¿CUÁNDO UN MÓVIL ESTÁ ACELERANDO?

ACELERACIÓN: En la mayor parte de las ocasiones, los móviles no se mueven con velocidad constante,

sino que esta va cambiando a lo largo del recorrido. Como notaste en la actividad inicial, la velocidad de un

móvil también puede cambiar. Para estudiar estos movimientos definimos una nueva magnitud llamada

aceleración. Esta magnitud mide la variación de la velocidad de un móvil en un intervalo de tiempo.

Matemáticamente, se define como:

! = ∆$Δ& =$! − $"&! − &"

¿EN QUÉ UNIDADES SE MIDE LA ACELERACIÓN? Como ya has visto, en el SI la velocidad se

mide en m/s, mientras que el tiempo se mide en s, entonces:

! = ∆$Δ& ⟶∆$ )*+ ,∆&[+] ⟶

)*+ ,[+] = )

*+#,

Por lo tanto, la aceleración se mide en m/s2.

LA ACELERACIÓN TIENE SIGNO

Decir que la aceleración de un móvil es, por ejemplo, 4 m/s2 es equivalente a decir que su velocidad varía en

4 m/s en cada segundo. Dependiendo el sentido de la aceleración respecto de la velocidad, esta puede

aumentar o disminuir.

Si la magnitud de la velocidad aumenta a medida que avanza el tiempo, el movimiento se llama acelerado y,

en este caso la aceleración y la velocidad tienen el mismo sentido. Por otra parte, si la magnitud de la velocidad

disminuye en el tiempo, el móvil va frenando y se dice que el movimiento es retardado. En este caso, la

aceleración y la velocidad apuntan en sentidos contrarios.

La aceleración puede ser positiva o negativa dependiendo el sentido al que apunte según nuestro sistema de

referencia. Por ejemplo, si asumimos que el sentido positivo es hacia la derecha, entonces en la imagen A la

aceleración del automóvil es positiva y la velocidad, negativa; y en la imagen B la aceleración es negativa y la

velocidad, positiva. En ambos casos, el movimiento es retardado, es decir, el vehículo está frenando ya que

la velocidad y la aceleración apuntan en sentidos contrarios.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA)

Como mencionamos anteriormente, la gran

mayoría de los movimientos que conocemos son

acelerados, sin embargo, solo algunos de ellos

registran variaciones de velocidad iguales, en

intervalos de tiempo iguales, o bien, con

aceleración constante.

El movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado (MRUA) tiene una trayectoria que es una

línea recta y una aceleración constante.

EXPRESIONES MATEMÁTICAS DEL MRUA

En este caso, al tratarse de una trayectoria

rectilínea, no cambia ni la dirección ni el sentido,

solo el módulo de la velocidad. Analicemos la

definición de aceleración:

! = ∆$Δ& =$! − $"&! − &"

Si consideramos que ponemos el cronómetro en

marcha cuando comenzamos a estudiar el

movimiento, &" = 0 y &! = &, entonces & es el tiempo que tarda en pasar de $" a $!. Despejando $! en la ecuación, obtenemos la siguiente expresión:

$! = $" + !&

Esta corresponde a la ecuación que determina la

velocidad en cada instante en un MRUA.

Otra expresión que es muy útil para describir el

movimiento de un cuerpo que se mueve con

MRUA es aquella que relaciona su posición en

función del tiempo. Observa cómo la

deduciremos.

Consideremos un móvil que pasa por el origen con

velocidad $" y que después de un cierto tiempo & ha alcanzado una velocidad $!. Esto se representa mediante el siguiente gráfico.

A partir del gráfico, podemos observar que el área

total bajo la recta corresponde a la suma del área

de un rectángulo de lados $" y &, y el área de un triángulo de base & y altura ($! − $"). Por lo tanto, el área total se obtiene de la siguiente

manera:

á56! = $" +7$! − $"8&

2 (∗)

Por otra parte, como ya sabes que:

$! = $" + !&

podemos despejar la aceleración. Luego, esta

queda determinada por la relación:

! = 7$! − $"8&

Al multiplicar por y simplificar, la relación anterior nos quedará:

! = 7$! − $"8&

Luego, remplazamos ! en la ecuación (∗), con lo que se obtiene:

á56! = $"& +!2 (∗∗)

Recuerda que en un gráfico de velocidad - tiempo

el área bajo la curva representa el camino recorrido

por el móvil, es decir:

á56! = ∆< =

La anterior ecuación corresponde a la expresión

que determina la posición del cuerpo en cada

instante en un MRUA.

ACTIVIDAD: En esta actividad se desea que el

estudiante sea capaz de reconocer las ecuaciones

que describen el MRUA y que a su vez tenga la

capacidad de emplearlas en un situación

problémica.

