Emilio Díaz Estévez - La noción de paradoja y la autorreferencialidad

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EMILIO DÍAZ ESTÉVEZ

LA NOCIÓN DE PARADOJA Y LAAUTORREFERENCIALIDAD



LA NOCIÓN DE PARADOJA Y LAAUTORREFERENCIALIDAD

Clásicamente se est ima que existen dos especies de paradojas : las paradojas lógicas y las paradojas semánt icas .Las so luc iones propues tas para cada una de es tas dos especies son dist intas . Las paradojas lógicas se resuelvenmediante la apl icación del pr incipio del círculo viciosoque impide toda forma de c i rcular idad. Las paradojas semánt icas , mediante la d is t inc ión ent re d i ferentes n ive leslingüísticos.

En t re las dos so luc iones exis te un pun to com ún : esimposib le que un enunciado que tenga sent ido hable desí mismo. Este pr incipio, que por otra parte t ropieza conformidables objeciones *, da lugar , para las paradojas lógicas a la creación de la teoría de los t ipos y, para lasparadojas semánt icas , a la neces idad de admi t i r una je rarquía indef in ida de n ive les l ingüís t icos .

Nues t ro propós i to es demost rar que n i la teor ía de lost ipos es necesaria para la solución de las paradojas lógicas, o por lo menos para la paradoja lógica por excelenciaque es la de las clases de R U S S E L L , ni la d is t inc ión ent remás de dos n ive les l ingüís t icos es necesar ia para resolverlas paradojas semánt icas .

Nos proponemos demost rar que s i b ien las propos ic io-

1. Por e jemplo, la proposic ión indecidible de GOEDEL se cons ideracomo c i rcular y , s in embargo, no es n i paradój ica n i s in sent ido s ino,según se p iensa , verdadera . Lo mismo sucede con proposic iones ta lescomo "Esta proposic ión que aho ra enun cio t iene ocho pa lab ras " .

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EMILIO DÍAZ ESTEVEZ

nes es t r i c tamente c i rculares , l as que hablan de s í mismasy sólo de s í mismas, son s insent idos, no sucede lo mismo

con las propos ic iones s implemente autor referentes en e ls en t i do de que hab l an de s í m i smas en cuan to hab l an detodas l as propos ic iones .

1. Noción de paradoja y distinción entre paradoja y contradicción.

De una manera gene ra l s e en t i ende por "pa rado j a" un

enunc i ado que pa rece merece r un p red i cado me ta t eo ré t i -co de t e rminado y no l o merece : que pa rece se r ve rdade roy es falso, que parece ser falso y es verdadero, que pareceverdadero o falso, es to es , con sent ido, y no es ni verdadero ni falso s ino un s insent ido. Este úl t imo es el caso dela paradoja en sent ido técnico . Se t ra ta de un enunciadoque parece tener sent ido y que , s in embargo, no lo t i ene ,pues to que s in neces idad de conf rontar lo con los hechosse observa que no puede ser verdadero n i fa l so .

Una pr imera def in ic ión de paradoja será és ta :Def. 1. Una paradoja es una proposición aparente acercade la cual, si se pone la hipótesis de su falsedad se deduce que es verdadera y, si se pone la hipótesis de su verdad, se deduce que es falsa. No es , por t an to , una autént i ca propos ic ión .

Es ta def in ic ión no es so lamente vá l ida para l as paradojas semánt icas que se re f ie ren a l a fa l sedad. Toda paradoja es una orac ión acerca de l a cua l , una vez pues ta

en fo rma ind i ca t i va , s e puede p regun ta r s i e s ve rdade rao falsa, verificándose entonces lo dicho en la Def. 1. Asípor e jemplo , l a paradoja de lo he tero lógico que , como muchas o t ras , se sue le expresar en forma in te r rogat iva , sepuede expone r t ambién de modo ind i ca t i vo . La p ropos i c ión paradój ica será entonces és ta : "e l ad je t ivo 'he te rológico' es heterológico". Las condiciones de la Def. 1. sedan en cuanto se pregunta s i d icha propos ic ión es verdadera o falsa . En efecto, s i e l adjet ivo "heterológico" es

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verdaderamente heterológico, es falso que sea heteroló-gico, y s i es falso que sea heterológico será verdaderamen

te tal.Es frecuente que las paradojas sean designadas con el

nombre de "cont radicc iones" 2 . Es cier to que se t rata deuna denominación genér ica —como también las de "ant i nomias" o "dificultades"—, pero se corre con ello el r iesgo de incurr i r en un error . En efecto, s i la paradoja escomo la hemos def inido, es obvio que no es una contradicción. Una contradicción es una proposición anal í t icamente falsa acerca de la cual no es posible poner la hipó

tesis de su verdad. Podemos dar de el la la s iguiente def i nición :

Def. 2. Una contradicción es una proposición acerca dela cual, puesta la hipótesis de su verdad, se deduce su falsedad y, puesta la hipótesis de su falsedad, el entendimiento descansa en ella y la confirma.

Esta def inición se apl ica vál idamente a todas las cont radicc iones , aunque de una manera más pa tente a aquél las que son también paradojas en el sent ido amplio y no

técnico del término. Tales contradicciones son las proposiciones cuya verdad o falsedad parece depender de loshechos y que , s in embargo, examinadas ana l í t i camenteconducen a la conclusión de que solamente pueden serfalsas.

Que la definición Def, 2. se aplica a todas las contradicciones no es di f íc i l de mostrar . Una contradicción esuna proposición de la forma (a) "A es B y no es B", enla que A es un singular. La proposición (a) se desglosa endos prop osicion es: (b) "A es B " y (c) "A no es B", cad auna de las cuales es la simple negación de la otra. Si la

2. A sí RUSSELL e n e l p r ime r p a rá g ra fo d e Mathematical logic asbased on theory of types. Cfr . in "Fr om Fr ege to G ode l" , compiladop o r J . V . He i j e no o r t , Ha rw a rd U n iv e r s i ty P re s s , Ca m b r id g e , Ma s s a -chusetts, 1967, pp. 150-182; p. 153. Cfr. también, W HITEHEAD a n dRUSSELL, Principia Mathematica, Ca mb r id g e , a t t h e Un iv e r s i ty P re s s ,1968, vol. I , Introducción, Cap. II , n .° VIII.

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conjunción de (b) y (c ) y , por tanto , (a ) fuese verdadera ,entonces , la conjunción de las cont radic tor ias de cada una

de el las debería ser falsa. Así , s i es verdad (a) , será verdad (b) y será ve rda d (c). Po r cons iguien te deb er ía serfa lsa la negación de la una y de la o t ra . Pero la negaciónde (b) es precisamente (c) , y la negación de (c) es prec isamente (b) . Por tanto , s i (a ) es verdad, deberá ser fa l sa la proposición "A no es B y es B", pero esta proposic ión es (a ) misma. Luego, par t iendo de la h ipótes is deque (a) es verdadera , se concluye que es fa l sa .

Comencemos, con e l obje to de es tablecer una c lara d is

t inc ión ent re paradoja y cont radicc ión, por examinar es ta ú l t ima. l .e Una contradicción es una proposición falsa;es decir, una proposición P tal que PD— P (en donde P ese l nombre de una propos ic ión a tómica o molecular ) . A esta def in ic ión se a jus tan todas las cont radicc iones ta les como "exis te un c í rculo que no es c í rculo" . Pero tambiénse a jus tan a e l la propos ic iones ta les como, por e jemplo ,"es to que t engo en m i m ano no e s una p lum a" ( cuandoen r ea l idad t engo una p lum a) ; p ropos ic ión que , s in em

bargo, no es en s í misma una cont radicc ión s ino una s imple falsedad fáct ica.

Siendo as í , se rá necesar io comple tar la def in ic ión dec o n t r a d i c c i ó n a ñ a d i e n d o : 2.6 "Una contradicción es unaproposición que tiene la estructura ja-—ja. Una con t r ad ic c ión será s iempre , por tanto , una propos ic ión molecular .

Ahora b ien , dado 2 .0, 1 .° parece innecesaria como partede la definición de contradicción. En efecto, s i P es eln o m b r e d e ja*—ja, en tonces , necesa r i am en te , PD—P. P e r o

l.6 no de ja de tener in terés . En rea l idad toda propos ic iónfa lsa es de a lgún modo cont radic tor ia : o lo es en s í misma, como se da en ja •—ja, o lo es en re lac ión a una proposición fáct ica que se ajuste a los hechos. Cuando, pore jemplo , rea l izamos la prueba por reducción a l absurdo,y éste es el proceso que A R I S T Ó T E L E S indica, lo que hacemos es par t i r de una h ipótes is , cuya fa l sedad querem os dem os t r a r , y de una t e s i s ya p robada o adm i t ida

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por e l adversar io , para demost rar en seguida que la h ipótesis está en contradicción con la t es i s admi t ida 3 . La hipó

tes i s se reve lará , pues , cont radic tor ia aunque en s í mismano tenga la es t ruc tura ja •— ja . La que t endrá t a l e s t ruc tu raserá, en úl t ima instancia , la conjunción de la hipótesis yde la tes is admit ida.

Teniendo es to en cuenta podemos def in i r l a cont radicc ión de es ta manera :Def. 3. Una proposición P es contradictoria consigo mis-ma si y sólo si tiene la estructura ja»—ja; y una proposición P es una contradicción si y sólo si PD— P.

Por relación a la Def . 3. se puede def ini r la ident idado verdad ana l í t i ca , dado q ue e l l a no es m ás qu e la cont radictor ia de la contradicción. Basta , para eso, denominar"Q " a la proposición que es una ident idad y establecer laequivalencia Q=—P. Así t endremos la s iguiente def in ic ión:Def. 4. Una proposición Q es una identidad consigo mis-ma si y sólo si tiene la estructura — (ja*—ja); y una proposición es una identidad (verdad) si y sólo si —Q DQ . T e n e mos que admi t i r en tonces que , as í como una propos ic iónfáct icamente falsa es una contradicción —está efect ivamente en contradicción con los hechos o, mejor , con lapropos ic ión ver i f i cante re la t iva a los hechos—, tambiénuna propos ic ión fác t icamente verdadera es una ident idaden cuanto es idént ica a la proposición ver i f icante acercade los hechos mismos.

Pasemos ahora a de f in i r l a pa rado j a :Def. 5. Una proposición apa rente, o simplemente un

enunciado, P es una p aradoja si y sólo si P •—P. En efecto,una paradoja es una pseudo-propos ic ión que se reve la a lmismo t i empo verdadera y fa l sa o , lo que es lo mismo,ni verdadera n i fa l sa .

