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Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación de varios esfuerzos que son aplicados a un elemento siendo estos esfuerzos de carga axial, esfuerzo por carga de flexión o esfuerzo por carga de torsión. Su determinación es de mucha utilidad en todas las ramas de la ingeniería, ya que por lo general los elementos analizados no están sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de varios esfuerzos de manera simultánea. También es un método para seleccionar y dimensionar el material adecuado en un proceso de construcción.
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Universidad de El Salvador
Facultad Multidisciplinaria OrientalDepartamento de Ingeniería y Arquitectura
Mecánica de los Solidos III
Esfuerzos Combinados
Esfuerzos en Recipientes de Pared Delgada Transformación de Esfuerzos en un Punto Superposición de Esfuerzos
Ciclo I-2012
Ciudad Universitaria Oriental, 25 de Mayo de 2012
INDICE
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
INTRODUCCION….…………………………………………………………………...
2
OBJETIVOS………………………………..…………………..………………………..
3
ESFUERZOS COMBINADOS..………….…………………..
……………………….. 4
1. ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED
DELGADA……………….. 5
1.1 RECIPIENTES ESFERICOS SOMETIDOS A
PRECION………………… 5
1.2 RECIPIENTES CILINDRICOS SOMETIDOS A
PRESION…………….….. 8
2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN
PUNTO………………… 10
2.1 ESFUERZOS PRINCIPALES Y CORTANTES
MAXIMOS……………….. 13
2.2 ESFUERZO CORTANTE MAXIMO EN EL
PLANO……………………... 16
2.3 CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO…...
…………………… 17
3. SUPERPOSICION DE ESFUERZOS……….……………………...…...
……. 20
3.1 SUPERPOSICION DE ESFUERZOS AXIALES Y
FLEXION……………. 21
3.2 SUPERPOSICION DE ESFUERZOS FLEXION Y
TORSION…………... 22
Página 1
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
EJEMPLOS
TEORICOS……………………………………………………………….. 25
PROBLEMAS DE
APLICACION…………………………………………………….. 32
CONCLUSIONES………………………………………………………………………
42
RECOMENDACIONES…………………………………………………………….
…. 43
BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………
44
REFERENCIA……………………………………………………………………...45
ANEXOS…………………………………………………………………………………46
Página 2
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
INTRODUCCION
El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el
estudio de la resistencia de materiales, tomando como base los
esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son básicos para el
entendimiento de los temas a tratar.
Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación de varios
esfuerzos que son aplicados a un elemento siendo estos esfuerzos de
carga axial, esfuerzo por carga de flexión o esfuerzo por carga de
torsión. Su determinación es de mucha utilidad en todas las ramas de la
ingeniería, ya que por lo general los elementos analizados no están
sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de
varios esfuerzos de manera simultánea. También es un método para
seleccionar y dimensionar el material adecuado en un proceso de
construcción.
A continuación se hace un análisis de lo que son los recipientes a
presión de pared delgada (recipientes cilíndricos y esféricos) los cuales
representan una importante aplicación en el análisis de esfuerzo
principalmente en el análisis de esfuerzo plano. A La transformación de
esfuerzo la cual representa la relación de esfuerzos sobre diferentes
planos que pasan por un punto. Y el método de superposición de
esfuerzos que sirve para determinar por separado cada una de las
fuerzas que son aplicadas sobre el miembro en análisis, para
posteriormente combinar sus resultados y obtener la solución del
problema.
Los esfuerzos combinados son usados frecuentemente sin darnos
cuenta ya sea en nuestras casas que están hechas de vigas, que
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
combinado distintos materiales, soportan algunos mejor la flexión y
otros mejor la compresión hasta las grandes construcciones en donde
las vigas son de hierro y cemento.
Para una mejor aplicación se presentan problemas reales, donde se ven
involucrados los temas antes mencionados, de manera que en el diseño
de estructuras y elementos sometidos a múltiples cargas se deben tener
en cuenta una serie de cálculos y elementos, para el análisis de los
mismos.
Página 4
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
OBJETIVOS
General
Investigar la teoría de Esfuerzos Combinados aplicables en
superficies de pared delgada, transformaciones en un punto y
superposición de esfuerzos, además de analizar la interacción de
esfuerzos al combinarse entre sí al ser aplicado a elementos
estructurales, determinando su intensidad.
Específicos
Conocer el procedimiento para encontrar los esfuerzos
combinados en superficies de pared delgada, transformación en
un punto y superposición de esfuerzo.
Analizar la manera en que se relacionan los esfuerzos por carga
axial, por carga de torsión y por carga de flexión cuando actúan
conjuntamente, para determinar el esfuerzo neto.
Resolver tres problemas prácticos en los que sea aplicable el
método de superposición de esfuerzo.
Página 5
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
ESFUERZOS COMBINADOS
Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación del
esfuerzo de carga axial, esfuerzo por carga de flexión y esfuerzo por
carga de torsión.
En la representación de los esfuerzos combinados, por lo general los
elementos analizados no están sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si
no, más bien a la interacción de varios esfuerzos de manera
simultánea, es por ello que con la finalidad de localizar el punto en
donde la estructura llegaría a fallar (punto crítico en la estructura), se
analiza la interacción de todos los esfuerzos a los que está sometido el
elemento. También es un método para dimensionar y seleccionar el
material adecuado para el elemento.
En los esfuerzos combinados existen cuatro combinaciones posibles de
carga:
Página 6
Carga axial y flexión
Carga axial y flexión
Carga axial, torsión y flexión
ESFUERZOS COMBINADOS
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
1. ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA
Los recipientes a presión son estructuras
cerradas que contienen líquidos o gases a
presión, ejemplo de ello son los tanques
esféricos para almacenamiento de agua, los
tanques cilíndricos para aire comprimido,
tubos a presión y globos inflados, las
calderas de vapor, los tanques de
almacenamiento de líquidos o gases a
presión, los tanques de agua, los tanques de
almacenamiento de gramos y las tuberías
entre otros.
Se consideraran recipientes de pared
delgada los contenedores de forma cilíndrica
o esférica en los que el espesor de la pared
es pequeño comparado con el radio y su
longitud, y en tales casos se encuentran en
la clase general de estructuras conocidas
como “cascarones”. (Figura 1.0).
Página 7
Carga axial y por torsión
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Recipientes esféricos
sometidos a presión.
Un tanque de forma esférica es el recipiente
ideal para resistir presión interna. Algunos
ejemplos conocidos son tanques, tubos y
cabinas de presión en aeronaves y vehículos
espaciales. Cuando los recipientes a presión
tienen pared delgada en comparación a sus
dimensiones generales, se les incluye dentro
de la categoría más general de cascarones.
(Figura 1.0c).
El término de pared delgada no es preciso,
pero una regla general es que la relación de
radio r al espesor de la pared t debe de ser
mayor que 10 a fin que podamos determinar
los esfuerzos en las paredes con exactitud
razonable mediante únicamente estática.
Una segunda limitación es que la presión
interna debe de ser mayor que la externa; de
lo contrario, el cascaron puede fallar por
colapso debido al pandeo de las paredes.
A fin de hallar los esfuerzos en un recipiente
esférico, cortamos a través de la esfera
según un plano diametral vertical y
aislamos la mitad del cascaron junto con su
contenido de fluido como un solo cuerpo
libre (figura 1.1-a). Sobre este cuerpo libre
Página 8
Figura 1.0
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
actúan los esfuerzos de tensión σ en la pared
y la presión p del fluido que permanece
dentro del hemisferio. El peso del tanque y
su contenido se omiten en este análisis.
