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Enseñando Con Curiosidades Matemáticas
José Servelión Graterol
José Servelión Graterol
Profesor del Departamento de Matemáticas
del Pedagógico de Maracay. Estado Aragua - Venezuela.
Msc. en la Enseñanza de la Matemática.
Doctorado en Ciencias de la Educación.
Enseñando con Curiosidades Matemáticas
Depósito Legal: If04320095101418
ISBN: 978-980-12-3710-5
Diseño de presentación: Msc. Milagros Hernández.
Corrector de Estilo: Msc. Milagros Hernández.
DEDICATORIA
A una compañera de estudio de bachillerato con quien
competí en clase, con quien aprendí a estudiar, a leer y a interpretar
porque siempre fue insuperable y sé, que aún lo es. También sé que
un camino emprendido como éste, ella lo hubiese hecho mejor que
yo. Para tí, Amalia Díaz de Ramos.
A un amigo, a un profesor, a un hermano, a un estudioso de
las curiosidades matemáticas; quien me mostró que la matemática
se podía enseñar por otras vías, y quien me inicio en la
investigación con sus regalos intelectuales. Para tí, José
Celestino, Silva Rón.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
AGRADECIMIENTO
Hay cuatro maestras que dejaron en mí, la semilla del
conocimiento, la investigación, el estudio, el análisis y la
perseverancia.
Aminta de Mendez; quien en primer grado me animó a
aprender matemática utilizando paletas de helados. Tal vez,
comenzó aquí, la motivación por las curiosidades matemáticas.
Rosa de D´angelo, quien en segundo grado tuvo paciencia para
corregir en mí, errores que se veían incorregibles. Siempre pido a
Dios que me permita seguir su ejemplo.
Concepción Garofalo de Balza. ¡Mi querida maestra
Conchita!, de tercer grado con quien aprendí a tener seguridad en
lo que hago.
Micaela Castillo, de cuarto grado, quien me enseñó que uno
debe luchar por aprender, porque el conocimiento hay que
buscarlo.
A ellas, ¡gracias por formarme!
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
ÍNDICE
págs.
Prólogo...................................................................................... 8
Introducción.............................................................................. 10
Metodología a utilizar por el docente durante la ejecución del
programa.................................................................................. 12
Curioseando con la multiplicación.................................... 14
Multiplicación con los dedos de las manos......................... 15
Curioseando con fracciones............................................... 24
Estrategia para iniciar al niño en la adición de fracciones... 25
Una manera de abordar los números enteros en sexto grado 30
Relación “menor que” y “mayor que”............................... 41
Jugando con curiosidades matemáticas............................... 44
En busca de la motivación.................................................... 45
Jugando en grupos con las curiosidades............................... 51
Todos jugando con la misma actividad................................. 55
Adivinando números ........................................................... 56
Otra curiosidad para adivinar números................................. 62
Sigamos con curiosidades.................................................... 64
Estrategia para calcular el número de hermanos varones,
hembras y los abuelos.......................................................... 66
Curiosidades con los criterios de algunos números.............. 71
Curiosidades del 9............................................................... 72
Criterio del 2...................................................................... 77
1
2
3
4
Criterio del 3...................................................................... 78 Criterio del 4..................................................................... 79 Criterio del 5. Criterio del 6............................................. 70 Criterio del 7..................................................................... 81 Criterio del 8..................................................................... 83 Criterio del 10................................................................... 84 La división como resta....................................................... 85 La potencia y las curiosidades........................................... 92
Volvamos a curiosear con la multiplicación...................... 98 Curioseando con la multiplicación.................................... 99 Sigamos con las multiplicaciones.....................................103
Jugar, pensar y curiosear con la matemática.....................107 Jugando con todos.............................................................108 Trazando diagonales..........................................................112 Jugando con el calendario.................................................115 Una curiosa curva cerrada simple.....................................118 Problemas con material concreto......................................121 Soluciones a los problemas...............................................124 Con la adición también se puede curiosear......................128
Curiosidades con el dominó............................................133 Curiosidades con el dominó............................................134 Otra actividad con el dominó..........................................137 Haciendo cuadrados con el dominó................................140 Anotaciones.....................................................................143 Problemas propuestos con el dominó.............................146 Algunas soluciones..........................................................147
Referencias...............................................................................149
5
6
7
8
PRÓLOGO
El mundo actual depende cada vez más de las matemáticas
como lenguaje de las ciencias. No obstante, la naturaleza y
estructura de su contenido la convierten en una ciencia compleja,
como también lo es su aprendizaje por el razonamiento lógico, que
requiere para su comprensión. Situación que ha generado un
rechazo generalizado hacia esta asignatura.
De ahí que científicos, docentes y otros profesionales han
realizado variados esfuerzos por reorientar su modo de enseñanza.
José Servelión Graterol forma parte de ese grupo de docentes
preocupados por transformar la creencia que se tiene de la
matemática. Esta meta que se ha convertido en pasión, le
proporciona la motivación suficiente para convertirla en la acción
que aspira.
Su pasión fue tanta que logró encender ¨Una Fogata
Matemática¨ como título de su primer libro. Hoy aviva esa llama
con su nueva obra ̈ Enseñando con Curiosidades Matemáticas¨; en
la cual formula de manera sencilla, didáctica y agradable una serie
de lineamientos para que los docentes utilizen la curiosidad innata
de los estudiantes a la vez que encienden en ellos la llama del amor
al conocimiento matemático.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
Es un texto en cuya escritura se puede revelar imágenes y
sentir el movimiento psíquico del compromiso que disuelve el
pensamiento petrificado que promueve la educación tradicional.
En éste se pueden leer los nuevos tiempos de la educación
matemática, donde se conjugan textos y ejemplos que replantean
su sentido.
De esta forma, despierta la creatividad y el ingenio de
aquellos que asumen el compromiso de leer este libro, porque no
se puede hacerlo sin transformarse. Enseñar y aprender
matemática requiere del pensamiento lógico, pero también de la
emoción y el sentimiento. De una nueva sensibilidad del docente,
de la cual abunda el autor del libro que prologamos y que lo hace
entregar todo en su búsqueda de transformación.
Podemos decir, que lo más enriquecedor de la experiencia
fue la construcción de una idea para poner a la disposición del otro
las reflexiones que, recogidas del torrente de la vida se
transforman en aportes. Deseamos que este proyecto sea un
espacio de intercambio y motivación para docentes y estudiantes.
Dra. Crisálida Villegas G.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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INTRODUCCIÓN
El siguiente, es un programa de estrategias basado en
curiosidades matemáticas dirigidos al docente que enseña
matemática de manera distinta a la tradicional. El mismo, se hizo
tomando en cuenta las características de los estudiantes que
cursan la Educación Básica y los contenidos del área matemática
de acuerdo con el nuevo Diseño Curricular.
El fin principal, es la promoción de actividades tendientes a
despertar el interés de éstos por la matemática, pretendiendo
contribuir de forma sistemática al desarrollo de los procesos de
enseñanza y de aprendizaje en pro del mejoramiento de las fallas
existentes en los estudiantes cursantes de Educación Básica.
Esta idea es la continuación de lo que inicie en Una fogata
matemática; ahora te traigo algunas estrategias que se pueden
aplicar en el aula para motivar al estudiantado.
Con ellas, se pone a los estudiantes a descubrir cuáles son los
contenidos que deben dominar para desarrollar una situación
problemática, además ilustran situaciones que los lleva a
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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al mismo tiempo, los hace pensar para desarrollar las actividades,
buscando que éstos pongan en juego el pensamiento lógico para
crear situaciones donde relacionen los contenidos matemáticos
aprendidos.
Aquí, se recogen curiosidades matemáticas para que el
docente realice una clase de matemática divertida donde los
estudiantes se mantengan interesados desde el inicio hasta el final
de la clase, siguiendo el sentido que persigue cada contenido
matemático impartido, logrando un aprendizaje de un modo
entretenido contagiándose de entusiasmo por la matemática
facilitando que éste explote la curiosidad que está en toda
persona.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Metodología a utilizar por el docente
durante la ejecución del programa
Las clases se cumplirán en tres etapas bien diferenciadas que se
enumeran a continuación:
Primero, segundo y tercer grado de primaria
El estudiante actúa solo, frente a la curiosidad matemática. A
medida que lee, descubre las características principales tales
como: condición, datos, incógnita o pregunta y escribe en un
cuaderno. Como no hay pensamiento sin lenguaje, el estudiante
necesita ejercitar utilizando sus poderes de expresión. Durante
esta etapa el docente, a través de sus observaciones, se preparará
para la próxima etapa que es de trabajo colectivo.
Cuarto, quinto y sexto grado de primaria
Para comenzar en esta etapa, el docente interrumpe el trabajo
individual de la etapa anterior. Ahora, la clase se transforma en
una colectividad que va a dedicarse a un trabajo común donde el
docente, debe incitar a que se inicie el debate de modo que los
estudiantes aporten sus observaciones y sugerencias, ya sean para
enriquecer, modificar o ampliar lo que se discute. El docente,
debe encausar este debate hasta llegar a obtener conclusiones
definitivas sobre la curiosidad en cuestión, y a la vez, precisar el
lenguaje y simbolismo.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Tercera Etapa:
El estudiante tiene que trabajar ahora con los contenidos, y el
lenguaje con que acaba de enfrentarse. La asimilación consciente
de lo anterior, es un trabajo individual que el docente debe fijar
cuidando las diferencias individuales.
Con estas estrategias se facilita la tarea de enseñanza y
aprendizaje de la matemática; de esta manera se esta dando un
aporte a la enseñanza de esta ciencia para que el estudiante
entienda mejor las operaciones básicas de la matemática, las
comunique con facilidad y siga el método de razonamiento
matemático acorde con su nivel.
También, el docente debe tener consciencia de que hay
conocimientos matemáticos que son muy rígidos; por lo tanto, no
requieren de muchas estrategias para enseñarlos sino, que se debe
a la práctica del estudiante para adquirirlos pero, si éste tiene la
ayuda del docente quien facilita éstos contenidos con recursos y
estrategias que puedan ser llevadas al aula con el propósito de
hacer ver que la matemática tiene un sin número de caminos por
donde se puede llegar a un mismo destino, entonces, podrá
lograrlos. En este caso, el destino es el conocimiento de un
contenido matemático que para adquirir las habilidades y
destrezas, sólo tiene que practicar la resolución de problemas.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Curioseando con la multiplicación
1
Las curiosidades matemáticas son tarjetas de presentación de la matemática, para aquellos que pasean su creatividad por lo nuevo, lo fantástico y lo grandioso de esta ciencia. José Servelión Graterol
14
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
Multiplicación con los dedos de las manos
Antes de iniciar la explicación quiero decirles que esto, sólo se
puede hacer con la tabla de multiplicar a partir del seis y cuando
digo, después del seis se debe tener claro que: 2 X 6; 3 X 6; 4 X 6;
5 X 6; no se multiplica con los dedos pues aquí observamos que el
dos, tres, cuatro y cinco no son mayores que seis. Por lo tanto,
cuando se trabaje con esta estrategia se debe hacer esta acotación
antes de comenzar para evitar mal entendido o que el estudiante
pierda la motivación.
ACLARANDO DUDAS:
La tabla de multiplicar del 2 comienza en 2 x 2
Porque debe quedar claro que el uno, es el elemento
neutro de la multiplicación.
Así, siguiendo esto que acabamos de ver podemos apreciar que
la tabla del 3 comienza en 3 x 3 pues 3 x 2 es igual a decir 2 x 3 y
ese resultado, pertenece a la tabla del dos.
De igual manera, la tabla del 4 comienza en 4 x 4 ya que 4 x 2 y
4 x 3 son de las tablas dos y tres respectivamente.
Esto también pasa con la tabla del 6, ella comienza en 6 x 6. La
razón es la misma que se ha seguido en los casos anteriores; de
modo que 6 x 5 es un resultado que lo encontramos en la tabla del
cinco.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Comencemos con 6 X 6.
1.- Con una mano se representa el primer número y con la otra el
segundo número así: Se puede decir cinco que tengo aquí
abriendo la mano y dejando que los estudiantes observen los cinco
dedos de la mano, como se muestra en la ilustración:
2.- Posteriormente con la misma mano que tenemos extendida
doblamos cuatro dedos dejando uno levantado, así: diciendo ¿y
uno?
Los niños responderán, seis.
De esta manera, hemos representado el primer seis.
Luego dejamos esta mano como se muestra en la segunda figura
y seguidamente, con la otra mano, pasamos a representar el otro
seis, así:
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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3.- Para representar el otro seis hacemos el mismo procedimiento
pero, con la otra mano y dejamos la mano con que representamos el
primer seis como lo indica el dibujo del segundo paso.
El otro seis sería así: CINCO Y UNO
Sabemos que los niños dirán seis.
Y
Esto se hace con una misma mano.
4.- En este momento tenemos las dos manos como lo indican las
figuras:
Preguntamos a los estudiantes ¿Cuántos dedos están doblados
en esta mano? Mostrando la mano izquierda, ellos por su puesto
dirán: ¡Cuatro!. Repetimos este procedimiento con la mano
derecha.
Luego, le decimos a los estudiantes, los dedos que están
doblados se multiplican y forman las unidades y los dedos que
están levantados se suman y forman las decenas:
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Así, como en la mano izquierda tenemos cuatro de dedos
doblados y en la mano derecha también tenemos cuatro dedos
doblados, decimos 4 X 4 es 16.
Preguntamos también con la otra mano y en esta decimos
¿Cuántos están doblados? Ellos dirán: ¡Cuatro! Seguidamente se
les dice; los dedos que están doblados se multiplican y forman las
unidades y los dedos que están levantados se suman para formar
las decenas.
En este caso se escribe el 6 y llevamos uno, luego indicando
con cada mano: un dedo que esta levantado en esta mano,
mostrandole una de las manos y otro que tenemos levantado en la
otra mano son dos, y uno que llevamos serán tres, que como
sabemos forman las decenas.
La ilustración indica lo que hicimos:
son 16; escribimos ...
... y llevamos 1.
Como se aprecia; dos dedos levantados más uno que llevamos
nos dan tres en las decenas.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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4 X 46
Veamos como se hace, en la práctica:
Se dice cuatro por cuatro Ellos dirán ¡Dieciséis! = 16
Es importante que deje participar a los estudiantes. Además,
como se tienen las manos ocupadas mostrándo la actividad, pídale
a uno de ellos que escriba en la pizarra.
Finalmente escribe, el estudiante que esta en la pizarra, 36.
Sabemos que escribimos el 6 y llevamos 1 luego preguntamos
con los dedos que están levantados ¿Uno más uno? Ellos dirán
¡Dos!
Usted dirá y uno que llevamos. Ellos dirán: ¡Tres!
