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FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

CURSO: ESTTICA EQUILIBRIO DE PARTICULAS Y CUERPOS RIGIDOS

2013

1CONTENIDOIntroduccin.Diagrama de cuerpo libreReacciones en soportes y conexiones e dos dimensiones.Equilibrio de partculasEquilibrio de un cuerpo rgido en dos dimensionesReacciones estticamente indeterminadas.Ejemplos de aplicacinEquilibrio de un cuerpo sometido a dos fuerzas.Equilibrio de un cuerpo rgido sometido a tres fuerzas.Ejemplos de aplicacinEquilibrio de un cuerpo en tres dimensionesReacciones en soportes conexiones en tres dimensionesOBJETIVOS al finalizar esta seccin sern capaces de:

Trazar diagramas de cuerpos libres de partculas y cuerpos rgidos .Aplicar las ecuaciones de equilibrio esttico en dos y tres dimensiones a partculas y a cuerpos slidos INTRODUCCINEn las sesiones anteriores se estudiaron a las fuerzas y momentos sobre partculas y cuerpos rgidos, evaluando su resultante de cualquier sistema En esta sesin se estudiar el equilibrio mecnico .El equilibrio es una situacin estacionaria en la que se cumplen una de estas dos condiciones :1.Un sistema esta en equilibrio mecnico cuando la suma de fuerzas y momentos sobre cada partcula del sistema es nulo.2.Un sistema est en equilibrio mecnico si su posicin en el espacio de configuracin es un punto en el que el gradiente de energa potencial es ceroESTATICALa esttica es un parte de la mecnica que estudia el equilibrio de fuerzas, sobre un cuerpo en reposo.La esttica analiza las cargas (fuerzas, y momentos) en los sistemas fsicos en equilibrio esttico, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los subsistemas no varan con el tiempo. Por la primera ley de Newton, esta situacin implica que un conjunto de la fuerzas y el par o momento neto de cada organismo en el sistema es igual a cero.De esta limitacin, las cantidades como la carga o la presin pueden ser derivadas. El conjunto de fuerzas igual a cero se conoce como la primera condicin de equilibrio, y el par neto igual a cero se conoce como la segunda condicin de equilibrioAPLICACIONES DE LA ESTATICALa esttica abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto del cuerpo as como de sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material.Uno de los principales objetivos de la esttica es la obtencin de: esfuerzos cortantes, normales, de torsin y momentos flectores a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos.

APLICACIONES DE LA ESTATICASu importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construir, las dimensiones que deber tener, lmites para un uso seguro, etc., mediante un anlisis de materiales.Por tanto, resulta de aplicacin en ingeniera estructural, ingeniera mecnica, construccin, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el anlisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleracin de las partes y las fuerzas resultantes.

APLICACIONES DE LA ESTATICA

APLICACIONES DE LA ESTATICA

APLICACIONES DE LA ESTATICA

APLICACIONES DE LA ESTATICA

Las Leyes de Newton

I Ley : Ley de inerciaTodo cuerpo permanece en su estado de reposo o movimiento uniforme a menos que sobre l acte una fuerza externa.II Ley : Definicin de fuerzaLa fuerza es igual a la masa por la aceleracin producida en el cuerpo.III Ley : Ley de accin-reaccinPor cada accin hay una reaccin igual y de signo opuesto.1 ley de NewtonUn cuerpo en reposo permanecer en reposo siempre que no acte una fuerza neta que la obligue a cambiar dicho estado

1 ley de NewtonUn cuerpo en movimiento permanecer en movimiento rectilneo uniforme siempre que no acte una fuerza neta que la obligue a cambiar dicho estado

1 Ley de Newton (ley de inercia)Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre l.[5]Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por s solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza neta sobre l. Newton toma en cuenta, as, el que los cuerpos en movimiento estn sometidos constantemente a fuerzas de roce o friccin, que los frena de forma progresivaEn consecuencia, un cuerpo con movimiento rectilneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma, un objeto en movimiento no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre l. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta.