La presión actúa horizontalmente sobre el
área circular plana formada por el corte y
dado que la presión en uniforme, la fuerza
resultante de la presión es:
P=p (π r2)
donde r es el radio interior de la esfera.
Obsérvese que la presión p es la presión
interna neta, o presión manométrica (esto
es, la presión por encima de la presión
atmosférica, o presión externa).
Debido a la simetría del recipiente y su
carga (figura 1.1-b), el esfuerzo de tensión σ
es uniforme alrededor de la circunferencia,
además como la pared es delgada podemos
suponer con buena precisión que el esfuerzo
está distribuido uniformemente a través del
espesor t.
La exactitud de esta aproximación se incrementa según se vuelve más
delgado el cascaron, y se reduce según se vuelve más grueso. La fuerza
obtenida a partir del esfuerzo normal es σ (2π rm t), donde t es el espesor
y rm es el radio medio del cascaron (r m=r+t /2 ) . Por supuesto, dado que
nuestro análisis únicamente es válido para cascarones muy delgados,
podemos considerar que rm ≈ r; entonces, la fuerza resultante se
convierte en σ (2π rm t).
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Figura 1.1
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
σ= pr2 t
Ec. 1.0
Como es evidente a partir de la simetría de un cascaron esférico, esta
misma ecuación para el esfuerzo σ se obtendrá si se pasa un plano a
través de la esfera en cualquier dirección. Por lo tanto, concluimos que
una esfera “presurizada” está sometida a esfuerzos uniformes a tensión
σ en todas las direcciones. Esta condición de esfuerzo se representa en
la (Fig. 1.2b) por el pequeño elemento con esfuerzos σ que actúan en
direcciones mutuamente perpendiculares.
En la superficie exterior de un recipiente esférico a presión, no actúan
esfuerzos normales a la superficie, por lo que la condición de esfuerzos
es un caso especial de esfuerzo biaxial es el que σ x y σ y son iguales (Fig.
1.2-a). Así, el círculo de Mohr para esta condición de esfuerzo se reduce
a un punto, y cada plano inclinado es un plano principal. Los esfuerzos
principales son:
σ 1=σ2=pr2 t
Ec. 1.1
También, el esfuerzo cortante máximo en el
plano es cero. Sin embargo, se debe advertir
el elemento es tridimensional y que el
tercer esfuerzo principal (en la dirección z)
es cero. El esfuerzo cortante máximo
absoluto, originado mediante una rotación
de 45° del elemento respecto a cualquiera de
los x o y, es
τ max=σ2= pr
4 t
Ec. 1.2
Página 10
Figura 1.2
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
En la superficie interior de la pared del recipiente esférico, el elemento
esforzado tiene los mismos esfuerzos de membrana (Ec. 1.0), pero,
adicionalmente, actúa un esfuerzo de compresión en la direcciónz, p
(Fig. 1.2-b). Estos tres esfuerzos normales son los esfuerzos principales:
σ 1=σ2=pr2 t
σ 3=−p Ec .1.3
El esfuerzo cortante en el plano es cero, pero el esfuerzo cortante fuera
del plano (producido mediante una rotación de 45° alrededor de
cualquiera de los ejes x y y) es:
τ max=σ+ p
2= pr
4 t+ p
2 Ec. 1.4
Si la relación de r / t es suficientemente grande, el último término de
esta ecuación puede omitirse. Entonces la ecuación se convierte en la
misma Ec.1.3, y se puede suponer que el esfuerzo cortante máximo es
constante a través del espesor del cascaron. Todo tanque esférico
utilizado como recipiente a presión tendrá al menos una abertura en la
pared, así como varios accesorios y soportes. Esta característica origina
distribuciones no uniformes de esfuerzos que no pueden analizarse
mediante métodos simples. Cerca de las discontinuidades se generan
grandes esfuerzos en el cascaron, por lo que reforzarse tales regiones.
Recipientes cilíndricos sometidos a presión.
Los recipientes cilíndricos con sección transversal circular se
encuentran en instalaciones industriales (tanques de aire comprimidos
y motores de cohete, en casas de habitación (extinguidores de incendios
y latas de rociadores) y en granjas (tanques de propanos y silos de
granos). Los tubos a presión, los utilizados para el abastecimiento de
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
agua y las tuberías de carga, también se clasifican como recipientes
cilíndricos a presión.
Considérese ahora un tanque cilíndrico circular de pared delgada con
extremos cerrados y presión interna p (Fig. 1.3). En la figura se
muestra un elemento esforzado cuyas caras son paralelas y
perpendiculares al eje del tanque.
Analizaremos los esfuerzos en un tanque circular de pared delgada
sometido a presión interna. Los esfuerzos normales en un tanque σ 1 y
σ 2 que actúan sobre las caras laterales de este elemento son esfuerzos
de membrana en la pared. Por lo tanto, los esfuerzos σ 1 y σ 2 son
esfuerzos principales. Debido a su dirección, el esfuerzo σ 1 se denomina
esfuerzo circunferencial o esfuerzo tangencial; en forma similar, σ 2
es el esfuerzo longitudinal o esfuerzo axial. Cada uno de estos
esfuerzos puede calcularse a partir del equilibrio mediante el empleo de
diagramas de cuerpo libre apropiados.
Para determinar el esfuerzo
cincunferencial σ 1, aplicamos dos cortes
(mn y pq) perpendiculares al eje longitudinal
y separamos una distancia b (Figura 1.3-a).
Luego efectuamos un tercer corte en un
plano vertical a traves del eje longitudinal
del tanque con lo cual resulta el diagrama de
cuerpo libre expuesto en la figura 1.3-b. Este
cuerpo libre no consiste solamente en la
pieza longitudinal del tanque, sino tambien
el el fluido contenido dentro de los cortes.
Los esfuerzos circunferenciales σ 1 y la
Página 12
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
presion interna p actuan sobre el corte
longitudinal (mnpq).
Los esfuerzos circunferenciales σ 1 que
actuan en la pared del recipiente tiene una
resultante igual a σ 1 (2 bt ), donde t es el
espesor de la pared. Además, la fuerza
resultanteP1 de la presión interna es igual a
PdA=2pbri, donde ries el radio interior del
cilindro. Haciendo equilibrio de las
ecuaciones antes mencionadas se obtiene lo
siguiente (El esfuerzo circunferencial para
un cilindro a presión):
σ 1=prt
Ec. 1.5
El esfuerzo longitudinal σ 2 se obtiene del
equilibrio de un cuerpo libre de la parte del
recipiente a la izquierda de la sección
transversal mn (fig. 1.3-c), donde al igual
que en el análisis anterior no solo la parte
del tanque, sino también su contenido. Los
esfuerzos σ 2 actúan en sentido longitudinal y
tiene la fuerza resultante igual a
σ 2dA=σ2(2 π ri t). La fuerza resultante P2la
presión interna es
igual a PdA=pπ r2. Realizando el equilibrio de fuerzas de la fig. 1.3-c y
despejando para p se obtiene:
Página 13
Figura 1.3
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
σ 2=pr2 t
Ec.1.6
La deducción de las ecuaciones (1.6, 7) se supuso que los esfuerzos de
membrana a través de las paredes del recipiente eran uniformes.
2. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN PUNTO
La transformación del esfuerzo significa la variación, con la
dirección de las componentes de esfuerzo en un punto. EL
estudio de este tema se refiere principalmente a casos
bidimensionales, pero también se dan algunos resultados
importantes para estados de esfuerzos tridimensionales. Este
tema es importante en la determinación de los esfuerzos
máximos en un punto de un elemento y en las determinaciones
de esfuerzos que producen la falla de un elemento.
Hasta ahora hemos visto los esfuerzos únicamente en ciertos
planos cortantes que pasan por los puntos de un cuerpo. Por
ejemplo, la formula σ = P/A para varillas cargadas axialmente
da el esfuerzo normal en una varilla únicamente en los planos
cortantes perpendiculares al eje longitudinal de la varilla como
se muestra en la figura
2.1a: Los esfuerzos en
planos cortantes orientados
de distinta manera fig 2.1b
son diferentes.
Figura 2.1
En el caso general, lo mismo que en el ejemplo, los esfuerzos en un punto de un cuerpo son
diferentes. En algunos planos cortantes pueden actuar esfuerzos significativamente mayores que
otros. El siguiente estudio se refiere a esta variación del esfuerzo en un punto y trata principalmente
el caso de esfuerzo biaxial, en dos dimensiones. En primer lugar se consideran diferentes
representaciones de los esfuerzos en el mismo punto de un cuerpo bidimensional. La fig 2.2a
representa un elemento aislado por dos planos cortantes infinitamente cercanos y mutuamente
perpendiculares que son normales a los ejes de las coordenadas X-Y. la figura 2.2b muestra un
elemento aislado de manera semejante por planos cortantes normales a los ejes orientados de
manera diferente, X´-Y´. los esfuerzos en las caras opuestas de cada uno de estos elementos son
iguales y opuestos, y son los mismos que actúan sobre los lados opuestos de un plano cortante
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
único. Cada uno de los elementos aislados en la figura 2.2 esta sometido a la acción de esfuerzos
diferentes en el mismo punto. Cada elemento tiene asociados tres elementos de esfuerzos. En la
figura 2.2a, las componentes se designan σx,σy Y τxy en las coordenadas X-Y. las de la figura
2.2b se designan σx´,σy´ Y τx´y´ en las coordenadas X´-Y´. Estos dos conjuntos de componentes
de esfuerzo no son los únicos que existen en ese punto.
Figura 2.2
El infinito número de conjuntos de componentes de esfuerzos que se describió, no son
independientes. Las componentes en un sistema arbitrario de coordenadas X/ - Y/están relacionadas
con las del sistema x-y. Las ecuaciones que relacionan las componentes de esfuerzos en diferentes
sistemas de coordenadas o, lo que es lo mismo, en diferentes planos cortantes que pasan por un
punto, se llaman ecuaciones de transformación del esfuerzo.
Las ecuaciones de transformación del esfuerzo se obtienen de
las condiciones de equilibrio de un elemento de tamaño
infinitesimal como el que se muestra en la siguiente figura.
(fig.2.3) esta formada por
planos cortantes normales a
los ejes de referencia X,Y y
Página 15
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
por un tercer plano cortante normal a un eje inclinado X´ que
forma un ángulo arbitrario θ con el eje x. Los esfuerzos en la
cara inclinada son las dos componentes σx´ y τx´τy´asociados
a las coordenadas x´,y´. Se consideran cantidades positivas si
tienen los sentidos indicados y negativas si tienen los sentidos
opuestos.
Figura 2.3
Las condiciones ∑Fx´= 0 y∑Fy´=0 para el elemento de la figura 2.3 producen las expresiones para
los esfuerzos σx´ y τx´τy´ que se dan mas adelante. A partir de estas ecuaciones de equilibrio se
obtienen las fuerzas en elemento efectuando los productos de cada esfuerzo por el área de la cara
sobre la cual actúa. Se supone que el elemento de la figura 2.3 tiene un espesor unitario normal al
plano X,Y el área de la cara inclinada se designa por dA. Entonces, la cara opuesta y la cara
adyacente al ángulo θ tiene áreas dAsenθ y dAcosθ, respectivamente. También se hace uso de las
identidades trigonométricas.
Y finalmente tenemos:
σx ´=σx+σy2
+( σx−σy2 )¿ (Ec.2-1)
O, finalmente:
τx ´ y ´=(
(−σx−σy ) ( sen2θ )2
)¿ (Ec.2-2)
Las ecuaciones (2-1) y (2-2) son las ecuaciones de transformación de esfuerzos para el caso
bidimensional y dan valores de σx´, τx´y´para cualquier ángulo θ en función de σx,σy,τxy. La
componente de esfuerzo, σy´ está dada por la ecuación 2-1, aumentando el ángulo θ en 90º.
Estas ecuaciones dan el esfuerzo en cualquiera del infinito número de planos cortantes que pueden
pasar por un punto de un cuerpo, en función de un conjunto arbitrario de componentes de esfuerzos
x-y. Así, uno solo del infinito número de conjunto de componentes de esfuerzos en un punto,
utilizado como conjunto de referencia junto con las ecuaciones de transformación de esfuerzo, es
suficiente para describir completamente los esfuerzos en u punto.
Página 16
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Se puede demostrar que las ecuaciones 2-1 y 2-2 también son aplicables si el elemento de la figura
2.3 tiene aceleración. De modo que las ecuaciones 2-1 y 2-2 son aplicables bajo las condiciones
estáticas y dinámicas de un cuerpo.
ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS.
Las ecuaciones de transformación para esfuerzos planos muestran que el esfuerzo normal σ x1, y el
esfuerzo cortante y τ x1 y1varían en forma continua según se gira el elemento en un ángulo θ. Con
fines de diseño, usualmente son necesarios lo valores máximos tanto positivos como negativos. Para
determinar los esfuerzos normales máximos y mínimos, que se conocen como esfuerzos principales,
empezamos con la expresión σ x1:
σ x1=
σ x+σ y
2+
σ x−σ y
2cos2 θ+τ xy sin 2 θ (Ec.2-3)
Al tomar la derivada σ x1 con respecto a θ e igualar a cero, se obtiene una ecuación para los valores
de θ para los cuales σ x1 es máximo o e mínimo:
d σx1
dθ=−( σx−σ y ) sin 2θ+2 τ xy cos2 θ=0
De la cual obtenemos:
tan2 θp=2 τ xy
σx−σ y
(Ec.2-4)
De la ecuación (2-4) pueden obtenerse dos valores de 2 θp en el intervalo entre 0 ° y360 °. Estos
valores difieren en 180 °, estando el valor mas pequeños entre 0 ° y 180 ° y el valor mas grane entre
180 ° y 360 °. Por lo tanto, el ángulo θp tiene dos valores que difieren en 90 °, uno entre 0 ° y 90 °,
y el otro entre 90 ° y 180 °. Para uno de estos ángulos el esfuerzo σ x1 es un esfuerzo principal
máximo; para el otro, σ x1 es un esfuerzo principal mínimo. Como los dos valores de θp difiere en
90 °, concluimos que los esfuerzos principales ocurren en planos mutuamente perpendiculares.
