Elementos de Maquina 3

8/10/2019 Elementos de Maquina 3

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1.Ruedas cilindricas de dientes rectos. La transmisi6n entre ejes paralelos

se realiza, segun 10 vista en el capitulo XIV, par media de ruedas cilindricas,

tambien llamadas ruedas fmntales. En las figuras 15-1, 15-2 y 15-3 se presentan

engranajes cilindricos exterior, interior y can cremallera, respectivamente, los

cuales pueden tener dientes rectos, paralelos alas ejes, como en las mismas, a

inclinados un angulo "0", como en la figura 15-4, donde la linea central del

diente describe una Mlice alrededor de los cilindros primitivos.

Si en las figuras 15-1 y 15-2, son "dp I" Y"dp2" los diametros primitivosde las ruedas "1" Y "2", que tienen "zI" y' "Z2" dientes respectivamente, par

el hecho de engranar entre si, tienen el rnismo paso y el mismo m6dulo,

podemos poner que:

. W2 rp11=--=--

WI rp2

la cual resulta, teniendo en cuenta las expresiones 15-1:

. dP1 Zl1=--=-

dP2

Z2

Si "nl" Y "n2" son los numeros de vueltas par minuto, de las ruedas

"1" y "2" respectivamente, que nos dan las velocidades angulares:

W2 n2i=-=

WI nl

Como can. un solo par de rued:as, par razones de interferencias en el

engrane, la relaci6nd~transrnisi6n esta limitada; en los casas que es necesario

utilizar un 'elevado salta .de velocidades, deben construirse trenes de engranajes


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Reempla/.alldo, I'll liNin, IONvnlon'N do IONdilltllollON IHllllltlvON,dndoN I'll Iii

expresi611 15-1, rl'Nlllln:

1 1 1

i=--=-12 4 3

Con respcclo a la cleC\.:illllue los lIullleros de dientes, dl'hl' adoplalsl' 1'1

de la rueda 1Il.ISchica del par "Zl ", denim tie las condiciolles 1I01lllail's d,'

funcionamiento, 10 lIl:is bajo posible; cl de la olra rlleda "Z2" SIIljJ,1I(I dl' 1.1

relaci6n de trallsmisi{m. Elminimo n(unero de dientes utili/.abk, I'll 1IIl'das, ,k

dientes rectos, de perfil envolvente es sicte, pero su uso est:.!lelegado a IIllly Ial :I',

ocasiones, ya que para un discreto funcionamiento, requiere lIn valor dl1

angulo de presi6n de 25 como minimo y una correccion en el perfil, qlll~h:W,,posible el engrane sin interferencias; tiene muy mala razon de cOlltaclo y s(llo I':,

admisible para pasos muy pequenos.

Con angulo de engrane de 20u, tomando la altura de cabeza mayOl qll(' " 11

los tipos de dicntes normales y contemplando solamente la resistencia, sill 1"11"1

en cuenta 1'1dcsgaste, que en este ca'iO es mucho mayor, se puetle 100IIaiII11

minimo de diez a quince dientes.

El mas bajo valor que, para angulo de presion de 20, puede adoptals,',

manteniendo la altura de cabeza del diente normal, es diez y ocho tlicnles. Sill

que exista equilibrio entre la resistencia y el desgaste. Se obtiene csto (litinill

recien para veinticinco dientes; para angulos de presion menores de 2U", 1m

valores de "z"minimo son mayores.

Si aumelltamos el numero de dientes, la resistencia empieza a ser crit il':Icon respecto al desgaste, principalmente pasando de treinta, donde silio s('

cumplen las condiciones de resistencia si se 10hace trabajar a altas velociuades (I

sea donde baja 1'1valor de la fuerza tangencial; pero pOI'otra parte se consijJ,III'

un muy buen resultado en 10 que se refiere al ruido de la transmision.

Para dentados corregidos pueden usarse menos dientes, no obstante pal:l

perfiles "Va cera" y angulo de presion de 20 grados, la suma de los numcros d.,

dientes de ambas ruedas, no puede ser nunca menor de veinticuatro.

o bien el cociente entre el numero de dientes, 0 del diametro, de las ruedas

conductoras sobre las conducidas. Si por ejemplo, se necesita transmitir una

relacion de transmision 1 : 12, podemos descomponerla en la forma:

Hemos colocado la relaci6n "1 : 4" para el primer par, pues, pOI'tratarse de un

mecanismo reductor, conviene usaI' la menor reduccion en el par de menor

velocidad 0 sea en el mayor de fuerza tangencial. Pudo, en este caso, usarse otra

relaci6n que satisfaga "i".La distancia entre centras depende del numero de dientes y de las

dimensiones de estos, es decir tambien del paso y del m6dulb; en efecto,

como la distancia entre ejes "C", vale:

dp1 + dpzC= 2

2. Ruedas cilindricas de dientes helicoidales. Si como en la figura 15-4, IllS

dientes no son paralelos a los ejes de las ruedas, sino que se encuentran despl:wl'

dos un angulo"0", dicho diente no puede ser recto, sino que al arrollarse soblc

el cilindro primitivo genera .una helice, tal se aprecia en la figura 15-6.

En rigor a la verdad el angulo de inc1inaci6n del diente, medido sobre III

circunferencia primitiva "00", no es el mismo que el medido sobre la circun-

ferencia de base "0b", aunque muchas veces se 10tome como igual. Observanuo

la figura 15-7,vemos que el angulo "Ob" es Iigeramente menor que "00", debido

a la influencia del angulo de presion. La diferencia entre ambos crece a mcdida

que se agranda este, es decir cuanto mayor es la diferencia entre los diametros de

las circunferellcias de base y primitiva, resultando:

tgOb--= cosO!tg 00

El uso de ruedas de dientes rectos, limit a la longitud de engranl',


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reduciendo la posibilidad de obtener una elevada raz6n de contacto, ademas el

esfuerzo transmitido provoca choques, al tocar de golpe en todo el largo del

diente; los engranajes helicoidales, en cambio, hacen que estos trabajen en un

numero mas constante, sobre toda la longitud del segmento de engrane y que

la carga resulte aplicada de un modo continuo y progresivo. A la menor

existencia de choquesy al mayor numero de dientes en contacto, que traen

aparejado un funcionamiento mas silencioso, se Ie suma la ventaja que, tal

disposici6n, permite el empleo de pinones de menos dientes, posibilitando el uso

de. relaciones de transmisi6n mas elevadas, el trabajo a mayores velocidades yel ahoreo de espacio, pudiendose graduar dentro de ciertos limites, la distancia

entre centros. Ademas la inclinaci6n Ie da al diente, una mayor resistencia y

hace posible hi utilizaci6n entre ejes no paralelos.

. r

C e l


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Sin embargo los engranajes con dientes helicoidales adolecen de lossiguientes defectos: un costo ligeramente mayor, aunque su tallado puede

hacerse con herramientas de forma, empleando Ias mismas que para dientes

rectos y un empuje axial sobre uno de Ios soportes, originado por la componen-

te en esa direccion, de la fuerza que transmite la potencia. Los cojinetes deben

entonces disefiarse, de modo que absorban el mencionado empuje, que a su vez

da pthdidas por rozamiento. En los casos en que es posible invertir el sentido degiro, debe colocarse el cojinete de doble accion. .

Una buena manera de anular este inconveniente es montar, cuando esposible, sobre el mismo eje, otra rueda con angulo de inclinacion del diente de

sen.tid? contrario, como se indica en la figura 15-8 0bien usar engranajes

hehcOldales dobles 0a saeta, (conocidos como "herringbone" en los E.E.U.U.y como "a chevron" en Francia); Ios mismos fueron invent ados por Piat y semuestran en la figura 15-9.

