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Mecánica de Suelos II Capitulo II Transmisión de Esfuerzos
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de IngenierFacultad de Ingenieríía Civila Civil
ESFUERZO EN UNA MASA DE SUELO
Dr. ZENON AGUILAR BARDALES
CENTRO PERUANO JAPONCENTRO PERUANO JAPONÉÉS DE INVESTIGACIONESS DE INVESTIGACIONESSSÍÍSMICAS Y MITIGACISMICAS Y MITIGACIÓÓN DE DESASTRES N DE DESASTRES -- CISMIDCISMID
Problemas de Deformaciones Planas TProblemas de Deformaciones Planas Tíípicos.picos.
Muro de Contención
Terraplén
Cimentación Corrida
zY
X
zY
Xz
Y
X
Esfuerzo
Deformación(a)
F
Esfuerzo
Deformación(c)
Esfuerzo
Deformación(e)
Esfuerzo
Deformación(b)
Esfuerzo
Deformación(d)
F FR
F = Significa en la FallaR = Significa Valor Residual
Relaciones esfuerzoRelaciones esfuerzo--deformacideformacióón de materiales ideales a) eln de materiales ideales a) eláástico, b) stico, b) plpláástico rstico ríígido, c) gido, c) elastoplelastopláásticostico, d) , d) elastoplelastopláásticostico con ablandamiento, con ablandamiento, e) relacie) relacióón esfuerzon esfuerzo--deformacideformacióón tn tíípica con un material real.pica con un material real.
Elemento A(a)
(b)
( c)
Superficie del terreno
Th
Tu
Nu
Nh
Diagramas para ilustrar la definiciDiagramas para ilustrar la definicióón de esfuerzo. a) Perfil del n de esfuerzo. a) Perfil del terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.
Nivel freático Nivel del terreno
X X
Z
Area A
Nivel freático
Nivel del terreno
X X
Z
Z
Area A
W
W
Z Z
Z
Z
Z
y
y
yy
y
XX
XX
X
X
X
a)y
X
Z
b)
1
2
3
a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b) a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b) esfuerzos principalesesfuerzos principales
N
y
X
Ty
TxHuecos (poros)
Selecciones de las partículas
Punto de contacto entrepartículas situadas por encima y debajo del plano de la seccion.
a
a
DefiniciDefinicióón de los esfuerzos en un sistema de partn de los esfuerzos en un sistema de partíículasculas
Concepto de Esfuerzos EfectivosConcepto de Esfuerzos Efectivos
HA
Area de CorteArea de CorteTransversal = Transversal = ĀĀ
a
a
Agua de PoroAgua de Poro
PartPartíícula Scula Sóólidalida
H
ConsideraciConsideracióón del esfuerzo efectivo para una columna n del esfuerzo efectivo para una columna de suelo saturado sin infiltracide suelo saturado sin infiltracióónn
Area de CorteArea de CorteTransversal = Transversal = ĀĀ
a1 a2 a3
a4
P1 P2P3
P4
Concepto de Esfuerzos EfectivosConcepto de Esfuerzos Efectivos
Fuerzas que actFuerzas que actúúan en los puntos de contacto de las an en los puntos de contacto de las partpartíículas de suelo en el nivel del punto A.culas de suelo en el nivel del punto A.
DistribuciDistribucióón de Esfuerzos en una Masa de Suelon de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Entrada
Válvula (abierta)
H1
Z
B
C
A
H2
h * zH2
h
Estrato de suelo en un tanque con infiltraciEstrato de suelo en un tanque con infiltracióón hacia arriban hacia arriba
DistribuciDistribucióón de Esfuerzos en una Masa de Suelon de Esfuerzos en una Masa de Suelo
ProfundidadProfundidad ProfundidadProfundidad ProfundidadProfundidad
Esfuerzo Total, σ Presión de Poros µ Esfuerzo Efectivo σ’
H1 γW
H1 γW + z γsat
H1 γW
(H1 +z + iz)γw z(γ’ – iz γw)
H1 γW + H2 γ sat (H1 + H2 + h) γw H2 γ’ - h γw
o
o o
H1
H1 + z
H1 + H2
(a) (b) (c)
VariaciVariacióón del (a) esfuerzo total; (b) presin del (a) esfuerzo total; (b) presióón de poro y (c) esfuerzo n de poro y (c) esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltracefectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltraciióón hacia n hacia arriba.arriba.