Página 17
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Los valores de los esfuerzos principales pueden calcularse
fácilmente al sustituir cada uno de los dos valores de θp en la
ecuación de la transformación de esfuerzos(ec.2-3) y despejar
σ x1. Mediante este procedimiento podemos conocer también
cuales de los dos esfuerzos principales se asocia a cada uno de
los dos ángulos principales θp .
cos2 θ=σx−σ y
2 R
sin 2θ=τ xy
2
En donde :
R=√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2
(Ec.2-5)
Se sustituyen las expresiones para cos2θ ysin 2θ en la ecuación 2-3 se obtienen el valor algebraico
mayor de los dos esfuerzos principales, denotado por σ 1:
σ 1=σx+σ y
2+√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2
El más pequeño de los esfuerzos se denota por σ 2 determina por la la condición
σ 1+σ2=σ x+σ y
Puesto que σ 1 y σ2actúan sobre planos perpendiculares.
σ 2=σx+σ y
2−√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2
Luego, las formulas anteriores pueden combinarse en una sola fórmula para los esfuerzos
principales:
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
σ maxmin
=σ1,2=σ x+σ y
2±√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2 (Ec.2-6)
Este resultado de los esfuerzos principales, designados por
σ 1 y σ2, en función de las componentes de referencia, σ x,σ y, y
τ xy. Donde se especificó anteriormente σ 1=σmax y σ 2=σmin.
Los esfuerzos principales siempre representan los valores
mayor y menor de σ x, en un punto.
Los planos principales para elementos en estados de esfuerzos
axial y biaxial son los mismos planos x y y (Fig. 2.5), ya que
tan2 θ=O (véase Ec. 2-4), y por consiguiente, los dos valores
de θp son 0° y 90°Figura 2.5
Para un elemento en cortante puro (Fig. 2.6 a), los planos
principales están orientados a 45° respecto al eje x (Fig. 2.6 b),
ya que tan 2 θp es infinito y, por consiguiente, los dos valores
de θp son 45° y 135°. Si τ xyes positivo, los esfuerzos
principales son σ 1=τ xy y σ 2=τ xy
El estudio de esfuerzos principales anterior se refiere
únicamente a la rotación del elemento esforzado en el plano
xy(esto es, rotación alrededor del eje z) (Fig. 2.6) Los dos
esfuerzos principales determinados a partir de la Ec. (2-6) al-
gunas veces se denominan esfuerzos principales en el plano.
Figura 2.6
Página 19
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Mediante un análisis tridimensional más completo, puede
demostrarse que los tres planos principales para un elemento en
esfuerzo plano son los dos planos principales que se han
descrito, más la cara z del elemento. Estos planos principales se
muestran en la Fig.2.7b, donde el elemento esforzado de la
Fig.2.7a ha sido girado respecto al eje z un ángulo θp, que es
uno de los dos ángulos determinados por la Ec. (2-4). Los
esfuerzos principales son σ 1, σ2 y σ3, donde σ 1 y σ 2resultan de
la Ec. (2-6) y σ 3 es igual a cero.
Página 20
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
FFi
gura 2.7
ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO EN EL PLANO.
La orientación de un elemento que está sometido a esfuerzo
cortante máximo en sus caras se puede determinar sacando la
derivada de la ecuación (2-2) con respecto a θ e igualando a
cero el resultado. Se obtiene
tan2 θ s=−(σ x−σ y )/2
τ xy
(Ec.2-7)
Las dos raíces de esta ecuación θ s 1 y θs 2, se pueden determinar
con los triángulos de la figura 2.8, cada raíz de 2 θs esta a 90°
de 2 θp. Así las raíces de θ s y θp forman 45° entre ellas, y el
resultado es que los planos del esfuerzo cortante máximo se
pueden determinar orientando a un elemento a 45° con respecto
a la posición de un
elemento que defina los
planos del esfuerzo
principal.
Figura 2.8
Usando cualquiera de las raíces θ s 1o θ s 2, se puede determinar el esfuerzo cortante máximo sacando
los valores trigonométricos de sen2 θs y cos2 θs en la figura 2.8, y sustituyéndola en la ecuación (2-
2). El resultado es:τ maxenel plano=√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2 (Ec.2-8)
El valor de τ maxenel plano calculado con la ecuación (2-8) se llama “esfuerzo cortante máximo en el
plano”, porque actúa sobre el elemento en el plano x-y. si se sustituyen los valores de sen2 θs y cos
2 θs en la ecuación (2-1),se ve que también hay un esfuerzo normal sobre los planos de esfuerzo
cortante máximo en el plano. Se obtiene:
σ prom=σ x+σ y
2 (Ec.2-9)
Página 21
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO
El circulo de usado para obtener algunas ecuaciones básicas
relativas a la transformación de esfuerzo en un plano. Este
método se basa en consideraciones geométricas simples y no
requiere el uso de ecuaciones especializadas.
Considere un elemento cuadrado de un material sometido a
esfuerzo plano (figura 2-9a), y sean,σ x , σ y , τ xylas componentes
del esfuerzo ejercido sobre el elemento. Dibuje un punto X de
coordenadas σ xy −τ xyy un punto Y de coordenadas σ xy +τ xy
(figura2-9). Si τ xyes positivo, como se supone en la figura 2-9 a,
el punto X está situado debajo del eje σ x y el punto Y encima,
como se muestra en la figura 2-9 b. Si τ xyes negativo, X se sitúa
encima del eje σ xy Y debajo. Uniendo X y Y mediante una línea
recta se define el punto C de intersección de la línea XY con el
eje σ y se dibuja el círculo de centro en C y diámetro XY. Al
observar que la abscisa de C y el radio del círculo son
respectivamente iguales a las cantidades σ promy R definidas por
las ecuaciones (2-5, 2-9), se concluye que el círculo obtenido es
el círculo de Mohr para esfuerzo plano. Así, las abscisas de los
puntos A y B, en donde el círculo interseca el eje σ , representan
respectivamente los esfuerzos principales σ max y σ min en el
punto considerado.
Figura 2.9
Se nota también que como tan (XCA )=2 τ xy
σ x−σ y
,el ángulo XCA
es igual en magnitud a uno de los ángulos 2 θPque satisfacen las
ecuaciones (2-4). Así, el
ángulo θPque define la
figura (2.9)la orientación
del plano principal
correspondiente al punto A
en la figura 2.9 puede
obtenerse dividiendo entre
Página 22
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
la mitad el ángulo XCA medido en el círculo de Mohr. Observe
además que si σ x>σ y y τ xy>0, como en el caso considerado
aquí, la rotación que trae CX a CA es en sentido contrario a las
agujas del reloj. Pero en ese caso el ángulo θPobtenido de la
ecuación (2-4), el cual define la dirección de la normal Oaal
plano principal, es positivo; por ello la rotación que trae Oxa
Oaes también en sentido contrario al de las agujas del reloj. Se
concluye que los sentidos de rotación en ambas partes de la
figura 2.9 son los mismos. Si se requiere un giro 2 θPpara llevar
CX a CA en el círculo Mohr, una rotación en sentido contrario
al de las agujas del reloj θP llevará Oxa Oaen la figura 2.9a.
Como el círculo de Mohr está definido en forma única, el
mismo círculo puede obtenerse considerando las componentes,
σ x , σ y , τ xy, correspondiente a los ejes x ´ y y ´ de la figura
2.10a. El punto X' de las coordenadas σ xy −τ xy., y el punto Y´
de coordenadas σ xy +τ xyestán, por tanto, localizadas en el
círculo de Mohr y el ángulo X'CA de la figura 2.10 debe ser el
doble del ángulo x'Oade la figura 2.10a. Como el ángulo XCA
es el doble del ángulo xOa, se sigue que el ángulo XCX' de la
figura 2.10b es el doble del xOx' de la figura 2-10a. Así el
diámetro X'Y que define los esfuerzos normales y cortantes
σ x , σ y , τ xy, puede obtenerse girando el diámetro XY un ángulo
igual al doble del ángulo θformado por los ejes x' y x de la fi-
gura 2.10a. Se observa que la rotación que hace coincidir el
diámetro .XY con el diámetro X'Y', en la figura 2-10, tiene igual
sentido que la rotación que superpone los ejes xya los ejes x'y'
en la figura 2-10a.
