 gmxR2R1x2R2 gmxR2R1 +R1 0

Usando la resolvente para esta inecuacioncuadratica obtenemos:

1

gmR2 x1 x x2 gmR1

Todos los valores de este intervalo hace que el circuito oscile.

Se prefieren los valores limites ya que dan ganancia mas proxima a 1.

Conviene utilizar el extremo que proporcione mayor Q, que produce un pico de resonancia masagudo, ya que as sera mayor la estabilidad en frecuencia.

Bibliografa


UTN-FRP 2011 40




VCO a VARICAPResumen

El comportamiento de los diodos Varicap de-pende de la formacion en la zona de la union.

Las capas P y N estan separadas por estaunion llamada zona de empobrecimiento Ddesprovista de cargas electricas, por lo que secomporta como un aislante (dielectrico).

Se polarizan inversamente. Tension positivasobre el catado.

Los valores de capacidad van de 1 a 500 pF

Al aumentar la tension inversa aplicada au-menta el grosor de la union D y por tanto lacapacidad.

KV CO =df0dV

=df0dCV

dCVdV

=Cs

0,7 Vs8L[CT (0,7 V )]3/2

donde Cs es la capacidad del varicap a unapolarizacion Vs,

V es la tension aplicada en polarizacion inver-sa,

y n = 1/2 si la juntura del diodo es abruptao n = 1/3 si es gradual.

Tension Maxima = Capacidad mnima

Tension mnima = Capacidad Maxima

f0 =1

2LCT

CT = COSC + CV

CV = Cs

[0,7 Vs0,7 V

]n

UTN-FRP 2011 41


df0dCV

=d

dCV

[1

2LCT

]= 1

(2LCT )2

d

dCV

[2LCT

]= f20 2

d

dCV

[LCT

]= f20 2

1

2(LCT )

1/2 d

dCV[LCT ]

= f20LCT

L2

2

= 22Lf30

dCVdV

= Csd

dV

[0,7 Vs0,7 V

]n= Cs(0,7 Vs)n

d

dV[0,7 V ]n

= Cs(0,7 Vs)n(n) [0,7 V ]n1 (1)

= nCs

[0,7 Vs0,7 V

]n[0,7 V ]1

=nCV

0,7 V

KV CO =df0dCV

dCVdV

= 22Lf30nCV

0,7 V= 22L 1

(2LCT )3

nCV(0,7 V )

= L 14L3/2C

3/2T

nCs(0,7 Vs)n

(0,7 V )n+1

Para n = 1/2:

KV CO = LCs1

8LLC

3/2T

0,7 Vs

(0,7 V )3/2= Cs

0,7 Vs

8L[CT (0,7 V )]3/2

El signo negativo indica que al incrementar la tension de error, se reducira la frecuencia de salida.

Las redes RfCf proveen de filtros para la alimentacion que tienen alta impedancia a la frecuenciade operacion.

El gate a tierra presenta mayor estabilidad en frecuencia.

La red de control de frecuencia consiste en dos parte. Una es controlada por la tension de error delPLL, o ajuste fino, mientras que la otra se utiliza para llevar la frecuencia libre del VCO al rangode captura.

Para el estudio se desconecta la influencia del segundo varicap.

Bibliografa

Fuentes varias en Internet

Resumen de fuente desconocida

UTN-FRP 2011 42




VCXO con VARICAPResumen

Los VCXO no son ampliamente utilizados ensintetizadores debido a que no puede ser sinto-nizado sobre una amplia gama de frecuencias.

Su gran estabilidad es su ventaja.

El cristal se pone en lugar del inductor, fun-cionando a una frecuencia intermedia.

A la frecuencia w0 el cristal es supuesto de te-ner una impedancia inductiva y una pequenacomponente resistiva.

El varicap se conecta en serie con el cristalpara variar la frecuencia de operacion.

Una alta impedancia debe conectarse entre laentrada de tension de sintonia y el varicap, demodo que no afecta la polarizacion del circui-to. Se puede usar una resistencia grande, o unchoque.

CV = Cs

[0,7 Vs0,7 V

]nPara hacer oscilar en un sobretono del cristal,se coloca un filtro paralelo RC en el colectorsintonizado a una frecuencia impar del cristal.

Una carga muy grande puede hacer que el cris-tal se caliente, generando mayor desgaste enel tiempo y haciendo que la frecuencia bajeligeramente.

Bibliografa

Fuentes varias en Internet

UTN-FRP 2011 43




VCXO con VARICAPsEspalda con Espalda

ResumenEl cristal se comporta inductivamente a unafrecuencia entre ws y wp.

El transformador y la capacidad variable sepueden ajustar de forma que la impedanciavista por el circuito sea inductiva o capacitiva,pudiendo variar as la frecuencia de oscilacion.