Ahora el docente interviene explicando en el pizarrón que:
6 X 6 = 36
Multipliquemos ahora 6 X8
Con una mano representamos el siete y con la otra el ocho, así:
Cinco que tengo aquí y luego con la misma mano
cerrando cuatro dedos decimos y uno, ¡son seis!, mostrando la
mano como indica la figura. Luego dejando
esta mano así, pasamos a representar el ocho.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Ahora representamos el ocho de la manera siguiente:
Cinco Y tres son ocho.
Recordemos que tenemos para este momento las manos como sigue:
Mano izquierda
Mano derecha
Como se viene diciendo, los dedos que están doblados se
multiplican y forman las unidades; por eso aquí decimos
4 X 2 = 8.
Seguidamente, se suman los dedos que se dejaron levantados
que en este caso son 1+ 3= 4
Tengamos presente que el 4 representa las decenas, por eso
se escribe 4 decenas más 8 unidades; que es:
6 X 8= 48
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Multipliquemos 8 X 8
1.- Con una mano se representa el primer número y con la otra el
segundo. Se dice:
Cinco mostrando la mano
Y luego doblando los dedos decimos...
... y Tres son Ocho.
Luego dejando la mano izquierda así; se hace lo mismo con la
con la otra mano para representar el otro ocho, quedando las
manos como indican las figuras:
Como tenemos en cada mano dos dedos doblados multiplicamos:
2 X 2 = 4 Es igual a cuatro. Estas son las unidades y luego los
dedos que están levantados se suman 3 + 3 = 6 para formar las
decenas por eso:
8 X 8 = 64 Porque el 6 está formado por los dedos levantados
y el 4 resulta de multiplicar los dedos doblados.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Multipliquemos 7 X 8
Se dice cinco y dos son siete.
Y
Luego con la otra mano decimos:
Cinco y tres son ocho.
Y
En este momento las manos están así:
Como tenemos en una mano tres dedos doblados
y en la otra dos. Significa que multiplicamos 3 X 2 = 6 para
formar las unidades; ya que los dedos doblados se multiplican.
Mientras que para formar las decenas, sumamos los dedos
levantados 2 + 3 = 5 y así, tenemos que:
7 X 8 = 56 Que proviene de las 5 decenas formada por los
dedos levantados y las 6 unidades formadas por los dedos
doblados. José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Ejemplo: Multipliquemos 7 X 9
Cinco y dos son siete
Y
Con la otra mano decimos:
Cinco y cuatro son nueve.
Y
Tenemos las manos dispuestas como siguen en la figura:
Observando bien, te darás cuenta que se ha tomado la posición
de la mano que resulta de 5 más 2 y la otra posición que resulta
de 5 más 4.
Se ve, claramente, que 3 dedos doblados multiplicado por 1
doblado es igual a 3. Por esta razón, escribimos 3 en el lugar de las
unidades y luego, formamos las decenas con los dedos que
tenemos levantados, así que: 2 dedos que están levantados más 4
dedos levantados son 6 por lo tanto 7 X 9 = 63.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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2
Curioseando con fracciones
Las curiosidades matemáticas pueden
conducir a senderos matemáticos
insospechados.
José Servelión Graterol.
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José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
Estrategia para iniciar al niño en la adición de fracciones
Primero comencemos con mostrar la representación de una
fracción; por ejemplo:
3/5 =
Esto indica que la unidad se divide en 5 partes iguales
porque el denominador de la fracción es 5. Ahora bien, la parte
rayada indica que se tomaron tres partes de la unidad dividida y
está representada por el 3 del numerador.
No quiero seguir representando fracciones de esta forma porque
estoy seguro que usted sabe bien esto; además, a lo que quiero
llegar es a la pregunta que haría un niño:
¿Cómo se representa la misma fracción si el numerador pasa a
ser denominador y el denominador pasa a ser numerador?
¿Cómo se representa
5/3?
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Esto puede ser que el estudiante, como ha entendido la manera
de representar una fracción, trate de representar esta fracción. Así,
que cuando él tiene 5/3 dice:
A mí, me explicó la maestra que las partes en
que se divide la unidad esta indicada por el
denominador y como el denominador es 3; tengo
que dividir la unidad en 3 partes iguales y el numerador indica las
partes que se toman de la unidad dividida pero, aquí tengo una
unidad dividida en 3 partes iguales ¿cómo hago para tomar las 5?
Esto es lo que el estudiante hace, como lo índica
el denominador.
Es importante entonces, que intervenga la explicación del
docente diciendo que:
La unidad se divide en tres partes iguales como lo indica el
denominador.
Por lo tanto, tienes razón cuando
te imaginas la figura de esta forma.
Pero como hay que tomar 5 partes de esas que son iguales, se
necesita otra unidad del mismo tamaño que sea dividida en 3 partes
iguales así como la anterior.
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José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
En tal sentido, para representar 5/3, se deben hacer dos figuras
exactamente iguales que estén unidas por el signo más (+).
Así, debemos hacer entonces lo siguiente:
,
,
,
De la primera se toman las 3 como se indica con la parte
rayada y de la segunda se toman las 2 que faltan para completar las
5 indicadas por el 5 del numerador.
Ahora bien, el estudiante tal vez quede un tanto desorientado y se
haga la siguiente pregunta: ¿por qué se necesita para representar
5/ 3 dos figuras? Esta pregunta puede hacerla.
Esto, el docente lo puede aprovechar para explicar que:
3/3 2/3
La primera figura sugiere La segunda indica que de las 3
que de las 3 se toman 3: se toman 2.
En otras palabras tenemos
El docente puede decir:
Si observan bien, notarán que
3/3 + 2/3 estamos sumando: 3/3 +2/3.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Por lo tanto, este es un buen momento para iniciar al
estudiante en la noción de adición de fracciones de igual
denominador, diciéndole a éstos que en la adición de fracciones de
igual denominador se copia el denominador y se suman los
numeradores.
Así pues, es importante que el estudiante aprenda, que
cuando las fracciones tienen el mismo denominador para
sumarlas, se coloca el mismo denominador y se suman los
numeradores.
Lo que quiere decir que si sumamos las 2 fracciones que
representan las figuras debemos llegar a la fracción 5/3.
3/3 + 2/3
Veamos:
La primera representa 3/3 + 2/3 = (3+2)/3 = 5/3
Bueno, observemos que la primera unidad esta dividida en tres
y de ella se toman las tres pero, como tenemos que tomar 5 partes
que es lo que indica el numerador; debemos tomar las otras dos que
nos faltan de la otra figura. Luego, sumando estas dos partes,
apreciamos que efectivamente llegamos a la fracción que originó
esta representación que en este caso es 5/3.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Veamos otros ejemplos:
Representar:
a) 7/2 Significa que la unidad debe dividirse en 2 partes iguales así:
Pero, como se tienen que tomar 7 partes, necesitamos 4
figuras. Por lo tanto:
7/2 =
Probemos: 2/2 + 2/2 + 2/2 + 1/2 = (2+2+2+1)/2 = 7/2
Representar:
b) 7/5 Ahora, debemos hacer una unidad para dividirla en
cinco partes iguales pero, como se deben tomar siete
necesitamos de otra unidad que sea del mismo tamaño
dividida exactamente igual.
7/5 =
Ya sabemos que para probarlo, basta sumar la fracción que
nos representa la primera figura más la fracción que representa
la segunda: 5/5 + 2/5 = (5+2)/5 = 7/5
Una manera de abordar los números enteros en sexto grado
Comencemos explicando a partir de los números naturales, los
cuales son enteros positivos.
Así:
!Vamos a contar y a la idea de número, le asignamos un
símbolo.
!Conocemos los signos más (+) y menos (-).
! Al signo más (+) lo llamaremos positivo y al menos (-) negativo.
!Entonces contemos primero signos más (+)
Veámos: + + + + +
- ¿Cuántos signos tenemos? Se pregunta a los estudiantes.
- Estudiantes: Cinco.
- Docente: Representemos este número así (+5) lo cual indica
cinco positivos.
- Ahora contemos signos menos: - - - - -
- Docente: ¿Cuántos signos menos tenemos?
- Estudiantes: Cinco.
- Docente: Representamos también con el cinco pero, como son
negativos los que estamos contando escribimos -5 lo cual indica
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Observación:
Es importante que se note que cuando tenemos números enteros
positivos no se le coloca el signo, esto es porque si no es negativo
es positivo, aquí se dice que se sobreentiende que el número es
positivo.
Pero, cuando tenemos un número entero negativo se tiene
necesariamente que escribir el número acompañado del signo
menos (-). Por esta razón, se observa en la práctica que al
referirnos al cinco positivo se escribe solamente 5.
Cuando nos referimos al cinco negativo escribimos -5.
Lo que significa que estamos en presencia de otros números,
llamados enteros negativos y al igual que en los números naturales,
con estos enteros negativos podemos realizar operaciones.
Ejemplo:
Adición de números enteros negativos
!Si tenemos: - 3 + (-2)
Aquí decimos: Tenemos tres números negativos y nos dan dos
números también negativos ¿cuántos tenemos?
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Es lógico, nos da cinco, pero como estamos sumando números
negativos decimos cinco negativos. Por lo tanto, escribimos:
-5
Observación:
Cuando escribimos 3 + (-2) el menos dos lo encerramos entre
paréntesis, esto es para que no se confunda el más (+) de la
operación con el signo menos (-) del número dos.
Pues en este caso, el menos es propio del dos negativo; en otras
palabras, lo hace ser distinto de un entero positivo llamado 2 entero
positivo.
Veamos esto de manera ilustradas, así:
Ilustremos entonces la adición -3 + (-2) como sigue:
- - - + - - = - - - - -
Estas son cajas:
En una tenemos tres negativos más dos negativos que tenemos
en la otra, nos da un resultado de cinco negativos, representado por
la caja: - - - - -
Luego contamos. Como son cinco, se escribe el símbolo que
representa el 5 pero acompañado del signo menos porque lo que
estamos contando son negativos. Por lo tanto escribimos -5.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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Veamos otros ejemplos:
Sumemos -7 + (- 4)
Siguiendo la ilustración de las cajas podemos decir que
tenemos dos cajas, dispuestas como sigue:
- - - - - - - - -
- - - + - - - - = - - - - - -
Que al representarlo en símbolos numéricos es:
- 7 + ( - 4) = -11
Pues se aprecia que en la primera caja hay siete negativos y
se le suman cuatro negativos que tenemos en la segunda caja,
entonces nos resultan once negativos, estos se representan en la
caja mayor que la encontramos después de la igualdad con once
signos menos lo cual escribimos así: -11
Otro ejemplo:
Sumar -9 + (- 6)
- - - - - - - - - - - - - -
Ya sabemos que: - - - - + - - - = - - - - -
- - - -
-9 + - 6 = -15
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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De aquí se deduce, que los números que tienen el mismo signo
se suman o se agrupan para representarlos con un número
manteniendo siempre el signo.
En los casos anteriores mantuvimos el signo menos.
Ahora, revisemos que pasa si son enteros positivos y enteros
negativos, los que estamos sumando.
Sumemos -7 + 8 = 1
- - - - + + + +
Ilustrándolo: - - - + + + + + = +
Aquí ocurre algo parecido a una guerra de signos, donde un
signo menos se elimina con un signo más.
Veamos esto:
Se observa que hemos tachado 7 signos negativos de la primera
caja, y en la segunda caja 7 signos positivos. Indicando que los 7
signos positivos se eliminan con 7 negativos. Quedó 1 signo
positivo, que representa el número 1 en la operación.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
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José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
35
Veamos otros ejemplos como sigue a continuación:
a) 7 + (-9) = - 2
Representemos esto como sigue:
Recuérdese que se va eliminando un signo positivo con un
signo negativo y como en una de las cajas quedaron 2 signos
negativos, éstos, indican el - 2.
b) -8 + (-10) + 7 + 2
Representando queda:
- - - - + - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - + + + +
- 8 + - 10 + 7 + 2
Agrupemos los signos negativos en un solo grupo y los signos
positivos en otro grupo; así:
- - - - - - - - - + + + + + - - - - - - - - - + + + + +
- 18 + 9
Ahora, a partir de la ilustración siguiente...
...se observa, que se eliminaron 9 signos negativos con los 9
signos positivos, quedando 9 signos negativos en una de las cajas,
lo cual se representa con - 9.
Es el tiempo para enseñarle al estudiante que signos diferentes
se restan y se mantiene el signo del que tenga mayor valor absoluto.
Hasta aquí, hemos venido agrupando los signos en cajas, bien
puede aprovecharse esto para llevar al estudiante a la noción de
conjunto pues, se puede decir que cada caja representa un conjunto
que agrupa elementos de una misma naturaleza por lo que,
entonces, tenemos:
Un conjunto formado por los signos negativos y, otro conjunto
formado por los signos positivos. Además, se aprecia que hay un
conjunto resultante el cual puede estar formado por elementos
negativos o positivos pero, en ningún caso se agrupan positivos y
negativos al mismo tiempo.
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Así, realicemos la siguiente operación donde tenemos cuatro
números; dos de ellos representan a los positivos y los otros dos, a
los negativos, veamos como se hace:
4 + (-5) + 9 + (-2)
++ + - - - + + + + + + + - -
++ - - + + + +
Entonces, al agrupar signos iguales queda así:
Observe que ganaron los positivos.
Por eso, el número 6 es positivo.
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Pasemos ahora a introducir al estudiante al conocimiento de la
recta numérica. Por lo que podemos hacer algunas
representaciones de números enteros, tanto positivos como
negativos. Veamos:
- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Aquí, se aprecia que el 0 es el número que actúa como
mediador que a partir de él, se sitúan los números a igual distancia
unos a la derecha y otros a la izquierda. Los números a la derecha
del 0 son positivos y los situados a la izquierda son negativos.
Otra propiedad que se observa en esta recta es que: los números
enteros negativos a medida que se alejan del 0 son cada vez
menores; lo que significa que -2 es menor que -1 por cuanto -2 es
dos veces menor y -1, es solamente una vez menor.
De igual manera; al comparar el - 4 con el - 2 apreciamos
que el - 4 es cuatro veces menor; mientras el - 2 es sólo dos
veces menor.
De modo que, en la recta numérica es importante que el
estudiante reconozca que a cada punto que conforma la recta se le
puede asignar un número entero, tanto positivo como negativo.
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También se puede deducir de esta recta que un número situado
a la izquierda de otro es menor y el que está a la derecha es mayor
por lo tanto, podemos comparar los números situados sobre la
recta numérica haciendo uso de los signos “ ” mayor que y
“ ” menor que.
Para este momento es conveniente explicarle al estudiante la
existencia del elemento simétrico; esto se puede hacer usando la
recta numérica.
Veamos:
- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Aquí se observa que el 2 situado a la derecha del 0 es el
simétrico del - 2 situado a la izquierda del cero.