DistribuciDistribucióón de Esfuerzos en una Masa de Suelon de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Salida
Válvula (abierta)
H1
Z
B
C
A
H2
h * zH2
h
Entrada Q
Estrato de suelo en un tanque con infiltraciEstrato de suelo en un tanque con infiltracióón hacia abajon hacia abajo
DistribuciDistribucióón de Esfuerzos en una masa de suelon de Esfuerzos en una masa de suelo
Estrato de suelo en un tanque con infiltraciEstrato de suelo en un tanque con infiltracióón hacia abajo; variacin hacia abajo; variacióón del n del (a) esfuerzo total; (b) presi(a) esfuerzo total; (b) presióón de poros y (d) esfuerzo efectivo con la n de poros y (d) esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltraciprofundidad en un estrato de suelo con infiltracióón hacia abajo.n hacia abajo.
ProfundidadProfundidad ProfundidadProfundidad ProfundidadProfundidad
Esfuerzo Total, σ Presión de Poro µ Esfuerzo Efectivo σ’
H1 γW
H1 γW + z γsat
H1 γW
(H1 +z - zi)γw z(γ’ + i γw)
H1 γW + H2 γ sat (H1 + H2 - h) γw H2 γ’ + h γw
o
o o
H1
H1 + z
H1 + H2
(a) (b) (c)
Esfuerzos en un Medio ElEsfuerzos en un Medio Eláástico Causados por una stico Causados por una Carga Puntual.Carga Puntual.
ZZ
yy
LL
XX
rr
ZZ
XX
PP
∆σ ∆σ yy
∆σ ∆σ zz
∆σ ∆σ xx
yy
AA
Esfuerzos causados por un Carga PuntualEsfuerzos causados por un Carga PuntualBoussinesq (1883) resolviBoussinesq (1883) resolvióó el problema de los el problema de los esfuerzos esfuerzos ““producidos en cualquier punto de un producidos en cualquier punto de un medio homogmedio homogééneo, elneo, eláástico e isstico e isóótropo como tropo como resultado de una carga puntual aplicada sobre la resultado de una carga puntual aplicada sobre la superficie de un semiespacio infinitamente grande. La superficie de un semiespacio infinitamente grande. La solucisolucióón de Boussinesq para los esfuerzos normales n de Boussinesq para los esfuerzos normales en un punto A causado por la carga puntual P esen un punto A causado por la carga puntual P es
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+−
−−=∆ 23
2
2
22
5
2
)()21(3
2 rLzy
zLLryx
LzxP
x µπ
σ
Esfuerzos Normales en A causados por Esfuerzos Normales en A causados por una Carga Puntualuna Carga Puntual
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+−
−−=∆ 23
2
2
22
5
2
)()21(3
2 rLzx
zLLrxy
LzyP
y µπ
σ
yy
2/522
3
5
3
)(23
23
zrPz
LPz
z +==∆
ππσ
donde:donde:
22222
22
zrzyxL
yxr
+=++=
+=
µµ = relaci= relacióón de poissonn de poisson
Esfuerzos en un Medio ElEsfuerzos en un Medio Eláástico Causados por una Carga stico Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud InfinitaLineal Vertical de Longitud Infinita
zz
XX
NN
QQ porpor metrometro
∆σx
∆σz
Esfuerzos Causados por unaEsfuerzos Causados por una Carga Carga Lineal Vertical de Longitud InfinitaLineal Vertical de Longitud Infinita
Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicaciLos incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicacióón de una n de una carga lineal Q por metro, soncarga lineal Q por metro, son
222
2
222
2
222
3
)(2
)(2
)(2
zxxzQ
zxzxQzx
zQ
xz
x
z
+=∆
+=∆
+=∆
πτ
πσ
πσ
Esfuerzos en un Medio ElEsfuerzos en un Medio Eláástico Causados por una stico Causados por una Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita)Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita)
q = carga por áreaunitaria
BB
XX
X X -- rr
∆σ∆σzz
AA
ββ
drdrrr
δδ
xx
zz
Carga Uniformemente Distribuida Sobre Carga Uniformemente Distribuida Sobre una Franja Infinitauna Franja Infinita
Loa incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una Loa incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una presipresióón uniforme n uniforme qq que actque actúúa sobre un franja flexible infinitamente a sobre un franja flexible infinitamente larga de ancho larga de ancho BB, son los siguientes:, son los siguientes:
[ ]
[ ]
)2(
)2cos(
)2cos(
δββπ
τ
δβββπ
σ
δβββπ
σ
+=∆
+−=∆
++=∆
sensenq
senq
senq
xz
x
z
IsIsóóbaras o Bulbo de Presiones Verticales baras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de FranjaBajo una Carga Flexible de Franja
