Equilibrio General - Notas de Clase (1)

Equilibrio General

Notas de Clase

Julián Aramburu1

0. Outline de la clase

1. Motivación

2. Supuestos y Definiciones

3. La Caja de Edgeworth

4. El Intercambio de Mercado

5. Equilibrio Walrasiano y Bienestar

i. Óptimo de Pareto

ii. Primer Teorema Fundamental de la Economía del Bienestar

iii. Segundo Teorema Fundamental de la Economía del Bienestar

1. Motivación

En lo que respecta a análisis de mercado, hasta ahora estudiamos solamente el

mercado de un único bien (Equilibrio Parcial). Sin embargo, en las demandas y ofertas

de un bien influyen generalmente los precios de los otros bienes. Estamos interesados

entonces en el estudio de muchos mercados interconectados y no de un solo mercado

aislado; se quiere tener una visión de Equilibrio General (EG) de la economía, en lugar

del enfoque de Equilibrio Parcial que adoptamos las clases anteriores.

Luego de una perturbación en un mercado de un bien particular, todos los

mercados relacionados enfrentan una dinámica que los hace restablecer en nuevos

conjuntos de precios y cantidades de equilibrio. Un análisis de EG implica estudiar la

forma en que las condiciones de demanda y oferta de diversos mercados determinan

1 Las presentes notas fueron elaboradas en base a Mas-Colell, A., Whinston, M. & Green, J. (1995) “Microeconomic Theory”, y Varian, H. (2003), “Microeconomía Intermedia”. Comentarios, críticas, sugerencias: [email protected].

Equilibrio General – Notas de Clase

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conjuntamente los precios de muchos bienes. A la hora de hacerlo, tomaremos varios

supuestos simplificadores.

2. Supuestos y Definiciones

Supuestos

1. Se analizan mercados competitivos, en los que los agentes son

atomizados, tomadores de precios.

2. La economía es una de intercambio puro, en la que no existe producción.

Es una economía en la que los individuos tienen dotaciones fijas de bienes que

luego intercambian.

3. El mercado se compone sólo de dos bienes y dos consumidores2.

Definiciones y notación

1. Los bienes se denotan con 1,2l = , los consumidores con ,i A B= .

2. 1 2( , )i i iω ω ω= es el vector de dotaciones del consumidor i .

3. 1 2l l lω ω ω= + es la dotación total del bien l en la economía.

4. 1 2( , )i i ix x x= es el vector de consumo del consumidor i .

5. El conjunto de consumo del consumidor i es 2+ℝ , y el mismo tiene unas

preferencias i≻ sobre vectores de consumo de dicho conjunto.

6. 4x +∈ℝ es una asignación, la cual consiste en un vector no negativo de

consumo de ambos consumidores: 1 2 1 2( , ) (( , ), ( , ))A B A A B Bx x x x x x x= = .

7. Una asignación es asequible si lA lB lx x ω+ ≤ para 1,2l = . Una asignación es

asequible sin desperdicio si se cumple que lA lB lx x ω+ = .

8. 1 2( , )p p p= es el vector de precios del bien 1 y 2 en la economía.

3. La Caja de Edgeworth

2 Si bien analizar sólo dos individuos puede parecer contradictorio con el supuesto de agentes tomadores de precios, puede pensarse como dos grupos o tipos de individuos compuestos por un gran número de consumidores idénticos o muy similares.


3

Como se dijo, lo que se quiere estudiar es la dinámica de una economía con dos

bienes y dos agentes, en la que se produce intercambio. Para ello, una herramienta muy

útil es la caja de Edgeworth. En este gráfico, las cantidades del consumidor A son

medidas de la manera usual, con el vértice sur-oeste como origen. Para B, el gráfico se

invierte, siendo el origen la esquina nor-este. Para ambos consumidores, las cantidades

del bien 1 se miden en el eje horizontal, y las de 2 en el vertical.

Figura 1. Caja de Edgeworth.

Los conjuntos presupuestarios de los consumidores pueden ser representados

también en la caja de Edgeworth de una manera simple. Sea

{ }2( ) :i i i iB p x p x p ω+= ∈ ⋅ ≤ ⋅ℝ

el conjunto presupuestario del consumidor i , cada

conjunto queda representado en la caja mediante el trazado de la recta presupuestaria

de pendiente ( )1 2p p− , que debe incluir ω , la dotación inicial.


