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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •PRUEBA 1
Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica
Nombre: GR: Calificación:
1. a) Sean f1 : R→ R y f2 : R→ R dos funciones periódicas de periodos T1 y T2 respectivamente.
1) Pruebe que si existe k ∈ Z tal que T1 = kT2, el periodo de la función:
F : R −→ R
x 7−→ f1(x) f2(x)
es T1. Del mismo modo, si T2 = kT1, el periodo de F es T2.
2) Utilizando el resultado anterior, hallar el periodo de la función
F : R −→ R
x 7−→ sen( x
4
)cos
( x2
) .
b) Seag : R −→ R
x 7−→
sen(ax)
xx < 0
x2 + b x ≥ 0
con a, b ∈ R. ¿Bajo qué condiciones g es continua en 0? (2pt)
2. Realice las siguientes operaciones con números complejos sin utilizar calculadora. Hint: La mayoría delos ángulos (y valores de senos y cosenos) pueden obtenerse a partir de un triángulo equilátero de lado2√
3.
a) Escriba z = −3 +√
3i en coordenadas polares.
b) Escriba w = 2ei π3 en coordenadas rectangulares
c) Calcule: y = (z w̄) w̄. Exprese el resultado en coordenadas rectangulares.
d) Calcule: y8. Exprese el resultado en coordenadas rectangulares. (2pt)
3. Determine si las series que se presentan a continuación son convergentes o divergentes.
a)∞
∑n=1
n3kn/2
(k + 1)n k ∈ R+.
b)∞
∑n=1
10n
n42n+1 . (2pt)
4. Considere la función f : ]0, 2π[→ R definida por:
f (x) =
{x, si 0 < x < π,
0, si π < x < 2π.(1)
a) Esboce (grafique) dicha función y su extensión periódica. Cuál es el periodo de esta función?
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b) Redefina f de tal forma que la función resultante sea una función par en el intervalo ]− 2π, 2π[ yllame a esta “extensión par de f ” por F.Hint: Parta del gráfico de la función original f : ]0, 2π[→ R y “complete el gráfico” reflejando lafunción con respecto al eje y. Halle la ecuación de cada una de las curvas en ese gráfico y definala función F para cada uno de esos intervalos, es decir para: ]− 2π,−π[, ]− π, 0[, ]0, π[ y ]π, 2π[.El resultado debe presentarse como la ecuación (1). Alternativamente, esto también puede hacerseutilizando la definición de función par.
c) Esboce la función F y su extensión periódica. Cuál es el periodo de esta función?
d) Determine las integrales que permitan determinar los coeficientes a0, am y bm de la expansión enseries de Fourier de F. Importante: Solo plantee las integrales y no las resuelva. La respuesta debeser expresada por ejemplo como: bm = 1
2
´ 2−2 x2 sen
(mπx2
)dx. No olvide analizar la paridad de las
funciones dentro de la integral.
e) Redefina f de tal forma que la función resultante sea una función impar en el intervalo ]− 2π, 2π[
y llame a esta “extensión impar de f ” por G.
f ) Esboce la función G y su extensión periódica. Cuál es el periodo de esta función?
g) Determine las integrales que permitan determinar los coeficientes a0, am y bm de la expansión enseries de Fourier de G.No analice que ocurre en x = 0,±π,±2π, ... (4pt)
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ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •PRUEBA 1
Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica
SERIES DE FOURIER
Sea f : [−L, L]→ R una función continua por partes y periódica con periodo p = 2L. La expansión enseries de Fourier de f (x) está dada por:
f (x) =a0
2+
∞
∑m=1
(am cos
(mπxL
)+ bm sen
(mπxL
)), −L ≤ x ≤ L,
donde m = 1, 2, ... y los coeficientes de Fourier a0, am y bm están dados por:
a0 =1L
ˆ L
−Lf (x) dx, am =
1L
ˆ L
−Lf (x) cos
(mπxL
)dx, bm =
1L
ˆ L
−Lf (x) sen
(mπxL
)dx.
Indicaciones:
1. Lea atenta y detenidamente cada pregunta.
2. Cualquier intento de copia será sancionado fuertemente.
3. Está prohibido el uso y poseción de cualquier dispositivo electrónico incluyendo calculadoras y relo-jes inteligentes.
