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elemento tipo marco espacialElemento finito
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Formulacion de elemento finito de estructuras
Formulacion de elemento finito de estructuras
¿Que es una estructura?
Una estructura consiste de elementos rectos conectados en sus extremosya sea por tornillos, remaches o soldadura. Los elementos encontrados enlas estructuras principalmente consisten de tubos de aluminio o acero,soportes de madera, barras de metal, angulos y canalones. Lasestructuras en ingenierıa se usan en muchas aplicaciones, por mencionaralgunas, torres, puentes, edificios y gruas.
Formulacion de elemento finito de estructuras
Tipos de Estructuras
Una armaduras esta disenada para soportar cargas y songeneralmente, estructuras totalmente estacionarias. Las armadurasestan formadas exclusivamente de miembros rectos conectados enlas juntas situadas en la extremos de cada miembro. Los miembrosde una armadura, por lo tanto, son two force miembros, es decir, losmiembros de actuar en consecuencia por dos fuerzas iguales yopuestas dirigidas a lo largo del miembro.
Los marcos son tambien estructuras totalmente por lo general a serestacionarios. Sin embargo, los marcos siempre contienen al menosun miembro multi forzado, es decir, un miembro accionado por treso mas fuerzas que, en general, no estan dirigidos a lo largo delelemento.
Formulacion de elemento finito de estructuras
Armaduras (truss por su nombre en ingles)
Una armadura consta de miembros rectos conectados en las juntas. Loselementos de refuerzo estan conectados solamente en sus extremidades;por lo tanto, ningun miembro es continuo a traves de una articulacion.Para el analisis de este tipo de estructuras se usan elementos tipo barralos cuales solo pueden resistir fuerzas axiales (compresion y tension), porlo que solo pueden deformarse en direccion axial. Las armaduras nopueden soportar cargas transversales ni momentos flexionantes.
Formulacion de elemento finito de estructuras
Derivacion de la matriz de rigidez para un elemento barraen coordenadas locales
Ahora consideraremos la derivacion de la matriz de rigidez para la elelemento barra con caracterısticas: linealmente elastica, de area seccionalconstante y prismatica mostrada en la figura siguiente
La barra esta sujeta a fuerzas de tension; los desplazamientos nodalespositivos son en la direccion local x .
Formulacion de elemento finito de estructuras
El elemento barra se asume de area seccional constante A, modulo deelasticidad E y longitud inicial L. Los grados de libertad nodales son: losdesplazamientos axiales locales (longitudinales, dirigidos a lo largo de lalongitud de la barra), representados por q1 y q2 en los extremos delelemento.Haciendo sumatoria de Fuerzas
−P +
(
P +∂P
∂x
)
= 0 (1)
Reduciendo la ecuacion (1)∂P
∂x= 0 (2)
De la ley de Hooke y la relacion de fuerza/desplazamiento se obtiene
σx = Eεx (3)
εx =du
dx(4)
Formulacion de elemento finito de estructuras
De mecanica de materiales se sabe
σx =P
A(5)
Aσx = P (6)
Sustituyendo (4) en (3)
σx = Edu
dx(7)
Introduciendo (7) en (2)
d
dx
(
AEdu
dx
)
= 0 (8)
Como el area de la seccion transversal A y el modulo de elasticidad E sonconstantes la ecuacion (8) se puede representar de la siguiente forma
AEd2u
dx2= 0 (9)
Formulacion de elemento finito de estructuras
Asumiendo una variacion lineal del desplazamiento a lo largo del eje x
como una funcion lineal en los extremos finales. Por lo cual usando unpolinomio de primer grado para representar los desplazamientos