Es fáci l observar la relación entre contradicción y paradoja . Supongamos la propos ic ión "A es B" , en la que Aes un s ingular ; su cont radic tor ia será "A no es B" . Una

3. Cfr. Segundos Analíticos, I, 26, Bk 87 a 6-12.

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cont radicción en s í misma será la proposic ión que resul tade la conjunción de las anter iores, o sea, "A es B y no esB" . Si ponemos ahora que A s igni f ique no un términosino una proposic ión y B e l p red icado meta t eoré t i co "ver dadero" , en tonces d i r emos que A (pero no "A es B y noB") es una paradoja .

La dis t inción ent re cont radicción y paradoja se acentúa , s i se t iene en cuenta que, como vimos, la negaciónde una cont radicción es una ident idad, mient ras que, como es fác i l de ver , l a negación de una paradoja es también una paradoja . En efecto , pongamos que P sea unaparadoja y que Q=—P. La definición de paradoja se ajust a rá t ambién a Q , pues to que —Q*Q se rá equ iva l en te a— (—P) • — P que por la ley de doble negación es a su vezequiva len te a P *—P.

La dis t inción que acabamos de es tablecer ent re paradojas y cont radicciones nos obl iga a ponernos e l problema de si es l íci to usar las paradojas a la manera de cont radicciones en pruebas por reducción a l absurdo.

Tal uso lo encont ramos, por e jemplo, en la prueba deCANTOR acerca de la no enumerabi l idad del conjunto delos conjuntos de enteros pos i t ivos .

Expongamos l a p rueba de l a manera más senc i l l a 4 .Supongamos que e l conjunto de los conjuntos de ente

ros sea enumerable , es deci r , que exis ta una cor respondencia biunívoca ent re es te conjunto y e l conjunto de los ent e ros . A cada en te ro k debe en tonces cor responder unconjun to de en te ros C k. E l entero k puede pe r t enecer o

no a l conjunto C k, a l que deno m inam os "conjun to imagen de Jc ' \ Consideremos ahora el conjunto C d de en te ro s j t a l e s que j no per tenezca a su conjunto imagen C ; .C omo C d es un conjunto de enteros , exis te , en vi r tud dela hipótes i s de la enumerabi l idad, un entero d t a l queC d es la imagen de d . Ahora nos preguntamos s i e l en-

4. Seguimos aquí l a expos ic ión de LADRIERE, cfr. Les limitations

internes des lormalism es, Louvain , E. Nauweleer t s , 1957; p . 419.

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t e ro d per tenece o no a l conjunto Cd. En seguida obtenemos la s iguiente paradoja : s i d per t enece a Cd, en ton

ces, por def inición de C d no puede per tenecer a é l ; s ipor el contrar io d no per tenece a C d, entonces , y de nuevo por definición de C d, d t i ene que per tenecer a Cd.

Llegando a es ta paradoja se l a cons idera como unacont radicc ión , como un absurdo, y se concluye negandola h ipótes i s pues ta a l pr inc ip io acerca de l a enumerabi -l idad del conjunto de los conjuntos de enteros .

Pero ¿es l í c i to es te modo de proceder? Nos encont ra

mos aquí con un problema.CANTOR

ha l legado a una conclusión paradój ica y en vis ta de eso ha negado la hipótesis. Sin embargo, t an paradoja es l a de l número entero dque n i per tenece n i no per tenece a l conjunto Cd, comoot ras paradojas que no se pueden resolver mediante l anegación de la hipótesis . Esto sucede, por lo pronto, contodas l as paradojas semánt icas . No se puede , por e jemplo ,resolver l a paradoja de l ment i roso en la forma "Es toymint iendo" , negando la pos ib i l idad de que a lguien pro

f ie ra t a l expres ión . De la misma manera , t ampoco se puede resolver l a paradoja de RICHARD, cuya e s t ruc tu ra e smuy semejante a l a de l a prueba de CANTOR, n e g a n d o q u ese pued a hacer cor re spon der a cada defin ición de pro piedades de números na tu ra l e s un número de l a s e r i e de l osenteros posi t ivos.

Nos encon t r amos aqu í con un t r a t amien to des igua l y ,a l menos en par te , in jus t i f i cado de las paradojas . Unasveces se niega la hipótesis , como en el caso de la prueba

de CANTOR O de la paradoja de l barbero; o t ras , se buscael truco, por as í dec i r lo , que engendra l a paradoja , comoen el caso de la paradoja de RICHARD O en el de la de lasclases.

La razón de que en a lgunos casos —como en la pruebade CANTOR— se pueda negar l a h ipótes i s y en o t ros no ,porque en es tos ú l t imos la h ipótes i s sea un hecho, no essuf iciente . ¿No habría que resolver la paradoja a que conduce el raciocinio de CANTOR encon t r ando e l t r uco que l a

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hace posible? La tarea no ser ía di f íc i l , dada la analogíade ta l paradoja con la de RICHARD. Por o t r a pa r t e , aunquese pueda negar que e l conjunto de los conjuntos de enteros sea enumerable , t a l negac ión no de ja de ser sorprend e n t e .

Para t ra ta r de resolver t a l cues t ión , es tudiaremos laparadoja del barbero y la de las c lases de R U S S E L L .

2. La paradoja de las clases de RUSSELL y la paradojadel barbero.

Expongamos la paradoja de l as c lases t raduciendo l i t e r a lmen te e l t ex to co r r e spond ien t e de Principia Mathe-matica5.

" P o n g a m o s q u e w sea la c lase de todas las c lases queno son miembros de s í mismas . Entonces , cua lquiera quesea la clase x, "x es una w" es equiva lente a "x no esu n a x". A par t i r de es to , dando a x el valor de w, t e n e m o sq u e "w es una w" es equiva lente a "w no es una w" ".

Más c l a r amen te apa rece l a pa rado j a s i nos p r egun ta mos si la clase (w ) de todas las c lases que no son miembros de s í mismas es o no es miembro de s í misma. Si esmiembro de s í misma, no es miembro de s í misma, porla def inición de w. Si no es miembro de s í misma, esmiembro de s í misma, t ambién por l a def in ic ión de w.

Tenemos un caso clásico de paradoja que se ajusta alas definiciones Def. 1. y Def. 5. En este caso, la proposición P de la Def. 5. será, por ejemplo, "w es miembro des í misma" y entonces t enemos que s i P en tonces P »—P.

La paradoja de las clases se resuelve no por negaciónde la hipótesis s ino por la invención del truco que en estecaso será , como en Principia Mathematica se piensa acerca de todas las paradojas , la c i rcular idad o el c í rculo vicioso. La teor ía de los t ipos vendrá a resolver es ta para-

5. Cfr. vol. I , Introducción, Cap. II , n .° VIII, p . 60.

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do ja en pr ime r lugar , e inm edia tam en te todas las para dojas lógicas, según se cree después de las cr í t icas deRAMSEY el axioma de reducib i l idad 6 . Dicha teoría estab lece una je rarquía de t ipos s in tác t icos de manera quesólo t ienen sent ido las funciones proposicionales cuyos argumentos son de l t ipo inmedia tamente infer ior a l de l predicado. Así , la expresión "w es una w" será un s insent ido ,pues to que incurre en c i rcular idad y peca cont ra la teoría de los tipos.

Exis te , s in embargo, una paradoja que aparece comouna vulgarización de la de las clases y para la que se suele dar una solución diversa. Se t rata de la paradoja delbarbero que se puede exponer de l modo s iguiente :

Exis te en un c ier to pueblo un único barbero que afe i taa todos y sólo a los hombres del pueblo que no se afei tana s í mismos . En seguida se pr eg un ta : ¿e l barbe ro se a fe i ta o no se afeita a sí mismo? Si se afeita a sí mismo, nose afeita a sí mismo y, si no se afeita a sí mismo, se afeitaa s í mismo, dada la hipótesis puesta .

La paradoja de l barbero puede ponerse en forma indicativa. En este caso, la proposición P de la Def. 5. ser ía : "El único barbero que exis te en un c ier to pueblo yque afei ta a todos y sólo a los hombres de ese pueblo queno se afei tan a s í mismos, se afei ta a s í mismo". Inmediat a m e n t e t e n d r í a m o s P *—P.

Ahora b ien , es ta paradoja se sue le resolver con todafaci l idad negando la hipótesis de la existencia de un talb a r b e r o 7 ; es decir , se s igue un proceso semejante al recorr ido en la prueba de CANTOR acerca de la no enume-

rabi l idad de l conjunto de los conjuntos de enteros .Acerca de es to nos tenemos que preguntar dos cosas :

I o Si la so luc ión de la paradoja de l barbero mediante lanegación de la hipótesis es correcta; 2.° Si , dada la seme-

6. Cfr. Mathematical logic i n " The Founda t ions o f M a them at i c sand other logica l essays" , Rout ledge & Kegan Paul , London, 1965, p . 76 .

7. Cfr. S. C. KLEENE, Introduction to Metamathematics, N o r t h -Holland p. c . Amsterdam, 1964, p. 37.

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j anza ent re l a paradoja de l barbero y l a de l as c lases ysupues to que la so luc ión habi tua l de l a pr imera sea cor rec ta , no será necesar io resolver de l mismo modo la paradoja de las clases .

Por lo que se re f ie re a l pr imer punto , nues t ro problema es el mismo que se nos levanta en el caso de la prueba de CANTOR. Si es l íc i ta la solución de una paradoja mediante l a negac ión de la h ipótes i s , habrá que dar una jus t i f icación de ta l modo de proceder , con el objeto de queno exis ta un t ra tamiento d i scr imina tor io en la so luc iónde las paradojas .

En orden a l segundo punto , hay que dec i r que QUINEacepta l a d ivers idad de so luc iones para l a paradoja de lbarbero y para l a de l as c lases y admi te que la ú l t ima, ad i fe renc ia de l a pr imera , es una genuina ant inomia 8 .Q U I N E da razón de d icha d ivers idad seña lando que es táen nues t ros hábi tos menta les c reer que exi s te una c lasecuyos miembros son todas y sólo las c lases que no sonmiembros de s í mismas . Es ta razón es débi l y e l mismoQUINE reconoce que, cuando en el futuro sea un lugar común la absurdez de la exis tencia de ta l c lase, se l legará ala conclusión de que la paradoja de las clases no es unagenuina ant inomia y que debe ser t ra tada como la parado j a de l ba rbe ro 9 .

