ESPACIO AFÍN CPR. JORGE JUAN Ecuaciones de …...espacio afín Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 662 Leopoldo E. Álvarez x= a 1+t.u 1 y= a 2+t.u 2 z= a 3+t.u

espacio afín Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 661 Leopoldo E. Álvarez

ESPACIO AFÍN

Ecuaciones de recta y plano

CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón

Se denomina sistema de referencia del espacio afín, E, al conjunto, (O,u1,u2,u3), constituido por un punto, O, del espacio afín y tres vectores libres, u1,u2,u3, que forman una base de dicho espacio vectorial. Las rectas, OX, OY, y, OZ, que pasan por el punto, O, y que son paralelas respectivamente a cada uno de los vectores, u1,u2,u3, se llaman ejes coordenados del sistema de referencia, (O,u1,u2,u3). El punto, O, recibe el nombre de origen de coordenadas. Un punto, P, del espacio vectorial viene así definido por tres números ó coordenadas, (x,y,z), que indican su localización, y que se escribe, P(x,y,z). Todo punto, P(x,y,z), del espacio vectorial se puede unir con el origen, O, del sistema de referencia a través de un vector, v, llamado vector de posición del punto, P. Se verifica v= x.u1+y.u2+z.u3 Se deduce que dados dos puntos, A(a1,a2,a3), y, B(b1,b2,b3), del espacio vectorial, el vector que los une viene dada por la expresión AB= B-A= b1.u1+b2.u2+b3.u3 - a1.u1+a2.u2+a3.u3= (b1-a1).u1+(b2-a2).u2+(b3-a3).u3 A partir de estos conceptos se obtienen las ecuaciones de: Recta en el espacio afín, E

Una recta en el espacio afín, E, viene determinada cuando se conocen uno de los siguientes:

Un punto, A(a1,a2,a3), por donde pasa la recta y su vector director, u=(u1,u2,u3)

En estas condiciones un punto cualquiera, X(x,y,z), de la recta, r, se puede unir con el punto, A, de dicha recta a través del vector, AX, el cual será proporcional al vector director, u, de la misma. AX= t.u tℝ En general si se tiene en cuenta el origen, O, del sistema de referencia, (O,u1,u2,u3), el punto, X, tiene como vector de posición al vector, OX= x, y el punto, A, tiene como vector de posición al vector, OA= a, de forma que x= a+AX= a+t.u tℝ Ecuación que se conoce como la ecuación vectorial de la recta, la cual se puede escribir teniendo en cuenta la expresión de cada uno de sus términos como (x,y,z)= (a1,a2,a3)+t.(u1,u2,u3) tℝ Si se separan las componentes de la ecuación vectorial de la recta se obtienen las ecuaciones paramétricas de la misma


x= a1+t.u1 y= a2+t.u2

z= a3+t.u3 tℝ dándole valores al parámetro, t, se obtienen los distintos puntos que conforman la recta. Si en cada una de las ecuaciones paramétricas de la recta se despeja el parámetro, t, y se igualan los resultados se obtiene la ecuación en forma continua de la recta.

t= 1 2 3

1 2 3

x a y a z au u u

Dos puntos, A(a1,a2,a3), y, B(b1,b2,b3), por donde pasa la recta

Dados dos puntos distintos , existe una única recta que pasa por ellos. La recta que pasa por los puntos, A, y, B, pasa por uno de ellos y tiene por vector director, u, el vector que se obtiene al restar los puntos dados en cualquier orden.

u= AB= B-A= AB= B-A= (b1,b2,b3) – (a1,a2,a3)= (b1-a1,b2-a2,b3-a3) Si X(x,y,z) punto cualquiera de la recta a vector de posición del punto, A b vector de posición del punto, B x vector de posición del punto, X se verifica x= a+t.(b-a)= a+t.AB= a+t.u tℝ que es la ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos. Esta ecuación se puede escribir teniendo en cuenta la expresión de cada uno de sus términos como

(x,y,z)= (a1,a2,a3)+t.(b1-a1,b2-a2,b3-a3) tℝ Si se separan las componentes de la ecuación vectorial de la recta se obtienen las ecuaciones paramétricas de la misma x= a1+t.(b1-a1) y= a2+t.(b2-a2)

z= a3+t.(b3-a3) tℝ dándole valores al parámetro, t, se obtienen los distintos puntos que conforman la recta. Si en cada una de las ecuaciones paramétricas de la recta se despeja el parámetro, t, y se igualan los resultados se obtiene la ecuación en forma continua de la recta.

t= 1 2 3

1 1 2 2 3 3

x a y a z ab a b a b a


Un punto, A(a1,a2,a3), por donde pasa la recta, r, y dos vectores, n=(u1,u2,u3), n’=(u1’,u2’,u3’), perpendiculares a dicha recta El vector director, u, de la recta se obtiene haciendo el producto vectorial de los vectores perpendiculares a la recta. u= nn’ Con el vector director de la recta, u, y el punto, A, por donde ésta pasa se tienen las condiciones del primer punto que permite determinar las ecuaciones de la misma. Dos planos no paralelos que se cortan dando lugar a la recta Dos planos no paralelos se cortan en una recta. Se deduce entonces que se puede determinar la ecuación de una recta mediante la intersección de dos planos secantes. La ecuación de la recta viene dada por el sistema que constituyen las ecuaciones de dichos planos dando lugar a la llamada ecuación explícita de la recta. Ax+By+Cz+D= 0 A’x+B’y+C’z+D’= 0 El vector director de la recta, u=(u1,u2,u3), viene dado por el producto vectorial de los vectores normales, n=(A,B,C), y, n’=(A’,B’,C’), respectivamente a cada uno de los planos secantes.