GR PROFESORGR1/GR2 MARCELO ARIAS
GR3 ESTEBAN GUEVARAGR4 ANIBAL CRUZGR5 JESSICA MONTENEGROCP DIEGO VARGASCP EDWIN BONE
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •EXAMEN 1
Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica
Nombre: GR: Calificación:
Indicaciones:
• Lea atenta y detenidamente cada pregunta.
• Cualquier intento de copia será sancionado fuertemente.
• Está prohibido el uso y poseción de cualquier dispositivo electrónico.
1. Considere la función f : ]4π, 10π[→ R definida por:
f (x) =
{x2 − 2π, si 4π < x < 8π,
10π − x, si 8π < x < 10π.
y tal que f (x) = f (x + 6π). Plantee las integrales que permitan determinar los coeficientes a0, am y bm
de la representación en Series de Fourier de:
a) La función f (en el intervalo donde está definida, es decir, en ]4π, 10π[.
b) La EXTENSIÓN IMPAR de la función g donde g = F|]0,4π[, y F es la extensión periódica de f .Hint: La notación F|]0,4π[ se refiere a la "parte"de F que está definida en el intervalo ]0, 4π[.
c) Proponga, a partir de F, una forma alternativa de determinar los coeficientes de Fourier diferentea la realizada en el literal a) y plantee las integrales que permitirían su determinación.
IMPORTANTE: Para todos los literales, únicamente plantee las integrales y no las resuelva. Lasfunciones deben estar definidas expliícitamente (como lo está f (x)). (1pt)
2. Muestre que:
34+
∞
∑m=1
[(−1)m − 1
m2π2 cos (mπx)− 1mπ
sen (mπx)]=
1, si − 1 < x < 0,
x, si 0 < x < 1,12 , si x = 0.
Hint: Intuya sobre la función para la cual esta serie representa su Serie de Fourier y determine dichaserie. Utilice además el teorema de convergencia (de las Series de Fourier) para determinar el valor parax = 0. Las integrales necesarias se encuentran en la parte posterior de la hoja. (1pt)
3. Dada la función:f : [0, ∞[ −→ R
x 7−→ e−kx
con k > 0. Determine las representación en serie de Fourier de coseno de f y a partir de ella muestreque: ˆ ∞
0
cos(wx)k2 + w2 dw =
π
2ke−kx
Hint: Determine la representación en series de Fourier de la extensión par de f . Las integrales necesariasse encuentran en la parte posterior de la hoja. (1pt)
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4. Muestre que:
ˆ ∞
0
(sen (w)
w2 +cos (w)
w− 2 cos (2w)
w
)sen (wx)dw =
π2 x, si 0 ≤ x < 1,
α1, si x = 1,
π, si 1 < x < 2,
α2, si x = 2,
0, si x > 2
donde α1, α2 ∈ R. Determine los valores de α1 y α2 utilizando el teorema de convergencia y existenciade las integrales de Fourier. (1pt)
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ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •EXAMEN 1
Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica
SERIES DE FOURIER
Sea f : [−L, L]→ R una función continua por partes y periódica con periodo p = 2L. La expansión enseries de Fourier de f (x) está dada por:
f (x) =a0
2+
∞
∑m=1
(am cos
(mπxL
)+ bm sen
(mπxL
)), −L ≤ x ≤ L,
donde m = 1, 2, ... y los coeficientes de Fourier a0, am y bm están dados por:
a0 =1L
ˆ L
−Lf (x) dx, am =
1L
ˆ L
−Lf (x) cos
(mπxL
)dx, bm =
1L
ˆ L
−Lf (x) sen
(mπxL
)dx.
INTEGRAL DE FOURIER
Sea f : I ⊆ R → R una función no necesariamente periódica, continua por tramos y absolutamenteintegrable. La representación en integral de Fourier de f (x) está dada por:
f (x) =ˆ ∞
0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw,
para cada w ≥ 0. Donde A(w) y B(w) están dados por:
A(w) =1π
ˆ ∞
−∞f (v) cos(wv) dv y B(w) =
1π
ˆ ∞
−∞f (v) sen(wv) dv.