Examinemos e l p r imer pun to .En pr inc ip io no parece cor rec to resolver una parado

ja cua lquiera mediante l a negac ión de la h ipótes i s , a noser que exi s ta en los presupues tos de l a paradoja en cues

t ión a lgún mot ivo que jus t i f ique ta l modo de proceder .Pa ra t r a t a r de encon t r a r t a l mot ivo , vamos a descomponer e l p lanteamiento de l a paradoja en las s iguientesh i p ó t e s i s :

8 . P o r a n t in o mia e n t i e n d e QUINE l o q u e n o s o t ro s h e mo s d e n o min a d o "p a ra d o ja e n s e n t id o t é c n ic o " p e ro e x c lu y e n d o a l a s p a ra d o ja sque se pueden reso lver median te la negac ión de la h ipó tes is .

9 . Cfr. W . V. QUINE, The whays of paradox, Ra n d o n Ho u s e , Ne w

York, 1966, p. 14.

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PARADOJA Y AUTORREFEREN CIALIDAD

(a) En una aldea hay un único barbero.

(b) Todos los homb res de la aldea que n o se afeitan así mismos son afeitados por el barbero.

(c ) Ninguno de los homb res de la aldea que son afeitados por el barbero se afeita a sí mismo.

No exis te razón n inguna para negar por separado cual quiera de las t res hipótesis . Cada una de el las es en s ím ism a pe r fec t am en te cohe ren te y todas pueden se r ve r dades fáct icas.

Sólo será posible negar la conjunción de las t res hipó

tes i s , pero so lamente en e l caso de que envuelvan unarea l cont radicc ión y que és ta pueda ser encont rado independ ien tem ente de l a fo rm ulac ión de l a p regun ta pa ra dójica.

Ahora b ien , és te es prec isamente e l caso de la paradoja del barbero. En efecto, de (b) se deduce:

(d ) Ninguno de los homb res de la aldea se deja crecer la barba, todos se afeitan o son afeitados.

En seguida, a part i r de (a) y de (d) se deduce:

(e) El barbero se afeita o es afeitado.Otra vez, a part i r de (b) y de (e) se inf iere:(f) El barbero se afeita a sí mismo; pues to que e l bar

bero es el único que afei ta a otros y porque en (b) no seespecifica que sólo los que no se afeitan a sí mismos seanafei tados por el barbero. Así , s i la hipótesis (c) no existiese, dándose (a) y (b) , l l egar íamos a la conclus ión nadaparadój ica n i cont radic tor ia de que en la a ldea exis tendos clases de hombres, los que se afei tan a s í mismos y

los que son afei tados por el barbero, y que esas clases noson to ta lmente d isyuntas , porque a l menos exis t i r ía unhombre , e l barbero , que per tenecer ía a ambas c lases . Pero , por o t ra par te , a par t i r de (c) se deduce:

(g) El barbero no se afeita a sí mismo; pues de afeita rse a s í mismo habr ía que conclu i r que es a fe i tado porel barbero, pero en (c) se excluye la posibi l idad de quealguien sea afei tado por el barbero y se afei te a s í mismo.

Obviamente , ( f ) y (g) son cont radic tor ias . La para-

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do ja del ba rber o, en cuan to ta l parad oja , h a aparecid o porhaber admi t ido impl í c i t amente una con t rad icc ión —la de

(f) Y (g)— en las hipótesis (a), (b) y (c).En es te caso es l íc i to resolver la paradoja mediante la

negación de la hipótes i s , pero no porque és ta dé lugar auna paradoja s ino porque cont iene una cont radicción ytoda cont radicción debe ser negada.

Veamos ahora s i l a paradoja de las c lases se puede reso lve r de l a mi sma manera .

Es t a pa radoja se puede exponer de un modo semejante a la del barbero: "Exis te una c lase A a la que per te

necen todas y sólo las c lases que no per tenecen a s í mism a s " . Exactamente como en e l caso de la del barbero, laparadoja surge inmedia t amente que nos p reguntamos s ila clase A per t enece o no pe r t enece a s í mi sma .

La paradoja de las c lases procede de la admis ión delas s iguientes hipótes i s :

(a') Existe una clase A.(b') Todas las clases que no son miemb ros de sí m is

mas son miemb ros de la clase A.(c') Ninguna de las clases que es miemb ro de la clase

A es miembro de sí misma.En es tas hipótes i s encont ramos una cont radicción.En efecto, de (b ' ) se deduce:(d') Toda clase es miembro de alguna clase, sea ésta

ella misma u otra.En seguida, a part i r de (a ' ) y de (d ' ) , se inf iere:

(e') La clase A es miemb ro de alguna clase, sea de

ella misma o de otra.Otra vez a par t i r de (b ' ) y de (e ' ) t enemos:( f ) La clase A es miemb ro de sí misma. En efecto,

dado (e ' ) , A t i ene que ser miembro de a lguna c lase , y , dado (b ' ) no cabe la hipótesis de que sea miembro de otraclase dist inta de el la . Si no es miembro de sí misma, esmiembro de la c lase A y , por t an to , e s necesa r i amentemiembro de s í misma La hipótes i s de que la c lase A, dadas (b ' ) y (e ' ) , no fuese miembro de sí misma ser ía una

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PARADOJA Y AUTORREF ERENCIALIDAD

contradicción t ípica que obedece perfectamente a la definición Def. 2.

Pero , por ot ra par te , a par t i r de (c ' ) se deduce:(g') La clase A no es miembro de sí misma.Las proposiciones ( í ' ) y (g ' ) son claramente contradic

tor ias . La paradoja de las c lases ha de ser resuel ta , port an to , de l a mi sma manera que l a de l ba rbero . Por o t r aparte, sólo es l íci to resolver las paradojas por negaciónde las hipótes i s que las or iginan, cuando examinadas lashipótes i s en s í mismas se revelan cont radic tor ias .

3. La raíz de lo paradójico.

E n Ma thematical logic as based on the theory of types,RU SSELL, después de haber anal izado una ser ie de paradojas , l l ega a la conclus ión de que todas e l las "presentan encomún la presuposic ión de una tota l idad ta l que , de serlegí t ima, se ver ía engrosada s in cesar por nuevos miembros def inidos en términos de s í mismos" 10. A par t i r de

ahí es tablece la regla s igu ien te : " 'Lo qu e pre sup on e e ltodo de una colección no debe formar parte de la colecc ión ' , o rec íprocamente , 'S i en e l supues to de que unacier ta colección posea un total , ésta constase de miembros sólo definibles en términos de dicho total , la mencionada colección carecer ía en es te caso de tota l ' " n . A lamisma conclusión se l lega en Principia Mathematica, donde se dice que un anál i s i s de las paradojas muest ra quetodas el las resul tan de un círculo vicioso, el cual aparece

una vez dada la suposición de que una colección de obje tos pueda contener miembros que solamente sean def i nibles por medio de la colección como un todo 12.

10. R U S S E L L , La lógica matemática y su fundamentación en lateoría de los tipos, ni "Lógica y conocimiento" , t raducción de J . Mu.guerza , Taurus , Madr id , 1966, pp . 82-83.

11. Ibid., p. 83.

12. Cfr. Principia Mathematica, vol . I , In t roduc , Cap. I I , p . 37 .

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Así l lega R U S S E L L a la sorprendente conc lus ión , quepresen ta como una d i f icu l tad a su teor ía de las pa radojas ,

de que los principios fundamentales de la lógica , conocidos ba jo la denominac ión de " leyes de l pensamien to" , como es e l caso del principio de tercero excluido en la forma "Todas las p ropos ic iones son verdaderas o fa lsas" , sequedan reduc idos a expres iones ca ren tes de sen t ido , pues to que s i lo tuvieran serían proposic iones y caerían bajosu prop io a lcance . Ante es ta d i f icu l tad , R U S S E L L de c la raque es necesar io que se encuentren pr inc ip ios que haganlas veces de las d ichas leyes de l pensamien to s in incurr i r

en la c i rcu la r idad o la au torre fe renc ia ca rac te r ís t icas desus fo rmulac iones t rad ic iona les 13.

Ante es ta teor ía , que como veremos no de ja de tenerc ie r ta razón , hay que ob je ta r que , como hemos v is to enel caso de las paradojas del barbero y de las c lases , hayparadojas que no rad ican en la c i rcu la r idad o au torre fe renc ia , s ino en la admis ión impl íc i ta e inadver t ida de unacontrad icc ión .

En e fec to , cuando se admiten contrad icc iones se pue

de l legar a conc lus iones que cumplen par te de los requ is i tos de la Def. 1.; a saber, que dado un cierto objeto, si esA no es A, y si no es A, es A. Así, por e jemplo, s i admit imos que todos los c í rcu los son cuadrados en v i r tud de sucircularidad y que todos los cuadrados son c írculos en virtud de su cuadra tura , conc lu ímos que , dado un c í rcu lo-cuadrado cua lqu ie ra , s i sus puntos son equid is tan tes de lcen t ro , no son equid is tan tes de l cen t ro , y s i sus puntos noson equid is tan tes de l cen t ro , son equid is tan tes de l cen t ro .

En s e gundo luga r , ha y que a dve r t i r que R U S S E L L p o n een e l mismo plano y como ra íz de lo paradójico, tanto lac ircularidad en sentido es tr ic to , a saber, la cualidad deuna proposic ión que habla de s í misma y sólo de s í misma (de a ho ra e n a de la n te l a l l a ma re mos s imp le me n te"c i rcu la r idad") , como la c i rcu la r idad o au torre fe renc ia en

13 . La lógica matemática y su fundamentación..., p. 84.

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PARADOJA Y AUTORREFE RENCIALIDAD

sent ido amplio, es decir , la cual idad de una proposiciónque habla de s í misma en cuanto habla de todas las pro

pos ic iones (de ahora en adelante la denominaremos s imp lem ente "au to r re fe renc ia" ) .

Así , ser ía tan c i rcular y paradój ica o s implemente s insent ido la expresión "esto que digo ahora es falso", comola expresión " todas las proposiciones son falsas" o la paradoja de l c re tense en la forma " toda propos ic ión d ichapor mí es falsa" o, incluso, el pr incipio de tercero excluí-do refer ido a todas las proposiciones.

Pe ro e s ev iden te que conv iene d i s t ingu i r en t r e l a s p ro pos ic iones c i rculares y las s implemente autor referentes .Desde s iempre se han admi t ido las l lamadas " leyes de lpensamiento" formuladas con respecto a toda propos ic ióno a todas las proposiciones. El pr incipio de tercero excluí-do, concre tamente , s iempre se ha formulado en la forma"Todas las propos ic iones son verdaderas o fa l sas" . Adem ás , cualquier o t ra expres ión que "haga sus veces" , com o qu ie re R U S S E L L , t endrá que se r equ iva len te a l a ex pres ión t radic ional y se re fer i rá , por tanto , a todas laspropos ic iones , inc luyéndose ent re e l las impl íc i tamente .Además es obvio que e l pr inc ip io de te rcero exclu ido esuna propos ic ión y que se puede apl icar a s í mismo: sepuede dec i r que d icho pr inc ip io es verdadero o fa l so , puesto que e s e fec t ivam ente ve rdade ro .

