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UNIDAD 6
ESPACIO TRIDIMENSIONAL: EL PLANO Objetivos
Geometría analítica
255
Introducción
x1, x2, x3
x1, x2 y x3,x1, x2 x3
Vector segmentodirigido.
A B
dirección A B
A
B
u v w
u u = (u1,u2
u
u u = (u1,u2,u3
u
256
n
u
espacio vectorialn n
escalar
Operaciones con vectores
Suma y resta
Ejemplo 1
a b
a + b a b
Solución
a + b
a b
Multiplicación de vectores por escalares
u u uu
Geometría analítica
257
Ejemplo 2
a
aa
aa
magnitud u u
Definición u = (u1, u2,...,un u
u
Vectores unitarios
vector unitario
u u
u = (u1, u2 un u 0
u u
uu
Ejemplo 3
v 2
v
258
Solución
v
v
vv
v 2 v 4
w
w =
w
w
Vectores coordenados unitarios
dos dimensiones 2
i j
Geometría analítica
259
3
i j k
i j k
260
v v i j ij i j i
j = – i j v
Ejemplo 4
u v w
u = i + 2j k v i + j k w i j + k
u + v + w
Solución
u + 2v w i + 2j k i j k i j + ku + 2v w i + 2j k i j k i j ku + 2v w i j k
u + 2v w = 2i j + 2k
Producto escalar
u = v =
u v
u v c
Geometría analítica
261
Ejemplo 5
C D
Solución
Ángulo entre vectores
A B V2
y
Ejemplo 6
A B
Solución
A B
262
A B
paralelismo ortogonalidad
Vectores paralelos
A B Vn paralelos
A B VnA B A
B y A = B B = A A B
Ejemplo 7
F G
Solución
F G F = G
, F = G
F G
Geometría analítica
263
Vectores ortogonales
A B Vn A B
Ejemplo 8
A B AB
Solución
A B A B
A B
proyección componente
A BB A
componente de A BB
A
A B
componente A B
A
264
Ejemplo 9
A B A = 2j k B = 4j
Solución
A = 2
A = (a a2 a
a2 A aA a2
A a
a a2 A
A B
2
Geometría analítica
265
Ejemplo 10
A = 2j k B = 4j AB
Solución
Producto vectorial
Definición A B V A = (a , a2, a
B = (b , b2, b
Ejemplo 11
A = 2i j k B i + j + 2k A × B
Solución
vectores paralelos
266
A B A × B =
dextrógiro
A B V A × BA B A × B
A B
A B
A × B B × A
6.1. Definición de plano
(P(x, y, z
Geometría analítica
267
Definición de espacio euclidiano de dimensión tres. El espacio euclidiano de dimensión tres, denotado por 3, es el conjunto de puntos P, representados por las ternas ordenadas de números reales (x1, x2, x3).
Definición de plano en 3. Es la sección comprendida por dos vectores no paralelos que forman un paralelogramo para el cual existe un par de puntos P, Po 3 y dos vectores linealmente independientes (son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos igualada a cero es aquella cuyos escalares son cero). A , B 3, tales que los podemos denotar como un conjunto de la siguiente manera:
Ejemplo 12
PA = 2i + k i + 2k
Solución
P P
P = (x, y, z
Ejemplo 13
P
Solución P(x, y, z
268
(x, y, zP
ecuaciones del plano en posiciones especiales. z = ,
z = c, c
yy = cxx = c
Geometría analítica
269
6.2. Ecuaciones del plano
Ecuación normal de un plano cualquiera.
x + y + z = 0
ecuación normal del plano, p
KA, B, C, –D,
270
0
ecuación del plano en forma general.
A, B, C
K
2 2 2
p>0
2 2 2
K D
Ejemplo 14
Solución 2 2 2
KK
Geometría analítica
271
p
Ecuación vectorial del plano
P P P
NA B
A × B = N N A N B
N N k(A × Bk
P P P N
P P P P P
P P – P0 A B
P – P0 = A + B
P P P
NA B A B
P0 NP P N
P0 NA B
272
P P P P P P
P P0 P P N
P P PB A N A × N
P0
N A B
P P P
P P P P
P0
Ecuación cartesiana del planoP P N
NP P N
(P – P0 N P N P0 N P N = P0 N
(x y z a b c
0 0 0 a, b, c, x0, y0, z0
0 0 0 N =
ecuación cartesiana del plano x, y z d
P0
N
P P N P N = P0
NP
NP
P P P0
N P P N
Geometría analítica
273
P0
Ejemplo 15
PN j
Solución a, b c N d = P0 N
a = b c = d =
y y
PN j
Ejemplo 16
P
Solucióny
Ecuación paramétrica del plano
u v
274
Ejemplo 17
Solución u x
v
u = x, x
v
y x + v x y + z
Geometría analítica
275
Ejercicio 1
MN
Ma
1 = a
2 = .
AB C
6.3. Distancia de un punto a un plano
Distancia de un plano al origen.
P P P N
276
P0 NQ QQ Q = N, Q
N Q Q P0 N Q N = P0 N
Q N N P0 N
N N N2 P N
N
Q d Q Q
N N = d
NN
NN
Nd
d
N
dN
Ejemplo 18
Solución
d
Geometría analítica
277
2
N N
N × N2
kN N k
N
N × N2
2
Ejemplo 19
Solución
dd d
N
278
0P (x , y , z
P Ax + By + Cz + DP
P0 (x0, y0, z0
Teorema . Sean 0 la ecuación general de un plano y P1 (x1, y1, z1) un punto que no está en el plano. Entonces, la distancia perpendicular d del plano a P1 está dada por:
(6)
Ejemplo 20
Solución A, B, C, D, x1, y1 z1
Geometría analítica
279
d
6.4. Intersección y ángulo entre planos
I ntersección de planos.
2
(x, y, z)
280
Ejemplo 21
P P
P P
Solución
2
Geometría analítica
281
s sP
y y
2 N
2
z z
Ejemplo 22
Solución x, y, z
ya, , b a b
y z
282
(d, e, d e
m, m m m
Ejemplo 23
Solución
0
x x
Geometría analítica
283
y y
z z
P
Ejemplo 24
x – z =
Solución x – z =
0
0
0
0 y
, , ,P P
P P
284
Ángulo entre dos planos.
N NN N
N NN N
N N
Ejemplo 25
2
Solución N N
Geometría analítica
285
Ejercicio 2
Ejercicios resueltos
.
Solución N P0
N P0
P0 N=
Solución P P N
P0
N P(x, y, z .
N
x y + 2 + z
.
286
P
Solución
D P
D D D = 9
x y z
Solución
Solución:0
Geometría analítica
287
B, C D
A,
A
6. A = B = C =
SoluciónD = B AE = C A
D E
D × E
N N
N P0
D
7.
Solución
288
= – .
,
2
Solución
P2
v u
v = u = v u
P P
PP
Geometría analítica
289
Solución
(K
2
Solución
N d
2
Solución t
t t t t
290
P
Solución d
Solución
x x
Solución N N N N2
N NN N
Solución
N N2
Geometría analítica
291
N NN N
Y
292
Autoevaluación
N = i –2j +k , N = 2i – 2j –k x = . N = –2i + j + 2k , N = i + j –k y = 2.
4
x y z
Geometría analítica
293
P
M M2
M1 M M
d d d d
x + y + 2z
x + y z
294
Ejercicios opcionales
M1
x z y
a b
Oxy
M
Geometría analítica
295
Respuestas a los ejercicios
N P0
. d
Respuestas a la autoevaluación
2
1
296
Respuestas a los ejercicios opcionales
a a = , b , a = , b
2