El circuito de capacidad variable consiste en2 varicaps espalda con espalda, 2 capacitoresde acople, 2 capacitores de acople que aslan lacontinua y limitan la variacion de los varicaps.

A muy alta frecuencias las R se reemplazanpor choques. Los varicaps quedan desconecta-dos de la continua y de la tierra. Estos quedanen serie con la impedancia inductiva del cristaly el primario del transformador.

I1 =gmViZ1 V1I1

Z1 + sLC +1

sCV /2+ V1I1

V1 = L1sI1 + MsI2

V2 = MsI1 + L2sI2 = I21

sCqI2 = sCqV2

V i = V2 = MsI1 s2L2CqV2 =sM

[1 + s2L2Cq]I1

=sM

[1 + s2L2Cq]

gmViZ1 V1I1Z1 + sLC +

1sCV /2

+ V1I1

=sM

[1 + s2L2Cq]

gmViZ1 L1s+s3(L1L2CqM2Cq)1+s2L2Cq

Z1 + sLC +1

sCV /2+

L1s+s3(L1L2CqM2Cq)1+s2L2Cq

Luego continuamos por separar los terminos impares de s yreemplazar s = jw0, despejando la frecuencia de resonancia w0.

Para la condicion de oscilacion terminamos por evaluar:

V iVi

w0

> 1

V1I1

= L1s+MsI2I1

0 = MsI1 + L2sI2 + I21

sCq

I2I1

=sM

sL2 +1sCq

=s2MCq

1 + s2L2Cq

V1I1

= L1ss3M2Cq

1 + s2L2Cq

=L1s+ s

3(L1L2Cq M2Cq)1 + s2L2Cq

UTN-FRP 2011 44




Diseno de un oscilador Colpitts.Resumen

Enunciado:

Encontrar:

Re, re, RE , R1, R2, Rp, C1, C2, Cf , CC , CB , PT

PL = 30mW

RL = 4000

fo = 3,5MHz

Lt = 1,5H

Qc = 160

= 50

Co = 4pF

VCC = 20V

Red de alterna

Procedimiento de diseno practico para cargas de alta resistencia.

Para que inicien las oscilaciones, la ganancia debe ser mayor que min. Pero con los transistoresmodernos es difcil no encontrar uno que cumpla estas caractersticas siempre que la frecuencia deoperacion sea fo =

fT2 y que la Rt > 1000.

Por otro lado la eficiencia del oscilador colpitts es de 25 %, entonces debemos elegir un transistorque disipe al menos cuatro veces la potencia que se desea.

PT = 4PL = 120mW fT = 2fo = 7Mhz

El inductor RFC es un choque de RF que evita que RE disipe potencia en regimen de alterna. Porello este inductor es tan grande como se pueda.

RFC

Los capacitores CB y CC se comportan como cortocircuito en RF. El primero manda la base a tierra,y el segundo es un capacitor de acoplamiento de baja impedancia que evita corrientes continuas enla carga. Por tanto, son valores grandes.

CB = CC = 3,3nF

UTN-FRP 2011 45


La resistencia Re debe hacerse lo suficientemente grande (Re 100) para eliminar la inductanciade entrada del transistor, y as reducir la dependencia de la frecuencia de operacion respecto de losparametros del transistor a costo de una perdida de potencia en RF. Elegimos:

Re = 50

La inductancia Lt se puede calcular, dar como dato o simplemente elegir, ya que usualmente resultaen valores tan pequenos que no existen tantos valores comerciales para seleccionar. Por esa razon, sidebe se elegida se suele elegir Lt = 1,2H, acompanado de un Q = 50. Pero no es este caso. Aqu:

Lt = 1,5H y Qc = 160

El capacitor Ct es la capacitancia total del circuito tanque (el de realimentacion), que esta relacio-nado con Lt por:

Ct =1

w20Lt= 1,378nF

Ct = Co + Cs + Cf

El capacitor Cf es un capacitor de ajuste que se coloca en el circuito tanque para variar la frecuenciade operacion. Por tanto se debe elegir en el rango de un capacitor variable comercial:

Cf = 10pF [2 a 20pF ]

Co es la capacitancia de salida del transistor Co Cob en el circuito equivalente de alterna, quequeda en paralelo con la salida. Suele estimarse de unos pocos picofaradios.

La capacidad Cs no es mas que el paralelo de C1 y C2. Con esta se calculan luego los valores deambos.

Cs = Ct Co Cf = 1,378 0,004 0,01 = 1,364nF

Cs = C1 C2 =C1C2C1 + C2

El transistor en un oscilador Colpitts en base comun se comporta como una fuente de corrienteparalelo. Entonces la combinacion de las resistencias en paralelo del circuito equivalente es Ro =Rp N2Ri RL, en donde Ri = Re + rc.

