¿Cuáles son las conexiones entrelas variables en logo y las variablesen álgebra?

Rosamund Sutherland

1:›Sería con toda seguridad deprimente conocer el porcentaje dealumnos que fracasa en el álgebra desde los primeros pasos: lacomprensión de lo que implica la notación simbólica en letrasy del concepto de variable. Este artículo expone unainvestigación que se centra en este problema y lo resuelve conéxito recurriendo a un sistema notarial alternativo ycomplementario del álgebra de papel y lápiz (el lenguajeLOGO) y a la representación gráfica de la acción de lasvariables en la pantalla del ordenador. Además de realizaruna exposición rigurosa de la investigación, el artículodescribe con toda claridad los procedimientos de instrucción aseguir y los materiales a utilizar, por lo que construyerealmente un modelo de enseñanza listo para su uso.

1. 1NTRODUCCION

Para muchos alumnos el álgebra cons-tituye una barrera para la comprensiónde las matemáticas de enseñanza secun-daria. Las investigaciones sobre com-prensión del álgebra por parte de losalumnos ha permitido desvelar los pro-blemas que tienen éstos a la hora de in-terpretar el significado de las letras y deformalizar y simbolizar un método ge-neralizable (Kuchemann, 1981; Booth,1984 a y b). Vergnaud ha llegado a afir-mar que «el álgebra es un rodeo: los es-tudiantes deben evitar la tentación decalcular lo desconocido tan rápido como

sea posible; deben aceptar operar sobresímbolos sin prestar atención al signifi-cado de estas operaciones en el contex-to de referencia» (Vergnaud, 1986). Esteautor, creemos que con bastante acier-to, sugiere que debemos encontrar pro-blemas que provoquen el uso del álge-bra. Pero no es esta una tarea fácil en lasmatemáticas escolares «tradicionales».Curiosamente, el contexto de program-ción del ordenador proporciona situa-ciones problema en las que la variable esuna herramienta significativa para resol-ver problemas. La disponibilidad de or-denadores en la escuela ha crecido nota-blemente en los últimos años y no hay

«What are the links between variable in Logo and variable in Algebra?» Recherches en Di-dactique des Mathématiques, 1987, 8(12), pp. 103-130. Reproducido con autorización. ©Tra-ducción al castellano, CL&E, 1989. (Traducción de Carmen Trillo.)

Comunicación, Lenguaje y Educación, 1989, 1, 103-120

104ninguna razón para suponer que no con-tinuará este aumento. Parece, por tanto,apropiado plantear de qué diversas ma-neras puede mejorar el ordenador elaprendizaje de las matemáticas y, más enconcreto y por lo que respecta a este ar-tículo, el aprendizaje del álgebra.

En una investigación exploratoria conocho alumnos (de diez años de edad enadelante) que habían aprendido Logodurante dieciocho meses, Noss (1986)ya había señalado que «los niños pue-den, bajo condiciones adecuadas, utili-zar el álgebra que han empleado en unentorno Logo para construir significa-dos algebraicos en un contexto no com-putacional» (Noss, 1986). No obstante,esta investigación sugiere también queno es probable que el uso de la variablese produzca «de forma natural» y «que,aparte de dificultades a la hora de defi-nir un procedimiento general, se apreciafundamentalmente la falta de un sentidoinmediato que señale la necesidad de de-finir tales procedimientos» (Hillel, Sa-murgay 1985 a).

Este artículo describe la investigaciónque hemos realizado para probar la hi-pótesis de que determinadas experien-cias en programación en Logo propor-cionan a los alumnos una base concep-tual de la variable, lo que mejorará sutrabajo con el álgebra tradicional «de pa-pel y lápiz».

Los propósitos de la investigaciónson:

— Describir el desarrollo y compren-sión del concepto de variable en un con-texto de programación de Logo a partirdel trabajo de cuatro pares de alumnos,objeto de la investigación, durante susprimeros tres años de enseñanza secun-daria (11-14 años).

— Desarrollar y probar materialesdiseñados para ayudar a que los alum-nos conecten la concepción de variable,derivada desde el interior de un contex-to Logo, a un contexto no Logo.

— Relacionar la comprensión quetienen los alumnos del concepto de va-riable en la programación Logo, con sucomprensión de variable en el álgebra«de papel y lápiz».

Esta investigación surge del seno del«Logo Maths Project» (Sutherland,Hoyles 1987), un estudio longitudinalde alumnos (de entre 11 y 14 años deedad) que programan Logo durante suslecciones «normales» de matemáticas. Elcurrículum de matemáticas Smile 1 per-

mite al profesor trabajar de forma indi-vidualizada o con grupos de alumnos.Durante esta actividad los alumnos, or-ganizados en parejas, pueden turnarsepara trabajar en los dos ordenadores si-tuados en la clase. Los investigadores ac-tuaban como observadores participantesy recogiendo datos sistemáticos durantelos tres arios del proyecto, sobre cuatroparejas de alumnos Se organizó a losalumnos en parejas para tratar de detec-tar la posible transmisión del interés porlas matemáticas y para probar las opi-niones que despertaba en los profesoresla agrupación de alumnos para el traba-jo constructivo. Los datos incluían re-gistros del trabajo en Logo de los alum-nos 3 , de todo lo que hablaban los alum-nos durante su trabajo con Logo (se co-nectó una cámara de video entre el or-denador y el monitor), las intervencio-nes de los investigadores, y un registrode todo el trabajo matemático restanterealizado por los alumnos. Se hizo des-pués una transcripción de las grabacio-nes de video y éstas, junto a las obser-vaciones del investigador, y las entrevis-tas a profesores y alumnos, proporcio-naron la información base para la inves-tigación. Durante los tres años del pro-yecto los alumnos participantes recibie-ron aproximadamente sesenta horas deexperiencia práctica de programación enLogo. Los alumnos seguían su currícu-lum normal de matemáticas y ni el tiponi la cantidad de trabajo en álgebra lle-vada a cabo por los alumnos fue contro-lada por los investigadores.

2. EL CONCEPTO DE VARIABLEEN LOGO

«Es difícil hablar de programacióncomo si fuese una habilidad rutinaria.Los procesos cognitivos implicados enuna actividad de programación depen-den tanto del entorno de programaciónutilizado (lenguaje, máquina, etc.) comode la clase de problema que se intenta re-solver. Por ejemplo, los problemas quese puedan resolver en Logo no pertene-cen a las misma clase de problemas quese resuelven en Prolog» (Hillel y Sa-murgay, 1985 b).

