ELIPSE Definición

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante e igual a (2a).

Elementos de una elipse. Gráfica. - Focos son los puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) - Eje Focal es la recta que pasa por los focos - Eje secundario es la mediatriz del segmento FF’ - Centro es el punto de intersección de los ejes - Radio vectores son los segmentos PF y PF’ - Distancia focal es el segmento F’F de longitud 2c; c es el valor de la semidistancia focal - Vértices son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A(a,0), A’(−a,0), B(b,0), B’(−b,0). - Eje o diámetro mayor es el segmento AA’ de longitud 2a; a es valor del semieje mayor. - Eje o diámetro menor es el segmento BB’ de longitud 2b; b es el valor del semieje menor. - Ejes de simetría son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. Relaciones entre los parámetros de la elipse

Situando el punto P sobre el vértice A se comprueba: PF + PF’ = 2a

Situando el punto P sobre el vértice B se comprueba: b² + c² = a²

Excentricidad. ace = , c < a

Ecuación analítica A partir de la definición de elipse:

d (P−F) + d (P−F’) = 2a

aplicando la definición de distancia entre dos puntos

( ) ( ) ( ) ( ) a20ycx0ycx 2222 =−+−+−++ elevando al cuadrado dos veces y ordenando:

(a² − c²)·x² + a²·y² = a²·(a² − c²) Colocando el punto P sobre el vértice B, se puede observar que la distancia de P a F es igual a la distancia de P a F’, y como la suma de estas distancia es 2a, cada una de ellas debe ser a

por lo que se puede establecer la siguiente relación entre los parámetros de una elipse

a² = c² + b² (T. Pitágoras) de la cual se puede deducir

a² − c² = b² sustituyendo en la ecuación de la elipse queda

b²·x² + a²·y² = a²·b² dividiendo toda la ecuación por a²·b² se obtiene la ecuación canónica y reducida de la elipse:

1by

ax

2

2

2

2=+

La ecuación de la elipse, también se puede escribir en forma paramétrica

⋅=⋅=

tcosbysen tax

despejando las funciones circulares de cada ecuación, elevando al cuadrado y sumando las dos ecuaciones se obtiene la ecuación canónica de la elipse.

Si el centro se desplaza al punto O(xo,yo) la ecuación anterior se transforma en:

1²b

)²yy(²a

)²xx( oo =−

+−

Tipos de elipses

Sea la elipse: 1by

ax

2

2

2

2=+

Dos casos: I) a > b a² = b² + c² Distancia focal = 2c Vértices (a,0),(-a,0) ; (0,b),(0,-b) Focos

F(c,0), F'(-c,0) Excentricidad 1ace <=

ELIPSE DE EJE HORINZONTAL

II) a < b b² = a² + c² Distancia focal = 2c Vértices (a,0), (-a,0) ; (0,b), (0,-b)

Focos F(0,c), F'(0,-c) Excentricidad 1bce <=

ELIPSE DE EJE HORINZONTAL

Posiciones relativas Se estudian igual que en el caso de la circunferencia, empleando los mismos métodos de planteamiento y discusión y obteniendo los mismos casos. Problemas que se pueden plantear.

a) Conocida la ecuación de la elipse, hallar sus elementos. b) Conocidos los elementos de una elipse, hallar su ecuación. c) Posiciones relativas de elipses y rectas. Cálculo de la tangente a una elipse.