'' ' '

i j ku n n A B C

A B C

Para obtener un punto de la recta se obtiene una de las infinitas soluciones que tiene el sistema de ecuaciones que forman las ecuaciones de ambos planos, pues ambas constituyen un sistema de ecuaciones compatible indeterminado, dado que tienen tres incógnitas y tan solo dos ecuaciones. Ec. Vectorial Ec. Paramétrica Ec. Continua

Eje OX

x= t.i

x= t y= 0 z= 0

1 0 0x y z

Eje OY

x= t.j

x= 0 y= t z= 0

0 1 0x y z

Eje OZ

x= t.k

x= 0 y= 0 z= t

0 0 1x y z

Tres o más puntos, A1, A2, A3,…,An, del espacio afín, E, están alineados cuando pertenecen a la misma recta. Se deduce entonces que son proporcionales los vectores A1A2, A1A3, A1A4,…, A1An De todos estos vectores tan sólo uno de ellos puede ser linealmente independiente, pues la recta es un espacio vectorial de dimensión, 1. Se deduce entonces que el rango de estos vectores ha de ser, 1 Rango (A1A2,A1A3,A1A4,…,A1An)= 1


Se dice que un punto, A, es incidente con una recta, r, cuando el punto pertenece a dicha recta. Para comprobarlo basta con sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta y ver que éstas se verifican.

Plano es el espacio afín, E

Un plano en el espacio afín, E, viene determinado cuando se conocen uno de los siguientes:

Un punto, A(a1,a2,a3), del plano y dos vectores directores, v=(v1,v2,v3), y, w=(w1,w2,w3), paralelos al plano y linealmente independientes ó no proporcionales

En estas condiciones un punto cualquiera, X(x,y,z), del plano se puede unir con el punto, A, de dicho plano a través del vector, AX, el cual se puede escribir como combinación lineal de los vectores, v, y, w, de forma que

AX= t.v+s.w t,sℝ

En general si se tiene en cuenta el origen, O, del sistema de referencia, (O,u1,u2,u3), el punto, X, tiene como vector de posición al vector, OX= x, y el punto, A, tiene como vector de posición al vector, OA= a, de forma que

x= a+AX= a+t.v+s.w t,sℝ

ecuación que se conoce como la ecuación vectorial del plano. Dando valores a los parámetros, t, y, s, se obtiene un conjunto de vectores, x, que tienen su origen en el punto, O, del sistema de referencia y sus extremos en los distintos puntos, X, que conforman el plano, . Si el punto, A, coincide con el punto, O, origen del sistema de referencia del espacio afín, E, entonces los planos coordenados que contienen a dos de los tres ejes coordenados, OX, OY, y, OZ, vienen dados por las expresiones

La ecuación vectorial del plano se puede escribir teniendo en cuenta la expresión de cada uno de sus términos como

(x,y,z)= (a1,a2,a3)+t.(v1,v2,v3)+s.(w1,w2,w3) t,sℝ


Si se separan las componentes de la ecuación vectorial del plano se obtienen las ecuaciones paramétricas del mismo

x= a1+t.v1+s.w1 y= a2+t.v2+s.w2

z= a3+t.v3+s.w3 t,sℝ

dándoles valores a los parámetros, t, y, s, se obtienen los distintos puntos que conforman el plano.

Si de las dos primeras expresiones se despejan los parámetros, t, y, s, y se sustituyen en la tercera se obtiene el desarrollo de la ecuación general ó implícita del plano.

Ax+By+Cz+D= 0

Como el grupo de los tres vectores, AX, v, y, w, son linealmente dependientes se verifica que el determinante que forman sus coordenadas es nulo

det(AX,v,w)= 0 desarrollando este determinante se obtiene una expresión del tipo Ax+By+Cz+D= 0

los números, A, B, y, C, son las componentes de un vector normal al plano, n=(A,B,C).

Se deduce que si, D 0, el plano no pasa por el origen, O, del sistema de referencia, pues este punto tiene de coordenadas, O(0,0,0), y éstas no satisfacen la ecuación de dicho plano

A.0+B.0+C.0+D= 0 0 +D= 0 D= 0 en contra de la hipótesis

Si se desarrolla la ecuación general del plano pasando al segundo miembro el término independiente de la misma

Ax+By+Cz= -D y se dividen ambos miembros por el valor, -D, se escribe

1Ax By Cz Ax By Cz DD D D D D

llamando

1 Aa D 1 B

b D 1 C

c D

la ecuación anterior recibe el nombre de ecuación segmentaria del plano y se escribe

1x y za b c

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0x a y a z a

v v vw w w


Los puntos, A(a,0,0), B(0,b,0), y, C(0,0,c), son los puntos de corte del plano con los ejes coordenados, OX, OY, y, OZ, respectivamente, se denominan, abscisa, ordenada, y, cota, en el origen.

Un punto, A(a1,a2,a3), del plano y un vector, n=(A,B,C), que sea normal al plano

Si, A(a1,a2,a3), es un punto del plano cualquier otro punto, X(x,y,z), del plano determina con el punto, A, un vector, AX, contenido en dicho plano.

Como el vector, AX, y el vector normal al plano, n, son perpendiculares, el producto escalar de ambos vectores es nulo

AX.n= 0

desarrollando esta expresión en función de las componentes de ambos vectores (x-a1,y-a2,z-a3).(A,B,C)= 0 A.(x-a1)+B.(y-a2)+C.(z-a3)= 0 Ax+By+Cz-Aa1-Ba2-Ca3= 0 expresión que se escribe Ax+By+Cz+D= 0 siendo D= -Aa1-Ba2-Ca3

y que recibe el nombre de ecuación normal del plano.