Para que exista una maxima transferencia de energa, la RL debe estar acoplada a la salida delcircuito paralelo del oscilador, por tanto, RL = Rp N2Ri, lo que implica que:

Ro = RL RL =RL2

= 2000

Luego la potencia maxima entregada a la carga es:

PLmax =I2CQRL

8

y la potencia suministrada por la fuente:

Pdc = I2CQRo = I

2CQ

RL2

lo que recordando, nos da una eficiencia de

=PLmaxPdc

=I2CQRL

8

2

I2CQRL=

2

8=

1

4= 25 %

UTN-FRP 2011 46


De la PLmax, que es un parametro de diseno, podemos despejar ICQ:

ICQ =

8PLRL

= 7,74mA

La resistencia serie rc de la bobina Lt es importante en la operacion del circuito y se la incluyedefiniendo una resistencia paralelo Rp = Q

2crc. Por otro lado si este dato no es dado como en este

ejercicio, la rc se puede estimar con:

rc 1

40ICQ= 3,23

Teniendo la resistencia serie rc del bobinado y la selectividad deseada Qc, se puede calcular laresistencia paralelo equivalente:

Rp = Q2crc = 12,8k

Ri = Re + rc = 50 + 3,23 = 53,23

El Qc determina a Rp, que junto con Ri determinaran ahora a N . El Qc debe ademas medirsedirectamente del inductor que se va a usar.

El N es el analogo de razon de vueltas de un transformador pero en el divisor capacitivo de C1 yC2. Y queda dado por:

N =

RLRp

Ri(Rp RL)= 10,45

Observese que Rp debe ser mayor que RL.

Finalmente, los valores de Cs y N determinan a C1 y C2.

C1 =NCsN 1

= 1,51nF C2 = NCs = 14,33nF

Para facilitar el ajuste del circuito, C1 se constituye a menudo como un capacitor variable.

En este procedimiento se han supuesto una operacion lineal del transistor, y voltajes y corrientessinusoidales. Se ignoraron ademas muchos parametros del transistor. Sin embargo, el procedimiento daranoscilaciones que funcionan.

Red de polarizacion

Los datos que tenemos son:

VCC = 20V ICQ = 7,74mA RL = 4000 Re = 50

Y las incognitas:RE , VCBQ, VBQ, VBB , Rb, R1, R2

Planteamos las ecuaciones de las mayas en continua:VBB = IBQRb + VBEQ + ICQ(Re +RE)

VCC = ICQrc + VCEQ + ICQ(Re +RE)

UTN-FRP 2011 47


La RE solo es valida en el analisis de continua ya que esta precedida por un choque de RF que ladesconecta del analisis de alterna. Hallamos esta resistencia despejando el valor de la segunda mallay considerando a rc despreciable:

RE =VCC VCEQ

ICQRe

=VCC (VCBQ + 0,7)

ICQRe

VCBQ = ICQRo = ICQRL2

= 15,5V

RE = 441

La resistencia de base del circuito equivalente de Thevenin Rb = R1 R2 puede aproximarse por:

Rb Re +RE

10= 2455

La tension de base equivalente de Thevenin es entonces:

VBB =ICQRb + 0,7 + ICQ(Re +RE) = ICQ(

Rb

+Re +RE) + 0,7 = 4,886V

Utilizando divisor resistivo en el circuito de base llegamos a las expresiones de R1 y R2 :

VBB = VCCR2

R1 +R2 VBB

VCC=

R2R1 +R2

=R1 R2R1

=RbR1

R1 = RbVCCVBB

= 10k

R2 = Rb1

1 VBBVCC= 3248

La potencia total suministrada puede calcularse entonces con:

Pdc = VCBQICQ = 0,11997W 120mW

Bibliografa


UTN-FRP 2011 48




Diseno de un oscilador Colpitts.Ejemplo de algun final

Enunciado:

Disene un oscilador Colpitts que entregue 30mW a una cargade 4k en 3,5Mhz. El oscilador usara una bobina de 1,5Hycon un Qc = 160 y un transistor con = 50 y Co = 4pF . Debeoperar con una alimentacion VCC = 20V . Especificar todoslos resistores y capacitores, determinando las tasas mnimasde potencia y frecuencia.

PL = 30mW

RL = 4000

fo = 3,5MHz

Lt = 1,5H

Qc = 160

= 50

Co = 4pF

VCC = 20V

Red de alterna


Realizamos el calculo para Rt > 1000

Potencia disipada por el transistor: PT = 4PL = 120mW

Frecuencia soportada por el transistor: fT = 2fo = 7Mhz

Elegimos: RFC

Elegimos: CB = CC = 3,3nF

Elegimos: Re = 50

La inductancia esta dada: Lt = 1,5Hy y su Qc = 160

Calculamos la capacidad de circ. tanque: Ct =1

w20Lt= 1,378nF

Elegimos Cf como: Cf = 10pF [2 a 20pF ]

El Co esta dado: Co = 4pF

UTN-FRP 2011 49


Calculamos Cs = Ct Co Cf = 1,364nF

Para que exista una maxima transferencia de energa:

