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1
Encontrar raíces de funciones es uno de los
problemas más comunes en ingeniería
Los métodos numéricos para encontrar raíces de
funciones son utilizados cuando las técnicas
analíticas no pueden ser aplicadas.
Esto último depende, en gran medida, de la naturaleza de la función f(x).
Clase 6 2
Clase 6 3
32 VVVRTPV
C
f
kf )
8ln(Re
12
0)1(
qFFz
i
iji
0)( xf
En general puede representarse por :
Clase 6 4
y = f(x)
x
0)( xf
0
Solución
Dada una función f(x)
Se trata de hallar un valor x*
tal que : f(x*)=0
Es decir, encontrar las soluciones de la ecuación
f(x) = 0
Este procedimiento será más o menos
complicado dependiendo de la expresión algebraica de la función f(x).
Clase 6 5
Solución Iterativa
A partir de un valor inicial x0
Se genera una secuencia
x0, x1, x2, x3, ….. Xn
Clase 6 6
*lim/ xxn
x nn
Clase 6 7
Raíces de Funciones:
Conceptos básicos
Error del método
Restricciones
a) x* se sitúa dentro de
b) Hay una sola raiz en I
Clase 67
*xxE nn
CxfxfbaI )()(,
)( * Rx
Estimar un valor inicial para la
solución buscada
Usar una fórmula para actualizar
(acelerar) la solución aproximada
Usar un criterio para detener el
proceso de actualización
Clase 6 8
Clase 6 9
Inicio
Aproximaci
ón Inicial
Fórmula de
Actualizació
n
Converg
e?Fin
NO
SI
Métodos Iterativos
Conceptos Básicos
Debe distinguirse entre el proceso
iterativo completo y la fórmula de
actualización
La verificación del término
“Satisfactorio” del proceso es esencial y
debe Anticipar todas las posibles salidas
del método iterativo
Debe incluirse test de validación de la
consistencia de datos
Clase 6 10
Criterios de convergencia
› Error Absoluto
› Error Relativo
Clase 6 11
)(xf ii xx 1
)(
)()( 1
i
ii
xf
xfxf
i
ii
x
xx 1
Existen muchos métodos para hallar raíces de funciones:› Método de Bisección
› Método de Newton-Raphson
› Método de la Secante
› Método de Método de la Regla Falsa (Regula Falsi)
› Método de Punto fijo
› Método de Wegstein
Todos estos métodos comparten las mismas características:
Clase 6 12
La búsqueda de la raíz se inicia en:
› un intervalo conocido donde se
encuentre la raíz o,
› un punto inicial cercano a la raíz.
La raíz encontrada es una aproximación a la raíz
Clase 6 13
Clase 6 14
Encuentra la raíz de una función dado un
intervalo
Se basa en el teorema de Bolzano:
Teorema de Bolzano:
Si f(x) es una función continua en el intervalo
[a, b], y si, además, en los extremos del
intervalo la función f(x) toma valores de signo
opuesto (f(a)*f(b) < 0), entonces existe al
menos un valor c (a, b) para el que se
cumple: f(c) = 0.
Método de la Bisección:
1. Establecer:
f(x): función a la cual se le busca una raíz.
[a, b]: intervalo para iniciar la búsqueda
> 0 : margen de error
2. Calcular:
c = (a+b)/2
si |f(c)| < entonces,c es la raíz, finalizar.
de lo contrario, si f(a)*f(c)<0 entonces,
b = cde lo contrario,
a = c
3. Repetir el paso 2 hasta que se finalice.
Clase 6 16
Y
X
Existe una raíz en el intervalo [a, b] ya que f(a)*f(b) < 0 (Teorema de
Bolzano)
y = f(x)
ab
c
Sea c = (a+b)/2. Si f(c) = 0 entonces c es la raíz, de lo contrario, la raíz se
encuentra en el intervalo [a, c] si f(a)*f(c) < 0 ó en el intervalo [c, b] si
f(c)*f(b) < 0.
a
Como la raíz se encuentra en el intervalo [c, b] porque f(c)*f(b) < 0,
entonces cambiamos el valor de a por el de c.
c
Volvemos a calcular c = (a+b)/2. Si f(c) = 0 entonces c es la raíz, de lo
contrario, la raíz se encuentra en el intervalo [a, c] si f(a)*f(c) < 0 ó en el
intervalo [c, b] si f(c)*f(b) < 0.