En Logo las variables se utilizan comoparte de las definiciones de un procedi-miento y, aunque no son el punto fun-damental de este artículo, los aspectosde subprocedimiento, modularidad y se-cuenciación están fuertemente relacio-

105nados con el uso de variables en Logo.El Logo es tanto un lenguaje de progra-mación funcional como modular. En'Logo las variables pueden ser definidascomo globales y locales. Una variablelocal es un parámetro a través del queun valor pasa a un procedimiento. Vea-mos un ejemplo de variable local em-pleada como input para un procedi-miento:

TO SQUARE "SIDEREPEAT 4 [ FD: SIDE RT 90]END

La variable SIDE se nombra en la lí-nea del título del procedimiento y se usadespués dentro del procedimiento.Como lenguaje, Logo distingue entre elnombre y el valor de una variable. Eluso de comillas en la forma "X denotael nombre de la variable y el uso de dospuntos :X denota el valor de la variable.La variable SIDE se utiliza como mediode pasar un valor al procedimientoSQUARE. Teclear SQUARE 30, haráque el ordenador ejecute el procedi-miento SQUARE asignando el valor 30a la variable denominada SIDE. Cuan-do se utiliza una variable como inputpara un procedimiento, sólo existe lo-calmente para ese procedimiento y paracualquier subprocedimiento dentro delmismo. Deja de existir en la memoria delordenador cuando el procedimiento hasido procesado. Por el contrario, una va-riable global, que se asigna normalmen-te por medio de la expresión «MAKE»,existe en todos los procedimientos ysólo deja de existir cuando se apaga elordenador.

Las variables locales están inextrica-blemente vinculadas a las ideas de out-put y recursión en Logo. El propósitodurante el proyecto fue desarrollar unenfoque consistente con la enseñanza yaprendizaje del Logo como lenguaje deprogramación. Se decidió introducir alos alumnos sobre todo en variables lo-cales, en oposición a variables globales.De hecho, los alumnos utilizaron sóloen una ocasión una variable global du-rante los tres arios que duró el proyec-to, lo que implica que los alumnos par-ticipantes en este estudio no utilizaronla variable (con excepción de la mencio-nada ocasión) en la expresión de asigna-ción MAKE. La investigación se ocupade la utilización y comprensión, porparte de los alumnos, de ideas relacio-nadas con el álgebra en un entorno

Logo. Pero se ocupaba por la compren-sión de los alumnos de la variable desdeuna perspectiva informática.

En este estudio hemos investigado elconcepto de variable en Logo desde laperspectiva de «campo conceptual»(Vergnaud, 1982). La idea de campoconceptual se utiliza para delimitar elconcepto sometido a estudio y admitira la vez el inevitable solapamiento entreconceptos. Además, la interrelación en-tre el grupo de situaciones problema, elconjunto de invariantes que constituyenel concepto y los sistemas simbólicosutilizados para representar el concepto,son fundamentales para la idea de uncampo conceptual. Al comienzo del pe-ríodo de investigación, no fue posiblellevar a cabo un análisis «a priori» pre-ciso y relevante para este estudio, delcampo conceptual de variable, y elloporque se sabía muy poco sobre los ti-pos de problema o sobre las ideas rela-tivas al álgebra cuyo uso fuera apropia-do para que los alumnos programaranLogo. El campo conceptual de variableaquí presentado fue desarrollado duran-te los dos primeros años de la investiga-ción, bajo la influencia del análisis queHillel y Samurgay habían realizado so-bre los diferentes conceptos de progra-mación que subyacen al Logo. Su análi-sis tiene una gran utilidad para ver la re-lación existente entre los distintos usosdel procedimiento en Loso. Estos auto-res definen como procedimiento simpleaquel compuesto únicamente por primi-tivas de Logo. Si un procedimiento con-tiene otro subprocedimiento lo conside-ran como procedimiento compuesto.Por nuestra parte, en esta investigaciónlo consideramos como un superprocedi-miento. Hillel y Samurgay afirman que«desde el punto de vista de la psicologíacognitiva el concepto de variable repre-senta una invariante. Con ello queremosdecir que, en el caso de una variable,aunque se cambien los valores de los in-puts en un procedimiento, permaneceninvariantes tanto las relaciones intercomo las intra procedurales. Esta inva-rianza se caracteriza por la atribución deun nombre a la variable y por el controlde su valor» (Hillel y Samurgay, 1985b). Hillel y Samurgay también señalanque, en la programación de Logo, elconcepto de variable siempre aparece re-lacionado con otros conceptos (porejemplo, procedimiento, recur-sión, etc.).

Iniciamos nuestro proyecto de inves-

Escribe un procedimientopara dibujar una letra.

A continuación, edita tu procedi-miento para multiplicar cada co-mando de distancia por uno escalar.

FD 100BK 100RT 90FD 50BK 50LT 90END

L "SCALEFD MUL 100 :SCALEBK MUL 100 :SCALERT 90FD MUL 50 :SCALEBK MUL 50 :SCALELT 90END

4ómo lo puedes hacerde grande?¿Cómo lo puedes hacer

\ de pequeño?

L 1.0L 0.5L 2.7L - 1.9

106tigación con la intención de permitir alos alumnos elegir libremente sus pro-pias metas, pero el análisis de los prime-ros dieciocho meses de los datos trans-critos nos indicó, en primer lugar, quelos alumnos raramente elegían proyec-tos en que fuera necesario recurrir alconcepto de variable y, en segundo lu-gar que, incluso cuando el investigadorapreciaba esa necesidad de recurrir a lavariable en un proyecto de los alumnoso en una tarea «encargada por el profe-sor» e intervenía personalmente al res-pecto, los alumnos se mostraban reaciosa utilizar la idea. Este fue el caso tantode los alumnos con escasa como conninguna experiencia de la variable en elálgebra «de papel y lápiz» (los alumnosseguían su currículum «normal» de ma-temáticas y el investigador conocía laclase y cantidad del trabajo de álgebrallevado a cabo por los alumnos, pero noestaba bajo control). Los alumnos nopodían concebir ningún proyecto en quese utilizara la noción de variable hastaque no tuvieran alguna idea del poten-cial de esta noción. Se decidió, por tan-to, introducir el concepto de variable atodos los alumnos mediante una serie detareas estructuradas. La primera tarea deeste tipo, la tarea de las «letras crecien-tes» (letra que aumenta proporcional-

mente) (Figura 1) trataba de incitar a losalumnos a emplear los conceptos comouna herramienta de resolución de pro-blemas para, y a continuación, desarro-llar la idea de variable como un objetosusceptible de manipulación (Douady,1985). Aunque ésta fue una tarea inicial-mente diseñada por el profesor, tan sólose trataba de un punto de partida y losalumnos ampliaron la tarea de muy di-versas maneras (ver, por ejemplo, la Fi-gura 2). Tras «las letras crecientes» sedesarrollaron toda una serie de tareas di-señadas por el profesor para promoverel uso de los alumnos de ideas relacio-nadas con el álgebra en sus programasde Logo. Los cuatro pares de alumnosdel estudio no trabajaron todos con lasmismas tareas a lo largo del proyecto.