Es importante que se le explique al estudiante que al simétrico
también se conoce con el nombre de inverso aditivo u opuesto.
Por eso, en la practica generalmente se habla de opuesto.
Por ejemplo:
- 4 tiene como opuesto 4.
5 tiene como puesto - 5.
7 tiene como opuesto - 7.
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En general, el opuesto de un número entero “a” es un
“- a” lo cual indica que el opuesto de un número entero es el mismo
número, pero con signo opuesto.
Lo que significa que si a un número se le suma su opuesto se
obtiene cero.
Ejemplo:
Opuesto
-7 + 7 = 0
5 + (-5) = 0
Opuesto
Observación:
Es importante que el estudiante entienda que el cero no es ni
positivo ni negativo, pues él, es neutro.
A partir de aquí, el estudiante debe notar que el conjunto de los
números naturales se conocen también con el nombre de enteros
positivos.
Además, se puede hablar entonces de números enteros positivos
con el cero, enteros positivos sin el cero.
Al hablar de enteros, nos estamos refiriendo a todos los enteros;
es decir, a la unión de los enteros positivos y negativos.
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Relación “menor que” y “mayor que”
Cuando se enseñe a los alumnos la relación “menor que” y
“mayor que” es importante señalar que si un número es menor que
otro, aquí también se puede decir que el ultimo es mayor que el
primero.
Ejemplo: Lo dicho anteriormente se entiende mejor
observando los ejemplos:
a) 4 5
Aquí se dice, que 4 es menor que 5. Si se lee de
izquierda a derecha.
Ahora bien, si leemos la misma relación de derecha a izquierda,
se tiene que 5 es mayor que 4 por lo que quedará como sigue:
b) 5 4 Si nos detenemos a observar con detalle la
primera relación y la segunda, notaremos que en ambas la abertura
del signo ( ) está del lado del número mayor.
Se deduce entonces, que en la relación “menor que” ( ) y
“mayor que” ( ) el número menor estará señalado con la punta
del signo y el mayor con la abertura.
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Otro ejemplos:
La ilustración muestra a dos alumnos que están situados en
sentidos diferentes uno a la derecha y otro a la izquierda.
Pedro que está a la izquierda observa que 7 es “mayor” que 2;
mientras que Ana que está a la derecha observa que 2 es “menor
que” 7.
Así se observa que:
Los dos están observando lo mismo
pero; cada uno lo expresa ubicándose
de acuerdo al sentido en que se
encuentra.
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Observemos:
Que cuando escribimos 2 7 es igual a escribir 7 2.
Pero aquí, no es que el 7 pasa a la izquierda y el 2 a la derecha
sino; que estamos viendo la situación desde sentidos contrarios.
En esto de las relaciones mayor que y menor que, el estudiante
ya esta familiarizado con las edades de sus compañeros por lo que
considero que el docente puede hacer uso de estas edades de un
modo muy cuidadoso.
Estas relaciones se deben hacer entender bien, pues es aquí
donde el estudiante funda las bases teóricas para comprender más
tarde en noveno grado de Educación Básica lo relacionado a las
inecuaciones.
De modo que, es importante abundar con ejemplos donde se
utilice elementos del entorno del estudiante para que se realicen
actividades con el fin de que éste, fije el conocimiento.
Entiéndase que el entorno del estudiante no es el entorno de la
escuela o la institución educativa, ya que hay quienes creen que el
ambiente de la institución educativa es el entorno del estudiante.
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3 Jugando con curiosidades matemáticas
Las curiosidades matemáticas
alimentan la imaginación y llevan al
hombre a ser cada vez más creativo.
José Servelión Graterol.
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En busca de la motivación
Los estudiantes escriben en su cuaderno
un número; como se explica a continuación:
Nota: Para iniciar esta actividad el docente realiza lo siguiente:
!Escribe, en el pizarrón, un número (puede ser de dos cifras, tres
o más dependiendo del grado) y luego, le dice a los estudiantes:
!Réstale dos.
!Lo que te quedó del número multiplícalo por 3.
!A este nuevo resultado súmale 12.
!A este nuevo número divídelo por 3.
!Ahora a este número réstale el número que escribiste
inicialmente.
!A lo que te quedó súmale 4.
Aquí el docente dice: ¿Te quedó 6?
Esto también puede hacerse simultáneamente docente y
estudiantes:
El docente dice: Vamos a jugar un poco con la matemática,
escriban un número (de tantas cifras) en su cuaderno y yo les voy
indicando en el pizarrón porque también escribiré otro, así:
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El docente escribe 10 Réstenle -2
8
Luego multiplíquenlo 8
X 3 24
Súmenle 24 + 12 36 Divídelo entre 3 36 entre 3 = 12
12Réstale el número que escribiste -10 2 + Ahora súmale 4 4 6
El docente pregunta
¿Les dio también 6?
Como estamos en presencia de estudiantes normales
seguramente quedaran con las ganas de saber por qué les dio igual
que el docente; o querrán aprender por eso es bueno seguir jugando
con ellos antes de explicarles el por qué. Y, si alguno de ellos logra
comprender el por qué, felicítelo.
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Veamos otro ejemplo:
El docente propone que hagan otro conjuntamente con él.
El docente escribe en el pizarrón el número
20 así como sigue a continuación:
20
Pide que le resten dos - 2
18
Dice: Multipliquen por tres x 3
54
Súmenle doce +12
Dividan entre tres 66 entre 3 = 22
Réstenle el número que escribieron -20
2
Ahora el docente para variar el juego dice súmenle +10
12
Y luego pregunta ¿les dio doce?
El estudiante dice: ¡Sí!
Y tal vez algunos dirán:
Pero a ésta, ahora, le sumamos 10 y antes, sumamos 4.
El docente puede intervenir diciendo si es verdad vamos a hacer
otro, a ver qué pasa.
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Se realizará igual que en los ejemplos anteriores: estudiante y docente.
El docente escribe catorce 14
Pide que le resten dos - 2
12
Dice: Multipliquen por tres x 3
36
Súmenle doce +12
Dividan entre tres 48 ÷ 3 = 16
Réstenle el número que escribieron -14
2
+15
17
Esta vez, el docente o la docente dice:
¡ Ahora les dio diecisiete! ¿Verdad?
En este momento puede explicar que la operación inversa de la
adición es la sustracción.
Y la inversa de la multiplicación es la división.
Antes de explicar el caso que los mantiene motivado, debe
iniciar la explicación de múltiplos de un número.
Esto es, porque en este caso siempre el número que se da a sumar
debe ser múltiplo de tres.
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Por ejemplo, en este caso siempre se debe sumar un número múltiplo de tres.
Es importante observar que si le sumamos 6 y luego le restamos
el número escrito inicialmente da cero; si se suma 9 da uno. Sí
sumamos 12 quedan 2. Sí sumamos 15 quedan 3; si sumamos 18
quedan 4. Entonces, se puede concluir que:
En los ejemplos anteriores, sabíamos que después de restar el
número que inicialmente escribimos quedaba 2 porque dijimos
súmale 12. Pero, si hubiésemos dicho súmele 6 queda cero. De
igual manera, si decimos súmele 9 nos va a quedar uno; si en vez
de alguno de esos números decimos súmele 15, sabemos entonces
que va a quedar 3 y, si decimos súmele 18 quedan 4. Así que
podemos entonces decir ahora, para finalizar, súmele 4 o
multiplíquelo por 4 y sabremos cuanto dará.
Aquí, no se trata de que el estudiante entienda de buenas a
primera lo que ocurre sino, de motivarlo a realizar las operaciones
y que vea esta actividad como un juego donde puede aplicar los
conocimientos dados en clase.
Puede también el docente decirle al estudiante que todo número
cuya suma de sus dígitos sea divisible entre 3; es múltiplo de 3. Por
ejemplo 12, al sumar sus dígitos 1+2=3 por lo tanto 12 es múltiplo
de 3; 18, al sumar sus dígitos 1+8=9 y como 9 es divisible entre 3
entonces 18 es múltiplo de 3; también 24 es múltiplo de 3 pues
2+4= 6 y seis es divisible entre 3.
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Para terminar con esta curiosidad veamos otro ejemplo y luego la explicación de todo lo que ocurre:
El docente escribe: 14
Luego pide que le resten dos 14
a ese catorce. - 2
12
Dice: Multipliquen por tres x 3
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Súmenle doce +12
Dividan entre tres 48 ÷ 3 = 16
Réstenle el número que escribieron -14
2
Súmele cinco + 5
7
Observación:
Nótese, que cuando el estudiante resta al 16 catorce le
quedan 2; esto es porque el docente dijo en el paso tres que le
sumara 12. Ahora bien, como ya se sabe que le quedan 2 y el
docente dice en esta parte final que le sumen cinco, entonces sólo
hay que sumar 2 más 5 por eso da 7.
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Jugando en grupos con las curiosidades
Para realizar esta actividad pídale a los estudiantes que se formen
en grupos de tres o cuatro. Dígale que van a realizar una suma de
varias cantidades y que usted, le dará la respuesta antes de terminar
pero, que para ello se requiere que sigan las instrucciones:
1) Un miembro del grupo escribirá un número de cuatro cifras en
su cuaderno.
2) El docente escribirá la respuesta, en un papelito, de la suma a
realizar y se lo dará a uno de los miembros del grupo.
El docente sabrá la respuesta porque al número que escribe el
estudiante debe restarle dos a las unidades y colocarlo al principio
de la cifra, así por ejemplo:
Si el estudiante escribe 3567
Entonces la respuesta será 23565.
Como se aprecia al 7 de las unidades se le restó 2 y quedó en 5
y este dos, se escribe al inicio del número por eso el nuevo
número es 23565, que será la respuesta.
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Si el número que el estudiante escribe termina en cero entonces
debe quitar prestado al restar, así:
Supongamos que el estudiante escribe 5630
La respuesta que el docente escribirá será 25628.
Como se aprecia al diez le resto dos y queda en 8 y, el tres de
las decenas quedó en dos por la unidad que presta.
3) Ahora puede continuar la actividad de la manera siguiente:
Otro estudiante escribirá un número de cuatro cifras debajo
del que escribió su compañero de grupo respetando el valor
posicional.
4) El docente debe escribir otra cantidad debajo de las dos que han
escrito los estudiantes, para ello debe completar nueve en cada
número, por ejemplo si el estudiante escribe 1234; el docente
escribe 8765, como se aprecia siempre se debe llevar a nueve cada
número.
5) Nuevamente el docente pide a otro miembro del grupo que
escriba otro número debajo de los que ya se tienen escrito con las
mismas instrucciones antes señaladas.
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6) Por último, el docente vuelve a escribir otro número para
completar la cuenta, llevando a nueve los números como en el
paso anterior.
7) Luego, el docente, indica a los miembros del grupo que realicen
la adición de las cantidades y que verifiquen el resultado con los
que ya escribió al inicio en el papelito.
Observación:
Antes de dar un ejemplo, le recuerdo que debe memorizar los
pasos bien antes de comenzar este juego con los estudiantes.
Como puede apreciar, los estudiantes escriben tres veces y el
docente también lo hace tres veces, sólo que inician ellos y la
primera cantidad que escribe el docente, es la respuesta.
Veamos un ejemplo, si el estudiante escribe 3567
Y, otro escribe debajo 4212
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Expliquemos el ejemplo:
Para el caso de un grupo que escribe un número que no termina en
cero :
El docente escribe 23565 en un papelito
Uno escribe 3567 y se lo entrega a uno de los miembro del
Otro escribe 4212 grupo; diciéndole ¡esta es la respuesta!
El docente 5787
Otro escribe 1352
El docente 8647
23565
El docente indica una vez que escribe el número 8647 que
realicen la adición de estas cantidades y que la comparen con la que
dió a uno de los miembros del grupo, para ver si efectivamente ese
es el resultado.
Otro ejemplo, caso donde el número termina en cero:
Uno escribe 7850 La respuesta del docente es: 27848
Otro escribe 1111
El docente 8888
Otro escribe 2222
El docente 7777
27848 Observese que el docente siempre
Llevó las cantidades a nueve.
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Todos jugando con la misma actividad
Veamos como jugar con todos los estudiantes en el aula por
medio de esta actividad. El docente pide a uno de ellos que
escriba en el pizarrón un número de cuatro cifras. Por ejemplo,
supongamos que uno escribe:
4580 Y el docente dice que dará: 24578 y
Escribe este resultado en una parte
visible del pizarrón.
También dice: escriban todos en el cuaderno el número 4580.
Cada uno debe sumarle una cantidad de cuatro cifras, luego me
dicen la cantidad y yo, les indicaré que cantidad sumarle.
Así, que tendremos tantas cuentas que sumar como alumnos en
el aula y cada uno, se encargará de realizar su actividad.
Imaginémonos que los estudiantes hacen:
4580 4580 4580 4580 4580
1234 1111 3333 7777 8888
8765 8888 6666 2222 1111
4523 1568 1234 1289 5555
5476 8431 8765 8710 4444
24578 24578 24578 24578 24578
Aquí se muestra un ejemplo con cinco estudiantes.
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Adivinando números
1.- Escribe un número de tres cifras tal que, el valor absoluto de
la tercera orden, sea mayor que la del primer orden.
2.- Invierte la colocación de las cifras.
3.- Efectúa la diferencia.
Ejemplo:
Si se escribe 451 al invertir la colocación de las cifras tenemos
154, es decir, se ha escrito el mismo número alrevés.
4 5 1 - 1 5 4 2 97
Después que se haya efectuado la diferencia, el estudiante
debe comunicarle al docente qué número le resultó en la
posición de las centenas; es decir:
En este caso resulta un 2. Por lo tanto, el estudiante dice: me
dió dos.
El docente dirá entonces: ¡Te dio 297!
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Otro ejemplo:
Supongamos que uno de los estudiantes escribió:
732
Al invertir el orden de colocación entonces queda: 237; de
manera que, éste es el número que debe restar al primer número
que escribió. Así que:
732 -237 495
Observamos que una vez realizada la operación por el estudiante,
éste, le debe comunicar al docente que en el lugar de las centenas le
dio cuatro.
A lo que contestará entonces: ¡ Tu resultado es 495!
Observación:
Esta actividad también se puede aplicar a todo el grupo de
estudiantes en el aula de clase. Colocando a éstos en fila e
indicando que el primero de cada fila le comunicara a sus
compañeros el número que deben escribir y una vez que todos
hallan realizado la operación se escoge uno al azar, por fila, para
que diga al docente qué número debe dar en las centenas; mientras
que éste comunica el resultado que tiene que dar a todos los de esa
fila.
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Con esta curiosidad, se motiva al estudiante y al mismo tiempo,
se utiliza para evaluar la sustracción; por cuanto sí el estudiante le
comunica al docente un número que no es el que realmente queda
en las centenas entonces, se le dice, sin ver el cuaderno de éste
revisa la operación que hiciste porque tienes un error en la resta.