2 ley de NewtonLa segunda ley del movimiento de Newton dice que el cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre segn la lnea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.Esta ley explica qu ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qu ser constante) acta una fuerza neta: la fuerza modificar el estado de movimiento, cambiando la velocidad en mdulo o direccin.

2 ley de NewtonEn concreto, los cambios experimentados en la cantidad de movimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la direccin de esta; esto es, las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relacin entre la causa y el efecto, esto es, la fuerza y la aceleracin estn relacionadas. Es decir

Donde es la cantidad de movimiento y la fuerza total. Bajo la hiptesis de constancia de la masa y pequeas velocidades, puede reescribirse ms sencillamente como:

Tercera ley de Newton o Ley de accin y reaccinFuerza = interaccin entre dos objetos : Dos objetos que interaccionan ejercen fuerzas entre s.Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, entonces B ejerce sobre A una fuerza de igual magnitud y direccin opuesta. FA + FB = 0

Aplicaciones de la tercera ley de Newton

Aplicaciones de la tercera ley de Newton

EQUILIBRIO DE UNA PARTCULAPara que un partcula se encuentre en equilibrio esttico es necesario que las fuerzas se encuentren balanceadas de tal manera que no puedan impartir traslacin.La condicin necesaria y suficiente para que una partcula se se encuentre en equilibrio esttico es que la resultante de fuerzas externas formen un sistema equivalente a cero

Descomponiendo cada una de las fuerzas y momentos se obtiene seis ecuaciones escalares

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDOPara que un cuerpo se encuentre en equilibrio esttico es necesario que las fuerzas y momentos externos se encuentren balanceados de tal manera que no puedan impartir traslacin ni rotacin.La condicin necesaria y suficiente para que un cuerpo se encuentre en equilibrio esttico es que la resultante de FUERZAS y MOMENTOS de todas las fuerzas externas formen un sistema equivalente a cero

Descomponiendo cada una de las fuerzas y momentos se obtiene seis ecuaciones escalares

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE1.El primer paso en el anlisis de equilibrio esttico de un cuerpo es identificar todas las fuerzas que actan sobre el cuerpo (Diagrama de cuerpo libre).2.Seleccionar el slido separndolo de su base de apoyo y se desliga de cualquier otro cuerpo. A continuacin se grafica el contorno.3.Indicar el punto de aplicacin, magnitud y direccin de las fuerzas externas, incluyendo el peso.4.Las fuerzas externas desconocidas consisten normalmente en reacciones. Las que se ejercen en los puntos en que el slido esta apoyado o unido a otros cuerpos.5.El DCL debe incluir tambin dimensiones , las que permiten calcular momentos de fuerzas

REACCIONES EN SOPORTES Y CONEXIONES

REACCIONES EN SOPORTES Y CONEXIONES

Reaccin equivalente a una fuerza de magnitud y direccin desconocidasReaccin equivalente a una fuerza y una cupla EJEMPLO DE DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

EJEMPLO DE DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

EJEMPLO DE DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

EJEMPLO DE DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRETrace el DCL de la viga

EJEMPLO DE DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRETrace el DCL de la palanca

EJEMPLO DE DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRELa arena ms la tolva D del volquete pesan 5000lb. Si es soportado por un pin en A y un cilindro hidrulico BC. Trace el DCL de la tolva y la arena

Ejemplo

La viga y el cable (con la polea de rozamiento despreciable) soportan una carga de 800 kg en el punto C. Trace el DCL de la viga indicando cuantas fuerzas son desconocidas.

Ejemplo

Despreciando la friccin trace el diagrama de cuerpo libre de la viga

EJEMPLO 01Una gra tiene una masa de 1000 kg y se utiliza para elevar el cajn de 2400 kg. Esta sujeta mediante una articulacin en A y un balancn en B. El centro de gravedad de la gra esta situada en G. Determine las componentes de las reacciones en A y B.