4

Figura 2. Conjuntos Presupuestarios en la Caja de Edgeworth

Las preferencias de ambos consumidores se representan en la Figura 3. Excepto en

determinados casos, asumiremos que las mismas son estrictamente convexas,

continuas y fuertemente monótonas.

Figura 3. Preferencias en la Caja de Edgeworth


5

Una vez descriptos los conjuntos de preferencias y de dotaciones, se puede

empezar a analizar qué tipos de intercambios van a ocurrir. Partiendo de la dotación

inicial ω en la Figura 4, el intercambio se producirá en el área de la caja que mejore

tanto la utilidad de A como de B, que es el área en forma de lente. El comercio va a

continuar hasta que no exista ningún intercambio más que sea mejor para ambas partes,

lo cual queda representado por el punto M en la Figura 5.

Figura 4.

Figura 5.


6

La Figura 6 representa ahora las cestas demandadas para dos consumidores dado

un vector de precios arbitrarios p . En este caso, las demandas resultantes de ambos

consumidores no son compatibles: la cantidad total demandada del bien 2 excede la

dotación total de la economía, mientras que lo demandado del bien 1 resulta menor.

Dicho de otra forma, hay un exceso de demanda en el bien 2 y un exceso de oferta en el

bien 1.

Figura 6. Excesos de Oferta y Demanda

4. El intercambio de mercado

A la hora de hablar del intercambio de mercado, resulta útil introducir un nuevo

concepto: el de exceso de demanda para el bien j en el consumidor i, al cual notaremos

con j j ji i ie x ω= − .

El gráfico anterior representa uno en el que, desde el punto de vista de excesos de

demanda, la cantidad que quiere comprar (o vender) A no será necesariamente igual a la

cantidad que querrá vender (o comprar) B. Ante este desequilibrio, es natural suponer

que los precios de los bienes se modificarán para lograr un equilibrio: si hay exceso

de demanda en un bien subirá su respectivo precio, bajando en el bien para el que hay

exceso de oferta.


7

El proceso de ajuste de precios será tal de lograr que lo que el consumidor A desee

comprar del bien 1 sea igual a lo que B desea vender, y lo mismo para el bien 2. En otras

palabras, la cantidad total que desea comprar cada persona de cada bien a los precios

vigentes es igual a la cantidad total existente. En ese caso, se logrará un equilibrio

Walrasiano o Equilibrio de mercado.

Definición 1 Un equilibrio Walrasiano en una economía como la descripta consiste

en un vector de precios *p y una asignación *x en la caja de Edgeworth tal que para

,i A B= se cumple que * ´ ´ ( *)i i i i ix x x B p∀ ∈≻ .

En el punto de equilibrio, cada agente elige la mejor cesta que está a su alcance y

las decisiones de todos los agentes son compatibles, en el sentido de que la demanda

total de cada bien es igual a su oferta total.

Sabemos que si cada agente elige la mejor cesta que está a su alcance, y si dicha

cesta está en el interior de la caja de Edgeworth, su relación marginal de sustitución

entre los dos bienes debe ser igual a la relación de precios. Si todos los consumidores

enfrentan los mismos precios, entonces todos tienen que tener la misma relación

marginal de sustitución entre cada uno de los dos bienes. Esto implica que las curvas de

indiferencia de los dos agentes deben ser tangentes entre sí.

La Figura 7 representa un equilibrio Walrasiano.

Figura 7. Equilibrio Walrasiano.


8

El álgebra de equilibrio

Sea 1 2( , )jix p p la función de demanda del bien 1,2j = para el individuo ,i A B= , el

equilibrio de mercado se puede representar como un conjunto de precios 1 2( , )p p tal que

iguala la demanda de cada bien con su respectiva oferta:

1 1 1 1

1 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2

( , ) ( , )

( , ) ( , )A B A B

A B A B

x p p x p p

x p p x p p

ω ωω ω

+ = +

+ = +

Reordenando las ecuaciones, se puede escribir el equilibrio como

1 1 1 1

1 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2

[ ( , ) ] [ ( , ) ] 0

[ ( , ) ] [ ( , ) ] 0A A B B

A A B B

x p p x p p

x p p x p p

ω ωω ω

− + − =

− + − =

Lo cual indica que la suma de las demandas netas de cada bien por parte de cada

agente deben ser cero. En otras palabras, la cantidad neta que decide demandar u

ofrecer A debe ser igual a la cantidad neta que decide ofrecer o demandar B.

