Elementos de una teoría cultural de la objetivación RESUMO Este artigo apresenta as linhas gerais de uma teoria cultural da objetivação uma teoria da ensino e a aprendizagem das

Elementos de una teoría cultural

de la objetivación 1

Luis Radford 2

RESUMEN

En este artículo se presentan los lineamientos generales de una teoría cultural de laobjetivación –una teoría de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas que seinspira de escuelas antropológicas e histórico-culturales del conocimiento. Dicha teoríase apoya en una epistemología y una ontología no racionalistas que dan lugar, por unlado, a una concepción antropológica del pensamiento y, por el otro, a una concepciónesencialmente social del aprendizaje. De acuerdo con la teoría, lo que caracteriza alpensamiento no es solamente su naturaleza semióticamente mediatizada sino sobretodo su modo de ser en tanto que praxis reflexiva. El aprendizaje de las matemáticas estematizado como la adquisición comunitaria de una forma de reflexión del mundo guiadapor modos epistémico-culturales históricamente formados.

PALABRAS CLAVE : Objetivación, pensamiento matemático, semiótica,sentido, significado, significación cultural, signos.

ABSTRACT

In this article, we present the general bases for a cultural theory of objectification. Thetheory in question deals with the teaching and learning of mathematics and takes itsinspiration from some anthropological and historico-cultural schools of knowledge. Thistheory relies on a non-rationalist epistemology and ontology which give rise, on the onehand, to an anthropological conception of thought, and on the other, to an essentiallysocial conception of learning. According to the theory of objectification, thought is notonly characterized by its semiotically mediated nature but more importantly by way of itsexistence as a reflexive praxis. The learning of mathematics is thematized as theacquisition, by the community, of a form of reflection on the world guided by epistemic-cultural modes which have been historically formed.

KEY WORDS: Objectification, mathematical thinking, semiotics, meaning,signification, cultural signification, signs.

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Fecha de recepción: Febrero de 2006/ Fecha de aceptación: Abril de 2006

An English translation of this article is available at: http://laurentian.ca/educ/lradford/PUBLIC.HTML. Este artículo es

resultado de un programa de investigación subvencionado por The Social Sciences and Humanities Research Council of

Canada / Le Conseil de recherches en sciences humaines du Canada (SSHRC/CRSH).

Université Laurentienne, Ontario, Canada.

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Relime, Número Especial, 2006, pp. 103-129.

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RESUMO

Este artigo apresenta as linhas gerais de uma teoria cultural da objetivação uma teoriada ensino e a aprendizagem das matemáticas que se inspira de escolas antropológicase histórico-culturais do conhecimento. Tal teoria se apóia em uma epistemologia e umaontologia não racionalistas que dão lugar, por um lado, a uma concepção antropológicado pensamento e, por outro, a uma concepção essencialmente social da aprendizagem.De acordo com a teoria, o que caracteriza o pensamento não é somente sua naturezasemióticamente mediatizada, mas sobre todo seu modo de ser como praxis reflexiva. Aaprendizagem das matemáticas é tematizado como a aquisição comunitária de umaforma de reflexão do mundo guiada por modos epistémico-culturais historicamenteformados.

PALAVRAS CHAVES: Objetivação, pensamento matemático, semiótica, sentido,significado, significação cultural, signos.

RÉSUMÉ

Dans cet article, on présente les bases générales d’une théorie culturelle de l’objectivation.Il s’agit d’une théorie de l’enseignement et de l’apprentissage des mathématiques quis’inspire de certaines écoles anthropologiques et historico-culturelles du savoir. Cettethéorie s’appuie sur une épistémologie et une ontologie non rationalistes qui donnentlieu, d’une part, à une conception anthropologique de la pensée et, d’autre part, à uneconception essentiellement sociale de l’apprentissage. Selon la théorie de l’objectivation,ce qui caractérise la pensée n’est pas seulement sa nature sémiotiquement médiatiséemais surtout son mode d’être en tant que praxis réflexive. L’apprentissage desmathématiques est thématisé comme étant l’acquisition communautaire d’une forme dereflexion du monde guidée par des modes épistémo-culturels historiquement formés.

MOTS CLÉS: Objectivation, pensée mathématique, sémiotique, sens ,signification, signification culturelle, signes.

Introducción

Incluso para los empiristas, todoaprendizaje supone la actividad delpensamiento. El pensamiento aparece comoel sustrato del aprendizaje, aquello a travésdel cual se establece la relación entre el sery el mundo. Curiosamente, a pesar de suimportancia, y aun si se habla del

pensamiento numérico, geométrico, etc.,el pensamiento como concepto en sí noforma parte de las teorías didácticasactuales. Sin duda, una de las razonestiene que ver con la idea popular de que elpensamiento es inobservable. Como afirmael fundador del Constructivismo Radical,

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Entre las actividades humanas másintrigantes que no pueden serobservadas, está pensar (thinking)o reflexionar. A veces puedeninferirse los pensamientos o lasreflexiones … pero el proceso realdel pensamiento queda invisible asícomo los conceptos que éste usa yel material crudo del cual estácompuesto. (von Glasersfeld, 1995,p. 77)

Esta idea de la inobservabilidad delpensamiento es parte de la influencia dela filosofía racionalista y su concepto delser. Así,

El ser cartesiano habita un mundoen el que la actividad material esimposible, pues el pensamiento esconcebido como una relación entreel ser y las entidades mentales, lasideas, que no son objetos posiblesde actividad material. (Bakhurst,1988, p. 35)

A estos dos elementos –el sujeto y el objeto–que une el pensamiento, las teorías delaprendizaje añaden otro elemento: elprofesor, que viene a completar el famosotriángulo didáctico. A menudo, sin embargo,el profesor es revestido de un papel menor:literalmente el de facilitador delaprendizaje. En las medida en que lasteorías didácticas conceptualizan alindividuo como sujeto auto-regulado y autoequilibrante, desarraigado de su contextosocio-cultural, capaz de reflexionar comocientífico que explora los alrededores enbusca de fenómenos que confirmen laviabilidad de su saber, en la medida en queel individuo es visto –como lo apunta Martiny sus colaboradores– en tanto que individuoque parece llevar de alguna manera en su

propio interior las condiciones de sucrecimiento, un ser que solamente necesitaun entorno facilitador para alcanzar, através de la experiencia personal, su plenasocializacion y potencial intelectual3, elprofesor aparece, contra la abrumadoraevidencia de la constatación cotidiana,como simple catalizador del encuentroentre el alumno y el objeto del saber.

La teoría de la objetivación que seesbozará aquí parte de presupuestosdiferentes. En oposición a las corrientesracionalistas e idealistas, ésta aboga poruna concepción no mentalista delpensamiento y por una idea de aprendizajetematizado como adquisición comunitariade formas de reflexión del mundo guiadaspor modos epistémico-culturaleshistóricamente formados.

En las dos primeras partes del artículo sediscuten las bases epistemológicas yontológicas que dan sustento a la teoría,así como el concepto de pensamiento ysu significado antropológico. En las dosúltimas partes se aborda el problema de laenseñanza-aprendizaje, en particular a laluz del concepto fundamental de sala declase como comunidad de aprendizaje.

1. Una concepción no mentalista delpensamiento

En una clase de primer grado de primaria,los alumnos debían resolver un problemasobre una secuencia numérica. La maestraintrodujo el problema a través de unahistoria en la cual una ardilla, al final delverano, lleva cada día dos nueces a sunuevo nido en preparación al invierno quese acerca. En una parte del problema losalumnos debían encontrar el número de

3 Martin (2004), Martin, Sugarman y Thompson (2003).

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nueces almacenadas por la ardilla en sunido al final del décimo día, sabiendo quecuando la ardilla encuentra el nido habíaya 8 nueces y que la ardilla no come nuecesde su provisión de invierno. Cristina, unade las alumnas, empezó a contar de dosen dos: diez, doce, catorce, dieciséis.Como notó que no había pensado en elnúmero del día, decidió empezar el conteo.Sin embargo, hacer las dos cosas al mismotiempo resultó una tarea muy difícil.Dirigiéndose a Miguel, su compañero deequipo, Cristina dijo: “¡vamos a hacerlojuntos!” Mientras que el resto de la clasecontinuaba su trabajo en pequeñosgrupos, Cristina y Miguel fueron al frentedel pizarrón y utilizando una regla largade madera, Cristina empezó a contar dedos en dos, mientras que Miguel contabalos días en voz alta. En la figura 1,Cuando Miguel dice “nueve”, Cristinaseñala con una regla de madera elnúmero 26 sobre una recta numéricacolocada arriba del pizarrón, que es elnúmero de nueces acumuladas hasta eldía 9. En la figura 2, Miguel, que continuócontando los días, dice “diez”, mientrasque Cristina desplaza la regla hacia laderecha y señala el número 28, que esla respuesta a la pregunta.