SOLUCINDCL de la gra.

La reaccin en B se determina resolviendo la ecuacin de momentos en ALa reaccin en A se determina aplicando la suma de componentes horizontales y verticales.

Ejemplo 02Una vagoneta se encuentra en reposo sobre una va que forma 25 con la vertical. La masa total de la vagoneta ms su carga es 5500 lb y su centro de gravedad se encuentra en el plano medio y a 30 pulgadas del carril. Determine la tensin en el cable y la reaccin en cada par de ruedas

SolucinDCL de la vagoneta ms su carga.Las reacciones en las ruedas son

La tensin en cable es

EQUILIBRIO DE UN CUERPO SOMETIDO A DOS FUERZASSi dos fuerzas actan sobre un cuerpo, para el equilibrio estas deben ser colineales. Considere una placa sometida a dos fuerzas.Para que la placa se encuentre en equilibrio esttico, la suma de momentos alrededor de A debe ser cero. El momento de F2 ser cero si su lnea de accin pasa por A.Similarmente la lnea de accin de F1 debe pasar por B para que la suma de momentos respecto a B sea nulo.Por tanto para que un cuerpo sometido a dos fuerzas se encuentre en equilibrio, las fuerzas deben ser de igual mdulo y direccin y de sentido opuesto.

EQUILIBRIO DE UN CUERPO SOMETIDO A TRES FUERZASConsidere a un cuerpo sometido a tres fuerzas actuando en A, B y C.Asumiendo que sus lneas de accin se intersecan el momento de F1 y F2 respecto al punto D es nulo. Puesto que el cuerpo rgido esta en equilibrio la suma de los momentos de F1, F2 y F3 alrededor de cualquier eje puede ser cero. Es decir la lnea de accin de F3 tambin debe pasar por D.Por tanto las lneas de accin de las tres fuerzas deben ser concurrentes.

Ejemplo 03Un hombre levanta una vigueta de 10 kg y 4 m de longitud, tirando de una cuerda. Determine: (a) la tensin en la cuerda y (b) la fuerza de reaccin en A.

En la figura se muestra el DCL de la vigaDeterminar la direccin de R:

Aplicando la ley de senos al triangulo de fuerzas se tiene

Entonces las fuerzas desconocidas son

EQUILIBRIO DE UN CUERO RIGIDO EN TRES DIMENSIONES Para mostrar el equilibrio de un CR en el espacio es necesario del conocimiento de seis ecuaciones escalares. Es decir,

Estas ecuaciones son resueltas para determinar seis cantidades desconocidas que pueden ser las reacciones en lo soportes.A veces es ms til aplicar la forma vectorial de las ecuaciones, esto es.

Reacciones en los soportes.

Reacciones en los soportes.

Ejemplo 04El letrero de densidad uniforme de 5 pie por 8 pie pesa 270 lb y esta soportado por una rtula en A y por dos cables. Determine la tensin en los cables y la reaccin en A