Tres puntos, A(a1,a2,a3), B(b1,b2,b3), y, C(c1,c2,c3), no alineados del espacio afín, E, ó ecuación segmentaria

Dado que los tres puntos, A, B, y, C, son del plano, se deduce que los vectores, AB, y, AC, también pertenecen al plano. Se tienen las condiciones del primer punto necesarias para determinar la ecuación vectorial del plano, pues se tiene un punto contenido en el plano (realmente se tienen tres puntos), y dos vectores directores paralelos al plano. Tres puntos no alineados determinan un único plano que pasa por ellos. Si, X(x,y,z,), es un punto cualquiera del plano que determinan los puntos, A, B, y, C, entonces los vectores, AX, AB, y, AC, están contenidos en dicho plano, por lo que son linealmente dependientes, dado que en un plano como máximo sólo puede haber dos vectores linealmente independientes. Esta condición de dependencia se puede expresar matemáticamente como Rango (AX,AB,AC)= 2 det(AX,AB,AC)= 0 desarrollando esta expresión en función de las componentes de estos vectores


1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

0x a y a z ab a b a b ac a c a c a

se obtiene la ecuación del plano que pasa por tres puntos en forma de determinante. Este resultado también se obtiene a partir de:

La ecuación general del plano es, Ax+By+Cz+D= 0 Por pasar por el punto, A Aa1+Ba2+Ca3+D= 0 Por pasar por el punto, B Ab1+Bb2+Cb3+D= 0 Por pasar por el punto, C Ac1+Bc2+Cc3+D= 0

Se constituye un sistema de ecuaciones homogéneo en el que las incógnitas son, A, B, C, y, D. Como, A, B, C, y, D, no pueden ser nulos todos a la vez, el rango de la matriz de coeficientes ha de ser menor que, 4, por lo que el determinante de esta matriz ha de ser nulo.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

11

011

x y za a ab b bc c c

Una recta, r, del espacio afín, E, y un punto exterior a dicha recta, B(b1,b2,b3) Existe un único plano, , que pasa por el punto, A, y que contiene a la recta, r. Sea r recta del espacio afín, E A(a1,a2,a3) punto perteneciente a la recta, r u(u1,u2,u3) vector director de la recta, r B(b1,b2,b3) punto exterior a la recta, r X(x,y,z) punto genérico del plano Se verifica que los vectores, AX, AB, y, u, son coplanarios por lo que al ser tres son linealmente dependientes. Esta condición se escribe matemáticamente diciendo Rango (AX,AB,u)= 2 det(AX,AB,u)= 0 desarrollando esta expresión en función de las componentes de estos vectores

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

0x a y a z ab a b a b a

u u u

Cuatro o más puntos, A1, A2, A3,…,An, del espacio afín, E, son coplanarios cuando pertenecen al mismo plano. Se deduce entonces que pertenecen al plano los vectores

A1A2, A1A3, A1A4,…, A1An


De todos estos vectores tan sólo dos de ellos pueden ser linealmente independientes, pues el plano es un espacio vectorial de dimensión, 2. Se deduce entonces que el rango de estos vectores ha de ser, 2

Rango (A1A2,A1A3,A1A4,…,A1An)= 2

Se dice que un punto, A, es incidente con un plano, , cuando el punto pertenece a dicho plano. Para comprobarlo basta con sustituir las coordenadas del punto en la ecuación del plano y ver que ésta se verifica.

Conocidas las ecuaciones que definen a una recta y a un plano en el espacio afín, E, se plantea el conocer las distintas posiciones en que se pueden encontrar: Posición relativa de dos rectas en el espacio afín, E

Por geometría elemental las posiciones de dos rectas en el espacio afín, E, puede ser Cruzadas Secantes Paralelas Coincidentes Para distinguir cada uno de los casos se buscan las condiciones que se han de cumplir en cada uno de ellos, para ello sean: r recta. Pasa por el punto, A(a1,a2,a3), y tiene por vector director, u=(u1,u2,u3) s recta. Pasa por el punto, B(b1,b2,b3), y tiene por vector director, v=(v1,v2,v3) AX= t.u ecuación vectorial de la recta, r AX= t.v ecuación vectorial de la recta, s AB=[(b1-a1),(b2-a2),(b3-a3)],

Vector que tiene su origen sobre la recta, r, y su extremo sobre la recta, s

Dependiendo del rango que tengan los vectores, u, v, y, AB, la posición relativa de estas rectas en el espacio afín, E, puede ser:

Cruzadas

Las rectas, r, y, s, no tienen punto en común alguno y están en distintos planos. Se verifica

Rango (u,v)= 2 Rango (u,v,AB)= 3 Secantes

Las rectas, r, y, s, tienen un punto en común. Se verifica Rango (u,v)= 2 Rango (u,v,AB)= 2

1 2 331 2 1

1 2 31 2 1 3

1 1 2 2 3 3

0u u u

uu u uó y v v vv v v v

b a b a b a


El punto de corte de las dos rectas se obtiene resolviendo el sistema que resulta al igualar las ecuaciones de ambas rectas.