Explicación:
En este caso siempre el número del medio es 9 y la suma del
primero con el tercero suman 9. Por tal razón: si escribió 7 2 3
723
-327
396
El estudiante dice: Me dió 3 y el docente le dice el número
completo; porque ya sabe que es 3; en el medio esta el 9 y al 3
le faltan 6 para llegar a 9; por lo tanto, el número es 3 9 6.
Así que si un estudiante dice 6, el docente deduce que el primer
número es 3, y como siempre el número del medio es 9, el número
es entonces el 693.
Se sugiere que después de haber jugado con el estudiante se le
explique por qué se conoce el resultado, esto para que él aprecie
que puede aprender sí despierta el interés por la matemática.
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Estrategia para Adivinar una palabra
de la página de un libro
Se le pide a un estudiante que seleccione un libro y que escoja
una palabra sin que se pase de la página 9 ni de la línea 9, ni de la
palabra 9. Podemos adivinar cuál es la palabra que esta persona
seleccionó.
Primer Paso: Se le pide que multiplique el número de la página
donde esta la palabra selecciona por 10. Con esto, estamos
colocando nuestra primera pista porque no cambia el número sólo
cambia el valor posicional; es decir, la posición unidad pasa a las
decenas.
Segundo Paso: Se le dice, que sume 25 (esto es para hacerlo
más divertido, como para que la persona se distraiga).
Posteriormente, se pide que sume el número de la fila donde está la
palabra seleccionada y este nuevo número se debe multiplicar por
10 con lo cual esta pasando el número de la página a la posición de
las centenas y el de las filas a las decenas.
Tercer Paso: Se le pide, que agregue el número donde esta la
palabra seleccionada, esto no varía por cuanto ocupa el valor de las
unidades.
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Cuarto Paso: Aquí es importante notar que el 25 que se sumó
luego se multiplicó por 10 y esta, es la razón que justifica por
qué se debe restar 250. Porque en realidad, lo que se suma es 250
ya que; 25 x 10 = 250 y de esta manera, los números sólo
cambiaran de posición.
Ejemplo:
Si el alumno selecciona de la pagina 6, en la fila 4, la palabra
número 5. Se le manda a que proceda así:
Multiplica el número de la pág. x 10
6 x 10 = 60
Luego se le dice que le sume 25 (Este es el distractor)
60+ 25 85
Posteriormente se le dice: Suma el número de la fila donde está la palabra.
85+ 4 89
Luego, este 89 lo multiplica por 10
89 X 10 = 890
60
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Y ahora, suma el número donde esta la palabra que seleccionó:
890 + 5 = 895
Finalmente, el estudiante le comunica al docente el último
número de la operación (895) y el docente le resta
mentalmente 250.
895 - 250 645
Entonces, se tiene que el 6 de las centenas es
el número de la página. El 4 de las decenas es
el número de fila y el 5 de la unidad es el lugar
de la palabra seleccionada.
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Otra Curiosidad para Adivinar Números
El docente pedirá a los estudiantes que escriban en el cuaderno,
sin que él los pueda ver, un número del 50 al 100.
Después que lo escriba se le pide que sume un número que el
docente le da. El número que le da a sumar es siempre del 50 al
100. Y el docente le dirá el resultado.
El docente puede hacer uno en el pizarrón a manera de ejemplo
o, puede hacerlo conjuntamente con los estudiantes. Éstos en el
cuaderno y él, en el pizarrón, así:
El docente escribe 70
Los estudiantes escriben X número del 50 al 100.
El docente dice suménle a ese 70 + 60
70
+ 60
130
Luego se quita el número de la centena y se suma con el de la
unidad. Así que del 130 resulta 31.
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62
Este nuevo número se le resta al número que escribió al inicio,
en este caso:
Entonces si los estudiantes
70 hicieron las operaciones y los
- 31 procedimientos indicados por el
39 docente también su resultado final
será 39.
Explicación:
El secreto está en el número que el docente dio a sumar. Por
ejemplo, si dijo súmenle 60, el resultado será lo que le falta a 60
para llegar a 99. En este caso, el resultado final es 39.
Si da a sumar 73 el resultado será 26 porque esto es lo que falta
para llegar a 99. En consecuencia, el número que el docente dice al
estudiante que sume debe ser mayor al 50 pero menor que 99.
Ejemplo:
Supongamos que el estudiante escriba 74 y el docente le pide
que sume 63 (el resultado será 137). Porque 74 + 63 = 137.
A este número le quita el 1 y se lo suma al 37 dando el resultado
de 38. Luego, este número se resta del original que es 74 - 38 = 36.
Resultado que sabe el docente de antemano.
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Sigamos con Curiosidades
!El estudiante escribe en su cuaderno un número de 3 cifras, sin
decirlo al docente.
!Luego el docente propone que halle la suma de los valores
absolutos de las cifras de ese número.
!Réstale este nuevo número, al que escribiste inicialmente.
Ahora, sin que el docente vea lo que hace, se le pide al
estudiante que encierre uno de los dígitos del resultado obtenido
con un círculo, el que desee y que le comunique al docente los
dígitos restantes y, el docente le dirá inmediatamente el número
encerrado o seleccionado.
Ejemplo:
El estudiante escribió 456 la suma de los valores absolutos de
las cifras de este número es 4 + 5 + 6 = 15. Este es el número que
restará al 456.
Así: 456
- 15
4 4 1
En este caso el estudiante encierra uno de los dígitos y le
comunica al docente que dejó el 4 y el 1.
El docente le dice ¡encerraste un 4!
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Veamos otro ejemplo:
El estudiante escribe 788 suma 7 + 8 + 8 = 23
788
-23
76 5
El estudiante le comunica al docente que dejó por fuera al 6 y 7.
Entonces, el docente le dice: ¡Encerraste el 5!
Explicación:
La clave consiste en sumar los números que dejó el estudiante
para luego buscar lo que falta a dicha suma para formar un numero
divisible por 9.
Por ejemplo: en el primer caso el estudiante dijo que dejó el
4 y el 1.
Así, que 4 + 1 = 5. Como al 5 le faltan 4 para llegar al número
más próximo divisible entre 9. Ésta es la cifra encerrada.
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Estrategia para Calcular el Número de Hermanos Varones,
Hembras y los Abuelos
Para realizar esta actividad, el docente pedirá a un estudiante
voluntario que haga en el cuaderno, sin que el docente observe, la
siguiente operación:
!Escribe el número de hermanos (varones) que tienes.
!Multiplícalo por 2.
!Súmale 3 al resultado anterior.
!Multiplica por 5.
!Súmale el número de hermanas.
!Multiplica por 10.
!Luego, súmale el número de abuelos vivos que tienes.
!Finalmente, se le dice que reste 150 al número final.
Todo esto es para adivinar cuántos hermanos tiene, cuántas
hermanas y cuántos abuelos vivos.
Probablemente, después de hacerlo con un estudiante los demás
se sientan motivados y quieran hacerlo, por lo que se pueden
formar grupos de 3 estudiantes o 4, dependiendo el caso, para que
realicen esta actividad.
Veamos los ejemplos:
Para el caso de un estudiante que tenga: 6 hermanos varones, 4
hembras y 1 abuelo vivo, se hace de la siguiente manera:
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José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
El estudiante debe realizar las siguientes operaciones:
6 X 2 = 12 a este 12 le suma 3.
12+3=15 este 15 debe multiplicarlo por 5
15X5= 75 ahora este 75 le sumará 4
75+4= 79 este 79 debe multiplicarlo por 10
79X10= 790 aquí debe sumar uno (porque en este caso es un
abuelo que tiene)
790 + 1= 791 Como este es el número final debe restarle 150
791- 150 = 641
Este resultado final nos muestra que efectivamente el
estudiante tiene 6 hermanos, 4 hermanas y 1 abuelo vivo.
Esta actividad sirve para evaluar sin que el estudiante sienta
presión (pues no se le ha dicho que van a evaluar las operaciones
aquí involucradas).
Por ejemplo, cuando multiplica por 10; si no se ha dado cuenta
que en la multiplicación por la unidad seguida de cero se copia la
cantidad y se le agrega los ceros de la unidad, es el momento de
recordar este proceso.
También, se aprecia que con esta curiosidad, se evalúa la resta.
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José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
Explicación de lo que ocurre:
Primero se multiplicó por 2 el número de varones que tiene; en
este caso resulta 12. A este 12 le sumamos 3 resultando 15.
Posteriormente se multiplica por 5 lo que nos da 75.
Es importante observar que hasta este momento tenemos 3 (tres)
que se dieron a sumar al doble de la edad que al multiplicarlo por 5
da 15; lo que significa que realmente se ha sumado 15 al doble de
la edad.
Ahora, le sumamos a este 75 el número de hermanas que en este
caso es 4; por esta razón, observamos 79.
Seguimos multiplicando 79 X 10 y es importante observar
que estamos multiplicando el 15 que se había agregado X 10.
Por lo tanto, ahora podemos decir que realmente hemos sumado
150.
Por esta razón, al número que resulta se le resta 150; mientras
que el número de hermanos y de hermanas sólo cambian de
lugar posicional.
Esto puede servir como medio para recordar por lo menos las
posiciones de unidad, decena, centena, unidad de mil, decena de
mil y centena de mil.
68
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
Observación:
Todo parece indicar que al multiplicar el 2 con el que se dobla la
edad X 5 da 10. Por lo que automáticamente estamos
multiplicando el número de hermanos que se escribió al principio
X 10. Por lo tanto, se esta enviando a la posición de las decenas lo
cual, al multiplicarlo X 10 pasa a la posición de las centenas.
Por ejemplo, si queremos que el 4 pase a la posición de las
centenas, procedemos así:
4 X 2 = 8
+ 3 Se suma 3
11
X 5 Se multiplica X 5
55
x 10 Se multiplica X 10
550
- 150 Finalmente, se le dice al estudiante que le reste 150.
400
Es importante considerar lo siguiente: el estudiante le
gustaría tal vez aprender por qué eso se da de esa manera, en otras
palabras qué sucede, por eso trato de explicar lo que pasa; pero de
lo que se trata es que él esté motivado a querer aprender
matemática, en este sentido me parece interesante dejar que sea el
propio estudiante quien busque el por qué eso se da así.
69
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
Una explicación puede ser:
Aquí, se puede apreciar que 3 X 5 = 15 pues recordemos que
se suma 3 y se multiplica X 5, pero anteriormente el número
original fue multiplicado X 2. Por lo que sí multiplicamos 2 X 5
nos da 10. Número por el que realmente se está multiplicando el
número original, y como se vuelve a multiplicar X 10 entonces,
el número original pasa al lugar de las centenas, mientras que el 15
queda multiplicado X 10 dando 150 que es lo que se resta, ya que
es la cantidad sumada.
No olvide que todo docente debe dejar en el estudiante el
deseo de querer seguir aprendiendo y tenga en cuenta que cuando
se le explica a un estudiante todos los detalles en un mismo
momento éste siente que ya lo aprendió todo, de modo que lo ve
fácil y en algunos casos se desmotiva.
Lo que quiero dejar claro, es que debe ser cuidadoso cuando
este enseñando con las curiosidades; es decir, esto es como contar
cuentos matemáticos pero, llevando a la audiencia (que en este
casos son sus estudiantes) hacia esos momentos que tienen que ver
con la imaginación, crear situaciones, buscar la respuesta a los
hechos.
Dicho de otra manera, no es bueno saber el final del chiste
antes de contarlo porque nadie se interesará por saber el
desarrollo y en esto del aprendizaje de la matemática lo más
importante es el desarrollo del proceso.
70
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
4Curiosidades con los criterios de
algunos números
La mejor idea del hombre fue haber
creído en la noción de número.
José Servelión Graterol.
71
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
Curiosidades del 9
Parece interesante revisar los siguientes múltiplos de nueve:
18 -------------- 81
27 -------------- 72
36 -------------- 63
45 -------------- 54
90 -------------- 9
99 -------------- 99
108 ------------- 801
117 --------------711
126-------------- 621
135 --------------531
144 -------------- 441
153 ------------- 351
162-------------- 261
171-------------- 171
Aquí se aprecia que un múltiplo de nueve si lo escribimos
invirtiendo el orden de las posiciones (escribirlo de derecha a
izquierda ) sigue siendo múltiplo de nueve el nuevo número
formado por los dígitos invertidos.
También se observa que si el número que resulta al sumar los
dígitos es múltiplo de tres el número es divisible entre 9; siempre
que esta suma sea mayor o igual a nueve.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
72
Esto puede servir para que el estudiante se familiarice con los
múltiplos de un número; además que se puede también indicar
cuando un número es capicúa.
Entendiendose éste, como todo número que al invertir sus
dígitos no cambia de valor, es decir no se trasforma en otro sino que
sigue representando al mismo número, por ejemplo:
99 al invertir sus dígitos queda 99
171 al invertir sus dígitos queda 171
En esto de la multiplicación sería conveniente que el docente
explique a los estudiantes que las tablas de multiplicación son
infinitas y que en el cuaderno aparecen generalmente hasta el diez
porque la hoja de éstos no permiten hacerlo con mayor amplitud
por que son muy pequeñas.
Por ejemplo la tabla del 3 no termina en tres por diez, pues
podemos decir 3 x 11=33; 3 x12= 36; 3 x 13= 39; en fin, se puede
seguir con la tabla del tres hasta donde pueda llegar nuestra
imaginación y más, por que ella es infinita.
Por eso cuando el proceso se hace muy largo se coloca así:
23456 23456
X 3 X 4
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
73
De modo que es un error decirle al estudiante apréndete la tabla
del tres, lo que pasa es que estamos tan acostumbrado que lo
decimos sin darnos cuenta que ella es infinita; por esa razón, nunca
el estudiante se aprenderá ninguna tabla.
Lo importante es que tenga la noción de que multiplicar es una
suma sucesiva; es decir, si estamos en la tabla del 5 por ejemplo
que el estudiante reconozca que es una suma sucesiva del cinco.
Tenga presente que la tarea del matemático no es hacer grandes
cálculos, ni tener habilidad para memorizar grandes cantidades
sino que, debe pensar analíticamente, buscar la lógica, coherencia,
interpretar los hechos, deducir, inferir, para llegar a demostrar.
Porque los grandes cálculos se lo dejamos a las maquinas, que
como se sabe, son excelentes para realizar esta tarea y en cuanto a
la memorización, ya se sabe que en el disco duro de una
computadora se puede guardar mucha información.