Estas ecuaciones pueden formularse también en términos de demanda agregada.

Sea 1 2 1 2( , ) ( , )j j ji i ie p p x p p ω= − la función de exceso de demanda del bien j para el

agente i, entonces 1 2 1 2( , ) ( , )jj ii

z p p e p p=∑ es la función de exceso de demanda

agregada del bien j.

En estos términos, el equilibrio Walrasiano puede ser escrito como el conjunto de

precios 1 2* ( *, *)p p p= que hace que el exceso de demanda agregada de cada bien es

igual a cero:

1 1 2

2 1 2

( *, *) 0

( *, *) 0

z p p

z p p

==

A continuación veremos que la definición anterior resulta ser más restrictiva de lo

necesario.

La ley de Walras

1 1 1 2 2 2 1 2( , ) ( , ) 0p z p p p z p p+ ≡ .


9

Dicha ley indica que el valor del exceso de demanda agregada es idénticamente

igual a cero cualquiera sea el precio que se elija, no necesariamente a los de equilibrio.

Demostración Dado que supusimos preferencias estrictamente monótonas, para

cada agente i se tiene que

1 2 1 21 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , )i i i ip x p p p x p p p pω ω⋅ + ≡ +

lo cual reordenando resulta

1 21 1 2 2 1 2( , ) ( , ) 0i ip e p p p e p p+ ≡

Sumando en i=A,B se tiene

1 1 2 21 1 2 1 2 2 1 2 1 2[ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )] 0A B A Bp e p p e p p p e p p e p p+ + + ≡

Lo cual reordenando resulta

1 1 1 2 2 2 1 2( , ) ( , ) 0p z p p p z p p+ ≡ ∎

Como corolario de la ley, y teniendo sólo dos mercados, se observa que si un

mercado está en equilibrio (i.e. tiene un exceso de demanda agregada nulo), el otro

necesariamente lo está3.

Corolario Sean j mercados competitivos. Si 1j − mercados se encuentran en

equilibrio, entonces el mercado j -ésimo también lo estará.

La ley de Walras implica entonces que se tienen 1j − ecuaciones independientes

para determinar j incógnitas (los precios de cada uno de los bienes), haciendo que el

sistema resulte incompatible. Una posible solución a este problema consiste en

normalizar uno de los precios a 1, y dejando a los 1j − precios restantes independientes

en función del normalizado, que funciona como numerario.

Planteando el problema de otra manera, se sabe que las demandas de los

consumidores son homogéneas de grado cero en 1 2( , )p p p= : si los precios se duplican,

la riqueza también lo hace, pero el consumo se mantiene inalterado. Así, por la

3 Nos mantenemos en el supuesto de que ambos precios son estrictamente positivos.


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Definición 1 vemos que si 1 2* ( *, *)p p p= es un vector de precios de equilibrio, también

lo será 1 2* ( *, *); 0p p pλ λ λ λ= > . Ello hace que, en el equilibrio, sólo se determinen los

precios relativos 1 2* *p p , no los absolutos.

Existencia del equilibrio

¿Siempre existirá un Equilibrio Walrasiano? La Figura 8, por ejemplo, muestra un

caso en el que no existe equilibrio. Allí se ilustra un caso en el que la dotación se

encuentra en la esquina nor-oeste de la caja. El consumidor B tiene preferencias tales

que desea sólo el bien1, teniendo en su poder todo el bien 1, dada la dotación. El

consumidor A tiene una dotación compuesta en su totalidad por el bien 2, pero con unas

preferencias con pendiente infinita en Aω , lo cual indica que el individuo prefiere y

desea recibir una cantidad positiva del bien 1.

Figura 8. No existencia de Equilibrio Walrasiano.