Paralelas

Las rectas, r, y, s, no tienen ningún punto en común aunque están situadas sobre el mismo plano. Se verifica

Rango (u,v)= 1 Rango (u,v,AB)= 2

3 3 31 2 1 1 2 2

1 2 3 1 2 3

u b au u b a b ayv v v u u u

Coincidentes

Las rectas, r, y, s, tienen todos sus puntos comunes. Se verifica Rango (u,v)= 1 Rango (u,v,AB)= 1

3 3 31 2 1 1 2 2

1 2 3 1 2 3

u b au u b a b ayv v v u u u

Si las rectas, r, y, s, vienen definidas en forma explícita r s Ax+By+Cz+D= 0 A”x+B”y+C”z*D”= 0 A’x+B’y+C’z+D’= 0 A”’x+B”’y+C”’z+D”’= 0

se constituye con estas ecuaciones un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas, que dan lugar a una matriz de coeficientes, M, y a una matriz ampliada, M*, dadas por

' ' ' '" " " ""' "' "' "'

A B C DA B C DA B C DA B C D

cuyos rangos pueden ser: Rango (M)= 3 Rango (M*)= 4 Las rectas, r, y, s, se cruzan

Los vectores directores, u, y, v, no son paralelos. Las rectas pueden cruzarse o cortarse. Como

Rango (u,v,AB)= 3

las rectas no están en el mismo plano por lo que se cruzan. Rango (M)= 3 Rango (M*)= 3 Las rectas, r, y, s, se cortan ó son secantes

Los vectores directores, u, y, v, no son paralelos. Las rectas pueden cruzarse o cortarse. Como

1 2 331 2 1

1 2 31 2 1 3

1 1 2 2 3 3

0u u u

uu u uó y v v vv v v v

b a b a b a


Rango (u,v,AB)= 2

las rectas están en el mismo plano y se cortan.

Rango (M)= 2 Rango (M*)= 3 Las rectas, r, y, s, son paralelas

Los vectores directores, u, y, v, son paralelos por lo que las rectas también lo son.Como

Rango (u,v,AB)= 2

las rectas no pueden coincidir por lo que son paralelas.

Rango (M)= 2 Rango (M*)= 2 Las rectas, r, y, s, son coincidentes

Los vectores directores, u, y, v, son paralelos por lo que las rectas también lo son.Como

Rango (u,v,AB)= 1

las rectas no pueden coincidir y son coincidentes.

Posición relativa de una recta, r, y un plano, Por geometría la posición de una recta y un plano en el espacio afín, E, puede ser Secantes Paralelos Recta contenida en el plano

Para distinguir cada uno de los casos se buscan las condiciones que se han de cumplir en cada uno de ellos, para ello sean:

A(a1,a2,a3) Punto por el que pasa la recta, r u=(u1,u2,u3) vector director de la recta, r n=(A,B,C) vector normal al plano, , de ecuación, Ax+By+Cz+D= 0 con estos parámetros la recta y el plano son:

No paralelos o Secantes La recta y el plano tienen un punto en común. El producto escalar de la recta, u, y el vector normal al plano, n, no es nulo por no ser perpendiculares. u.n 0

Paralelos

La recta y el plano no tienen ningún punto en común

El producto escalar del vector director de la recta, u, y del vector normal al plano, n, es nulo por ser perpendiculares estos vectores.


u.n= 0

Para distinguir si la recta, r, es coincidente ó paralela con el plano, , se ha de comprobar si las coordenadas del punto, A, de la recta, r, verifican ó no respectivamente la ecuación del plano, , de forma que:

Si las coordenadas del punto, A, verifican la ecuación del plano, , la recta, r, está contenida en el plano, . Todos los puntos de la recta son comunes con el plano. Si las coordenadas del punto, A, no verifican la ecuación del plano, , la recta, r, no está contenida en el plano, , y por lo tanto es paralela al plano.

Si La ecuación de la recta, r, viene expresada en forma explícita

A’x+B’y+C’z+D’=0 A”x+B”y+C”z+D”= 0 entonces estas ecuaciones junto con la del plano constituyen el sistema de ecuaciones A’x+B’y+C’z+D’=0 A”x+B”y+C”z+D”= 0 Ax+By+Cz+D= 0 Para determinar la posición relativa de la recta, r, y el plano, , se resuelve este sistema de ecuaciones. Se tiene así una matriz de coeficientes, M, y una matriz ampliada, M*, las cuales vienen dadas por la expresión

' ' ' '" " " "

A B C DA B C DA B C D

Según los rangos de estas matrices se obtiene la posición relativa de la recta, r, y del plano, , en el espacio afín, E.

Rango (M)= 3 = Rango (M*)= 3, la recta, r, y el plano, , son secantes El sistema es compatible determinado. Los tres planos se cortan en un único punto y la recta y el plano tienen un punto en común cuyas coordenadas se obtienen resolviendo el sistema. La recta y el plano son secantes.

Rango (M)= 2 Rango (M*)= 3, la recta, r, y el plano, , son paralelos El sistema es incompatible. Los tres planos no tienen punto en común alguno. La recta y el plano son paralelos.

Rango (M)= 2 = Rango (M*)= 2, la recta, r, y el plano, , son coincidentes El sistema es compatible indeterminado. Los tres planos tienen una recta en común. La recta está contenida en el plano.


Posición relativa de dos planos, , y, , en el espacio afín, E. Por geometría la posición de dos planos en el espacio afín, E, pueden ser Secantes Paralelos Coincidentes Para distinguir cada uno de los casos se distingue:

Ecuación de los planos en forma vectorial

A(a1,a2,a3) Punto del plano, B(b1,b2,b3) Punto del plano, n=(A,B,C) vector normal al plano,

n’=(A’,B’,C’) vector normal al plano, con estos parámetros los dos planos son: Secantes Rango (n,n’)= 2

Los vectores normales no son paralelos.

