EMPALMES

DEFINICIN: Empalme o enlace esla unin delneas con curvas, o curvas entre s de modo que no formen ngulo en el punto de unin. Para que dos lneas se enlacen, es necesario que sean tangentes entre s en el punto de unin.

CONSTRUCCIONES

1. Empalmar tangencialmente arcos de circunferencias a la lnea dada AB.PROCEDIMIENTO:Trazamos una perpendicular AC al extremo A de la lnea dada, sobre la cual ubicamos tantos puntos como arcos se deseen trazar, por ejemplo tres. Desde estos puntos 1,2 y 3, trazamos los arcos con abertura igual a la distancia entre cada punto y el extremo A.

2. Empalmar dos lneas perpendiculares mediante un arco de circunferencia de radio igual a r.

PROCEDIMIENTO:Haciendo centro en el vrtice 0, con abertura del comps igual a r, trazamos un arco de circunferencia que cortar a los lados del ngulo en los puntos M y N. Haciendo centro en M y N, con igual abertura, trazamos arcos que se cortarn en el punto 0. Con centro en O y radio r trazamos el arco que empalma las dos lneas perpendiculares.

3. Empalmar con un arco de radio r, las lneas AB y AC que forman un ngulo obtuso.PROCEDIMIENTO:Trazamos paralelas a las lneas dadas a una distancia igual a r, las cuales se cortan en el punto 0. Desde O trazamos perpendiculares a cada una de las lneas AB y BC, encontrando los puntos D y E. Haciendo centro en 0, con abertura del comps igual a 0D, trazamos un arco de circunferencia que unir los puntos D y E, empalmando las dos lneas dadas CC.

4. Empalmar con radio r, las lneas AB y AC que forman ngulo agudo.PROCEDIMIENTO:Para solucionar este problema se aplica el mismo procedimiento del caso anterior.

5. Empalmar los lados del ngulo ABC con un arco de circunferencia, que pase por el punto M, situado en el lado AB del ngulo.PROCEDIMIENTO:Con centro en el vrtice A y radio AM, trazamos un arco que pase por M y corte al otro lado en el punto M. A los lados del ngulo les trazamos paralelas que pasen por los puntos M y M, las cuales se cortan en el punto O. El arco de empalme se traza con centro en O y radio OM.

6. Empalmar dos lneas paralelas mediante un arco de circunferencia.

PROCEDIMIENTO:Elegimos el punto de tangencia T sobre una de las lneas, por ejemplo la lnea AB. A la lnea AB, y en su punto A, le trazamos una perpendicular que corta a la otra paralela, CD, en el punto T. Encontramos el punto medio O de la lnea TT mediante una perpendicular. El arco que empalma las dos paralelas se traza con centro en O y radio OT. Este procedimiento sera igual si deseramos empalmar las dos paralelas por sus puntos extremos de un mismo lado.

7. Empalmar las dos lneas paralelas AB Y CD, en sus puntos A y C, mediante dos arcos de circunferencia de igual radio.

PROCEDIMIENTO:Trazamos perpendiculares a las paralelas en sus puntos B y C. Tambin unimos los puntos de empalme A y C mediante una lnea, a la cual le hallamos su punto medio O, dividindola en los segmentos OB y OC. A los segmentos encontrados les trazamos perpendiculares a sus puntos medios, de tal forma que corten a las perpendiculares trazadas inicialmente, en los puntos P y P. Los arcos de empalme se trazan en sentidos contrarios, con centros en P y P, y radios PB y PC respectivamente.7. Empalmar las dos lneas paralelas AB Y CD, en sus puntos A y C, mediante dos arcos de circunferencia de igual radio.

8. Empalmar dos lneas paralelas de diferente longitud mediante arcos de circunferencia.

PROCEDIMIENTO:

Unimos los puntos A y D; prolongamos las paralelas a una distancia igual a la mitad de la lnea AD, encontrando los puntos E y F. Unimos estos puntos y trazamos perpendiculares a cada paralela en el punto A y por el punto D . Buscamos la bisectriz del ngulo E que cortar a la perpendicular trazada por el punto A en el punto 0 y la bisectriz al ngulo F que cortar a la perpendicular trazada por el punto D en el punto 0. Unimos los puntos O y O mediante una lnea lnea que cortar a la lnea EF en el punto G. Haciendo centro en O, con abertura del comps igual a OA, trazamos un arco que unir los puntos A y G. Haciendo centro en O con abertura del comps igual a OD, trazamos un arco que unir los puntos G y D, obteniendo la solucin del problema.

9. Dada la lnea AB y el punto D fuera de la lnea, trazar un arco de circunferencia que pase por D y sea tangente a la lnea dada en el punto C, el cual se encuentras sobre AB.

