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Enseñanza del número y
el sistema de numeración
Clase 1: Complejidades de nuestro sistema de
numeración. Un poco de historia.
¡Hola colegas!
Les damos la bienvenida a esta primera clase del módulo “Enseñanza del número y
el sistema de numeración – Segundo ciclo”.
Sabemos que los números y el sistema de numeración aparecen muy
tempranamente en la vida escolar y se extienden por varios años. Al tratarse de
conocimientos que utilizamos todo el tiempo, tanto dentro como fuera de la escuela,
en ocasiones los docentes perdemos de vista que se trata de un objeto de gran
complejidad que demandará grandes esfuerzos por parte de quienes están
intentando aprender cómo funciona y por qué.
Coincidimos con Itzcovich et al. (2008: 31), quienes afirman:
“Nuestro sistema de numeración es una creación cultural con
características propias, que difieren de las de otros sistemas
pertenecientes a otras culturas. Como cualquier objeto de construcción
cultural, es una convención y, como tal, arbitraria; por lo tanto, la
posibilidad de que este sistema pueda ser aprendido por las nuevas
generaciones depende de la enseñanza”.
El hecho de que las características de nuestros números y del sistema de
numeración son arbitrarias –es decir, son éstas pero podrían ser otras– es uno de
los asuntos que intentaremos tematizar en esta clase. Tomar conciencia del carácter
convencional del sistema nos pondrá en mejores condiciones para analizar algunas
de las propuestas de enseñanza que han surgido en los últimos años.
Ideas infantiles que nos interpelan. Volver la mirada hacia la
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historia de los números
En una investigación llevada a cabo en la década de 1990, las investigadoras
argentinas Delia Lerner, Patricia Sadovsky y Susana Wolman encontraron que niños
muy pequeños, incluso antes de ir a la escuela, habían construido ciertas ideas
matemáticas sobre las escrituras numéricas. En su artículo “El sistema de
numeración: un problema didáctico” analizan muchas de ellas, algunas de las cuales
pueden ponerse en relación directa con las características de nuestro sistema de
numeración. Muchas otras, en cambio, pueden parecer extrañas.
Tomemos como ejemplo algunas ideas que Pablo (6 años, primer grado), uno de los
niños entrevistados, pone en funcionamiento frente al problema de comparar dos
escrituras numéricas que no conoce:
“(…) [Pablo] dice en primer término que 112 es mayor que 89
(señalándolos, no conoce las denominaciones) “porque tiene más
números”, pero luego cambia de opinión: “No, es más grande éste (89)
porque 8 más 9 es 17, y entonces es más”” (Lerner, Sadovsky y
Wolman, 1994: 102).
Las autoras no encuentran una explicación acabada de por qué Pablo suma los
valores de las cifras para comparar los números. Sin embargo, vinculan esta
estrategia –que seguramente construye en su esfuerzo por resolver el problema que
se le plantea– con una dificultad que deben enfrentar todos los niños:
“(…) el criterio alternativo utilizado por Pablo da cuenta de un problema
que probablemente se planteen todos los chicos en determinado
momento de la construcción: ¿cómo se puede explicar que un número
cuyas cifras son todas bajitas (1110, por ejemplo) sea mayor que otro
formado por cifras “muy altas” (999, por ejemplo)?” (Lerner, Sadovsky
y Wolman,1994: 103).
Para quienes dominamos los números y el sistema de numeración, la idea de
comparar los valores “sueltos” de las cifras nos parece “naturalmente” un error,
producto de que no se han comprendido las reglas del sistema. Para la mayoría de
los chicos, en cambio, lejos de tratarse de una cuestión natural –entre otras– es
una de las grandes cuestiones a desentrañar en relación al funcionamiento de las
escrituras numéricas. Si miramos la historia veremos, efectivamente, que muchos
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sistemas de numeración antiguos funcionan atendiendo a criterios muy diferentes
del nuestro, y paradójicamente muy similares a los que usan los chicos en sus
razonamientos.