Ro =RL2

= 2000


PLmax =I2CQRL

8

Despejamos: ICQ =

8PLRL

= 7,74mA

La resistencia serie de la bobina es rc 140ICQ = 3,23

Calculamos la resistencia paralelo equivalente: Rp = Q2crc = 12,8k

La resistencia de entrada equivalente: Ri = Re + rc = 53,23

Y con estos calculamos la razon de vueltas : N =

RLRpRi(RpRL) = 10,45


C1 =NCsN 1

= 1,51nF C2 = NCs = 14,33nF

Se han supuesto una operacion lineal del transistor, y voltajes y corrientes sinusoidales. Se ignoraronademas muchos parametros del transistor. Sin embargo, el procedimiento dara oscilaciones que funcionan.

Red de polarizacion

Planteamos las ecuaciones de las mayas en continua:

VBB = IBQRb + VBEQ + ICQ(Re +RE)

VCC = ICQrc + VCEQ + ICQ(Re +RE)

Calculamos: VCBQ = ICQRL2 = 15,5V

Calculamos: RE =VCCVCEQ

ICQRe = VCC(VCBQ+0,7)ICQ Re = 441

La Rb puede aproximarse por: Rb Re+RE10 = 2455

La VBB es entonces: VBB =ICQ Rb + 0,7 + ICQ(Re +RE) = ICQ(

Rb +Re +RE) + 0,7 = 4,886V

Calculamos R1 y R2 con las formulas:

R1 = RbVCCVBB

= 10k R2 = Rb1

1 VBBVCC= 3248

Calculamos: Pdc = VCBQICQ = 0,11997W 120mW

Bibliografa


UTN-FRP 2011 50




Diseno de un oscilador Colpitts.Ejemplo de algun final

Enunciado:

Encontrar:

Re, re, RE , R1, R2, Rp, C1, C2, Cf , CC , CB , PT

PL = 100mW

RL = 2000

fo = 8MHz

Lt = 5Hy

Qc = 260

= 150

Co = 4pF

VCC = 24V

Red de alterna


Realizamos el calculo para Rt > 1000



Elegimos: RFC


Elegimos: Re = 100

La inductancia esta dada: Lt = 5Hy y su Qc = 260


w20Lt= 79,16pF



UTN-FRP 2011 51


Calculamos Cs = Ct Co Cf = 65,16pF


Ro =RL2

= 1000


PLmax =I2CQRL

8

Despejamos: ICQ =

8PLRL

= 20mA


Calculamos la resistencia paralelo equivalente: Rp = Q2crc = 84,5k





C1 =NCsN 1

= 83,78pF C2 = NCs = 293,09pF


Red de polarizacion



VCC = ICQRp + VCEQ + ICQ(Re +RE)

Calculamos: VCBQ = ICQRL2 = 20V

Calculamos: RE =VCCVCEQ

ICQRe = VCC(VCBQ+0,7)ICQ Re = 265

La Rb puede aproximarse por: Rb Re+RE10 = 5475


Rb +Re +RE) + 0,7 = 8,73V


R1 = RbVCCVBB

= 15k R2 = Rb1

1 VBBVCC= 8605

Bibliografa


UTN-FRP 2011 52




Diseno de un oscilador Colpitts.Ejemplo 5.5.1 del Krauss

Enunciado:

Disene un oscilador Colpitts que entregue 15mW a una cargade 5371 en 10Mhz. Debe operar con una alimentacion de17V . Especificar todos los resistores y capacitores, determi-nando las tasas mnimas de potencia y frecuencia.

PL = 15mW

RL = 5371

fo = 10MHz

VCC = 17V

Este procedimiento se obtiene del ejemplo del libro y se tratode desarrollar mas prolijamente, pero esta basado en muchassuposiciones y estimaciones de origen emprico.

Red de alterna


Realzamos el calculo para Rt > 1000



Elegimos un transistor 2N3866


Elegimos: Re = 44

Calculamos estimativamente la inductancia primero debido a que es el elemento mas difcil deobtener comercialmente a estos valores.

Lt =Ro

50wo= 855nHy Lt = 1,2Hy

Con un medidor de R-X encontramos que el inductor tiene un Qc = 150

UTN-FRP 2011 53



w20Lt= 211pF


Elegimos: Co = 4pF

Calculamos Cs = Ct Co Cf = 197pF


Ro =RL2

= 2686


PLmax =I2CQRL

8

Despejamos: ICQ =

8PLRL

= 4,7mA


Calculamos la resistencia paralelo equivalente: Rp = Q2crc = 119250



RLRpRi(RpRL) = 14,4


C1 =NCsN 1

= 218pF C2 = NCs = 2923pF


Red de polarizacion

Elegimos RE = 700.

Suponemos un = 50.

Suponemos una corriente de drenaje en R2 de 1mA.