Paralelos Rango (n,n’)= 1, y el punto, A, del plano, , no pertenece al plano,

Los vectores normales de ambos planos son paralelos. Los planos son distintos porque el punto, A, del plano, , no satisface la ecuación del plano, . Se verifica AB.n’≠ 0

Coincidentes Rango (n,n’)= 1, y el punto, A, del plano, , pertenece al plano,

Los vectores normales de ambos planos son paralelos. Los planos son uno solo porque el punto, A, del plano, , satisface la ecuación del plano, . Se verifica AB.n’= 0

Ecuación de los planos en forma general

Ax+By+Cz+D= 0 A’x+B’y+C’z+D’=0

Para determinar la posición relativa de los planos, , y, , se resuelve este sistema de ecuaciones. Se tiene así una matriz de coeficientes, M, y una matriz ampliada, M*, las cuales vienen dadas por la expresión


Según los rangos de estas matrices se obtiene la posición relativa de los planos, , y, , en el espacio afín, E. Rango (M)= 2 = Rango (M*)= 2, los planos se cortan en una recta

El sistema es compatible indeterminado, pues los rangos de estas matrices son iguales pero son menores que el número de incógnitas del sistema. Las infinitas soluciones dependen de un parámetro. Los planos se cortan en una recta por lo que son secantes. Se puede determinar la ecuación de la recta secante conociendo el menor de orden, 2, que es no nulo. Así, si este menor fuese

0' '

A BA B

Se pasa al segundo miembro de las ecuaciones de los planos el término que contiene la incógnita, z, y se resuelve el sistema en función de esta letra. La ecuación de la recta resultante de la intersección de los planos está formada por el sistema de ecuaciones que constituyen las ecuaciones de los planos. Se dice que son las ecuaciones implícitas de la recta. El vector director de esta recta viene dado por u= (A,B,C)(A’,B’,C’)

Rango (M)= 1 Rango (M*)= 2, los planos son paralelos

El sistema es incompatible. Los planos no tienen ningún punto en común por lo que son paralelos y distintos. Al ser el rango de la matriz de coeficientes, 1, todos los menores de orden, 2, son nulos

0, 0, 0' ' ' ' ' '

A B A C B CA B A C B C

de los que se deduce la condición de paralelismo de dos planos

AB’-A’B= 0 AB’= A’B ' '

A BA B

' ' '

A B CA B C

AC’-A’C= 0 AC’= A’C ' '

A CA C

' ' ' 'A B C DA B C D


Rango (M)= 1 = Rango (M*)= 1, los planos son coincidentes

El sistema es compatible indeterminado. Las dos ecuaciones del sistema son linealmente dependientes y tienen infinitas soluciones por lo que los planos tienen todos sus puntos en común. Los planos son coincidentes. Al ser el rango de la matriz de coeficientes, 1, todos los menores de orden, 2, son nulos

0, 0, 0' ' ' ' ' '

A B A C B CA B A C B C

de los que se deduce la condición de paralelismo de dos planos

AB’-A’B= 0 AB’= A’B ' '

A BA B

' ' '

A B CA B C

AC’-A’C= 0 AC’= A’C ' '

A CA C

Al ser el rango de la matriz ampliada, 1, también son nulos todos los menores de orden, 2, de esta matriz

0, 0, 0, 0, 0, 0' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

A B A C A D B C B D C DA B A C A D B C B D C D

que junto con los anteriores permite deducir la condición de coincidencia de dos planos

' ' ' '

A B C DA B C D

Se llama haz de planos paralelos al conjunto de todos los planos paralelos a uno dado. La ecuación del haz queda determinada por la de un plano cualquiera del mismo Ax+By+Cz+k= 0 kℝ

Posición relativa de tres planos, , , y, , en el espacio afín, E.

Para determinar la posición relativa de tres planos, , , y, , en el espacio afín, E, se ha de estudiar el sistema de ecuaciones que forman sus ecuaciones, de forma que de éste se obtiene la matriz de coeficientes, M, y la matriz ampliada, M*

Ax+By+Cz+D= 0 A’x+B’y+C’z+D’=0 A”x+B”y+C”z+D”= 0

Según los valores de los rangos de la matriz, M, y de la matriz, M*, se tiene:

' ' ' '" " " "

A B C DA B C DA B C D


Rango (M)= 3 = Rango (M*)= 3, los planos se cortan en un punto

El sistema es compatible determinado. Los planos tienen un punto en común y se cortan formando un triedro. El punto común a los tres planos se obtiene resolviendo el sistema que forman las ecuaciones de los mismos.

Rango (M)= 2 Rango (M*)= 3, dos planos son paralelos y el otro secante a ellos ó los planos se cortan dos a dos

El sistema es incompatible. Los tres planos no tienen ningún punto en común. Existen dos posibilidades:

Los planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática Dos de los planos son paralelos y el otro los corta

Rango (M)= 2 = Rango (M*)= 2 , los planos se cortan en una recta

El sistema es compatible determinado. Dos de las tres ecuaciones del sistema son independientes y la otra es combinación lineal de ellas. Los tres planos tienen infinitos puntos en común. Los dos planos independientes se cortan en una recta, que es la recta de soluciones, y el otro plano pasa por esa recta común. Se deduce que los tres planos son secantes en una recta. Existen dos posibilidades:

Los planos son distintos y se cortan en una recta Dos de los planos son coincidentes y el otro los corta

Rango (M)= 1 Rango (M*)= 2, los planos son paralelos

El sistema es incompatible. Por ser, rango (M)= 1, los tres planos son paralelos pero no coincidentes, ya que, rango (M*)= 2. Existen dos posibilidades:

Los planos son paralelos y distintos dos a dos Dos de los planos son coincidentes y el otro es paralelo a ellos y distinto

Rango (M)= 1 = Rango (M*)= 1 , los planos son coincidentes

El sistema es compatible indeterminado y se reduce a una sola ecuación, por lo que los planos son coincidentes.