1. En la sección EXPRESIONES MATEMÁTICAS DEL MRUA, encontramos

unas ecuaciones encerradas en un recuadro

azul. Reescríbelas y comenta que representa

cada una de ellas y de cuáles elementos

depende.

2. Utiliza las ecuaciones que reescribiste anteriormente y resuelve el siguiente

problema. Un cuerpo que se encontraba

inicialmente en reposo comienza a moverse en

línea recta y con aceleración constante, y al

cabo de 5 segundos adquiere una velocidad de

8 m/s. A partir de esta situación, calcula lo

indicado.

a. La aceleración del cuerpo. b. La posición del cuerpo al cabo de 5

segundos.

c. La velocidad del cuerpo luego de 8 segundos.

3. Otra ecuación que se usa frecuentemente para describir el movimiento de un cuerpo que se

mueve con MRUA es la siguiente:

$!# = $"# + 2!∆<

Demuestra la ecuación anterior, a partir de dos

de las expresiones que analizaste en el

problema 1

4. ¿Bajo qué condiciones un movimiento se llama acelerado y bajo qué condiciones se llama

retardado?

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL MRUA

Vamos a representar gráficamente las ecuaciones

de un MRUA con las siguientes características:

Caso 1: Un perro, jugando en un parque, se

desplaza en línea recta desde un punto situado a 2

metros del origen con una velocidad inicial de 3

m/s y una aceleración constante de 2 m/s2. Esto

significa que: y reemplazando los datos, tenemos que:

Utilizando la ecuación para la Velocidad en

función del tiempo: $! = $" + !&

y reemplazando los datos, tenemos que:

$! = 3 + 2&

Usando las dos ecuaciones anteriores, al asignar

diferentes valores de &, obtendremos la posición y la velocidad del perro en esos instantes de tiempo.

Luego, podemos organizar la información en

tablas y posteriormente, representarla en gráficos.

Observa.

En general, para cada cuerpo que describe un

MRUA, sus gráficos de movimiento tienen las

siguientes características:

• La gráfica < − & es una semiparábola que corta al eje de ordenadas en la posición inicial (

Unidad 126

Situación problema:

¿Qué distancia recorrió un camión que avanzaba por la carretera con una velocidad de 108 km/h, si frenó con una aceleración de -3 m/s2 hasta detenerse?

Cálculo de distancia recorrida

Un automóvil tarda 7 segundos en alcanzar una velocidad de 72 km/h desde el reposo y con MRUA. Luego, mantie-ne su velocidad constante durante 1 minuto.

a. Analiza si en algún momento el automóvil aceleró. De ser así, ¿en qué momento lo hizo y cuánto fue su valor?

b. ¿Cuál era la velocidad del automóvil a los 3 s?

c. ¿Cuánta distancia recorrió el automóvil mientras aceleraba?

d. ¿Cuántos metros recorrió el vehículo mientras se mo-vía con velocidad constante?

e. Si posteriormente el automóvil comienza a frenar con aceleración constante y al cabo de 12 s se detiene, ¿cuánto fue su aceleración?

1. Entender el problema e identificar las variables.

El camión se mueve con un movimiento desconocido, puede ser acelerado o uniforme, sin embargo, solo importa analizar lo que ocurre desde que comienza a frenar. Cuando el conductor pisa el freno, comenzamos a considerar el tiempo (t = 0). El camión lleva una velocidad, que consideramos como velocidad inicial (v0). Luego, frenará con una aceleración negativa. Para encontrar la distancia que recorrió, necesitamos calcular el tiempo que demoró en detenerse (vf = 0).

2. Registrar los datos y convertirlos al SI cuando se requiera.

Velocidad inicial, v0 = 108 km/h 30 m/s

Velocidad final, vf = 0 m/s

Aceleración con que frena, a = -3 m/s2

3. Aplicar el modelo matemático.

Para calcular el tiempo que demora en detenerse utilizamos la ecuación de velo-cidad en el tiempo:

v f = v0 + at 0 = 30 3t

Luego utilizamos el tiempo que demoró en detenerse para calcular la distancia que recorrió. Para ello utilizamos la ecuación de itinerario:

3t = 30 t =10s

x f x0 = v0t +12at2 = (30)(10) 3

2(102 )

x =150m

4. Redactar una respuesta.

El camión, desde que comenzó a frenar, recorrió 150 metros antes de detenerse.

Ahora TÚ

Ejemplo resuelto

Jerson Iván Reina Medrano

27 Lección 3: ¿Cuándo un móvil acelera?

Unidad 1

Comparación de gráficos del MRU y MRUA

A continuación podrás observar, analizar y comparar las curvas obtenidas al graficar posición, velocidad y aceleración con respecto al tiempo para el MRU y el MRUA.

