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Engaños matemáticos curiosos Autor: Ezequiel Schlosser



1. Introducción

En estas entregas propongo compartir una colección de `juegos´ y situacionesmatemáticas llamativas, que en un principio pueden parecer extrañas. Obtendremos por ejemplo que -1=1, o mas extraño aún, que el valor del numero

es 2, pasando por encontrar que el número mas grande que existe es el1. Siempre mediante operaciones y procesos que aparentemente siguen unasecuencia lógica correcta, pero que llegan a resultados equivocados.En la entrega posterior a la presentación de la situación èxtraña´ se dará lasolución, o èl truco´ que nos lleva a esa conclusión equivocada. El lector, si estainteresado, puede intentar resolver las situaciones, y luego comparar su resultadocon la solución propuesta.Con conocimientos básicos de matemática, es suficiente para poder seguir laentrega. Y en los casos en que sea necesario, se repasarán definiciones oconceptos, antes de presentar el problema, para tenerlos presente y poderutilizarlos.Se quiere aclarar que se trató de hacer la lectura lo mas accesible posible amucha gente, por lo que seguro habrá personas que la encuentren demasiadoliviana o reiterativa. También se aclara que las situaciones son una recopilaciónde las que considero mas sencillas y a la vez (más) interesantes. Por último se deja en claro que en ningún momento se pretende insinuar que lamatemática está fallando. Falla el razonamiento, no la matemática.Espero sea de su agrado e interés.



2. ¿2 es igual a 1?

Recordar:

Situación:Partamos de una suposición sencilla, de la igualdad de dos números,a=b Si multiplicamos por à´ en ambos lados del igual, no se modifica la igualdad:

Restamos

en ambos lados:

Haciendo diferencias de cuadrados en el primer término y sacando factorcomún en el segundo:

Simplificamos y nos queda que

Y como inicialmente supusimos que a=b, reemplazamos donde dice 'a' por 'b':2b=bSimplificamos 'b' y obtenemos el increíble resultado: 2=1



3. ¿2 es igual a 1? - Solución

Solución: Esta situación es bastante interesante, sobre todo si uno no sabe el secreto quese esconde tras ella.Si revisamos la secuencia, una y otra vez, parece que todo tiene concordancialógica y razonable, pero más allá de eso, llegamos a una cosa imposible,absurda.Básicamente el `truco´ está en el paso donde simplificamos la siguienteigualdad:

Y llegamos al resultado de que:

Este procedimiento es valido solo si a y b no son iguales. Se explicara porque.Al simplificar, lo que estamos haciendo es dividir a ambos lados de la igualdad porel mismo factor, en este caso, (a-b). Pero si (a-b) es cero (es decir a=b), estepaso está prohibido. Se dice que no se permite dividir por cero, o que no estadefinida esta operación. Esto no es un invento, sino una especia de àxioma´matemático.Un hecho que lo explique es que eso nos validaría cualquier igualdad, porejemplo:0=00=148*0=-34*0=0Y dividiendo por cero (simplificando los ceros) nos queda que 148=-34. Lo cualtodos sabemos que no es cierto.Volviendo a nuestro asunto, entonces, como (a-b)=0, esta prohibido que divida ala ecuación y por lo tanto simplificar los términos. El resultado equivocadoproviene de esta simplificación (que si no la hacemos no llegamos a nadaconcluyente). Mas allá de eso, todo lo anterior a este punto en el procedimientoestá correcto.



4. ¿Cuál es el número más grande que existe?