Les proponemos que en esta primera clase volvamos la mirada hacia la historia de
los números para analizar distintos sistemas de numeración que han existido en
diferentes épocas y culturas, y los comparemos con el nuestro. Las discusiones
matemáticas que les propondremos sobre estos objetos nos permitirán identificar
algunas de sus propiedades, a la vez que tomaremos conciencia de su complejidad.
Este trabajo nos ayudará también a desnaturalizar los conocimientos que tenemos
sobre nuestro sistema de numeración ya que repararemos en la matemática
subyacente a las reglas que lo rigen.
¿Dónde hay números?
¿Para qué los usamos?
Los números forman parte de
nuestro entorno cotidiano y
estamos en contacto con ellos
desde muy temprano en nuestras
vidas. Nuestra edad, la fecha de
nuestro nacimiento, el número de
nuestra casa, son sólo algunos de
los usos que les damos a estos
objetos en nuestra cultura.
En relación a nuestras escrituras
numéricas sabemos que su uso
está bastante extendido en el
mundo pero que en algunas
culturas se utilizan otras. Veamos
un ejemplo (Vilella Miró, 2006) en
el que una niña que cursa la
escuela primaria en España y que proviene de Paquistán le muestra a su maestra
los símbolos que usaría en su país.
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Efectivamente, observemos que el ocho de la columna de la izquierda coincide con
el símbolo que está en el cuarto lugar (correspondiente al número cuatro) de la
columna de la derecha.
Dada la naturalidad con que vivimos la presencia de las escrituras numéricas en
nuestra vida cotidiana, a veces perdemos de vista que se trata de un objeto
cultural, un invento humano que ha sido creado de muchas maneras diferentes a lo
largo de la historia y en distintas culturas.
Pensemos por ejemplo en los símbolos romanos. Estos números se utilizaron en
todo el Imperio Romano durante muchos siglos, hasta ser abandonados en favor de
las cifras indo-arábigas y sus reglas de funcionamiento. Actualmente solo utilizamos
escrituras de números romanos en contextos específicos: para registrar siglos; en
algunos relojes de aguja; para numerar capítulos de libros; para nombrar reyes y
papas; en películas, cuando se crean sagas o para registrar el año de su realización
al final de los créditos.
Los contextos, las costumbres e incluso los intereses de los pueblos han podido
influir en la necesidad de crear ciertos modos de contar, registrar cantidades y
calcular, así como en la decisión de cambiar en algún momento de su historia unos
números por otros.
Otras culturas además de la romana han desarrollado sistemas de escritura de
números que han sido estudiados hasta nuestros días y que nos ayudarán a
estudiar y comprender nuestro propio sistema. Analicemos algunos de ellos.
El sistema de numeración egipcio
En el Antiguo Egipto, alrededor del año 3000 a.C., se creó un sistema de
numeración jeroglífico del cual se conocen los símbolos que mostramos a
continuación:
Actualmente no hay acuerdos sobre las razones por las cuales se crearon estos
símbolos, pero en cambio existen varias hipótesis. Por ejemplo, algunos
historiadores creen que el símbolo que representa al 1000 –una flor de loto– podría
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provenir de la semejanza fonética entre las palabras mil y flor de loto en esa
cultura. Otros estudiosos postulan que dado que esta flor era la más abundante, con
ella intentaban simbolizar un número “grande”.
El sistema egipcio era aditivo y solo disponía de símbolos para las potencias de 10.
Para escribir otros números había que combinar los símbolos existentes repitiendo
los que fueran necesarios hasta nueve veces, para que la suma de todos ellos
alcanzara la cantidad que se quería representar. De este modo, para escribir el
número 19 debían utilizar un símbolo de 10 y nueve símbolos de 1; mientras que
para representar el 20, usarían dos símbolos de 10.
En la siguiente imagen podemos ver una escritura numérica utilizando este sistema.
Corresponde a una piedra tallada que se encuentra actualmente en el Museo de
Louvre (París , Francia):
¿Se animan a identificar la cantidad que está representada en la foto?