En t e rce r l uga r , e l r azonam ien to m ed ian te e l cua l Rus -SELL establece el pr incipio del círculo vicioso, según elcual toda propos ic ión c i rcular y toda propos ic ión autor re-

ferente es s insent ido , es incorrec to .Su m odo de p rocede r e s e l s igu ien te . P r im eram ente , apar t i r de l examen de una ser ie de paradojas , y por inducc ión , es tablece la pr imera premisa : "Toda paradoja es unaexpres ión c i rcular" . Ya es to es per fec tamente d iscut ib le .El proceso de inferencia sólo ser ía correcto s i se hubiesenexaminado todas las paradojas pos ib les , es dec i r , s i se hubiese procedido por inducción comple ta . Pero , además deque nunca se podrá dec i r que ya se conocen todas las pa-

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radojas pos ib les , ex i s te a l menos una que no es evident emen te una p ropos i c ión c i r cu l a r o au to r r e f e r en t e . Nosrefer imos a l a paradoja de l barbero . Es c ie r to de que enel la se habla de afei tarse a s í mismo o no afei tarse a s ímismo, pero eso no impl ica l a c i rcular idad de n ingunaproposición. Si la expresión de R U S S E L L se entendiese ene l sent ido no só lo de que toda c i rcular idad propos ic iona les un s insent ido, s ino de que lo es toda ci rcular idad encua lqu i e r e spec i e de en t i dades , t endr í amos que a f i rmarla imposibi l idad de toda act ividad ref lexiva, como el afei tarse a s í mismo, vest i rse a s í mismo, conocerse a s í mism o, e tc . , lo cua l se r ía abus ivo . Pos ter iormente , R U S S E L L

añade una segunda premisa que procede de l aná l i s i s de loparadój ico y cont ra l a cua l no tenemos nada que obje ta r ,a saber , que "Toda paradoja es un s insent ido" . Luego, apar t i r de estas dos premisas establece el s iguiente s i logismo y la respec t iva conclus ión: "Si toda paradoja es unaexpres ión c i rcular y toda paradoja es un s insent ido , entonces toda expres ión c i rcular es un s insent ido ,, 14. Pero

como es obvio, es te s i logismo es incorrecto.Ahora b ien , que e l rac ioc in io de R U S S E L L sea incor recto no quiere dec i r que la conclus ión sea e r rónea , a l menos s i se ent iende la c i rcular idad en sent ido est r ic to. Enefecto, es una ley general de la semiót ica que cier tos pred icados tan só lo se pueden af i rmar o negar con sent idode cier tos sujetos . Así , la expresión "esta proposición esblanca" es c la ramente un s insent ido , pues to que la b lancura es una propiedad de obje tos mater ia les y no de ent i

dades del t ipo de las proposiciones. Lo mismo sucede conla paradoja de l c re tense en la forma "Es to que d igo ahoraes fa l so" (desde ahora denominaremos a es ta formulac iónde la paradoja l a forma A). A se ha de en t ende r en e lsent ido de que af i rma exc lus ivamente su propia fa l sedad.

14. Cfr. Mathe ma t ica l logic as based on. . . , in "F ro n Fre ge to G o-

d e l " , p. 155.

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No se refiere , pues , a ningún enunciado dis t in to de é lmismo.

Examinemos e l enunc iado A para ver s i se t ra ta deuna paradoja .

Pongamos en pr imer lugar la h ipó tes is de la ve rdad deA. En seguida tenemos la s iguiente conclus ión: "Si A esverdadera en tonces A es fa lsa". Pongamos en segundo lugar la hipótes is de la fa lsedad de A. Obtenemos inmediat a m e n t e : " S i A es falsa, entonces A e s ve rda de ra " . A espor tanto una paradoja en el sentido de la Def. 1.

La expres ión A es c la ramente c i rcu la r (en sen t ido es t r ic to) . Se refiere sólo a sí misma. Es un juicio que noversa sobre n ingún ob je to p rev io , de manera que , p rop ia me n te ha b la ndo , carece de referencialidad.

La causa del s insentido de A es ev iden te . A dice : "Es toque es toy dic iendo es fa lso". Sin necesidad de preguntarnos si A es verdadera o fa lsa y de concluir que es unaparadoja , podemos , por o t ro camino , mos t ra r que no t ienesentido. El cri terio se basa en esa ley general de la semió

t ica a la que hemos a ludido y según la cual los predicados han de se r semánt icamente congruentes con los su je tos. La expres ión "Esto que digo ahora es fa lso" (a ludiendo a la proposic ión que en e l mismo ins tante se dice) estan s insentido como "César es mayor que 5". Por otra parte , el predicado "fa lso" es un predicado propio de proposiciones completas, pero en A no es tá referido a una proposición completa puesto que ésta sólo existe, en todo caso, cuando se pone e l predicado "fa lso". El suje to de dichopredicado en A no es una proposic ión completa , luego detal sujeto no se puede decir que sea falso, como tampocose puede dec i r de una orac ión impera t iva o exc lamat ivao de la expres ión "Pedro es . . . " tomando e l "es" en sent ido exc lus ivamente copula t ivo .

Si el sujeto de A no es una propos ic ión enunc ia t ivacompleta , entonces no exis te propiamente suje to y A not iene sen t ido . S in embargo , hay una razón para que A,como toda paradoja , parezca tener sentido. Es que la pa-

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labra "es to" se usa para des ignar a lgo que de a lgún modose seña la e fec t ivamente . As í , la expres ión "Es to que d igoahora es fa lso" t iene sentido s i se refiere a otra proposic ión que se acaba de decir o que se va a enunciar en segu ida . En ese caso , la pa labra "es to" seña la r ía ta l p ropos ic ión y "Esto que digo ahora" podría ser sus t i tu ido pord icha propos ic ión , quedando en tonces e l todo como unapropos ic ión con sen t ido per tenec ien te a l meta lengua je .

Ahora bien, en e l caso de A, la pa labra "es to" no señala na da que e x i s t a p re v ia me n te o inde pe nd ie n te me n te de

la proposic ión en que se encuentra , s ino que señala lamisma propos ic ión de la que e l la es la p r imera pa labra .Pero es to es obviamente incorrec to , pues se sa le de l usol íc i to de la pa labra "es to" . De ah í que se pueda dec i r queA y que toda proposic ión c ircular es un s insentido, seao no una paradoja , en cuan to v io la la s leyes de la semánt ica o incluso de la s intaxis .

Este doble vic io de semántica y de s intaxis se encuent ra en todas las pa radojas l lamadas semánt icas . Por e jem

plo,, la pa radoja de RICHARD surge de a t r ibu i r un pred i cado, la r ichardianidad, a un suje to que no puede ser congruen te con ta l p red icado . En v i r tud de la h ipó tes is dees ta pa radoja podemos es tab lecer a la izqu ie rda una columna en la que f igure o rdenadamente la se r ie de los ente ros y a la de recha una co lumna en la que aparezcan , se gún un orden convencional , las definic iones de todas lasp rop ie da de s de núme ros . En s e gu ida no ta mos que una sveces la p rop iedad def in ida en la co lumna de la de recha

se puede a t r ibu i r a l número correspondien te de la co lumna de la izqu ie rda , mien tras que o t ras veces es to no sever i f ica . S iendo as í podemos es tab lecer una te rce ra columna en la que aparezcan tan só lo expres iones que d iganque la p rop iedad def in ida en la co lumna de la de recha nose a t r ibuye o se a t r ibuye a l número de la co lumna de lai z qu ie rda .

Lo que no podemos es co locar d ichas expres iones , oconcre tamente la que d ice que la p rop iedad de la co lumna

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de la derecha no se a t r ibuye a l número cor respondientede la columna de la izquierda , en la misma segunda co

lumna, como s i fuesen def in i tor ias de propiedades de números na tura les . Efec t ivamente , la r ichardianidad, es decir , e l hecho de que la propiedad definida a la derecha nose pueda a t r ibu i r con ve rdad a l núm ero co r re spond ien tede la columna de la izquierda , no es una propiedad quese pueda p red ica r congruen tem ente de los núm eros na tu ra les , s ino so lamente de un número na tura l coordinado ala definición de una propiedad de enteros. Siendo así , lasemánt ica nos impide hablar de la r ichardianidad como

propiedad de un número en s í cons iderado o como re lac ión en t r e núm eros na tu ra l e s . De l m ism o m odo , nos p ro hibe preguntarnos s i e l número a l que se haga cor responder la definición de la r ichardianidad es o no es r ichar-diano.

Basta esta breve exposición del vicio en que se incurreen la paradoja de RICHARD, para com prender que no só lola semánt ica , s ino también la s in taxis , quedan compromet idas en d icha paradoja . En efec to , e l ser r ichardiano

no es una p rop iedad que se pueda dec i r congruen tem entede los números na tura les . De es te modo, no se puede hablar de l número asociado a la def in ic ión de r ichardiani dad. Por eso , cuando en la paradoja se pregunta s i e l número asociado a la def in ic ión de r ichardianidad es o noes r ichardiano, tenemos que cualquier respues ta será inco r rec t a s in t ác t i cam ente pues to que t endrem os en cua l quier caso un enunciado a l cua l no cor responde una propos ic ión , pues s i a l predicado "ser r ichardiano" de l enun

ciado corresponde un predicado de la proposición, al suj e to de l enunc iado no co r re sponde abso lu tam en te nada ,dado que n ingún número puede es tar asoc iado a la def i n ic ión de r ichardianidad.

El mismo hecho se ver i f ica en la paradoja de l c re tenseen la forma "Esto que digo ahora es falso", como ya hemos v is to . Es c ier to que es ta paradoja se puede poner enuna forma en la que no aparezca , a l menos tan c laramen-

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te , como suje to de l predicado " fa lso" una propos ic ión incomple ta . Podemos, por e jemplo , expresar la paradoja enla fo rm a s igu ien te : "a dice que a es falso". El sujeto dela expres ión paradój ica será a, pero s i nos p regun tam osqué propos ic ión es a tendremos que respopnder que a eslo mismo que "a es fa l so" . De es te modo, nos encont ramosotra vez con el sujeto a, acerca de l cua l podemos volver ain ter rogarnos acerca de su sent ido y l legar a la conclus ión que nunca se puede obtener una respues ta sa t i s factor ia . Habrá que conclu i r entonces que la expres ión "adice que a es fa l so" es incorrec ta s in tác t icamente porque

carece de su je to .A es te v ic io semánt ico y s in tác t ico en que incurren ta

les paradojas se le puede l lamar jus tamente , como lo haceR U S S E L L , "c i rcular idad" . En ta l c i rcular idad, que habráque en tende r l a en un sen t ido m ás r e s t r ing ido que e l quele a t r ibuye R U S S E L L , encont ramos o t ra ra íz de lo paradój ico.