Situación El número mas grande del universo es n. Averigüémoslo.Como es el mas grande que existe, obviamente, no existe un número mayor a él, a lo sumo, si encontramos otro muy grande, será igual a n, pero NUNCA mayor.Para empezar, hacemos una suposición bastante obvia, como n es muy grande,será mayor (o igual) que 1:

Ahora bien, como n es TAN grande, y como es el más grande, ocurre que:

Esta condición es muy rara, pero no es ilógica. Si no hay un número mas grandeque n, entonces su cuadrado es a lo sumo igual, porque NADIE puede superar an, ni siquiera su propio cuadrado.De esta última desigualdad, pasamos dividiendo 'n' (habíamos dicho que erapositiva), y entonces:

Juntando las dos desigualdades, la inicial y la reciente, nos queda:

Por lo que se obtiene, obviamente, quen=1 Y a 'n' lo habíamos supuesto el número mas grande de todos! ¡Increíble! ¡El número más grande del universo es el 1!



5. El número más grande que existe - Solución

Recordar: Cota: elemento a partir del cual se puede delimitar un subconjunto de valores. Sila cota es superior, se dice que ningún elemento del subconjunto supera el valorde la cota. Por ejemplo, una cota superior de la edad de las personas puede ser125 años, o, mas aún, 3000 años. (No vamos a encontrar nunca, supuestamente,una edad superior a la cota, aunque sí puede ser igual). Solución: La solución a este problema es bastante sencilla. Esta situación, mas allá de ser una curiosidad matemática, es una demostraciónválida de porqué el conjunto de los números (naturales o reales, por ejemplo) noes acotado (superiormente).Y justamente en eso radica el error, en el suponer una cota superior para elconjunto, que es n, de tal manera que ningún otro número del conjunto sea mayora este.Entonces, se llega a un resultado que obviamente es un absurdo. Lo queimplica que no hay cota en este conjunto: siempre se puede encontrar un númeromayor al más grande que hayamos encontrado.Igualmente se quiere aclara que al resultado al que se llega cuando decimos queel cuadrado de n es menor (o igual) que el mismo n, es perfectamente valida,basándonos en las hipótesis del problema. (La hipótesis de que existe una cotaes la que nos introduce esa extraña condición).



6. ¿1 es igual que -1?

Recordar:

Situación: Como partida, escribimos al 1 como un producto de -1:

Tomamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad:

Distribuimos la raíz de la derecha; y en la izquierda, la raíz de 1 es 1:

Por lo que obtenemos:

Luego:

Otra forma de escribir esta situación, en una sola línea es:



7. ¿1 es igual que -1? - Solución

Solución. Esta curiosidad es una de mis preferidas. El procedimiento por el cual se llega a laigualdad errónea es uno de los menos discutibles. Y es un error muy común en losprimeros pasos matemáticos de la gente.Habíamos quedado es la ìgualdad´:

Lo que hay que recordar, o tener en mente para atacar esta situación es la `dualidad´ de cualquier raíz cuadrada. Esto proviene de que hay dos formas demultiplicar dos números iguales para encontrar un tercer número dado. Dicho deotro modo, podemos elevar al cuadrado dos números diferentes, y obtener elmismo resultado. Por ejemplo:3*3=9(-3)*(-3)=9La Raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado un número.Y es por lo dicho anteriormente, que, por ejemplo, la raíz cuadrada del número 9tiene dos posibles valores: 3 y -3.En la situación que nos interesa, pasa algo similar. Y el problema básicamenteesta en la `preferencia´ natural por los números positivos que tenemos los sereshumanos. En la expresión final que habíamos obtenido, vemos que en la última igualdad sehace

Pero por lo que se dijo, bien podríamos haber escrito

Por lo que llegamos al resultado inicial, que -1=-1, lo que es correcto.O, de otra manera, hacia la izquierda de la igualdad, donde teníamos