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El siguiente video les puede ayudar a llevar a cabo esta tarea: Sistema
Egipcio
https://www.youtube.com/watch?v=UuNtdldzSRg
Los egipcios no siempre siguieron un orden muy preciso para escribir los números.
Inicialmente dibujaban los símbolos uno a continuación de otro, pero luego la
notación se hizo más regular, probablemente para facilitar su lectura. Es así que se
formaban dos o tres líneas superpuestas de pequeños grupos de dos, tres o cuatro
signos idénticos.
Debido a que la cantidad total representada por una escritura siempre resulta de
sumar el valor que porta cada símbolo, su ubicación relativa no afecta el valor que
se quiere representar. De esta manera, podemos aseverar que estas dos notaciones
corresponden al número 3.453:
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El sistema egipcio es no posicional. Esto significa que los símbolos tienen siempre el
mismo valor, independientemente del lugar en el que se encuentren dentro de la
escritura. Por ejemplo, el número cuatro se representa así:
En este caso hay cuatro símbolos iguales en cuatro lugares diferentes de la
escritura, pero cada uno de esos símbolos vale uno. Esto es diferente de nuestro
sistema de numeración: si consideramos el número 1111, compuesto por cuatro
símbolos iguales uno al lado de otro, cada símbolo tiene un valor diferente. Así,
considerando las posiciones de derecha a izquierda, el 1 que está más a la derecha
“vale” uno, pero el 1 que está inmediatamente a continuación –en el lugar de las
decenas– no vale uno sino que vale diez; el que está a continuación, en el lugar de
las centenas, no vale uno sino que vale cien; y finalmente, el 1 que está más a la
izquierda no vale uno sino mil. Es decir, el mismo símbolo en distintas posiciones
toma valores diferentes, en contraposición al sistema egipcio en el que un mismo
símbolo en diferentes lugares vale lo mismo.
El sistema egipcio tiene base diez. Esto significa que cada diez unidades de un
orden se forma otra de un orden superior. En este caso, al agrupar diez “unos” se
forma un diez, para el cual se introduce un nuevo símbolo; al agrupar diez “dieces”,
se forma un cien que tiene un símbolo nuevo; etcétera.
Con estos símbolos y estas reglas de uso es posible escribir hasta el 9.999.999,
dado que para escribir el 10.000.000 se necesitaría un nuevo símbolo. Posiblemente
en la cultura egipcia no hayan sido necesarios los números mayores al orden del
millón, y por eso no se hayan ocupado de inventar otros símbolos.
Un sistema como el egipcio es casi una “traducción” de las acciones de contar y
agrupar. Otros sistemas inventados en otras culturas ocultaron algunas de estas
acciones, resultando en escrituras un poco más económicas y, a la vez, un poco
menos transparentes.
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El sistema de numeración chino
Hace más de seis mil años se inventó en China un sistema de numeración que
consta de los siguientes símbolos fundamentales:
Hoy en día existen notaciones que varían de una región a otra, y algunas reglas y
símbolos pueden cambiar. En su versión tradicional, las escrituras solían ser
verticales, y se leían de arriba hacia abajo. Pero actualmente también se utilizan
escrituras horizontales que se leen de izquierda a derecha.
Para los números del 11 al 19 se combina el símbolo del diez con los signos de las
unidades, de esta manera:
Es decir, se escribe a la izquierda el símbolo del diez y a la derecha la cifra que debe
sumarse al diez para obtener la cantidad correspondiente.
El veinte se escribe ubicando el símbolo del dos a la izquierda del símbolo del diez:
Y para los números que siguen, se procede así:
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Es decir, se forma en primer lugar el número veinte, combinando los símbolos del
dos y del diez escritos en ese orden de izquierda a derecha, para indicar que sus
valores se multiplican. Luego se agrega a la derecha la cifra que falta sumar al
veinte para obtener la cantidad correspondiente.