INTEGRALES´x sen(kx)dx = sen(kx)
k2 − x cos(kx)k + C, donde k, C ∈ R.´
x cos(kx)dx = x sen(kx)k + cos(kx)
k2 + C, donde k, C ∈ R.´e−kx cos(wx)dx = −k
k2+w2 e−kx (−wk sen(wx) + cos(wx)
)+ C, donde k, w, C ∈ R.
GR PROFESORGR1/GR2 MARCELO ARIAS
GR3 ESTEBAN GUEVARAGR4 ANIBAL CRUZGR5 JESSICA MONTENEGROCP DIEGO VARGASCP EDWIN BONE
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ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •PRUEBA 2
Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica
Nombre: GR: Calificación:
1. Determine la transformada de Fourier de la función definida por: (2pt)
f (t) =
0, si t < −2,
−1, si − 2 < t < −1,
t + 1, si − 1 < t < 0,
1− t, si 0 < t < 1,
−1, si 1 < t < 2,
0, si t > 2,
A partir de:
a) La definición de transformada de Fourier.
b) La representación de f en términos de la función escalón unitario u(t− a) y/o impulso δ(t− a).
2. Sean L > 0, c > 0, u : [0, L] × [0,+∞[→ R, f : [0, L] → R tales que u ∈ C2([0, L] × [0,+∞[) yf ∈ C([0, L]). El objetivo de esta pregunta es hallar la solución de la ecuación de la onda unidimensionalcon las condiciones mixtas (de Dirichlet en x = 0 y de von Neumman en x = L) siguientes:
(P)
utt = c2uxx, (x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞[,
u(0, t) = 0, ux(L, t) = 0, t ≥ 0,
u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ L.
a) Suponga que existen dos funciones X : [0, L]→ R y T : [0, ∞[→ R tales que la solución al problema(P) puede expresarse como:
u(x, t) = X(x)T(t), para todo (x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞[,
y por tanto, existe una constante α ∈ R tal que X y T son soluciones de los problemas:
(A)
X′′(x)− αX(x) = 0, 0 < x < L,
X(0) = 0,
X′(L) = 0
y
(B)
{T′′(t)− αc2T(t) = 0, t > 0
T′(0) = 0.
b) Muestre que para α ≥ 0, la solución u(x, t) es trivial.
c) Muestre que para α < 0, existe un número k = 0, 1, 2, ... tal que:
α = −((2k + 1)π
2L
)2
,
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y además, que X y T están dados por:
Xk(x) = Ck sen((2k + 1)π
2Lx)
, Tk(t) = Dk cos((2k + 1)cπ
2Lt)
, k = 0, 1, 2, ...
d) Utilice el principio de superposición para mostrar que la solución del problema (P) está dado por:
u(x, t) = c0 +∞
∑k=1
ck sen((2k + 1)π
2Lx)
cos((2k + 1)cπ
2Lt)
donde:
c0 =2L
ˆ L
0f (x) sen
( π
2Lx)
dx,
y
ck =2L
ˆ L
0f (x) sen
((2k + 1)π
2Lx)
dx.
(Determine c0 y cn paso a paso utilizando la ortogonalidad de las funciones trigonométricas y elteorema de Sturm-Liouville). (2pt)
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ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •PRUEBA 2
Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica
1 TRANSFORMADA DE FOURIER
Sea f : R → R una función absolutamente integrable y contínua a trozos en cada intervalo finito, en-tonces la transformada de Fourier F{ f (t)} de f , con t ∈ R, existe y se define como:
F{ f (t)} = 1√2π
ˆ ∞
−∞f (t)e−iwt dt.
La transformada de Fourier de la función f y sus derivadas se relacionan por:
F{ f ′(t)} = (iw)F{ f (t)}.
F{ f ′′(t)} = (iw)2F{ f (t)}.
La transformada de Fourier de la función impulso δ(t− a) se define como:
F{δ(t− a)} = 1√2π
e−awi.
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ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES •EXAMEN 2
Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica
Nombre: GR: Calificación:
PROBLEMAS CONCEPTUALES
1. Transforme el siguiente problema de conducción de calor con condiciones de frontera no-homogéneas(para u(x, t)):
(P)
ut = c2uxx, (x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞[,
u(0, t) = T1, u(L, t) = T2, t ≥ 0,
u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ L.
en un problema con condiciones de frontera homogéneas (para w(x, t)). Hint: Considere el siguienteansatz:
u(x, t) = w(x, t) + v(x).