q
B 2B 2.5B
B
2B
3B
4B
5B
0.7
0.5
0.3
0.2
0.06
0.08
0.1
0 B 2B
∆σq = 0.9
∆σq =Carga de Carga de
Franja flexibleFranja flexibleaa aa
PlantaPlanta
IsIsóóbaras o Bulbo de Presiones Verticales baras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de FranjaBajo una Carga Flexible de Franja
B
2B
3B
4B
5B
6B
=0.1qV
0.2q
0.3q
0.4q
0.5q
0.6q0.8q
0.9q
Bajo el centroV
0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q q
a) b)
Franja infinita con caFranja infinita con carrga uniformemente distribuida: a) lga uniformemente distribuida: a) lííneas de igual incremento de neas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical totesfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centroal bajo el centro
Carga con DistribuciCarga con Distribucióón Triangular n Triangular sobre una Franja Infinitasobre una Franja Infinita
Z
N
βαX
∆σX
∆σV
q
B
R1R2
Carga con DistribuciCarga con Distribucióón Triangular n Triangular sobre una Franja Infinitasobre una Franja Infinita
Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a travCuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a travéés del s del ancho de la franja, lo cual conduce a una distribuciancho de la franja, lo cual conduce a una distribucióón triangular, n triangular, los incrementos de esfuerzo en el punto N estlos incrementos de esfuerzo en el punto N estáán dados por:n dados por:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+=∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=∆
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=∆
xBzq
senRRn
Bz
Bxq
senBxq
xz
x
v
22cos12
2211
221
22
21
βπ
τ
βαπ
σ
βαπ
σ
Carga uniformemente distribuida sobre Carga uniformemente distribuida sobre una una áárea circularrea circular
El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad zz bajo el bajo el centro de una centro de una áárea circular flexible de radio rea circular flexible de radio R R cargada con una cargada con una presipresióón uniforme n uniforme qq esta dado poresta dado por
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−=∆2/3
2)/(111
zRqvσ
Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma grgrááfica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962)fica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962). . En el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo En el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo vertical total comovertical total como
σσ qIv =∆
Factor influencia Factor influencia ll σσ
r
V
V
Carga uniforme q
= q/
0.0020.001 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1 0.2 0.4 0.6 0.8
rR
=109
8
7
6
5
4
3
2.52 1.5
1.25
0
0.5
rR
rR
=0.75
=1
R
1
zzRR
Valores del factor de influencia /σ para calcular el incremento de esfuerzo vertical total ∆σv bajo un área circular uniformemente cargada. (Según Foster y Alhvin, 1954. Reimpresa con la autorización del transportation Research board).
P
Z
Z
=I.PZ
a b
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
00.01 2 4 6 6 68 8 80 0 021 1012 4 4
b/z=
Infl
uen c
e V
alue
‘ I
’
a/z
b/z=0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
b/z =1.0
b/z =0.5
1.21.4
1.61.9
2.03.0
Factores de Factores de InfluenceInfluence para Esfuerzos Verticales Generados para Esfuerzos Verticales Generados por una Carga de Terraplpor una Carga de Terrapléén (Obsterberg, 1957).n (Obsterberg, 1957).
IsIsóóbaras o Bulbo de Presiones Verticales baras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo un Bajo un ÁÁrea Cuadrada con Carga Uniformerea Cuadrada con Carga Uniforme
B BCarga uniforme q
=0.5qV
0.2q
0.1q
0.3q
0.4q
0.6q0.8q
0.9q
Bajo el centro
V
0.5B0.5B
BB
1.5B1.5B
2B2B
2.5B2.5B
0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0
a) b)
a) la) lííneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremenneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremento to del esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata. del esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata.