Claro, que se reconoce que todo estudiante tiene que dominar
cierta teoría pero, no basta saberla, sino saber aplicar dicha teoría
y esto se logra, cuando se hacen actividades con éstos donde más
que memorizar se debe interpretar; aplicar eso que dicen los
conceptos a situaciones tanto reales como imaginarias.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
74
Por ejemplo:
Ahora que el estudiante ya conoce lo que es un múltiplo de nueve
y visualizó, el comportamiento de algunos de ellos cuando se
invertían los dígitos, se le puede pedir que trate de buscar otros
múltiplos que cumplan esta condición pero, que no sea del nueve.
Aclaro, se le puede decir que pruebe revisando algunos múltiplos
del cuatro, cinco o seis.
No le diga que tal vez con los múltiplos del tres esto también
puede suceder déjelo que él llegue. Comience a creer en sus
estudiantes pero, dele tiempo, porque recuerde la matemática es
para pensar. Motívelos a que revisen las actividades que hacen, en
otras palabras, llévelos a que usen la curiosidad matemática.
Quizás revisando ellos, hagan lo siguiente:
12 -------------- 21
15-------------- 51 Diciendo luego ¡mira con el tres!
18-------------- 81
21-------------- 12
27 -------------- 72
30 -------------- 3
33 -------------- 33
36 --------------- 63
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
75
Entonces, este puede ser un buen momento para decirle que todo
número cuya suma de sus dígitos sea múltiplo de tres, lo divide el
tres.
También se puede explicar a partir de aquí, cuándo un número
contiene otro pues, la idea de contener en el lenguaje ordinario o
cotidiano no es la misma que se maneja en matemática.
Por ejemplo, un estudiante que se está iniciando en la
matemática cree que el 2 esta contenido en el 5.
Veamos que el 5 = 2 + 2 + 1
Se aprecia que tiene un 1 que esta suelto.
Mientras que el 6 si contiene al 2 porque:
6= 2 + 2 + 2
Entonces, para que un número contenga a otro debe tenerlo
exactamente un número de veces.
De manera que así, debe quedar fijada la idea de múltiplo de un
número; el cual es el número que contiene a éste un número exacto
de veces.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
76
En general, se dice que los múltiplos de un número se forman
multiplicando este número por la serie infinita de los números
naturales.
Se deduce de esto que todo número tiene infinitos múltiplos por
eso, ya se dijo anteriormente, que las tablas de multiplicar son
infinitas.
La enseñanza de esto se verá recompensado cuando esté
enseñando mínimo común múltiplo y Máximo Común Divisor.
Por tanto, considero importante manejar ciertos criterios de
divisibilidad los cual permite conocer, por simple inspección, si
un número es divisible por otro.
Criterio del 2
Todo número que termine en cero o en par:
Lo divide el 2
Ejemplo: 20 ÷ 2 = 10 50 ÷ 2 = 25
24 ÷ 2 = 12 48 ÷ 2 = 24
Observación
Todo número que divide a otro, divide a sus múltiplos.
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77
Criterio del 3
Todo número cuya suma de los valores absolutos de sus cifras
(dígitos) sea múltiplo de 3, lo divide el 3.
Ejemplo:
117 ÷ 3 = 39
Se aprecia que en 117, la suma de los dígitos es: 1 + 1 + 7 = 9
y como nueve es múltiplo de tres entonces 117 lo divide el 3.
Otro ejemplo: 1023 ÷ 3 = 341
Veamos si la suma de los dígitos de 1023 es un múltiplo de 3.
1 + 0 + 2 + 3 = 6 y como seis es múltiplo de tres entonces 1023
lo divide el tres.
Es importante notar que un número puede tener más de un
divisor, por ejemplo 5034.
Este número lo divide el 3 porque la suma de sus dígitos es
múltiplo de 3; pues 5 + 0 + 3 + 4 = 12 y como doce es múltiplo de 3
entonces 5034 ÷ 3 = 1678. Lo que indica que lo divide el tres.
También a 5034 lo divide el 2 porque este número termina en
cifra par; así 5034 ÷ 2 = 2517
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78
Criterio del 4:
Un número lo divide el cuatro cuando sus dos últimas cifras de
la derecha son ceros o forman un múltiplo de cuatro.
Ejemplo: 2100 ÷ 4 = 525
Aquí, apreciamos que las cifras que forman las decenas junto
con las de las unidades son ceros por lo tanto, lo divide el 4.
Otro ejemplo: 4524 ÷ 4 = 1131
En esta cantidad, cuando separamos las cifras que forman las
decenas con las unidades tenemos que es el 24 y como este número
es múltiplo de 4, entonces a 4524, lo divide el cuatro.
Veamos que también puede ocurrir que un número tenga como
divisor a: 2; 3 y 4. Pero, la idea es que usted como docente
domine estos criterios para que cuando coloque actividades a los
estudiantes tenga seguridad de lo que esta haciendo.
Se, que con esto no estoy enseñando a dividir, porque usted
sabe y domina muy bien esta operación, sólo quiero que se
visualice parte de la teoría que se debe dominar para comprender
mejor algunas de las curiosidades matemáticas expuestas hasta
aquí.
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79
Criterio del 5:
Todo número que termina en cero o en cinco lo divide el 5.
Ejemplo: 320 ÷ 5 = 64
325 ÷ 5 = 65
Al dividir éstos números apreciamos que el primero termina en
cero; por lo tanto, lo divide el 5. Resultando 64.
Por otra parte, el 325 como termina en cinco lo podemos
dividir entre cinco, lo cual resulta 65.
Criterio del 6:
Un número es divisible entre 6, si es divisible entre 2 y entre 3.
Ejemplo: 48 ÷ 6 = 8
48 es divisible entre 6 porque: se puede dividir en 2 y entre 3.
48 ÷ 2 = 24 y 48 ÷ 3 = 16
Por lo tanto, como lo divide el dos y el tres también lo divide el 6.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
80
Criterio del 7:
Un número es divisible entre 7 cuando separando la primera
cifra de la derecha, multiplicándola por 2, luego restando este
producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, resulta
cero o un número múltiplo de 7.
Ejemplo:
Veamos si 1827 es divisible entre 7.
Lo primero que hacemos es separar de 1827 a la cifra de la
derecha que en este caso es 7 y lo multiplicamos por 2 .
Así que 7 x 2 = 14; este número lo restamos de 182 que es lo
que queda.
De modo que lo que hemos hecho es:
182 7
-14 7 x 2
16 8 Aquí, nuevamente separamos la cifra
-16 8 x 2 de la derecha que en este caso es 8 y
0 multiplicamos por 2.
Como al realizar el procedimiento indicado por el criterio
resulta que la resta da cero, entonces, el número 1827 es divisible
entre 7.
Como en efecto se aprecia 1827 ÷ 7 = 261
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
81
Veamos otro ejemplo:
Queremos saber si el número 5901 lo divide el 7.
5901 Como ya sabemos, separamos el 1 y lo multiplicamos
-2 por 2 para restar este producto a lo que queda; que en
588 este caso, es 590. Recuerda que el 2 = 2 x 1.
Ahora, nuevamente separamos la cifra de la derecha que como
se sabe es el 8 y lo multiplicamos por dos para restar el resultado
de este producto a lo que queda, que en este caso es 58.
Sigamos entonces: 58 8
-16 8 x 2
42
Como en este caso no se puede seguir realizando la operación
indicada por la teoría del criterio, verificamos si este número que
nos queda es múltiplo de siete.
Luego como 42 es múltiplo de 7, entonces, concluimos que 5901
es divisible entre 7.
Por lo tanto, al dividir 5901 ÷ 7 = 843.
Sin duda que este criterio del 7
requiere de mayor práctica. Por lo que
te recomiendo repasar bien.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
82
Criterio del 8:
Un número es divisible entre 8 cuando sus tres últimas cifras de
la derecha son ceros o forman un múltiplo de 8.
Ejemplo. 67000 ÷ 8 = 8375
Como se observa, las tres últimas cifras de la derecha son ceros.
Por lo tanto, el número es divisible entre 8.
Otro ejemplo: 9216 ÷ 8 = 1152
Aquí se ve que el 216 son las tres últimas cifras de la derecha del
número 9216 y, como estas tres cifras forman un número que es
múltiplo de 8, entonces lo divide el 8.
Criterio del 9:
Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es
múltiplo de 9.
Ejemplo: 8901 ÷ 9 = 989
Se aprecia que: 8 + 9 + 0 + 1 = 18
Y como 18 es múltiplo de 9, entonces el número 8901 lo divide
el 9.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
83
Otro ejemplo:
311697 ÷ 9 = 34633
Como al sumar los dígitos de 311697 resulta que:
3 + 1 + 1 + 6 + 9 + 7 = 27
Y como 27 es múltiplo de 9; entonces concluimos que:
311697 lo divide el nueve, como se muestra en el ejemplo.
Criterio del 10:
Un número es divisible entre 10 cuando termina en cero.
Ejemplo: 320 ÷ 10 = 32
Como se observa aquí suprimimos los ceros.
Observación:
Esto nos conduce a entender que si un número termina en dos
cero se puede dividir entre 100. Si termina en tres cero será
divisible entre 1000.
En general, todo número que termine en cero será divisible por la
unidad seguida de tantos ceros como ceros haya a la derecha del
número.
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84
La División como Resta
Sabemos que la multiplicación es una suma sucesiva y que la
multiplicación tiene como inversa a la división, entonces la
división es una resta sucesiva porque la inversa de la suma es la
resta.
MULTIPLICACIÓN es SUMA SUCESIVA
Inversas Inversas
DIVISIÓN es RESTA SUCESIVA
Veamos esto con un ejemplo:
El papá de María se enfermó y después
de llevarlo al médico éste, le manda unas
tabletas de 24 grageas indicando que
tiene que tomar 3 diarias. ¿En cuántos
días cumplirá el tratamiento?
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
85
Tiene 24 grageas Toma 3 diarias, significa cuántas veces
se puede restar del 24 el número 3.
Así que:
Primer día 24 Cuarto día 15 Séptimo día 6 -3 -3 -3 21 12 3
21 12 3Segundo día -3 Quinto día -3 Octavo día -3
18 9 0
18 9Tercer día -3 Sexto día -3 15 6
Por lo tanto 24 : 3 = 8
Tal vez, este procedimiento no es muy práctico con números
que pasen de las centenas pero, con esto no se pretende que el
estudiante la practique sino, que tenga consciencia de que la
multiplicación tiene como inversa a la división y que igual pasa con
la adición, ésta, tiene como inversa a la sustracción.
Ahora bien, vamos a ocuparnos nuevamente de 24 : 3 = 8
Aquí tenemos: 3 x 8 = 24
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
86
Lo que se interpreta como:
¿Cuál es el número en la tabla del 3 que multiplicado
por 3 nos da 24?
Es importante que se explique aquí a los estudiantes que en toda
división también hay una multiplicación. No se trata de enseñar
algo mecánico sino de hacer comprender el significado de la
división.
Otro ejemplo:
48 : 6 = 8 Observemos primero que estamos en presencia
de la tabla de multiplicar del 6.
Veamos cuántas veces podemos restar el 6 del 48.
Primera 48 Segunda 42 Tercera 36
-6 -6 -6
42 36 30
Cuarta 30 Quinta 24 Sexta 18
-6 -6 -6
24 18 12
Séptima 12 Octava 6
-6 -6
6 0
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
87
Como hemos podido restar 8 veces el 6 del 48 y nos quedó 0.
Significa que 48 entre 6 toca a 8.
Así 48 : 6 = 8
Realicemos 27: 4
Primera 27 Segunda 23 Tercera 19
-4 -4 -4
23 19 15
Cuarta 15 Quinta 11 Sexta 7
-4 -4 -4
11 7 3
Aquí observamos que al dividir 27: 4 toca a 6 y restan 3.
Una división hasta aquí se considera incompleta por cuanto
un niño que tenga una calculadora al rectificar obtendrá en la
calculadora que 27: 4 = 6,75 y tal vez diga ¿por qué no me da
igual si la maestra me explicó y yo aplique todo igual como ella
dijo?
Observamos que
la división es
repetir en partes
iguales, es decir,
equitativamente.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
88
Por eso, es importante hacer ver a los estudiantes que esta
división está incompleta y esto se puede interpretar así:
Al dividir 27 entre 4 toca a 6 y sobran 3 unidades.
Estas unidades las convertimos en décimas;
recordando que las décimas son la primera
posición de izquierda a derecha después de la
coma decimal. Luego para convertir estas 3
unidades en décima multiplicamos el 3 por 10
teniendo presente que al multiplicar un número
por la unidad seguida de cero se copia el número
y se agrega los ceros de la unidad, por eso
3 x 10 = 30.
Sigamos para completar la división de 27: 4
Primera 27 26 10
-4 -4 - 4
23 22 6Segunda -4 -4 -4 19 18 20Tercera -4 -4 -4
15 14 16Cuarta -4 -4 -4 11 10 12Quinta -4 -4 7 Porque 8Sexta -4 multiplicamos -4
30 por 10 4
Séptima -4 -4
26 0
Convertimos estas
decimas a centésimas
multiplicando por 10
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
89
27: 4 = 6,75
El 7 después de la coma indica que a las 30 décimas le pudimos
restar 7 veces el 4 y restan 2 décimas. Luego, estas décimas se
convierten en centésimas, de aquí se obtienen 20 centésimas de la
que se restan 5 veces el 4 y no queda resto; esto explica el 5 de las
centésimas.
Observación: Esta actividad la puede hacer el docente con sus
estudiantes en el aula de clase para que ellos comprendan de dónde
sale la parte decimal; por lo que se recomienda seleccionar
números que faciliten el entendimiento y luego, puede seguir
dividiendo con los estudiantes utilizando una forma más práctica,
pero éstos ya están conscientes de lo que están haciendo.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
90
Realicemos 25: 5 = 5
Primera 25 Segunda 20 Tercera 15
-5 -5 -5
20 15 10
Cuarta 10 Quinta 5
-5 -5
5 0
Aquí, podemos observar que la división por ser la operación
inversa de la multiplicación es una resta sucesiva; es decir, es restar
una cantidad constante (divisor) un mismo número de veces al
dividendo.
Observación: La mayoría de las personas desean
encontrar una forma fácil para entender
operaciones matemáticas pero, en realidad lo
importante no es encontrar una vía fácil sino
entender las operaciones, esto significa conocer
nuevas vías, varias vías, en fin, saber por qué se
da o se hace de esa forma.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
91
La potencia y las curiosidades
Así como están establecidos unos criterios para la división
también en la potencia de números enteros hay ciertos criterios
que son validos que se cumplen cuando el número consta de dos
cifras. Estos, son de gran ayuda cuando uno los conoce pues,
facilitan el trabajo de cálculo.
Como ya conoces que:
2 2 2 = 4 6 = 36 2 23 = 9 7 = 49 2 24 = 16 8 = 64 2 2
5 = 25 9 = 81
Entonces, será fácil memorizar los siguientes casos de
cuadrados de números enteros de dos cifras:
Si el número de dos cifras termina en cinco:
1.- Se eleva al cuadrado las unidades y se coloca el número completo. 2.- Luego se aumenta en uno las decenas y se multiplican por este número.