Pn Pcmn =- =- CDS 0 0 =me cos 0 0

1T 1T

Longitud del diente "b" a la medida en Ia direccion de su eje.

Ancho de Ia rueda "ba", que resulta:

En general para engranajes helicoidales, Ia suma de los angulos de

inclinacion de Ios dientes "00 "y "00 ", de Ias ruedas "I" y "2" respectiva-

mente, dan el angulo que fobnan los Zejes en el espacio, y como es obvio,tratandose de ejes paralelos debe ser siempre:

cos 001 = COS Oo z = cos 00 (15-13)

Dado que la distancia entre ejes, debe ser siempre Ia semisuma de losdiametros primitivos, que las ruedas deben tener el mismo modulo normal y quesegtin se desprende de Ias ecuaciones 15-8, 15-9, 15-10, IS-II y 15-13, los

diametros primitivos valen:

mn ZI

COS 0 01

mn Zz

cos 00z

FIGURA 15-10

Observando la figura 15-10, podemos definir, en el cilindro primitivo:

Angulo de la helice "00", al formado por el diente y el eje de la rueda.

Paso circunferencial 0frontal "Pc", al paso medido en el plano normal aleje de Ia rueda, de modo que se cumpla que:

1Tdp

Pc= -z-

mnC= --- (ZI + zz)

2 cos 00

Esta formula nos muestra que si bien, con esta disposicion de los ejes,

pueden usarse ruedas de dientesrectos, Ias de dientes helicoid ales Ias reemplazan

con ventaja, cuando la distancia entre centros est:i fijada de antemano, 'ya que

puede satisfacerse esta, variando el angulo "00". Pueden considerarse los engra-

najes de dientes rectos, como un caso particular de los de dientes helicoidales,con Ios angulos de las helices nulos.

Por otra parte, la relacion de transmision que puede transmitirse sin

interferencias puede aumentarse, no solo agrandando el angulo de presion,

como hemos visto, sino tambien aumentando el angulo de inclinacion de los

dientes "00",

Cuando la distancia ~ntre centros 10 permite, conviene usar los angulos"00" normalizados de 15 y de 23. En los casos en que la distancia entre ejes

esta fijada, para una determinada relacion de transmision, el angulo de la helice

esta dado por el modulo adoptado; en efecto de la ecuacion IS-IS resuIta:

Paso normal "Pn" al paso medido sobre el plano normal al eje del diente,de modo que:

Pn =Pc cose ;Modulo circunferencial "me" a la relacion:

Pcmc=-

1 T


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I

II

I!y--IIl...'

- - " " '-Piano circunferenciai -

---------------~

FIGURA 15-11

Sabemos ademas que, en ruedas de dientes rectos, la recta de engrane nos

forma, con 1a tangente,a la circunferencia primitiva, elangulo de presion. En el

casu de dientes helicoid ales el hecho no es tan simple; en la figura 15-11 tenemos

Un diente helicoidal, que ha sido cortado por un plano circunferencial y por

otro normal al eje del diente, formando ambos el lingulo "()o". Siendo la

circunferencia primitiva, la traza del cilindro primitivo 0axoide del movimiento,

sobre er plano que 10 corta, podemos, tener tangentes a aquella en los pIanos

'circunferencial y normal. Las mismas forman sobre el plano tangente al

cilindro primitivo el lingulo "()o'~.Si llamamos "tn" a la tangente al cilindro

primitivo, contenida en el plano normal y "te" a la tangente conte.niJia en elplano circunferencial, puede observarse que el lingulo de presi6n "a", queforma la recta de engrane con "te", 'es aistinto del angulo de presion normal

"an", que determina la recta de engrane con "tn". Cabe agregar que, para que,dos ruedas puedan engranar arm6nicamente, ademas de tener el mismo m6dulo

normal, deben tener el mismo angulo de presi6n normal "an". En la figura

15-12 se demuestra que:

Si, para que un diente se yea con sus verdaderas, magnitudes normales,

cortamos una rueda helicoidal, con un plano normal al eje del mismo, cuya

traza esA-B, en la figura 15-13, la proyecci6n de la misma sobre dicho plano es

una elipse de ejes "dp" y "dp/cos ()b'" Para hallar el numero de pasos normales

\ /\ \ -

, \ d~~,\\ 0


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Como pucdc obscrvarse de la expresion 15-7, al ser el angulo de presion

relativamente pequeno, la diferencia entre "Ob"Y "00" no es muy grande, por

10 que muchas veces se toma:Como el numero de dientes es el diametro dividido el modulo, el numero

virtual de dientes que contiene una circunferencia de radio "p"vale:

2pZn=-

mn

Reemplazando las 15-20 y 15-22 en 15-21 y simplificando, resulta:

dp

zn = 2me cos 0b cos00

dpy siendo m= z, nos queda:

e

/ \ /./"./- - '"- /----- /'- - - . /-.~

/ - . .- -1/' ---'r' "" .p

1 / ,f' 'l \

~ ~I - - . . . . . . ' " r : J ~ \

~ ir . /

:\ /----J. '" /

\ --..:.

\\

Z

zn = co s30 (15-25)

Segun la formula 14-38, tenemos que en el plano circunferencial, elnumero de dientes en contacto esta represent ado por el grado de recubrimiento"8,", que es igual a la 10ngitud de engrane "eo" dividida por el paso "p".

Pero en el plano normal, el engrane se produce desplazandose el diente sobre una

circunferencia que instantaneamente tiene un radio "p" en vez de "dp/2" , por10 que el grado de recubrimiento normal se ve aumentado y teniendo en cuenta

la 15-20, vale: -eN r ) I!'!'E" e e 8, = 8,z, p : ." ,i'~l' (15- 26 )

F ./0, n co', n COS20b 'il:

e " "'I'

fe t

e(l5_27)

En dientes helicoidales, el grado de recubrimiento normal no basta para

tener en cuenta el contacto simultaneo de dientes, por 10 que introducimos la

raz6n de solapado, que es la relaci6n entre la proyeccion del diente, en la

direcci6n circunferencial de la meda y el paso en la misma direccion. Observando

la figura 15-14, vemos que resulta:


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3. Bases para el disefio de ruedas frontales. Para el c31culode engranajes

ciHndricos, podemos generalizar, considerando todas las ruedas como de dientes

helicoidales; las de dientes rectos seran entonces' helicoidales con cingulo de

inclinacion de la helice de cero grados. EI diseno debe estar orientado al caIculo

del paso, 0del m6dulo, en funci6n del cual saldnin las demas dimensiones.

EI ancho del diente, en relacion al paso, puede aumentarse a medida que

crecen las posibilidades de contacto a 10 largo de toda la generatriz del mismo.

LIamaremos longitud relativa del diente a la relaci6n:

bt/J=-

p

que puede adoptarse en principio, para dientes rectos, igual a dos para dientes

fundidos sin maquinar; a tres para dientes fresados y con apoyos comunes; e

igual a cuatro 0 cinco para dientes exactamente tallados, con ejes que no flexio-nan y con excelentes apoyos.