Incremento de Presiones Verticales Bajo Incremento de Presiones Verticales Bajo un un ÁÁrea Rectangular con Carga Uniformerea Rectangular con Carga Uniforme
El incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina El incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina de unde un área rectangular cargada uniformemente viene dado por:
σσ qIv =∆Donde Donde IIσσ es funcies funcióón de m y n, parn de m y n, paráámetros definidos metros definidos comocomo:
zLn
zBm
=
=
Valores del factor de influencia IValores del factor de influencia Iσσ para calcular el incremento de esfuerzo para calcular el incremento de esfuerzo vertical total vertical total ∆σ∆σvv bajo la esquina de una bajo la esquina de una áárea rectangular uniformemente rea rectangular uniformemente cargada (Segcargada (Segúún Fadum, 1948)n Fadum, 1948)
0.18 0.180.190.20
0.210.220.230.24
0.25
0.17
0.160.15
0.140.13
0.12
0.11
0.100.090.080.070.06
0.05
0.04
0.030.02
0.01
0.01 0.1 1 2 3 4 5 6 8 100.2 0.3 0.40.02 0.04 0.06 0.6 0.80.00
m=0.0
m=0.1
m=0.2
m=0.3
m=0.4
m=0.5
m=0.6
m=0.7
m=0.8
m=1.0
m=1.8m=2.
m=2.4m=3.0 m=
m=1.2m=1.4m=1.6
m=0.9
Presion uniforme q
B
LV
V =qlN
Nota m n: y son intercambiablesFa
ctor
de
influ
enci
aI
Z
n
CCáálculo aproximado del incremento de lculo aproximado del incremento de esfuerzo verticalesfuerzo vertical
Para Para ááreas circulares o rectangulares uniformemente cargadas, reas circulares o rectangulares uniformemente cargadas, puede hacerse un cpuede hacerse un cáálculo aproximado del incremento de esfuerzo lculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical total suponiendo que la carga aplicada se distribuye devertical total suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentro ntro de un cono truncado o una pirde un cono truncado o una piráámide truncada formados por lados mide truncada formados por lados con pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemcon pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemplo, plo, si el si el áárea cargada es un rectrea cargada es un rectáángulo de longitud ngulo de longitud LL y ancho y ancho BB, el , el incremento promedio en el esfuerzo vertical total a una incremento promedio en el esfuerzo vertical total a una profundidad z estarprofundidad z estaráá dado aproximadamente pordado aproximadamente por
))(( zBzLqLB
v ++=∆ σ
Cualquier Cualquier áárea cargada puede considerarse como un nrea cargada puede considerarse como un núúmero discreto mero discreto de subde subááreas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la reas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la superficie del terrenosuperficie del terreno
1 12 2
L x B
(L+z) x (B+z)
Z
q
MMéétodo aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzotodo aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzovertical total bajo un vertical total bajo un áárea uniformemente cargada. rea uniformemente cargada.
EjercicioEjercicioUna cimentaciUna cimentacióón superficial cuadrada de 2m de lado , n superficial cuadrada de 2m de lado , perfectamente flexible, transmite a un depperfectamente flexible, transmite a un depóósito de suelo sito de suelo homoghomogééneo e isotrneo e isotróópico una carga uniforme pico una carga uniforme ∆∆qq = 200 KN/m= 200 KN/m22. . Comparar la distribuciComparar la distribucióón de los incrementos de esfuerzo vertical, n de los incrementos de esfuerzo vertical, ((∆σ∆σvv) bajo el ) bajo el centrocentro de la de la zapata considerando una carga zapata considerando una carga distribuida y una carga puntualdistribuida y una carga puntual equivalenteequivalente. Estimar a partir de . Estimar a partir de que que profundidadprofundidad los errores entre estas distribuciones son los errores entre estas distribuciones son inferiores a 0.1inferiores a 0.1∆∆qq. .