Una gráfica de función lineal, que corta al eje de las ordenadas en el valor de la posición inicial del móvil. La posición cambia de la misma forma a cada segundo y su pendiente es la misma en todo el movimiento.

Si el cambio de posición es constante, la gráfica de la velocidad es una constante también, donde dicho valor corresponde al lugar donde interseca al eje de las ordenadas.

La velocidad aumenta uniformemente cada segundo. El valor de la velocidad inicial corresponde al punto de intersección con el eje de las ordenadas. Tiene pendiente positiva durante todo el movimiento.

La aceleración, definida como el cambio de velocidad, es cero si esta última no cambia en el tiempo.

La aceleración es constante, y su valor se representa en el eje de las ordenadas. Es el mismo durante todo el movimiento.

El cambio de posición es mayor cada segundo, por lo tanto, corresponde a una curva creciente. La intersección con el eje de las ordenadas corresponde a la posición inicial del móvil.

Posición - tiempo

Velocidad - tiempo

Aceleración - tiempo Aceleración - tiempo

Velocidad - tiempo

Posición - tiempo10

8

6

4

2

0

10

8

6

4

2

0

10

8

6

4

2

0

2

1,5

1

0,5

0

2

1,5

1

0,5

0

10

8

6

4

2

0

x (m)

v (m/s) v (m/s)

x (m)

a (m/s2) a (m/s2)

t (s)

t (s) t (s)

t (s)

t (s)

t (s)

0 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 100 2 4 6

0 2 4 6 8 10

Construye los gráficos de posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo para MRU con velocidad

ACTIVIDADES DE cierre

negativa, MRUA con aceleración negativa.

Jerson Iván Reina Medrano

Jerson Iván Reina Medrano

Unidad 128 Unidad 128

Evaluación finalEvaluación de proceso

Organiza lo que aprendiste

1. Observa el siguiente mapa conceptual construido con algunos conceptos que aprendiste el año pasado.

recta numérica

relativo

velocidad

posición del observador

marcos de referenciassistema de

coordenadas

unidimensional

Movimiento

se describe usando

que puede seral igual que la

dependiendo de la

representado por la

es

2. Ahora construye otro mapa conceptual con los conceptos destacados de las lecciones 1, 2 y 3. Para recordar cómo se construye, revisa el anexo en la página 248.

Actividades

Desarrolla las siguientes actividades en tu cuaderno:

1. En una carrera de 100 metros planos, la meta es considerada como referencia para determinar al ganador. ¿Cómo darías a conocer la posición de dos corredores durante la competencia?

2. Calcula la distancia, en metros, que recorre un automóvil que se desplaza en línea recta y con velocidad constante de 72 km/h, cuando se mueve durante 30 minutos.

3. ¿Cómo sería la gráfica v-t de un MRU en el que comenzamos a contar el tiempo cuando el móvil se encuentra inicialmente en el origen del sistema de coordenadas y se empieza a mover en sentido positivo?

29Evaluación de proceso 29

4. ¿Cómo serían las formas de las gráficas posición vs. tiempo de un leopardo que describe un MRU mientras acecha a su presa, que se encuentra en el origen del sistema de coordenadas, desde una posición alejada?

5. ¿Cómo serían las formas de la gráfica velocidad vs. tiempo del leopardo, cuyo movimiento fue descrito en el ejercicio anterior?

6. En el gráfico Nº 17, se presenta el itinerario de 4 ciclistas en una carrera de tramo recto. Ordénalos de menor a mayor según su velocidad.

7. Calcula la velocidad media de un vehículo cuyo itinerario está representado en el gráfico Nº 18.

8. Calcula la aceleración de cada móvil suponiendo que, partiendo del reposo, al cabo de 10 segundos alcanzan la velocidad indicada.a. Auto de fórmula 1: 250 (km/h). b. Atleta: 10 (m/s).

Lecciones 1, 2 y 3

Movimiento rectilíneo uniforme Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

9. Haz una comparación entre los movimientos rectilíneos uniformes y uniformemente acelerados, describiendo las diferencias entre las magnitudes posición, velocidad y aceleración. Luego, en tu cuaderno describe las características de los gráficos x-t, v-t y a-t para cada movimiento.

Gráfico Nº 17

0 1 2 3 4 5 6

x(m)

200

100

0 t (s)

Posición - tiempo

5 10 15

x(m)75

50

25

0

-25

Gráfico Nº 18

Posición - tiempo

t (s)

Jerson Iván Reina Medrano

Jerson Iván Reina Medrano