Se llama haz de planos secantes al conjunto de planos que pasan por una recta que se denomina arista del haz. La ecuación del haz queda determinada por las ecuaciones de dos de sus planos de forma t.(Ax+By+Cz+D) + s.(A’x+B’y+C’z+D’)= 0 s,tℝ La expresión del haz de planos secante permite hallar la ecuación de un plano que pasa por un punto y por la intersección de otros dos planos. Basta con obtener, s, y, t, sustituyendo en la ecuación del haz de planos las coordenadas del punto.


Ángulo de dos rectas El ángulo de dos rectas que se cortan, r, y, s, es el menor de los ángulos que forman en el plano que las contiene. El ángulo de dos rectas que se cruzan, r, y, s, coincide con el ángulo formado por dos rectas secantes paralelas a las dos rectas dadas.

En cualquiera de los casos el ángulo que forman las dos rectas, r, y, s, coincide con el ángulo que forman sus vectores directores, y matemáticamente se determina realizando el producto escalar de los mismos. Sea u=(u1,u2,u3) vector director de la recta, r v=(v1,v2,v3) vector director de la recta, s se tiene cos (r,s)= cos (u,v) y se verifica u.v= u.v.cos (u,v) u.v= (u1,u2,u3).(v1,v2,v3)= u1.v1+u2.v2+u3.v3 igualando ambos resultados

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

. . . . . .cos( , ). .

u v u v u v u v u v u vu vu v u u u v v v

Se deduce que si las rectas, r, y, s, son perpendiculares el ángulo que forman sus vectores directores, u, y, v, es de, 90, por lo que: cos (u,v)= 0 u.v= 0 1 1 2 2 3 3. . .u v u v u v = 0

Ángulo de dos planos El ángulo de dos planos, , y, , es el menor de los ángulos diedros que determinan.

La medida de este ángulo es coincidente con el ángulo formado por dos rectas perpendiculares respectivamente a cada uno de los planos. Este ángulo es pues coincidente con el ángulo que forman los vectores normales a cada uno de los planos, y matemáticamente se determina realizando el producto escalar de los mismos.


Sea n=(A,B,C) vector normal al plano, n’=(A’,B’,C’) vector normal al plano, se tiene cos (,)= cos (n,n’) y se verifica n.n’= n.n’.cos (n,n’) n.n’= (A,B,C).(A’,B’,C’)= A.A’+B.B’+C.C’ igualando ambos resultados

2 2 2 2 2 2

. ' . ' . ' . ' . ' . 'cos( , '). ' . ' ' '

A A B B C C A A B B C Cn nn n A B C A B C

Se deduce que si los planos, , y, , son perpendiculares el ángulo que forman sus vectores normales, n, y, n’, es de, 90, por lo que: cos (n,n’)= 0 n.n’= 0 . ' . ' . 'A A B B C C = 0 Ángulo de recta y plano El ángulo de una recta, r, y un plano, , es igual al ángulo que forma la recta, r, con la recta, r’, proyección de la recta, r, sobre el plano, . Este ángulo es complementario con el ángulo que forman el vector director, u, de la recta y el vector normal, n, del plano. Ángulo (r,)= 90- Ángulo (u,n) sen (r,)= sen [90- Ángulo (u,n)]= cos (u,n) Sea u=(u1,u2,u3) vector director de la recta, r n=(A,B,C) vector normal al plano, y se verifica u.n= u.n.cos (u,n) u.n= (u1,u2,u3).(A,B,C)= u1.A+u2.B+u3.C igualando ambos resultados

sen (r,)= 1 2 3 1 2 32 2 2 2 2 21 2 3

. . . . . .cos( , ). .

u A u B u C u A u B u Cu nu n u u u A B C


Se deduce que si la recta, r, y el plano, , son perpendiculares el vector director de la recta, u, y el vector normal al plano, n, son paralelos, por lo que las coordenadas de ambos vectores son proporcionales:

31 2 uu uA B C

La recta, r, y el plano, , son paralelos cuando el ángulo que forman en, 0. En esta situación el vector director de la recta, u, y el vector normal al plano, n, son perpendiculares por lo que su producto escalar se anula u.n= 0 (u1,u2,u3).(A,B,C)= u1.A+u2.B+u3.C= 0 Distancia entre dos puntos, A, y, B, del espacio afín, E La distancia entre dos puntos, A, y, B, del espacio afín coincide con el módulo del vector, AB, que coincide con la longitud del segmento, AB. d(A,B)= AB= AB Sea A(x1,y1,z1) punto, A, definido por sus coordenadas B(x2,y2,z2) punto, B, definido por sus coordenadas entonces AB= B-A= (x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)= (x2-x1,y2-y1,z,-z1) de donde

d(A,B)= AB= 2 2 22 1 2 1 2 1x x y y z z

Distancia de un punto, P, a un plano, Si el punto, P, pertenece al plano, , su distancia al mismo es nula. Si el punto, P, es exterior al plano, , su distancia al mismo coincide con la longitud del segmento, PQ, siendo, Q, la proyección ortogonal del punto, P, sobre el plano, , ó lo que es lo mismo, es el punto en el que la recta perpendicular al plano, , que pasa por el punto, P, corta a dicho plano. Sea P(x1,y1,z1) punto, P, definido por sus coordenadas exterior al plano, Q(x2,y2,z2) punto, Q, definido por sus coordenadas perteneciente al plano, , y que es