Como la raíz se encuentra en el intervalo [a, c] porque f(a)*f(c) < 0,
entonces cambiamos el valor de b por el de c.
bc
Volvemos a calcular c = (a+b)/2 y repetimos el proceso hasta que se obtenga
la raíz.
Clase 6 17
Ejemplo:
Hacer un programa en MATLAB que permita obtener la raíz de la función por el Método de la Bisección:
604.0)9.0(
1
01.0)3.0(
1)(
22
xxxf
Clase 6 18
Ejemplo: La función
604.0)9.0(
1
01.0)3.0(
1)(
22
xxxf
Clase 6 19
)´(
)(
0
001
Xf
XfXX
)´(
)(
1
112
Xf
XfXX
1,)(́
)(
1
11
n
Xf
XfXX
n
nnn
Clase 6 21
y = f(x)
Y
X
Aproximación inicial: X0La aproximación X1 es la intersección con el eje X de la línea tangente a la gráfica
de f en (X0, f(X0))
X1 X0X2
La aproximación X2 es la intersección con el eje X de la línea tangente a la gráfica
de f en (X1, f(X1))
Cuál es el valor
aproximado
para la raíz?
1,)(́
)(
1
11
n
Xf
XfXX
n
nnn
Clase 6 22
La anterior función corresponde a la intersección de la recta tangente de f(x) en Xn-1 con el eje
de las X.
Dicha intersección, llamada Xn, corresponde a
una aproximación de la raíz para la función f(x), cuando f(Xn)=0 ó f(Xn) ≤ epsilon
Este método no siempre es convergente.
Clase 6 23
El método es atrapado por una raíz imaginaria de la función f(x):
Clase 6 24
Cuando la raíz es un Punto de Inflexión: f’’(x)=0
Clase 6 25
El método “cae” en un punto máximo ó mínimo (o
en sus cercanías):
Clase 6 26
Método de Newton-Raphson:Algoritmo
f(x): función cuya raíz se va a encontrar.
f’(x): derivada de f(x)
X0 : punto de inicio partir del cual se va a iniciar el
proceso.
2. Si f(X0)=0 entonces la raíz es X0,
de lo contrario:
Calcule X1 mediante la ecuación:
haga X0 igual a X1.
3. Repetir el paso 2 hasta que |f(X0)| ≤ epsilon
4. Mostrar X0
)´(
)(
0
001
Xf
XfXX
Clase 6 27
Ejemplo:
Hacer un programa en MATLAB que permita obtener
la raíz de la función por el Método de Newton-Raphson: 6
04.0)9.0(
1
01.0)3.0(
1)(
22
xxxf
Clase 6 28
Ejemplo: La función
604.0)9.0(
1
01.0)3.0(
1)(
22
xxxf
Clase 6 29
Ejemplo: La derivada
2222 04.0)9.0(
)9.0(2
01.0)3.0(
)3.0(2)(
x
x
x
xxf
Parte de un intervalo [x0,x1]
Estima la pendiente de la recta que une los extremos del intervalo como:f’(x0)=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)
Sustituye f’(x0) en el método de Newton para calcular la nueva raíz como:
Los dos últimos puntos obtenidos x1, x2 se emplean en la iteración siguiente.
)()(
))((
01
01002
XfXf
XXXfXX
Clase 6 30
Clase 6 31
Secante
)()(
))((
1
11
ii
iiiii
XfXf
XXXfXX
Clase 6 32
Método de falsa posición
x2
x1
f(x2)
f(x1)
x3
Este método considera cual límite
del intervalo está más próximo a la
raíz.
De la figura
13
1
23
2
xx
xf
xx
xf
12
12113
xfxf
xxxfxx
Despejando
f(x3)
1
1111
xfxf
xxxfxx
i
ii
Clase 6 33
Encontrar la raíz de la función, por los métodos de la secante y falsa posición:
040138.667 146843.0 xe
xxf
Clase 6 34
Iteración de punto fijo
Un punto fijo de una función g(x) es un número p tal que
g(p) = p.