Figura 2.10
La propiedad que se acaba
de indicar puede usarse
para verificar el hecho de
que los planos de esfuerzo
cortante máximo están a
45° de los planos
principales. Ciertamente,
recuerde que los puntos D y
E del círculo de Mohr
corresponden a los planos
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
de esfuerzo cortante máximo, mientras A y B corresponden a
los planos principales (figura 2.11b). Puesto que los diámetros
AB y DE del círculo de Mohr están a 90° el uno del otro, se
tiene que las caras de los elementos correspondientes están a
45° la una de la otra (figura2.11a).
La construcción del círculo de Mohr para esfuerzo plano se
simplifica mucho si se considera separadamente cada cara del
elemento usado para definir las componentes del esfuerzo. De
las figuras 2.9 y 2.10 observe que cuando el esfuerzo cortante
ejercido sobre una cara dada tiende a hacer girar el elemento
en el sentido de las agujas del reloj, el punto correspondiente a
esa cara está colocado por encima del eje σ el círculo de Mohr.
Cuando el esfuerzo cortante en una cara tiende a hacer girar el
elemento en el sentido contrario a las agujas del reloj, el punto
correspondiente a esa cara está localizado debajo del eje σ (Fig.
2.11). En cuanto a los esfuerzos normales, se usa la convención
usual, es decir, un esfuerzo de tensión se considera positivo y se
gráfica a la derecha, mientras una compresión es negativa y se
gráfica hacia la izquierda.
a)
b)
Figura 2.11
3. SUPERPOCICION DE ESFUERZOS
En la práctica de la ingeniería, se usa a menudo el
principio de superposición en la solución de problemas.
Cuando tenemos un miembro que está sujeto a un sistema
de carga completo que involucra un cierto número de
fuerzas de diferentes
tipos, podemos
determinar el efecto de
cada fuerza del sistema
sobre el miembro
separadamente. Después,
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
los resultados de cada una de ellas se combinan para
obtener la solución del problema.
El principio de superposición es fácil de entender y
aplicar. Solamente se necesita asegurarse que sea válido
combinar los resultados. Si los resultados combinados no
son lineales, la superposición no es válida.
Existen tres tipos de esfuerzos básicos:
1- P/A solamente se consideran cargas axiales
aplicadas a través del centroide de la sección.
2- Tc/J solamente carga de torsión sobre ejes de
sección circular.
3- c/I solamente cargas aplicadas
perpendicularmente al eje transversal
Con estos métodos pueden resolverse una amplia clase de
problemas. Pero podemos ampliar esta clase combinando
adecuadamente estos tipos básicos de carga. En la práctica
frecuentemente se encuentran cargas que no concuerdan
con las condiciones bajo las cuales las teorías básicas son
válidas como se muestra
en las figuras a la
derecha las cuales
muestran varios ejemplos
de problemas de este
tipo. Sin embargo, estos
problemas pueden
resolverse mediante una
combinación adecuada
de los métodos ya
estudiados.
Página 25
Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Existen tres combinaciones principales de esfuerzos combinados:
Axial y flexion.
Flexion y torsión.
Axial y torsión.
En este trabajo solamente se abordaran las dos primeras combinaciones de esfuerzos que se
analizaran por el método de superposición.
SUPERPOSICIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y FLEXIÓN
Considere la viga empotrada en un extremo y sujeta a una
carga inclinada P, como se muestra en la siguiente figura
3.1(a). Esta carga no produce flexión ni carga axial
solamente, sino una combinación de las dos. Si se
descompone esta fuerza en sus componentes horizontal y
vertical, como en la figura 3.1(b) y 3.1(c), estas
componentes actúan en las direcciones que permiten
aplicar la teoría de carga axial y flexión respectivamente.
La fuerza axial Px sección (b) de la figura 3.1, produce
esfuerzos directos de tensión P/A en todas las fibras.
La fuerza Py sección (c) produce esfuerzos de flexión
Mc/I. Como ambos esfuerzos actúan para alargar o
acortar las fibras, pueden combinarse algebraicamente.
Figura 3.1
El hecho de que ambas cargas producen esfuerzos que tienen la misma línea de acción
confirma que la superposición de esfuerzos es válida. Los esfuerzos en cualquier fibra
pueden calcularse como:
± pA
± McI
(Ec.3-1)
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión
son negativos, Esta convención de signos nos ayuda a determinar la naturaleza de los
esfuerzos finales. El termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia
general a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo en un punto diferente al de las
fibras externas.
Los esfuerzos calculados mediante la ecuación de esfuerzo mostrada anteriormente no son
enteramente correctos. La carga Py producen una deflexión (no mostrada) que, cuando se
multiplica por la fuerza axial Px, producen un pequeño momento secundario. En estos
casos de tensión axial y flexión, este momento secundario tiende a reducir el momento
total, y por consiguiente, puede despreciarse. Si la fuerza axial es de compresión, el
momento secundario incrementa el momento total, y el despreciar este término no resulta
conservativo. Sin embargo, en la mayoría de los problemas de esfuerzos combinados, el
efecto de este término es pequeño y puede despreciarse. En el caso de vigas columnas
esbeltas, el efecto puede no ser despreciable.
FLEXIÓN Y TORSIÓN COMBINADAS
A veces se necesita que los miembros estructurales soporten conjuntamente cargas de
flexión de torsión, Por ejemplo ejes o arboles circulares que trasmiten un par o momento de
rotación suelen estar sometidos tantos a momentos de flexión, como a torsión. Tales
condiciones es posible realizar el análisis de esfuerzos sin ninguna dificultad esencial
siempre que se conozcan las resultantes de los esfuerzos estas pueden comprender
momentos Flexionarte pares de torsión y fuerzas cortantes. Los esfuerzos debidos a cada
resultante de esfuerzo se pueden determinar en cualquier punto de la sección recta por
medio de las formulas apropiadas. Entonces el estado completo de esfuerzos en el punto
elegido se investiga utilizando las relaciones deducidas anteriormente o por medio del
CIRCULO DE MOHR. En particular, pueden calcularse los esfuerzos principales y los
esfuerzos cortantes máximos. De este modo se efectúan el análisis en cualquier número de
situaciones críticas en el elemento y, con todos los resultados, puede establecerse si el
diseño es adecuado o bien, realizar uno nuevo
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Como una ilustración simplificada de la flexión y torsión combinadas, considere la barra
circular de la figura en esta viga Cantiléver actúa un momento de torsión, T, con respecto al
eje longitudinal y una fuerza transversal o lateral, Q. En una sección recta de la barra a la
distancia X del empotramiento la resultante de esfuerzos se pueden encontrar por Estática.
Tales resultantes son:
1) Un momento Flexionante , M , esto igual a Q( L –
x ), donde L es la longitud de la viga;
2) Una fuerza cortante, V igual a Q, y.