Veamos esto en un ejemplo:
2 2 (25) = 625 5 = 25 y se coloca completo. Aumentamos en uno las decenas o sea 2 + 1 = 3 entonces este tres se multiplica por 2; así 3 x 2 = 6
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
92
Sigamos con otros ejemplos para que veas que todo se hace fácil
cuando se practica:
2 2 (45) = 2025 5 = 25
4 x 5 = 20
Aquí primero elevamos al cuadrado al 5 y se coloca completo.
Luego el número de las decenas le aumentamos uno; o sea 4 + 1 = 5 entonces este cinco se multiplica por el 4 de las decenas y se coloca detrás del 25.
En la práctica esto se hace entonces directo:
2 (65) = 4225
2 Verifica que se cumple: 5 = 25 y 7 x 6 = 42
por eso escribimos 4225
También puedes probar que :
2 2 (85) = 7225 (35) = 1225
2 2 (15) = 225 (75) = 5625
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93
Veamos otro caso:
Si el número de dos cifras comienza en cinco.
Por ejemplo 52 elevado al cuadrado.
1) Aquí, primero elevamos al cuadrado las unidades y como
resulta 4 tenemos que rellenar con cero las decenas de modo que
escribimos 04.
2) Luego, elevamos al cuadrado el cinco de las decenas y le 2
sumamos el número de las unidades; así : 5 = 25 + 2 = 27
2 (52) = 2704
Otro ejemplo:
2 2 2 (56) =3136 6 = 36 y 5 = 25 + 6 = 31
Observa que al 25 le sumamos 6 porque este es el número de las
unidades de 56.
Verifica que:
2 2 2 (51) = 2601 1 = 01 y 5 = 25 más 1 de
las unidades = 26
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94
Este es otro caso:
Si tienes un número entero de dos cifras cualesquiera
En cualquier caso, cuando quieras hallar el cuadrado de un
número entero puedes usar la fórmula que conoces como :
2 2 2( a + b) = b + 2ab + a
Por ejemplo: 2 (12 )
Aquí, diremos que 2 por estar en el lugar de las unidades será U
y el 1 por ocupar el lugar de las decenas lo representaremos por D
2 2 (12 ) = 144 2 = 4
2 x 2 x 1 = 4 2 1 = 1
De manera que si comparamos las expresiones:
2 2 2 ( a + b) = b + 2ab + a Con
2 2 2(U + D) = U + 2UD + D
Vemos que son las mismas expresiones.
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95
Ejemplo:
Queremos conocer el cuadrado de 33
2 2(33) = 1089 cuadrado del primero 3 = 9
Luego: el doble del primero por el segundo 2 x 3 x3 = 18. Es lógico que colocamos 8 y llevamos uno.
2 Finalmente cuadrado del segundo: 3 = 9 más uno que llevamos es Diez. Por eso escribimos 1089.
2 (27) = 729
2 Se puede apreciar que 7 = 49 del que escribimos 9 y llevamos
cuatro ; luego 2 x 7 x2 = 28 más cuatro que llevamos es igual a 32,
del que escribimos 2 y llevamos tres , que al sumárselo al cuatro
que resulta de elevar al cuadrado al dos, entonces nos da 7
Observación:
Si el número es de tres cifras entonces los que forman las
centenas y decenas serán D y el de las unidades U. Esto es para
que se cumpla la expresión
2 2 2 (U + D) = U + 2UD + D
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96
Te indico con los ejemplos:
2 (123) = 15129
Lo primero es reconocer que 12= D y 3=U 2
En esto decimos 3 = 9
Luego: el doble del primero por el segundo: 2 x 12 x 3= 72 del escribimos 2 y llevamos 7.
2 Finalmente (12) = 144 más 7 que llevamos son 151
Otro ejemplo:
2 2 (562) = 315844 2 = 4
2 x 56 x 2 = 224
Importante que te fijes que en este caso escribimos 4 y llevamos
22. Te digo esto porque no estamos acostumbrado a hacer esto,
pero es lo correcto.
2 Ahora veamos que: (56) = 3136 más 22 que llevamos nos da
un total de 3158; lo cual se aprecia detrás del 44 en la escritura
para completar el cuadrado de 562.
Observándose que es 315844.
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97
5Volvamos a Curiosear con la
multiplicación
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
La enseñanza de la matemática requiere
de la incorporación de estrategias donde
se aprecie la vinculación con otras área,
haciendo ver la utilidad de la matemática
para el desarrollo de la ciencias en
general.
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98
Curioseando con la multiplicación
Cuando se multiplican dos cantidades de dos cifras, hay casos,
en los que se pueden resolver de forma directa; es decir, colocar el
resultado.
Veamos:17 23 82 46
x 13 x 27 x 88 x 44 221 621 7216 2024
Se puede jugar con los estudiantes diciéndoles que pueden
utilizar la calculadora o que lo hagan como ellos están
acostumbrados para verificar si es o no el resultado, por supuesto
que querrán aprenderlo y la explicación es fácil.
Cuando se multiplican dos cantidades
de dos cifras en las que ambas tienen las
decenas iguales y las unidades suman
diez, se procede así:
Se multiplican las unidades y se coloca el número
completo, luego a una de las decenas le aumentamos
uno y se multiplica por la otra decena obteniendo de
esta forma el resultado completo de la multiplicación.
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99
Revisemos esto con detalle:
72
x78
5616
Aquí se multiplica 2 X 8 = 16
Y se escribe completo el 16.
Esto, es porque las unidades suman 10
y las decenas son iguales.
Aumentamos 1 al primer 7
Así: 7+1= 8 Luego multiplicamos 8 x 7 = 56
Multipliquemos 94 x 96
94
x96
9024
Como las unidades suman 10
y las decenas son iguales
Se puede resolver así:
4 x 6 = 24
Aumentamos 1 al 9 Así: 9 +1 = 10
Luego se multiplica 10 x 9 = 90
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100
Ahora bien, seguramente los estudiantes querrán saber cómo
hacer, si las cantidades de las unidades no suman 10 o cuando las
decenas no son iguales.
Entonces podemos operar como sigue:
23 x 34
En esta multiplicación las unidades no suman 10
y las decenas no son iguales.
2 3 Al multiplicar 3 x 4 = 12
3 4 escribimos 2 y llevamos 1.
782 Luego multiplicamos en cruz y
sumamos los resultados así:
2 x 4 = 8 y 3 x 3 = 9
Entonces:
8 + 9 = 17 y 1 que llevamos es 18.
Escribimos 8 y llevamos 1.
Ahora multiplicamos 2 x 3 = 6 y 1 que llevamos es 7.
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101
Veamos otro ejemplo:
4 5 5 x 2 = 10 escribimos 0 y llevamos 1.
7 2 Luego 4 x 2 = 8 y 7 x 5 = 35.
3240 Entonces, 8 + 35 = 43 + 1 que llevamos
resulta 44. Escribimos 4 y llevamos 4.
Finalmente, multiplicamos 4 x 7 = 28 + 4 que llevamos es 32.
Observación: En las multiplicaciones rápidas donde las unidades
suman 10 y las decenas son iguales cuando se multiplican las
unidades y nos da un número inferior a 10, se rellena con 0 el lugar
de las decenas, así:
3 9
3 1
1209
9 x 1 = 9 Escribimos 09
porque el lugar de las decenas
esta vacío.
Luego: 4 x 3 = 12
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102
Sigamos con las multiplicaciones
Ahora veremos una estrategia para motivar, al estudiante, a
estudiar la tabla de multiplicación a partir del 6.
Queremos multiplicar 8 x 7
Lo escribimos como se indica
con una X grande y preguntamos:
¿Cuánto le falta al 8 para llegar a 10?
El alumno dirá: 2 por esta razón
Escribimos 2 al lado del 8.
Luego preguntamos:
¿Y al 7 cuánto le falta para llegar al 10?
El alumno contesta 3.
Y lo escribimos al lado del 7.
Hasta ahora los números están dispuestos así:
Se multiplican para formar las unidades 2 x 3 = 6
Y al restar en cruz 8 - 3 = 5.
También si restamos 7 - 2 = 5
Entonces en las decenas colocamos 5.
Lo que significa que 8 x 7 = 56
8
7
8 2
7 3
8 2
7 3
56
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
103
Observación: Esta multiplicación también es válida para
las tablas menores que el 6 pero, el estudiante tiene que
llevar para sumarlos al número de las decenas y como lo
más seguro es que ellos, en su mayoría, en la II etapa
conocen estas tablas y tienen dificultad para captar tablas
a partir del 6. Entonces, es recomendable utilizar esta
estrategia a partir de la tabla del 6.
Veamos otro ejemplo:
Multipliquemos 7 x 9
El docente pregunta:
- ¿ cuánto le falta al 7 para llegar a 10?
El alumno dice 3 .
- Y al 9 ¿cuánto le falta para llegar a 10?
El alumno dice: 1 .
Luego procedemos así:
Multiplicamos 3 x 1 = 3
Posteriormente restamos en forma
cruzada 7 - 1 = 6 Y 9 - 3 = 6
Concluimos 7 x 9 = 63.
7 3
9 1
7 3
9 1
63
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104
Multipliquemos 6 x 6
El docente pregunta,
- ¿Cuánto le falta al 6 para llegar a 10?
El alumno dice 4.
- ¿Y a este 6 cuánto le falta para llegar a 10?
El alumno dice 4.
Luego multiplicamos 4 x 4 = 16.
Se escribe 6 y llevamos 1.
Ahora restamos en forma cruzada
6 - 4 = 2 + 1 que llevamos 3
Concluimos que 6 x 6 = 36.
Observación: Al utilizar esta estrategia tenga presente
que 6 x 2 = 2 x 6 por lo tanto, esto lo conoce el estudiante
desde que aprendió la tabla del 2. También conoce que
6 x 3 = 3 x 6. Lo aprendió en la tabla del 3.
Igual pasa con 6 x 4 = 4 x 6. Por lo tanto, hágale saber
esto a los estudiantes, o por lo menos, es bueno explicarlo
para que ellos lo aprecien mejor.
6 4
6 4
6 4
6 4
36
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
105
Observe cuando la tabla es menor que 6.
Multipliquemos 4 x 5
El docente pregunta,
- ¿Cuánto le falta al 4 para llegar a 10?
El alumno dice 6.
- ¿Y al 5 cuánto le falta para llegar a 10?
El alumno dice 5.
Entonces, 6 x 5 = 30
Se escribe el 0 y llevamos 3.
Luego 4 - 5 = -1 y 5 - 6 = -1
Porque restando en forma cruzada resulta menos uno (-1)
Luego: -1 + 3 = 2
Esta es la razón por lo que es recomendable
no utilizarla con tablas menores a 6.
4 6
5 5
2 0
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106
Jugar, pensar y curiosear con la matemática
6
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
La matemática no es una ciencia del más
inteligente, es de todos los que la hacen
útil, del que cree en ella y la busca.
José Servelión Graterol.
107
JUGANDO CON TODOS
Pida a sus estudiantes que realicen en sus cuadernos la siguiente
actividad:
1. ¿Cuántas veces por semana le apetece comer chocolate?
Escribe el número.
El número de veces debe ser un número mayor o igual que 0,
pero menor o igual que 12.
2. Multiplica el número escogido por el número 2, de esta manera
obtendremos un número par.
3. Súmale 5 a ese producto.
4. Multiplica el resultado por 50.
5. Si ya has cumplido años en el 2009, al producto obtenido súmale
1759; pero, si todavía no has cumplido años, entonces, súmale
1758.
6. Por último, al total obtenido réstale el año en que naciste; que sea
un número de cuatro dígitos, ejemplo 1998.
Observación:
Con este juego nos proponemos adivinar la edad de nuestros
estudiantes..
Lo de sumar 1758 ó 1759
se debe a que se tiene que aumentar,
dependiendo del año en que estemos.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
108
Ahora usted le dirá a los estudiantes sin ver el resultado de las
operaciones:
1.- Si escogiste un número de veces mayor que cero pero, menor
que 10, el resultado obtenido es un número de tres dígitos.
2.- Si escogiste un número de veces mayor o igual que 10 pero,
menor o igual que 12, el resultado obtenido es un número de cuatro
dígitos.
3.- Si escogiste cero veces, obtendrás un resultado de dos dígitos.
Hasta aquí se cumple una fase del juego tal vez con esto los
estudiantes comiencen a preguntarse ¿cómo lo sabe?
Luego, pídale a cada uno que le dicte el número del resultado
final o que pase y lo escriba identificándolo con su nombre.
Una vez escrito todos los números en el pizarrón interviene el
docente leyendo cada uno de los resultados:
1. Este resultado de tres dígitos, nos indica que el dígito de la
izquierda corresponde al número de veces que le apetece comer
chocolates (se supone que dirá el nombre del estudiante ).
2. Este de cuatro dígitos, nos dice que los dos dígitos de la izquierda
corresponden al número de veces que le apetece comer chocolates.
3. Y este resultado de dos dígitos, nos indica que no le apetece
comer chocolates.
¿Qué sucede con los dos dígitos de la derecha?
Los dos dígitos de la derecha, corresponden a: ¡TUS AÑOS
CUMPLIDOS! ¡ O sea, tu EDAD!
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
109
Veamos un ejemplo:
Supongamos que un estudiante escribe:
9 que al multiplicarlo por 2 queda: 18
18
+5 al que le suma 5 dictado por el docente.
23
x 50 multiplica por 50.
1150
+ 1758 Le suma 1758 porque no ha cumplido año para el
2908 2009 que es el momento en que se realizó esta
actividad.
Ahora a este número 2908 se le debe restar el número del año de
nacimiento del estudiante que realizó la actividad. Supongamos
que nació en 1997; entonces resta:
2908
- 1997
911 Este resultado final nos dice que efectivamente este
estudiante tiene 11 años y le apetece comer 9 veces
Chocolate a la semana.
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110
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
111
El docente pide a sus estudiantes que realicen en sus cuadernos:
1.- Escribe el número del zapato que usas.
2.- Multiplícalo por 2.
3.- Súmale 5 al producto.
4.- Multiplica el resultado por 50.
5.- Súmale el número 1758 ( sino ha cumplido año para el 2009
pero si ya cumplió habrá que sumar 1759, y así).
6.- Finalmente, debe restar el año del nacimiento al número que
resulte después de sumar 1758.
Ejemplo:
Supongamos que un estudiante calza 36
36 x2 = 72
+ 5 Este 5 es dictado por el docente para sumar
77 x 50 = 3850 El docente dice que multiplique por 50
Luego al resultado 3850 El docente dice que se sume 1758
Así se tendrá: 3850 + 1758 = 5608
Al número 5608 resta el año de nacimiento, que en este caso es
-1996 porque el estudiante nació el 1996.