Los alumnos trabajaron, también, enlas tareas de la «máquina de función»(Funtion Machine) (como ejemplo, verFigura 8) durante el último período dela investigación. Estas tareas fueron di-señadas para ayudarles a establecer co-nexiones entre la variable en Logo y lavariable en el álgebra de «papel y lápiz»(discutimos este punto más extensamen-te en la sección tres de artículo).

Dentro del mundo de la geometría dela tortuga, un procedimiento generalproduce un efecto «cambiante» sobre la

FIGURA 1

Ahora prueba

La tarea de la «letra que aumenta p" roporcionalmente».

107FIGURA 2

Modificación hecha por un alumno de la tarea«Letras Crecientes»

pantalla, de modo que podemos sugerirque definir procedimientos generales enla geometría de la tortuga, podría serconceptualmente más fácil para losalumnos que definir procedimientos deuna geometría «no-tortuga». En cual-quier caso, un procedimiento generalpuede originarse, o bien a partir de unasolución a un problema bien definido, obien de una actividad definida de formaimprecisa en la que construye el super-procedimiento mediante la interaccióncon el ordenador. Es muy probable quela dimensión bien definido/imprecisa-mente definido influya en las demandascognitivas de las tareas.

Es importante analizar lo que signifi-ca la variable en la provamación enLogo desde el punto de vista del alum-no. Llevando a cabo un análisis conti-nuo de las situaciones en las que losalumnos emplearon variables para defi-nir procedimientos generales, hemosidentificado ciertas categorías de uso delas variables que nos proporcionan unmarco general para analizar la compren-sión que tiene el alumno de las ideas re-lacionadas con el álgebra en Logo.

I) Una variable como input de unprocedimiento.

E) La variable como factor Escalar.N) Más de una variable como input

de un procedimiento.

O) Variable input Operada dentrode un procedimiento.

F) Variable input para definir unaFunción matemática en Logo.

G) Superprocedimiento Generalque utiliza un subprocedimiento gene-ral.

R) Superprocedimiento RecursivoGeneral

A continuación describimos estas ca-tegorías:

I) Una variable como Input de unprocedimiento

En esta categoría, sólo incluimos si-tuaciones en las que no se ha operadocon la variable dentro del procedimien-to (Figura 3). Esta variable podía repre-sentar: (a) un número entero positivoen, por ejemplo, el número de «RE-PEATs»; (b) un número real en, porejemplo, un comando de distancia deángulo. Cuando los alumnos utilizanuna variante input están utilizando la va-riable como lugar o soporte para situarun conjunto de números. Al principiode la investigación partíamos de la hipó-tesis de que utilizar la variable de estamanera podría facilitar la comprensiónde la variable como dato general no co-nocido en álgebra.

FIGURA 3

TO TRIANGLE "SIDEREPEAT 3 [FD :SIDE RT 90]END

Procedimiento con una variable input.

108E) La variable input como un factor

Escalar

En este tipo de utilización, se emplea-ba la variante input para escalar todoslos comandos de distancia en un proce-dimiento de gráficos de tortuga. Estetipo de variable input puede ser utiliza-do por los alumnos como una forma degeneralizar un procedimiento fijo (figu-ra 4a) sin hacer explícitas las relacionesgeométricas internas al procedimiento.Al comienzo de la investigación tenía-mos la hipótesis de que sería conceptual-mente más fácil para los alumnos servir-se de la idea de que podían convertir unprocedimiento fijo en un procedimientogeneral escalando los comandos de dis-tancia que consideran que debían expli-car la relación general operando con unavariable input dentro de un procedi-miento. Cuando los alumnos utilizan elinput como factor escalar, pueden defi-nir un procedimiento general a partir deun procedimiento fijo sin tener que re-flexionar sobre las invariantes que inclu-ye su procedimiento.

FIGURA 4a

Variable comoFactor Escalar

<>"

TO TOM "SCALELT 90PUBK 90PDFD MUL SCALE 60LT 45FD MUL SCALE 20RT 90FE' MUL SCALE 20RT 90FD MUL SCALE 20RT 90FD MUL SCALE 20END

N) Más de una variable como inputde un procedimiento

Esta categoría se refiere a situacionesen las que los alumnos utilizan más deuna variable input en su procedimiento

(Figura 4b). Los inputs de variable pue-den añadirse a un procedimiento gene-ral para evitar tener que explicitar unadeterminada relación entre diversas va-riables. Pensamos que utilizar más de uninput de esta manera es conceptualmen-te más fácil que operar sobre una solavariable en el interior de un procedi-miento.

FIGURA 4b

Más de una variablecomo input

TO KITE "YT "HTRT 45FD YTRT 90FD YTRT 90FD YTRT 90FD YTBD YTRT 90FD YTRT 45FD HTENE'

O) La variable input Operada dentrode un procedimiento

En esta categoría la explicitación decualquier relación general entre las va-riables dentro de un procedimiento serealiza operando sobre uno o más inputsde variable dentro del procedimiento(Figura 4c). Para poder hacer tal cosa elalumno necesita identificar lo que es va-riable y lo que es invariante.

F) Variable input para definir unaFunción matemática en Logo

En esta categoría, un procedimientoactúa como una función matemática.Una variable es primero input y despuésse opera sobre ella dentro del procedi-miento y el output resultado del proce-

109FIGURA 4c

La variableoperada dentro

del procedimiento

o

TO SQUAN "NUMLT 135REPEAT 4[FD NUM RT 90]LT 135FD MUL NUM 3END

dimiento puede ser utilizado por otrafunción o comando Logo (Figura 7a).

G) Superprocedimiento General queutiliza un subprocedimientogeneral

Esta categoría se refiere a superproce-dimientos generales que utilizan sub-procedimientos generales (Figura 5). Esaquí importante considerar el uso de lavariable en el contexto de Logo comoun lenguaje de programación estructu-rado. Lo que significa que se pueden de-finir diversos estratos de subprocedi-mientos insertados o incluidos en otros.

FIGURA 5

TO LONG "SCALESTEPL :SCALEMOVE :SCALEO :SCALEMOVE :SCALEN :SCALEMOVE :SCALEEND

Supeiprocedimiento general.

R) Superprocedimiento RecursivoGeneral

Esta categoría hace referencia a super-procedimientos recursivos generales. Enel contexto de esta investigación losalumnos sólo utilizaron procedimientosrecursivos de cola (Figura 6).

FIGURA 6

TO CORRIDOR "DISTANCEFD :DISTANCERT 90CORRIDOR ADD :DISTANCE 1END

Procedimiento recursivo.