PROCEDIMIENTO:Unimos el punto C con el punto D, apareciendo la lnea CD a la cual le trazamos una perpendicular en su punto medio. Luego trazamos una perpendicular a la lnea AB en el punto C que cortar a la anterior en el punto 0. Haciendo centro en 0, con abertura del comps igual a 0C, trazamos un arco de circunferencia que unir los puntos C y D, siendo tangente a la lnea AB.

10. Dadas las lneas AB y CD, empalmarlas en sus puntos E y F por medio de dos arcos de circunferencia , uno de ellos de radio conocido r.PROCEDIMIENTO:Trazamos una perpendicular a la lnea CD que pase por el punto F. Sobre esta perpendicular, a partir del punto F, llevamos la mitad de la longitud de r, encontrando el punto O. Trazamos una perpendicular a la lnea AB que pase por el punto E y la prolongamos hacia abajo. A partir del punto E llevamos la longitud de r, encontrando el punto P. Unimos el punto P con el punto O y trazamos una perpendicular en el punto medio de la lnea OP que cortar a la perpendicular que trazamos sobre la lnea AB en el punto O. Haciendo centro en O trazamos un arco de circunferencia que unir el punto F con el punto H sobre la lnea OO. Haciendo centro en 0 trazamos un arco de circunferencia que unir el punto H con el punto E, resultando a s el empalme pedido.

11. Dadas la circunferencia O y la lnea AB, empalmarlas con un arco de circunferencia de radio r. Emplear el centro interior.PROCEDIMIENTO:Trazamos una paralela a la lnea AB, a una distancia igual a r.. Haciendo centro en 0, trazamos un arco con abertura igual a la suma del radio de la circunferencia ms el radio r del arco de empalme. Este arco cortar a la paralela en el punto 0. Unimos los puntos 0 y 0 mediante una lnea que corta a la circunferencia en el punto T. Trazamos una perpendicular a la lnea AB que pase por el punto 0 encontrando el punto T. Haciendo centro en 0 trazamos un arco de circunferencia que unir los puntos T y T, empalmando la circunferencia con la lnea.

13. Con centro exterior empalmar dos circunferencias, O y O, mediante un arco de radio conocido r.PROCEDIMIENTO:Con centro en O y una abertura igual a la suma de r mas el radio de la circunferencia O, trazamos un arco, el cual se corta en el punto C al trazar otro arco con centro en O y abertura igual a la suma de r mas el radio de la circunferencia O. Mediante lneas unimos los centros de las circunferencias con el punto C, encontrando los puntos T. Con centro en C y radio r, se traza el arco hasta los puntos T.

14. Empalmar dos circunferencias, O y O, mediante un arco de radio conocido r. Emplear centro interior.PROCEDIMIENTO:Con centro en O y una abertura igual a la diferencia entre r y el radio de la circunferencia O, trazamos un arco, el cual se cortar en el punto C al trazar otro arco desde O, con abertura igual a la diferencia entre r y el radio de la circunferencia O. Unimos el punto C con los centros de las circunferencias mediante lneas, que al prolongarse, determinan los puntos de tangencia T y T. Con centro en C y radio r, trazamos el arco de empalme que une los puntos T y T.

15. Empalmar dos circunferencias, O y O, mediante un arco de radio conocido r. Emplear centro exterior y centro interior.PROCEDIMIENTO:Con centro en O y una abertura igual a la diferencia entre r y el radio de la circunferencia O, trazamos un arco, el cual se cortar en el punto C al trazar otro arco desde O, con abertura igual a la suma de r mas el radio de la circunferencia O. Unimos el punto C con los centros de las circunferencias mediante lneas para determinar los puntos de tangencia.

ENLACE DE PUNTOSDEFINICIN: Enlazar puntos es unirlos mediante arcos de circunferencia, de tal forma que la lnea curva resultante sea continua.

ProblemaEnlazar los puntos A, B, C, D, E, F y G mediante una curva.

PROCEDIMIENTO:Antes de iniciar el procedimiento tengamos presente que los tres primeros puntos se enlazan con un mismo arco de circunferencia y los dems se enlazan de dos en dos. Los centros para los arcos de enlace, en este problema, los denotaremos con la letra O.Unimos sucesivamente los tres primeros puntos mediante lneas, resultando los segmentos AB y BC. A estos segmentos les trazamos perpendiculares en sus puntos medios, las cuales se cortarn en el punto O1. Con centro en O1 y radio O1-A trazamos el arco que enlaza los tres primeros puntos.

Ahora procedemos a enlazar el punto C con el punto D, para lo cual iniciamos unindolos con una lnea, a la cual le trazamos una perpendicular por su punto medio.Desde el punto O1 (primer centro encontrado) trazamos una lnea que pase por C (ltimo centro enlazado hasta el momento). Esta lnea la prolongamos hasta que corte la perpendicular que trazamos por el punto medio de la lnea CD (ltima perpendicular trazada) encontrando el punto O2. Con centro en O2 y radio O2-C trazamos el arco que enlaza los puntos C y D, conservando el mismo sentido de trazo del arco que enlaz los tres primeros puntos.