En engranajes de dientes helicoidales, la longitud relativa del diente puedeser mayor, por 10 que puede tomarse:

b>~

cos( Jo

Si son conocidos el numero de vueltas por minuto, de la rueda motora

"nt" y la potencia "N" en CV, sabemos que el momentor torsol "Mt", enkg em, vale:

NMt= 71.620-

nt

La fuerza tangencial "U", aplicada sobre el diente, surge de dividir el

momento torsor por el radio de la rueda 0 10que es 10 mismo:

2MtU=--

dpt

Introduciendo en esta el momenta dado por la 15-32 y reemplazando eldiametro primitivo' por:

450.000NU=----

Pc Zt nt

450.000N cos 00

Pn Zt nt

4. Determinacion del paso. Colcula closico de resistencia del d.ente.

Formula de Lewis. Dado que las dimensiones de las ruedas son funciones del

mOdulo 0 del paso, el c31culo debe dirigirse a hallar uno de eIIos. Tal determina-

cion puede .hacerse, en primera aproximaci6n, por medio de las clasicas

formulas de caIculo de engranajes.- Entre los metod os clasicos tenemos: los del caIculo basado en la resistencia

del diente (entre los cuales se encuentra muy difundido el metodo de Lewis) y

las verificaciones alas cargas dinamicas y al desgaste, introducidas por Buckin-

gham. Estos estan normalizados- en los EE.UU.

Entre los nuevos criterios de c31culo, que partiendo de semejantes

hip6tesis, dan resultados mas precisos, como consecuencia. del anaIisis de

muchos factores de importancia, se destaca el metodo, de Niemann, originario

de Alemania Occidental y usado en Europa.La formula de Lewis se basa en el siguiente razonamiento: si durante el

engrane, observamos el desplazamiento del punta de contacto, en un dientede una rueda, vemos que aqucH se desliza a 10 largo de casi todo el perfIl.Como la transmision del esfuerzo se realiza, en el punta de contacto en forma

perpendicular al flanco, la fuerza normal "Fn" nos origina esfuerzos de flexi6n,

de compresi6n y de corte, enel diente. La tension masimportante es la

de flexion la cual es maxima cuando la fuerza "Fn" actUa en la cuspide.Si como s~ ha hecho en la figura IS-IS, prolongamos la fuena normal hasta

cortar al eje del diente, en un punto tal como el "A" y descomponemos la

mencionada fuerza en una tangencial "Ft" y otra radial."F,", el momenta flexor

"M" sobre el diente, considerando como una viga empotrada, sera:

t

FIGURA 15-15


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Trata~,do solamente la flexion simple, es decir despreciando los efectos de

I~ ~~mpresIOn y el corte, la tension de trabajo "aj' es el momenta flexordiVldI~Opor el modulo resistente "W", que en este casu es el de un rectangulo

que hene por base el ancho "b"ypor altura la longitud "t"del diente, es deci/

M 6Fthar=-=--

W b t2

dada en 15-33, que actua sobre el mismo. 19ualando y operando lIegamos a que,

para el casu de dientes rectos, donde el paso es unico ("U" de la 15-35 con"Ft" de la 15-41) el paso en em., es igual a:

-----p = 766 .3 1 .N (15-43)

, V o w 1/1y ZI nlPara el casu de dientes helicoidales, igualamos "U" de la 15-36, con "Ft" de la15-41 y obtenemos que el paso normal en cm., vale: .

[:76.6

1 . : ; ; : ' ; : , - - 1 (15-44)

Formula que tambien es valida para dientes rectos, pues tomando "00= 0" la15-44 se hace igual a la 15-43.

Como "t"y "h" son funciones lineales del paso, podemos poner que:

t

2

6h = Y P (15-39)

Don.~e"y"es u~ factor de forma, que depende del tipo de perfIl, del lingulo de

preSIon y d.el numero de dientes en cuestion, y que se encuentra en las tablas15-1 para dlentes rectos y 15-2 para dientes helicoid ales.

~i ~n !~formula 15.-~8, reemplazamos la tension de trabajo a flexion delmatenal ar, por la tensIOn real de trabajo del diente "aw"e introducimos elvalor de la 15-39, nos queda:

Expresion

normal.

La tensi6n de trabajo "aw" tieneoperani el engranaje y se hace igual a:

5. Verificaci6n a. cargas dintimicas y a desgaste. Formulas de Buckingham.

EI caIculo clasico de engranajes, se ha perfeccionado a partir de 1949, fecha enque Earle Buckingham, en su "Analytical Mechanics of Gears", introduce la

verificacion de las ruedas a cargas dinamicas y a desgaste*.

Para la primera de ellas parte del hecho de que el error 0juego, entre los

dientes de las ruedas, permite que el organo motor actue en vacio, durante un

muy pequeno instante, imprimiendole a la conductora, una aceleracion que,

multiplicada por la masa que arrastra, da una fuerza adicional dinamica "Udin"

que va a golpear sobre la .rueda conducida, sumlindose a la carga tangencial "cr'Es decir que el diente sufre una solicitaci6n total "Uw" dada por:

Uw = U+ Udin (15-45)

Establece a~mas que la carga adicional dinamica debe ser calculada

mediante:

Ft= aw y P b (15-40)

Reemplazando el ancho del diente "b",por el obtenido de la 15-29, resulta: '

Ft= y 1 /J p2 aw (15.41)

mas ~imple de la formula de Lewis, donde "p" representa el paso

aw= artfJv tfJ s (15-42)

La tension de flexion "aj' esta dada, para distintos materiales en la tabla15-3.

El factor "tfJs" tiene en cuenta el tipo de carga y de servicio y puedehallarse en la tabla 15-4.

El coeficiente "tfJv" tiene en cuenta la velocidad y vale en funcion de estatomada en m/min: '

Udin = 0,113 V(U+ Cb c os20) cosO

0,113 V+ v'U+ b cos20

Donde es: "V"la velocidad tangencial, en m/min, medida sobre la circunferencia

primitiva; "U" la fuerza tangencial, dada en kg, por la 15-36; "b" el ancho del

diente, en cm y "c" el factor dinamico de deformacion que, en kg/cm2, vale:

183tfJv = 183 + V

366tfJv = 366 + V

C= xl1 1

-+-1 2

Donde "X' es una constante que vale: 0,0107 pa,ra engranajes con lingulo depresion de 1430' 6 " de 15; 0,0111 para engranajes con lingulo de presion de

20 y 0,0115 para engranajes con lingulo de presion de 20 y de altura de cabeza

reducida; "1" Y "2"son los modulos de elasticidad de los materiales de las

ruedas y "/" el error total que, en funcion de la precision del tallado, se da

en la tabla 15-5. Este error 0juego entre los dientes debe ser menor a medida que

43tfJv=

43+vv Para V> 1312 m/min y dientes rectos 0para cual-quier velocidad en dientes helicoidales.

Por otra parte, la fuerza tangencial que resiste el diente "F" dada p I. . d L . .., t , or aexpreSlOn e ewlS, lormula 15-41, debe ser por 10 menos igual a la carga"U", * Buckingham. Spur Gears. Mc Graw Hill Book Company, Inc.

Buckingham. Analytical Mechanics of Gears. Mc Graw Hill Co., Inc.


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UUl1\cntllIII volocldlld pUrl t no hocer cr{ticos 108fuorz08 dlnfunlcas y para ovltar

que lUll engrunll.los sOlin ruldosos, En 10 tabla 15-6 se da 01valor m6.xlmo que

pnodo tonor "[", en mm, para las distintas velocidades tangenciales,

I,a cargll total dinamiea "Uw" hallada de este modo, debe ser resistida

pOl' cI diellie 0 sea que debe ser menor que la que puede resistir el mismo "Pt"calculada segun la 15-41.

La segunda verificacion propuesta por Buckingham radica en calcular que

la tension de contacto entre los dientes no sea 10 suficientemente elevada como

para producir un prematuro desgaste.