Solucin

Segundo L. Gallardo Zamora50Dos esferas idnticas estn colocadas en una cua como se muestra en la figura. Calcular las reacciones de las superficies planas en contacto con las esferas. Demostrar que cada esfera esta independiente-mente en equilibrio. Usar M = 100 kg. 30M45Solucin.Dibujamos en primer lugar las fuerzas que actan sobre la esfera superior y obtenemos el siguiente diagrama de cuerpo libre.N1PRN1PR Fi = N1 + R + P = 0Que simblicamente significa:D.C.L4530N1PRComo la esfera est en equilibrio la suma de fuerzas forman un polgono cerrado4530MMEjemplo 05 24/10/2013 05:02 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora51 En el tringulo vectorial se tiene que:N1RP = 60, = 45, = 180 (60 + 45) = 75 PSen RSen N1Sen ==Por la ley de los senosP Sen Sen N1 =(981) Sen 60 Sen 75N1 =N1 = NUsando: P = M g = (100)(9,81) = 981 N y despejando incgnitas se tieneP Sen Sen R =R =R = N (981) Sen 45 Sen 7524/10/2013 05:02 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora52 Ahora, dibujamos las fuerzas que actan sobre la esfera inferior, considerando a la fuerza de reaccin R de la esfera superior como accin sobre la esfera inferior y obtenemos el D.C.L .3045MRN2Como esta esfera tambin est en equilibrio el Polgono de fuerzas es cerradoN2PRN3Que simblicamente significa Fi = N2 + P + R + N3 = 0N3PD.C.LN2PRN33024/10/2013 05:02 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora53 Como se tiene ms de tres vectores concurrentes, usamos el mtodo de las componentes rectangulares. Fx = N2 R cos 30 = 0 Fy = N3 P R sen 30 = 0N2PRN330XYEn la primera relacin despejamos N2 y usamos el valor de R = 718.1 N calculado en la primera esfera.N2 = R cos 30N2 = 718,1 cos 30N2 = .. NEn la segunda relacin despejamos N3 y usamos los valores R = 718,1 N y P = Mg = 981 NN3 = P + R sen 30 = 981 + 718,1 sen 30 N3 = .. NPROBLEMA 06Tres cilindros homogneos lisos A, B y C estn apilados dentro de una caja como se ve en la figura. Cada cilindro tiene un dimetro de 250 mm y una masa de 245 kg. Determine: (a) la fuerza que el cilindro B ejerce sobre el cilindro A; (b) Las fuerzas que sobre el cilindro B ejercen, en D y E, las superficies horizontal y vertical

5424/10/2013 05:02 p.m.Segundo L. Gallardo ZamoraLa torre mostrada en la figura , soporta en el extremo del brazo AC, una carga de 18,6 kN. Es sostenida mediante una gozne esfrico en A y dos cables anclados en los puntos D y E. En la posicin mostrada, la torre est en un plano vertical formando un ngulo = 20 con el plano ZY. Determinar la tensin en cada cable y la reaccin en A debido a esta carga.Solucin: Dibujamos el D.C.L de la torre. XYZ30DEBAC2,00 m2,00 m2,5 0 m3,60 m3,60 m3,60 m3,60 cos 303,60 sen30TeXYZ30DEBAC2,00 m2,00 m2,50 m3,60 m3,60 m3,60 mPPTd RZRxRyEjemplo 07 Segn el D.C.L de la figuras, las fuerzas ejercidas son:24/10/2013 05:02 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora56E(-2,00; -2,50; 0)B (0; 0; 3,60)D(2,00; -2,50; 0)Como los puntos de aplicacin y las fuerzas estn en el sistema tridimensional (X,Y,Z), debemos definir a las fuerzas usando los correspondientes vectores unitarios, tal como se indica a continuacin.C (Cx ; Cy ; 1,80)XYZ303,60 m3,60 m3,12 mTeTdRZRxRyP1,80 mA(0; 0; 0)P = - 18600 kueudla carga P en C, la tensin Td en el cable BD, la tensin Te en el cable BE y La reaccin en A, cuyas componentes son: Rx, Ry, Rz. Td = Td udTe = Te ueRx = Rx iRy = Ry jRz = Rz k Para definir los vectores unitarios ud y ue, usamos los vectores posicin de los puntos D y E respecto al punto B.24/10/2013 05:02 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora57ud =rdrdue =rere,Donde los vectores posicin son:de mdulo: rd 4,82de mdulo: re 4,82Por lo tanto, los vectores unitarios son:rd = BD = (2,00 0) i + ( 2,50 0) j + (0 3,60) k re = BE = ( 2,00 0) i + ( 2,50 0) j + (0 3,60) k rd = 2,00 i 2,50 j 3,60 k y re = 2,00 i 2,50 j 3,60 k ud 0,41 i 0,52 j 0,75 k ue 0,41 i 0,52 j 0,75 k E(-2,00; -2,50; 0)D(2,00; -2,50; 0)XYZ303,60 m3,60 m3,12 mTeTdRZRxRyP1,80 mueudB (0; 0; 3,60)C (Cx ; Cy ; 1,80)A(0; 0; 0)24/10/2013 05:02 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora58 Usando los correspondientes vectores unitarios podemos escribir las fuerzas en la forma vectorial siguiente:Como el sistema est en equilibrio de traslacin, la suma de estas fuerzas es nulo (cero). Esto es: Fi = 0 P = 18600 kTd = 0,41Td i 0,52Td j 0,75Td k Te = 0,41Te i 0,52Te j 0,75Te k Rx = Rx i