Figura 1. Miguel dice 9 y Cristina señala elnúmero 26.

Figura 2. Miguel dice 10 y Cristina señala elnúmero 28.

Es usual que por pensamiento se entiendauna especie de vida interior, una serie deprocesos mentales sobre ideas que lleva acabo un individuo. De acuerdo con estaconcepción, a partir de los datos dados porla maestra, Cristina y Miguel, habríanrecuperado de su memoria la informaciónpertinente para producir una representaciónmental del problema. Con la ayuda de estarepresentación, el pensamiento de Cristinay Miguel se hubiese movido a lo largo de losestados de un espacio-problema,procesando informaciones codificadasquizás bajo la forma de representacionesproposicionales, a través de reglas lógicas ode inferencia.

Esta concepción del pensamiento, como“actividad mental” (de Vega, 1986, p. 439),proviene de la interpretación de la filosofíagriega por parte de San Agustín a fines delsiglo IV, interpretación que operó, enparticular, una transformación del significadoinicial del término griego eidos. Mientras queHomero, entre otros, utilizaba el términoeidos en el sentido de algo externo, no mental-“lo que uno mira”, por ejemplo la figura, laforma, la apariencia4- para San Agustín eidosse refiere a algo que está dentro delindividuo5. Influenciados por esta

Por ejemplo, en la traducción al inglés del Libro VIII, líneas 229-30, de la Ilíada, Homero dice: “ Argives, shame on you

cowardly creatures, brave in semblance [eidos] only”. (Homer, ca. 800 A.-C.). Estoy en deuda con Eva Firla por su ayuda

en la etimología del término eidos.

Una discusión sobre la manera en que ocurre esta transformación en la concepción del pensamiento en las matemáticas

renacentistas se encuentra en Radford (2004).

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transformación, los racionalistas del sigloXVII, como Descartes y Leibniz considerabanque las matemáticas pueden practicarsehasta con los ojos cerrados, pues la menteno necesita el concurso de los sentidos nide la experiencia para alcanzar las verdadesmatemáticas: los principios que necesitamospara entender los objetos o para percibir suspropiedades, las leyes eternas de la razón,son “principios internos”, es decir que estánen nuestro interior (Leibniz, 1966, pp. 34-37).

Antropólogos como Geertz han puesto enevidencia las limitaciones de la concepciónde las ideas como “cosas en la mente” y delpensamiento como proceso exclusivamenteintracerebral:

La idea comúnmente aceptada segúnla cual el funcionamiento mental esun proceso intracerebral que puedeser sólo asistido o amplificado ensegundo término por los variosdispositivos artificiales que dichoproceso ha permitido al hombre crear,resulta estar completamenteequivocada. Al contrario, siendoimposible una definición adaptativa,completamente específica de losprocesos neuronales en términos deparámetros intrínsicos, el cerebrohumano es completamentedependiente de recursos culturalespara su propia operación; y esosrecursos no son, en consecuencia,[objetos] añadidos a la actividadmental sino constituyentes de ésta.(Geertz, 1973, p. 76)

La teoría de la objetivación parte de unaposición no mentalista del pensamiento yde la actividad mental. Dicha teoría sugiereque el pensamiento es una praxis cogitans,esto es una práctica social (Wartofsky,

1979). De manera más precisa, elpensamiento es considerado una reflexiónmediatizada del mundo de acuerdo con laforma o modo de la actividad de losindividuos.

En el resto de esta sección serán discutidoslos diferentes aspectos de esta definición.

1.1 Mediación semiótica

El carácter mediatizado del pensamientose refiere al papel, en el sentido deVygotsky (1981a), que desempeñan losartefactos (objetos, instrumentos, sistemasde signos, etc.) en la realización de lapráctica social. Los artefactos no sonmeras ayudas al pensamiento (como loplantea la psicología cognitiva) ni simplesamplificadores, sino partes constitutivas yconsustanciales de éste6. Se piensa con ya través de los artefactos culturales, demanera que hay una región externa que,parafraseando a Voloshinov (1973),llamaremos el territorio del artefacto. Es eneste territorio donde la subjetividad y laobjetividad cultural se imbricanmutuamente y en el que el pensamientoencuentra su espacio de acción y la mentese extiende más allá de la piel (Wertsch,1991).

De acuerdo con la teoría de la objetivación,el pensamiento de Cristina y Miguel no es,pues, algo que transcurre solamente en elplano cerebral de los alumnos. Elpensamiento también ocurre en el planosocial, en el territorio del artefacto. La reglade madera, la recta numérica, los signosmatemáticos sobre la hoja que sostieneMiguel mientras lee detrás de Cristina, sonartefactos que mediatizan y materializan elpensamiento. Esos artefactos son parteintegral del pensamiento.

6 Una crítica a la concepción de artefactos como amplificadores se encuentra en Cole (1980).

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1.2 La naturaleza reflexiva delpensamiento

La naturaleza reflexiva del pensamientosignifica que el pensamiento del individuono es simple asimilación de una realidadexterna (como proponen las escuelasempiristas y conductistas), ni tampococonstrucción ex nihilo (como proponenciertas escuelas constructivistas). Elpensamiento es una re-flexión, es decir, unmovimiento dialéctico entre una realidadconstituida histórica y culturalmente y unindividuo que la refracta (y la modifica) segúnlas interpretaciones y sentidos subjetivospropios.

En el ejemplo anterior, el pensamiento delos alumnos se desarrolla a lo largo de unacompleja coordinación de actividadperceptual y de acciones semióticamentemediatizadas según la interpretación y lossentidos subjetivos de los alumnos (porejemplo, reinterpretar el problema sobre unarecta numérica, contar de dos en dos, etc.).Al mismo tiempo, el problema sobre el cuallos alumnos reflexionan es parte de unarealidad históricamente constituida.Problemas sobre secuencias de números(progresiones aritméticas) se encuentran enla matemática babilónica y fueron teorizadosluego por los pitagóricos y las diferentesescuelas numerológicas griegas (Robbins,1921). No sólo dicha realidad no se presentade manera directa o inmediata, comopensaban los empiristas, sino que tampocopuede ser reconstruida a través de la solaexperiencia personal, pues

Ninguna experiencia personal, porrica que sea, puede llegar a pensarde manera lógica, abstracta omatemática, e individualmenteestablecer un sistema de ideas. Para

hacer esto se requeriría no una vida,sino de miles. (Leontiev, 1968, p. 18)

Uno de los papeles de la cultura (sobre elcual vamos a detenernos en la siguientesección) es sugerir a los alumnos formas depercibir la realidad y sus fenómenos, formasde apuntar (viser), como diría Merleau-Ponty(1945), o formas de intuición, como diríaHusserl (1931).

En resumen, dicho de manera más general,la re-flexividad del pensamiento consiste enque, desde el punto de vista filogenético, losindividuos dan lugar al pensamiento y a losobjetos que éste crea. Pero al mismo tiempo,desde el punto de vista ontogenético, en elacto de pensar, un individuo concretocualquiera es subsumido por su realidadcultural y la historia del pensamiento humano,las cuales orientan su propio pensamiento.“El ser social”, dice Eagleton, “origina elpensamiento, pero al mismo tiempo esabarcado por éste”7.