u (x) = a1 + a2x (10)
Evaluando en las condiciones el polinomio en x = 0 y x = L (Condicionesde frontera), para encontrar el valor las constantes del polinomio
u (0) = a1 = q1 (11)
u (L) = a2L+ q1 = q2
por lo que el valor de las constantes queda
a1 = q1 (12)
a2 =q2 − q1
L
Sustituyendo el valor de las constantes a1 y a2 en (10)
u =q2 − q1
Lx + q1 (13)
Formulacion de elemento finito de estructuras
Poniendo en forma matricial la ecuacion (13)
u =[
N1 N2
]
{
q1q2
}
(14)
Donde Ni son las funciones de forma
N1 = 1− x
L(15)
N2 =x
L
La relacion deformacion/desplazamiento es
εx =du
dx=
q2 − q1
L(16)
{εx} = [B]~q(e) (17)
[B] =[
− 1L
1L
]
(18)
Formulacion de elemento finito de estructuras
Usando la relacion dada en la ecuacion (16) y ademas usando lasecuaciones (3) y (6)
f1x = −P = AE
(
q1 − q2
L
)
(19)
f2x = P = AE
(
q2 − q1
L
)
Poniendo en forma matricial las relaciones dadas en ( 19)
[
f1xf2x
]
=AE
L
[
1 −1−1 1
]{
q1q2
}
(20)
Por lo que la matriz de rigidez para un elemento barra en coordenadaslocales esta dada por la siguiente relacion
[
k (e)]
=AE
L
[
1 −1−1 1
]
(21)
Formulacion de elemento finito de estructuras
Matriz de rigidez en coordenadas globales
Para encontrar la matriz de rigidez de un elemento barra en lascoordenadas globales del sistema XYZ , es necesario encontrar una matrizde transformacion. El elemento bajo consideracion es un elemento de unaarmadura espacial. Sea el nodo 1 y 2 en coordenadas locales con susnodos correspondientes i y j , respectivamente, el sistema global semuestra en la figura
Formulacion de elemento finito de estructuras
Los desplazamientos q1 y q2 pueden ser representados en componentesde las coordenadas globales. Por lo que los desplazamientos estanrelacionados con la siguiente ecuacion
~q(e) = [λ] ~Q(e) (22)
donde la matriz de transformacion [λ] y el vector de desplazamientos del
elemento e en coordenadas globales del sistema ~Q(e) esta dada por
[λ] =
[
lij mij nij 0 0 00 0 0 lij mij nij
]
(23)
~Q(e) =
Q3i−2
Q3i−1
Q3i
Q3j−2
Q3j−1
Q3j
(24)
y lij , mij y nij denotan los cosenos directores de los angulos entre la lineaij en las direcciones 0X , 0Y , y 0Z , respectivamente.
Formulacion de elemento finito de estructuras
Los cosenos directores pueden calcularse en terminos de las coordenadasglobales de los nodos i y j como
lij =Xj−Xi
l, mij =
Yj−Yi
l, nij =
Zj−Zi
l(25)
donde (Xi ,Yi ,Zi) y (Xj ,Yj ,Zj) son las coordenadas globales de los nodosi y j , respectivamente, y l es la longitud del elemento ij dado por
l =[
(Xj − Xi )2+ (Yj − Yi)
2+ (Zj − Zi)
2]
12
(26)
Formulacion de elemento finito de estructuras
cosα =Ax
|A| (27)
cosβ =Ay
|A|
cos γ =Az
|A|
Formulacion de elemento finito de estructuras
Por lo que la matriz de rigidez de un elemento barra en coordenadasglobales del sistema puede obtenerse de la siguiente forma
[
K (e)]
= [λ]T[
k (e)]
[λ] (28)
[
K (e)]
=AE
L
l2ij lijmij lijnij −l2ij −lijmij −lijnijlijmij m2
ij mijnij −lijmij −m2ij −mijnij
lijnij mijnij n2ij −lijnij −mijnij −n2ij−l2ij −lijmij −lijnij l2ij lijmij lijnij
−lijmij −m2ij −mijnij lijmij m2
ij mijnij−lijnij −mijnij −n2ij lijnij mijnij n2ij
(29)Para una armadura planar la matriz de rigidez en coordenadas globalesdel sistema esta dada por la siguiente relacion
[
K (e)]
=AE
L
l2ij lijmij −l2ij −lijmij
lijmij m2ij −lijmij −m2
ij
−l2ij −lijmij l2ij lijmij
−lijmij −m2ij lijmij m2
ij
(30)
Formulacion de elemento finito de estructuras
Encontrar los desplazamientos nodales desarrollados en una armaduraplanar como la que se muestra en la figura, cuando una carga horizontalde 1000N es aplicada en el nodo 4.