3. UTILIZACION DE LA IDEA DEFUNCION PARA ESTABLECERCONEXIONES ENTRE LASREPRESENTACIONES ENLOGO Y EN ALGEBRA

El Logo es un lenguaje de programa-ción funcional cuyo modelo subyacentees la idea matemática de función. Es po-sible definir y construir funciones, com-poner funciones e intervenir funcionesen Logo, que modelan el comporta-miento de las funciones en matemáticas.El siguiente ejemplo, basado en una fun-ción matemática elemental, nos puedeservir para ilustrar este punto. La nota-ción matemática empleada para las fun-ciones varía tanto históricamente comopedagógicamente y la Figura 7 represen-ta una función simple mediante un pro-grama Logo, un diagrama y la notaciónalgebraica.

Podemos considerar a todas ellascomo distintas representaciones de lamisma función. Un determinado domi-nio está asociado a esta función y pode-mos definir ese dominio tanto mediantela función matemática como mediante lafunción Logo. Y una sola imagen va aso-ciada a cada uno de los miembros de do-

FIGURA 7

TO ADDFOUR "X INOUTPUT ADD :X4 3END —2

1.5

OUT F(X) = X + 4—> 7

--> 2 orX—>X+ 4—> 5.5

FIGURA 7a FIGURA 7b FIGURA 7c

110minio. Para definir una función deLogo, es necesario utizar la idea de out-put. También podemos representar enLogo una función compuesta de talmodo que se ajuste a la representaciónalgebraica. Tanto en la representaciónalgebraica como en la de Logo, el hechode cambiar el nobre de las variables nocambia en sí la función. Así, por ejem-plo, en álgebra, H (y)= y-7 es la mis-ma función que H (w)= w-7 y enLogo:

TO H "y TO H "wOP :y - 7 es lo mismo que OP :w -7END

END

Así, aunque este artículo se centra enla comprensión por parte de los alum-nos de la variable y no de la función, de-cidimos, sin embargo, basar nuestrosmateriales para ayudar a los alumnos aestablecer conexiones entre la variableen Logo y la variable en álgebra, sobrela idea de función, dada la semejanza es-tructural entre las dos. El papel de la va-riable a la hora de definir las funcionesde Logo es parecido al papel de variableal definir las funciones algebraicas. Hi-potetizamos que la presentación de es-tos dos contextos semejantes a los alum-nos les ayudaría a establecer conexionesentre la variable Logo y la variable álge-bra. Todos los alumnos habían recibidounas cincuenta horas de programaciónde ordenador con gráficos de tortugaantes de trabajar en estas _tareas. Aunqueel propósito fundamental del material dela máquina de función era utilizar la se-mejanza entre la función Logo y la fun-ción en álgebra para ayudar a los alum-nos a establecer la conexión entre la va-riable en Logo y la variable en álgebra,perseguíamos otros objetivos secunda-rios, como:

— Extender el uso de la variable porlos alumnos a un contexto no gráfico enel que la variable representa un número.

— Hacer que los alumnos pasen de la.utilización de palabras para los nombresde variantes a letras aisladas, porque esoes lo que habitualmente encontraran enel mundo del álgebra.

— Generalizar a otros campos la ex-periencia de los alumnos en el empleode expresiones de variable «no cerradas»en Logo.

— Incitar a los alumnos al empleo denúmeros decimales y negativos y, con

ello, desarrollar su comprensión de quela variable puede representar todo un re-pertorio de números.

— Enfrentar a los alumnos con laidea de que cambiar el símbolo dentrode una función no implica cambiaraquello a lo que éste se refiere.

La experiencia de los alumnos con lamáquina de función, consistió en dos ac-tividades: a) una actividad basada en elordenador y b) una actividad «de papely lápiz».

a) Actividad basada en el ordenador

Trabajando por parejas, dimos a losalumnos una hoja de trabajo (Figura 8)y les pedimos que definieran una fun-ción aritmética simple. Esta era la pri-mera vez que cualquiera de los alumnosde la investigación empleaba la idea deoutput en Logo. La hoja de trabajo in-dicaba a los alumnos que utilizasen di-ferentes inputs para la máquina de «fun-ción». El papel de investigador/profesorera mantener a los alumnos trabajandoen la tarea. Se les pidió que experimen-tasen con toda gama de inputs (había-mos seleccionado específicamente deforma que incluyesen un número deci-mal y un número negativo, para ampliarasí la noción de los alumnos sobre «cual-quier tipo de número»). El investiga-dor/profesor también pedía a los alum-nos que utilizaran diversos tipos denombres para las variables, entre ellosnombres de una sola letra. He aquí unpar de ejemplos de algunos de los pro-cedimientos que se definieron:

TO LL "LOUTPUT MUL 1.5:LEND

(equivalente de x—>1.5 x)

T'O HAZEL "NUTOUTPUT DIV :NUT 3END

(equivalente de y—>y/3)

Cuando el investigador/profesor esta-ba sufucientemente seguro de que losalumnos habían comenzado a compren-der lo que significaba definir funcionessimples en Logo, se les daba una hoja enla que:

UNA MAQUINA DE FUNCION

Puedes usar el ordenador para hacer unamáquina de función. Por ejemplo, haz untipo de máquina «AÑADE CUATRO»(ADDFOUR).

Teclea los comandos para ADDFOUR. Noolvides teclear END.

Ahora prueba.

PRINT ADDFOUR 3PRINT ADDFOUR 12.5PRINT ADDFOUR —5

Ahora, haz tu propia máquina de función.También podrías utilizar:

ADD +. SUBTRACTMULTIPLY *. DIVIDE /

IN

OUT

TO ADDFOUR"NUMOP ADD 4 NUMEND

111FIGURA 8

Tarea de la máquina de función.

1. Se pedía a un miembro de cada pa-reja que definiese una máquina de fun-ción sin permitir que su compañero vie-se la función.

2. Se pedía al otro miembro de la pa-reja que pusiese números en la máquinade función para probar la función. Sepedía al «adivino» que dibujase un dia-grama como instrumento para resolverel problema (ver, por ejemplo, la Figu-ra 7b). Este «juego de adivinanza» erauno de los elementos claves de nuestromaterial, puesto que motivaba a ambos

TO MAT "PIGOUTPUT MUL 14 :PIGEND

alumnos a reflexionar sobre el procesointerno de la máquina de función.

3. Se pedía al «adivino», una vez quehabía resuelto la función, que definieseuna máquina de función idéntica. Paraimpedir que su compañero adivinase lafunción, los alumnos se veían en la ne-cesidad de elegir nombres de funcionesque no estaban conectados con el efectode la máquina.

4. Se pedía a los alumnos que se con-vencieran de que ambas funciones, defi-nidas por cada uno de ellos, eran idén-

TO MULRED "REDOUTPUT MUL 14:REDEND

Ambas son equivalentes en cuanto a z—>14z.

