Ensayo Resistencia

Resistencia de Materiales I

ENSAYO DE TORSION Integrantes: Fausto Torres, Marlon Reyes, Adriana Guzhñay, Jorge Mejía, Jonathan Feijoo.

CURSO: Tercer Semestre Paralelo “B”

Resistencia de Materiales I 16 de diciembre de 2014

Ensayo de Torsión.

Introducción.

Para el estudio de la torsión iniciamos el estudio de los problemas en los que el esfuerzo no se distribuye uniformemente dentro de una sección. Aunque la teoría general de este tipo de problemas es complicada, su aplicación es sencilla, y una vez deducidas las formulas, no hay más que sustituir en ellas los valores de los datos y nada más.

Para realizar un proceso más que general en casi todos los casos de distribución no uniforme de esfuerzos se puede resumir en los diferentes puntos:

1. En las deformaciones elásticas que produce determinado tipo de carga, y la aplicación de la ley de Hooke, se determinan unas relaciones entre los esfuerzos en los distintos puntos de la sección, de manera que sean compatibles con las deformaciones. Las cuales las podemos denominar ecuaciones de compatibilidad.

2. Para aplicar estas condiciones de Equilibrio en el diagrama del cuerpo libre correspondiente a una porción del cuerpo, se obtienen otras relaciones entre los esfuerzos. Dichas relaciones deducidas de la consideración del equilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas y las fuerzas resistentes interiores en una sección de exploración se llaman Ecuaciones de equilibrio.

3. Comprobación de que la solución del sistema de ecuaciones de los puntos 1 y 2 satisface las condiciones de carga en la superficie del cuerpo. Es decir, se ha de verificar las condiciones de frontera impuestas.

Para deducir las fórmulas de torsión se debe establecer una serie de hipótesis que pueden demostrarse matemáticamente y algunas de ellas, comprobarse experimentalmente.

1. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.2. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de

la torsión.3. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una

sección permanece radial después de la torsión4. El Árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que

actúan en planos perpendiculares a sus ejes. 5. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.

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Deducción de las fórmulas de Torsión.-

En las siguientes figuras se mostraran dos proyecciones de un árbol circular macizo. Al aplicar un momento torsionante T a los extremos del árbol, una generatriz cualquiera, tal como AB en:

Para la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando una hélice AC, al tiempo que la sección en B gira en un cierto ángulo θ respecto de la sección en A. Para ello podemos representarlo de la siguiente manera:

Para realizar esta representación utilizaremos el árbol que está formando por innumerables rebanadas eliscoidales muy delgadas, donde todas ellas están perfectamente rígidas y unidas mediantes fibras elásticas.

En la rebanada dos sufrirá una rotación, resbalando sobre la uno hasta que la fibra elásticas que las unen se deformen y produzcan, al estirarse un par de resistencias que equilibre al par aplicado. En este momento las rebanadas uno y la dos actuaran como un conjunto único y rígido, trasmitiendo el par torsionante a la rebanada número tres; donde esta girara hasta que las fibras elásticas que la unen a dos desarrollen como antes un par de resistente igual al par aplicado, y así sucesivamente, propagándose la deformación a lo largo de la longitud L del árbol. La hélice AC es la línea que une los puntos iniciales de referencia de todas las rebanadas infinitamente delgadas, puntos que antes de la deformación estaban sobre AB. Esta descripción de la deformación de TORSION en un árbol es puramente ideal. Ahora considerando una fibra cualquiera a una distancia “ρ” del eje del árbol. Por la hipótesis tres de la figura antes vista, el radio de dicha fibra gira también al mismo ángulo θ,



produciéndose una deformación tangencial ∂, igual a DE. Donde esta longitud está dada por;

∂=DE=ρθ

Donde la distorsión es:

τ=Gγ=(GθL ) ρDonde esta expresión se suele llamar la ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados por ella son compatibles con las deformaciones elásticas.

Para sintetizar el procedimiento dividiremos el árbol ejemplo de la figura anterior en dos secciones M-N perpendicular a su eje donde trazaremos el diagrama de cuerpo libre donde lo representaremos en la siguiente figura, donde el elemento diferencial de área de esta sección será:

∂ P=τ ∂ A

Ya que al ser diferencial puede admitir el esfuerzo cortante.

Al obtener esto y para cumplir las condiciones de equilibrio estático, aplicamos el ∑M=0, donde nos quiere decir que el par de torsor resistente ha de ser igual al momento de torsionante aplicado.

Donde el par de resistentes Tt es la suma de los momentos respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales ∂ P:

T=T t=∫ ρ∂ P=∫ ρ(τ ∂ A )

Sustituyendo τ por la ecuación dada en la parte anterior

T=GθL ∫ ρ2∂ A



Donde la ∫ ρ2∂ A=J , es el momento polar de inercia de la sección recta.