1.3 La dimensión antropológica delpensamiento

En la sección precedente se dijo que elpensamiento es considerado como una re-flexión mediatizada del mundo de acuerdocon la forma o modo de la actividad de losindividuos. ¿Qué significa que la re-flexiónque constituye el pensamiento se realice deacuerdo con la forma o modo de la actividadde los individuos? Esto significa que lamanera en que llegamos a pensar y conocerlos objetos del saber está enmarcada porsignificados culturales que van más allá delcontenido mismo de la actividad en cuyointerior ocurre el acto de pensar. Estossignificados culturales actúan como enlacesmediadores entre la conciencia individual yla realidad cultural objetiva, y se constituyen

7 Eagleton (1997,p.12).

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Leontiev no teorizó la dimensión de la superestructura simbólica que estamos poniendo en evidencia aquí y que es,

sin embargo, fundamental para entender el pensamiento en su dimensión antropológica. En la prolongación de la Teoría

de la Actividad de Leontiev, hecha por Engeström (1987), dicha superestructura no fue tampoco tomada en cuenta.

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en prerrequisito y condición de la actividadindividual mental (Ilyenkov, 1977, p. 95).Dichos significados culturales orientan laactividad y le dan cierta forma. Es por esoque pensar no es algo que simplemente nosponemos a hacer, de forma más o menosantojadiza, en el transcurso del cual derepente encontramos una buena idea. Si bienes cierto que la actividad práctica sensual,mediatizada por los artefactos, entra en losprocesos del pensamiento, en su propiocontenido, la manera en que esto ocurre estásujeta a los significados culturales en los quese sostiene la actividad.

He aquí un ejemplo. La diferencia entre elpensamiento del escriba babilónico y el delgeómetra griego no se reduce únicamente alos tipos de problemas de los que cada unode ellos se ocupó, ni en los artefactosutilizados para pensar matemáticamente, nial hecho de que el primero reflexionaba enun contexto ligado con la administraciónpolítica y económica, mientras que elsegundo lo hacia dentro de un contextoaristocrático-filosófico. La diferencia entre el

pensamiento matemático babilónico y elgriego tiene que ver con el hecho de que laforma de las actividades que enmarcaronesos pensamientos está igualmentesubtendida por una superestructurasimbólica que, a pesar de su importancia,no ha sido tomada en cuenta en lasteorizaciones contemporáneas sobre elconcepto de actividad8. Estasuperestructura simbólica, que en otrostrabajos hemos llamado SistemasSemióticos de Significación Cultural(Radford 2003a), incluyen significadosculturales tales como concepciones entorno a los objetos matemáticos (sunaturaleza, su modo de existencia, surelación con el mundo concreto, etc.) ypatrones sociales de producción designificados. El pensamiento del escribababilónico está enmarcado por unpragmatismo realista en el que cobranvigencia los objetos matemáticos“rectángulo”, “cuadrado”, etc., objetos queel geómetra griego del tiempo de Euclidesconcibe en término de formas platónicas oabstracciones aristotélicas (ver Figura 3).

Figura 3. Las flechas muestranla interacción entre losSistemas Semióticos deSignificación Cultural con laactividad y el territorio delartefacto. Dicha interaccióngeneral los modos de laactividad y del saber, modosque, en un movimientodialéctico, vienen a su vez aalimentar a los vértices deltriángulo.

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En interacción con las actividades (susobjetivos, acciones, distribución del trabajo,etc.) y con la tecnología de la mediaciónsemiótica (el territorio del artefacto), losSistemas Semióticos de SignificaciónCultural dan lugar, por un lado, a formas omodos de actividad y, por otro lado, amodos específicos del saber o epistemes(Foucault, 1966). Mientras que la primerainteracción da lugar a maneras particularesen que las actividades son realizadas enun momento histórico, la segundainteracción da lugar a modos de saberespecíficos que permiten una identificaciónde los problemas o situaciones“interesantes” y demarcan los métodos,argumentos, evidencias, etc. que seránconsideradas válidas en la reflexión que selleva a cabo sobre los problemas ysituaciones en una cultura dada9.

El triangulo mostrado en la figura 3 ilustrala complejidad de la actividad y lanaturaleza diversa de la misma.

La diversidad cultural en las formas de laactividad humana explica, en nuestraperspectiva, la diversidad de formas quetoma el pensamiento matemático, y que lahistoria nos muestra. En vez de ver esasformas históricas como versiones“primitivas” o estados “imperfectos” de unpensamiento que marcha hacia la formaacabada que presenta el pensamientomatemático actual (etnocentrismo), ladimensión antropológica de la teoría de laobjetivación considera esas formas comopropias de las actividades humanas que laenmarcan y renuncia así a privilegiar laracionalidad occidental como laracionalidad par excellence.

De allí que no es solamente la acción del sujeto que constituye el esquema del concepto (Piaget) o su sello o

emblema (Kant) sino sobre todo el significado de la acción en tanto que momento de la actividad socio-cultural misma

(Radford, 2005).

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Como Spengler (1948, p. 68 y p. 70)sugería hace muchos años, lasmatemáticas de una cultura no son sino elestilo de la forma con que el hombrepercibe su mundo exterior y que, contrarioa la idea común, la “esencia” de éstas noes culturalmente invariable. Esprecisamente la diversidad cultural la queexplica la existencia de universos denúmeros tan diferentes como irreduciblesunos a otros (ibid. p. 68).

La manera en que el escriba babilónico, elgeómetra griego y el abaquista Renacentistallegan a pensar y a conocer los objetos delsaber, la manera en que plantean susproblemas y los considera resueltos, estáenmarcada por el modo mismo de laactividad y la episteme culturalcorrespondiente (Radford, 1997, 2003a,2003b).

2. Las bases epistemológicas yontológicas de la Teoría de la

objetivación

Cualquier teoría didáctica debe en unmomento u otro (a menos de confinarsevoluntariamente a una especie de posicióningenua) clarificar su posición ontológicay epistemológica. La posición ontológicaconsiste en precisar el sentido en que lateoría aborda la cuestión de la naturalezade los objetos conceptuales (en nuestrocaso, la naturaleza de los objetosmatemáticos, su forma de existencia, etc.).La posición epistemológica consiste enprecisar la manera en que, según la teoría,esos objetos pueden (o no) llegar a serconocidos.

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Las teorías didácticas contemporáneasque parten de una aplicación de lasmatemáticas abrazan a menudo, aun si noes mencionado explícitamente, unaontología realista, y plantean el problemaepistemológico en términos deabstracciones. Claro, la situación no es tansimple, como el propio Kant lo reconoció.

Para el realismo, que en un sentidoimportante es la versión platonista de laracionalidad instrumental (Weber, 1992)que emerge en el renacimiento, laexistencia de los objetos matemáticosantecede y es independiente de laactividad de los individuos. Al igual que elplatonista, el realista considera que losobjetos matemáticos son independientesdel tiempo y la cultura. La diferencia es que,mientras los objetos platónicos no semezclan con el mundo de los mortales, losobjetos del realista gobiernan nuestromundo. Según la ontología realista, estoexplica el milagro de la aplicabilidad de lasmatemáticas a nuestro mundo fenomenal(Colyvan, 2001). Naturalmente, para lograresto, el realismo hace un acto de fe queconsiste en creer que el ascenso de laabstracción hacia los objetos es ciertamenteposible. La fe que Platón ponía en el discursosocial razonado (logos) y que Descartesponía en la cogitación consigo mismo, elrealismo la pone en el experimento científico.

La posición ontológica y epistemológica dela teoría de la objetivación se aparta de laontología platonista y realista, y suconcepción de los objetos matemáticoscomo objetos eternos, anteriores a laactividad de los individuos. Al alejarse de laontología idealista, la teoría se aleja de laidea de que los objetos son productos deuna mente que opera replegada sobre símisma o según las leyes de la lógica(ontología racionalista). La teoría de laobjetivación sugiere que los objetosmatemáticos son generados históricamente

en el curso de la actividad matemática delos individuos. De manera más precisa, losobjetos matemáticos son patrones fijos deactividad reflexiva (en el sentido explicadoanteriormente) incrustados en el mundo encambio constante de la práctica socialmediatizada por los artefactos.