Formulacion de elemento finito de estructuras
Datos de los nodos y elementos que componen la estructura
Numero de miembro Area Longitud Modulo de Elasticidad
”e” A(e)cm2 L(e)cm E (e) N/cm2
1 2.0√250 2× 106
2 2.0√250 2× 106
3 1.0√2.5100 2× 106
4 1.0√2100 2× 106
Numero de Nodo global correspondiente a Coordenadas de los nodos localesElemento Nodo local 1 Nodo local 2 (i) y (j) en coordenadas globales
”e” (i) (j) Xi Yi Xj Yj
1 1 3 0.0 0.0 50.0 50.0
2 3 2 50.0 50.0 100.0 0.0
3 3 4 50.0 50.0 200.0 100.0
4 2 4 100.0 0.0 200.0 100.0
Formulacion de elemento finito de estructuras
k1 = 1.0× 104
2.8284 2.8284 −2.8284 −2.82842.8284 2.8284 −2.8284 −2.8284−2.8284 −2.8284 2.8284 2.8284−2.8284 −2.8284 2.8284 2.8284
k2 = 1.0× 104
2.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284−2.8284 2.8284 2.8284 −2.8284−2.8284 2.8284 2.8284 −2.82842.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284
k3 = 1× 104
1.1384 0.3795 −1.1384 −0.37950.3795 0.1265 −0.3795 −0.1265−1.1384 −0.3795 1.1384 0.3795−0.3795 −0.1265 0.3795 0.1265
k4 = 1× 103
7.0711 7.0711 −7.0711 −7.07117.0711 7.0711 −7.0711 −7.0711−7.0711 −7.0711 7.0711 7.0711−7.0711 −7.0711 7.0711 7.0711
Formulacion de elemento finito de estructuras
Ensamble de la matriz global en coordenadas globales delsistema
K = 1.0× 104
2.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 02.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 0
0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0
−2.8284 −2.8284 0 0 2.8284 2.8284 0 0−2.8284 −2.8284 0 0 2.8284 2.8284 0 0
0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0
K = 1.0×104
2.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 02.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 0
0 0 2.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284 0 00 0 −2.8284 2.8284 2.8284 −2.8284 0 0
−2.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284 5.6569 0 0 0−2.8284 −2.8284 2.8284 −2.8284 0 5.6569 0 0
0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0
Formulacion de elemento finito de estructuras
K = 1.0 × 104
2.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 02.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 0
0 0 2.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284 0 00 0 −2.8284 2.8284 2.8284 −2.8284 0 0
−2.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284 6.7953 0.3795 −1.1384 −0.3795−2.8284 −2.8284 2.8284 −2.8284 0.3795 5.7833 −0.3795 −0.1265
0 0 0 0 −1.1384 −0.3795 1.1384 0.37950 0 0 0 −0.3795 −0.1265 0.3795 0.1265
K = 1.0 × 104
2.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 02.8284 2.8284 0 0 −2.8284 −2.8284 0 0
0 0 3.5355 −2.1213 −2.8284 2.8284 −7.0711 −7.07110 0 −2.1213 3.5355 2.8284 −2.8284 −7.0711 −7.0711
−2.8284 −2.8284 −2.8284 2.8284 6.7953 0.3795 −1.1384 −0.3795−2.8284 −2.8284 2.8284 −2.8284 0.3795 5.7833 −0.3795 −0.1265
0 0 −7.0711 −7.0711 −1.1384 −0.3795 1.8455 1.08660 0 −7.0711 −7.0711 −0.3795 −0.1265 1.0866 0.8366
Formulacion de elemento finito de estructuras
Aplicando condiciones de frontera
K = 1.0× 104
6.7953 0.3795 −1.1384 −0.37950.3795 5.7833 −0.3795 −0.1265−1.1384 −0.3795 1.8455 1.0866−0.3795 −0.1265 1.0866 0.8366
~P =
P5
P6
P7
P8
=
000
−1000
~Q =
Q5
Q6
Q7
Q8
=
0.0265170.0088390.347903−0.560035
Formulacion de elemento finito de estructuras
Elemento de un marco planar
En el caso de analisis de marcos de dos dimensiones, es necesario usar elelemento de 6 grados de libertad como se muestra en la Fig.23. Esteelemento se asume que esta en el plano XY y tiene dos grados delibertad axiales y cuatro grados de libertad flexionantes.