En cont rapos ic ión , una expres ión que sea autor referen-

te (en sent ido ampl io) no t iene por qué ser cons iderada paradój ica n i s in sent ido . Es más , admi t i r que la autor refe-rencia es ra íz de paradojas da lugar a nuevas d i f icul tades ,como aquél la con la que t ropieza R U S S E L L re la t iva a lospr inc ip ios fundamenta les de la lógica .

Nuestra tesis de que el vicio semántico y s intáct ico carac ter izado por la c i rcular idad es ra íz de paradojas nosob l iga r í a a dem os t r a r de m odo un ive r sa l y conc luyen teque toda propos ic ión c i rcular es un s insent ido . Ahora

bien , un caso de propos ic ión aparentemente c i rcular yaparentemente con sent ido es la propos ic ión indecid ib led e G O E D E L . También se encuent ra en condic iones semej an te s e l e j em plo que aduce BETH cont ra la teor ía de R US SELL acerca de la c i rcular idad 15. En este t rab ajo no l lev á

i s . Cfr. The Foundations of Mathematics, Nor th -Hol l and p . c .Amsterdam, 1965, p. 486.

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PARADOJA Y AUTORREFERENCIAL1DAD

remos a cabo ta l demos trac ión por se r demas iado ex tensa y ser tan sólo marginal a nuestro obje t ivo 1 6 .

Las paradojas l lamadas semánt icas —entre e l las se encuentra p rec isamente la expres ión A— que se sue len hacer radicar en la confusión entre dos niveles l ingüís t icosse pueden explicar también por e l v ic io semántico y s intác t ico que hemos l lamado "c i rcu la r idad" . La ún ica d is t inción entre nuestra solución de ta les paradojas y la soluc ión hab i tua l rad ica exc lus ivamente en que es ta ú l t imaadmite una je ra rqu ía indef in ida de lengua jes , que va des de el lenguaje de objetos (10) ha s ta c ua lqu ie r me ta le ngu a je(ln + 1) m ient ras noso t ros nos l imi tam os a ten er en c uen taque e l predicado, , c iertamente metal ingüís t ico, de la expres ión paradój ica no es un pred icado congruente con e lsuje to de la misma. De es te modo se pueden resolver, además de la paradoja del cre tense en la forma A y de la deRICHARD, como ya hemos v is to , la pa radoja de lo he te ro-lóg ico y las res tan tes pa radojas semánt icas .

4. La autorreferencia en sentido am plio y lo paradójico.

Como hemos vis to , según R U S S E L L la p ropos ic ión au to-rreferente es tan s insentido como la proposic ión es tr ic tamente c ircular . Así , acerca de las proposic iones que se ref ieren a todas las proposic iones sólo se podrá hablar enun lenguaje de nivel superior . Esta es la tes is de la jera rqu ía de lengua jes que aparece en la in t roducc ión deRUS S ELL a l Tractatus de W I TT G E N S TE IN

17 y la teoría de losniveles l ingüís t icos ta l como se admite en la actualidad.Según es ta teoría , exis te un primer nivel l ingüís t ico, l lamado lenguaje de obje tos o 10, un segundo n ive l , l lam ado

16. Remit imos a nues t ro t raba jo , aún en preparac ión , sobre e lteorema d e GOEDEL.

17. Cfr. Tractatus logico-philosophicus, traducción de E . TiernoG alván, Re vis ta de O ccide nte , Ma drid , 1957, p . 25.

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meta lengua je o l i que se re f ie re a la s expres iones de l lengua je de ob je tos , un te rce r n ive l , l lamado meta -meta len-

guaje o 12, qu e se refiere a las expres io nes del m eta len -gua je , y as í suces ivamente .

Ahora b ien , la noc ión de una je ra rqu ía indef in ida delenguajes no se compadece con e l sentido común. Es c ierto que exis te una dis t inción entre e l lenguaje de obje tos ye l meta lengua je . Es más , se t ra ta de una d is t inc ión semánt ica , es decir , fundada en que las expres iones del lenguajede ob je tos son semánt icamente d iversas de las de l meta len-gua je . Lo que ca rac te r iza semánt icamente una expres iónenuncia t iva y la s i túa en e l universo del lenguaje de objetos o de l m eta len gua je es p rec is am ente e l p re d ica do: ex is ten predicados que sólo t ienen sentido cuando se dicen deobje tos de na tura leza ex t ra l ingüís t ica y ex is ten pred icadosque sólo t ienen sentido cuando se refieren a obje tos l ingüís t icos . Por eso, la confusión entre e l lenguaje de objetos y e l meta lengua je que se o r ig ina cuando se ap l icanpred icados de l meta lengua je a su je tos de l lengua je de ob

j e tos , o predicados del lenguaje de obje tos a suje tos delmeta lengua je , da rá s iempre lugar a expres iones ca ren tesde sen t ido . En es te caso se encuentran las pa radojas se mánt icas a la s que nos hemos re fe r ido y la ya c i tada expres ión "Es ta p ropos ic ión es b lanca" .

S in embargo , no encontramos en e l lengua je mismon inguna ra z ón pa ra a dmi t i r l a d i s t inc ión e n t re má s dedos niveles l ingüís t icos . En real idad, los predicados dec ua lqu ie r h ipo té t i c o me ta -me ta le ngua je s e rá n lo s mis mos

que los de l meta lengua je y sus su je tos se rán s iempre re -duc t ib les a menc iones de las expres iones de l lengua je deobje tos .

Así , la expres ión "Que 'Pedro es blanco ' es verdad, esve rda d" pa re c e t e ne r c omo s u je to a l nombre me ta -me ta -l ingüís t ico de una expres ión de l meta lengua je , pe ro e l laes to ta lmente idéntica en su s ignif icación a la expres iónpu ram en te de l meta leng ua je " 'Pedr o es b lanc o ' e s ve r-

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dad"18 , cuyo sujeto es el nombre metalingüístico de unaexpresión del lenguaje de objetos.

Por otra parte, si se admiten diferentes predicados"verdadero" en diferentes niveles lingüísticos, ningunaafirmación podrá ser tomada nunca como verdadera deuna vez por todas, dado que lo que es verdadero en unmetalenguaje ln estará aún sujeto a revisión en otro me-talenguaje ln + i. Pero esto no es cierto. Cuando se diceque una proposición es verdadera o falsa lo que se afirma es que se adecúa o no se adecúa al orden de objetoscorrespondiente. Ahora bien, cuando se dice "Es verdadque es verdad que Pedro es blanco" la proposición acercade la cual se afirma que es conforme a la realidad no es"Es verdad que Pedro es blanco", sino simplemente "Pedro es blanco".

Una proposición que estableciera la distinción entreuna expresión del lenguaje de objetos 10 y del metalenguaje li, tendría, puesto que se referiría a esta última, que serexpresada en el meta-metalenguaje 12. Ahora bien, si laexpresión del 12 o el mismo 12 es una nueva entidad distinta del 1

0y del l

hserá necesario afirmar esa distinción

en un 13. Sólo después de conocer bien dicha distinción sepodrá dar razón de existencia al 12 y, por tanto, sólo entonces se podrá emplear dicho meta-metalenguaje 12. Pero el 13 se supone que es a su vez distinto del 1 2, del la ydel 10 y esa distinción, así como la consiguiente existenciadel 13 y su capacidad de referirse a expresiones del 12,sólo se puede establecer en un 14. De esta m anera, parapoder hablar definitivamente de la distinción entre el len-

18. La exp res ión " 'Pe dro es b lan co ' es verd ad " no es a su vezidént ica a "Pedro es b lanco" . La pr imera es la expres ión de una act i t ud ve r i f i can t e m ien t r a s que l a s egunda e s una expres ión de l o queya se sabe que es verdadero o de lo que aún no se ha somet ido aver i f icac ión. En la segunda, la a tención del que la enuncia va d i r ig idaa l a b l ancura de Pedro . En l a p r im era l o que im por t a no e s l a b l an cu ra de Pedro s ino l a adecuac ión de " Pedro e s b l anco" a l a r ea l idad .La pr imera es un ju ic io acerca de cosas , la segunda, un ju ic io acercade un ju ic io .

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gua je de ob je tos y e l m e ta l engua je , t endr í am os que habe rpasado por un meta lenguaje de n ive l inf in i to , cosa que

es i r rea l izable .Si, por e l con t r a r io , adm i t im os que den t ro de l m e ta -lenguaje se puede hablar no só lo de las expres iones de llenguaje de obje tos s ino también de l meta lenguaje mismo yde sus expres iones , cesan todas esas d i f icul tades . Por lodemás , y con cr i te r ios es t r ic tamente semánt icos , só lo encont ramos mot ivos para d is t ingui r dos n ive les l ingüís t i cos, porque sólo exis ten predicados de obje tos y predicados re la t ivos a l lenguaje .

Ahora b ien , s i l a d is t inc ión ent re e l lenguaje y e l meta lenguaje se fundamenta en la d i ferencia ent re dos espec ies de predicados y en e l s insent ido de las expres ionesc i r cu la res ; l a d i s t inc ión en t r e d i f e ren te s n ive le s m e ta l in -güís t icos se fundamenta en la tes i s que af i rma que lasp ropos ic iones au to r re fe ren te s , que hab lan de s í m i sm asen cuanto hablan de todas o de una to ta l idad de propos i c iones , son también s insent idos . Será necesar io , pues , para sus tentar nues t ra tes i s , que most remos la exis tencia de

au tén t i cas p ropos ic iones au to r re fe ren te s y que , po r t an to ,la autor referencia no es causa de l s insent ido .ARISTÓTELES, en el l ibro IV de la Metafísica, es tablece

una prueba d ia léc t ica —por v ía de refu tac ión— del pr inc ip io de cont radicc ión que se basa , en ú l t ima ins tancia , enque e l que n iega e l pr inc ip io de cont radicc ión es tá admit i éndo lo im pl í c i t am en te 19. Dicha pru eb a supo ne , por tan to , que e l pr inc ip io de cont radicc ión es tá dotado de autor referencia . Es to no es demasiado ext raño en un f i lósofo

que , comoA R I S T Ó T E L E S ,

admite s in discusión el refer idopr inc ip io en cuanto fundado en la rea l idad de las cosas .Pero s í es de ext rañar que autores que cons ideran es tepr inc ip io como una mera convención de l lenguaje admitan impl íc i tamente la va l idez de la misma prueba y , por

19 . Cfr. IV, Metafísica, cap. 4; especialmente Bk 1006 a 11-13 y1007 b 27-30.