Ry = Ry j

Rz = Rz kP + Td + Te + Rx + Ry + Rz = (0,41Td 0,41Te + Rx ) i +

(-0,52Td 0,52Te + Ry) j +

(18600 0,82Td 0,82Te + Rz ) k = 0 24/10/2013 05:02 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora59 Igualando a cero la suma de componentes se tiene: Fx = 0,41Td 0,41Te + Rx = 0(I) Fy = -0,41Td 0,41Te + Ry = 0(II) Fz = 18600 0,75Td 0,75Te + Rz = 0(III)Este es un sistemas de tres ecuaciones lineales con cinco incgnitas y para resolverlas necesitamos cinco ecuaciones. Las dos ecuaciones adicionales podemos obtenerlas de la condicin de equilibrio en la rotacin. Esto significa que la suma de torques, respecto al punto A, producidos por las fuerzas: P, Td y Te es nulo (cero). Los torques producidos por estas fuerzas son:1 = r1 x P 2 = r2 x Td 3 = r2 x Te Donde r1, r2, r3 son los vectores posicin de las fuerzas P, Td y Te , respecto al punto A respectivamente, 24/10/2013 05:02 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora60 Ahora definimos los vectores posicin de AB y AC respecto al punto A. r1 = AC = (1,07 0) i + (2,93 0) j + (1,80 0) k r2 = r3 = AB = (0 0) i + (0 0) j + (3,60 0) k XYZ203,12 mB (0; 0; 3,60)C (1,07 ; 2,93 ; 1,80)A(0; 0; 0)3,12 cos 203,12 sen 20PTdTer2 = r3r1r1 = 1,07 i + 2,93 j + 1,80 kPor lo tanto los torques son: i j k1,07 2,93 1,80 0 0 18600 1 = r1 x P = 1 = 54498 i + 19902 j r2 = r3 = 3,60 k i j k 0 0 3,60 0,41Td 0,52Td 0,75Td2 = r2 x Td = 2 = 1,87Td i + 1,48Td j 24/10/2013 05:02 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora61 i j k 0 0 3,60 0,41Te 0,52Te 0,75Te3 = r3 x Te = 1 = 54498 i + 19902 j2 = 1,87Td i + 1,48Td j 3 = 1,87Te i 1,48Te j 1 + 2 + 3 = (54498 + 1,87Td + 1,87Te) i + (19902 + 1,48Td 1,48Te ) j = 0La suma de estos vectores debe ser igual al vector nuloIgualando a cero las componentes obtenemos las siguientes dos ecuaciones:x = 54498 + 1,87Td + 1,87Te) = 0(IV)(V)y = 19902 + 1,48Td 1,48Te = 03 = 1,87Te i 1,48Te j 24/10/2013 05:02 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora62 Resolviendo las ecuaciones (I), (II), (III), (IV) y (V)x = 54498 + 1,87Td + 1,87Te) = 0(IV)(V)y = 19902 + 1,48Td 1,48Te = 0 Fx = 0,41Td 0,41Te + Rx = 0(I) Fy = -0,41Td 0,41Te + Ry = 0(II) Fz = 18600 0,75Td 0,75Te + Rz = 0(III)Td = 7848,04 NTe= 21295,28 NRx = 5513,37 NRy = 11948,76 NRz = 40457,49 N se obtiene el mdulo de las fuerzas24/10/2013 05:02 p.m.Segundo L. Gallardo Zamora63 Por lo tanto, la reaccin total en A es el vector:RA = 5513,37 i + 11498,76 j + 40457,49 kde mdulo: RA = 42543,84 Ny direccin: = 82,6,RxRzRyRA = 73,7, = 18,0XZYPROBLEMA 08Se utiliza un cable continuo para soportar los bloques A y B como se indica en la figura. El bloque A pende de una ruedita que puede girar libremente sobre el cable. Determine el desplazamiento y del bloque A en el equilibrio si los bloques A y B pesan 250 N y 375 N, respectivamente

