TRENES DE ENGRANES

Contenido:

1. Definiciones 2. Tipos de engranajes 3. Ecuaciones cinemáticas 4. Problemas

1. Definiciones

Un Engrane es un elemento de mecanismo cuya característica cinemática es

transmitir el movimiento por medio de contacto directo. Un Engranaje es un

mecanismo formado precisamente por engranes.

El diagrama cinemático de un engrane es por medio de un circulo que denota un

parámetro de su diseño llamado circulo de paso.

La forma mas simple de representar un engranaje es por medio de un elemento

impulsor y un impulsado como se muestra en siguiente figura.

Figura 1

Sea ri a el radio de giro del elemento inicial y rf al radio de giro del elemento final,

sea ωi la velocidad inicial en rpm y ωf la velocidad final en rpm, por la teoría de centros

instantáneos se puede concluir que la velocidad del centro común (punto de contacto) es

la misma, por lo tanto:

f

i

i

f

ffii

r

r

rr

=

=

ω

ω

ωω

Ahora se define como e a la relación del engranaje y es la relación entra la velocidad

angular de salida y la velocidad angular de entrada de modo que:

i

fe

ω

ω=

Si e < 1 entonces se dice que el engranaje es un reductor de velocidad, si e>1

entonces es un atenuador de velocidad y si e = 1 se dice que es un seguidor, por otro

lado, e además de tener un valor posee un signo que denota si el elemento final e inicial

giran con el mismo sentido (+) o en sentidos opuestos (-), para esto se debe establecer

además del valor de las velocidades angulares su sentido previamente establecido y que

por lo general es: positivo si gira a favor de las manecillas del reloj o negativo en caso

contrario.

Un estudio detallado de las ecuaciones que determinan las características de un

engrane y del engranaje y que esta fuera de este contexto, demuestra que la relación de

los radios además en función del número de dientes del engrane, de modo que:

f

i

f

i

N

N

r

r=

donde Ni es el número de dientes del engrane inicial y Nf es el número de dientes del

engrane final, la relación de velocidades angulares puede expresarse ahora en función

de la relación del número de dientes:

i

f

i

f

N

N=

ω

ω

El valor del tren ó relación del engranaje e puede encontrarse de las dos maneras, ya

sea en función de la relación de velocidades angulares o de la relación del número de

dientes:

i

f

i

f

N

Ne ±==

ω

ω

Note que aparece un signo ± antes de la relación del número de dientes, lo anterior

se debe a que el signo del valor del tren (relación del engranaje) e obteniéndolo partir de

la relación de velocidades angulares quedará definido ya que las velocidades por si

mismas poseen un signo establecido y que será positivo si el elemento gira a favor del

movimiento de las manecillas del reloj (fmr) y negativo si gira en contra (cmr).

Pero la relación del número de dientes no puede establecer por si sola el signo del

valor del tren ya N que es el número de dientes es un escalar. Por lo tanto, siempre que

se establezca la relación de número de dientes se tendrá que hacer un análisis visual del

engranaje y si se observa que el elemento inicial y final giran contrarios entonces se le

antepone un signo negativo, y si son de igual sentido se le antepone un positivo.

2. Tipos de engranajes

Resulta que un engranaje puede componerse de más de dos elementos, por lo tanto

dependiendo de la forma en que estos se conectan durante la transmisión del

movimiento se tiene la siguiente clasificación de los engranajes:

Compuestos

SimplessPlanetario

Compuestos

SimplessRecurrente

engranajes de Tipos

Engranajes recurrentes y planetarios

En los engranajes recurrentes las flechas que mueven a todos los engranes están

unidos siempre al eslabón fijo, mientras que en el planetario por lo menos uno de ellos esta

unido a un elemento móvil llamado brazo.

Figura 2

Como se muestra en la figura anterior en un engranaje planetario un elemento

llamado satélite es impulsado por otro llamado brazo a girar alrededor de otro llamado

engrane sol.

Engranajes simples y compuestos

Un engranaje simple se caracteriza por tener un solo engrane por flecha durante la

transmisión mientras que en un engranaje compuesto existe una flecha con más de dos

elementos que intervengan durante la transmisión.

En la siguientes figura se muestra un engranaje simple y uno compuesto. En el

engranaje compuesto se observa como el elemento 3 y 4 están unidos por una misma

flecha.