Resultando 3612
Con este resultado se sabe que calza 36
Y que su edad es de 12 años.
TRAZANDO DIAGONALES
Pídale a sus estudiantes para esta actividad una hoja de papel
cuadriculada (puede utilizar el cuaderno cuadriculado si lo tiene).
El estudiante dibujará varios rectángulos (por ejemplo tres); es
importante que se guíe por las cuadriculas del papel para que
visualice la curiosidad.
Para esto debe considerar la base (b) contando las cuadriculas
del papel y de la misma manera para la altura (h).
Por ejemplo:
Este rectángulo tiene por base 6 porque hay seis cuadrados a
lo largo y su altura es 3 porque son tres los cuadrados de ancho.
Su área es A = b x h entonces es A = 6 x 3 = 18 que como se
aprecia el rectángulo tiene 18 cuadrados.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
112
Supongamos que los estudiantes dibujan:
Este rectángulo tiene b = 10
h = 4
Este su base es b = 7
Y su altura h = 3
Este tiene una base:
b = 5 y su altura h = 5
Analizando cada uno de los rectángulo podemos visualizar una
curiosidad entre la base, la altura y el número de cuadrados que
corta la diagonal trazada en ellos.
Para lo cual tenemos que hallar el máximo común divisor
(M.C.D) de la base y la altura de cada rectángulo. Así el
rectángulo que tiene b = 10 y h = 4
Su M. C. D = 2
Con este valor podemos aplicar la fórmula: d = (b + h) - (M.C.D).
Donde d es igual al número de cuadrados que corta la diagonal;
veamos entonces:
D = (10+4) - 2 = 14 - 2 = 12 Se puede verificar que son 12
los cuadrados que atraviesan la
diagonal.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
113
Sigamos con los otros dos rectángulos:
Sabemos que el segundo tiene: b = 7 y h = 3
Entonces, aplicando d = (b + h) - (M.C.D) = (7 + 3 ) - 1 = 9
Lo que indica que en este caso son 9 los cuadrados que se ven
cortados por la diagonal.
En el tercer rectángulo sera: d = (5+5)- 5 = 10-5 = 5
Por lo tanto, en este rectángulo la diagonal corta a cinco
cuadrados.
Observación:
En este momento es oportuna la ocasión para explicarle al
estudiante que todo cuadrado es un rectángulo pero, no todo
rectángulo es un cuadrado.
La tercera figura es un cuadrada y por lo antes dicho, queda
claro, que cuando tenemos un cuadrado también tenemos un
rectángulo.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
114
JUGANDO CON EL CALENDARIO
La curiosidad que veremos a continuación consiste en sumar
los números de un calendario.
El docente puede pedir a sus estudiante que lleven a clase un
calendario. Esta actividad puede ser individual o grupal; en caso
de ser en grupo, estos no deben ser mayor de tres estudiantes:
1.- Se le pide a los grupos que encierren en uno de los meses del
calendario un cuadrado de nueve números, como se indica con la
ilustración.
MARZO D L M M J V S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
2.- Luego, el docente, indica al estudiante que le diga cuál es el número menor encerrado en el cuadrado que seleccionó.
3.- Por ejemplo, en la ilustración el menor número de los seleccionados que esta encerrado en el cuadrado es, el 9. A este se le debe sumar 8 y multiplicar luego, dicha suma por 9.
Así: 9+8 = 17 x 9 = 153 Esto es la suma de los números encerrados en el cuadrado.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
115
Otro ejemplo:
Supongamos que un grupo en el mes de Junio encierra los
siguientes números:
JULIO D L M M J V S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Deben comunicarle al docente que el número menor encerrado
en el cuadrado es el 5.
El docente hace mentalmente lo siguiente: Suma 8 a este
número y luego lo multiplica por 9 para saber la suma de los
números encerrados en dicho cuadrado.
Así, 5 + 8 = 13 x 9 = 117
Después de que esta actividad se realice con todos los grupos el
docente puede explicar que para saber la suma de éstos números
sólo hay que sumar al número menor 8 y luego multiplicarlo por 9.
También, puede indicar que para hacer más emocionante el
juego, antes de decir la suma, se puede encontrar el número que
está en el centro de este cuadrado.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
116
Por ejemplo:
En el primer caso de esta curiosidad Jugando con el
Calendario se observa que el número que está en el centro es el 17
y éste se adivina sumándole al número menor 8.
Si, efectivamente, lo adivinas si le sumas al número
menor 8. En este caso, fue 9 + 8 = 17
Y en el segundo caso, también se ve claramente que si al
número menor, que en este caso es 5, le sumas 8 obtienes 13 que es
el número que está, en el medio del cuadrado seleccionado.
Otro detalle que es bueno señalar al utilizar esta curiosidad,
es que todo número debajo de otro en el calendario, se obtiene
sumándole 7.
Ejemplo:
JULIO D L M M J V S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Observa que: Si nos dicen ¿ Qué número está debajo del 6?,
fácilmente podemos decir 13. Porque solamente tenemos que
sumar 7 al 6.
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117
Una curiosa curva cerrada simple
El estudiante esta, tal vez, un tanto familiarizado con la
circunferencia por eso creo conveniente que se le presente este
dibujo, con el que se le puede pedir que siga la linea traza desde un
punto y verifique que ciertamente esta es una curva cerrada.
Que dicha curva se cierra sobre sí misma y no tiene extremos; en
otras palabras no se corta a sí misma, de modo que si pudiéramos
estirarla sobre una superficie, se podría convertir en una
circunferencia.
Esta imagen puede ser una fuente motivadora para los
estudiantes que son de tipo visual; como ya sabes tienes en tu aula
estudiantes que aprenden con mayor facilidad cuando aprecian los
contenidos por medio de dibujo, esquemas, figuras o cualquier
representación gráfica de lo que se quiere enseñar.
También, puede servir como medio para que el estudiante
agudice su creatividad, de modo que sera una manera de ejercitar la
visión, imaginación y lo lleva a prestar atención a las cosas en
detalles.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
118
El docente puede llevar esta imagen fotocopiada y presentarla
a los estudiantes una vez que se hallan colocado en grupos de tres
para que discutan en cuanto a:
1.- Si el punto A esta en el interior o exterior de la curva.
2.- Si el punto B esta en el interior o exterior de la curva.
Por lo tanto, deben anotar la conclusión a la que lleguen para
luego discutirlo en una plenaria donde cada grupo tendrá un
relator.
Observación:
Mientras los grupos discuten sus respuestas es importante que
el docente, visitando a cada grupo, explique que no es nada fácil
determinar a simple vista si un punto esta dentro o fuera en este
tipo de curva.
Este problema toca de cerca elementos de topología la cual es la
rama de la matemática que estudia en abstracto el concepto de
punto límite.
De manera que, al presentarle a nuestros estudiantes
ilustraciones como la que estamos estudiando, lo estaríamos
llevando a reconocer el significado preciso de la conexión de una
figura geométrica.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
119
Ahora bien, una vez que se halla dejado trabajar con libertad de
pensamiento a los estudiantes, es bueno decirles que:
1.- Para saber si un punto esta fuera o dentro de la curva basta con
trazar desde un punto exterior claramente definido una línea que
una al punto que queremos averiguar si es externo o interno con el
que ya tenemos como exterior claramente definido.
2.- Luego, se cuentan las intersecciones de la línea trazada con el
contorno de la curva.
3.- Si el número de intersecciones es par el punto está fuera (es
exterior) pero, si el número de intersecciones es impar el punto
está dentro (es interior).
Veamos esto siguiendo el ejemplo:
Situemos un punto P fuera de la figura que este claramente
exterior y desde el punto A tracemos una línea al punto P
Sea el punto Q Exterior a
la curva en estudio. Así:
. Q
Este punto Q es
Interior porque el
Número de intersección es
Impar.
P . Al contar las intersecciones sabemos que son
dos por lo tanto, se concluye que el punto A es exterior a la curva.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
120
Problemas con material concreto
Como ya estamos curiosiando con figuras geométricas me
parece conveniente jugar con algunos problemas que se pueden
plantear utilizando palos de fósforo o paletas de helados; veamos
algunos:
La ilustración representa palos de fósforos con la que el docente
puede solicitar a los estudiantes que cambiando sólo un fósforo de
lugar debe hacer esta operación correcta.
Solución:
Después que los estudiantes ensayen varias veces tal vez, más de
uno conseguirá que la solución es mover el palo de fósforo que
representa el signo menos y pasarlo antes de los que representan el
signo de la multiplicación; así:
De modo que queda así :
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
121
Otro problema:
Para este problema se necesitan 12 palos de fósforos con los
que el estudiante representará el dibujo que el docente hará en el
pizarrón:
Cambie tres fósforos de lugar para formar tres cuadrados
iguales, cuidando que no quede fósforo suelto y ni tampoco
sobren.
Como este problema es de mayor dificultad, los estudiantes
necesitan más tiempo para resolverlo, aunque, si alguno lo
resuelve de forma rápida sugiero que le asignes otro de los que en
la página siguiente planteo.
Solución:
La solución que voy a dar es la forma como quedará el dibujo, así
que el docente verificará que los estudiantes pueden llegar a la
misma solución en distinta posición, a esta que estoy señalando.
Queda así:
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
122
Las ilustraciones representan problemas que puedes resolver
siguiendo las instrucciones en cada caso:
1.- Cambia 2 fósforo de lugar para formar 2 cuadrados iguales.
2.- Cambia 4 fósforo de lugar para formar 2 cuadrados iguales.
Importante, en este problema el espacio que separa a cada
fósforo es igual a la longitud de un fósforo.
3.- Cambia 2 fósforo de lugar para formar 3 cuadrados.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
123
Soluciones a los problemas anteriores.
Las siguientes son las ilustraciones de los dibujos de como
queda la solución de los problemas planteados en la página
anterior:
El problema uno queda así:
Recordando que en un cuadrado sus lados tienen igual medida
y como se aprecia estos cuadrados tienen lado igual a un fósforo de
longitud.
Del problema dos la solución es:
La solución del problema tres es:
En este problema sólo se pide tres cuadrados.
Aquí tenemos 2 cuadrados de lado un
fósforo y el otro, tiene lado dos fósforos.
Observación:
Importante, se sobreentiende que los fósforos tienen igual
longitud.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
124
Otros problemas:
1.- En la ilustración cambia 3 fósforos de lugar para formar 3
cuadrados.
2.- Cambia 2 fósforos de lugar para formar 3 cuadrados.
3.- Cambia 3 fósforos de lugar para formar 5 cuadrados.
4.- Cambia 4 fósforos de lugar para formar 5 cuadrados.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
125
5.- Cambia 3 fósforos de lugar para formar 2 cuadrados.
6.- Cambia 4 fósforos de lugar para formar 3 cuadrados.
7.- Cambia 2 fósforos de lugar para formar 5 cuadrados.
8.- Cambia 2 fósforos de lugar para formar 5 cuadrados.
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126
Soluciones
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
127
Con la adición también se puede Curiosear
7
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
Quien resuelve un problema matemático es
porque capta tanto el sentido del lenguaje
matemático como de las definiciones y
propiedades de los objetos que en él se
encuentran.
José Servelión Graterol.
128
Estamos acostumbrados a decirle a los estudiantes; siempre se
debe sumar por el lado derecho; es decir, comenzar a sumar por las
unidades, luego le siguen las decenas y así, sucesivamente, hasta
terminar.
Pero, cuando llegamos a la propiedad conmutativa de la adición
le decimos que el orden de los sumando no altera el resultado.
Dicho en otras palabras, podemos comenzar por donde sea más
cómodo para quien esté realizando la operación.
Sumemos 496 + 978
496 Comencemos por la izquierda para ver que pasa:
+ 978
13 Tenemos 4 + 9 = 13
1 6 Luego le sigue 9 + 7 = 16
1 4 Ahora tenemos 6 + 8 = 14
1 4 7 4
Para obtener el resultado de la operación sumamos así:
496
+ 978
147 4
Como puedes observar resulta igual comenzar a sumar por la
izquierda como por la derecha.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
129
Ahora, veamos qué pasa si comenzamos por los números del
centro; es decir, las decenas.
4 9 6
+ 9 7 8
1 6
1 4
13
1 4 7 4
Explicación:
Comenzamos por 9 + 7 = 16 y lo escribimos debajo del
9 y el 7.
Ahora, podemos sumar indistintamente derecha o izquierda
6 + 8 = 14
Luego decimos 4 + 9 = 13
Si te fijas bien, es el mismo resultado que nos dio cuando
sumamos como estamos acostumbrados; es decir, cuando lo
hacemos empezando por la derecha.
Observación: Tal vez, para el docente, esta actividad parezca
larga y de poco interés para el estudiante pero, así, éste ve otra
manera de realizar la operación de la adición además, comprueba
el cumplimiento de la propiedad conmutativa para la adición.
Observa que hemos comenzado
a sumar por la posición central,
es decir, por las decenas.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
130
Al sumar obtenemos 1474 el cual es el resultado de esta
adición si comenzamos tanto por la izquierda como por el medio.
¿Si se comienza por la derecha da otro resultado
o es el mismo?
496
+ 978 Veamos que pasa.
4 9 6
+ 9 7 8
1 4 Aquí tenemos 6+8 = 14 y lo escribimos así debajo.
1 6 Aquí sumamos 9 + 7 = 16 y se escribe así debajo.
1 3 Luego decimos 4 + 9 = 13.
1 4 7 4 Finalmente sumamos para obtener el resultado.
¡Qué bueno, llegamos al mismo resultado!
Lo que significa, que se puede sumar comenzando tanto por la
derecha como por la izquierda o por la parte central; lo importante,
es tener presente que estamos sumando; es decir, si son centenas,
decenas, unidades u otras, por cuanto cada una va en la posición
que le corresponde.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
131
Esta última forma de sacar la operación conduce a afirmar que
podemos enseñar a sumar sin llevar. Veamos como.
7 8 5
+ 8 6 9
15
14
15
16 55
Explicación:
Tenemos 5 + 9 = 15. Se escribe el 15 completo, debajo de las
unidades porque son unidades las que sumamos.
Luego le sigue 8 + 6 = 14 como es la segunda posición
escribimos 14 debajo de la segunda posición, es decir, debajo de
las decenas.
Ahora, nos quedan las centenas 7 + 8 = 15. Este 15 va debajo
de la tercera posición porque sumamos centenas.
Finalmente, sumando los resultados obtenemos la suma total
en este caso es 1655.