112ticas en estructura aunque los nombresutilizados pudiesen ser diferentes.

Al definir una función en Logo, lasintaxis de la representación es un ele-mento crítico. Aunque algunos de losalumnos encontraban al principio difícilde recordar la naturaleza específica de lasintaxis del Logo, el carácter práctico delas sesiones de Logo hizo que al final delas mismas, todos los alumnos pudierandefinir funciones simples mientras tra-bajaban en el ordenador. El juego de«adivinanza» desempeñó un papel im-portante a la hora de enganchar a am-bos alumnos en la actividad «palpable»de definir funciones. También propor-cionó la motivación para hacer que losalumnos reflexionaran sobre el procesoutilizando las funciones definidas porellos mismos. Antes de estar metidos enel juego de la adivinanza, los alumnostendían a no reflexionar sobre la relacióndel input y el output con la función de-finida. Resultaba además evidente que elhecho de escribir en papel el diagramatenía una clara influencia para incitar alos alumnos a reflexionar sobre el pro-ceso implicado en la definición de unafunción simple. El hecho de que losalumnos tuviesen para elegir cualquiernombre de variable y cualquier nombrede función, parece también haber sidoimportante desde el punto de vista de lamotivación. Además parece que losalumnos y sus compañeros encontrabansu propio ritmo de trabajo, de modoque, por ejemplo, algunos definieron rá-pidamente las funciones para todas lasoperaciones mientras que otros pasaronmás tiempo con funciones de adición.

Se presentaba primero la idea de má-quina de función a los alumnos por me-dio de un ejemplo escrito (ADDFOUR,Figura 8) y los alumnos generalizaronerróneamente a partir de este ejemplo.Todos ellos pensaron que el nombre(ADDFOUR) de la función del primerejercicio era significativo. Sólo cuando eljuego de adivinanza les empujó a cam-biar el nombre, se dieron cuenta de quepodría utilizarse cualquier nombre.También utilizaron el mismo nombre devariable (p.e. NUM) que se les dio en lahoja hasta que el investigador les instóa elegir cualquier nombre.

b) Material de «papel y lápiz»

Aproximadamente un mes después deque los alumnos hubiesen realizado latarea práctica de función se les puso a

trabajar fuera del ordenador en una se-rie de tareas de «papel y lápiz». A todoslos alumnos se les daba la misma hojade trabajo inicial y trabajaban luego so-bre ella a su propio ritmo. La tarea eradel tipo siguiente:

I. Hojas de trabajo (ver, por ejemplo,la Figura 9) que llevaban a los alumnosa escribir funciones Logo a partir de unaserie de diagramas. (El objetivo perse-guido era consolidar la conexión entreel diagrama y la representación Logo).

2. Una hoja de trabajo en la que sedaba a los alumnos las equivalencias en-tre la notación de Logo y la de álgebray se les indicaba que hiciesen algunasequivalencias más ellos mismos.

3. Hojas de trabajo que pedían a losalumnos que escribiesen tanto la repre-sentación en Logo como en álgebra deciertos diagramas dados.

Cuando los alumnos completaban es-tas tareas se les pedía que escribiesen lasrepresentaciones en álgebra, en las hojasde trabajo que ya habían completadodesde una perspectiva Logo. La relaciónentre la representación final en álgebrade los alumnos y su representación ori-ginal en Logo, se ha utilizado como basepara analizar si los alumnos establecíano no conexiones entre las dos represen-taciones.

Se decía a los alumnos que podían co-mentar la tarea con otros alumnos(puesto que el propósito de la tarea eraestablecer conexiones entre las represen-taciones y- no comprobar si los alumnosconocían la función). Los alumnos dis-cutían libremente entre sí la naturalezade la función representada en el diagra-ma. Pero a pesar de esta libre discusiónlos alumnos utilizaban notaciones dife-rentes para representar las mismas fun-ciones. El papel del investigador/profe-sor consistía en mantener a los alumnostrabajando en la tarea. Los alumnos ter-minaron la tarea en una sesión de unahora.

Vista la consistencia de las represen-taciones en álgebra y Logo de Sally, Ja-net, Asim y George, en respuesta a lastareas «de papel y lápiz», parece clara-mente evidente que habían establecidoconexiones entre las representaciones defunción en Logo y en álgebra. Había al-guna evidencia y a juzgar por las modi-ficaciones que Linda y Shahindur hicie-ron en sus representaciones de Logo trashaber escrito sus representaciones en ál-

¿Puedes probar las máquinasde función para las siguientestablas de números?

IN OUT 1

e2 —> 12 1

7 --> 17 1

—3 —> 7135 —> 235

IN OUT

4 —> 824 --> 64

7 —> 119 --> 13

IN OUT

3 —> 865 --> 115

155 --> 235 ADOFIVE "COP ADO 5 CEND

Esta tabla de números estáproducida por esta máquina

de función.

113FIGURA 9

Tarea de máquina de función «de papel y lápiz».

gebra, parece haber cierta evidencia deque estaban empezando a establecer co-nexiones entre las dos representaciones.No tenemos ninguna evidencia, en cam-bio, de que Ravi y Jude hubiesen esta-blecido ninguna conexión entre las dosrepresentaciones.

4. ANALISIS DE LACOMPRENSION DE VARIABLEPOR PARTE DE LOSALUMNOS

Para analizar la comprensión de la va-riable por parte de los alumnos nos he-

mos establecido las siguientes catego-rías:

— Aceptación de la idea de la varia-ble.

— Comprensión de que se puede uti-lizar cualquier nombre de variable.

— Comprensión de que un nombrede variable puede representar toda unagama de números.

— Aceptación de la «falta de clausu-ra» en una expresión.

— Comprensión de que diferentesnombres de variable pueden representarel mismo valor.

— Capacidad para establecer una re-

114lación de segundo orden entre las expre-siones de la variable.

— Capacidad de utilizar variablespara formalizar un método general.

De cara a demostrar nuestras tesis (lacomprensión por parte de los alumnosde la variable tanto en Logo como en ál-gebra) se les hizo a todos una entrevistaindivididual estructurada al final del ter-cer año de investigación. Además, losalumnos visitaron los laboratorios de launiversidad para llevar a cabo de formaindividual las tareas diseñadas para in-vestigar su comprensión en la variableen Logo. Presentamos a continuaciónlos resultados de tareas de laboratorioindividuales y de la entrevista estructu-rada.

A partir de los items de la entrevistaestructurada, los datos transcritos y lastareas individuales de laboratorio, pode-mos extraer la evidencia de la compren-sión de la variable en Logo por parte delos alumnos, mientras que la compren-sión de la variable en álgebra sólo pode-mos inferirla a partir de los datos de laentrevista estructurada.