3) Un momento torsionante T. Observe que en este
caso el momento flector se considera positivo
cuando produce tracción en la parte superior de la
viga si ahora examinamos un elemento localizado
en la superficie superior de la barra (Elementos A
en la Figura 3.2), Vemos que este elemento estará
sometido a los esfuerzos de flexión,σ X Debido a M
y a los esfuerzos cortantes, τ Debidos a T
(Figura). Estos esfuerzos se obtienen con las
ecuaciones σ X =MyI
y τ=T ρJ
Respectivamente,en el caso de un árbol circular de
diámetro d, esta ecuaciones se convierte en.σ x=
32 M
π d3 (Ec.3-2) ; τ=16 T
π d3 (Ec.3-3) Figura 3.2
Conociendo σ x y τ Se pueden determinar los esfuerzos en un elemento girado cualquier
ángulo que se desee en el punto A.
Los esfuerzos principales en A se hayan por la ecuación.
σ 1,2=σ x
2 ± √¿¿) + τ 2 (Ec.3-4)
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Así mismo, el esfuerzo cortante máximo encontrado por la ecuación anterior es:
τ max=σ1−σ2
2 ¿ √¿¿) + τ 2. (Ec.3-5)
Si se conocen los valores admisibles σ w y τ w de los esfuerzos normal y cortante sustitúyanse
en la dos ecuaciones anteriores en lugar de σ 1 y σ 2 y τ max, y luego despéjese “d” el diámetro
requerido de la barra circular. Desde luego se obtendrán los esfuerzos máximos cuando el
elemento A seleccione al extremo de la barra donde el momento Flexionante M tiene el
valor el máximo la descripción anterior supuso que se selecciona un elemento en la parte
superior de la barra. Un procedimiento similar puede seguirse para analizar los esfuerzos en
la parte inferior de la misma. Los esfuerzos máximos se producirán por lo general donde los
esfuerzo de flexión son mayores, es decir en la parte superior o en l parte inferior de la viga
en la sección recta del máximo momento Flexionarte sin embargo a veces es necesario
considerar otras posibilidades. Por ejemplo a la fuerza cortante V= Q produce un esfuerzo
máximo de cortadura en el eje neutro. Por consiguiente se debe considerar también un
elemento seleccionado sobre el lado de la barra, en su eje neutro (Elemento B). Tal
elemento se hallará en estado de cortadura pura (figura), constando el esfuerzo cortante de
dos partes:
1) El esfuerzo de cortadura debido al momento T, obtenido de la formula y τ=T ρJ
2) El esfuerzo cortante debido a V que se obtiene de la formula y τ=V QI b
. Los
esfuerzos principales en tal elemento ocurren en planos a 450 con el eje. Estos
esfuerzos pueden compararse con los obtenidos para elementos en la parte superior
y en la inferior de la viga, a fin de determinar el esfuerzo normal máximo a utilizar
en el cálculo. Los esfuerzos cortantes máximos en la viga pueden hallarse también
comparándose los valores obtenidos para los elementos A y B. Si la viga esta
empotrada de madera más complicada o si la forma de la sección recta no es
circular a un se puede analizar los esfuerzos en diversos puntos de la barra y
compararlos. Al hacerlo es natural seleccionar puntos de la barra donde sea máximo
el esfuerzo normal o el cortante. Comparando los esfuerzos obtenidos en todos los
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
puntos donde es probable que haya un esfuerzo máximo se podría estar
razonablemente seguro de obtener los esfuerzos máximos absoluto.
EJEMPLOS TEORICOS
RECIPIENTES DE PARED DELGADA
EJEMPLO 1.1
Cuando se llena a toda su capacidad el tanque no pasteurizado que se representa en la figura, contiene agua hasta un nivel de 15.5m arriba de su base. Sabiendo que la porción inferior del tanque tiene un espesor de pared de 16mm encuentre:
a) El esfuerzo normal máximo
b) El esfuerzo cortante máximo del tanque (La densidad del agua es de 1000 kg/m3)
DATOS
t=16 mm≅ 0.016 metros
r=d2=4 met ros
r∫ ¿=d
2−t=3.984 metros¿
ρ=1000 kg/m3
Para determinar el Peso específico:
γ= ρg
γ=(1000kg
m3)(9.807 m /s2)
γ=9,807 N /m3
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Encontrando la presión del agua en el nivel de 15.5 m arriba de su base P=Ɣ w Z
P=( 9,807 N /m3 ) (15.5 m)=152,008.5 N /m2
P=152,008.5 Pa
Haciendo un corte en la región media del
recipiente cilíndrico
∑ Fz=0
−p A1+σn A2=0
−p (2 r ∆ y )+σ1 (2t ∆ y )=0 (Ec 1)
σ 1 (2 t ∆ y )=p (2 r ∆ y )
σ 1=p (2 r ∆ y )(2 t ∆ y )
σ 1=σn=Prt
Sustituyendo datos :
σ n=(152,008.5
N
m2 ) (3.984 m)
0.016 m
σ n=37,850,116.5 N /m2
σ n=37.85 MPa
Esfuerzo longitudinal en el elemento A.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
∑ Fy=0
σ 2dA−pdA=0
σ 2 (2 πrt )−p ( π r2 )=0
σ 2 (2 πrt )=p ( π r2 )
σ 2=p ( π r2 )(2πrt )
σ 2=Pr2t
Sustituyendo datos:
τ max=σ2=Pr2 t
τ max=(152,008.5
N
m2 ) (3.984 m )
2(0.016 m)τ max=18,925,058.25 N /m2
τ max=18.92 Mpa
Debe observarse que el tercer esfuerzo principal τ es cero en la superficie exterior del cilindro pero en la superficie interna es igual al esfuerzo longitudinal.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
ESFUERZOS EN UN PUNTO
Ejemplo 1.2
El eje de un automóvil esta sometido a las fuerzas y al par que se muestra en la figura. Si se sabe que el diámetro del eje solido es de 1.25in, Determine a) los planos principales en el punto H localizado en la parte superior del eje b) el esfuerzo cortante máximo ejercido en el mismo punto.
Encontrando Inercia
I=π4
r4=π ¿¿¿
Encontrando el momento
∑ M =0
M−600 Lb¿
M=3600 Lbin
Encontrando esfuerzo
σ=−MyI
=−3600 Lbin¿¿
Con torsion encontramos el esfuerzo cortante τ
τ=TrJ
= Trπ2
r4= 2T
π r3
τ=2 (2500 Lbin )
π ¿¿¿
σ x=−18781.30 PSI σ y=0 τ xy=6519 PSI
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
a) Esfuerzos Principales:
σ 1,2=σ x+σ y
2±√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2
σ 1,2=−18781.30 PSI +0
2±√(−18781.30 PSI−0
2 )2
+(6519 PSI )2
σ 1=−9390.65 PSI+11431.61 PSI=2040.95 PSI
σ 2=−9390.65 PSI−11431.61 PSI=20822.26 PSI
tan2 θ=2 τ xy
σx+σ y
tan2 θ=2 (6519 PSI )
−18781.30 PSI+0=−0.6942
2 θ=−34.77° θ=−17.38° y θ=72.62°
b) Esfuerzo Cortante Maximo
τ max=σ1−σ2
2
τ max=2040.95 PSI− (−20822.26 PSI )
2
τ max=11431.61 PSI
ESFUERZOS COMBINADOS
Ejemplo 1.3
Una fuerza horizontal de 500 lb actúa en el punto D de un cigüeñal AB, que se mantiene en equilibrio gracias a un par giratorio T y a las reacciones A y B. Sabiendo que los cojinetes se alinean automáticamente y no ejercen pares sobre el eje, determine los esfuerzos normal y cortante en los puntos H, J, K, L, que se ubican en los extremos de los diámetros vertical y
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
horizontal de una sección transversal localizada a 2.5 in a la izquierda del cojinete B.