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t an to , e l sent ido de la autor referencia l idad de l pr inc ip ioen cuest ión. Así , A. Q U I N T O N af i rma como ARISTÓTELES

que verdaderamente , s i se n iega e l pr inc ip io de cont rad icc ión , no se puede dec i r nada; pero añade que eso nodemuest ra que d icho pr inc ip io no sea una convención puesdecid i r hablar más b ien que ba lbucear es también unaconvención20 .

Tam bién encon t ram os im pl í c i t am en te adm i t ida l a au tor referencia l idad de las propos ic iones que hablan de todas las proposiciones en un posi t ivis ta lógico, Alfred J .AYER, y prec isamente en re lac ión a l pr inc ip io de ver i f ica

c ión , tan ent rañable para es ta cor r iente de pensamiento .Es te pr inc ip io d ice que toda propos ic ión que no sea anal í t ica n i empír icamente ver i f icable es un s insent ido , yAYER af i rma que "una obvia objec ión a l pr inc ip io de ver i f icación. . . radica en que no es verif icable por s í mismo" 21;objec ión que evidentemente se basa en la premisa de laautor referencia l idad .

Por ú l t imo, encont ramos una prueba a favor de la autor referencia l idad de las propos ic iones que hablan de to

das las propos ic iones en la misma presentac ión c lás ica—que cons t i tuye una formal izac ión de la lógica propos i -c ional expues ta en la secc ión A de la pr imera par te dePrincipia Mathematica— del s i s tema form al de la lógicaproposicional .

Dicho s i s tema formal cont iene expres iones —sus axiomas y sus teoremas— que son a su vez propos ic iones , o ,hablando con más propiedad, esquemas propos ic ionales .Es tos esquemas se convier ten en propos ic iones en e l sen

t ido más es t r ic to de la pa labra , en enunciados de l lenguajeordinar io o de l lenguaje c ient í f ico , cuando sus var iablesson sus t i tu idas por cons tantes per tenecientes a su domi-

20. Cfr . Anthoni QUINTON, The a priori and the An alytict i n " Ph i -losophica l logic" , edi tado por P . F . S t rawson, Oxford , Univers i tyPress 1967, pp. 107-128; p. 117.

21. A. J . AYER, El positivismo lógico, t r aducc ión de L . Aldam o yct ros , Fondo de cul tura económica , México, 1965; In t roducción, p . 20 .

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nio . Así , por ejemplo, e l axioma u— (pVp) Vp " e s u n e s

quema propos ic iona l . S i l a var iable se sus t i tuye por una

propos ic ión cua lquiera de l l enguaje ord inar io , obtenemosuna propos ic ión molecular en e l sent ido más es t r i c to dela pa labra "propos ic ión" .

En el s is tema formal de la lógica proposicional exis teuna regla de sus t i tuc ión que es tablece que en toda expres ión o esquema propos ic iona l der ivable en d icho cá lculo—sea un axioma o un teorema— se puede sus t i tu i r cua l quiera de sus var iables por o t ra var iable o por una fórmula bien formada, de modo que, s i esa sust i tución se real i

za en todos los lugares en que aparece d icha var iable enla expres ión der ivable , se obt iene o t ra expres ión tambiénde r ivab l e .

Como es obvio, la regla de sust i tución se basa en elpr inc ip io de que e l dominio de cada var iable es tá cons t i tuido no sólo por toda proposición atómica del lenguajeordinar io s ino también por cua lquier o t ra var iable y portodas l a s fó rmulas b i en fo rmadas .

Ahora b ien , s i tomamos e l t eorema de la lógica propos ic iona l p V—p y sus t i tu ímos en é l l a var iable p por lafó rmula b i en fo rmada pV—p, obtenemos as í un nuevo teor ema o fó rmula de r ivab l e que se r á (pV—p) V—(pV—p).

Como e l pr imer t eorema expresa una re lac ión de lavar iable p cons igo misma mediante los operadores lógicosde a l t e rna t iva y de negac ión , e l segundo teorema expresala misma re lac ión pero no ya de l a var iable p con respecto a s í misma s ino de l pr imer t eorema cons igo mismo.

S i ahora i n t e rp re t amos e l t eo rema p V— p como la leyde te rcero exc lu ido re la t ivamente a l a var iable p , e l se gundo teorema, a saber , (pV—p)V—(pV—p) debe rá s e rin te rpre tado como la apl icac ión de l pr inc ip io de t e rceroexclu ido con respec to a l mismo pr inc ip io de t e rcero exc lu ido .

De es te modo podr íamos hablar de l a re ferenc ia l idadde los esquemas propos ic iona les a todas l as expres iones de llenguaje ord inar io y de l a autor referenc ia l idad de es tos

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mismos esquemas dic iendo que la ley de tercero excluidose refiere a s í misma mediante la regla de sus t i tución.

Este modo de hablar no sería del todo correcto , pues laley de tercero excluido, a l igual que cualquier otra leyde la lógica proposic ional , no se refiere a ninguna proposición en el sentido de que no habla de proposiciones como s i pe r tenec iese a l meta lengua je , s ino que per teneceal mismo lenguaje-obje to . Pero puede hacerse correctos i en tendemos por " re fe renc ia l idad" la capac idad que t ie ne cada variable de ser sus t i tu ida por una proposic ióndel lenguaje o por una fórmula bien formada o, lo que es

lo mismo, la re lación de cada variable a su propio dominio. En es te sentido, se podrá decir que mediante la reglade sus t i tución e l teorema pV—p, como cualquier otra fórmula derivable del cá lculo proposic ional , se refiere efect ivamente a s í mismo.

De es te modo, la au torre fe renc ia l idad en sen t ido propio que aparece en la ley del pensamiento "Toda proposic ión es o verdadera o fa lsa" t iene su equ iva lenc ia den trodel cá lculo proposic ional en la capacidad que mediante la

regla de sus t i tución t ien e e l teo rem a p V—p de trans form arse en la fórmu la der ivab le (p V—p) V— (p V—p).

Con todo es to queda sobradamente demos trado quelas p ropos ic iones au torr e fe ren tes , la s que ha b la n de s ímismas en cuan to hab lan de una to ta l idad de propos ic iones, no son s insen t idos . S in embargo , pa ra que pueda mantenerse nues t ra te s is basada en e l aná l is is de l lengua jede que no hay que admit i r más que dos n ive les l ingüís ticos, es necesario que nos enfrentemos con otra dif icul

tad levantada por la solución c lás ica de la paradoja delcre tense .

5. La paradoja del cretense en la forma "Toda proposición dicha por mí es falsa'1.

La paradoja del cre tense se puede exponer en dos formas d iversas . La pr imera , en la fo rma que l lamamos A"Esto que digo ahora es fa lso" y la segunda, en la forma

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q u e l l a m a r e m o s B "Toda proposición dicha por mí es fal sa" . A es d i s t in ta de B, pues to que s i l a pr imera es unapropos ic ión c i rcular , B es tan sólo una proposición auto-r re férente ; es dec i r , se re f ie re a s í misma sólo en cuantose ref iere a un conjunto de proposiciones.

Para resolver e l problema de la paradoja de l c re tenseen la forma B, se suele recurr i r , como en el caso de cadauna de las paradojas semánt icas , a l a d i s t inc ión ent re n i ve les l ingüís t i cos . El mismo procedimiento se s igue pararesolver l a paradoja A, pero , como ya hemos v i s to , es ta

paradoja se resue lve más b ien , o más concre tamente , apelando a l s insent ido de toda expres ión c i rcular en sent idoes t r i c to ; so luc ión que no puede apl icarse a B.

La so luc ión usua l de l a paradoja B supone necesar ia mente l a exi s tenc ia de a l menos t res n ive les l ingüís t i cos .El lenguaje-objeto, a cuyas proposiciones se ref iere B; elme ta l engua j e , en e l que B se encuen t r a expresada ; y e lme ta -me ta l engua j e , en e l que se encon t r a r í a una p roposición B' que tuviese por obje to l a propos ic ión B y tuvie

se su misma es t ruc tura . Dis t inguiendo no ya e l l enguaje-obje to y e l meta lenguaje , s ino ent re és te y e l meta-metalenguaje se resue lve la paradoja . B no se puede encont rara l mismo t i empo en e l meta lenguaje y en e l metameta-lenguaje . La propos ic ión B ' que per tenece a es te ú l t imonive l es necesar iamente d i s t in ta de l a propos ic ión B, de lmi smo modo que e l me tame ta l engua j e e s d i s t i n to de l metalenguaje, y así , B no se ref iere a s í misma y la paradojano t i ene lugar .

Ahora b ien , s i admi t imos es ta so luc ión para B, t enemosque aceptar cont ra nues t ras h ipótes i s : l .0 que ex i s t en másde dos niv eles l ing üís t ico s; 2.°, y con tra lo qu e hem osprobado en e l pár rafo anter ior , que n inguna propos ic iónes autor referente . Pero , por o t ra par te , l a propos ic ión Bes en todo semejante a la expresión "Toda proposición esfalsa" , y esta proposición, contra lo que dice R U S S E L L , n oes un s insent ido s ino una proposición falsa; cosa que podemos demos t r a r admi t i endo p rec i samen te l a capac idad de

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autor referencia l idad de las propos ic iones que hablan detodas las proposiciones.

En efec to , par tamos de la h ipótes is de que sea verdad"Toda propos ic ión es fa l sa" y admi tamos la autor referen-cia de esta proposición tal como, al parecer , todo el mundola admite para el pr incipio de contradicción. Entonces, s ie l la es verdadera , será fa l sa en v i r tud de su misma auto-r referencia . Supongamos ahora que "Toda propos ic ión esfalsa" sea una proposición falsa. En ese caso, tendremosque a lguna propos ic ión será verdadera , pero no que laproposición "Toda proposición es falsa" sea verdadera,

pues to que jus tamente hemos par t ido de la h ipótes is desu fa l sedad. De es te modo, lo que hemos hecho es probarpor la autorreferencial idad la falsedad de la proposición"Toda proposición es falsa" . En efecto, poniéndonos enpr imer lugar la h ipótes is de su verdad y luego la de sufalsedad, hemos l legado a la conclusión de que si es verdadera es falsa, y de que si es falsa es s implemente falsa;es dec i r , hemos demost rado que la propos ic ión "Toda proposición es falsa" es una contradicción en el sent ido de

la Def. 2.Si la propos ic ión examinada es c ie r tamente para le la

a la propos ic ión B, entonces és ta ú l t ima no será paradojasino una simple contradicción. Esto, además, se puede demost rar d i rec tamente . Por lo pronto puede bas tar e l s i guiente rac ioc in io . De que B sea verdadera se s igue inmedia tamente , por autor referencia , que e l la misma es fa l sa ;pero de que B sea falsa, no se s igue que sea verdadera, s i no tan só lo que a lguna de las propos ic iones de l c re tense

—una cualquiera excepto la misma propos ic ión B— es necesa r i am en te ve rdade ra .