T=GθLJ

Que también puede ser:

θ=TLJG

Al expresar en θlas unidades apropiadas son en Radianes. Entonces al

sustituir el valor de GθL en la ecuación primera por su equivalente

TJ se

obtienes:

τ=TρJ

Que es la fórmula de Torsión, para calcular el máximo esfuerzo cortante, en la práctica se sustituye ρ por el radio r del árbol:

τ max=TrJ

Al haber aplicado la Ley de Hooke para llegar a esto los esfuerzo no deben sobrepasar el limite de proporcionalidad, y solo sirven la secciones circulas llenas o huecas.

Ahora cuando los valores del momento polar de inercia para secciones circulares adquieren las siguientes formas:

EjeMacizo τmax= 2Tπ r3

=16Tπ d3

EjeHueco τ max= 2TRπ (R4−r4)

= 16TDπ (D 4−d 4)



x

DEFORMACIONES TORSIONALES

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al

eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las

dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de

él.

El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de

solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por

dos fenómenos:

1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la seccion transversal. Si estas

se representan por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor

de la seccion.

2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa

que sucede siempre a menos que la seccion tenga simetría circular, aparecen

alabeosseccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no

sean planas.



El alabeo de la seccion complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que

el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y

una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de

la seccion y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples

que el caso general.

En un caso más general, puede suceder que el plano del Momento, determinado por el

momento resultante de todos los momentos de las fuerzas de la izquierda con

respecto al centro de gravedad de la sección, no sea normal a ésta. Será posible

entonces, descomponer ese momento, uno contenido en un plano normal a la sección

que nos dará un momento flector(flexión normal y oblicua) y otro en el plano de la

sección que nos daráun momento torsor (o de torsión).

Cualquier vector colineal con un eje geométrico de un elemento mecánico se

denomina torsor.

Consideremos las siguientes hipótesis:

_ Sobre el cilindro actúa un torsor puro (mismo momento torsor en cualquier sección),

y las secciones transversales analizadas están lejos de cambio de sección y lejos de

punto de aplicación de carga.

_ Secciones transversales plana y paralelas antes de aplicación del torsor permanecen

así después de torsión, y líneas de rectas permanecen rectas.

_ Se cumple la ley de Hooke



Considérese un cilindro empotrado sometido a un momento torsor. Sobre un elemento

dx a una distancia L del eje X, el torsor provoca una deformación angular g tal que t =

G× g .

TORSIÓN DE SAINT-VENANT PURA

La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran

inercia torsional con cualquier forma de seccion, en esta simplificación se asume que

el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional

también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant da buenas aproximaciones para

valores λT> 10, esto suele cumplirse en:

1. Secciones macizas de gran inercia torsional (circulares o de otra forma).

2. Secciones tubulares cerradas de pared delgada.

3. Secciones multicelulares de pared delgada.

Para secciones no circulares y sin simetria de revoluciónla teoría de Sant-Venant

además de un giro relativo de la seccion transversal respecto al eje baricentro predice

un alabeoseccional o curvatura de la seccion transversal. La teoría de Coulomb de

hecho es un casoparticular en el que el alabeo es cero, y por tanto solo existe giro.

El problema de torsión simple se presenta muy pocas veces, ya que engeneral

aparece la torsión combinada con flexión y corte. Sin embargo, dado queaplicando el

principio de superposición de efectos, a partir del problema detorsión simple puede

llegarse a otros casos de torsión compuesta.



TORSIÓN ALABEADA

Para piezas de muy escasa inercia torsional, como las piezas de pared delgada,

puede construirse un conjunto de ecuaciones muy simples en la que casi toda la

resistencia a la torsión se debe a las tensiones cortantes inducidas por el alabeo de la

sección. En la teoría de la torsión alabeada pura se usa la aproximación de que el

momento de alabeo coincide con el momento torsor total. Esta teoría se aplica

especialmente a piezas de pared delgada y se distinguen tres casos:

1) Sección abierta, donde no aparecen esfuerzos de membrana.

2) Sección cerrada simple, en el que la sección transversal puede

aproximarse por una pequeña curva simple cerrada dotada de un cierto

espesor.

3) Sección multicelular, en el que la sección transversal no es simplemente

conexa pero aun así puede aproximarse por una curva no simple y un cierto

espesor.



TORSIÓN SAINT-VENANT

La teoría de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional

con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado de

alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. Para

secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Saint-Venant además

de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje Bari céntrico predice un

alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de torsión de Saint-

Venant da buenas aproximaciones para valores λT > 10, esto suele cumplirse en:

1) Secciones macizas de gran inercia torsional (circulares o de otra forma)

2) Secciones tubulares cerradas de pared delgada

3) Secciones multicelulares de pared delgada

TORSIÓN MIXTA

En una viga sometida a torsión, el momento externo en una sección es equilibrado por

las tensiones originadas por la torsión pura y las originadas por la tensión no uniforme.

Las primeras están presentes siempre y las segundas cuando la forma seccional

alabea y, o bien existe alguna restricción al albeo en alguna sección o el momento

torsor es variable a lo largo de la viga. Cuando existen los dos tipos de torsión decimos

que hay torsión mixta.