En la figura se tiene que la dotación inicial es tal que el consumidor A posee

2(0, )Aω ω= y el B 1( ,0)Bω ω= . Las preferencias son tales que el consumidor B prefiere

sólo el bien 1, y el consumidor A posee en ω una curva de indiferencia de pendiente

infinito. En la situación que se grafica no existe *p que haga compatibles las demandas

de ambos consumidores. Si 1 2* * * 0p p p= > entonces la demanda óptima para B


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consiste en su dotación inicial (en la que consume todo del bien 1 y nada del 2),

mientras que para A su dotación inicial no es óptima (no importa cuán caro sea el bien 1,

el consumidor A siempre querrá consumir una cantidad positiva del mismo, siempre

desea intercambiar). Si 2 1* * * 0p p p= = , la demanda del consumidor A por el bien 2

resulta infinita.

Pensar: ¿Qué particularidad tienen las preferencias del consumidor B que originan

esta situación?

5. Equilibrio Walrasiano y Bienestar

Un resultado económico es Pareto óptimo o Pareto Eficiente si no existe otro

resultado asequible alternativo en el que todos los individuos se encuentren al menos

igual de bien y al menos uno se encuentre estrictamente mejor.

La Definición 2 expresa esa idea en el contexto de una economía de intercambio

puro.

Definición 2 Una asignación x de la caja de Edgeworth es Pareto óptima si no

existe otra asignación ´x en la misma caja de Edgeworth que cumpla ´i i ix x≻ para

,i A B= y ´i i ix x≻ para al menos un ,i A B= .

La Figura 9 (a) muestra una asignación x que no es Pareto óptima. Cualquier

asignación que pertenezca a la lente conformada por la intersección de los conjuntos

{ }2´ : ´ ,i i ix x x i A B+∈ =ℝ ≻ es una asequible y que deja a ambos consumidores

estrictamente mejor que en x . La asignación x en la figura (b) en cambio sí es Pareto

óptima; la intersección de los conjuntos{ }2´ : ´ ,i i ix x x i A B+∈ =ℝ ≻ consiste solamente en

la cesta x . Cabe notar que si la asignación Pareto óptima es una interior en la caja de

Edgeworth, y bajo los supuestos normales de las preferencias, las curvas de indiferencia

de ambos consumidores deben ser tangentes en el óptimo, tal como ocurre en (b.1). En

el panel (b.2) la optimalidad también se cumple, sólo que al ser x una cesta no interior,

la tangencia allí no se verifica.


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Figura 9 (a). Asignación no óptima

Figura 9 (b). Asignaciones óptimas.

b.1 b.2

La Figura 10 muestra la curva de contratos, la cual está conformada por el

conjunto de cestas Pareto óptimas en la caja de Edgeworth. El término de curvas de

contratos se deriva del hecho de que se espera que todo intercambio que se dé bajo los

supuestos que estamos haciendo resulte en una asignación perteneciente a dicha curva.


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Figura 10. Curva de contratos.

Cabe preguntarse ahora si el mecanismo de mercado permite obtener todas las

ganancias posibles del comercio. Dicho de otra forma: una vez que se ha comerciado y

se ha alcanzado un equilibrio competitivo en el que se igualan oferta y demanda en

todos los mercados, ¿habrá otro intercambio que desee realizarse? Esta no es otra forma

de preguntar si el equilibrio de mercado es eficiente en sentido Pareto.

La respuesta a la anterior pregunta puede obtenerse de analizar la Figura 10,

teniendo que la asignación correspondiente al equilibrio de mercado es eficiente en el

sentido de Pareto. Una asignación de la caja de Edgeworth es eficiente en el sentido de

Pareto si el conjunto de las combinaciones de bienes preferidas por A no corta las

preferencias de B. En el punto de equilibrio del mercado el conjunto de combinaciones

de bienes preferidas por A debe encontrarse por encima de su conjunto presupuestario,

y lo mismo ocurre para B. Por lo tanto, los dos conjuntos de asignaciones que se

prefieren no pueden cortarse, lo que significa que ninguno de los dos agentes prefiere

una asignación distinta de la de equilibrio, por lo que el mismo es eficiente en sentido

Pareto.


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Primer Teorema Fundamental del Bienestar La asignación de equilibrio lograda

por un conjunto de mercados competitivos es necesariamente eficiente en sentido

Pareto.

