Surez, L. y Pacheco, D. (2015). Enseanza de la geometra en superficies mnimas elabo-radas con pelculas de jabn. Memorias del Encuentro de Geometra y sus Aplicaciones, 22, 207-208.
ENSEANZA DE LA GEOMETRA EN SUPERFICIES MNIMAS ELABORADAS CON PELCULAS DE JABN
Leidy Surez y Diego Pacheco
Universidad Nacional de Colombia [email protected], [email protected]
El trabajo que se reporta aqu busca implementar un laboratorio en la ense-anza de geometra usando figuras con pelculas y pompas de jabn. Se plantea que mediante la elaboracin de tales configuraciones, el estudiante, a travs de lo que visualiza, puede comprender qu es una superficie mnima y cmo se forman ciertas figuras (e. g., catenoide, helicoide, superficie de Scherkm y cinta de Mbius). As, el estudiante aprende geometras poco usuales y muy usadas en arquitectura y tecnologa. Se estudia, adems, en las figuras con jabn, el problema de Jakob Steiner, el punto de Fermat, el clculo del camino mnimo entre dos puntos y la aplicacin de las leyes de Plateau. Estas leyes permiten so-lucionar problemas de recorridos mnimos aplicados a la vida cotidiana.
Las pelculas de jabn son estructuras formadas por una capa de agua y de jabn, determinadas por la tensin superficial; estas pelculas tienden a conseguir la configuracin mnima de las superficies. Las superficies mnimas fueron objeto de estudio del matemtico Joseph-Louis de Lagrange, y, ms tarde, el fsico Joseph Plateau fue uno de los primeros en experimentar estas superficies con pelculas de jabn. Durante estos experimentos se dio cuenta de que al sumergir una estructura cerrada en una disolucin jabonosa siempre se forma una pelcula de jabn, con lo cual en 1873 plante el problema que lleva su nombre y que formula que para cada curva cerrada se puede hallar la superficie con rea mnima (Muoz, 2006). Si se realizan experimentos con placas paralelas y diferentes configuraciones de aristas verticales se observan pelculas de jabn rectangulares que se unen para forman caminos entre dichas aristas; al proyectar rectas a un plano superior se determina el recorrido mnimo para unir los vrtices de un polgono; este recorrido tiene la propiedad del punto de Fermat.
Tal propiedad describe que la suma de las distancias de los vrtices a dicho punto es mnima y los tres segmentos que se unen en l forman ngulos de 120 grados. Esta y otras observaciones experimentales llevaron a Plateau a
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postular tres leyes que le permitieron describir la forma y configuracin de las pelculas de jabn:
Primera ley: Si varias lminas de jabn se cortan, lo hacen de tres en tres a lo largo de una lnea y formando entre s ngulos de 120 grados.
Segunda ley: Cuatro de las lneas rectas, todas formadas por el corte de tres superficies, se cortan en un punto y el ngulo formado por cada par de ellas es de 109 grados y 28 minutos.
Tercera ley: Una pelcula de jabn que pueda moverse libremente so-bre una superficie, se interseca con ella formando un ngulo de 90 gra-dos.
Se han planteado numerosos problemas en los que se quiere minimizar la distancia entre tres o cuatro puntos; especficamente, el gemetra Jakob Steiner generaliz la situacin a ! puntos, enunciando el problema Dados ! puntos en el plano, encontrar ! puntos tales que los !! ! !! puntos se
puedan unir con un conjunto de segmentos cuya longitud total sea mnima. En la actualidad, el problema de Jakob Steiner se aplica en diferentes ramas (e. g., diseo de circuitos integrados, diseo de redes de comunicacin) (Bragado, 2009).
Utilizando herramientas de la geometra euclidiana se puede dar solucin a diferentes problemas. Estos problemas pueden ser resueltos por estudiantes de secundaria o nivel universitario. Con la actividad que se desarrollar en la presentacin del pster se busca que el estudiante, a travs de la elaboracin de las pelculas de jabn y la orientacin terica del docente, pueda comprender el concepto de superficie mnima y pueda recrear este tipo de superficies, adems de saber por qu las pompas adoptan la superficie esfrica.
REFERENCIAS
Bragado, J. (2009). Pelculas de jabn y superficies mnimas. Denia, Alicante. Disponible en: http://carnavaldematematicas.bligoo.es/peliculas-de-jabon-y-superficies-minimas
Muoz, V. (2006). Pompas de jabn. Original no publicado, Universidad Autnoma de Madrid, Espaa. Recuperado el 27 de mayo de 2015 de: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ehernan/Talento/VicenteMunoz/pompa