En general, la función f(x)=0 puede escribirse como
x=F(x)
Dado un problema f(x) = 0, se puede definir una función
F(x) con un punto fijo en x de diferentes maneras.
x3 + 4x2 –10 = 0
x = F1(x) = x + x3 + 4x2 -10
x = F2(x) = ½(10 – x3)½
Clase 6 35
Punto Fijo : Solución
y = g(x)
y
x
y = x
x*
F(x*)
Clase 6 36
Gráfica del algoritmo de
punto fijo
y = g(x)
y
x
y = x
x0
x1= F(x0)
x3 x2x1
x2= F(x1)
x3= F(x2)
y = g(x)
y
x
y = x
x0
x1= F(x0)
x2x1
x2= F(x1)
x3= F(x2)
Clase 6 37
Casos de no convergencia
y = g(x)
y
x
y = x
y = g(x)
y
x
y = x
Clase 6 38
Ejemplo
Sea la función: x3 + 4x2 –10 = 0 tiene una raíz en [1, 2]
Puede despejarse en:
a. x = F1(x) = x – x3 – 4x2 +10
b. x = F2(x) = ½(10 – x3)½
c. x = F3(x) = (10/(4 + x))½
d. x = F4(x) = x – (x3 + 4x2 – 10)/(3x2 + 8x)
Clase 6 39
Teorema de punto fijo
Si g C [a, b] y g(x) C [a, b] para toda x C [a, b], además
supongamos que existe g’(x) en (a, b) y una constante positiva k<1
cuando
|g’(x)| <= k, pata toda x (a, b),
Entonces, para cualquier punto p0 en [a, b] la sucesión definida por
pn = g(pn–1), n >=1
Converge en el único punto fijo p en [a, b].
Clase 6 40
Análisis del ejemplo
Caso (a)
g1(x) = x – x3 – 4x2 +10
g1’(x) = 1 – 3x2 – 8x
g1’(1) = – 11, g1’(2) = – 28
No se cumple |g1’(x)| <1
Caso (b)
g2(x) = ½(10 – x3)½
g2’(x) = – 3/4x2(10 – x3)–½
g2’(1) = – 0.25, g1’(2) = – 2.1213
No se cumple |g1’(x)| <1
Caso (c)
g3(x) = (10/(4 + x))½
g3’(x) = (– 5/3.16)(4 + x)–1.5
<= (– 5/3.16)(5)–1.5 <= 0.15
Para toda x en [1, 2]
Caso (d)
g4(x) = x – (x3 + 4x2 – 10)/(3x2 +
8x)
Se cumple |g4’(x)| es aún menor
que en el caso (c) para toda x en
[1, 2]
Clase 6 41Clase 641
Clase 641
Metodo Wegstein
y = F(x)
y
x
y = x
F(x0)
F(x1)
x2x1x0
)(xFx
0x Valor inicial
)( 01 xFx
iii xtxFtx )1()(1
st
1
1
1
1)()(
ii
ii
xx
xFxFs
Clase 6 42
Tarea
17. Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de
semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se llena de agua hasta una
distancia h de la parte superior, el volumen V de agua es
V = f(r,h)
Escriba un programa en MATLAB amigable para el usuario que lea los datos
de este problema y encuentre la profundidad h del abrevadero. Utilice el
método de Wegstein para encontrar la solución.
h
r
L
Clase 6 43
MÉTODOS NUMÉRICOS
Sistemas de ecuaciones no lineales
f1(x,y)=0
f2(x,y)=0
Clase 6 44
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
f1(x, y)=0
f2(x, y)=0
x
y
x*
y*
Clase 6 45
SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
-2
0
2
4
6
8
10
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
2x xy 10
2y 3xy 57 (2, 3)
Clase 6 46
810),( 22
1 yxxyxf
Clase 6 47
810),( 2
1 yxxyyxf
Clase 6 48
Clase 6 49
Clase 6 50
MÉTODO DE PUNTO FIJO EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
1. Considera la intersección de dos funciones no
lineales f1(x, y)=0 y f2(x, y)=0.
2. La intersección de las curvas f1(x, y)=0 y f2(x, y)=0
nos da la raiz (xr, yr).