a) Carga uniformemente distribuidaa) Carga uniformemente distribuida
C
q =200 kn/m2
B BA A
D
DC
2m
4 veces
1m
Utilizando el Utilizando el ÁÁbaco de Fadum baco de Fadum Esquina Centro
Z(m) (m,n)
(KN/m )2 (KN/m )2
O
0.25
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
- -
4
2
1
0.67
0.50
0.40
0.33
0.29
0.25
0,247
0,233
0,177
0.125
0,086
0,062
0,046
0,037
0,027
200 200
49,4
46,6
35,4
25,0
17,2
12,49,2
7,4
5,4
197,6
186,4
141,6
100,0
68,8
49,6
36,8
29,6
21,6
,
Carga puntualCarga puntualExpresiExpresióón de n de BoussinesqBoussinesq
Ν==
=∆
kxxPzP
v
8002002223
3πσ
Z(m)V (KN/M2) 6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2 23,9
0,25 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
ComparaciComparacióón entre las dos distribuciones de n entre las dos distribuciones de ∆σ∆σvv
A partir de Z>2,20m A partir de Z>2,20m →→ error absoluto (error absoluto (∆∆`̀σσvv--∆σ∆σ) /Dq < 0.1) /Dq < 0.1
4
3
2,22
1
0 50 100 150 200V
V
V
(kN/m )2
CARGA DISTRIBUIDA
CARGA PUNTUAL
z(m)
ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELOESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELOCCÍÍRCULO DE MOHRRCULO DE MOHR
Z
X XX
ZZ
Tzx
TzxTzx
TxzTxz
Txz0
A
Bc
T Resultantes de esfuerzos sobre ab
a) b)
B
A
C
1
3
T
Dirección de 1
Dir
ecci
ón d
e 3
(a)
2
2
1
1
3
3
-
+
2
A ( Coordenados , )T
T
Circulo de Mohr
(b)
a)a) estado de esfuerzos en estado de esfuerzos en un punto. un punto.
b)b) Diagrama de Diagrama de MohrMohr para para el estado de esfuerzos el estado de esfuerzos en un punto.en un punto.
REPRESENTACIÓN DE ESFUERZOS MEDIANTE EL
CÍRCULO DE MOHR
RepresentaciRepresentacióón de los esfuerzos mediante el n de los esfuerzos mediante el ccíírculo de Mohr. rculo de Mohr.
θσσθθσστ
θσσσσθσθσσ
θ
θ
22
cos)(
2cos22
cos
3131
313123
21
sensen
sen
−=−=
−+
+=+=
El esfuerzo tangencial mEl esfuerzo tangencial mááximo en un punto, ximo en un punto, ττmaxmax es es siempre igual a (siempre igual a (σσ11--σσ3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial 3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial mmááximo equivale al radio del cximo equivale al radio del cíírculo de Mohr. Este esfuerzo rculo de Mohr. Este esfuerzo tangencial mtangencial mááximo se produce en planos que forman ximo se produce en planos que forman ±± 4545°°con la direccicon la direccióón del esfuerzo principal mayor.n del esfuerzo principal mayor.
EjemploEjemplo
300
4kg/cm2 4kg/cm2
2kg/cm2
2kg/cm2
B
B
Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano BSe pide calcular los esfuerzos sobre el plano B--B. B.
1.1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).Se representa los puntos (4,0) y (2,0).2.2. Se dibuja el cSe dibuja el cíírculo, utilizando estos puntos para definir el dirculo, utilizando estos puntos para definir el diáámetro.metro.3.3. Se traza la lSe traza la líínea nea AAAA’’ por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual
actactúúa el esfuerzo (2,0).a el esfuerzo (2,0).4.4. La intersecciLa interseccióón de n de AA’’AA’’ con el ccon el cíírculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.rculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.5.5. Se traza la lSe traza la líínea nea BB’’BB’’ por Opor Opp, paralela a , paralela a BB.BB.6.6. Se leen las coordenadas del punto X donde Se leen las coordenadas del punto X donde BB’’BB’’ corta al ccorta al cíírculo de rculo de
Mohr.Mohr.