Figura 3

3. Ecuaciones cinemáticas

Las ecuaciones que determinan el comportamiento cinemático de los engranajes

dependen de las velocidades angulares, de los radios de giro y de los números de

dientes del cada elemento.

Engranajes recurrente simple.

El engranaje simple de la figura 3 se compone de 3 elementos, puesto que solo se

dispone de una ecuación que relaciona salida/entrada de dos elementos, si se desea

encontrar la relación salida/entrada se tendría

4

2

3

2

4

3

2

3

3

4

2

4

N

N

N

N

N

N

i

f+=

−

−=

==

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

En donde se puede observar que el elemento 3 no interviene en el análisis

cinemático y ha este engrane se lo conoce como engrane loco. Su función en este caso

fue invertir el sentido de la velocidad del engrane final.

Independientemente del número de engranes, en un engranaje simple la relación de

velocidades angulares quedará determinada en función de la relación del número de

dientes solo por el número de dientes del engrane final e inicial.

f

i

i

f

N

N±=

ω

ω

Engranajes recurrente compuesto.

El engranaje compuesto de la figura 3 se compone de 2 engranajes simples, el 2-3 y

el 3-4, de modo que ω3/ω2 = - N2/N3 y ω5/ω4 = - N5/N4, por lo tanto se tiene:

−=

−=

4

554

3

223 N

NN

Nωωωω

Puesto que ω3 = ω4 se tiene

53

42

2

4

NN

NN=

ω

ω

Se puede observar que si el elemento 2 se considera como un impulsor (entrada) y el

elemento 5 como un impulsado (salida) 3 y 4 pasan a ser impulsado e impulsor

respectivamente.

Por lo tanto en un engranaje compuesto la relación de velocidades angulares en

función de la relación del número de dientes quedará expresada como:

impulsados

impulsores

D

D

i

f

#

#

∏∏

±=ω

ω

donde Π #D impulsores denota la multiplicatoria del número de dientes de los

elementos impulores y Π #D impulsados denota la multiplicatoria del número de dientes de los elementos impulsados.

Los elementos impulsores e impulsados no son absolutos, es decir, en un engranaje

no se puede fijar cuales son los impulsores e impulsados, mas bien este depende el

análisis efectuado tomando los siguentes criterios:

a) Un elemento inicial siempre será un impulsor b) Un elemento final siempre será impulsado. c) Un elemento intermedio será impulsor e impulsado si es un engrane loco. d) Un elemento intermedio conectado a otro intermedio por medio de una

flecha uno de ellos será impulsor mientras que el otro será considerado

impulsado.

Engranajes planetarios simples y compuestos

Se puede hacer uso de las expresiones cinemáticas usadas en los engranajes

recurrentes para determinar la relación de las velocidades angulares con respecto a la

relación del número de dientes.

Puesto que en este caso existe un elemento móvil llamado brazo y en la cual el

elemento final e inicial están conectados, la relación de velocidades tendrá que ser

relativa al brazo, por lo tanto

simple) o(Planetari #

#

simple) o(Planetari

/

/

/

/

∏∏

±=

±=

impulsadosX

impulsoresX

N

N

D

D

brazoi

brazof

f

i

brazoi

brazof

ω

ω

ω

ω

donde ωf/brazo es la velocidad del engrane final relativa a la velocidad del brazo y ωi/brazo

es la velocidad del engrane inicial relativa a la velocidad del brazo, por lo tanto estas

ecuaciones pueden escribirse finalmente como

simple) o(Planetari #

#

simple) o(Planetari

∏∏

±=−

−

±=−

−

impulsadosX

impulsoresX

N

N

D

D

Brazoi

Brazof

f

i

Brazoi

Brazof

ωω

ωω

ωω

ωω

Es importante aclarar que en el caso de los planetarios el valor del tren no es la

relación de velocidades angulares relativas al brazo, es decir

Brazoi

Brazofe

ωω

ωω

−

−≠

Recurrente i

fe

ω

ω= Si es simple

f

i

N

N

Planetario Brazoi

Brazofe

ωω

ωω

−

−≠

= Si es compuesto

#

#

∏∏

impulsadosX

impulsoresX

D

D