Tareas individuales de laborato-rio. Al final del período de investiga-ción todos los alumnos participantes pa-saron un día trabajando individualmen-te en tareas específicas de Logo. Estastareas eran la tarea del «cuadro varia-ble», la tarea del «pirulí» (Figura 4) y latarea «de la fila de cuadros decrecientes(Figura 10).

En la Tabla 1 se presenta una visiónde la solución de los alumnos a estas ta-reas de acuerdo con las categorías expli-cadas en la sección dos del artículo. Nofue sorprendente encontrarnos con quela experiencia práctica de los alumnos enla utilización de la variable Logo influíadirectamente en sus soluciones a estastareas. La Tabla 2 presenta una visión deconjunto de la utilización por los alum-nos de la variable a lo largo de los tres

años del proyecto. Shahidur y Ravi re-solvieron las tres tareas utilizando la va-riable como factor escalar, lo que seajustaba a lo que había sido su experien-cia predominante en el uso de la varia-ble. Linda, o bien utilizó la variantecomo un factor escalar o bien, en el casodel pirulí, definió dos procedimientosseparados, uno para el «palo» y otropara el «dulce», cada uno de ellos conun input. Pero no intentó combinar porsí misma estos procedimientos en un su- •

perprocedimiento. Sally, Janet, Asim yGeorge no utilizaron la variable comoun factor escalar como medio para re-solver ninguna de estas tareas. SóloGeorge, Asim y Jude resolvieron la ta-rea operando sobre una variable. La evi-dencia que podemos extraer de los da-tos transcritos indica que los alumnos obien ignorarán una razón dada, o bien«la simplificarán, reduciéndola a una ra-zón de «dividir por la mitad y doblar»a menos que se les diga específicamenteque no lo hagan así. Esto indica que senecesita prestar más atención al diseñode tareas en las que es necesario operarsobre una variable para resolver la tarea.Y se sugiere que sólo cuando los alum-nos son capaces de utilizar la variable enla categoría «Variable input Operadadentro de un procedimiento» es cuandohan roto realmente con el pensamientoaritmético y pasado al algebraico (Fi-lloy, Rojano 1987) en el contexto deLogo.

La entrevista estructurada. Paracomprobar la comprensión por parte delos alumnos del estudio, de las ideas re-lacionadas con el álgebra tanto en Logocomo en el álgebra de «papel y lápiz» sehizo a todos los alumnos del estudio unaentrevista estructurada que incluía tareasde «papel y lápiz». En la entrevista seles pidió:

— Hacer una generalización y for-malizarla en un contexto de álgebra.

FIGURA 10

Escribe un procedimiento para dibujar la siguiente figura.Prueba ahora tus ideas en el ordenador.

Tarea de los cuadrados decrecientes.

115TABLA 1

Tareas del Día de trabajo en la Universidad

Tarea delcuadrado variable

Tarea de la filade cuadradosdecrecientes

Tarea del pirulí

Sally I) Una variable input G) S up e rp r o cedi- N) Más de un inputmiento general

O) Variable sobre laque se opera

Asim

George

Janet

Jude

Ravi

Linda

I) Una variable input

I) Una variable input

S) Variable como fac-

I) Una variable input

I) Una variable input

G) Superprocedi-miento general

O) Variable sobre laque se opera

No se utilizó input

I) Una variable input(para subprocedi-miento).

O) Variable sobre laque se opera

O) Variable sobre laque se opera

N) Más de un input(no relacionados)

I) Una variable input I) Una variable input N) Más de un input(para subprocedi- (no relacionados)miento)

I) Una variable input I) Una variable input O) Variable sobre la(para subprocedi- que se operamiento)

S) Variable como untor escalar factor escalar

Shahidur S) Variable como fac- S) Variable como un S) Variable como untor escalar factor escalar factor escalar.

— Hacer una generalización y for-malizarla en un contexto Logo.

— Contestar preguntas de álgebra(relativas al significado de la notación enletras) extraídas del «Proyecto sobreConceptos en Matemáticas y Cienciasde Enseñanza Secundaria» (ver, porejemplo, Figuras 11 y 12a).

— Contestar las preguntas Logo re-lativas al significado de los nombres dela variable (ver, por ejemplo, Figu-ra 12b).

— Representar una función tanto enLogo como en álgebra.

Entrevistamos además a un grupo dealumnos similares a los del estudio an-terior, para contar con otro punto devista desde el que analizar las respuestasde los alumnos de la investigación a lositems relativos al álgebra de la entrevis-ta estructurada. Este grupo se denomi-nó grupo de comparación. El colegioutilizado para la investigación cuenta

FIGURA 11

Parte de esta figura no está dibujada.Hay «n» lados en total, todos ellos de longitud 3.¿Cuál es el perímetro de esta forma?p=

Pregunta de álgebra de »Conceptos en la Enseñanza Secundaria de Matemáticas yCiencias».

Alumno 1 Alumno 2 Alumno 3 Alumno 4 Alumno 5 Alumno 6 Alumno 7 Alumno 8Sally Asim George Janet Jude Ravi Linda Shahidur

4 2 1 4 2 0 2 1

3 5 4 3 4 3 7 7

3 3 3 3 0 0 3 0

6 6 6 6 1 0 1

2 3 3 2 3 0 4

2 3 3 2 o o

2 2 2 4 1 2 3 2

Categoría deuso

I) Un input

S) Factor escalar

N) Más de un input

O) Variable sobre laque se opera

G) Input parasuperprocedimientogeneral consubprocedimientovariable

R) Procedimientorecursivo

C) Input a unafunciónmatemática

116TABLA II

Número de sesiones en las que los alumnos de la investigación han utilizadola variable en su programación de Logo

con centros en la etapa de 11-14 añoscuyos alumnos pasan a un centro únicoa partir de los 15 años, en los cursos su-periores. Los dos centros de enseñanzaprivada se encuentran en distintos luga-res y no hay contacto entre sus respec-tivos alumnos. Ninguno de los alumnosdel centro del nivel de primaria que noparticipaba en el estudio había utilizadoel Logo. Las clases de matemáticas enambos centros son clases de capacidad

mixta, es decir, no se subdivide a losalumnos por su capacidad o nivel. Elgrupo de alumnos de comparación seextrajo del centro de primaria que noparticipaba en la investigación. Losalumnos fueron escogidos de acuerdocon su rendimiento en matemáticas deforma que fuesen semejantes a los alum-nos del estudio en lo que respecta al ni-vel SMILE (4).

En esta sección comentaremos los re-

FIGURA 12

A) ¿Cuándo es cierto lo siguiente?

L+M+N=L+P+N

Siempre, nunca, algunas veces, cuando...