PROBLEMA 09Una viga es mantenida en la posicin mostrada en la figura mediante la accin de las fuerzas y momentos. Determine la reaccin en el soporte A

PROBLEMA 10Una viga es sometida a la carga F = 400N y es mantenida en posicin horizontal mediante el cable y las superficies lisa A y B. Determine las magnitudes de las reacciones en a y B

Problema 11 Un cilindro est sostenido por una barra de masa depreciable y un cable, tal como se muestra en la figura. El cilindro tiene una masa de 75 kg y un radio de 100 mm. Determine: (a) la tensin en el cable; (b) Las reacciones en A y B

PROBLEMA 12 La carga de 100 lb es soportada por una varilla doblada, la cual se encuentra apoyada sobre una superficie lisa inclinada en B y por un collar en A. Si el collar es libre de deslizar sobre la otra barra fija, determine: (a) la reaccin en A y (b) la reaccin en B

Solucinse muestra el DCLResolviendo estas ecuaciones, se tienePROBLEMA 13En el bastidor mostrado en la figura, los miembros estn articulados y sus pesos pueden despreciarse. En el punto C se aplica al perno una fuerza de 42 kN. Halle las reacciones sobre el bastidor en A y en E.

EJEMPLO 14La barra ABCD mostrada en la figura pesa 600 N. Determine: (a) La fuerza que el tirante CE ejerce sobre la barra y las fuerzas que sobre sta se ejercen en los puntos de contacto B y D. Todas las superficies son lisas, (b) La reaccin en el apoyo F

PROBLEMA 15Un viga y un cable, ambos de masa despreciable sustentan un cilindro de masa m = 500 kg y radio R = 0,3 m. determine: (a) La reaccin en el punto A de la viga, (b) la fuerzas que el cilindro ejerce sobre la viga y (c) la tensin en el cable

EJEMPLO 16La losa de concreto reforzado de 500 N mostrada en la figura est siendo bajada lentamente por un gancho en el extremo del cable C. Los cables A, B y D estn fijos a la losa y al gancho. Encuentre las fuerzas en cada uno de los cable si la distancia del gancho a la superficie de la losa es de 2 m.

PROBLEMA 17Los elementos mostrados en la figura se encuentran en equilibrio esttico bajo las cargas que se indican. Determine : (a) La fuerza en la barra AC y (b) La fuerza en la articulacin B

PROBLEMA 18La varilla uniforme de longitud L y peso W es soportada por dos planos lisos como se muestra en al figura. Determine la posicin para el equilibrio. Desprecie el espesor de la barra

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO EN DOS DIMENSIONESPara todas las fuerzas y momentos actuando sobre una estructura bidimensional

Las seis ecuaciones de equilibrio se reducen a:

donde A es un punto en el plano de la estructura.Estas tres ecuaciones se resuelven para determinar las cantidades desconocidas

REACCIONES ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

Debido a que solo se disponen de tres ecuaciones y existen ms incgnitas el problema es estticamente indeterminadoAqu existen menos incgnitas que ecuaciones (estructura parcialmente ligada)Igual nmero de reacciones desconocidas pero impropiamente ligadas