El objeto círculo, por ejemplo, es un patrónfijo de actividad cuyos orígenes resultan node la contemplación intelectual de los objetosredondos que los primeros individuosencontraron en su entorno, sino de laactividad sensual que llevó a dichosindividuos a notar o a darse cuenta de ella:

Los hombres pudieron ver el Solredondo solamente porqueredondearon barro con sus manos.Con sus manos dieron forma a lapiedra, pulieron sus bordes, le dieronaspecto plano. (Mikhailov, 1980, p.199)

Esa experiencia sensual laboral queda fijadaen el lenguaje, el cual encarna así lossignificados originales, de manera que

el significado de la palabra “borde”,“plano”, “línea” no viene de unaabstracción de los aspectosgenerales de las cosas en el procesode contemplación (Mikhailov, ibid.)

sino de la actividad laboral que se pierde enlos orígenes de la humanidad. Lejos deentregarse de lleno a nuestros sentidos,nuestra relación con la naturaleza y el mundoestá filtrada por categorías conceptuales ysignificados culturales que hacen que

El hombre moderno puedacontemplar la naturaleza solamentea través del prisma de todas lashabilidades sociales de trabajo quehan sido acumuladas por suspredecesores. (Mikhailov, ibid.)

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Terminemos esta sección con unaobservación general sobre la evolución delos objetos matemáticos que seránecesaria para nuestra discusión sobre elaprendizaje. En el curso del tiempo, laactividad laboral va dejando su sello en susproductos conceptuales (Leontiev, 1993, p.100). Como todo objeto matemático, elconcepto de círculo, en tanto que reflexióndel mundo en la forma de la actividad delos individuos, ha sido expresado de otrasformas a lo largo de la historia. Por ejemplo,a través de una palabra, un dibujo, unafórmula, una tabla numérica. Cada una deesas expresiones ofrece un significadodiferente, que se amarra a los anteriores yviene a constituir como diría Husserl capasnoéticas del objeto. Como es la actividadde los individuos la que forma la raíz genéticadel objeto conceptual, el objeto posee unadimensión expresiva variada que va más alláde un simple contenido conceptual“científico”. Esta dimensión expresivaencierra igualmente aspectos racionales,estéticos y funcionales de su cultura.

3. Aprendizaje como objetivacióncultural del saber

3.1 Dos fuentes de elaboración designificados

En las secciones anteriores hemos visto que,desde el punto de vista filogenético, laactividad humana es generadora de losobjetos conceptuales, los cuales setransforman a raíz de cambios en lasactividades mismas. Desde el punto de vistaontogenético, el problema central es explicar

cómo se realiza la adquisición del saberdepositado en la cultura: este es un problemafundamental de la didáctica de lasmatemáticas en particular y del aprendizajeen general.

Las teorías clásicas de la didáctica de lasmatemáticas plantean el problema entérminos de una construcción o re-construcción del saber cultural por parte delalumno10. La idea de construcción del sabertiene su origen en la epistemología elaboradapor Kant en el siglo XVIII. Para Kant, elindividuo no es solamente un pensadorensimismado cuya actividad mental, si esbien realizada, lo llevará a las verdadesmatemáticas como sostenían losracionalistas (Descartes, Leibniz, etc.);tampoco es un individuo pasivo que recibelas informaciones sensoriales para formarideas, como proponían los empiristas (Hume,Locke, etc.). Para Kant el pensador es unser en acción: el individuo es el artesano desu propio pensamiento (esta idea kantianaes analizada en Radford, 2005). En realidadKant expresa de manera coherente yexplícita el cambio epistemomólogico que sevenía formando paulatinamente desde laaparición de la manufactura y la emergenciadel capitalismo en el Renacimiento y queArendt (1958) resume de la manerasiguiente: la era moderna es marcada porun desplazamiento en la concepción de loque significa saber; el problema central delconocimiento yace en un desplazamientoque va del qué (el objeto del saber) al cómo(el proceso), de suerte que, a diferencia delhombre del medioevo, el hombre modernopuede entender solamente aquello que élmismo ha hecho.

10 Naturalmente, hay matices diferentes, según la concepción que la teoría se hace del sujeto que aprende (esto es, del

alumno). Partiendo de una posición extrema, el constructivismo radical va más lejos que todas las formas de constructivismo.

Brousseau (2004) resume las dificultades a las que se enfrenta dicha teoría afirmando que “En didactique, le constructivisme

radical, est une absurdité”, y adopta un constructivismo piagetiano más moderado que, inevitablemente, lleva la teoría de

situaciones a una serie de paradojas.

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Para la teoría de la objetivación, elaprendizaje no consiste en construír oreconstruír un conocimiento. Se trata dedotar de sentido a los objetos conceptualesque encuentra el alumno en su cultura. Laadquisición del saber es un proceso deelaboración activa de significados. Es loque llamaremos más adelante un procesode objetivación. Por el momento, nosinteresa discutir dos fuentes importantesde elaboración de significados quesubtienden la adquisición del saber.

El saber depositado en los artefactos

Una de las fuentes de adquisición del saberresulta de nuestro contacto con el mundomaterial, el mundo de artefactos culturalesde nuestro entorno (objetos, instrumentos,etc.) y en el que se encuentra depositadala sabiduría histórica de la actividadcognitiva de las generaciones pasadas. Sibien es cierto que ciertos animales llegana utilizar artefactos, para el animal elartefacto no llega a adquirir unasignificación durable. El palo de maderaque el chimpancé utiliza para alcanzar unafruta pierde su significado luego que laacción ha sido ejecutada (Köhler, 1951).Es por eso que los animales no conservanartefactos. Además –y este es un elementofundamental de la cognición humana– alcontrario de los animales, el ser humanoes afectado profundamente por el artefacto:al contacto con éste, el ser humanoreestructura sus movimientos (Baudrillard,1968) y forma capacidades motrices eintelectuales nuevas, como la anticipación,la memoria, la percepción (Vygotsky yLuria, 1994).

El mundo de artefactos aparece, pues,como una fuente importante en el proceso

de aprendizaje, pero no es el único. Losobjetos no pueden hacer clara lainteligencia histórica encarnada en ellos.Para esto se requiere de su uso enactividades y del contacto con otraspersonas que saben “leer” esa inteligenciay ayudarnos a adquirirla. El lenguajesimbólico-algebraico quedaría reducido aun conjunto de jeroglíficos. La inteligenciade la que es portador dicho lenguajequedaría sin ser notada sin la actividadsocial realizada en la escuela. Es en estadimensión social que constituye para lateoría de la objetivación la segunda fuenteesencial del aprendizaje11.

La interacción social

Aunque la importancia de la dimensiónsocial ha sido subrayada por una infinidadde estudios recientes sobre la interacciónen el salón de clases, hay diferenciassutiles en cuanto a su aporte cognitivo(Cobb y Yackel,1996; Sierpinska, 1996;Steinbring, Bartolini Bussi y Sierpinska,1998;). A menudo, la interacción es vistacomo negociación de significados o comosimple ambiente que ofrece los estímulosde adaptación que requiere el desarrollocognitivo del alumno. El problema es queel individuo en general y el alumno enparticular no encuentran en la sociedad yen el salón de clases solamente unaespecie de muro con el que se topan y sefrotan para adaptarse; no se tratasolamente de condiciones “externas” a lasque el sujeto debe acomodar su actividad.El punto crucial es que las actividades, losmedios materiales que las mediatizan y susobjetivos están impregnados de valorescientíficos, estéticos, éticos, etc. quevienen a recubrir las acciones que realizanlos individuos y la reflexión que estas

La escuela histórico-cultural de Vygotsky ha expresado este punto de manera contundente. Ver por ejemplo Leontiev,

1993, pp. 58-59; 1968, pp. 27-29; Vygotsky, 1981b.