SECCION CIRCULAR

Para esta sección es válida la hipótesis de Coulomb, la cual se verifica

experimentalmente tanto en el caso de secciones circulares macizas como huecas. La

hipótesis referida establece que las secciones normales al eje de la pieza permanecen

planas y paralelas a sí misma luego de la deformación por torsión. Además, luego de

la deformación, las secciones mantienen su forma.

Como consecuencia de lo enunciado resulta que las secciones tienen rotaciones

relativas, de modo que las rectas trazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los

ángulos mantienen su medida.

Por otro lado, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se

transforman en hélices.

A partir de las consideraciones anteriores, que están relacionadas con la

compatibilidad de las deformaciones, deseamos saber qué tipo de tensiones genera la

torsión simple y cuál es su distribución. Supongamos en primera instancia que

aparecen tensiones normales s. Su distribución no podría ser uniforme ya que de ser

así existiría una resultante normal a la sección. Al distribuirse entonces en forma

variable, según la Ley de Hooke, las deformaciones especificas e variaran también

punto a punto, y la sección no continuaría siendo normal al eje, no siendo válida la

hipótesis de

Coulomb, que indica que la sección se mantiene plana.



En virtud de lo anterior sólo resta considerar que en el problema de torsión aparecen

únicamente tensiones tangenciales. A su vez, para que las tensiones constituyan un

sistema estáticamente equivalente al momento torsor

ESFUERZO DE TORSIÓN

Se define como la capacidad torsión de objetos en rotación alrededor de un eje fijo. En

otras palabras, es la multiplicación de la fuerza y la distancia más corta entre el punto

de aplicación de la fuerza y el eje fijo. De la definición, también se puede inferir que, el

par es una cantidad vectorial que tiene tanto la dirección como en magnitud. Sin

embargo, ya que está girando alrededor de un eje fijo de su dirección puede ser en

sentido horario o anti horario. Durante las explicaciones y ejemplos que dan la

dirección "+" si se gira hacia la derecha y "-" si se gira hacia la izquierda. El par se

muestra en la física con el símbolo "τ". Usted puede venir a través torsión con otro

nombre "momento". Ahora, examinemos dado imágenes una por una para entender

torsión en detalle.

¿Cómo podemos encontrar la

distancia más corta entre la fuerza

aplicada y el eje fijo?



Todo lo que sabemos, la distancia

más corta entre dos puntos es la

recta que los une. En esta situación,

la distancia que une estos dos

puntos es la longitud del objeto.

Sentido del torsión es "+" porque la

fuerza hace girar el objeto en la dirección de las agujas del reloj. (Ignoramos el peso

del objeto n todas las situaciones indicadas anteriormente.)

Por lo tanto, podemos escribir la ecuación de torsión como;

Τ = Fuerza aplicada. Distancia

En esta imagen, tenemos una situación diferente en el que se fija el objeto a la pared

con un ángulo con la horizontal. Dirección de la torsión en esta situación es "-" porque

la fuerza hace girar el objeto en dirección a la izquierda. Como antes hemos dicho que

necesitamos la distancia más corta entre la fuerza y el punto de inflexión. La línea de

puntos en la imagen muestra la distancia que se puede encontrar mediante el uso de

la trigonometría y la ecuación final de torsión llega a ser;

Τ = Fuerza aplicada. Distancia. SinΘ

Situación final muestra que, si la extensión de la fuerza está pasando en el eje de

rotación entonces ¿cuál sería el torque?



Quiero explicar esta situación, dando otro ejemplo. Creo que va a abrir una puerta. Si

empujas la puerta como en el caso de la imagen dada más arriba, la puerta no se

mueve. Sin embargo, si se aplica una fuerza a la puerta como en las situaciones

primeras y la segunda da por encima de la puerta está abierta o cerrada. Lo que trato

de decir es que si se aplica la fuerza hasta el punto de inflexión luego no rotar el objeto

y no habrá torsión.

BIBLIOGRAFÍA:

Universidad de Santiago de Chile, APUNTES DE RESISTENCIA DE

MATERIALES, 2011, disponible en:

http://mecanica-usach.mine.nu/media/uploads/Apuntes_curso_RMA_clase_3_arregla

ndo.pdf

Appold, Feirlerk, Reinhard, Schmidt; TECNOLOGÍA DE MATERIALES, 1985,

Ed. Reverté.

Pytel, Singer; RESISTENCIA DE MATERIALES, Oxford, 1ra. Ed. 1994, Harper

Row.

Biguri Zarraonandia Iñaki, TORSIÓN, disponible en:

http://ibiguridp3.wordpress.com/res/tor/



Santo Domingo Santillana Jaime, TORSIÓN, 2008, Ed. E. P. S. Zamora,

disponible en: http://ocw.usal.es/ensenanzas-tecnicas/resistencia-de-

materiales-ingeniero-tecnico-en-obras-publicas/contenidos/%20Tema8-

Torsion.pdf


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