Nótese que

Así que podríamos haber escrito, arbitrariamente, por ejemplo

Que efectivamente, es lo que tenemos del otro lado de la igualdad (1=1). Así que parecería ser que depende de cómo escribimos las cosas, estasituación funciona o no. Lo cual sería realmente llamativo para la mayoría denosotros, y ciertamente preocupante.La realidad tiene algo que ver con esto que se acaba de decir, pero estatotalmente respaldado por el campo matemático que estudia los númeroscomplejos. En este aspecto, se nos limita (por ejemplo) el multiplicar dos vecespor -1, o por el numero i, o el -i. Porque justamente caeríamos en situacionesparecidas a ésta. Lamentablemente, en estas entregas no se podría profundizar mucho más sobreel tema, pero como para dar una explicación completa, es peligroso en el campode los números complejos dar vueltas alrededor de un punto de ramificación en elplano. En este caso es eso lo que esta sucediendo. Para solucionar el problema,se dice que se `corta´ el plano complejo, limitando las circulaciones cerradasalrededor de dicho punto.



8. Cálculo de Pi - Parte I/II

Recordar: Numero pi: Este numero es de gran importancia es las ciencias de todo tipo, y porlo tanto en la tecnología y en todos los campos donde se aplique la matemática. Su valor, como el lector sabrá, es 3.1415926... y se extiende por muchísimosdecimales (tantos que todavía no se pudo encontrar su fin, o su repetición, yvan varios millones de decimales encontrados).Longitud de una circunferencia: 2.(pi).r, donde `r´ es el radio del círculo.Situación: Trataremos de hallar pi de una manera geométrica e interesante.Para empezar, dibujaremos una semi-circunferencia de radio R, o lo que es lomismo, de diámetro 2R (Recuerde que el diámetro vale el doble que el radio).

Calculamos la longitud (L) de la curva, y nos da que es igual a la mitad la delperímetro del círculo con radio R:

Ahora lo que hacemos es dividir el segmento 2R (el fragmento de recta en el ejeX, entre el punto 0 y 2R) en dos partes iguales (En azul en el dibujo). Y en unpaso posterior, hacemos lo mismo, dividiéndolo en 3 partes, que se muestra encolor rojo: Nótese como las curvas, a medida que se aumenta el numero de intervalos, seacerca mas al eje X. Calculamos nuevamente la longitud de las curvas desde el 0 al punto 2R.



En el caso en que dividimos el segmento en 2 partes (representación azul), cadasemicírculo tiene una longitud dada por su radio R/2 (Note que el diámetro decada semicírculo es R). Esta longitud entonces será:

Pero como el otro fragmento de curva es idéntico a este, decimos que la longitudtotal es 2 veces la del primero (Sumamos dos longitudes iguales):

Por otro lado, si dividimos el segmento en 3 partes (representación en rojo), nosquedaría algo parecido. Todas los fragmentos que conforman la curva (cadamedio circulo) son iguales. Cada uno tiene un diámetro 2R/3, o lo que es lomismo, un radio R/3. Calculamos una longitud y multiplicamos por 3 para obtenerla total:

Nótese que podemos suponer una fórmula general para la longitud total,viendo estos resultados: Donde n es la cantidad de intervalos que hagamos en el segmento de 0 a 2R.





9. Cálculo de Pi - Parte II/II

(Continuación).Si por ejemplo, hacemos una división en 6 partes del intervalo, llegamos al dibujo:

Cada mitad de círculo aquí tendrá un diámetro que surge de dividir el intervalo de2R en 6 partes: 2R/6. Por lo que su radio es entonces la mitad, o sea 2R/12, oR/6 que es lo mismo.Calculamos la longitud total de toda la curva verde (la suma de cada pedacito decírculo) sumando todas las longitudes individualmente, o lo que es lo mismo,tomando 6 veces la longitud de media circunferencia:

(Y efectivamente, otra vez nos confirma nuestra fórmula general, para n=6).Nótese nuevamente, que esta vez, la curva está más cerca del eje X que antes. Es fácil darse cuenta de que una vez que partamos el intervalo entre 0 y 2R enmuchísimos fragmentos, tantos como infinitos, la curva resultante, va aàplastarse´ contra el eje X. En la siguiente figura vemos esta curva representadaen azul. Caso al que llegamos cuando la cantidad de intervalos (`n´) se acercaa infinito: Vemos que por mas que n sea muy grande, incluso infinito, en nuestra formulageneral podemos simplificar el n que multiplica y divide:



Pero notemos que en esta situación, la curva esta pegada al eje X. Y la longitudde la curva (ahora una línea recta, dibujada en azul) es igual al largo del segmentode 0 a 2R, que claramente es 2R.Igualamos las longitudes:"longitud de la curva" = "longitud del segmento"

Lo que implica que si simplificamos el 2, obtenemos el "verdadero valor de pi":

Increíble, ¿no?