SOLUCION:
+¿↶∑ M A=0=−500lb ¿¿
B=500 lb ¿¿
∑ F z=0=A+B−500 lb⇒ A=250 lb
+¿↶∑ M x=0¿: −(5000 lb )¿
T=9000 lb .∈¿
Se reemplaza la seccion B y el par giratorio T por un sistema de par de fuerzas equivalentes en el centro C de la seccion transversal que contiene a H, J, K y L.
V=B=250 lb T=9000 lb .∈¿
La fuerza V produce un momento en el eje y:
M y=(250 lb ) ¿
Las propiedades geométricas de la seccion de 0.9 in de diametro son:
A=π ¿¿
I=14
π¿¿
J=12
π ¿¿
Usando la ecuacion τ=TcJ
se determinan los esfuerzos
cortantes en los puntos H, J, K, L, se ilustran en la figura a.
τ=TcJ
=¿¿
DCL Cigüeñal completo
Fuerzas internas en la sección trnasversal
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Esfuerzos producidos por un par giratorio T.
La fuerza cortante V no produce esfuerzos cortantes J y L. Primero se calcula Q para los puntos H y L para un semicirculo respecto de un diametro vertical y despues se calcula el esfuerzo cortante producido por la fuerza cortante V = 250 lb. Estos esfuerzos se muestran en la figura b.
Q=( 12
π c2)( 4c3 π )=2
3c3=2
3¿¿
τ=VQ¿ =
(250 lb )(60.7 X 10−3 ¿3)(32.2X 10−3¿4)¿¿
Como el par flector M y actua en un plano horizontal, no
produce esfuerzos en H y K. Con el uso de la ecuación
σ=|M y|c
I se determinan los esfuerzos normales en los puntos
J y L, se ilustran en la figura c.
σ=|M y|c
I=¿¿
Se suman los esfuerzos que se muestran y se obtienen los esfuerzos total normal y cortante en los puntos H, J, K, L.
En el punto H: τ=6290 psi−524 psi=5766 psi
En el punto J: τ=6290 ps
σ=8730 psi
En el punto K: τ=6290 psi+524 psi=6814 psi
En el punto L: τ=6290 psi
σ=8730 psi
Esfuerzos producidos por la fuerza cortante V.
Esfuerzos producidos por el par flector My.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
PROBLEMAS DE APLICACION
RECIPIENTES DE PARED DELGADA
Problema 1.1
Un tanque de gas propano de la empresa Z Gas con capacidad de 1000 litros, descansa
sobre dos soportes fijos. El tanque esta hecho de ACERO SA GRADO C con longitud L
de 2.253m y consiste de un cuerpo cilíndrico con espesor de placa de 6.35 mm y diámetro
interior de 79 cm. El cilindro esta soldado en los extremos a dos cabezas esféricas con un
espesor de 4.76 mm para cada una. El gas dentro del tanque se encuentra a una presión de
20 PSI. Determine:
a) Los esfuerzos longitudinal y transversal en las cabezas esféricas
b) Los esfuerzos longitudinal y transversal en el cuerpo cilíndrico del tanque
(Considerando que los soportes fijos no ejercen ninguna reacción sobre el tanque)
Solución
Datos
L=2.253 m
t cilindro=6.35 mm≅ 0.25 pulg
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
d∫ .cilindro=79 cm≅ 31.10 pulg
t esfera=4.76mm≅ 0.1874 pulg
Pmanometrica=20 PSI ≅ 20lb
¿2
rext . cilindro=d∫ . cilindro
2+ tcilindro=¿
rext . cilindro=31.10∈¿2+0.25∈¿15.80∈¿¿
r∫ .esfera=rext . cilindro−t esfera=¿
r∫ .esfera=15.80∈−0.1874∈¿15.61∈¿
a)
Analizando las cabezas esféricas
∑ Fx=0
σ 2dA−pdA=0
σ 2 (2 πrt )−p ( π r2 )=0
σ 2 (2 πrt )=p ( π r2 )
σ 2=p ( π r2 )(2πrt )
σ 2=Pr2t
Donde :
¿σ 2=P r∫ .esfera
2t esfera
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
- Sustituyendo datos
σ 2=(20lb
¿2)¿¿
σ 2=832.9 PSI
σ 1=832.9 PSI
Debido a la simetría de las cabezas el esfuerzo longitudinal y el esfuerzo tangencial son iguales.
b)
Analizando el cuerpo cilíndrico- Para el eje x
∑ Fx=0
σ 2dA−pdA=0
σ 2 (2 πrt )−p ( π r2 )=0
σ 2 (2 πrt )=p ( π r2 )
σ 2=p ( π r2 )(2πrt )
σ 2=Pr2t
σ 2=P r∫ .cilindro
2t cilindro
- Sustituyendo datos
σ 2=(20lb
¿2)¿¿
σ 2=622 PSI
- Para el eje Z
∑ Fz=0
−p A1+σn A2=0
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
−p (2 r ∆ y )+σ1 (2t ∆ y )=0
σ 1 (2 t ∆ y )=p (2 r ∆ y )
σ 1=p (2 r ∆ y )(2 t ∆ y )
σ 1=Prt
Sustituyendo datos :
σ 1=(20lb
¿2 )¿¿
σ 1=1244lb
¿2
σ 1=1244 PSI
Se puede observar que el esfuerzo transversal es dos veces el
esfuerzo longitudinal σ 1=2σ2
ESFUERZOS EN UN PUNTO
Problema 1.2
Determine los esfuerzos principales y el
esfuerzo cortante máximo en el punto M de
una tuerca de la llanta de un automóvil si se
necesita ajustar para que funcione
correctamente por medio de una llave cruz. El
diámetro de la tuerca es de 16mm.
Sustituyendo la fuerza en A y C en un momento par en D
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
∑ M =0
T D−4 N (0.175 m )−12 N (0.175 m )=0
T D=2.8 Nm
Encontrando el momento.
∑ F D=0
4 N−12 N+FD=0
FD=8 N
M=8 N (0.05m )=0.4 Nm
Encontrando esfuerzos en el plano
Inercia
I=π4
r4=π (8 ×10−3 m)4
4=3.2170 ×10−9m4
σ=−MyI
=−0.4 Nm (8×10−3m )
3.2170× 10−9 m4 =−994,718.4 Pa
Encontrando cortante
τ=TrJ
= Trπ2
r4= 2T
π r3
τ=2 (2.8 Nm )
π (8 ×10−3 m)3=3,481,514.4 Pa
Obtuvimos:
σ x=−994,718.4 Pa σ y=0 τ xy=3,481,514.4 Pa
a) Esfuerzos Principales
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
σ 1,2=σ x+σ y
2±√( σ x−σ y
2 )2
+τ xy2
σ 1,2=−497,359.2 Pa ±√1.23683 ×1013 Pa2
σ 1,2=−497,359.2 Pa ±3,516,860.63 Pa
σ 1=−497,359.2 Pa+3,516,860.63 Pa=3,019,501.43 Pa
σ 2=−497,359.2 Pa−3,516,860.63 Pa=−4,014,219.83 Pa
σ 1=3.02 MPa
σ 2=−4.01 MPa
tan2 θ=2 τ xy
σx+σ y
tan2 θ=2 (3,481,514.4 Pa )−994,718.4 Pa+0
=−7.0
2θ=tan−1 (−7.0 )
2 θ=−81.87° θ=−40.93° y θ=49.06°
b) Esfuerzo Cortante Maximo
τ max=σ1−σ2
2
τ max=3.02 MPa−(−4.01 MPa )
2
τ max=3.52 MPa
ESFUERZOS COMBINADOS.