la proyección ortogonal del punto, P, sobre dicho plano A(x0,y0,z0) punto, A, definido por sus coordenadas perteneciente al plano, n=(A,B,C) vector normal al plano,


entonces PQ= Q-P= (x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)= (x2-x1,y2-y1,z2-z1) de donde

d(P,)= PQ= PQ= 2 2 22 1 2 1 2 1x x y y z z

Se deduce la existencia de un triángulo rectángulo tal que AP= AQ+QP si se multiplican escalarmente los dos miembros de esta expresión por el vector normal, n, al plano, , se escribe AP.n= (AQ+QP).n= AQ.n+QP.n= QP.n AQ.n= 0 por ser el producto escalar de dos vectores perpendiculares se tiene entonces AP.n= QP.n.cos(QP,n)= QP.n.cos(0)= QP.n= d(P,).n de esta expresión se deduce

d(P,) = .AP n

n

Si la ecuación del plano, , viene dada en forma general Ax+By+Cz+D= 0 La expresión de la distancia del punto, P, al plano, , se escribe AP= P-A= (x1,y1,z1)-(x0,y0,z0)= (x1-x0,y1-y0,z1-z0) AP.n= (x1-x0,y1-y0,z1-z0).(A,B,C)= A.(x1-x0)+ B.(y1-y0)+C.(z1-z0)= Ax1-Ax0+By1-By0+Cz1-Cx0= Ax1+By1+Cz1-Ax0-By0-Cx0= Ax1+By1+Cz1+D Como el punto, A(x0,y0,z0), pertenece al plano, , verifica su ecuación de forma que Ax0+By0+Cz0+D= 0 D= -Ax0-By0-Cx0

n= 2 2 2A B C sustituyendo estos resultados en la expresión de la distancia de un punto a un plano se tiene

d(P,) = 1 1 1

2 2 2

. . . .AP n A x B y C z Dn A B C

La distancia entre dos planos paralelos coincide con la distancia de un punto cualquiera de uno de los planos al otro plano. d(,)= d(P,)= d(P,)


Distancia de un punto, P, a una recta, r Si el punto, P, pertenece a la recta, r, su distancia a la misma es nula. Si el punto, P, es exterior a la recta, r, su distancia a la recta coincide con la longitud del segmento, PQ, siendo el punto, Q, la proyección ortogonal del punto, P, sobre la recta, ó lo que es lo mismo, es el punto en el que la recta perpendicular a la recta, r, que pasa por el punto, P, corta a ésta.

Sea P(x1,y1,z1) punto, P, definido por sus coordenadas exterior a la recta, r Q(x2,y2,z2) punto, Q, definido por sus coordenadas perteneciente a la recta, r, y que es

la proyección ortogonal del punto, P, sobre dicha recta A(x0,y0,z0) punto, A, definido por sus coordenadas perteneciente a la recta, r u=(u1,u2,u3) vector director de la recta, r La distancia del punto, P, a la recta, r, es el módulo del vector, QP QP= P-Q= (x1,y1,z1)-(x2,y2,z2) = (x1-x2,y1-y2,z1-z2)

d(P,r)= QP= QP= 2 2 21 2 1 2 1 2x x y y z z

Se deduce la existencia de un triángulo rectángulo tal que AP= AQ+QP si se multiplican vectorialmente los dos miembros de esta expresión por el vector director, u, de la recta, r, se escribe APu= (AQ+QP)u= AQu+QPu= QPu AQu= 0 por ser el producto vectorial de dos vectores paralelos se tiene entonces APn= QP.u.sen(QP,u)= QP.u.sen(90)= QP.u= d(P,r).n de esta expresión se deduce

d(P,r) = AP u

u

Si la ecuación de la recta, r, viene dada en forma continua 0 0 0

1 2 3

x x y y z zru u u

La expresión de la distancia del punto, P, a la recta, r, se escribe

d(P,r) = 1 0 1 0 1 0 1 2 3

2 2 21 2 3

( , , ) ( , , )AP u x x y y z z u u uu u u u


AP= P-A= (x1,y1,z1)-(x0,y0,z0)= (x1-x0,y1-y0,z1-z0) La distancia entre dos rectas paralelas coincide con la distancia de un punto cualquiera de uno de las rectas a la otra recta. d(r,s)= d(Pr,s)= d(Ps,r) Distancia entre dos rectas, r, y, s, que se cruzan La distancia entre dos rectas que se cruzan coincide con la distancia entre el plano paralelo a la recta, s, que contiene a la recta, r, y el plano paralelo a la recta, r, que contiene a la recta, s. Sea A(x1,y1,z1) punto, A, definido por sus coordenadas por el que pasa la recta, r B(x2,y2,z2) punto, B, definido por sus coordenadas por el que pasa la recta, s u=(u1,u2,u3) vector director de la recta, r v=(v1,v2,v3) vector director de la recta, s (,A,u,v) Plano, , que contiene a la recta, r, y es paralelo a la recta, s. Viene definido

por el punto, A, y los vectores directores, u, y, v

(,B,u,v) Plano, , que contiene a la recta, s, y es paralelo a la recta, r. Viene definido por el punto, B, y los vectores directores, u, y, v

n vector normal a los planos paralelos, , y, . n= uv

la distancia entre las rectas, r, y, s, verifica d(r,s)= d(,)= d(A,)= d(B,) si tenemos en cuenta la última expresión se tiene

d(B,)= . .( ) det( , , )AB n AB u v AB u v

n u v u v

d(r,s)