Se ha visto en el item 5 del capitulo III, que Hertz determin6 que Iii

presion entre las superficies dedos cuerpos, origina un area de contacto cuya

forma depende de la curvatura de aquellos y cuyas dimensiones son proporciona-les a la fuerza de compresion y a la osculacion de las superficies e inversamenteproporcional a 10s modulos de elasticidad, de 10s materiales, de 10s cuerpos en

contacto. Seg6n la expresion 3-56, para el caso de dos cilindros como el de la

figura 3-10, la maxima tension de compresi6n esta dada por:

_1 +_1R1 R2

1 l'-+-E1 E2

En ruedas dentadas, Ia presion Feal apIicada en Ios flancos, no coincide

exactamente con la presion hertziana, debido a que el proceso adicional de

rodadura, el movimiento deslizante en Ia direccion tangencial al perfil y el

estado de lubricacion, originan cambios en la magnitud de la distribucion de

la carga. No obstante ell0 como se mantiene la proporcionalidad de esta,

Buckingham basa sus calculos en la expresion de Hertz, tomando como radios de

curvatura 10s de cada uno de 10s perfiles, en el punto de contacto y lIega a que

la carga limite de desgaste "Us", que es capaz de resistir un determinado

engranaje, esta dada por:

0,17 P

b

Doride el factor "K" que vale:

K = uc2

sena (_1_ +_1_) .1,4 E1 E2.

"a" es el angulo de presion, "E1"Y "E2" son 10sm6dulos de elasticidad de 10s

materiales de las ruedas en contacto y " u c " la tensi6n superficial admisible quepuede hallarse, en funcion del material en la tabla 15-7. En esta ultima se da

tambien ya calculado, el factor "K" para ruedas frontales.

"Q"es.una razon que vale:

En ella el signo positivo de "z 1"es para engranajes exteriores y el negativo es

para engranajes interiores.

Lu cllrgu "(1'/' dehe ser mayor que la fuerza total "Uw" que solicit a a larueda. dada pOI' la 15-45.

6. Nuevas criterios de calculo de engranajes cilfndricos. Formulas de

Niemann. La f6rmula de Lewis considera que la carga act6a en un solo diente y

que 10 hace en el extremo del mismo, sin tener en cuenta el grado de recubri-

miento del dent ado, 10s exfuerzos secundarios de corte y de compresion, lalubricacion, etc; todo 10 cual trae, en la mayoria de los casos, errores groseros.

Por otra parte, a pesar que en el calculo elasico de engranajes, las dimensiones

halladas en base de la resistencia del diente, se verifican, alas cargas dimimicas y

ul desgaste, por medio de las formulas de Earle Buckingham, en la mecanicamoderna se hacen necesarias verificaciones mas precisas.

Para dar un metodo de calcul0, que nos de resultados compatibles con un

huen funcionamiento posterior del engranaje, seguimos, el criterio presentado

pOI' G. Niemann, en el V.D.I. y en su "Maschinenelemente. Entwerfen,

Berechnen und." Para csto, necesitamos en primer lugar, defmir la fuerza

langencial unitaria 0 indice de carga "B", que esta dada, en kgjmm2, par la

liJCrza tangencial "U" dividida por el area proyectada de la rueda, "b" por"tip 1", es decir:

En los calculos, se reemplaza a "B", pOI' el indice de carga real "Bw",

que vale:

I>onde"Cs", "CD", "Cr" Y "Co" son coeficientes correctivos que analizaremos

detenidamente.

Te6ricamente un engranaje transmite una potencia "N",pOI media de un

momenta torsor "Mt" constante y permanente durante el engrane, sin embargo

aquella potencia es transmitida par media de un momenta, mas a menos

variable entre deterrninados limites, segun cual sea la maquina motora y cualla

lIuiquiria accionada. Es necesario entonces, tener en cuenta en 10s calculos el

momenta torsor maximo instantaneo "Mtma ", en lugar del momento torsor

mcdio "Mt". De ell0 surge la necesidad de aPticar un factor de variacion de lacarga "C/', que valga:

y que se da en la tabla 15-8.

Por otra parte, debido al error 0 juego entre los dientes de las ruedas, surge

una fuerza adicional dinamica, que va a golpear sobre el diente de la rueda

conducida, sumandose ala carga original. Llamando carga tangencial especifica

"u", ala fuerza tangencial "u" actuante par cada mm de ancho "b",result a:

Uu =

-, ; = B dp1


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30

[5 . . .II. . . .

~25 c'

-f.

C . / "~

II

*20

La carga tangencial especifica real "uw" esta compuesta por dicha fuerza

"u". mas la carga adicional din8mica "Uw din", de modo que:

Niemann ha hallado experimentalmente que, para valores constantes de la

rclaci6n:

(donde /:' es el error total 0juego maximo, del dentado), la carga adicional,dinamica "Udin" crece con el aumento de velocidad, tal como puede apreciarse

(m el gflifico de la figura 15-16.

En los cwculos, una vez hallada la presi6n din8mica "Udin" en funci6n de

In 'Velocidad, para el valor calculado de la constante "K", debe tenerse la

prccauci6n de asegurarse que aquella cumpla con 1a condici6n:

Para el dentado helicoidal es necesario introducir el recubrimiento de

saito 0 raz6n de solapado "&s", debido a que dicho solapado, reduce proporcio-

nalmente la fuerza adicional dinamica, resultando:

UdinU ----Wdin - 1 + & s

Para introducir el coeficiente din8mico "CD", que tenga en cuenta la

carga adicional din8mica, se parte de que:

B Cs + Bdin Bdin UWdinCD = = I + -- = 1+ --

B Cs BCs U Cs

y teniendo en cuenta la 15-59, nos queda finalmente:

Ud oCD = 1+ III

U Cs (1+ & s)Por otra parte, al producirse el engrane entre dos ruedas cilindricas, en la

mayoria de los casos bajo la acci6n de una carga de trabajo no se produce un

1'01llUl'I0puwjo U10 hllf(odl~lodo el diellle dehido a UJI error ell la direcci6n del


11/23

1 01llUl I0puwjo U10 hllf(odl lodo el diellle, dehido a UJI error ell la direcci6n del

llullco "JI~" (pl'Oducido por lIl1error en el lallado 0pOf faIta de parale1ismo delos l'les, sea por flexi6n 0 falta de alineacion de Ios mismos). Para observar esto

husturll pilltar ulla de Ias ruedas con azul de Prusia yhacerlas trabajar un instante

pUla ohservar cI contacto sobre Ia otra rueda. Puede verse entonces que Ia

10llgitud de contacto, puede 0 no ser igual al ancho del diente y que, a 10largo

dc la lougitud real de contacto, Ia presi6n de la carga no ha sido uniforme.

Tratandose de ruedas nuevas sin asentar, la carga actua te6ricamente en

1 1 1 1 punto extremo del diente, pero en la realidad por ser el diente ehistico, con

Ilila constante de restituci6n "C/' determinada, se deforma y Ia superficie demill acto se extiende, en forma proporcional a la magnitud de la carga aplicada.

Por otra parte, durante la rodadura, a medida que el diente va asentandose,

la repartici6n lineal de tensiones, desde un extremo a otro, pasa a tener una

Icy dc variaci6n cubica, debido a que el diente va gastandose en cada punta en

IOllna proporcional a su carga.

En Ias figuras 15-17 y 15-18 se presentan respectivamente las leyes de

rq>artici6n de cargas especificas "u", segun que Ia longitud real de contacto

"h'" sea menor 0 sea igual al ancho del diente "b". En ambos casos vemos que

la presion media es:

Uurned =b

y que la carga especifica sigue una ley lineal para ruedas nuevas y una ley

dlhica para ruedas rodadas.Para tener en cuenta este efecto, se introduce un coeficiente de repartici6n

de la carga "Cr", definido como:

urna xCr=--

urned

Introduciendo la constante de restituci6n elastica del diente "C/' (fuerzade restitucion dividida por un mm de ancho, por un micron de flecha de flexion)

y el error de direccion "fR" en micrones (que en el caso de ruedas asentadas se

llama "fRw"), podemos poner que:

b'urnax = Cz fR w - (15-65)b

Los valores de la constante de restituci6n "C/' pueden obtenerse de latabla 15-9 y Ios del error de direccion de f a tabla 15-10.