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acciones exigen. Tal como fue discutido enla primera parte de este artículo, las accionesque los individuos realizan están sumergidasen modos culturales de actividad. Es por esoque el salón de clases no puede verse comoun espacio cerrado, replegado en sí mismo,en el cual se negocian las normas del saber,pues esas normas tienen toda una historiacultural y como tal pre-existen a la interacciónque ocurre en el salón de clases. Tampocopuede verse como una especie de ambientebiológico en el que el individuo opera segúnsus mecanismos invariables de adaptacióngeneral.

En la perspectiva que estamos sugiriendo,la interacción desempeña un papel diferente.En lugar de desempañar una funciónmeramente de adaptación, de catalizadorao facilitadora, en la perspectiva teórica queestamos esbozando la interacción esconsustancial del aprendizaje.

Vemos, pues, que hay dos elementos quedesempeñan un papel básico en laadquisición del saber que son el mundomaterial y la dimensión social. La asignaciónde significados que reposa sobre esasdimensiones tiene una importanciapsicológica profunda en la medida en quees, a la vez, toma de conciencia de conceptosculturales y proceso de formación de lascapacidades específicas del individuo. Es poreso que, dentro de nuestra perspectiva,aprender no es simplemente apropiarse dealgo o asimilar algo, sino que es el procesomismo en que se forman nuestrascapacidades humanas.

3.2 La actividad de aprendizaje

Un elemento central en el concepto deactividad es el objetivo de la misma (Leontiev,1993). El objetivo puede ser, por ejemplo, quelos alumnos elaboren una fórmula algebraicaen el contexto de una generalizaciónaritmética, que aprendan un método

algebraico de resolución de problemas, queaprendan a demostrar proposicionesgeométricas, etc.. Aunque el objetivo es claropara el profesor, en general éste no lo espara los alumnos. Si el objetivo fuese claropar estos últimos, no habría nada poraprender.

Dentro del proyecto didáctico de la clase,para que dicho objetivo se pueda realizar, elprofesor propone a los alumnos una seriede problemas matemáticos. Resolver esosproblemas se convierte en fines que guíanlas acciones de los alumnos. Estosproblemas -cargados desde el principio conun contenido cultural y conceptual- formantrayectorias potenciales para alcanzar elobjetivo.

Debemos subrayar que, desde la perspectivade la teoría de la objetivación, hacermatemáticas no se reduce a resolverproblemas. Sin quitarle méritos al problemaen la formación del conocimiento (ver porejemplo Bachelard, 1986), para nosotros laresolución de problemas no es el fin sino unmedio para alcanzar ese tipo de praxiscogitans o reflexión cultural que llamamospensamiento matemático. De manera, pues,que detrás del objetivo de la lección, yaceun objetivo mayor y más importante, elobjetivo general de la enseñanza y elaprendizaje de las matemáticas, que es laelaboración por parte del alumno de unareflexión definida como relación común yactiva con su realidad histórico-cultural.

En otras palabras, aprender matemáticas noes simplemente aprender a hacermatemáticas (resolver problemas) sinoaprender a ser en matemáticas. La diferenciaentre hacer y ser es inmensa y, comoveremos más adelante, tiene consecuenciasimportantes no solamente en el diseño delas actividades sino en la organización mismade la clase y el papel que allí juegan alumnosy profesores.

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3.3 La objetivación del saber

En forma sucinta, el objetivo mayor de laenseñanza de las matemáticas es que elalumno aprenda a reflexionar de acuerdo conciertas formas culturales de pensamientohistóricamente constituidas que la distinguende otras formas de reflexión (por ejemplo detipo literario o musical) en la medida en queen la reflexión matemática, la relación delindividuo con el mundo enfatiza ideas entorno a la forma, el número, la medida, eltiempo, el espacio, etc. Es este énfasis el quedistingue el pensamiento matemático deotras formas de pensamiento.

Para conseguir ese objetivo, debemosrecurrir a la práctica, por la sencilla razón deque no disponemos de un lenguaje quepueda enunciar y capturar en el enunciado(en el sentido clásico del término, es decir,como conjunto articulado de sonidos vocales)el pensamiento matemático. No hay, enefecto, una formulación lingüística posible delpensamiento matemático de cuya lectura -por atenta que sea- pueda resultar lacomprensión de éste. El pensamiento, ya lohemos dicho (Radford, 2003b), está más alládel discurso: es una praxis cogitans, algo quese aprende haciendo.

La teoría de la objetivación no ve, sinembargo, dicho aprendizaje como simpleimitación o participación conforme a unapráctica ya establecida, sino como la fusiónentre una subjetividad que busca percibir eselingüísticamente inarticulable modo dereflexionar y este último que no puede sinomostrarse a través de la acción.

Sin duda, hay una relación estrecha entre elpensamiento matemático y sus objetos enel sentido en que estos objetos no puedenser percibidos sino a través de unpensamiento, el cual, a su vez, en elmomento de su constitución ontogenética,debe apuntar hacia uno o más de esos

objetos. ¿Pero cómo es esto posible? Paraconstituirse, el pensamiento parece suponerla existencia del objeto. Por otro lado, elobjeto no puede llegar a ser sin elpensamiento (entendido como praxiscogitans) que lo produce.

El misterio de esta relación se disuelve siregresamos a lo dicho en la primera partede este artículo. El objeto matemáticoconcebido como patrón o patrones fijosde actividad reflexiva incrustados en elmundo constantemente en cambio de lapráctica social no podrá ser percibido,sino es a través de la actividad reflexivamisma.

De allí que para llegar a conocer los objetosy productos del desarrollo cultural es“necesario realizar en torno a los mismosdeterminada actividad, es decir, unaactividad que produzca los rasgosesenciales de aquélla, encarnada,‘acumulada’ en dichos objetos.” (Leontiev,1968, p. 21)

La enseñanza consiste en poner y manteneren movimiento actividades contextuales,situadas en el espacio y el tiempo, que seencaminan hacia un patrón fijo de actividadreflexiva incrustada en la cultura.

Ese movimiento, que podría expresarsecomo el movimiento del proceso al objeto(Sfard, 1991; Gray y Tall, 1994), posee trescaracterísticas esenciales. Primero, el objetono es un objeto monolítico u homogéneo.Es un objeto compuesto de laderas degeneralidad (Radford, en prensa-1).Segundo, desde el punto de vistaepistemológico, dichas laderas serán máso menos generales de acuerdo con lascaracterísticas de los significados culturalesdel patrón fijo de actividad en cuestión (porejemplo, el movimiento kinestésico queforma el círculo; la fórmula simbólica que loexpresa como conjunto de puntos a igual

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Relime

distancia de su centro, etc.). Tercero, desdeel punto de vista cognitivo, dichas laderas degeneralidad son notadas de maneraprogresiva por el alumno. El “¡Aha!” que seconvirtió tan popular en parte gracias a lateoría de la Gestalt es a lo sumo cierto entanto que punto final de un largo proceso detoma de conciencia.

El aprendizaje consiste en aprender a notaro percibir esas laderas de generalidad. Comoel aprendizaje es re-flexión, aprender suponeun proceso dialéctico entre sujeto y objetomediatizado por la cultura, un proceso en elque, a través de su acción (sensorial ointelectual) el sujeto nota o toma concienciadel objeto.

La objetivación es, precisamente, eseproceso social de toma de concienciaprogresiva del eidos homérico, esto es, dealgo frente a nosotros una figura, una formaalgo cuya generalidad notamos gradualmente,al mismo tiempo que la dotamos de sentido.Es ese notar que se desvela en el gesto quecuenta o que señala, notar que se descubreen la intención que se plasma en el signo oen el movimiento kinestésico que mediatizael artefacto en el curso de la actividad prácticasensorial, algo susceptible de convertirse enacción reproducible, cuyo significado apuntahacia ese patrón eidético fijo de accionesincrustadas en la cultura que es el objetomismo12.