Problema 1.3
Una lámpara de alumbrado eléctrico público de 16.5 kg, diámetro 11 in y altura 7 in en la parte inferior y 6.5 in de diámetro y altura 7 in en la parte superior, esta soportada
por un poste de concreto con una altura L de 240 in y con diámetro de
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
10.186 in. La lámpara tiene una excentricidad de 25.593 in desde la línea central del poste, y se encuentra conectada al poste a 225 in. arriba del suelo.
Encontrar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en el punto P y Q. (el peso específico del concreto reforzado es de 2.4 Ton /m3)
Datos
L1=225∈¿
L2=31.093∈¿
d=10.186∈¿
Área de la sección transversal del poste
A=π4
(dext )2 =
π4
¿¿
γ=2.4 Ton/m3≅ 0.07865907lb
¿3
- Encontrando el Peso del poste W 1
γ=W 1
V W =Vγ (Ec.1)
Donde: V=π . r2 h
V=π .¿¿
De ecuacion 1
W 1= (19,556.513¿3 )(0.07865907lb
¿3 )W 1=1,538.309lb
W 2=16.5kg≅ 36.37 lb
1- Analizando W1 para los
puntos P y Q
Siendo W1 = 1,538.309 lb
σW 1=
W 1
ASeccion transversaldel poste
=1,538.309 lb
81.4887 ¿2 =18.8776 psi
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
2- Analizando W2 para los
puntos P y Q
El peso de la lámpara produce una fuerza de compresión
F1= peso de la lámpara =36.37 lb
y un momento:
M 1=( F1 ) ( L2 )=(36.37 lb )¿in) = 1130.8524 lb.in
I = π
64(d ext4 )= π
64¿¿
σ f=FA
=¿
36.37 lb
81.4887¿2=0.44632 psi
σ M=
Md2
I=¿¿
3- Analizando los puntos P y Q para la presión del viento
La presión del viento contra la lámpara produce una fuerza resultando Fv
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Fv=PA=(0.19 psi)¿
Fv=23.275 lb
La Fv es la fuerza cortante a lo largo del poste
V = Fv = 23.275 lb
Esta fuerza ocasiona un momento flexionante M2
M 2=( Fv ) (d )=(23.275 lb ) ¿
Un par de tensión T
T=Fv . d= (23.275 lb ) ¿
σ M=M
d2
I=¿¿
τT=T
d2
I p
=¿¿
I P=π
32¿
τV =4 V
3 A=
4(23.275 lb)
3 ( 81.4887¿2 )=0.3808 psi
Sumando los efectos de cada fuerza tenemos:
- En el punto P:
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
σ 1,2= σ x+¿σ y
2¿ ± √(
σ x−σ y
2)
2
+τ xz2
σ 1= 31.1494 psi
2 +
√( 31.1494 psi2
)2
+(3.4875 psi)2→ σ1=31.535 psi
σ 2= 31.1494 psi
2 - √( 31.1494 psi
2)
2
+(3.4875 psi )2 → σ2=¿ -0.3857 psiτ max = √(
σ x−σ y
2)
2
+τ xz2
τ max=¿
√( 31.1494 psi2 )
2
+(3.4875 psi )2
→ τ max=¿ 15.9604 psi
- En el punto Q:
σ 1,2= σ x+¿σ y
2¿ ±
√(σ x−σ y
2)
2
+τ xz2
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
σ 1=- 30.2231 psi
2 +
√( 30.22312
)2
+(3.8683 psi)2→ σ1=0.4872 psi
σ 2=- 30.2231 psi
2 - √( 30.2231 psi
2)2
+(3.8683 psi )2 → σ2=¿ -30.7104 psi
τ max = √(σ x−σ y
2)
2
+τ xz2
τ max=¿ √(−30.2231 psi2 )
2
+ (3.8683 psi )2 → τ max=¿ 15.6 psi
CONCLUSIONES
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Mediante la aplicación de la teoría y conocimientos prácticos en
el análisis de estructuras, es más comprensible el
comportamiento de las mismas bajo cargas soportadas.
Con los cálculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales
y esfuerzos cortantes en un punto de una estructura, esto
proporciona los elementos necesarios para el diseño de las
mismas, y permite colocar los apoyos en puntos clave, donde el
esfuerzo es máximo para que la estructura se mantenga estable.
Los recipientes cilíndricos o esféricos sirven como calderas o
tanques que son de uso común en la industria. Estos soportan
cargas en todas sus direcciones cuando se someten a presión,
pero pueden ser analizados de manera simple siempre y cuando
tengan una pared delgada. Con esta suposición se analizo el
esfuerzo en un recipiente de presión cilíndrico que contenía
oxigeno, a fin de encontrar los esfuerzos longitudinal y
circunferenciales que actúan sobre este, a través de las
ecuaciones determinadas para su resolución.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
RECOMENDACIONES
Es importante recordar que a la hora del análisis de una
determinada estructura el conocimiento teórico del fenómeno es
indispensable, por lo cual se debe hacer una investigación previa
del comportamiento promedio del problema a analizar.
Para recipientes cilíndricos y esféricos, se debe tomar en cuenta
la presión a la que van a ser sometidos, puesto que de esto
dependerá la elección del material y el espesor del mismo, para
que resista los esfuerzos longitudinales y circunferenciales.
Para diseñar una estructura, primero se debe realizar un cálculo
profundo, para saber de manera exacta los puntos donde deben
ser colocados los apoyos o soportes, para que la estructura no
esté sometida a esfuerzos de falla; de lo contrario sufriría una
deflexión que podría deformarla permanentemente (deflexión
permanente).
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
BIBLIOGRAFIA
Beer y Johnston, Mecánica de
materiales, 5ta edición 2010. Editorial
McGraw-Hill.
Hibbeler, R. C., Mecánica de
Materiales, 6ta edición, México, 2006.
Editorial PEARSON EDUCACION.
James M. Gere, Mecánica de
Materiales, 7ma. Edición, 2009.
Cengage Learning Editores, S.A de C.V.
Nicholas
Willems,
Resistencia
de materiales,
1988.
Editorial
McGraw-Hill.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
REFERENCI AS
Los ejemplos teóricos fueron plasmados de los libros antes mencionados específicamente de:
Ejemplo 1.1
Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 3er edición. Editorial McGraw-Hill.
Capítulo 7
Sección 7.9 Esfuerzos en recipientes de pared delgada Bajo presión
Ejemplo 1.2
Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 4ta edición. Editorial McGraw-Hill.
Capítulo 7
TRANSFORMACIONES DE ESFUERZO Y DEFORMACIONES
Ejemplo 1.3
Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 4ta edición. Editorial McGraw-Hill.
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Mecánica De Sólidos III Esfuerzos combinados
Capítulo 8
ESFURZOS PRINCIPALES BAJO UNA CARGA DADA
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