De las ecuaciones 15-63, 15-64 y 15-65 se obtiene que:

b' Ci fRwCr= ---- (15-66)

U

b fRw CzT=---

U


12/23

/ J '

Or=1'b

En la pnictica es conveniente calcular "CT" con el valor real "1"" de

"1''', obtenido como:

,. l'l' =--

Cs C D

b 'CT = 1 " _ .-

b

Si se tiene absoluta seguridad de que el diente apoya en toda su longitud,

es decir "b' = = b", puede sacarse el valor de "CT" en funci6n de "1"" de latabla 15-12. En cambio si "b'< b", se hace necesario conocer la relaci6nb' /b ; para 10 CUaldebe medirse, sobre el cir.culo primitivo, cual es el contactocon una fuerza tangencial de prueba "Up". Hallada la relaci6n "b'/b" se puede

calcular el coeficiente de prueba "Tp", de la tabla 15-11, que es en forma

semejante a 15-67:

b fRw Cz

Up

1" = Tp UpUCs CD

sutgida de igualar "b fRw C/' de las ecuaciones 15-70 y 15-71.

Con el nuevo valor de "1"" puede irse recien a la tabla 15-12 y hallar "CT"

La calidad de terminaci6n y el tipo de lubricaci6n a usar, deben adoptarse,

en funci6n de la velocidad tangencial de la tabla 15-10 0 del grafico de la

figura 15-19. .En dientes helicoid ales, la capacidad de carga es modlficada por las

fracciones de dientes que engranan simultaneamente y por la desigual flexibilidad

de los mismos, en distintas partes. En estos casos hay que tener en cuenta,

ademas del grado de recubrimiento "8.", la raz6n de solapado "8.s". La repar-

tici6n de la carga tiene forma sinusoidal, con el minimo en los extremos delsegmento de engrane y la amplitud de la variaci6n disminuye a medida que

aumenta el angulo de inclinaci6n del diente, haciendose nula para "00"

igual a 45.Si representamos las trazas de los dientes en contacto, 'sobre un plano

tangente a los cilindros primitivos, en la generatriz de contacto, vemos como

varia la longitud efectiva, con las sucesivas posiciones de las ruedas. En la

figura 15-20 hemos hecho esto para un engranaje de dientes rectos, que tiene

, ",ffllfliWI,I"

.lItllll ""'111

3000

Velocidad m/min

111111Itllljl,lIud relativa "if;" igual a 3,3 y un grado de recubrimiento "8." de

1."\ 1'01 10que el numero de dientes en contacto es uno 0dos (este ultimo enIII ,,',''', lh~ los casos).

hI III figura 15-21, en cambio hemos hecho 10 mismo para un engranaje

11.11101"111,que aunque tiene la misma longitud relativa del diente y el mismo

.111110th. recubrimiento, por tener los dientes inclinados un angulo "00= 10"V pOI I'IIlIsccuencia una raz6n de solapado, 0recubrimiento de saito" 8.s= 0,58"III1lIIII(ltudcfectiva de contacto varia entre "1,3b" y "2b".

hi cl caso de la figura 15-22, se han mantenido constante la longitud

,,,lllllvlI dcldiente y la raz6n de contacto, pero se ha aumentado el angulo de

11l1lhIlH'j(lI\de los dientes a "00 = 27~", resultando una raz6n de solapado"I~," 111,11111a 1,70 y podemos observar que la longitud efectiva de contacto

"" " vllri entre "1,5 b" Y "1,75 b".('01110la amplitud de la carga varia con "b'''"para cada instante del

III1MIIIIl!1y como a su vez.Jjene una distribuci6n no uniforme, a 10 largo de la

11111'11t1(~contacto, introducimos el coeficiente de inclinacion de los dientes

"( '0" que depende exclusivamente de la raz6n de contacto 0 grado de recubri-

11111'1110de saIto y que se halla tabulado, en funci6n de estas, en la tabla 15-13.

I, Vcrificaci6n de la carga en el pie del diente. Seguridad contra la rotura

"'\'1/". A pcsar que los metodos clasicos de caIculo consideran solamente la

1l'"INll'ucilla flexi6n del diente, sabemos que, sobre el mismo, tenemos ademas de

\1\111l!lIIsi( lI1d e flexi6 n "at", originada por "Ft", una de compresi6n "ab",

Ihlhltlll II "II~" Y una tension de corte, producida cuando el punto de contacto se

11,1'11'11IIIpie del diente, "7".

Ohservando la figura 15-23, vemos que aquellas valen:


13/23

~-~-~-- -

C = 1,65Cs= 0

I f.Q

II

":Q

1

C = 1,65cs_= 0,58

C

= 1 ' 6 5 lcs=1,70

\--

'-r-'h~

r . I IA . B--L

I = - ~ - = - +~= - ~I

I .

I

I! I J I I l l I I I I [ p - ~ 1 1 1 1 1 1i l l ubI .

I

FIGURA 15-23

Mf Ft h'

uf=T V = b t2

6

Fr Fn sen anub = -- = --- - =

bt b t Ft

Tmed = bt

La tensi6n maxima nominal puede ser hallada mediante:

Ft tgan

b t

La tensi6n de corte, en la base del diente, es mayor que la tensi6n

tangencial media y vale "v = 2,5", valor que introducido, junto con los valoresde las tensiones dadas en 15-73, 15-74 Y 15-75, en la ecuaci6n 15-76, nos da

operando que:

F i ------ ._-IV1,4


14/23

F iOn =---'-r---

b t

, _.__I ( 6 6/h' ) 2V -t- - tgOln + 6,25

Ahora bien, en el c31culo cliisico de Lewis, haciamos "Ft = U',' peropor ser:

2MtU=--

dp

esta actua sobre e1 circulo primitivo, formando el angulo "


15/23

lulluno lII11uhlllte:

Vm +-

n 4

8 > w = I + (8)n - I ) fm +-

n 6

)onde "t" es el error en accion total 0juego maximo y se 10toma igual alnayor de los errores del dentado y "V" es la velocidad tangencial en m/seg.

S i se tom a la precaucion de empaImar el perfil del diente con la

;ircunferencia de raiz con un radio:

10. tiene importancia la concentracion de tensiones en esa zona, salvo que se

e produzcan estrias 0 escalones durante el rectificado, por 10 que puede

:omarse la tension admisible "aadm" igual a latension de fatiga "at dada ena tabla IS-IS.

Por el contrario, en caso de hacerse el radio de empalme del perfil, con la

;ircunferencia de base, menor que 0,2 modulos, debe afectarse la tension de

atiga con el coeficiente de concentracion de tensiones "(3k", dado en la

abla 15-16, en la forma:

at

aadm= 7 3 ; ;Para tener seguridad contra la rotura del diente, es necesario comparar la

ension nominal obtenida como:

an' = z q B w (15-90)

xpresi6n surgida de reemplazar el valor real"Bw" por el de "B" en la formula

15-80), con la tension admisible, dada por 15-89; obteniendose el factor "SB"

or medio de:

aadm aadmSB =-- =

an Bw z q

SB ~ 1, 5 a 2 Para servicio intermitente.

SB ~ 1 ,8 a 2 Para servicio continuo.

erificacion que debe hacerse para ambas ruedas con los valores corres-

ondientes.