La R1 es entonces 12k y la R2 = 3,7k.




Bibliografa


UTN-FRP 2011 54




Diseno de un oscilador Colpitts.Final 19 de julio de 2002

Enunciado:

Disene un oscilador Colpitts que entregue 250mW a una cargade 3,3k en 20Mhz. El oscilador usara una bobina de 2,7Hycon un Qc = 120 y un transistor con = 70 y Co = 2pF .Debe operar con una alimentacion de 35V . Especificar todoslos resistores y capacitores, determinando las tasas mnimasde potencia y frecuencia.

PL = 250mW

RL = 3300

fo = 20MHz

Lt = 2,7Hy

Qc = 120

= 70

Co = 2pF

VCC = 35V

Red de alterna


Realzamos el calculo para Rt > 1000



Elegimos: RFC


Elegimos: Re = 50

La inductancia esta dada: Lt = 2,7Hy y su Qc = 120


w20Lt= 23,45pF



Calculamos Cs = Ct Co Cf = 11,45pF

Para que exista una maxima transferencia de energa: Ro =RL2 = 1650

Luego la potencia maxima entregada a la carga es: PLmax =I2CQRL

8

UTN-FRP 2011 55


Despejamos: ICQ =

8PLRL

= 24,6mA

Este ejercicio es algo particular. Si nos conformamos con este valor de ICQ, la RE dara negativa.Para que esto no ocurra, a partir de la primer malla encontramos RE y despejamos la condicion:ICQ VCC0,725

Re+RL2

= 14,27mA

Con este valor de corriente y recalculando la R de carga optima, la RE sera nula.

Eligiendo este valor deberemos realizar una adaptacion de impedancias para llevar la RL a unaRmin =

8PLI2CQmax

= 9821 de forma de poder entregar la potencia requerida.

Calculamos la adaptacion por transformador a la salida con relacion de vueltas M

RminRL

=

1,725, que redondeamos a M = 2, entonces R = M2RL = 13,2k

Finalmente recalculamos el valor final de ICQ =

8PLR = 12,3mA

La resistencia serie de la bobina es rc 140ICQ = 2

Calculamos la resistencia paralelo equivalente: Rp = Q2crc = 29268

La resistencia de entrada equivalente: Ri = Re + rc = 52




C1 =NCsN 1

= 12,986pF C2 = NCs = 96,83pF


Red de polarizacion

Planteamos las ecuaciones de las mayas en continua:VBB = IBQRb + VBEQ + ICQ(Re +RE)


Calculamos: VCBQ = ICQR2 = 81,18V

HACER: Me va a dar la RE negativa !!Calculamos: VCEQ = VCBQ + 0,7 = xxxV

De la segunda despejamos RE =VCCVCEQ

ICQRe

Calculamos: RE = xxx

La Rb puede aproximarse por: Rb Re+RE10 = xxx


Rb +Re +RE) + 0,7 = xxxV


R1 = RbVCCVBB

= xxxk R2 = Rb1

1 VBBVCC= xxx

Bibliografa


UTN-FRP 2011 56




Condicion de oscilacion de unoscilador Colpitts.

Resumen

Enunciado:

Encontrar la RLmin necesaria para que comiencen las osci-laciones en transistores con ganancia de lazo citados en unoscilador Colpitts:

1. 1 = 0,98

2. 2 = 0,99

3. 3 = 0,999

4. 4 = 1,0

CB = CC = 3,3F

R1 = 12k

R2 = 3,7k

Rp = 11,3k

Re = 44

RL = 5371

rc = 5,3

Lt = 1,2H

C1 = 218pF

C2 = 2842pF

Cf = 2,2pF

Resolucion

Comenzaremos este ejercicio de atras para adelante.Partiendo de la formula 5.18 del Krauss pagina 149:Si el circuito se encuentra optimizado para que la frecuencia de oscilacion dependa solamente del

circuito tanque LC, entonces la condicion simplificada para que principien las oscilaciones es:

min 1

1 + C2C1+RiRt

(1 +C2C1

)

Calculamos los valores incluidos en la expresion:

A = (1 +C2C1

) = 14,036 Ri = Re + rc = 49,3 Rt = RL Rp

Y avanzamos despejando RL en funcion de sabiendo que este es el dato.

UTN-FRP 2011 57


11 + C2C1

+RiRt

(1 +C2C1

)

1A

+Ri

RL RpA

1A Ri

RL RpA

RL Rp Ri

1AA

RLRpRL +Rp

A2Ri

A 1

RLRp A2RiA 1

(RL +Rp)

RL(Rp A2RiA 1

) A2Ri

A 1Rp

RL A2RiA 1

Rp1

(Rp A2Ri

A1 )

RL A2RiRp

Rp(A 1)A2Ri

Luego con este resultado reemplazamos los valores:

1 = 0,98 RLmin = 816,472 = 0,99 RLmin = 806,953 = 0,999 RLmin = 798,564 = 1,0 RLmin = 797,64

Calculo analtico de min

La formula de min es imposible de recordar, por lo que se debe realizar el calculo completo.El analisis comienza del circuito equivalente en alterna del oscilador Colpitts.