Demostración

Sea 1 2 1 2( , , , )A A B bx x x x una asignación de equilibrio. Supongamos que la misma no es

eficiente en sentido Pareto. Debe entonces existir otra asignación, llamémosle

1 2 1 2( , , , )A A B by y y y , tal que cumpla que:

1 1 1 1

2 2 2 2

(1)

(2)A B A B

A B A B

y y

y y

ω ωω ω

+ = +

+ = +

y además

( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

, ,

, ,

A A A A A

B B B B B

y y x x

y y x x

≻

≻

.

Sin embargo, por hipótesis tenemos que en el equilibrio, cada agente compra la

mejor combinación de bienes que está a su alcance (el agente optimiza en la restricción

presupuestaria). Si ( )1 2,A Ay y es mejor que la elección óptima de A, debe costar

necesariamente más de lo que puede pagar A, ocurriendo lo mismo para B. Se tiene

entonces que

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 21 2 1 2

A A A A

B B B B

p y p y p p

p y p y p p

ω ωω ω

+ > +

+ > +.

sumando ambas ecuaciones se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 2A B A B A B A Bp y y p y y p pω ω ω ω+ + + > + + + ,

pero teniendo en cuenta (1) y (2) se tiene que

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 2A B A B A B A Bp p p pω ω ω ω ω ω ω ω+ + + > + + +

lo cual es un absurdo, ya que ambos miembros son exactamente iguales. ∎


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Observación 1: el teorema sólo habla de eficiencia, que es muy distinto al

concepto de justicia. Un equilibrio en el que un agente lo posea todo y el otro nada bien

puede ser uno eficiente, aunque sumamente injusto. No obstante, la eficiencia de por sí

ya es un concepto importante para determinadas cuestiones, por lo que el teorema no

deja de ser útil.

Segundo Teorema Fundamental de la Economía del Bienestar Si todos los

agentes tienen preferencias convexas (supuesto no requerido en el primer teorema),

siempre hay un conjunto de precios a los que cada asignación eficiente en el sentido de

Pareto es un equilibrio de mercado para una asignación apropiada de las dotaciones.

Demostración

Lo demostramos con argumentos geométricos. En una asignación eficiente en

sentido Pareto, las combinaciones de bienes que prefiere A no pueden tener ningún

punto en común con las que prefiere B. Si ambos tienen preferencias convexas, se puede

entonces trazar una línea recta entre los dos conjuntos de combinaciones de bienes

preferidos que los separe. La pendiente de esa recta muestra los precios relativos; cada

dotación que sitúe a los dos agentes en ella hace que el equilibrio final de mercado sea

la asignación original eficiente en el sentido Pareto.

Figura 11 (a). Cumplimiento del Segundo Teorema Fundamental del Bienestar.


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La Figura 11 (b) muestra el caso en que no se cumple el Segundo Teorema. El

punto x en el gráfico es eficiente en sentido Pareto, pero no existe ningún precio que lo

convierta en equilibrio de mercado. El vector de precios “candidato” lleva a que A

prefiera la cesta y , generando un desequilibrio en el mercado. La diferencia entre este

caso y el primero es que las preferencias de uno de los consumidores en el último caso

no son convexas.

Figura 11 (b). Preferencias no convexas y Segundo Teorema Fundamental del Bienestar.

Corolario

El segundo teorema del bienestar establece que en determinadas condiciones las

asignaciones eficientes en sentido Pareto pueden lograrse mediante el mecanismo del

equilibrio competitivo. Un corolario de este teorema indica que los problemas de

eficiencia y distribución pueden ser separados. El mecanismo de mercado permite

obtener cualquier asignación eficiente en sentido Pareto que se desee. Es neutral desde

el punto de vista distributivo: cualquiera sea nuestro criterio sobre la distribución justa

o buena, se puede lograr mediante el mercado competitivo.

Los precios desempeñan dos papeles en el sistema de mercado: la asignación y la

distribución. El primero indica la escasez relativa; y el segundo determina la cantidad


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que puede comprar cada agente de cada bien. El segundo teorema del bienestar indica

que estos dos papeles de los precios pueden separarse: es posible redistribuir las

dotaciones de los bienes para determinar la riqueza de los agentes y utilizar los

precios para indicar la escasez relativa.

Observación 2: si bien las demostraciones que realizamos son bajo el supuesto de

dos bienes y dos consumidores, los dos teoremas fundamentales pueden extenderse al

caso de un número arbitrario de consumidores y bienes.

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