Formulacion de elemento finito de estructuras
Formulacion de elemento finito de estructuras
Usando un modelo de interpolacion lineal para los desplazamientoslineales y uno modelo cubico para los desplazamientos transversales ysuperponiendo las dos matrices de rigidez. Se puede obtener la siguientematriz de rigidez
[
k(e)axial
]
=
AEL
0 0 −
AEL
0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
−
AEL
0 0 AEL
0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
(31)
La matriz de rigidez dada en la ecuacin (31) representa losdesplazamientos axiales. Mientras que la matriz de rigidez dada en laecuacin (32) representa los desplazamientos y rotaciones debido a ladeflexin de la viga
[
k(e)xy
]
=EIyy
L3
0 0 0 0 0 00 12 6L 0 −12 6L0 6L 4L2 0 −6L 2L2
0 0 0 0 0 00 −12 −6L 0 12 −6L0 6L 2L2 0 −6L 4L2
(32)
Formulacion de elemento finito de estructuras
Para obtener la matriz de rigidez incluyendo tanto los desplazemientosaxiales como los debido a las deflexin se obtiene por superposicin
[
k (e)]
=[
k(e)axial
]
+[
k (e)xy
]
(33)
La ecuacin (34) es la matriz de rigidez para un elemento de un marcoplanar en coordenadas locales
[
k (e)]
=EIyy
L3
AL2
Iyy0 0 −AL2
Iyy0 0
0 12 6L 0 −12 6L0 6L 4L2 0 −6L 2L2
−AL2
Iyy0 0 AL2
Iyy0 0
0 −12 −6L 0 12 −6L0 6L 2L2 0 −6L 4L2
(34)
donde el verctor de coordenadas locales es de la siguiente forma
~q(e)T ={
q1 q2 q3 q4 q5 q6}
(35)
Formulacion de elemento finito de estructuras
Las coordenadas locales estn relacionadas las coordenadas globales atravs de la matriz de transformacin, usando la siguiente relacin con delibertad
~q(e) = [λ] ~Q(e) (36)
donde la matriz de transformacion [λ] y el vector de desplazamientos del
elemento e en coordenadas globales del sistema ~Q(e) esta dada por
[λ] =
lox mox 0 0 0 0loy moy 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 lox mox 00 0 0 loy moy 00 0 0 0 0 1
(37)
donde
loy = −mox
dmoy = lox
d(38)
d =(
m2ox + l2ox
)12 (39)
[
K (e)]
= [λ]T[
k (e)]
[λ] (40)
Formulacion de elemento finito de estructuras
Elemento de marcos espaciales
Un elemento de una estructura espacial es una viga recta de secciontransversal uniforme que es capaz de resistir fuerzas axiales, momentosflexionantes con respecto a los dos ejes principales en el plano de suseccion transversal y un momento torsionante con respecto a su eje degiro. En la Fig. 1 se puede observar los seis grados de libertad, por lo quese puede apreciar que la matriz de rigidez y de masas debera de ser de 12x 12.
Formulacion de elemento finito de estructuras
Figure: Elemento con doce grados de libertad [?])