Realizamos el estudio por las ecuaciones de nodos:[IS0

]=

[ 1Ri

+ s(C1 + C2) sC1 1Ri sC1

1Ri

+ s(C1 + Co + Cf ) +1sLt

] [ViVo

]

Haciendo gi =1Ri

resolviendo para Vo:

Vo =

[gi + s(C1 + C2) ISgi sC1 0

](s)

=IS(gi sC1)

(s)

UTN-FRP 2011 58


Observamos que la salida tiende a infinito cuando el determinante tiende a cero. Si esto sucede,un simple ruido termico de entrada comenzara las oscilaciones, y el sistema luego no requerira deentrada. Puede demostrarse que cuando (s) = 0, los polos del sistemas se encuentran situadossobre el eje jw.

Resolviendo el determinante, y agrupando respecto de la variable s:

(s) = gi + s(Ltgtgi + Co) + s2(LtgiCb + LtgtCa) LtC1gi + s3(LtCaCb LtC21 ) = 0

siendo:

Ca = C1 + C2 Cb = C1 + Co + Cf

La condicion limite para el establecimiento de las oscilaciones permanente es cuando las races seencuentran sobre el eje jw, es decir, cuando s = jw

(jw) = gi + jw(Ltgtgi + Ca) w2[(LtgiCb + LtgtCa) LtC1gi] jw3(LtCaCb LtC21 ) = 0

Tanto la parte real como imaginaria deben ser cero:


Para el circuito tanque domine la operacion del oscilador, el segundo termino debe ser mucho mayorque el primero. Entonces:

1

Lt[(Co + Cf ) +C1C2

(C1+C2)] 1

RtRi[(C1 + C2)(Co + Cf ) + C1C2]

Lt[(Co + Cf ) +C1C2

(C1 + C2)] RtRi[(C1 + C2)(Co + Cf ) + C1C2]

RtRi(C1 + C2)[(Co + Cf ) +C1C2

(C1 + C2)]

Lt RtRi(C1 + C2)

w2o 1

Lt[(Co + Cf ) +C1C2

(C1+C2)]

Luego continuamos despejando respecto de w y sustituyendo w2o.

gi w2[(LtgiCb + LtgtCa) LtC1gi] = 0w2LtC1gi = w

2(LtgiCb + LtgtCa) giw2LtC1gi = w

2LtgiCb + w2LtgtCa gi

=w2LtgiCbw2LtC1gi

+w2LtgtCaw2LtC1gi

giw2LtC1gi

=CbC1

+gt(C1 + C2)

C1gi 1w2LtC1

=C1 + Co + Cf

C1+RiRt

(C1 + C2)

C1 1w2LtC1

= 1 +Co + CfC1

+RiRt

(1 +C2C1

) 1w2LtC1

= 1 +Co + CfC1

+RiRt

(1 +C2C1

) 11Lt[(Co+Cf )+

C1C2(C1+C2)

]LtC1

= 1 +Co + CfC1

+RiRt

(1 +C2C1

)Lt[(Co + Cf ) +

C1C2(C1+C2)

]

LtC1

= 1 +Co + CfC1

+RiRt

(1 +C2C1

) (Co + Cf )C1

C1C2

(C1+C2)

C1

= 1 +RiRt

(1 +C2C1

) C2(C1 + C2)

=RiRt

(1 +C2C1

) +C1 + C2 C2

(C1 + C2)

=RiRt

(1 +C2C1

) +C1

(C1 + C2)

=RiRt

(1 +C2C1

) +1

(1 + C2C1 )

Bibliografa


UTN-FRP 2011 60




PLL: OrdenResumenLa ganancia de lazo abierto es:

G(s) = KF (s)KV COs =

os

la

= K F (s)s

La ganancia en lazo cerrado es:

H(s) = G(s)1+G(s) =KF (s)s+KF (s)

K F (s) AKV COs

En lazo abierto, desconectando la entrada del VCO, tendremos una diferencia de frecuencias a lasalida del detector de fase de f = fs ff , donde ff es la frecuencia de oscilacion libre del VCO.

A la salida del detector de fase aparecera armonicos y productos de intermodulacion superpuestasa esta frecuencia f que seran filtrados luego.

Al aproximar la frecuencia del VCO a fs y disminuir f , la salida oscilante desaparece y quedasolamente presente una tension de continua. En ese momento cerramos el lazo.

Con el lazo cerrado, cualquier corrimiento de frecuencia se compensa automaticamente con la tensionde error.