Una demost rac ión más de ta l lada de nues t ra tes i s , según la cua l B no es una paradoja s ino una cont radicc ión,además de e l iminar la neces idad de admi t i r más de dosnive les l ingüís t icos , dará un argumento más en favor dela autor referencia l idad de las propos ic iones que hablande todas las proposiciones.

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Para rea l iza r t a l demos t rac ión , hagamos un aná l i s i sde la proposición B.

S i endo B una propos ic ión un iversa l a f i rmat iva , puedeconcebi r se como una propos ic ión de la fo rma (x)(gxDhx).Supongamos que l a va r i ab l e x, en vez de recor re r un un i verso de objetos , var ía en e l dominio de las expresionesl ingüís t icas ; que "d icha por mí" sea un pred icado "d" yque "falsa" sea otro predicado "f". Así, B se r á enunc i adaen la fo rma " (x) (dxDfx)" .

Como toda expres ión de la fo rma (x)(gxDhx), B esuna conjunc ión en la que cada uno de sus e lementos es

una impl icac ión de dos propos ic iones a tómicas , l a p r imera de las cuales dice "x k es una propos ic ión d icha porm í" y la segunda, "x k es fa l sa " ; s iendo x k una propos ic iónconc re t a cua lqu i e r a .

De es te modo, B te nd rá la s iguie nte fo rm a: "(dXiDfxi)*(dx 2D fx 2) . . . (dx n D fx n) . (dx n + 1 D fx n + i)". El ú l t imo e l emen tode es ta conjunc ión se rá e l que t i ene por a rgumento a Bmisma. As í , (dxn + ÍDjxn + J será igu al a (d BDfB) y d i rá"Si Toda proposición dicha por mí es fa lsa ' es una propo

s ic ión d icha por mí , en tonces Toda propos ic ión d icha pormí es fa lsa ' es una proposición fa lsa" .

Para ev i ta r confus iones , supongamos que xh x2, x3, ...,xn sean las mismas propos ic iones que yh y2, y r

3, ..., yn, yq u e xn±i sea B. De e s t e modo , t end remos que B=( (y) (dy^fy) • (ds'DfB) )- Al pr imer miembro de es ta conjunc ión ,a (y) (dyDfy), l o denomina remos ab rev i adamen te C y a lsegundo , (d 5D /5 > ) , l o denomina remos D . Tend remos en tonces la equ iva lenc ia B=(C»D).

En es ta equiva lenc ia , C es una conjunc ión de propos i c iones de la forma (dykDfy k) s iendo yk cada una de laspropos ic iones d ichas por e l c re tense excepto B y C. Nadaimpide , s in embargo , que haya un yk =D; es decir que Dsea también uno de los a rgumentos de C.

Podemos ya , sobre la base de B = (C»D) concluir a lgoacerca de l ca rác te r de f í . En resumidas cuentas , D diceq u e B es falsa, luego B = —D . Cualquie ra , pues que sea e l

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valor de C, s i B es verdadera, C • D es falsa, puesto que lo

es uno de sus miembros . Pero como B es equiva lente aC*D, B tendrá que ser s iempre falsa y la hipótesis de laverdad de B no puede sus t en ta r se .

Ahora bien, s i B es falsa, entonces D es verdadera y,por cons iguiente , dada la equiva lencia B=(C»D), C t i eneque ser forzosamente falsa. Esto quiere decir , que algunade las propos ic iones d ichas por e l c re tense , pero de n inguna m anera B y C , t i ene que se r necesa r i am en te ve rdade ra .Es ta neces idad no t iene nada de sorprendente s i inc lu i

m os D ent re los a rgumentos de C, pues to que D es s iempre verdadera , dado que es la cont radic tor ia de B y B esnecesar iamente fa l sa .

Pero s i suponemos que D no ca iga ent re los a rgumentos de C entonces tendr íamos que admi t i r , por ahora , laconclus ión sorprendente de que es imposib le que a lguiendiga s iempre, en el lenguaje-objeto, proposiciones falsas.

Conviene en es te momento proceder a u l te r iores anál i s i s para que quede más c laro que B no es una paradoja

sino una simple contradicción.Hem os d icho que D, t en iendo l a e s t ruc tu ra (dxDfx),

t iene por argumento a B o, lo que es lo mismo, a C • D. Laproposición D dice : "Si C • D es una propos ic ión d icha pormí, entonces C • D es una propos ic ión fa l sa" . D puede entenderse , por tanto , como una a l te rna t iva que d iga "Si Ces dicha por mí, C es falsa o si D es d icha por mí , D esfalsa". Sea U e l p r im er m iem bro de l a a l t e rna t iva y D" ,e l segundo. Ahora b ien , D" es la propos ic ión en que D

af i rma de s í misma que es fa l sa . Por tanto , D" t iene e lmismo carác ter que A y, como ta l , debe ser cons ideradaparadójica y s insent ido. En este caso, el iminada la propos ic ión D" , tenemos que D es lo mismo que D' ; o , d ichode o t ro modo, que D dice "Si C es una propos ic ión d ichapor mí, entonces C es falsa" .

De es te modo se ve aún más c laramente que B es unacontradicción. En efecto, B=(C« D); pero como D t iene laes t ruc tu ra (dxDfx) y su a rgum ento e s C , en tonces D =

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— C; de donde la conjunción C*D,y por t an to B, es s iempre fa l sa , porque uno de sus miembros es l a negac ión de lo t ro .

Pero también se l l ega a o t ra conclus ión . Cuando concebíamos a D como la proposición (d BDfB); una vez de m o s t r a d o q u e B era fa l sa , t en íamos que reconocer que Dera s iempre verdadera , lo que nos obl igaba a suponer , s i endo C necesa r i amen te f a l s a , que D e ra uno de l os a rgumentos de C. Pero dado que e l a rgumento de D no es ya B sinosolamente C, l a propos ic ión D no e s necsa r i amen te ve r

dade ra n i C necesa r i amen te f a l s a , n i D t i ene por qué seruno de los a rgumentos de C. Pero que no sea necesar iopone r a D en t r e l os a rgumentos de C no qu i e r e dec i r quede hecho C no se re f ie ra a D. De todas maneras , dado queC y D son cont radic tor ias , aún cuando no se ponga a Dc o m o a r g u m e n t o d e C, todo se pasa como s i en t re l as propos ic iones de C hubiese una que fuese (d DDfD). Tan sóloha mudado nues t r a manera de en t ende r a D. Es t a p ropos i c ión ya no e s necesa r i amen te ve rdade ra s i no que puede

ser falsa . En ese caso, C será verdadera, es decir , todaslas propos ic iones d ichas por e l c re tense , excepto C misma,serán fa l sas .

Examinemos ahora e l ca r ác t e r de C .Su pr imera acepción, inc luso la pr imera acepción de

B, es la que se ref iere a proposiciones dis t intas de el lamisma, es dec i r , a propos ic iones que no tengan la es t ruct u r a (dxDfx). Así entendida , C será l a conjunción (y)(dyDfy), par t i endo de l p r i nc ip io de que n ingún yk t enga la

es t ruc tura (dyDfy) . Llamamos a C as í en tendida C\ . S iendo l os a rgumentos de d l as propos ic iones yh y2 ..., yn,todas de l l enguaje-obje to o de l meta lenguaje pero cont a l que no t eng an l a e s t ruc tu ra de B , bas t a que un a y k

cualquiera sea verdadera para que Ci sea fa l sa . Llamemose n t o n c e s E a la propos ic ión formada por l a a l t e rna t iva detodas l as propos ic iones y k as í def in idas . El a rgumento deCi será l a a l t e rna t iva E. Así, Cx se r á ve rdade ra s i E es

falsa, es decir si no hay una solay

k que sea ve rdade ra ,

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y Ci será falsa s i E es verdadera, es decir , s i a l menos unaproposición yk es ve rdade ra . Tenem os por t an to que

Entendemos ahora por C 2 a la proposición (d DDfD),es decir , la proposición con la estructura propia de B quet iene a D por argumento. En este caso, así como D t ienepor argumento a C, C 2 t i ene por a rgumento a D. De es temodo, C será la conjunción d e d y C 2, e s d ec ir, C = ( d -C2); de donde se deduce , dado que C2=—D y que C=—D,como vimos antes, que C=C 2 para cualquier va lor de E.

Así , s i E es verdadera, es decir , s i a lguna de las propos ic iones de l c re tense que no tengan la es t ruc tura (dxDjx)es verdad era , en tonces d será fa lsa , D será ve rda de ra yC2 será falsa ; pero s i E es falsa, ento nce s d será v er da dera y el valor de C 2, de C y de D queda inde te rm inado ,sabiéndose tan sólo que, si se pone a C 2 como falsa, C será falsa y D verdadera, y que si se pone a C 2 com o ve rda dera , C será verdadera y D será fa l sa .

En rea l idad , e l s igni f icado de B hay que entender lo

suponiendo dos e tapas en su formación. La pr imera e tapase ref ie re a l mo m ento an ter ior a su pron unciac ión. L asegunda e tapa se da en e l momento en que B acaba deser pronunciada . Antes de que B sea expresada só lo puederefer i r se a propos ic iones d is t in tas de e l la misma. En es temom ento , B ser ía equ iva len te a d y ten dr í a por a rgu mento la a l te rna t iva E de las propos ic iones que no t ienenla es t ruc tura (dxDjx). Es decir , d di rá "Si E es un a pro posición dicha por mí, entonces E será falsa" . Pero en ver

dad en n ingú n m o m en to B es equ iv a len te a d , pues to q ueen cuanto es profer ida cae ba jo su propio a lcance es tablec i endo inm edia t am en te una se r i e de m utuas r e fe renc ia s .Podemos desglosar esas re ferencias en una ser ie de propos ic iones , aunque en rea l idad todas e l las se dan en e lmismo ins tante de la pronunciac ión de B. En pr imer lugar , tenemos la proposición D x qu e d i rá "Si d es d ichapor mí , en tonce s d es fa l sa" . E n segundo luga r te nd rem osla proposición C 2 que d ice "Si Di es d icha por mí , en tonces

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Dx es fa l sa" . En tercer lugar podemos poner la proposi ción D 2 que dir ía "Si C 2 es dicha por mí , entonces C 2 esfa lsa" , y as í suces ivamente .