Formulacion de elemento finito de estructuras
Si los ejes locales (xyz) se eligen de tal forma que coincidan con los ejesprincipales de la seccion transversal. De acuerdo a la teorıa de flexion ytorsion de una viga, los desplazamientos axiales q1 y q7 dependen solo delas fuerzas axiales y los desplazamientos torsionales q4 y q10 dependensolo de los momentos torsionantes. Sin embargo, para elegir lascoordenadas del sistema xyz , los desplazamientos flexionantes sepresentan en el plano xy , es decir, q2, q6, q8 y q12 dependen solo de lasfuerzas flexionantes actuando en este plano, pero las fuerzas flexionantesactuan tambien en el plano xz . Por otra parte, si los planos xy y xz
coinciden con los ejes de la seccion transversal, los desplazamientosflexionantes y las fuerzas en los dos planos puede considerarseindependientes una de la otra.
Formulacion de elemento finito de estructuras
Entonces eligiendo las coordenadas locales del sistema xyz de tal formaque coinciden con los ejes principales de la seccion transversal, con el ejex representando el eje centroidal del elemento de la estructura. Por lotanto, los desplazamientos se pueden se pueden separar dentro de cuatrogrupos, cada uno de los cuales corresponde a un conjunto dedesplazamientos independientes y entonces obtener la matriz total derigidez del elemento por superposicion.
Formulacion de elemento finito de estructuras
Desplazamientos axiales
La matriz de rigidez correspondiente a los desplazamientos nodales q1 yq7 es dada como
[
ka]
=
∫ ∫ ∫
[B]T [D] [B] dV =AE
l
[
1 −1−1 1
]
q1q7
(41)
donde A, E y l son el area de la seccion transversal, el modulo deElasticidad y la longitud del elemento, respectivamente.
Formulacion de elemento finito de estructuras
Desplazamientos torsionales
Para los grados de libertad q4 y q10 y asumiendo una variacion lineal delos desplazamientos de torsion o angulo de giro, los desplazamientosestan expresados como
θ (x) = [N ]~qt (42)
donde[N ] =
[(
1− x
l
)(x
l
)]
(43)
~qt =
{
q4q10
}
(44)
Formulacion de elemento finito de estructuras
La matriz de rigidez del elemento correspondiente a los desplazamientostorsionales se deriva de la siguiente ecuacion
kt =
∫ ∫ ∫
[B]T[D] [B] dV = G
∫
dx
∫ ∫
r2dA
{
− 1l
1l
}
{
− 1l
1l
}
(45)donde G es el modulo de rigidez del material. Ademas usando la relacionde
∫ ∫
r2dA = J momento polar de inercia de la seccion transversal. Laecuacion (43) se reescribe de la siguiente forma
kt =GJ
l
[
1 −1−1 1
]
q4q10
(46)
Formulacion de elemento finito de estructuras
Desplazamientos flexionantes en el plano xy
La matriz de rigidez correspondiente a los cuatro grados de libertadflexionantes q2, q6, q8 y q12 se deriva como se realizo la de la viga tipoEuler-Bernulli.
[kxy ] =EIzz
l3
12 6l −12 6l6l 4l2 −6l 2l2
−12 6l 12 −6l6l 2l2 −6l 4l2
(47)
donde Izz =∫ ∫
y2dA es el momento de inercia de la seccion transversalcon respecto al eje z .
Formulacion de elemento finito de estructuras
Desplazamientos flexionantes en el plano xz
Para los grados de libertad q3, q5, q9 y q11 los desplazamientosflexionados en el plano xz estan dados en la siguiente matriz de rigidez
[kxy ] =EIyy
l3
12 6l −12 6l6l 4l2 −6l 2l2
−12 6l 12 −6l6l 2l2 −6l 4l2
(48)
donde Iyy es el momento de inercia de la seccion transversal con respectoal eje y .