4. El salón de clases como comunidadde aprendizaje

4.1 Ser-con-otros

El salón de clases es el espacio social en

donde el alumno elabora esa reflexióndefinida como relación común y activa consu realidad histórico-cultural13. Es aquí endonde ocurre el encuentro del sujeto y elobjeto del saber. La objetivación que permitedicho encuentro no es un proceso individual,sino social. La sociabilidad del proceso,empero, no debe ser entendida como simpleinteracción de negocios, una especie dejuego entre adversarios capitalistas en el quecada uno invierte bienes con la esperanzade terminar con más. La sociabilidad significaaquí el proceso de formación de laconciencia, que Leontiev caracterizaba comoco-sapiencia, es decir, saber en común osaber-con-otros.

Naturalmente, estas ideas implican unareconceptualización del alumno y su papelen el acto de aprendizaje. En la medida enque las teorías contemporáneas de ladidáctica de las matemáticas se amparan delconcepto de individuo formulado por Kant yotros filósofos del Siglo de las Luces, laeducación se justifica en tanto que éstaasegura la formación de un sujeto autónomo(entendida en el sentido de ser capaz dehacer algo por sí mismo, sin ayuda de losdemás). La autonomía es, en efecto, un temacentral de la educación moderna que haservido de fundamento a las teorizacionesdel socioconstructivismo (ver, por ejemplo,Yackel and Cobb, 1996) y de la teoría desituaciones (Brousseau, 1986; Brousseau yGibel, 2005, p. 22). El racionalismo que pesasobre este concepto de autonomía viene desu alianza con otro concepto clave kantiano:el de la libertad. No puede haber autonomíasin libertad, y la libertad significa el usoconveniente de la Razón según sus propiosprincipios, pues “no vemos los principios sinoa través de la razón” (Kant, 1980, p. 119).

Ver Radford, 2002, 2003c, 2004.

El término elaborar debe ser entendido en su sentido etimológico medieval, como –labMrtus (de ex-labMrre), es decir

de labor o trabajo sensual conjunto.

12

13

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Como el Siglo de las Luces no se planteóla posibilidad de una multiplicidad derazones, sino que postuló la razónoccidental como la razón, la convivenciaen comunidad implica el respeto a un deberque, en el fondo, no es sino unamanifestación de esa razón universal, cuyoepitome son las matemáticas. Es esasupuesta universalidad de la razón la quelleva a Kant a fusionar las dimensionesética, política y epistemológica, y a afirmarque “hacer algo por deber es obedecer ala razón.” (Kant, 1980, p. 129).

Para la teoría de la objetivación, elfuncionamiento del salón de clases y elpapel del profesor no se limitan a buscarel logro de la autonomía. Más importantees aprender a vivir en la comunidad quees el salón de clases (en un sentidoamplio), aprender a estar con otros, abrirsea la comprensión de otras voces y otrasconciencias, en pocas palabras, a ser-con-otros (Radford, en prensa-2).

Como “lo social es irreducible a losindividuos, por muy numerosos que éstossean” (Todorov, 1984, p. 19), la sociabilidaddel salón de clases significa una unión através de vínculos y relaciones que sonprerrequisitos de esa reflexión que hemosmencionado anteriormente, definida comorelación común y activa que elabora elalumno con su realidad histórico-cultural.Esa sociabilidad no solamente deja suhuella en el contenido conceptualperseguido, sino que es consustancial deéste.

La naturaleza intrínsicamente social delsaber y del pensamiento matemático nosha llevado, pues, a concebir la sala de clasecomo una comunidad de aprendizaje, cuyofuncionamiento está orientado a laobjetivación del saber. Sus miembrostrabajan de forma que:

• la comunidad permite la realizaciónpersonal de cada individuo;

• cada miembro de la comunidad tienesu lugar;

• cada miembro es respetado;

• cada miembro respeta los otros y losvalores de su comunidad;

• la comunidad es flexible en las ideasy sus formas de expresión;

• la comunidad abre espacio a lasubversión a fin de asegurar:

– la modification,

–el cambio

–y su transformación

Ser miembro de la comunidad no es algoque va de sí. Para ser miembro, losalumnos son alentados a:

• compartir los objetivos de lacomunidad;

• implicarse en las acciones del salónde clases;

• comunicar con los otros.

Queremos insistir en que los lineamientosanteriores no son simplemente códigos deconducta, sino, al contrario, son índices deformas de ser en matemáticas (y porconsiguiente de saber matemáticas) en elsentido más estricto del término.

Para resumir las ideas anteriores,subrayemos el hecho de que, para la teoríade la objetivación, la autonomía no essuficiente para dar cuenta de la forma deser en matemáticas. El alumno queresuelve con éxito problemas, pero que esincapaz de explicarse o de entender ointeresarse en las soluciones de los otroso de ayudar a los otros a comprender lasuya está apenas a medio camino de lo

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Relime

que entendemos por éxito en matemáticas.Es por eso que el profesor dispone de unaserie de acciones de inclusión. Estasacciones son concebidas de manera queel alumno que resuelve correctamenteproblemas matemáticos sin poder atendera la dimensión interpersonal de lacomunidad gane poco a poco su espacioen la misma14. La idea de autonomía comoser autosuficiente es remplazada por laidea de ser-con-otros. En vez de concebirla clase como espacio de negociaciónpersonal de significados o como medio queenfrenta al alumno, la clase colabora ycoopera con el alumno para que éste seconvierta en parte de la comunidad.

4.2 Tres fases de la actividad del salónde clases

El trabajo en pequeños grupos

Para implementar la comunidad deaprendizaje, el profesor favorece el trabajoen pequeños grupos, los cuales pueden,en el curso de la lección de matemáticasintercambiar ideas con otros grupos. Deesa cuenta, la ingeniería didáctica(Artigue, 1988) no se limita al diseño delos problemas matemáticos sino incluyeuna gest ión del salón de clasesoperacional con los principios comunitariosmencionados anteriormente.

En cada pequeño grupo, los alumnos seapoyan mutuamente para alcanzar lasolución de los problemas que se les hadado. Los alumnos y el profesor estánconscientes de que hay diferenciasindividuales que llevan a formas diferentesde participación. Incluso participaciones

Ver nuestro libro, Communication et apprentissage (Radford y Demers, 2004).14

que parecen “menos profundas” (como lasparticipaciones periféricas, en el sentidode Lave y Wenger, 1991) sonbienvenidas, a condición de que elalumno en cuestión esté-con-su-grupo,esto es, que el alumno por ejemplo estéatento a lo que el grupo está discutiendo,solicite explicaciones que le permitanseguir la discusión y las acciones,colabore con su grupo, etc.

El profesor debe proponer tareas yproblemas que conlleven a la objetivacióndel saber. Ciertas condiciones deben sercumplidas. Por ejemplo, para manteneruna ref lexión sostenida entre losmiembros del grupo, con el profesor yluego con otros grupos, los problemasdeben ser suficientemente complejospara favorecer la aparición de diversasformas de abordar el problema yengendrar así la discusión.

En nuestro modelo, el profesor circula entrelos grupos y discute con los alumnos.Aunque en general el profesor deja a losalumnos discutir entre ellos sin intervenirinnecesariamente, éste va intervenir enmomentos en que, por ejemplo, cree quela discusión se ha estancado o que losalumnos no han ido suficientemente lejoscomo se esperaba.

Para ilustrar estos principios, veamos unextracto de una lección sobre lainterpretación del movimiento en unaclase de décimo grado (15-16 años). Lalección incluía un artefacto que mide ladistancia a un objeto a través de la emisión-recepción de ondas (Calculador BasedRanger o CBR; ver figura 4).

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Figure 4. El Calculator Based Ranger® (a laizquierda) es un artefacto concebido paraestudiar los objetos en movimiento: a través dela emisión de ondas, el CBR recoge datos desu distancia al objeto en cuestión. Al conectarsea una calculadora gráfica (por ejemplo, TI-83+®,mostrada a la derecha), es posible obtenergráficas espacio-tiempo, velocidad-tiempo, etc.