10. Cálculo de Pi - Solución

Solución: Espero que esta situación haya sido de su agrado. Me parece interesante elproblema en primer lugar por intrometerse con el numero pi, y en segundo porquees curioso.La solución de la cuestión es bastante simple. El problema es suponer que la curva resultante de dividir en infinitas partes elsegmento, se va a ajustar tan bien al propio segmento, que sus longitudes van aser iguales.Si se mira un poco, el significado de que la longitud de la curva se mantengacontaste siempre igual a 2pi, es como si una soga que teníamos inicialmentehaciendo un único arco, la arrugásemos hasta aplastarla contra el segmento. Pormucho que la aplastemos, su longitud no va a igualar a la del segmento.Justamente cuando se va a medir la longitud de algo se procura que laherramienta de medición esté siguiendo por el contorno de la figura a medir de lamejor manera posible. Seria absurdo afirmar que se puede medir directamentemas o menos bien una longitud si no se cumple con este requisito.Así que a quedarse tranquilo, el numero pi sigue valiendo, con unos pocosdecimales,3,14159...26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923078164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 0938446095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 6446229489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 2712019091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 7245870066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 0113305305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 0921861173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 8912279381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 1907021798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 0005681271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 2249534301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 8640344181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 0597317328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 2619311881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 5982534904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 1712268066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 38095 25720 10654 85863 2788659361 53381 82796 82303 01952 03530 18529 68995 77362 25994 13891 24972



17752 83479 13151 ...



11. ¿Triángulo escaleno o isósceles? - Parte I/II

Recordar: Bisectriz: Línea recta que separa un ángulo en dos partes iguales.Mediatriz: Línea recta perpendicular a un segmento que lo corta en dos partesiguales.Triángulo Escaleno: Aquel triangulo que cuyos lados son todos distintos.Triángulo Isósceles: Aquel triangulo cuyos dos lados son iguales y el tercerodistinto a estos.Triángulo Rectángulo: Triangulo que tiene un ángulo recto (90º o pi/2)Propiedades de triángulo rectángulo: El lado opuesto al ángulo recto (c) se llama hipotenusa (El lado C).

Nótese que a los lados se los denota con letras mayúscula, mientras que a losángulos (o vértices) con minúscula.Sabiendo 2 datos de un triángulo rectángulo (además del ángulo recto), se puedenaveriguar los demás valores involucrados, tanto ángulos como lados.Hipotenusa*Seno(b)=BHipotenusa*Coseno(b)=AHipotenusa*Seno(a)=AHipotenusa*Coseno(a)=BY demás identidades trigonométricas, y "fórmulas" como la de Pitágoras o lapropiedad que asegura que la suma de los ángulos interiores de un triangulo es180º (ó pi).Pero más que estas relaciones no necesitamos para abordar el problema.



12. ¿Triángulo escaleno o isósceles? - Parte II/II

Problema: Partamos de construir un triángulo escaleno. En uno de sus ángulos tracemos labisectriz (representada en rojo en la figura). Y en el lado opuesto a dicho ángulo,tracemos la mediatriz (representada en azul en la figura). Marcamos el puntodonde se cruzan ambas líneas.Nótese lo siguiente: El ángulo c quedó `partido´ al medio, por lo que cada parte del ángulo

son iguales. El segmento C también queda cortado al medio, por lo que son iguales lossegmentos



En la próxima figura hacemos lo siguiente:Al punto de cruce de las semirrectas trazadas, le llamamos X.Desde este punto, trazamos dos segmentos hacia a y b respectivamente(representados en verde). Y dos más hacia el punto medio de A y hasta el puntomedio de B (representados en negro).De esta manera nos quedan 6 triángulos formados dentro del triangulo inicial: I,II, III, IV, V y VI.