Encuentre la EDP para w(x, t) y sus respectivas condiciones de frontera e iniciales y exprese el respectivoproblema como en (P). Encuentre también v(x) explícitamente suponiendo que satisface la ecuación delcalor y que v(0) = T1 y v(L) = T2. (0.5pt)
2. Considere una lámina rectangular metálica de base B y altura H. El borde superior se encuentra aislado,mientras que por el borde inferior existe un flujo calor−J. El borde izquierdo se encuentra a en contactocon una fuente de calor variable descrita por una cierta función f (y) mientras que el derecho está encontacto con una fuente de calor que mantiene ese borde a una temperatura constante T. Si u(x, y, t) esla temperatura en el interior de la lámina, plantee la ecuación diferencial y las condiciones de fronterae iniciales que describen este problema. (0.5pt)
3. Considere una membrana (elástica, homogénea y flexible) rectangular de base B y altura H, fija en susbordes y de constante c = 1. Si se encuentra en reposo en la posición F(x, y) y luego se suelta. Utilice elmétodo de separación de variables para determinar las 3 EDO’s asociadas al problema y sus respectivascondiciones iniciales. (0.5pt)
4. La solución a un problema en dos dimensiones está dado por:
u(x, y, t) =∞
∑n=1
∞
∑m=1
Anm cos (λnmt) sen(nπx
a
)sen
(mπyb
). (1)
Determine explícitamente y paso a paso los coeficientes Anm. Para esto utilice la condición inicial u(x, y, 0) =F(x, y) en (1) y llame:
Kn(y) =∞
∑m=1
Anm sen(mπy
b
)(2)
Muestre que la condición inicial se convierte en:
F(x, y) =∞
∑n=1
Kn(y) sen(nπx
a
). (3)
Luego determine Kn(y) de la ecuación (3) y posteriormente Anm de la ecuación (2) (utilizando las propie-dades de ortogonalidad de la función seno). Finalmente, exprese los coeficientes Anm como una integraldoble de F(x, y).
(0.5pt)
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RESOLUCIÓN DE EDP’S
5. Considere una varilla metálica de longitud L, constante c = 1, cuyo borde izquierdo se encuentra aisladoy por el borde derecho existe un flujo calor J. El perfil de temperatura al tiempo t = 0 está descrito poruna cierta función f (x). Si u(x, t) es la temperatura de la varilla:
a) Plantee la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e iniciales que describen este problema.
b) Utilice el método de separación de variables considerando:
u(x, t) = w(x, t) + v(x) + z(t),
y exija que:wt − wxx = 0.
y que wx(0, t) = 0, y wx(L, t) = 0. Además considere que v(0) = 0 y z(0) = 0. Encuentre explíci-tamente v(x), z(t) y w(x, t) y a partir de ellas encuentre una expresión que describa la temperaturade la varilla u(x, t) para todo x ∈ [0, L] y t ≥ 0. No es necesario determinar los coeficientes de laserie infinita que define a u(x, t). (1pt)
6. Encuentre una expresión para la temperatura u(x, y) en el estado estable (o estacionario) en el interiorde una placa metálica semi-infinita con constante c2 = 1 de base π y que se prolonga indefinidamenteen la dirección del eje y. Los bordes laterales se encuentran aislados y el borde inferior está descrito porla función f (x). Suponga que la solución u(x, y) está acotada cuando y → ∞ es decir, la solución nodiverge. Hint: Deje expresada la solución para y como una combinación de funciones exponenciales ytome el límite de u(x, y) cuando y→ ∞. (1pt)
1 ECUACIÓN DE LAPLACE
∆u = 0,
donde u = u(x) y x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn.
2 ECUACIÓN DEL CALOR
ut = c2∆u,
donde u = u(x, t), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn y c ∈ R.
3 ECUACIÓN DE LA ONDA
utt = c2∆u,
donde u = u(x, t), x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn y c ∈ R.
El laplaciano de u está definido como: ∆u = ux1x1 + ux2x2 + ... + uxnxn .
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