8. Tensiones de contacto en 10s dientes. Seguridad contra el picado de 10s

7ancos "SG". Niemann tambien basa sus caIculos de tensiones de contacto en

s dientes, en las experiencias de Hertz. Para ello expresa la 3-54 (y tambien

5-48) en la forma:

(_1 +_I) = 5,8(_I +_I ) ~= kR1 R2 1 2 2

introduciendo el valor "k"que tiene fundamental importancia porque tiene la

ventaja de ser proporcional a la carga "B" y hace:

La experiencia dice que el picado se inicia en el pie de los flancos (zona

de resbalamientos hegativos), por 10 que el maximo valor de "k"se presenta:para la rueda mas pequefia "I" en el punto "1" de la figura 15-24, donde vale:

k2 = kc = (1 +i) Yc B

Niemann demuestra que "Yc" vale:

Yc= -----senao cosao

kc YcY& =-=-

k1 Yl

. 21 T( I- 8> IW )Y&=1------

zln tgao

fu wcuando la rueda "I" .e.s la motriz: t> - f u

"'IW - n1 fu n

cuando la rueda "2" es la motriz: fu l w = = 8> n1

Si bien estamos ya en condiciones de determinar los valores de "k" para

ambas ruedas, ello es cierto si tienen dientes rectos, ya que en el caso de dientes

helicoidales, hay que tener en cuenta el factor "Y8" que vale:

cos4 8bY8 =

COS 80

(e} cual ya esta dado en la tabla 15-17, para engranajes con angulo de presion

normal de 20) y hallar los valores eficaces:

YcY8YIW =--

Y&


16/23

Hallada la carga "kw" que solicita al diente, debe calcularse la resistencia

de los flancos al poseado "kD" mediante:

Para cstudios mas profundos, recomendamos recurrir a "Maschinenele-

mente. Entwcrfcn, Bcrcchnen und" de Niemann (Traducido al espanol como

"Tratado tc6rico pnictico de elementos de maquinas" Editorial Labor), donde

se presentan cl metodo de verificacion de la seguridad contra el engrane de los

flancos, segun cllsayo de lubricantes, y la comparacion de la vida a plena carga.

El 'coeficiente "YG" tiene en cuenta los mOdulos de elasticidad de losJIIateriales en contacto y vale:

YG = 1 Para ruedas de acero.

YG = 1,5 Para ruedas de fundicion gris.

2,1 X 106YG =0,5 + ---- Para ruedas de un m aterial de m odulo de

2 Eg

dasticidad "Eg" distinto de "E= 2,1 X 106".El coeficiente "yH" tiene en cuenta la dureza superficial y vale:

('uando la dureza de los flancos difiere del valor de"HB" dado en la tabla 15-15

y cs menor de 650.

El coeficiente "ys" depende de la viscosidad cinematica "p" del aceite, en

ccntistokes, dada a la temperatura de funcionamiento y puede sacarse de

la tabla 15-18.

El coeficiente "Yv" depende de la velocidad tangencial "V" en m/seg y

vale aproximadamente:

0,6

1 + (~ fPor ultimo, la tension de fatiga superficial del material "ko" puede

obtenerse de la tabla 15-15. .

La comparacion entre el valor "~D" que resiste el diente al picado, con

cl valor "kw" que 10 solicita, nos da la seguridad "SG"

SG = kD = kD ( 1 )kw Bw Yw 1 + 1

Debiendo resultar, tanto para el pinon "1" como para la rueda "2" comprendido

entre:

TABLA: 15-1. FACTORES DE FORMA "y"


17/23

PARA RUEDAS DE DIENTES RECTOS TABLA: 15-2. FACTURES DE FORMA "y"

PARA RUEUAS DE DJENTES HELICOIDALES

N'Imero Perfil Perfil Pinones Sistema Engranajes interiores

0


18/23

Tension de Tension de

Material rotura flexion

au at

Fundlcion corriente 1.400-2.100 500-600

Fundicion de buena mlidad 2.100-2.400 600-800

Bronce fosforoso para engranajes SAE 63 2.000-2.200 600-750

Bronce fosforoso para engranajes SAE 65 2.300-2.650 750-850

Acero 1020 Cementado y templado 3.700-3.900 1.150-1.300

Acero 1030 Tratado termicamente 4.200-4.400 1.500-1.800

Acero 1035 Tratado termicamente 5.000-5.300 1.650-1.950

Acero 1045 6.000-6.300 2.100-2.200

Acero 1045 Templado 6.500-6.800 2.500-2.800

Acero 1050 Templado 7.000-7.400 2.600-2.900

Acero 2320 Cementado y templado 7.100-.7.400 2.800-3.300

Acero 2345 Templado 7.700-8.000 3.300-3.850

Acero 3115 Cementado y templado 7.000-7.300 2.550-2.750

Acero 3245 Templado 8.400-8.700 4.450-4.700

Acero 4340 Templado 8.500-8.900 4.300-4.900

Acero 5140 Cianurado 9.000-9.500 3.900-4.400

Acero6145 Iemplado 9.000-9.500 4.000-4.400

Tipo deTipo de carga

servicio Choques Choques Choques

diario Estatiea Oseilante

pequefios medianos grandes

Minutos 1,25 1,15 1,05 0,90 0,70

Hasta 6 horas 1,20 1,10 1,00 0,80 0,65

De 6 a 12 hs 1,00 0,90 0,80 0,65 0,60

Mas de 12 hs 0,90 0,80 0,70 0,60 0,55

24 horas 0,80 0,70 0,65 0,55 0,50

Modulo

Tallado con

I25 12 8 6 5 4 3

Fresas de forma 0,120 0,100 0,080 0,060 0,055 0,050 0,043

Creadoras 0generadoras 0,060 0,050 0,040 0,030 0,028 0,025 0,022

Gran exactitud 0,030 0,025 0,020 0,Q15 0,014 0,012 0,011

TABLA: I:H>. ImIHlI{ I :N A( ( I0N .. MAXIMO. EN 111111

EN FUNCION II!" I.A VFH)('IIlAI> I'ERISI'ERICA "V" EN Ill/mill.

V 75 1511 22~ ]00 , 375 450 525 600 675

.-_ .- _ _ __ 0

e 0,094 O ,O H O 0.071 0,061 0,055 0,045 0,043 0,040 Q,035

. - - - - -,", . . -

V 750 82) 900 975 1.050 1.100 1.225 1.375 1.525

--,..

e 0,030 0,025 0,023 0,022 0,020 0,017 0,015 0,014 0,012

PINON DE RUEDA FACTOR "K"ACERO

ae

DurezaMaterial

DurezaKg/em 2

Brinell Brinell 0/= 1430' 0/= 20

150 Acero 150 3.515 2,1 2,9

200 Acero 150 4.220 3,0 4,1200 Acero 200 4.920 4,1 5,6

250 Acero 150 4.920 4,1 5,6

250 ~cero 200 5.625 5,4 7,3

250 Acero 250 6.325 6,8 9,2

300 Acero 200 6.325 6,8 9,2

300 Acero 250 7.030 8,4 11,4

300 Acero 300 7.730 10,2 13,8

350 Acero 250 7.730 10,2 13,8

350 Acero 300 8.430 12,0 16,4

350 Acero 350 9.140 4,2 19,4

400 Acero 300 8.780 3,1 17,9

400 Acero 350 9.850 16,4 22,5

400 Acero 400 10.550 19,0 25,7

150 Fundici6n - 3.515 3,1 4,3

200 Fundici6n - 4.920 6,2 8,4

250 Fundici6n - 6.325 10,2 13,8

150Bronce

Fosforoso - 3.515 3,1 4,3

200Bronce

FosfolOSO- 4.930 6,4 8,6

250Bronce

Fosforoso - 5.610 9,4 14,1

I~~" I " ' "

I,~" I '

I~:l,

1 1 4


19/23

MAQUINA MOTORA

ACC/ONADAMotor

Turbina Motor Motor

electrico Multi- Mono-

. cilfndrico ciUndrico

Generadores. Transportadores de cinta.