Pero es t a se r i e que pa rece p roceder por mutuas r e fe rencias hasta el inf ini to, en la real idad se acaba en seguida. C no es la conjunción de todos los C k sino que estáper fec t amente acabada en l a con junc ión de C x y C* Porsu parte, D es idént ica a Di . Así , todo se queda en unaconjunción de dos proposic iones , C y D, la pr imera de lascuales af i rma la fa l sedad de E y de D, y la segunda, la

de C.Así , por una par te y como ya habíamos vis to , s i E esverdadera , C será fa l sa y D s e r á t a mb i é n ve r da de r a ; y ,por ot ra par te , s i E es fa l sa , C será verdadera y D seráfa l sa ; con lo que queda resuel to e l problema de la indet e rminac ión de C y de D c ua ndo E es falsa.

6. La necesidad de hacer intervenir la autorreferencia enla expresión "Toda proposición dicha por mí es falsa".

El examen de la proposic ión B nos ha conducido porlo p ron to a l a s s igu ien tes conc lus iones . P r imeramente , queB no es una pa radoja s ino s implemente una con t rad ic c ión. Es ta conclus ión no t iene nada de ex t ra ño : equ ivalea af i rmar que s i a lguien dice s iempre proposic iones fa l sasno puede declarar que todo cuanto dice es fa l so , pues entonces incurr i r ía en cont radicción consigo mismo. En se

gundo lugar , hemos vis to que la paradoja del cre tense nosupone, para que sea posible su solución, la existencia det res niveles l ingüís t icos . La proposic ión B no es una paradoja y, por tanto, no exige una solución fundada en lajerarquía de los lenguajes . En cuanto a la proposic ión A,que en su solución corr iente parece también exigi r l a exis tencia de t res niveles l ingüís t icos , l a hemos resuel to de unmodo que, s iendo esencia lmente idént ico —en A exis terealmente una confus ión de niveles l ingüís t icos—, no pos

tu l a l a ex i s t enc ia de un meta -meta l engua je . Su ca rác t e r

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PARADOJA Y AUTORREFEREN CIALIDAD

paradójico se debe al vicio semántico y s intáct ico quehemos denominado "c i rcular idad" , en tendiendo es ta pa la

bra en un sent ido más res t r ingido de l que le da R U S S E L L ,y que cons is te en que un predicado meta teoré t ico se apl i ca a una proposición incompleta, la cual , en cuanto incompleta, no puede ser sujeto propio de tal predicado. Entercer lugar , hemos observado, al hacer el anál is is de B,que en es ta propos ic ión se suponen autor referencias , dadas las mutuas referencias de las propos ic iones que lacomponen.

Ante es ta ú l t ima conclus ión , cabe p lantearse la pregunta de s i no se podría concebir la proposición B comouna conjunción de propos ic iones cont radic tor ias pero nomutuamente referentes . Es te ser ía e l caso s i cons iderásemos que B no es más que la conjunción de Ci y de Di. Elargumento de C\ es so lamente E y D x t i e n e p o r a r g u m e n t oa Ci Las proposiciones C l y Di son obviamente cont radictor ias puesto que la segunda af irma la falsedad de la pr im era .

Pero ser ía necesar io p lantearse e l problema de s i C1. D xes una conjunción que anal iza comple tamente a B. Es tudiemos pues esta cuest ión.

Com encem os sus t i t uyendo a C t por Mi y a D x por M 2

para señalar que D x no es más que la negación de d encuanto la t iene por a rgumento y posee la es t ruc tura (dxDfx). Preguntarnos s i es tá comple ta la propos ic ión B entendida como la conjunción de Mi y M 2 equ iva le a i n t e r roga r nos acerca de si en Mi y M 2 se han expresado todas las pro

pos ic iones d ichas por e l c re tense que son argumentos deproposiciones con la estructura propia de B. Es decir , s idado Mi • M 2, no pue de hab er n in gu na propo s ic ión de l c retense acerca de la cual se deje de decir que sea falsa prec isamente en cuanto d icha por e l c re tense .

Ahora bien, este es el caso de M 2. Esta proposición t iene l a e s t ruc tu ra (dxDfx) y es cont radic tor ia de Mi pues toque la t iene por a rgumento . Así , s i se supone la verdadde Mi se concluye la falsedad de M 2. C ie r t am en te que M i

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es la negación de M 2, pero, s in embargo, no es la propos ic ión de es t ruc tura (dxDfx) que tenga a M 2 por agu-

m e n t o .Co ns iderad a como la conjunción M i . M 2, B es una proposición contradictor ia , sea cual fuere el valor de E. SiE es ve rdade ra , M x será falsa y M 2, verdadera . S i , por e lcon t r a r i o , E es falsa, M x se r á ve rdade ra y M 2 será falsa .

Pero de todos modos , Mi • M 2 no cons t i tuye un aná l i s i scomple to de B, en cuanto B se re f ie re a l a to ta l idad de propos ic iones a f i rmadas por e l c re tense y M 2, en cuanto es táinc lu ida en B, es d icha por e l c re tense , pero en n ingún

momento apa rece como a rgumento de una p ropos i c ión conl a e s t ruc tu ra (dxDfx). Así , s i queremos negar l a ex i s tenc ia en B de autor referenc ias , como aparec ía cuando la concebíamos como la conjunción de C y de D, será necesar iosuponer una te rcera propos ic ión M 3 que t enga l a mi smaes t ruc tura de B y a M 2 por a rgumento , l uego una cua r t acon l a mi sma es t ruc tu ra y t en i endo por a rgumento a M 3 yasí hasta el inf ini to. B ser ía as í una conjunción de unacadena inf in i ta de propos ic iones Mi«M 2 - M 3 . . . M n . . .

En es ta cadena no se a lcanzar ían en rea l idad n ive lesl ingüís t i cos super iores a lx. En efecto, para cualquier M n ,si n es un número pa r , M n será igual a M 2 y si n es un número impar , s e r á i gua l a Mi . Conc re t amen te , e l a rgumentod e M 3, es decir, M 2, es e l mismo que e l a rgumento de M x

que e s E. Lo que hace M 2 es af i rmar la falsedad de Mi conlo que af i rma la a l t e rna t iva E de las propos ic iones d ichaspor e l c re tense .

Así t enemos , por una par te , que M a • M 2 no es un aná l i s is completo de B, en cuanto M 2 no aparece ocmo argum en to en n ing un a p ropos ic ión qu e t enga l a e s t ruc tu ra(dxDfx). Por o t ra par te , en cuanto a los va lores de ver dad, un M n cualquiera se reduce a M 1 o a M 2.

El problema es ahora examinar s i hacemos un aná l i s i smás comple to de B cuando l a en t endemos como una cade na inf in i ta Mi«M 2 . . . M n . . . de propos ic iones que cuando lacons ideramos como la conjunción C«D de dos propos ic io-

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nes, l a pr imera de las cua les t iene por a rgumento a E y a

la segunda , y la segunda t iene por a rgumento a la pr imera .Si entendemos a B como la conjunción de una cadena

inf in i ta de propos ic iones , B nunca es tará comple ta , puesdado que los inf ini tos actuales no son posibles , s iemprese podrá encon t ra r un núm ero m t a l que aún no ex i s t auna proposición M m + 1 que tenga a M m c o m o a r g u m e n t o .Sin embargo, s i hacemos que M x t e n g a p o r a r g u m e n t o aM 2 además de a E —en ese caso , Mi=C— y s i M 2 t i ene porargumento a M x as í entendido —en ese caso , M 2=D—

entonces tendremos un anál i s i s comple to de B en cuantola es t ruc tura (dxDjx) se encon t ra rá ap l i cada a toda p ro posición dicha por el cretense —las proposiciones de la alt e rna t iva E y la misma propos ic ión B— sin incurr i r enninguna paradoja semejante a la de la propos ic ión A. E nefecto, D t i ene por a rgum ento a B m ism a , exc luyendo l aautor referencia d i rec ta , que ser ía paradój ica , de D respecto de s í misma. D se ref ie re d i rec tamente a C e indi rec tam en te a E y a s í misma, puesto que C se ref iere a E y a D.

En es ta autor referencia indi rec ta de D a e l la misma yano se encuent ra e l e lemento paradój ico propio de la proposición A, puesto que D no af irma la falsedad de D sinoque la n iega y , además , D t iene una cont radic tor ia , requi s i to indispensable para que una propos ic ión tenga sent i do, que es ]a propos ic ión C. A su vez , es ta ú l t ima tambiénse ref ie re indi rec tamente a s í misma en cuanto se re f ie rea D y ésta a C, pero tampoco para af i rmar su fa l sedad s i no pa ra nega r l a y t en iendo una con t r ad ic to r i a que e s D .

Por lo demás , y concluyendo, la autor referencia indi recta , como en el caso de la proposición B, o di rec ta , comoen e l caso de las l lamadas leyes de l pensamiento , no só loes un hecho que exis te , s ino que además t iene , por as í decirlo, un ca rác t e r au toproba to r io que e s p rec i sam ente e lque conf iere su evidencia carac ter í s t ica y fuera de todaduda a las leyes de l pensamiento y , por cons iguiente , atodas las leyes de la lógica cuya equiva lencia con aquel lospr inc ip ios es demost rada por la lógica misma.

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Este carácter autoprobatorio se ejercita por vía de refutación, dada la autocontradiccion en que incurre la proposición que niega aquélla que se pretende demostrar. Concretamente, por lo que se refiere al principio de terceroexcluido, se puede demostrar de esta manera que es falsoque toda proposición sea falsa y que es falso que todaproposición sea verdadera y, por último, que es falso quealguna proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo. Esta última parte de las aserciones del principio detercero excluido reenvía al principio de contradicción, elcual también se demuestra, por vía de refutación, mediante la autorreferencialidad. El principio de contradicción se puede exponer en la forma — (p*—p) y en su negación sería (p*—p). Dada la regla de sustitución es posible derivar de la negación del principio la expresión (p • —

P) %— (P*—p), con lo que se observa que es imposible negar de modo absoluto el principio de contradicción: sunegación da lugar a su afirmación juntamente con la negación.

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Emilio Díaz Estévez - La noción de paradoja y la autorreferencialidad