1
0
-11 2 3 4
C´
A´A´
X
B´
B´
Op
C´
A’
432
OpB’
B’
RespuestaRespuesta2.5 kg/cm2
2 kg/cm2
4 kg/cm2
0.87
Sobre BBSobre BBσσ = 2.5 = 2.5 kgkg/cm/cm22
ττ = = --0.87 kg/cm0.87 kg/cm22
Otra soluciOtra solucióónn. Los pasos 1 y 2 igual que antes.. Los pasos 1 y 2 igual que antes.3. Traza3. Traza´́por el punto (4.0) la lpor el punto (4.0) la líínea nea CC’’CC’’ paralela al plano sobre paralela al plano sobre el que actel que actúúa el esfuerzo (4.0). a el esfuerzo (4.0). CC’’CC’’ es vertical.es vertical.4.4. CC’’CC’’ corta al ccorta al cíírculo de Mohr solamente en (4.0) de forma rculo de Mohr solamente en (4.0) de forma que este punto es el polo Oque este punto es el polo Opp. Los pasos 5 y 6 an. Los pasos 5 y 6 anáálogos al caso logos al caso anterior.anterior.
SoluciSolucióón por medio de las ecuacionesn por medio de las ecuaciones
2
2
23
21
/866.0602402
24
/5.260cos3240cos2
242
24120/2/4
cmkgsensen
cmkg
cmkgcmkg
−=°−=°−
=
=°−=°−
++
=
°===
θ
θ
τ
σ
θσσ
((preguntas para el alumnopreguntas para el alumno. . ¿¿Por quPor quéé es es θθ =120=120°°? ? ¿¿El resultado El resultado habria sido diferente si habria sido diferente si θθ = 300= 300°°?)?)
DIAGRAMAS pDIAGRAMAS p--qqEn muchos problemas conviene representar, sobre un En muchos problemas conviene representar, sobre un diagrama diagrama úúnico, muchos estados de esfuerzos para una nico, muchos estados de esfuerzos para una determinada muestra del suelo. En otros problemas se determinada muestra del suelo. En otros problemas se representa en un diagrama de este tipo el estado de representa en un diagrama de este tipo el estado de esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos resulta muy pesado trazar los cresulta muy pesado trazar los cíírculos de Mohr, e rculos de Mohr, e incluso mas difincluso mas difíícil ver lo que se ha representado en el cil ver lo que se ha representado en el diagrama despudiagrama despuéés de dibujar todos los cs de dibujar todos los cíírculos .rculos .
Otro mOtro méétodo para dibujar el estado de esfuerzos puede todo para dibujar el estado de esfuerzos puede ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos cuyas coordenadas soncuyas coordenadas son
231 σσ +
=p++ si si σσ11 forma un forma un áángulo igual o ngulo igual o menor de menor de ±± 4545°° con la verticalcon la vertical
-- si si σσ11 forma un forma un áángulo menor de ngulo menor de ±± 4545°° con la horizontal2
31 σσ −±=q
con la horizontal
En la mayorEn la mayoríía de los casos en los que se utiliza la a de los casos en los que se utiliza la representacirepresentacióón puntual, los esfuerzos principales actn puntual, los esfuerzos principales actúúan an sobre planos verticales y horizontales. En este caso, la sobre planos verticales y horizontales. En este caso, la ecuaciecuacióón se reduce an se reduce a
2,
2hh qp σσσσ υυ −
=+
=
Este mEste méétodo equivale a representar un punto todo equivale a representar un punto úúnico de nico de un circulo de Mohr: el punto mas alto si un circulo de Mohr: el punto mas alto si qq es positivo o es positivo o el mas bajo si el mas bajo si qq es negativo. Numes negativo. Numééricamente, ricamente, qq equivale equivale a la mitad del esfuerzo desviador.a la mitad del esfuerzo desviador.
Conociendo los valores deConociendo los valores de pp y y qq para un cierto estado de para un cierto estado de esfuerzos, se posee toda la informaciesfuerzos, se posee toda la informacióón necesaria para n necesaria para dibujar el cdibujar el cíírculo de Mohr correspondiente. Sin rculo de Mohr correspondiente. Sin embargo, el empleo de un diagrama embargo, el empleo de un diagrama pp--qq no exime de no exime de utilizar el cutilizar el cíírculo de Mohr para determinar la magnitud rculo de Mohr para determinar la magnitud de los esfuerzos principales a partir de un determinado de los esfuerzos principales a partir de un determinado estado de esfuerzos.estado de esfuerzos.