El VCO tiene una salida de frecuencia con una tension de entrada, por lo tanto su funcion de

transferencia es KV CO =rad/sV = 2kV CO = 2

fV CO(V )V

As mismo la frecuencia es la derivada de la variacion de la fase, entonces: KV COs =V

Las races de H(s) son los polos de la funcion del sistema y definen el comportamiento transitorio.

Si se reduce el ancho de banda del filtro se incrementa su respuesta en el tiempo esto ayuda amantener el estado fijo cuando se producen perdidas momentaneas de senal.

PLL de primer orden (sin filtro) caso ideal

Describe el comportamiento un filtro pasabajos de fase:

F (s) = 1 G(s) = Ks

H(s) = Ks+K

=1

1 + sKSe usa para eliminar el ruido de fase.

El error de fase es entonces: e(s) = s o = s sKF (s)s+KF (s) = s(s+KF (s)KF (s)

s+KF (s)

)= sss+KF (s)

Para mantener el error de fase pequeno se debe incrementar K pero tambien incrementara el ruido.

Para una entrada escalon de fase s =s se obtiene:

ess(t) = lms0 sss

s+K = 0

Para una entrada rampa de fase (tambien escalon de frecuencia) s =s2 =

ws se obtiene:

ess(t) = lms0 sss2

s+K =K

Esto significa que ante un escalon de frecuencia a la entrada habra un error de fase a la salida demagnitud proporcional al cambio de frecuencia.

UTN-FRP 2011 61


Puede demostrarse que para una rampa de frecuencia s =s3 =

ws2 , el error de fase resulta infinito.

Si el error de fase es demasiado grande, no se puede asumir la linealidad para el caso del detectorde fase senoidal, y entonces: ess = arcsin e

ss

PLL de 2orden

El filtro no es nulo. Es una red de atraso-adelanto pasiva:

F (s) =1 + 2s

1 + 1s1 = (R1 +R2)C 2 = R2C

La funcion de transferencia, queda entonces de segundo orden:

H(s) =K 21 (s+

12

)

s2 + 11 (1 +K2)s+K2

=swn

[2 wnK

]+ w2n

s2 + 2wns+ w2n

El error de fase es: e(s) =s(1 + 1s)s

1s2 + (1 +K2)s+K

Para una entrada escalon de fase: ess = 0

Para una entrada rampa de fase: ess =wK

Para una entrada rampa de frecuencia: ess =

PLL de 2orden de integracion perfecta

Los otros sistemas no son perfectos ya que requieren un cierto error en la fase para su funcionamiento.

Un PLL ideal requiere de un filtro ideal con integrador perfecto F (s) = s+as que no se puedeimplementar.

El filtro que se usa entonces es un filtro activo con amplificador operacional amplificador inversor:

F (s) =1 + 2s

1s=21

[s+ 12s

]1 = R1C 2 = R2C

La funcion de transferencia, queda entonces de segundo orden:

G(s) =K R2R1 (s+

12

)

s2H(s) =

os

=K R2R1 (s+

12

)

s2 + (K R2R1 )s+KR2R12

=w2n + 2wns

s2 + 2wns+ w2n

El error de fase es:e(s) =

s2s

s2 +K R2R1 s+K2R2R1

Para una entrada escalon de fase: ess = 0

Para una entrada rampa de fase: ess = 0

Para una entrada rampa de frecuencia: ess =2R2

dwdt

KR2

Bibliografa

Centro de estudiantes 2002-2003 - S.A.M.E. Electronica Aplicada III - Capitulo N5: Lazos deenclavamiento de fase (PLL). Sintetizadores de frecuencia

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PLL: Caso ideal y caso realResumen

La ganancia de lazo abierto es:

G(s) = KF (s)Ka =Vos

la

= KF (s)

La ganancia en lazo cerrado es:

H(s) = G(s)1+G(s) =KF (s)

1+KVCO

s KF (s)= 1KV CO

s1+ s

KVCOKF (s)

K F (s) A

KV COs

En este caso estudiamos el PLL con la salida de tension. Proporcional a la diferencia de frecuencias.

Expresamos la funcion de transferencia respecto de ws:H(s) =Vows

lc

= 1sVos

lc

= 1KV CO1

1+ sKVCOKF (s)

Con el lazo cerrado, cualquier corrimiento de frecuencia se compensa automaticamente con la tensionde error.

El VCO tiene una salida de frecuencia con una tension de entrada, por lo tanto su funcion de

transferencia es KV CO =rad/sV = 2kV CO = 2

fV CO(V )V

As mismo la frecuencia es la derivada de la variacion de la fase, entonces: KV COs =V

Caso ideal (sin filtro F (s) = 1)

Suponemos una entrada escalon de frecuencia: ws =ws

La respuesta sera: Vd = H(s)ws =

wKV CO

1s

11+ sKVCOK

= As +B

1+ sa

Que expresado en el tiempo resulta en: vd(t) = Au(t) +Beatu(t) donde A = wKV CO y B =

wKV CO

Finalmente: vd(t) = Vd [1 eat]u(t)

Suponiendo ahora una entrada cuya frecuencia variasenoidalmente alrededor de una frecuencia central:

ws = w0 + wmax sinwmt

wm es la frecuencia a la cual varia la frecuencia de la senal de entrada.