En este video se muestra la escritura de algunos números de la serie
numérica hasta el cien y su pronunciación en chino mandarín. En él puede
verse la presencia de una escritura para el cero. Es un símbolo de uso
actual pero cuya introducción fue muy posterior a la creación y el comienzo
del uso de este sistema en la historia de esta cultura.
https://www.youtube.com/watch?v=ckd4CbTo60Y
El sistema de numeración chino es aditivo y multiplicativo, puesto que para formar
números se utilizan sumas y multiplicaciones. Por ejemplo, para formar el 555 hay
que escribir el símbolo del cien precedido por el del cinco, de modo de obtener el
quinientos; luego, el símbolo del diez precedido del cinco, para formar el cincuenta;
y finalmente el símbolo del cinco. La escritura de todo el número quedaría de este
modo:
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A diferencia del egipcio, en este sistema el orden en el que se escriben los símbolos
resulta fundamental. Esto es así porque las operaciones involucradas en la
formación del número son diferentes dependiendo del lugar que ocupen respecto de
los demás símbolos.
¿Cuál de estas escrituras corresponderá al número 600? ¿Qué
número representa la otra escritura? ¿Cómo se dan cuenta?
a) b)
A pesar de la importancia en el orden de los símbolos dentro de las escrituras, este
sistema también es no posicional. Esto es, cada símbolo conserva su valor original,
independientemente del lugar que ocupe.
Para comprender esta diferencia volvamos a la escritura del 555 que analizamos
más arriba. En aquel caso utilizamos tres veces el símbolo correspondiente al cinco.
Lo distinto en sus tres apariciones dentro de la escritura no es el valor que toma
sino la operación en la que participa, siempre con su valor 5. Así, las dos primeras
veces que aparece, el lugar que ocupa indica que se va a multiplicar
respectivamente por 100 y por 10. En cambio, su tercera aparición indica que se ha
de sumar. De este modo, el orden dentro de la escritura indica de qué manera –a
través de qué operación– se combina con los demás símbolos para formar el
número.
La base de este sistema de numeración es 10, ya que cada diez unidades de un
orden se forma otra de un orden superior y se introduce un nuevo símbolo para
representar los números del orden siguiente.
El uso de la multiplicación en la formación de escrituras numéricas significó una
ventaja importante, no solo porque ahorraba la repetición de símbolos –como en el
caso del sistema egipcio–, sino porque posibilitaba la creación de nuevas reglas para
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poder escribir números más grandes. Efectivamente, los chinos tomaron el 10.000 –
el símbolo de mayor valor de su sistema– como nueva base para multiplicar, y
obtuvieron escrituras para potencias de diez mayores, que combinadas con los
demás símbolos servían para escribir números más grandes. Estas son algunas de
ellas:
Con estas nuevas reglas y las combinaciones de símbolos que habilitaba su sistema
fue posible escribir números hasta el 999.999.999.999.
El sistema de numeración romano
Seguramente conocen algunas características del sistema romano. Recordemos los
símbolos que se utilizan para escribir números.
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1.000
Para formar otros números pueden repetirse los símbolos originales hasta tres veces
y se suman sus valores. Esta restricción en la cantidad de repeticiones hace
necesaria una nueva regla para la formación de otros números. Por ejemplo,
repitiendo el símbolo I se pueden escribir los números 2 y 3 –respectivamente II y
III–; pero para escribir el número 4 o el número 6, se combinan los símbolos del 5
y del 1, ubicados de tal manera que corresponde restar o sumar sus valores. De
este modo, los números 4, 5 y 6 se escriben respectivamente: IV, V, VI.
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¿Han notado que en muchos relojes el 4 se escribe IIII y no IV? En
este sitio hallarán posibles explicaciones para esta curiosidad:
¿Por qué se utiliza IIII en lugar de IV? Ver en:
http://www.inforeloj.com/spa/item/IIII_IV.html
Tenemos, entonces, que dependiendo del orden que tomen dentro de las escrituras,
los valores de los símbolos que se combinen se deben sumar o restar.