3. El método consiste en obtener las funciones que
tengan las mismas raices (xr, yr):
x=g1(x, y)
y=g2(x, y)
4. Considerar un valor inicial (x0, y0), como
aproximación a la raíz, evaluar: x1=g1(x0, y0)
y1=g2(x0, y0)
5. El proceso se repite n veces hasta tener valores
muy cercanos a las raíces.
Clase 6 51
5. El proceso se repite n veces hasta tener valores muy cercanos a
las raíces.
),(1
1
1
iii yxgx ),(2
1
1
iii yxgy
METODO DE DESPLAZAMIENTOS SUCESIVOS
),(1
1
1
iii yxgx ),( 1
2
1
1
iii yxgy
Clase 6 52
MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
iteració
ix
iy
i erri
0 1.5 3.5 ---
1 2.0000 3.4480 0.5027
2 1.8355 2.9875 0.4890
3 2.0734 3.1319 0.2782
4 1.9211 2.9428 0.2427
5 2.0559 3.0626 0.1803
6 1.9537 2.9572 0.1468
7 2.0363 3.0365 0.1145
8 1.9713 2.9721 0.0915
2x xy 10 2y 3xy 57
x = 2 y = 3
)(
101
ii
iyx
x
x
yy i
i3
571
2
1
2
1 )()( iiii yyxx
Clase 6 53
MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Sin embargo, con el método del punto fijo, la convergencia depende de la manera en que se formulen las ecuaciones de recurrencia y de haber elegido valores iniciales lo bastante cercanos a la solución. En las dos formulaciones siguientes el método diverge.
iteración xi
yi
1 1.5 3.5
2 1.45578231 5.166666667
3 0.64724246 5.413376566
iteración xi
yi
1 1.5 3.5
2 2.21428571 -24.375
3 -0.20910518 429.713648
x = (57 - y)/3y2
y = (10 - x2)/x
x = (10 - x2)/y y = 57 - 3xy2
Clase 6 54
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS
DE ECUACIONES NO LINEALES
u(x, y)
v(x, y)
x
y
x1
y1
Clase 6 55
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS
DE ECUACIONES NO LINEALES
Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección
entre dos funciones no lineales.
Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la
expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples variables, para considerar la contribución de más de
una variable independiente en la determinación de la raíz.
Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se
escribe, para cada ecuación no lineal:
0)()(),(),( 22
2
111
1
1211211
i
x
i
x
ii xxx
fxx
x
fxxfxxf
ii
0)()(),(),( 22
2
211
1
2212212
i
x
i
x
ii xxx
fxx
x
fxxfxxf
ii
Clase 6 56
),()()( 21122
2
111
1
1 iii
x
i
x
xxfxxx
fxx
x
f
ii
),()()( 21222
2
211
1
2 iii
x
i
x
xxfxxx
fxx
x
f
ii
)( 111
ii xx )( 222
ii xx
),( 2112
2
11
1
1 iii
x
i
x
xxfx
f
x
f
ii
),( 2122
2
21
1
2 iii
x
i
x
xxfx
f
x
f
ii
Clase 6 57
i
i
i
i
ii
ii
f
f
x
f
x
f
x
f
x
f
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
*
fJ *iii xx 11
1
1 iii xx 22
1
2
Clase 6 58
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS
DE ECUACIONES NO LINEALES
iteración xi
yi
ui
vi
ux uy vx vy Jacobiano
1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125
2 2.03602882 2.8438751 -0.064374959 -4.756208497 6.915932746 2.036028823 24.26287675 35.74127004 197.7843034
3 1.99870061 3.002288563 -0.004519896 0.04957115 6.999689781 1.998700609 27.04120985 37.00405588 204.9696292
4 1.99999998 2.999999413 -1.28609E-06 -2.21399E-05 6.999999381 1.999999984 26.99998944 36.99999267 204.9999473
5 2 3 0 2.23821E-12 7 2 27 37 205
x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0
x = 2
y = 3
Clase 6 59
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS
DE ECUACIONES NO LINEALES
Sistema de ecuaciones lineales por el método de Newton Raphson
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1 2 3 4 5 6
convergencia
ite
racio
nes
x
y
2x xy 10 2y 3xy 57