Los alumnos habían empezado a utilizarel CBR en noveno grado. El enunciado deuno de los problemas dado a los alumnosfue el siguiente:

Dos alumnos, Pierre et Marthe, secolocan a una distancia de un metroy empiezan a caminar en línea recta.Marthe, que está detrás de Pierre,lleva una calculadora conectada a unCBR. El gráfico obtenido se encuentrareproducido abajo. Describan cómoPierre y Marthe han podido hacer paraobtener ese gráfico.

t

d

A

B C

D

En el problema que seguía en el diseñode la actividad, los alumnos debíanverificar su hipótesis, efectuando lamarcha en uno de los corredores de laescuela.

Como de costumbre, los alumnostrabajaron en pequeños grupos de 3. Enlos problemas anteriores, los alumnoshabían sido confrontados con situacionesde movimiento en las que uno de los dos,el CBR o el objeto, quedaban fijos. Eneste caso, los dos están en movimiento.Como esperábamos, las dificultadesconceptuales fueron importantes. Engeneral, los alumnos transformaban elenunciado del problema en uno que podíanresolver: los alumnos suponían que Martheno se mueve. Esto queda ilustrado a travésde la discusión que tuvieron Samuel, Carlay Jenny de la cual reproducimos acontinuación algunas partes:

1.Samuel: Ok, Pierre se mueve despaciode « A » a « B » … Se detuvo algunossegundos (ver figura 5, foto 1), luegocorrió a D (figura 5, foto 2).

2.Carla: Ah, Sí! caminó, se detuvo, corrió.

3.Jenny: Mm-hmm.

4.Samuel: Espera, espera un segundo…[Pierre] regresó verdaderamenterápido.

5.Carla: Es cierto. Empezó despaciodespués (inaudible) luego se detuvo,luego corrió.

6.Samuel: Sí, hacia atrás.

7.Jenny: (dirigiéndose a Carla) Sí, haciaatrás, porque [el segmento] baja(haciendo un gesto hacia abajo con lamano; ver figura 5, foto 3).

119

Relime

Foto 1: …Se detuvo algunossegundos …(línea 1).

Foto 2: … luego corrió a D (línea 1).

Foto 3: porque [el segmento] baja.

Figura 5. Fotos 1 a 3.

Nuestro interés aquí no es entrar en unanálisis de errores, sino de mostrarelementos del proceso social deobjetivación del saber. Conviene notar, aese respecto, que no consideramos laintervención de Carla en la línea 2 comosimple réplica o imitación de la preposiciónenunciada por Samuel en la línea 1. Desde

la perspectiva de la objetivación, Carla seapropia la interpretación del fenómeno quele es ofrecida por Samuel. La apropiaciónpasa por una verbalización que Carlareformula en términos más breves (porejemplo, no hay alusión a las letras A, B.etc.). La preposición de Samuel y elmovimiento gestual hechos con la plumasobre el gráfico son para Carla la materiaprima a partir de la cual ella alcanza a veralgo que antes no veía.

Si Samuel ofrece a Carla acceso a unaprimera interpretación del problema (porrudimentaria que ésta sea), a su vez, lareformulación de Carla permite a Samueldarse cuenta de que hay algo importanteque ha quedado sin atenderse: que, paradar cuenta de la diferencia de inclinacionesde los segmentos, en la historia delproblema Pierre ha debido regresar“verdaderamente rápido” (línea 4). Carlareformula de nuevo la idea y, en la línea 6,Samuel insiste en que Pierre nosolamente ha debido correr más rápido,sino en cierta dirección (“hacia atrás”).En la línea 7, haciendo un gesto con lamano (ver Figura 5, foto 3), Jennypropone una razón.

Los alumnos continúan discutiendo por unbuen momento. La interpretación obtenidano convence a Carla y a Jenny, pues éstaasume que Marthe no camina.

La discusión continúa entre ellos:

8.Jenny: No … heuu… ¡(los dos) tienenque caminar!

9.Samuel: Si ella hiciera eso [es decir,caminara] exactamente a la mismadistancia [de Pierre] … como si ellahiciera esto (ver el gesto en la figura6), sería una línea plana [es decirhorizontal] (…) por lo tanto ¡ella debequedarse quieta y él debe moverse!

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10.Jenny: ¡Pero eso [el enunciado delproblema] dice que los dos caminan!(…)

11.Samuel: (después de un momento desilencio) Talvez ella camina, pero élcamina un poco más rápido que ella.

Figura 6. Para simular el caso en que Pierrey Marthe caminan,Samuel desplaza en formacontinua las manos de derecha a izquierda,

dejándolas a la misma distancia.

En este momento, la descripción delmovimiento deja de ser la descripciónrespecto a un punto fijo y alcanza ladescripción del movimiento relativo. Através de ese intercambio, los alumnosconsiguen acercarse un poco más a laforma cultural de reflexión vehiculado porla actividad. Será necesaria la expresióncorporal con el CBR y simbólica delmovimiento (a través de la experiencia

física en el corredor de la escuela y luegoel cálculo de las ecuaciones de lossegmentos) para que los alumnosalcancen una objetivación mayor.

Intercambio entre pequeños grupos

Las ref lexiones producidas por lospequeños grupos son, a menudo, objetode intercambio. Un grupo puedeintercambiar sus soluciones con otrogrupo con el fin de entender otros puntosde vista y mejorar los propios. La figura7 muestra el encuentro de dos grupos dealumnos sobre el problema de Pierre yMarthe. Los grupos llegaron a un puntoen que un acuerdo era imposible. Marc ysu grupo planteaban la explicación entérminos de cambios de velocidad. Porel contrario, Dona y su grupo afirmabanque la velocidad de Pierre con relación aMarthe es constante. Ante laimposibi l idad de poder l legar a unconsenso, los alumnos optaron porllamar a la profesora. En la figura 7, Marc(a la izquierda) explica su razonamientoa la profesora (de píe, detrás de losalumnos):

1.Marc: ¿Y si los dos comienzan a lamisma velocidad, luego él empieza acorrer más rápido? (Marc apoya suargumento con un gesto de manos)

2.Profesora: ¿Tú supones que elmuchacho [Pierre] camina cada vezmás rápido?

3.Dona: (oponiéndose a la idea) ¡Lavelocidad es constante! (…)¡No haycurvas! Eso quiere decir que él [Pierre]camina la misma distancia porsegundo.

121

Relime

Figura 7. Arriba, la discusión entrelos Grupos. Abajo, Marc explica la

solución de su grupo a la profesora,que aparece en la foto de píe, entre

Marc y Dona.

La profesora sugiere a los alumnos pensaren la situación de dos móviles que viajan a80 k/h y 100 k/h. Marc se da cuenta de queel aumento de distancia no significanecesariamente un aumento de velocidad.La profesora se cerciora de que los otrosalumnos del grupo de Marc hayan entendidola diferencia (dice, por ejemplo: “tú, Edgar¿qué piensas ahora?”) y aprovecha lascircunstancias para hacer reflexionar a losalumnos sobre el efecto en las gráficas quetendría un movimiento de velocidad queaumenta, como Marc proponía en la línea 1.

En este caso, los alumnos notan lasdiferencias entre los argumentos einterpretaciones. Sin embargo, muchasveces los alumnos no se dan cuenta de quelos argumentos presentados son diferenteso tienden a minimizar las diferencias. Unade las dificultades en la adquisición deformas de reflexión matemática es el de

notar las diferencias entre los argumentos.Naturalmente, tanto en un caso como en elotro, el profesor desempeña un papel crucial.En los dos casos, el profesor entra en la zonade desarrollo próximo del grupo. Lo que esmás importante es que el profesor no entraa esa zona de manera neutra, sino con unproyecto conceptual preciso.

Discusiones generales

La discusión general es otra manera deintercambiar ideas y discutirlas. Es otromomento que posee el profesor para lanzarla discusión en puntos que requieren mayorprofundidad de acuerdo con los estándarescurriculares. Por ejemplo, durante ladiscusión general del problema de Pierre yMarte, la profesora aprovecha para subrayaralgo sobre lo cual no todos los grupos habíanrecapacitado, a saber que la posición delsegmento BC no significa necesariamenteque Pierre y Marthe están detenidos ni quela posición del segmento CD significanecesariamente que Pierre camina en ladirección de Marthe. En la figura 8, dosalumnos ejecutan la marcha frente a toda laclase, mientras Susan, la tercera alumna deese grupo (no visible en la foto), explica atoda la clase:

1.Susan : Hem, la persona que estabaenfrente caminaba más rápido que la queestaba atrás, eso lograba una distanciamayor entre el CBR y el punto objetivo.Luego … hem… en seguida B y C ennuestro diagrama [Pierre y Marthe]caminaban a la misma velocidad, portanto había la misma distancia entre ellos.Luego, … ¿tú?