Para escribir números usando estos símbolos hay que seguir algunas reglas
adicionales. Una de ellas es que no se puede “restar” cualquier valor a un símbolo
dado. Por ejemplo, el número 99 no se puede escribir así: IC. Tampoco el 95 se
puede escribir así: VC. Esto se debe a que al cien solo se le puede restar diez. Del
mismo modo, al mil solo se le puede restar cien y por eso el 990 no puede
escribirse así XM ni el 995 así VM.
Con estos símbolos y estas reglas, los romanos podían formar números hasta el
3.999, que se escribe así:
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Para números mayores debieron inventar nuevas reglas que ampliaban las
posibilidades habilitadas por las sumas y las restas. De este modo, agregaron
ciertas marcas especiales a las escrituras para indicar que había que multiplicar. Por
ejemplo, el símbolo para el 5.000 no era un símbolo nuevo, sino el mismo que se
usaba para el cinco con el agregado de una raya horizontal arriba:
La raya horizontal por encima de la escritura indicaba que al valor que estaba
debajo de ella había que multiplicarlo por 1.000. Del mismo modo, el 4.000 se
formaba escribiendo el cuatro y agregando una raya encima de la escritura; el
6.000, escribiendo el seis y agregando la raya; y así sucesivamente.
A continuación, les dejamos un video que sintetiza algunas de las
ideas que hemos desarrollado sobre los números romanos:
La Eduteca-Los números romanos
https://www.youtube.com/watch?v=IAtWxaQLboY
El sistema de numeración maya
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Los sistemas de numeración
que hemos analizado hasta
aquí se caracterizaban por ser
de base 10 y no posicionales.
Analizaremos a continuación
el sistema maya, que es de
base 20 y posicional.
La numeración maya requiere
solamente del uso
de tres signos: el
“caracol” (o
semilla), que representa el cero; el "punto", que representa el 1, y la "raya", que
representa el 5.
Con la ayuda del siguiente video podrán aproximarse a unas primeras
maneras de interpretar y producir escrituras numéricas mayas:
SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA
https://www.youtube.com/watch?v=4jP8-6nNThM
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Si bien las escrituras se presentan
generalmente en sentido vertical, se han
encontrado evidencias de que también
utilizaban otras variantes:
Este sistema de numeración es posicional, lo
que significa que los símbolos cambian de valor según el lugar en el que se
encuentren dentro de la escritura. Por ejemplo, comparemos estas notaciones:
El punto vale 1 en la primera posición, pero vale 20 en la segunda posición y vale
400 en la tercera. Lo mismo ocurre cuando la raya cambia de posición. En cambio,
el cero vale siempre cero, independientemente de la posición que ocupe.
Según algunos historiadores de la matemática, las escrituras mayas tenían una
irregularidad en la tercera posición. Esto implica que en lugar de multiplicar por 400
a la cantidad de dicha posición, debiera multiplicarse por 360.
En el ejemplo que proponemos, y en rigor a estas versiones de la historia, esa
escritura correspondería a 360 y no a 400. Las razones serían astronómicas, ya que
los mayas utilizaban mayormente los números con estos fines. Sin embargo, en
esta clase consideraremos el estudio del sistema sin tomar en cuenta esta
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irregularidad.
¿Cuánto vale el símbolo en cada una de las posiciones de este
sistema? ¿Por qué el cero vale siempre cero, sin importar la posición
que ocupe en la escritura?
En el siguiente cuadro organizamos algunos números de la serie numérica
utilizando los símbolos y algunas reglas del sistema maya. Les proponemos
que completen los espacios vacíos del cuadro con las notaciones mayas de los
números que deberían aparecer e intenten identificar algunas regularidades de
estas escrituras que se les hagan “observables” a partir de esta organización.
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Es probable que algunos de ustedes hayan completado las escrituras ausentes
intentando “traducir” el número que faltaba del sistema decimal al sistema maya.
Por ejemplo, sabiendo que falta el 23, pensar cómo se escribe 23 usando los
símbolos y las reglas de este sistema. Pero también es posible que se hayan fijado
en algunas características de las escrituras que los espacios vacíos tienen “cerca”, o
lo que tienen en común las escrituras de la fila o la columna en la que se
encuentran. Efectivamente, el cuadro ha sido organizado para poner de relieve
algunas regularidades de las escrituras numéricas mayas.