Ventiladores. 1,00 1,20 1,25 1,5

Transportadores de cadenas. Montacargas.

Ligeros compresores. Batidoras y mezcla- 1,05 1,25 1,25 1,5

dorasde densidad uniforme.

Maquinas herramientas. Montacargas pesa-

dos. Batidores y mezcladores de densidad1,25 1,5 1,5 1,75

no uniforme. Bombas a embolo multici-

llndricas. Ventiladores de minas.

Balancines. Prensas. Punzonadoras. Ciza1las.

Trefiladoras. Larninadoras. Dragas. Centrf- 1,75 2 2 2,25

fugas pesadas.

TABLA: 15-9. VALORES DE LA CONSTANTE

DE RESTITUCION DEL DIENTE "Cz"

Materiol de los dientes del engranaje Cz

Acero sobre acero. 1.000

Acero'sQbre fundici6n gris. 750

Fundici6n gris sobre fundici6n gris. 550

" I " ' "..'Ij.~~/(~l rt

I C"J

~J I . E ln

dI

..I(,~ ,,(1)

. . . . . . . .

< 1 < l

+ +

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~. 66

" I~'tJl') '1"1t-! " C :J . ., .

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~ 1 36\0

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I~1 1 4 ." '1

;'1 I n, " ' ' : : I t o , !

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I n I

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~ 1 3 00. . . - l (f) ~'

+ t ~~ 0 00..M-.t

TABLA: 15-11. VALORES V'li "Tp" PARA "b'< b". . .


20/23

h'/h ' I f l 'Ip

"'/b Tp Tp b'/b

Tp Tp

fll.lt'VO a.ventado nuevo asentado nuevo asentado. _ . _ - _ .._~ -

I 2,00 1,33 0,75 3,50 2,35 0,5 8,00 I 5,330,95 2,2 1,50 0,7 4,05 2,70 0,45 9,90 6,60

0,9 2,45 1,60 0,65 4,70 3,10 0,4 12,20 I 8,200,85 2,75 1,85 0,6 5,50 3,7l:l 0,35 16,10 10,80

0,8 3,10 2,05 0,55 6,60 4,30 0,33 18,00 12,00

TABLA: 15-12. VALORES DE "CT" EN FUNCION DE "T'"

SEGUN G. NIEMANN

T' CT CT T'

CT Ct T' CT CT

nuevo asentado nuevo asentado nuevo asentado

0 1,00 1,00 0,6 1,30 1,15 2,5 2,25 1,82

0,1 1,05 1,025 0,8 1,40 1,20 3,0 2,45 2,00

0,2 1,10 1,05 1,0 1,50 1,25 4,0 2,83 2,31

0,3 1,15 1,075 , 1,2 1,60 1,30 5,0 3,17 2,59

0,4 1,20 1,10 1,5 1,75 1,41 6,0 3,47 2,83O ,S 1,25 1,125 2,0 2,00 1,64 7,0 3,75 3,05

~0,8 0,9 1 ,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

0,2 - 2,15 1,26 1,19 1,12 1,09 1,06 1,04 1,03 1,01 1,00 \ ' 0 - ; 9 0 - - {},70

0,4 - 1,86 1,40 1,28 1,20 1,14 1,09 1,06 1,04 0,97 0,89 0,80 0,70

0,6 - 1,77 1,49 1,32 1,22 1,17 1,12 1,03 0,95 0,88 0,81 0,76 0,70

0,8 1,96 1,68 1,48 1,32 1,22 1,14 1,05 0,97 0,90 0,85 0,79 0,75 0,70

1,0 1,75 1,56 1,40 1,28 1,17 1,08 1,00 0,94 0,89 0,84 0,78 0,74 0,701,2 2,10 1,73 1,47 1,31 1,20 1,11 1,02 0,96 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70

1,4 2,06 1,73 1,50 1,33 1,21 1,12 1,03 0,97 0,92 0,86 0,79 0,75 0,70

1,6 1,98 1,71 1,48 1,33 1,21 1,13 1,05 0,98 0,91 0,85 0,78 0,74 0,70

1,8 1,90 1,64 1,46 1,31 1,20 1,12 1,03 0,96 0,90 0,84 0,78 0,74 0,70

2,0 1,75 1,56 1,40 1,28 1,17 1,08 1,00 0,94 0,89 0,84 0,78 0,74 0,70

2 ,2 1 ,9 2 1 ,6 3 1,43 1,30 1,19 1,10 1,01 0,95 0,89 0,84 0,80 0,75 0,70

2 ,4 1 ,9 1 1 ,6 5 1,44 1,32 1,20 I,ll 1,02 0,96 0,90 0,84 0,79 0,75 0,70

2,6 1,87 1,63 1,44 1,32 1,20 1,11 1,03 0,96 0,89 0,84 0,79 0,75 0,70

2,8 1,82 1,60 1,43 1,32 1,19 1,10 1,01 0,95 0,89 0,84 0,79 0,74 0,70

3,0 1,75 1,56 1,40 1,28 1,17 1,08 1,00 0,94 0,89 0,84 0,78 0,74 0,70

Numero Perfil del dientede I- .---_._----.

dientes Correccion positiva. x = Normal C. Negativa. x =

ZoZn I 0,75 0,50 0,25 0 - 0,25 -0,50

12 1,70 1,90 2,21 2,66 3,39 - -

14 1,73 1,91 2,18 2,57 3,14 4,00 -

16 1,77 1,92 2,17 2,51 3,00 3,73 -

18 1,80 1,93 2,15 2,47 2,88 3,50 -

20 1,82 1,95 2,15 2,43 2,80 3,34 4,08

22 1,84 1,96 2,15 2,40 2,72 3,20 3,86

24 1,86 1,97 2,15 2,37 2,68 3,10 3,66

26 1,88 1,98 2,15 2,35 2,63 3,02 3,52

28 1,89 1,99 2,15 2,33 2,59 2,95 3,42

30 1,90 2,00 2,15 2,32 2,56 2,90 3,32

35 1,93 2,02 2,15 2,30 2,50 2,79 3,12

40 1,96 2,04 2,15 2,28 2,46 2,70 3,00

50 2 ,00 2,07 2,16 2,26 2,40 2,60 2,82

70 2,04 2,10 2,16 2,24 2,33 2,47 2,63

100 2,08 2,12 2,17 2,22 2,29 2,37 2,49

200 2 ,12 2,15 2,18 2,21 2,24 2,26 2,3300 2,20 2,20 2,20 2,20 2,20 2,20 2,20

TABI.A: 15-15. CARACTERISTlCAS DE ALGUNOS MATERIALES

USAnos PARA ENGRANAJES


21/23

USAnos PARA ENGRANAJES

Dureza Tension Tension Tension

Brinell "ko" de rotu- de rotu-MATRIAL en el kg/mm2 ra a ra POl'

flanco traccibn fatiga "u/'

HB kg/mm2 kg/mm2

l,'undici6n gris sin alear 170 0,19 18 4,5

Fundici6n gris aleada 210 0,33 26 6,0

Acero fundido 150 0,22 47 15

Acero SAE 1035 sin tratamiento 150 0,36 50 18,5

Acero SAE 1045 sin tratamiento 180 0,52 60 20,5

Acero SAE 1060 sin tratamiento 205 0,70 70 23,S

Acero SAE 3230 bonificado 260 0,80 90 30

Acero SAE 4140 boiJificado 300 0,80 110 31,5

Acero SAE 3240 templado en bafio de

cianuro 590 4,30 190 32

Acero SAE 5530 nitrurado y templado

en atm6sf. de gas. 700 3,50 150 45

Acero SAE 4140 nitrurado y tempIado

en bafio. 660 2,70 150 58

Acero SAE 4140 nitrurado y templado

pOI inducci6n 615 4,50 110 35

TABLA: 15-16. COEFICIENTE DE CONCENTRACION DE TENSIONES

"ak" Y "{Jk" PARA EL PIE DEL DlENTE

IIp k"

"rim" "ak" Acero templadoup =90 Acero 1045 sin 1035 sin

kg/mm2 Cementado Tratamiento Tratamiento

0,06 1,55 1,35 1,25 1,15 1,13

0,08 1,40 1,27 1,20 1,11 1,10

0,10 1,30 1,20 1,15 1,08 .