Formulacion de elemento finito de estructuras
Matriz de rigidez total del elemento
Uniendo el conjunto de matrices de rigidez de los desplazamientosindependientes se obtiene matriz de rigidez total del elemento, quedandocomo
ke =
EAl
0 0 0 0 0 −EAl
0 0 0 0
012EIzz
l30 0 0 6EI
l20
−12EIzzl3
0 0 0
0 012EIyy
l30
−6EIyy
l20 0 0
−12EIyy
l30
−6EIyy
l2
0 0 0 GJl
0 0 0 0 0 −GJl
0
0 0−6EIyy
l20
4EIyyl
0 0 06EIyy
l20
2EIyyl
06EIzzl2
0 0 04EIzz
l0
−6EIzzl2
0 0 0
−EAl
0 0 0 0 0 EAl
0 0 0 0
0−12EIzz
l30 0 0
−6EIzzl2
012EIzz
l30 0 0
0 0−12EIyy
l30
6EIyy
l20 0 0
12EIyy
l30
6EIyy
l2
0 0 0 −GJl
0 0 0 0 0 GJl
0
0 0−6EIyy
l20
2EIyyl
0 0 06EIyy
l20
4EIyyl
06EIzzl2
0 0 02EIzz
l0
−6EIzzl2
0 0 0
(49)
Formulacion de elemento finito de estructuras
Matriz Global de Rigidez
De la ecuacion (47) se nota que las coordenadas del sistema estan dadasen coordenadas locales xyz . Pero se pueden relacionar las coordenadaslocales con las coordenadas globales usando la siguiente matriz detransformacion
λ =
lox mox nox 0 0 0 0 0 0 0 0 0loy moy noy 0 0 0 0 0 0 0 0 0loz moz noz 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 lox mox nox 0 0 0 0 0 00 0 0 loy moy noy 0 0 0 0 0 00 0 0 loz moz noz 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 lox mox nox 0 0 00 0 0 0 0 0 loy moy noy 0 0 00 0 0 0 0 0 loz moz noz 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 lox mox nox0 0 0 0 0 0 0 0 0 loy moy noy0 0 0 0 0 0 0 0 0 loz moz noz
(50)
Formulacion de elemento finito de estructuras
donde lox , mox y nox denota los cosenos directores del eje x ; loy , moy ynoy representan los cosenos directores del eje y ; y loz , moz y noz indicanlos cosenos directores del eje z con respecto a los ejes globales X ,Y , Z .
lox =Xj − Xi
l, mox =
Yj − Yi
l, nox =
Zj − Zi
l(51)
donde la longitud l del elemento e esta representada por
l =(
(Xj − Xi )2+ (Yj − Yi)
2+ (Zj − Zi)
2)
12
(52)
donde Xk , Yk , Zk indican las coordenadas del nodo k (k = i , j) en lascoordenadas globales del sistema. La matriz de rigidez del elemento conrespecto a las coordenadas globales de sistema se pueden obtener como
[K e ] = [λ]T[ke ] [λ] (53)
Formulacion de elemento finito de estructuras
Matriz de Transformacion
Para derivar la matriz de transformacion [λ] entre las coordenadas localesy globales es necesario encontrar
[
λ]
la cual esta dada por
[
λ]
=
lox mox noxloy moy noyloz moz noz
(54)
donde[
λ]
es la transformacion entre las coordenadas xyz y lascoordenadas XYZ la cual puede obtenerse como
[
λ]
= [λ2] [λ1] (55)
Formulacion de elemento finito de estructuras
La matriz [λ1] esta dada por
[λ1] =
lox mox nox
− (loxmox )d
(l2ox+n2ox)d
− (moxnox )d
− noxd
0 loxd
(56)
donde d esta dada por la siguiente expresion
d =(
l2ox + n2ox)
12 (57)
Cuando la los ejes de la seccion transversal
[λ2] =
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
(58)
Formulacion de elemento finito de estructuras
Nota:
1 Cuando α = 0, la matriz [λ2] es una matriz unitaria.
2 Cuando el elemento e esta sobre la vertical (es decir, cuando el eje x
coincide con el eje Y ), lox = nox = 0 por lo que d = 0 Haciendo quealgunos terminos de [λ1] se indeterminen.
En este caso la matriz[
λ]
es dada por la siguiente expresion
[
λ]
=
0 mox 0−mox cosα 0 mox sinα
sinα 0 cosα
(59)
Formulacion de elemento finito de estructuras