Observación: Tal vez, esta manera de sumar no sea más fácil o
cómoda para los estudiantes pero, así estamos presentando otro
camino para llegar a la suma.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
132
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
8Curiosidades con el dominó
Las curiosidades matemáticas son terrenos
fértiles para cultivar estrategias de
enseñanza y aprendizaje de la matemática
vinculados a la realidad del estudiante
teniendo como eje aquello que le interesa y,
que pueda despertar su interés.
José Servelión Graterol.
133
Curiosidades con el Dominó
A manera de motivación el docente después de tener los
estudiantes en grupos de 4, dispuestos a jugar con el dominó
sugiere la siguiente actividad:
Después de mover las piezas del dominó (por parte de los
grupos) el docente toma una pieza y luego, indica que traten de
formar la línea de juego ininterrumpida que normalmente se
forma hasta agotar las 27 piezas restantes. También explica que
deben intervenir todos.
Por ejemplo, supongamos que el docente toma la pieza:
Sin que los estudiantes se den cuenta que tiene esa pieza.
Ahora con las 27 piezas restantes, los estudiantes deben
formar el juego sin que quede pieza por fuera; es decir, que no se
tranque el juego.
Para esto, pueden ayudarse unos a los otros de manera que se
aprecie armonía entre ellos, pues el juego es para unirlos. Sigue el
ejemplo de la página siguiente.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
134
Ahora, el docente, sin ver como quedo la línea de
juego le comunica al grupo que por un extremo
quedo blanco y por el otro, dos.
Importante reconocer
que los estudiantes
tienen distintas líneas
de formar el juego, esta
es una de ellas.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
135
El docente se retira lo suficiente como para no observar la
manera como quedaran dispuestas las piezas, una vez terminada la
línea sin visualizar la línea del dominó el docente comunica al
grupo, los tantos que hay en cada extremo.
Explicación:
Este resultado se conoce por la pieza que el docente tomó.
Ésta pieza, tiene los tantos que quedan en cada extremo formada
por la línea que se sigue en el juego.
Es importante que el docente le explique a los estudiantes que el
juego del dominó forma un anillo y por esta razón, se conoce
cuáles son los tantos de los extremos. En otras palabras, las piezas
de este juego todas dispuestas como en la página anterior, se
cierran formando un anillo; por esta razón, cualquier pieza que se
extraiga, indicará cuáles son las que quedan en cada extremo.
Como el estudiante esta acostumbrado a utilizar las piezas del
dominó para armar el juego tradicionalmente, es recomendable
que el docente seleccione una pieza que no sea un doble, pues en el
juego tradicional se acostumbra a encerrar estas piezas.
Tal vez, esto no tenga mucho sentido para un estudiante de este
nivel, pero más tarde comprenderá que su docente le sembró la
semilla de un contenido matemático que toma sentido en el estudio
del álgebra.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
136
Esta actividad puede hacerse también tomando una pieza y
luego, indicar al grupo qué tanto le quedará en cada extremo de la
línea de juego con las 27 piezas restantes.
Se supone que el docente no debe hacerse ver la pieza para que
tenga mayor motivación, aunque, después de haber jugado un poco
puede decirle a éstos en qué consiste la solución de esta curiosidad
explicando que las 28 piezas del dominó pueden siempre cerrarse
por los extremos formando un anillo.
Otra actividad con el Dominó
El docente le comunica al grupo que cuente los tantos de las 28
piezas del dominó. Probablemente, éstos se tarden un poco para
luego decir que tiene 168 tantos (cosa que es verdad).
Después, el docente puede preguntar ¿cómo lo hicieron?
Una vez oída la explicación del grupo, les indica que ordenen las
28 piezas de menor a mayor.
Así, hasta
ordenar
todas las piezas.
Luego, explica que al unir los extremos de la línea formada por
las piezas tomando una de cada uno resultan 12 tantos, esto se
repite hasta formar 14 pares de 12 tantos. Por lo tanto, si
multiplicamos 12 x 14 = 168 observamos que obtenemos los 168
tantos del dominó.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
137
Veamos esto con un ejemplo para apreciar lo que dije
anteriormente. Así como se ilustra:
Uno blanco
unido con seis
cinco es igual
a doce.
Doble blanco
u n i d o c o n
doble seis es
igual a doce.
D o b l e u n o
u n i d o c o n
doble cinco es
igual a doce.
De manera que al unir
los extremos de esta
línea siempre dará
doce hasta agotar las
piezas.
S i g u i e n d o e l
procedimiento se
obtienen 14 pares de
doce por lo que al
multiplicar
14 x 12 = 168
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138
O b s e r v e c o n s u s
estudiantes la curiosidad
que se da en esta línea
formada por las piezas;
s i g u i e n d o d e u n a
secuencia desde doble
blanco se aprecia que para
el cero hay una pieza que
en este caso es doble
blanco, para el uno una
pieza para, que el dos tiene
dos piezas, así ocurre con
el tres y que esto, va en
aumento hasta el seis que
tiene cuatro piezas.
Este orden se repite si
seguimos el proceso desde
el extremo del seis hasta el
medio que es el seis.
Esto en matemática se
conoce como sucesión.
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139
Haciendo Cuadrados con el Dominó
Ejercicio 1: Construir 2 cuadrados mágicos de lado 4 con las
piezas del dominó.
Para la construcción de cada cuadrado de lado 4 se utilizan:
- Doble dos, doble uno, dos blanco y dos uno.
- Tres uno, cuatro blanco, tres blanco y uno blanco.
En el primero, se observa que comienza en 0 y termina en 2.
Mientras que el otro, lleva una secuencia que el 0 se le suma 1,
luego al uno dos y finalmente, al 3 se le suma 1. Así:
0 + 1 = 1
1 + 2 = 3
3 + 1 = 4
Observe, las páginas siguientes.
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140
Ejercicio 2: Hacer 3 cuadrados mágicos de lado 6 con las piezas
del dominó.
Para su construcción se utilizan:
a) Cuatro uno, dos blanco, cinco uno y blanco uno.
b)Doble tres, tres uno, tres blanco y seis blanco.
c)Tres dos, dos uno, doble uno y cuatro blanco.
El c comienza en cero y termina en cuatro.
El a 0 + 1 = 1
1 + 2 = 3
3 + 3 = 6
Para construirlo, se disponen las piezas del dominó como sigue
a continuación. El primer cuadrado queda por ejemplo, así:
6
6
6 6
141
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Ejercicio 3: Hacer 2 cuadrados de lado 5 con las piezas del
dominó.
Para su construcción se utilizan:
!Dos uno, dos tres, dos blanco y tres uno.
!Cuatro uno, cinco blanco, cuatro blanco y uno blanco.
El primero comienza en 0 y termina en 2 de uno en uno. Y el
otro, lleva la siguiente secuencia:
0 + 1 = 1
1 + 3 = 4
4 + 1 = 5
Observe como se construye el primer cuadrado colocando de
la siguiente manera las piezas del dominó.
5
5
5 5
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142
Anotaciones:
!Para hacer un cuadrado que tenga sus lados par, siempre usa un
doble.
!Para el cuadrado de lado cuatro se usan: doble uno, doble dos,
tres blanco y dos uno.
!Para hacer el de cinco usan: cinco blanco, doble dos, tres blanco
y cuatro uno.
!Para hacer el de seis se usa: seis blanco, cuatro blanco, doble
dos y cuatro dos.
!Para hacer el de siete se usa: seis uno, doble tres, tres uno y
cuatro blanco.
!Para hacer el de once se usa: doble cinco, seis cuatro, cinco uno y
seis uno.
!Para hacer el de trece se usa: seis cinco, seis dos, cinco cuatro y
cuatro tres.
!Para hacer un cuadrado de lado doce, se usa: doble seis, seis
blanco, seis cuatro y cuatro dos.
!Para hacer un cuadrado de lado catorce se usa: seis cinco, seis
tres, doble cuatro y doble cinco.
!Para hacer el de quince se usa: doble cinco, seis cuatro, cuatro
cinco y seis cinco.
Nota: El cuadrado de lado de mayor que se puede hacer con las 28
piezas del dominó es el que tiene por lado 16.
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143
Ejercicio 4: Para el cuadrado de lado diez:
a)Doble cinco, cinco blanco, cuatro uno y seis blanco.
b)Seis dos, cinco dos, doble tres y cuatro blanco.
c)Seis tres, cinco uno, cuatro tres y tres uno.
d)Cuatro cinco, dos tres, cinco tres y seis uno.
El d cumple con una secuencia desde uno hasta el seis.
Ejercicio 5: El cuadrado de lado once:
a) Doble cinco, cinco uno, seis uno y seis cuatro.
b) Seis tres, cuatro dos, cinco cuatro, tres dos.
c) Seis dos, cinco tres, doble tres, cinco blanco.
d) Seis cinco, seis blanco, cuatro uno, cinco dos.
El b lleva una secuencia que se inicia en dos y termina en seis.
Explicación:
El de diez sigue una secuencia parecida a la del siete.
1 + 3 = 4 Pero como termina en cinco no se observa tan claro.
4 + 1 = 5 Si observamos los cuadrados de 7 y 10 a este último
se le suma la diferencia que existe entre ellos.
¿Cuál es el mayor número de cuadrados mágicos que pueden
hacerse con las 28 piezas del dominó sin que se repita una misma
pieza?
El de seis, el de doce y el ocho tienen una secuencia de dos en
dos.
Entre el 6 y 8 hay una diferencia de dos y, entre el 8 y 12 se dobla
esta diferencia. José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
144
Con el dominó se pueden hacer tres cuadrados que casualmente
comienza en uno y terminan por el número de su lado; estos son: el
lado tres, lado cuatro y lado cinco.
El de trece sigue una secuencia que comienza en dos hasta el
seis.
El dos seis la secuencia es de dos en dos comenzando en dos
hasta el seis.
El de catorce la secuencia comienza en tres y termina en seis
pero va de uno en uno.
El de cinco la secuencia comienza en uno y termina en cinco y
como cosa curiosa termina en cinco.
El de quince comienza en cuatro y termina en seis. La
secuencia además de ser de uno en uno.
En el de ocho la secuencia comienza en dos y termina en seis
pero al igual que el de seis la secuencia va de dos en dos.
En el de dieciséis va de dos en dos comenzando en dos y
terminando en seis.
En el de cuatro la secuencia comienza en uno y termina también
en cuatro.
El de tres comienza en uno y termina en tres.
En el de nueve la secuencia comienza en dos y termina en seis.
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145
El de siete, comienza en uno y se le suma dos para tres y luego,
se le suma uno al tres para cuatro y para llegar al último, se le
suman dos nuevamente y se llega a seis. Dicho de otra forma,
veamos lo que sigue:
1 + 2 = 3 Aquí se observa que a la cantidad se le ha sumado el
primer número.
3 + 1 = 4 Puede ser: 1 + 2 = 3 + 1 = 4 + 2 = 6 + 1 = 7 + 1 = 8 + 2 = 10
4 + 2 = 6
El cuatro, se le sumó la misma cantidad que al primero.
Problemas propuestos con el dominó.
N° 1 Con las siguientes piezas del dominó: cuatro uno, cinco
dos, cinco uno, dos blanco, cuatro dos, seis uno, cinco blanco, dos
uno, seis blanco, uno blanco, doble tres, tres uno, doble dos, cuatro
tres, dos tres y cuatro blanco.
Construir cuatro cuadrados de lado siete.
N° 2 Con las siguientes piezas del dominó: Doble cuatro, tres
blanco, cuatro blanco, doble tres, cinco dos, cuatro uno, tres dos,
seis dos, cinco blanco, cuatro tres, doble uno, seis uno, tres uno,
cuatro dos y dos blanco.
Construir cuatro cuadrados de lado ocho.
Una vez formados los cuadrados el alumno aprecia que hay un
cuadrado que tiene todos los puntos del dominó por cuanto
comienza en cero (blancos) y termina en seis. También hay otro
que sigue una secuencia que comienza en uno y termina en cinco.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
146
N° 3 Con las siguientes piezas del dominó construir cuatro
cuadrados de lado nueve: seis dos, cinco uno, seis tres, tres blanco,
doble cuatro, cuatro uno, cinco blanco, cinco cuatro, doble tres,
cinco tres, seis uno, cuatro dos, cinco dos, doble dos, dos tres y
cuatro tres.
Algunas soluciones
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147
Otras soluciones
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
148
REFERENCIAS
Araujo, Z. (2001). Estrategias metodológicas utilizadas por
el docente para Facilitar el Conocimiento lógico-
matemático en alumnos de primer grado de Educación
Básica. Trabajo de grado de maestría no publicado,
Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto
Pedagógico de Maracay, Maracay.
Ary, D., Jacobs, L. y Razavieh, A. (1992). Introducción a
la Investigación Pedagógica. Segunda Edición. México: Mc
Graw-Hill.
Corbalán, F.(1995) Matemática, jugos y calculadoras. Aula de
Innovación Educativa, Año II. (34), 29-33.
Estacio. (1991, Diciembre, 6). Resultados del examen de
Admisión en la Universidad Simón Bolívar. El Nacional, p. A-3
González, F. (1993). Aprender a enseñar matemática. Elementos
para configurar una estrategia. Enseñanza de la Matemática,
Universidad Pedagógica Experimental Libertador, 2. (2), 5-20.
González, F. (1995). La investigación en Matemática. Serie
temas de Educación Matemática. Volumen Cuatro.
Guerrero, O. (1994). Propuestas metodológica de la enseñanza de
la matemática en la I y II etapa de Educación Básica.
Enseñanza de la Matemática, Universidad Pedagógica
Experimental Libertador, 3. (3), 51-54.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
149
López, R. (2000). Epistemología y Didáctica de las Ciencias. Un
análisis de segundo orden. Enseñanza de las Ciencias. 8 (1),
65- 74.
Ministerio de Educación (1998). Currículo Básico Nacional.
Programa de estudio de Educación Básica II Etapa. Caracas:
Autor.
Mora, D. (2002). Didácticas de las Matemáticas. Caracas:
Ediciones de la Biblioteca De la Universidad Central de
Venezuela.
Oficina Sectorial de Planificación y Presupuesto. SINEA. Sistema
Nacional de Medición y Evaluación del Aprendizaje. (1998).
Informe para el Docente 6°. Corporación Belmont.
Piaget, J. (1975). Psicología de la Inteligencia. Buenos Aires:
Psique.
Stracuzzi, P. y Martins, F. (2003). Metodología de la
Investigación Cuantitativa. Caracas: FEDUPEL.
José Servelión Graterol Enseñando con Curiosidades Matemáticas
150
José Servelión Graterol
Nació en Tucupido Estado Guárico, Venezuela. Estudió
primaria en el Grupo Escolar Narciso López Camacho y el
Bachillerato en el Liceo Dr. “Victor Manuel Ovalles” de la
misma población donde nació. Profesor del Departamento de
Matemática del Pedagógico de Maracay. Msc. En enseñanza de
la matemática y Doctor en ciencias de la educación.