Ahora bien, los triángulos I y VI son iguales, uno reflejado respecto del otro. Sepuede decir que como c1 y c2 son iguales, y ambos son rectángulos en los puntosmedios de B y A respectivamente, los lados desde X a estos puntos medios soniguales; y los ángulos que forman dichos lados con la línea roja (la hipotenusa deambos) son iguales. Por lo tanto, B1 y A1 son iguales. Esta última condición es laque nos interesa.Por otro lado, los triángulos III y IV también son iguales, por argumentossimilares: como ambos triángulos son rectángulos en el punto medio de C, ytienen el lado azul (que va desde X al punto medio de C) en común, los ángulosa1 y b2 son iguales (ya habíamos aclarado que los segmentos C1 y C2 soniguales). Cumpliéndose todo esto, es inevitable que los lados verdes (desde Xhacia a y b respectivamente) sean iguales. Esta última observación se debe teneren cuenta.



Ahora vayamos a los triángulos II y V: Ambos son rectángulos: en el punto medio de B el II, y en el punto medio de A eltriangulo V.Las hipotenusas de ambos (las líneas verdes) son iguales.Por lo tanto, los lados en negro (segmentos desde X al punto medio de B y A), queson iguales, se pueden escribir como el seno de los respectivos ángulosopuestos. El seno de a2 por la hipotenusa, en el triangulo II, da el valor de estelado en negro.Lo mismo en el triangulo V: el lado en negro es el seno de b1 por la hipotenusa.Habíamos dicho que ambos lados negros eran iguales, por lo tanto, son igualeslas fórmulas para hallarlos:

Puesto que dijimos que las hipotenusas eran iguales, llegamos a la conclusión deque a2=b1. Sabiendo esto, la próxima observación es sencilla:De ambos triángulos sabemos 2 lados y 2 ángulos. Podemos averiguar el otrolado sin dificultad (los segmentos B2 y A2).Usando las propiedades que conocemos sobre triángulos:

Evidentemente, como las hipotenusas son iguales (las líneas verdes) y tambiénson iguales a2 y b1 por lo que deducimos recién, obtenemos A2=B2 En definitiva, encontramos que B1=A1 y B2=A2.Por lo tanto llegamos a la conclusión: A=B. (Encontramos que dos de sus ladosson iguales!).O sea, este triangulo se transformó, solo por el hecho de medir sus lados, deescaleno a isósceles.



13. Triángulo escaleno o isósceles - Solución

Solución: Por más que parezca un poco complicado llegar a la `transformación deltriángulo´, el hecho de porqué nos conducimos a un resultado extraño es sencillo.De hecho, la clave esta al principio de todo, cuando comenzamos con elanálisis. Al trazar la mediatriz y la bisectriz del lado y ángulo opuestorespectivamente, buscamos el lugar donde ambas rectas (o semirrectas) secruzan. Si usted intentara hacer esto, encontraría con no mucho esfuerzo que laúnica forma de que dichas rectas se crucen sería que el triángulo seajustamente isósceles (tendría dos lados iguales, entre los cuales se encontraríaesta única recta). Al empezar con la situación, supusimos que podían cortarse sin mayor problema,y el dibujo, aunque no es perfecto, ayuda un poco a convencerse de ello (eltriángulo efectivamente es escaleno, pero la mediatriz y bisectriz no son tales,aunque parecen serlo). Así que ni más ni menos, estamos mas cerca de unasuerte de ilusión óptica que ante una ilusión matemática. Que por cierto resultóinteresante.

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