B ¿Cuándo dibujarán estos comandos

Logo una línea de la misma longitud?

1:FTO UNES "L "M "N "PD :L FD :M FD :N

RT 90D :L FD :P FD :N

END

Siempre, nunca, algunas veces, cuando...

Pregunta de álgebra y relativa al Logo del CSMS.

117sultados de las entrevistas estructuradastanto desde el punto de vista de la com-prensión de la variable en Logo por par-te de los alumnos de la investigacióncomo desde el punto de vista de su com-prensión en el álgebra de «papel y lá-piz». La Tabla 3 presenta una visión deconjunto de los resultados de la entre-vista estructurada tanto de los alumnosde investigación como de los del grupode comparación.

Se consideraba que la aceptación de laidea de variable estaba presente si losalumnos aceptaban de buen grado laspreguntas de la entrevista estructurada.Todos los alumnos de la investigaciónaceptaron la idea de variable en las pre-guntas de álgebra «de papel y lápiz».Esto .contrasta con el hecho de que sólotres de siete alumnos del grupo de com-paración aceptasen la idea de variable enel álgebra «de papel y lápiz». Cuatro delos ocho alumnos de la investigaciónnunca habían dado álgebra en sus lec-ciones «normales» de matemáticas y sesugiere que la experiencia de variable enLogo ha proporcionado a estos alumnosun marco general a partir del que pue-den comenzar a desarrollar su compren-sión. No debería infravalorarse el hechode que Logo haya proporcionado a es-tos alumnos una experiencia positivacon el concepto de variable y sugerimosque esta comprensión sólo se desarrollamediante la aceptación desde el princi-pio y luego el uso de una idea.

Comprender que se puede utilizar

cualquier nombre para una varia-ble. Antes de que los alumnos puedanutilizar y manipular una variable ten-drán que denominarla. Nuestra investi-gación nos permite afirmar que en losprimeros contactos del alumno con lavariable, atribuye demasiada importan-cia al nombre de la variable. Por unaparte, elegir un nombre significativo es-timula a los alumnos a aceptar el obje-to, pero, por otra, ese nombre significa-tivo lleva a los alumnos a pensar que po-see algún significado y algún poder. Su-gerimos, por tanto, que es necesario in-citar específicamente el alumno a em-plear toda su gama de nombres de va-riable, incluyendo nombres «absurdos»(que ellos saben que no tienen significa-do) y nombres abstractos y de una solaletra (que ellos utilizan en su trabajo deálgebra).

Comprender que el nombre de unavariable representa una cadena de nú-meros. Si discutimos con los alumnosel significado de una variable Logo, susrespuestas son de este tipo: «el tamañode lo que va a ser», «SIDE representa lolejos que quiere hacer que vaya», «conSCALE puedes saber que puedes hacer-lo tan grande o pequeño como quieras».Los alumnos perciben el nombre de lavariable como soporte o envase para unnúmero general. Aunque, por lo que pa-rece, al hacerlo los alumnos trasladan sucomprensión matemática del número ala situación de Logo, lo que significa quela idea que tiene el alumno de «gama de

TABLA

Clasificación de las respuestas de los alumnos del estudio del grupo de comparacióna la entrevista estructurada.

Comprender que elnombre de la varia-

Aceptación de la ble representa una«idea. de la variable serie de números

Capacidad para es-Comprender que tablecer una.los distintos nom- relación de segundobres de la variable orden entre las

Aceptación de la pueden representar expresiones de lafalta de clausura el mismo valor vanable dependiente

Logo Algebra Logo Algebra Logo Algebra Logo Algebra Logo Algebra

Alumno 1 • • NI • • u **** • El O O O

Alumno 2 • • u ** u • • II O O u o o O

Alumno 3 • • • • • • O • o O o O OAlumno 4 • • O • • O • • 0 • O 0 O O ElAlumno 5 • O O • O O • O El O O O O O OAlumno 6 • O • O — • O O o O o —Alumno 7 • • El • • O • O O • o O O O ElAlumno 8 • • O • • 0 • • O O O O O O O

• Estudio-clasificación positiva • Grupo de comparación-clasificación positivaO Estudio-clasificación negativa O Grupo de comparación-clasificación negativa

Nota: El grupo de comparación sólo contestó las preguntas relativas al álgebra. El alumno 6 del grupo de comparación es-taba ausente el día de la evaluación.

118números» puede ser muy restringida (li-mitándose, por ejemplo, a números en-teros positivos). Al menos la mitad delos alumnos de nuestra investigación semostraron reacios a utilizar decimales enLogo. (La tarea de «Las letras crecien-tes» tenía un especial valor para que losalumnos utilizasen decimales y gracias asu implicación en ella vencían su resis-tencia a utilizar números decimales).Seis de los ochos alumnos de la investi-gación llegaron a trasladar al contextodel álgebra su comprensión de que elnombre de una variable puede represen-tar toda una gama de números. Las evi-dencias disponibles que provienen de lainvestigación citada «Conceptos en laEnseñanza Secundaria de Matemáticas yCiencias» y de las respuestas del grupode comparación (Tabla 3) sugieren queno era esperable que Janet, Linda y Sha-hidur, en concreto, pudieran alcanzaresta comprensión. Nosotros sugerimosque la comprensión que muestran en elcontexto del álgebra se deriva de su ex-periencia con Loo. Los dos alumnosque no respondieron positivamente,Jude y Ravi, tuvieron una experienciamuy limitada con el concepto variableen Logo (ver Tabla 2) y tampoco esta-blecieron conexión alguna entre las re-presentaciones de función en Logo y enálgebra, mientras realizaban las tareas de«la má9uina de función».

Shahidur tuvo alguna dificultad con lapregunta de la citada investigación(C.E.S.M.C.): «si John tiene J canicas yPeter tiene P canicas, ¿qué tienen entrelos dos?» y su respuesta indica el carác-ter transitorio de la comprensión quehabía logrado. Tras escribir 9 como so-lución, dio la siguiente explicación:

Shahidur: «porque John empieza conJ y John tiene cuatro letras y Peter tienecinco letras».

Investigador: «¿por qué piensas que Prepresenta cinco?»

Shahidur: «porque me preguntabapor qué habían puesto una J y una P».

Investigador: «¿y si se llamaran Q yR?»

Con esta sugerencia inmediatamenteescribió Q + R. Shahidur no es unalumno con experiencia en álgebra y surendimiento en matemáticas es muybajo. A pesar de estas circunstancias susrespuestas a las preguntas de los «Con-ceptos de matemáticas y Ciencias de Se-cundaria» (C.S.M.S.) son muy notables.Cuando le presentamos el problema del

perímetro (figura 11), escribió 2 x ncomo solución. Cuando se le pidió queexplicase su solución dijo: «porque sutamaño es 2... y hay n de ellos, por tan-to 2 veces n será la respuesta.»