Procedemos luego a enlazar los puntos D y E, para lo cual iniciamos unindolos mediante una lnea, a la cual le trazamos una perpendicular que pase por su punto medio. Desde el punto O2 (ltimo centro encontrado hasta el momento) trazamos una lnea que pase por el punto D (ltimo punto enlazado hasta el momento). Esta lnea la prologamos hasta que corte a la ltima perpendicular trazada, o sea la trazada a la lnea DE, encontrando a s el centro O3. Con centro en O3 y radio O3-D trazamos el arco que enlaza los puntos D y E, cuidando que la lnea curva no se quiebre. Este mismo procedimiento lo repetimos para enlazar los puntos restantes, teniendo en cuenta cul es el ltimo centro encontrado, la ltima perpendicular trazada y el ltimo punto enlazado.

RECTAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS

DEFINICIONES: Una lnea tangente es aquella lnea que se encuentra a la misma distancia del centro que cualquier punto de la circunferencia. Una lnea que toque en un punto a una circunferencia o a un arco de circunferencia, es tangente a ellos y es perpendicular al radio que llega al punto de tangencia.CONSTRUCCIONES

1. Dibujar una lnea tangente a la circunferencia, que pase por el punto A.PROCEDIMIENTO:Dibujamos la circunferencia y localizamos el punto A, luego trazamos el radio OA. A este radio le levantamos una perpendicular en su extremo A, que ser la tangente pedida.

2. Trazar una tangente a un arco de circunferencia cuyo centro no se conoce y que pase por el punto A.PROCEDIMIENTO:Situamos un punto B cualquiera sobre el arco. Con centro en este punto y radio AB trazamos un arco encontrando el punto C. Haciendo centro en A y radio AC trazamos un arco encontrando el punto D. Unimos los puntos A y D mediante una lnea, hallando as la tangente.

3. Dado el segmento AB y una circunferencia O, trazar una tangente de tal manera que forme con AB un ngulo conocido.

PROCEDIMIENTO:Trazamos la circunferencia y el segmento dado en el lugar indicado. Luego desde un punto cualquiera C, perteneciente a AB, trazamos un ngulo igual al dado, de tal forma que el otro lado del ngulo sea secante a la circunferencia, cortndola en los puntos D y E. Trazamos una perpendicular a la cuerda DE, que pase por el centro O de la circunferencia y la corte en el punto F. La tangente pedida (GH) ser la que pase por F.

4. Trazar una tangente a una circunferencia dada, que pase por un punto M fuera de ella.PROCEDIMIENTO:Trazamos una lnea que una al punto M con el centro de la circunferencia. Encontramos el punto medio A de la lnea 0M y haciendo centro en este punto con el comps, y un radio igual a A0, trazamos un arco que cortar a la circunferencia en los puntos B y C. Unimos el punto M con el punto B o con el punto C, encontrando as la tangente.

5. Dadas la circunferencia O y la lnea AB, trazar una tangente a la circunferencia, que sea paralela a la lnea AB.

PROCEDIMIENTO:Trazamos una perpendicular a la lnea AB, de tal forma que pase por el centro de la circunferencia y la corte en los puntos C y D. Trazando una perpendicular al radio que llega a cualesquiera de estos dos puntos, resultar la tangente pedida.Nota: Observe en el procedimiento grfico que es posible trazar dos tangentes a la circunferencia y que adems sean paralelas a la lnea AB: la que pasa por el punto D y la que pasa por el punto C.

6. Trazar las tangentes exteriores a dos circunferencias dadas.PROCEDIMIENTO:Trazamos la lnea 00 que une los centros de las circunferencias y le hallamos su punto medio A. Con centro en 0 y un radio igual a la diferencia entre los radios de las circunferencias conocidas, trazamos una circunferencia auxiliar. Con centro en A y radio A0, trazamos un arco que corte la circunferencia auxiliar en los puntos B y C. Trazamos y prolongamos las lneas radiales 0B y 0C para determinar sobre la circunferencia mayor los puntos D y E respectivamente. A partir de 0 trazamos los radios 0F y 0G paralelos a 0D y a 0E respectivamente. Al unir D con F, y E con G resultarn las tangentes exteriores.