Por definición de producto mixto Se denomina perpendicular común de dos rectas, r, y, s, que se cruzan a la recta que corta ortogonalmente a cada una de dichas rectas. Esta recta queda determinada por la intersección de los planos (,A,u,uv)= det(AX,u,uv) X, punto genérico del plano A, punto de la recta, r u, vector director de la recta, r

n, vector normal de los planos paralelos que contienen a las rectas, r, y, s, que se cruzan

(,B,v,uv)= det(BX,v,uv) X, punto genérico del plano B, punto de la recta, s


v, vector director de la recta, s n, vector normal de los planos paralelos que contienen a las rectas, r, y, s, que se cruzan

La distancia entre dos rectas que se cruzan coincide con la distancia entre los puntos de intersección de la perpendicular común con las rectas dadas.

De las expresiones obtenidas para las distancias entre distintos elementos geométricos se deducen algunas aplicaciones:

Área de un paralelogramo Sea A(x1,y1,z1) punto, A, definido por sus coordenadas B(x2,y2,z2) punto, A, definido por sus coordenadas C(x3,y3,z3) punto, A, definido por sus coordenadas D(x4,y4,z4) punto, A, definido por sus coordenadas La superficie del paralelogramo de vértices los puntos, A, B, C, y, D, respectivamente viene dada por el módulo del producto vectorial de dos vectores concurrentes coincidentes con dos lados no paralelos del paralelogramo. SABCD= ABAC AB= B-A= (x2,y2,z2)- (x1,y1,z1)= (x2-x1,y2-y1,z2-z1) AC= C-A= (x3,y3,z3)- (x1,y1,z1)= (x3-x1,y3-y1,z3-z1) Del área de un paralelogramo también se deduce una expresión para hallar la distancia de un punto, P, a una recta, r. Sea P punto, P, exterior a la recta, r A punto, A, perteneciente a la recta, r Q punto, Q, perteneciente a la recta, r, que es la proyección ortogonal sobre dicha

recta del punto, P u vector director de la recta, r AP vector que une el punto, A, de la recta, r, con el punto, P, exterior a dicha recta La distancia, h, del punto, P, a la recta, r, viene dada por el módulo del vector, QP. Se tiene entonces Aparalelogramo= APu Aparalelogramo= Base.Altura= u.h Igualando ambos resultados

Altura= logparale ramoAP uA

hBase u


Área de un triángulo Sea A(x1,y1,z1) punto, A, definido por sus coordenadas B(x2,y2,z2) punto, A, definido por sus coordenadas

C(x3,y3,z3) punto, A, definido por sus coordenadas

La superficie del triángulo de vértices los puntos, A, B, y, C, respectivamente coincide con la mitad del área del paralelogramo que tuviese por tres de sus vértices a dichos puntos. Se deduce que la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores concurrentes formados con esos puntos es el área del triángulo

SABC= 12ABAC

Volumen de un paralelepípedo Sea A(x1,y1,z1) punto, A, definido por sus coordenadas B(x2,y2,z2) punto, A, definido por sus coordenadas C(x3,y3,z3) punto, A, definido por sus coordenadas D(x4,y4,z4) punto, A, definido por sus coordenadas Se considera un paralelepípedo cuyas aristas en su vértice, A, determinan los vectores, AB, AC, y, AD, respectivamente. El producto mixto de dichos vectores se corresponde con el volumen del paralelepípedo.

Vparalelepípedo= det(AB,AC,AD)= 2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

4 1 4 1 4 1

x x y y z zx x y y z zx x y y z z

AB= B-A= (x2,y2,z2)- (x1,y1,z1)= (x2-x1,y2-y1,z2-z1) AC= C-A= (x3,y3,z3)- (x1,y1,z1)= (x3-x1,y3-y1,z3-z1) AD= D-A= (x4,y4,z4)- (x1,y1,z1)= (x4-x1,y4-y1,z4-z1) Del volumen del paralelepípedo también se deduce una expresión para hallar la distancia de un punto, P, a un plano, . Sea P punto, P, exterior al plano, A punto, A, perteneciente al plano, Q punto, Q, perteneciente al plano, , que es la

proyección ortogonal sobre dicho plano del punto, P v, w vectores directores del plano,


n vector normal al plano, . n= vw AP vector que une el punto, A, del plano, , con el punto, P, exterior a dicho plano La distancia, h, del punto, P, al plano, , viene dada por el módulo del vector, QP. Se tiene entonces Vparalelepípedo= det(AP,v,w)= AP.(vw) Vparalelepípedo= Abase.Altura= vw).h Igualando ambos resultados

Altura= det( , , ) .( ) .

paralelepípedo

base

AP v w AP v w AP nVh

A v w v w n

Volumen del tetraedro

Sea A(x1,y1,z1) punto, A, definido por sus coordenadas B(x2,y2,z2) punto, A, definido por sus coordenadas C(x3,y3,z3) punto, A, definido por sus coordenadas D(x4,y4,z4) punto, A, definido por sus coordenadas

El volumen del tetraedro de vértices los puntos, A, B, C, y, D, respectivamente es la sexta parte del volumen del paralelepípedo construido sobre sus aristas, de forma que

Vtetraedro= 16det(AB,AC,AD=

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

4 1 4 1 4 1

16

x x y y z zx x y y z zx x y y z z

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ESPACIO AFÍN CPR. JORGE JUAN Ecuaciones de …...espacio afín Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 662 Leopoldo E. Álvarez x= a 1+t.u 1 y= a 2+t.u 2 z= a 3+t.u