Aceptación de «falta de clausu-ra». Todos los alumnos del estudioaceptaron la falta de «clausura» en unaexpresión Logo. Efectivamente, si loscomparamos con el grupo de control,más alumnos del grupo experimental delos que cabría esperar aceptaron la faltade clausura en el contexto de álgebra, loque nos sugiere que ello se debe a su ex-periencia con este tipo de expresión enLogo.

Comprensión de que diferentes nom-bres de una variable pueden representarel mismo valor. Para comprobar lacomprensión por parte de los alumnosde si el nombre diferente de la variablepuede representar el mismo valor o no,se les plantearon los siguientes proble-mas en Logo y en álgebra (aunque con-secutivamente):

Sólo Sally respondió acertadamente aambos items, pero cuatro de los ochoalumnos del estudio respondieron acer-tadamente al item de Logo. Lo que noslleva a deducir que la experiencia conLogo de los alumnos era suficiente paraque extrajeran una adecuada compren-sión en un contexto de Logo, pero noera aún lo suficientemente general paraque utilizasen esta comprensión en uncontexto de álgebra «de papel y lápiz».

Capacidad para establecer una rela-cion de segundo orden entre expresionesdependientes de la variable. Ningunode los alumnos de la investigación pudocontestar correctamente a la pregunta deálgebra del C.E.S.M.C.: «¿qué es mayor2n o n + 2? Explícalo... «ni a la pregun-ta Logo relacionada con esta. Küche-mann mantiene que «una característicaimportante de estas relaciones es que lospropios elementos de la relación sontambién relaciones, por lo que podemosllamarlas «relaciones de segundo orden»(Küchemann, 1981). Este autor mantie-ne que sólo cuando los alumnos hancaptado esta noción han comprendidobien la idea de variable. El análisis quehemos realizado de los datos nos indicaque ninguno de los alumnos ha llevadoa cabo ninguna de las tareas de Logo re-lativas a esta noción. Posteriormenterealizamos un estudio con alumnos dediez-once años en el que éstos partici-paban en tareas diseñadas por el profe-sor centradas específicamente en esta

119idea. Sus resultados muestran que si losalumnos utilizan esa noción durante sutrabajo práctico con Logo, llegan a sercapaces de desarrollar una buena com-prensión de la relación existente entredos expresiones dependientes de la va-riable (Shutherland, 1988).

Capacidad de emplear la variablepara formalizar un método gene-ral. Las dificultades de los alumnoscon el álgebra provienen a menudo delos métodos informales que emplean enaritmética. Pero dentro del contexto delLogo e interactuando con el ordenador,los alumnos son capaces de desarrollarsu comprensión intuitiva de modelos ylas estructuras, hasta el punto en quepueden llegar a establecer una generali-zación y a formalizar esa generalizaciónen Logo. Particularmente, para algunosalumnos la interacción con el ordenadorparece desempeñar un papel crucial paradesarrollar su comprensión de un méto-do general.

5. CONCLUSIONES

Aunque esta investigación se ha rea-lizado con un pequeño número de alum-

nos los resultados indican que, dado uncierto nivel de experiencia con la varia-ble en Logo, los alumnos llegan a ser ca-paces de utilizar las ideas derivadas delLogo para resolver problemas similaresde álgebra de «papel y lápiz». Sin em-bargo, los alumnos no establecerán ne-cesariamente las conexiones por sí mis-mos. Nuestra investigación demuestraque materiales tales como la «máquinade función» ayudaban a los alumnos aestablecer estas conexiones entre amboscontextos, aunque en la situación nor-mal de clase podrían hallarse muchasmás oportunidades para que el profesorcomente las semejanzas y diferencias en-tre la variable en Logo y la variable enálgebra.

Creemos que son necesarias más in-vestigaciones para lograr buenas situa-ciones problema en álgebra que motiveny estimulen a los alumnos que ya hanexperimentado la variable en un contex-to de Logo. Un problema que quedapendiente para futuras investigaciones esel de dilucidar cómo debería cambiar elcurrículum de álgebra para tener encuenta la experiencia del alumno con elconcepto de variable en Logo.

Notas' El currículo de matemáticas es el SMILE (Secondary Mathematics Individualised Lear-

ning Experiment), Experimento de Aprendizaje Individualizado de Matemáticas para Ense-ñanza Secundaria. En este esquema cada alumno trabaja en su propio nivel individual. Puedeutilizarse este nivel como medida del rendimiento del alumno en el sistema.

Pudimos recoger datos sobre dos parejas mixtas, niño-niña a lo largo de los tres añosde la investigación. Sin embargo, tras dos años se decidió que la pareja niño/niña no trabajabajunta de forma productiva y esta pareja se cambió a un pareja de niñas. Los dos alumnos quepertenecían a la pareja de rendimiento más bajo dejaron el colegio tras el primer año de in-vestigación y se escogió otra pareja. Después, un miembro de esta nueva pareja se marchó alfinal del segundo año de investigación. (Aunque no es el tema central de esta investigación,es interesante destacar las considerables dificultades encontradas a la hora de tratar de seguira los alumnos de rendimiento más bajo.)

He aquí una visión global de los años en que cada alumno tomó parte en el proyecto:

Año 1 Año 2 Año 3

Alumno 1 (Sally)Alumno 2 (Asim)Alumno 3 (George)Alumno 4 (Janet)Alumno 5 (Jude)Alumno 6 (Ravi)Alumno 7 (Linda)Alumno 8 (Shaidur)

Las parejas de trabajo eran:

• Sally y Janet • Linda y Jude• George y Asim • Ravi y Shaidur

1203 Los alumnos del estudio trabajaron con Logo RML, que no posee operadores aritmé-

ticos infijos. En el Logo RML la tortuga señala horizontalmente a la derecha en la posiciónde punto de partida. Todos los procedimientos Logo de este artículo se han dado con LogoLCSI utilizando operadores de prefijo. Los operadores de prefijo utilizados son: ADD parasuma, SUB para resta, MUL para multiplicación, DIV para división.

Como parte del programa de intervención «Conceptos de Matemáticas y Ciencias Se-cundaria» (Concepts in Secondary Mathematics and Science), se evaluó a casi mil alumnos desecundaria de más de catorce años de edad en cuanto a sucomprensión del álgebra (aritméticageneralizada) (Küchermann, 1981). Hemos tomado de este estudio los items de álgebra «depapel y lápiz» utilizados para evaluar a los alumnos de nuestra investigación y a los del grupode control.

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Datos sobre la Autora

Rosamund Sutherland realiza su trabajo de «investigación» en el Instituto deEducación de la Universidad de Londres. (20 Badford Way, London, WC 1 HOL England.)