7. Trazar las tangentes interiores a dos circunferencias dadas.PROCEDIMIENTO:Trazamos la lnea 00 que une los centros de las circunferencias y le encontramos su punto medio A. Con centro en 0 y un radio igual a la Suma de los radios de las circunferencias conocidas, trazamos una circunferencia auxiliar. Con centro en A y radio A0, trazamos un arco que corte la circunferencia auxiliar en los puntos B y C. Trazamos las lneas radiales 0B y 0C para determinar sobre la circunferencia O los puntos D y E respectivamente. A partir de 0 trazamos los radios 0F, paralelo a OE, y 0G paralelo a 0D. Al unir D con G y E con F resultarn las tangentes interiores.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A RECTAS

DEFINICIN: Cuando una circunferencia toca en un punto a una lnea, y este punto est a igual distancia que los dems puntos de la circunferencia, entonces sta es tangente a la lnea.

CONSTRUCCIONES

1. Trazar una circunferencia tangente a los dos lados de un ngulo, que pase por el punto D que se encuentra sobre uno de los lados del ngulo.PROCEDIMIENTO:. Trazamos la bisectriz al ngulo dado y luego levantamos una perpendicular al punto D, que corte a la bisectriz en el punto O. Con centro en O y radio OD, trazamos la circunferencia tangente a los lados del ngulo.

2. Trazar una circunferencia tangente a los lados de una lnea poligonal cncava de tres segmentos.

PROCEDIMIENTO:. Trazamos las bisectrices a cada uno de los ngulos formados por los segmentos, de tal forma que se corten en el punto O. A una de los segmentos, en este caso AB, le trazamos una perpendicular que pase por el punto O y corte al segmento en el punto E. Con centro en O y radio OE, trazamos la circunferencia tangente a los lados de la lnea poligonal.

3. Trazar una circunferencia tangente a los tres lados de un tringulo.PROCEDIMIENTO:.Trazamos las bisectrices a cada uno de los ngulos del tringulo ABC, las cuales se cortan en el punto O. A uno de los lados del tringulo, en este caso el AB, le trazamos una perpendicular que pase por el punto O y lo corte en el punto E. Con centro en O y radio OE trazamos la circunferencia tangente.

4. Trazar tres circunferencias tangentes a los lados de un tringulo equiltero y tangentes entre s.

PROCEDIMIENTO:Trazamos las lneas que unen cada vrtice con el punto medio de su lado opuesto ( las medianas), las cuales se cortan en el punto O y a su vez cortan los lados del tringulo en los puntos 1,2 y 3. Trazamos una de las bisectrices de los ngulos que se forman en los cortes 1,2 y 3, en este caso en el corte 1. Esta bisectriz cortar a una de las medianas en el punto P, que ser el centro de una de las circunferencias tangentes. Trasladamos este centro P a las dems medianas por medio de una circunferencia con centro en O, encontrando los otros centro P y P. Para encontrar el radio de las circunferencias tangentes, trazamos una perpendicular al lado AB del tringulo, que pase por el punto P y nos de el punto M. Las circunferencias tangentes se trazan con centro en los puntos P y con radio PM.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES

DEFINICIN: Dos circunferencias son tangentes entre si cuando tienen solo un punto en comn. La ubicacin de los dems puntos de una con respecto a los dems de la otra, definen si son tangentes exteriores o interiores.

CONSTRUCCIONES

1. Dibujar dos circunferencias tangentes exteriores.SOLUCIONTrazamos una lnea OO con longitud igual a la suma de los radios de las circunferencias. Con centro en los extremos de la lnea y los radios respectivos, trazamos las circunferencias tangentes exteriores.

2. Trazar dos circunferencias tangentes interiores, de diferente radio.PROCEDIMIENTO.Trazamos la lnea OO igual a la diferencia de los radios de las dos circunferencias. Con centro en los extremos de la lnea y los radios correspondientes trazamos las circunferencias tangentes interiores.

3. Dada una circunferencia trazarle circunferencias tangentes interiores, tangentes entre s.PROCEDIMIENTODividimos la circunferencia en partes iguales, el doble del nmero de circunferencias pedidas. En este caso dividimos la circunferencia en 6 partes, pues trazaremos 3 circunferencias tangentes. Dividida la circunferencia, trazamos los dimetros respectivos, prolongando uno de ellos hasta que forme el ngulo M con la tangente trazada al punto P de la circunferencia dada. Trazamos la bisectriz del ngulo M, que corte al dimetro PQ en el punto F, centro de una de las circunferencias. Los dems centros, F y F, los encontramos al cortar los otros dimetro con una circunferencia trazada desde O con radio OF. Las circunferencias tangentes interiores las trazamos desde los puntos F,F y F, con radio FP.

4. Dibujar las circunferencias A,B y C tangentes exteriores.PROCEDIMIENTO.Trazamos el tringulo ABC, cuyos lados equivalen a las sumas de los radios de las circunferencias, a si: lado AB igual a la suma de los radios de las circunferencias A y B, lado AC igual a la suma de los radios de las circunferencias A y C, y el lado BC igual a la suma de los radios de las circunferencias B y C. Los vrtices del tringulo sern los centros desde donde trazaremos las circunferencias con sus radios respectivos.