1,07

0, 12 1 ,2 1 1,15 1,11 1,07 1,06

0,14 1,16 1,11 1,08 1,07 1,05

0,16 1,10 1,08 1,06 1,03 1,03

0,18 1,05 1,04 1,03 1,02 1;02

0,20 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

TABLA 151'1. VAI.ORFS DEL COEFlCIENTE "yO" PARA ENGRANAJES

DE ImNTI':S IN('LlNAOOS Y ANGULO DE PRESION "an" = 20"

/ill Yo 0 Yo 0 YoI" 0,999 16 0,905 31 0,684

2" 0,998 17" 0,894 32 0,667

3 0,997 18 0,882 33 0,650

4 0,994 19 0,869 34 0,632

5 0, 990 20 0,856 35 0,615

6 0,986 21 0,842 36 0,597

7 0,981 22 0,828 37" 0,579

8 0,976 23 0,813 38 0,562

9 0,969 24 0,798 39 0,544

10 0,962 25 0,783 40 0,527

11 0,954 26 0,767 41 0,509

12 0,946 27 0,751 42 0,492

13 0,937 28 0,735 43 0,475

14 0,927 29 0,718 44 0,458

15 0,916 30 0,701 45 0,441

TABLA: 15-18. COEFICIENTE "Ys" EN FUNCION DE LA VISCOSIDAD

CINEMATICA"v"EN CENTISTOKES, DEL LUBRICANTE A LA TEMPERATURA

DE FUNCIONAMIENTO SEGUN NIEMAN

v 6,3 21 37 68 100 145 200 265 300 350

"Ys" 0 ,7 0 ,7 5 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1 ,3 5 1 ,40

SCIl {3 !


22/23

1. Ruedas cOn/cas. Cuando dos ejes coplan ares y concurrentes en un

pun to; se cortan formando un lingulo "" cua1quiera, Se recurre al uso de un par

de ruedas c6nicas, como 1as mostradas en la figura 16-1; donde "R!" y "Rz"

son los radios de las bases de los conos, que giran sobre los ejes"I"y "II", convelocidades "n!" Y "nz" respectivamente. Tratlindose de ruedas dentadas, la

tigura nos muestra las superficies primitivas 0 axoides del movimiento.Seglin 10 visto en el capitulo XIV, la ubicaci6n del eje instantaneo de

rotaci6n depende de la relaci6n de transmisi6n. En efecto si llamamos "{3!" Y

"(3z" a los angulos descriptos, en la rodadura, por la generatriz de contacto

alrededor de los ejes"I"y "II" respectivamente, podemos poner:

R! = OK sen {3!

Rz =OK sen { 3z

(16-1)

(16-2)

{

sen ( 3 z

Como St' WIIOCC sicmpre el angulo "", que forman los ejes en el plano

que los conticllc y sus velocidades de giro "n!" Y "nz", se puede determinar la

ubicaci6n de la gcncratriz de contacto en forma grafica (componiendo los

vectores surgidos de llcvar, en una cierta eseala, el valor de "n!" sobre el ejc

"I" y el valor de "nz" sobre el eje "II") y determinar entonces los angulos"{3!". Y "{3z" Sill embargo es recomendable hallar "{3!" y "{3z" en forma

analitica, para 1 0 cual se parte de que:

La cual, junto con la 16-3, nos forma un sistema de dos ecuaciones con dos

incognitas, que resuelto nos da:

tg{ 3zsen

( 16-5)i + cos

tg( 3 1sen

(16-6)---,.r.-----1

-:-+ cos t f >I

Para el caso particular, en que 10s ejes son perpendiculares, por ser

" = 90"", resulta:

2. Engranajes c6nicos de dientes rectos. Si construimos las ruedas con

dientes rectos, como 10s de la figura 16-2, las dimensiones de los dientes

deberan disminuir en forma lineal a medida' que nos acercamos al centro "0",donde todas las magnitudes se reducen a un punta; es decir que las medidas de

II N1 N2fll Y P2

l:llS{i l OS{ 32


23/23

l:llS{i I l:OS{ 3 2

y "i"'IlIIl:

R1Zl Z2

=m-- y R2=-2 2

IllSdientes deben ser proyectados desde aquel y que tendnin iguales dimensiones

aquellos ubicados a igual distancia de dicho punto, sobre un radio cualquiera de

las infinitas esferas concentricas en "0".Esto nos lleva a pensar que debemos

1 razar los perfiles de los dientes sobre una de las esferas y proyectarlas desde su

centro, tal como tomar como esfera base del trazado a la que circunscribe a los

conos.

Dada la dificultad, de trazar los dientes sobre una superficie esferica, se

rccurre al metodo de Tredhold, que consiste en dibujar los perftles sobre la

tangente a la esfera, en el punto en que esta es cortada par la generatriz de

contacto, que une los ejes "I" y "II", figura 16-3. Durante el rodamiento de

Ills conos bases, dicha tangente, al girar sobre los puntos de intersecci6n de los

ejcs, nos genera dos conos complementarios, cuyas generatrices son una recta

'"lIlicaalpasar par el punto "K", intersecci6n de la esfera con la generatriz de

contacto. Es decir que los perftles de los dientes deblln trazarse igual que si-se-

tratara de ruedas de radios primitivos "P I" Y "P2", iguales a las generatrices

dc los con os complementarios. Es facil ver que desarrollados estos sobre un

plano, como indica la figura 164, no se nos completan los circulos de radios

"P I" y, "P2", por 10 que las dimensiones de los dientes deben ser, no las

correspondientes al mimero real, sino las de un mimero ideal de dientes z l', quenccesitariamos para completar la circunferencia. De 10 que se desprende

quc debemos hacer el trazado con mimeros de dientes ideales "ZIt Y" Z 2 /,quc cumplan respectivamente con las condiciones:

2P IZI' = -- Y

I m

2 P 2Z2'= --

I m

1IIII00Iuricildo "R1" Y "R2" de las ecuaciones 16-10 en 16-9 Y 10s valores de

"'11" Y de "P2" as! obtenidos, en las 16-8, se obtiene que:

ZIZI- =---

I cos{ 3 1

Z2Z2" =---

I C O S { 3 2

Ahora bien, trazado el perfil debemos proyectarlo desde el centro "0",

1'{'It I [IIacercarnos al mismo crecen las imperfecciones mecanicas, motivo por el

1 '1 1 1 1 1 dcbe Iimitarse la longitud del diente "b" a no mas de la tercera parte del

Illdill "/, " de la esfera. Es decir que si llamamos ""/" a la relaci6n entre la longitud

dt' III generatriz de contacto de los conos bases "L" y la del diente "b",!t'IWlIIllS:

I

I

I

II

I

. I

/~II--

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Elementos de Maquina 3