Comparemos el cuadro anterior con uno que se propone usualmente en la escuela:
Aquí los números están ordenados de tal manera que las escrituras en cada fila y en
cada columna comparten algunas características. Entre otras, las escrituras de la
primera columna terminan con cero, en la segunda, con uno, etc.; la escrituras de
la segunda fila empiezan con uno, en la tercera fila empiezan con dos, etc.; en cada
fila los números aumentan de uno en uno; en cada columna, los números aumentan
de diez en diez.
Si les pidiéramos a los alumnos que completen el espacio vacío, podrían apoyarse
en cualquiera de estas regularidades y no necesariamente en el reconocimiento –
oral y/o escrito– del número ausente. En este caso, podrían pensar que “tiene que
ser 57 [nombrándolo o no] porque todos los números de esa columna terminan con
7 y el de adelante va cambiando de uno en uno”. O bien que “tiene que ser 57
[nombrándolo o no] porque está en la fila del 50 y contás uno, dos, tres, … seis,
siete”. O también “tiene que ser 57 [nombrándolo o no] porque el que está antes se
escribe 56 y el que está después, 58”.
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La disposición de los números en un cuadro de 10 x 10, y que reserva el primer
lugar de cada fila para los números que terminan en cero y el último para los que
terminan en 9 es intencional y se apoya en la organización decimal de nuestro
sistema de numeración así como en las regularidades de sus escrituras.
¿En qué regularidades de las escrituras mayas se fijaron –o se
podrían haber fijado– para completar los espacios vacíos de este
cuadro?
Notemos que al interior de cada posición el sistema maya es aditivo, ya que
“acumula” unidades de un determinado orden sumando los valores de los símbolos
que están involucrados. Analicemos, por ejemplo, la siguiente porción de la serie
numérica:
Al acumularse tres rayas horizontales en la primera posición se forma el quince, que
se transformará en dieciséis al agregarle un punto, en diecisiete al agregarle otro
más, y así hasta el diecinueve. Al llegar a veinte se ha de pasar a la segunda
posición, utilizando el símbolo del cero en la primera para comunicar que en esa
posición no hay unidades, mientras que se dispone un punto en la segunda para
indicar una “veintena”. Efectivamente, la base de este sistema de numeración es
20, ya que cada veinte unidades de un orden se forma otra de un orden superior y
se introduce una nueva posición para representar los números de ese nuevo orden.
A diferencia de los otros sistemas que hemos analizado hasta aquí, en este caso, al
“acumular” veinte unidades de un orden no introducimos un nuevo símbolo para
representar los números del orden siguiente; justamente la posicionalidad exime al
sistema de esta necesidad. Aquí se necesita de una sola posición para escribir todos
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los números hasta el 19; luego se agrega una segunda posición con la cual es
posible escribir todos los números desde el 20 hasta el 399, agregando una nueva
posición para escribir todos los números entre 400 y 8000, y así sucesivamente al
“llegar” a cada una de las potencias de veinte.
Con estos símbolos y estas reglas de uso es posible escribir números
indefinidamente: sólo hace falta agregar posiciones para representar números cada
vez más grandes.
Algunas ideas en torno a nuestro sistema de numeración
El sistema numérico que usamos en la actualidad fue creado originalmente en la
India, alrededor del siglo V, expandiéndose al mundo árabe y desde allí a Europa.
Armamos nuestras escrituras numéricas combinando las diez cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 en diferentes posiciones, y en cada una de ellas la misma cifra toma
valores diferentes. Por ejemplo, el número 32 está formado por los mismos
símbolos que 23; sin embargo, la cifra 2 tiene un valor diferente en cada uno de
ellos: en el primero vale dos, pero en el segundo vale veinte. Por esto decimos que
nuestro sistema es posicional.