2.Profesora :Sí, ¡continua!

3.Susan: luego … hem … al final, lapersona que estaba atrás camina másrápido para acercarse a la persona queestaba adelante (ver figura 8).

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Figura 8. El alumno que camina atrás se

acerca al otro alumno

Síntesis

Algunas teorías de la didáctica de lasmatemáticas han excluido intencionalmentelos aspectos psicológicos del aprendizaje yse han ocupado de las situacionesmatemáticas que pueden favorecer laemergencia de razonamientos matemáticosprecisos. Tal es el caso de la teoría desituaciones. Por el contrario, otras teorías sehan detenido en los mecanismos denegociación de significados en el aula y lamanera en que esa negociación explica laconstrucción de representaciones que sehace el alumno del mundo. Tal es el casodel socio-constructivismo. La deudaintelectual que tiene la teoría de laobjetivación con esas teorías es inmensa,y nuestras referencias a ellas no deben servistas negativamente. Dichas teoríasaparecen sustentadas por principiosfundamentales y operacionales claros queles confieren una solidez impecable. Sinembargo, la teoría de la objetivación partede otros principios. Por un lado, ésta partede la idea de que la dimensión psicológicadebe ser objeto de estudio de la didácticade las matemáticas. Por otro lado, sugiereque los significados que circulan en el aula

no pueden ser confinados a la dimensióninteractiva que ocurre en el aula misma,sino que tienen que ser conceptualizadosen el contexto de su dimensión histórico-cultural.

De esa cuenta, la teoría de la objetivaciónpropone una didáctica anclada enprincipios en los que el aprendizaje es vistoen tanto que actividad social (praxiscogitans) arraigada en una tradicióncultural que la antecede. Sus principiosfundamentales se articulan alrededor decinco conceptos relacionados entre sí.

El primero es un concepto de ordenpsicológico: el concepto de pensamiento,elaborado en términos no mentalistas.Hemos propuesto que el pensamiento essobre todo una forma de re-flexión activasobre el mundo, mediatizada porartefactos, el cuerpo (a través de lapercepción, gestos, movimientos, etc.), ellenguaje, los signos, etc. Este concepto dere-flexión difiere del concepto idealista yracionalista en el que la reflexión “no esotra cosa que una atención a aquello queya está en nosotros” (Leibniz, 1966, p. 36),y que la psicología cognitivacontemporánea llama a menudo meta-cognición. Para la teoría de la objetivación,la re-flexión es un movimiento dialécticoentre una realidad constituida histórica yculturalmente y un individuo que la refracta(y la modifica) según las interpretacionesy sentidos subjetivos propios. Dichaconcepción se inscribe en una

forma peculiar de cognición en laque el acto del conocimiento alteralo que busca. Al tratar deentenderme yo mismo y micondición, no puedo nuncaquedarme idéntico a mí mismo,pues el yo que estaba entendiendoal igual que el yo entendido sonahora diferentes de lo que eran

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Relime

antes. Y si quisiera entender todoesto, todo este proceso sería denuevo puesto en marcha (…) Comoeste saber también mueve a la gentea cambiar sus condiciones demanera práctica, éste se vuelve unaespecie de fuerza política y social,una parte de la situación materialexaminada y no mera reflexion[contemplativa] sobre algo.(Eagleton, 1997, p. 4)

El segundo concepto de la teoría es deorden socio-cultural. Es el concepto deaprendizaje. El aprendizaje es visto comola actividad a través de la cual los individuosentran en relación no solamente con elmundo de los objetos culturales (planosujeto-objeto) sino con otros individuos(plano sujeto-sujeto o plano de lainteracción) y adquieren, en el seguimientocomún del objetivo y en el uso social designos y artefactos, la experiencia humana(Leontiev, 1993).

Este concepto socio-cultural se imbricainmediatamente con otro –el tercerconcepto de la teoría– de naturalezaepistemológica. Como toda actividad, elaprendizaje está enmarcado por sistemassemióticos de significación cultural que“naturalizan” las formas de cuestionamientoy de investigación del mundo. Aristóteleshubiese probablemente incitado a nuestrosalumnos a plantear y a estudiar el problemade Pierre y Marthe en términos diferentes,dado que dentro del marco aristotélico dereferencia, no son el tiempo y el espaciolos que describen al movimiento sino, alcontrario, el tiempo es un derivado delmovimiento15. Nuestros alumnos

“We take cognizance of time, when we have defined the movement by defining the before and after; and only then we

say that time has been (has elapsed) when we perceive the before and after in the movement…for, when we think

[noesomen] that the extremities are other than the middle, and the soul pronounces the present/instants [nun] to be two,

the one before, the other after, it is only then that we say that this is time” (Physics IV, 11, 219a 22-25; 26-29).

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pertenecen a una cultura en donde lamedida del tiempo se ha vueltoomnipresente, midiendo no sólo elmovimiento sino la labor humana, elcrecimiento del dinero (tazas de interés),etc., una cultura en donde

La temporalidad de la experiencia–esta noción del tiempo como elmarco dentro del cual las formas devida se encuentran inmersas yllevan su existencia– es lacaracterística del mundo moderno.(Bender y Wellbery, 1991, p.1)

Los conceptos anteriores permitenreformular, en términos generales, elaprendizaje de las matemáticas como laadquisición comunitaria de una forma dereflexión del mundo guiada por modosepistémico-culturales históricamenteformados.

Ahora bien, como el aprendizaje essiempre acerca de algo, los conceptosanteriores vienen a ser completados porun cuarto concepto de naturalezaontológica –el de objetos matemáticos, quehemos definido como patrones fijos deactividad reflexiva incrustados en el mundoconstantemente en cambio de la prácticasocial mediatizada por los artefactos.

Para volver operacional la teoría en suvertiente ontogenética, fue necesariointroducir un quinto concepto de naturalezasemiótico-cognitiva –el de objetivación otoma de conciencia subjetiva del objetocultural. En este contexto, y a la luz de losconceptos fundamentales anteriores, elaprendizaje se define como proceso social

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de objetivación de esos patrones externosde acción fijos en la cultura.

Desde el punto de vista metodológico,nuestro concepto no mentalista niracionalista del pensamiento nos conducea prestar atención a los medios semióticosde objetivación que utiliza el alumno en unesfuerzo que es, a la vez, elaboración designificados y toma de conciencia de losobjetos conceptuales. Las fotos que hemosincluido no tienen como fin “embellecer eltexto” sino, precisamente, mostrar algunosde esos medios semióticos de objetivación,como los gestos, el lenguaje, los símbolos.Gestos, lenguaje, símbolos, se conviertenasí en constituyentes mismos del actocognitivo que posiciona el objetoconceptual no dentro de la cabeza sino enel plano social. Los cortos ejemplos del

Ejemplos detallados pueden encontrarse en Radford, 2000, 2003c; Radford, Bardini y Sabena, 2005; Sabena, Radford

y Bardini, 2005.

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Finalmente, nuestra posición teóricarespecto al aprendizaje conlleva a unreplanteamiento del concepto del individuoque aprende. Como lo hemosmencionado, el concepto de individuo dela era moderna que aparece con laemergencia del capitalismo en los siglosXV y XVI, está fundamentado en elconcepto de autonomía y de libertad. Lateoría de la objetivación parte de otro puntoy ofrece un concepto diferente: el individuoes individuo en tanto que es ser-con-otros.

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Luis RadfordUniversité LaurentienneCanada

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Elementos de una teoría cultural de la objetivación RESUMO Este artigo apresenta as linhas gerais de uma teoria cultural da objetivação uma teoria da ensino e a aprendizagem das