La salida sera esta misma, retardada por el argumento = arg[H(s)] y modificada la magnitud dela variacion en |H(s)|:

vo(t) =w0

KV CO+

wmaxKV CO

|H(s)| sin(wmt+ )

En este caso: |H(s)| = 11+( wmKVCOKDA

)2y arg[H(s)] = tan1 wmKV COKDA

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Caso real (PLL orden 2)

F (s) =1

1 +RCs

H(s) = Vows

lc

= 1KV CO1

1+ sKVCOK(1+RCs)

La funcion de transferencia sera de segundo orden:

H(s) =1

KV CO

1

1 + 1KV COK s+RC

KV COKs2

=1

KV CO

1

1 + 2 swn +s2

w2n

Donde: wn =wRCKV COK y =

12

wRC

KV COK

wn determina el ancho de banda resultante para el PLL.

wRC debe ser pequeno para filtrar la frecuencia wi + wV CO 2wi

Como es sabido de sistemas de control, un sistema de segundo orden, tendra una respuesta su-bamortiguada, crticamente amortiguada o sobre amortiguada dependiendo del valor de .

Bibliografa

Federico Miyara: Lazos de fijacion de Fase (PLL). Segunda Edicion. Ano 2004

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PLL: Enganche y CapturaResumen

Como no es posible construir un detectorde fase que entregue directamente unatension proporcional a la diferencia defase, usaremos un multiplicador acom-panado de un filtro pasabajos. Llamadodetector de fase multiplicativo.

K F (s) AKV COs

Suponiendo entradas senoidales: v1(t) = V1 sin(w1t) v2(t) = V2 sin(w2t)

La multiplicacion conduce a: v3(t) = Lv1v2 = KV1V2

2 [cos(w1 w2)t sin(w1 + w2)t]

La componente de alta frecuencia (w1 + w2) se elimina con el filtro pasabajos.

La diferencia (w1w2)t es precisamente la diferencia de fase de las senales de entrada , de modoque v3 = K

V1V22 cos

La funcion coseno es bastante lineal en las proximidades de /2, por lo que es posible aproximar av3 = K

V1V22 (

2 ) = K(

2 )

Esta aproximacion no es valida si la diferencia de fase es grande.

Usando una compuerta XOR se obtiene una respuesta diferente. La salida es v3 = Ksg(v1)sg(v2),donde sg() es la funcion signo.

Integrando v3 sobre un periodo ([0, ]) calculamos el valor medio de salida.

V3med =1

T

T0

v3(t)dt =K( )

=

2

K(

2

)= KD

(2

)Para diferencias de fase cercanas a o a 0, el comparador de fase exhibe un comportamiento alinealy tiende a saturarse. La realimentacion se interrumpe, las frecuencias dejan de ser iguales y entoncesla fase salta periodicamente entre valores positivos y negativos tendiendo a un promedio nulo. Sedice que el PLL esta desenganchado.

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Rango de enganche

El rango de enganche es el limite de variacion de (wi wf ) que puede tener un PLL que estaenganchado. Donde wf es la frecuencia libre del VCO.

Se determina por el limite del VCO para producir frecuencia o porque el detector de fase y ampli-ficador no pueden suministrar la tension requerida de entrada al VCO.

La constante del VCO es: KV CO =maxima diferencia de frecuencia

maxima tension de control =|wiwf |

Vd

Con las salidas del detector de fase calculadas obtenemos las siguientes relaciones:

Para un detector multiplicativo:|wiwf |KV CO

KDA |wi wf | KDAKV CO

Para un detector tipo XOR:|wiwf |KV CO

2KDA |wi wf | 2KDAKV CO

Rango de captura

El rango de captura es mas restrictivo.

Partiendo de una situacion de desenganche, indica la maxima diferencia de frecuencia (wi wf )para que se produzca el enganche.

Cuando la diferencia (wi wf ) es demasiado grande, la salida oscilante del detector de fase v3 =KD cos(wi wf )t puede caer fuera de la banda de paso del filtro pasabajos.

En la salida del filtro pasabajos se tiene: v3 = KDA |F [j(wi wf )]| cos[(wi wf )t+ ]

Para que se produzca el enganche, la tension aplicada a la entrada del VCO debe ser menor que elmaximo.

Para un detector multiplicativo: |wi wf | KDAKV CO |F [j(wi wf )]|

Para un detector tipo XOR: |wi wf | 2KDAKV CO |F [j(wi wf )]|

Debido a la atenuacion del filtro, el rango de captura es menor que el rang

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Electronica aplicada 3