La base de nuestro sistema de numeración es 10, ya que cada diez unidades de un
orden se forma otra de un orden superior. Al “acumular” diez unidades de un orden
no introducimos un nuevo símbolo para representar los números del orden
siguiente: lo que hacemos es agregar una nueva “posición” a la izquierda de
nuestras escrituras, la cual permitirá escribir todos los números de ese nuevo orden
de magnitud.
Por ejemplo, necesitamos de una sola posición para escribir todos los números
hasta el 9; luego agregamos una segunda posición con la cual podemos escribir
todos los números desde el 10 hasta el 99, agregando una nueva posición para
escribir todos los “cienes” y así sucesivamente cuando “llegamos” a cada una de las
potencias de diez –10, 100, 1.000, 10.000, etc.
Unas primeras comparaciones entre sistemas de numeración
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Hemos analizado que tanto nuestro sistema de numeración como el maya, a
diferencia de los sistemas egipcio, chino y romano, son posicionales. Esta
característica tiene ciertas “ventajas” que podrían explicar en parte el hecho de que
hoy sea un sistema posicional –el nuestro– el que predomina en el mundo.
Analicemos algunas ventajas de nuestro sistema de numeración en comparación
con otros no posicionales:
● En nuestro sistema, usando repeticiones y combinaciones de los
diez símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 es posible escribir un
número tan grande como se quiera, aun si no supiéramos cómo
nombrarlo. En cambio, no lo es en los sistemas no posicionales,
en los cuales las reglas de formación de las escrituras hacen
necesario agregar en algún momento un nuevo símbolo o una
regla especial para seguir adelante.
● En nuestro sistema decimal, los números que representan a un
cierto orden de magnitud se escriben con la misma cantidad de
cifras: los “unos”, con una cifra; los “dieces” con dos cifras; los
“cienes”, con tres cifras; etc. Esto no es cierto en los sistemas no
posicionales. Por ejemplo, esta es la sucesión del “veinte” en el
sistema romano: XX, XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII,
XXVIII, XXIX.
● rios simples para comparar dos números cuyas escrituras tengan
igual o diferente cantidad de cifras, lo cual no es tan sencillo en
otros sistemas por no poseer las mismas características. (esto
será trabajado en el foro de esta clase)
Estas ventajas de nuestro sistema por sobre otros tienen como contracara la falta
de transparencia a la que nos enfrentamos para interpretar sus escrituras. En
palabras de Lerner, Sadovsky y Wolman (1994):
“Un sistema posicional es al mismo tiempo mucho menos transparente y
mucho más económico que un sistema aditivo. Es menos transparente
porque el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa, y
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porque esa posición es el único rastro de la presencia de la potencia dela
base. A diferencia de lo que ocurre al interactuar con otros sistemas que
utilizan símbolos específicos para anotar las potencias de la base, para
interpretar un número representado en un sistema posicional es
necesario inferir cuál es la potencia de la base por la que hay que
multiplicar cada cifra.”
En esta sección analizamos algunas de las ventajas que nuestro
sistema presenta por sobre otros, gracias a la posicionalidad que
lo caracteriza. Sin embargo, esta propiedad la comparte con el
sistema de numeración maya. Repasen cada uno de los ítems
propuestos e intenten pensarlos en función del sistema maya y
sus características.
Para terminar…
En esta clase hemos estudiado algunos sistemas de numeración que se han creado a
lo largo de la historia al interior de culturas distintas y en momentos históricos
diferentes. La comparación entre los distintos modos de representar los números y
su funcionamiento nos ha permitido aproximarnos a unas primeras ideas sobre las
posibles ventajas que un sistema como el nuestro presenta por sobre otros.
Sabemos que el segundo ciclo es un momento de la escolaridad en el que se
recuperan los conocimientos numéricos que los niños han aprendido en el primer
ciclo y se los hace crecer. Asimismo, se presentan en esta etapa algunas propuestas
de estudio en torno a sistemas de numeración diferentes –especialmente, el
romano–. ¿Con qué objetivos se presentan dichas propuestas? ¿Con qué
conocimientos disponibles de los niños se pondrán en diálogo? ¿De qué maneras? Y
también, ¿qué cuestiones acerca de los números y el sistema de numeración decimal
se recuperarán y profundizarán en esta nueva etapa escolar? Sobre algunas de estas
cuestiones trabajaremos en la Clase 2.
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Actividades obligatorias
A continuación les presentamos las actividades para esta clase:
Foro de presentación
Para iniciar el intercambio con colegas en este módulo les solicitamos que
pasen por el Foro de Presentación. Allí, además de presentarse, incluyan
alguna reflexión acerca de su propia experiencia enseñando o aprendiendo
los números y el sistema de numeración, o bien algunas preguntas que se
formulen en relación a su enseñanza en el segundo ciclo.
Foro “Análisis del funcionamiento de distintos sistemas de
numeración"
En el inicio de esta clase realizamos un recorrido a través de los distintos
sistemas de numeración que se han creado y utilizado a lo largo de la
historia.
A continuación, seguiremos analizando y explicitando algunas características
del nuestro, para ello los invitamos a participar analizando las siguientes
cuestiones:
- ¿Qué ventajas ofrece trabajar con otros sistemas de numeración en
la enseñanza del nuestro en segundo ciclo? ¿Qué encontramos en los
NAP al respecto?
- ¿Cómo aprovechar esas ventajas para comprender el
funcionamiento de nuestro sistema, como ejemplo para la
comparación de dos números?
- En nuestro sistema de numeración se utiliza un símbolo especial
para representar al cero. ¿Por qué creen que en otros sistemas no se
utilizó? ¿Qué influencia tiene existencia en la comparación de dos
números? ¿Qué sucede en otros sistemas?
Si lo precisan, pueden escribir ejemplos “a mano” para construir sus
explicaciones. Si quieren compartirlos en el foro, pueden sacarles una foto y
subirlas.
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En este foro se valorará que sus intervenciones estén argumentadas desde
los aportes de las clases, que se retomen las participaciones de los colegas y
que busquen ampliar intervenciones de los mismos, evitando intervenciones
aisladas.
¡A trabajar!
Actividades optativas
Foro grupal
Además de los foros mencionados en el apartado anterior, observarán
también un foro grupal. Este foro solo puede ser visualizado por los
integrantes de cada grupo. Los invitamos a conocerse en este otro
foro anticipando que en la clase 2 deberán trabajar en forma grupal.
Foro de consultas
A lo largo de toda la cursada contarán con este foro para consultar y
evacuar todas las dudas que vayan teniendo.
Bibliografía de referencia
● Barriga, F. (2005): “La historia natural de los sistemas de numeración”. En
Alvarado, M. y Brizuela, B. M. Haciendo números. Las notaciones numéricas
vistas desde la psicología, la didáctica y la historia. México DF, Paidós.
● Broitman, C.; Grimaldi, V.; Ponce, H. (2013): El valor posicional. Reflexiones
y propuestas para su enseñanza. Buenos Aires, Ed. Santillana.
● Cepa (2004): Ficha de Sistemas de Numeración. Postítulo docente -
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Especialización Superior en Enseñanza de la Matemática para Nivel Primario.
Ciudad de Buenos Aires.
● Ifrah, G. (1987): Las cifras. Historia de una gran invención. Madrid, Alianza
Editorial.
● Itzcovich, H. (coord.) (2008): La Matemática escolar. Las prácticas de
enseñanza en el aula. Buenos Aires, Ed. Aique.
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● Unipe (2013): Ficha de Sistemas de Numeración. Seminario “Aritmética del
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● Vilella Miró, X. (2006): “Matemáticas y culturas: Una relación pendiente de
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http://revistasuma.es/IMG/pdf/52/051-061.pdf
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Cómo citar este texto:
Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 01. Complejidades de nuestro
sistema de numeración. Un poco de historia. Módulo: Enseñanza del
número y el sistema de numeración – 2º ciclo. Especialización docente de Nivel
Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos Aires:
Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.
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El diseño y escritura de las clases del módulo fue realizado por: Verónica Grimaldi,
Ruth Schaposchnik y Silvia Segal.
