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Explicación del Producto Interno en vectores, así como de sus propiedades
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Producto Producto Interno y sus Interno y sus propiedadespropiedades
Producto Interno
En matemáticas el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar.
Propiedades(u•u)>0
u = 4i + 6j
( 4i + 6j )•( 4i + 6j ) > 0
si: u Є V
u u
(4)(4) + (6)(6) > 0i j
16 + 36 > 0
52 > 0
(u)(v+w)=(u•v)+(u•w)
u = 4i + 6j
{u,v,w Є V}
v = 3i - 7j w = i + j
(4i + 6j)•[(3i - 7j)+(i + j)]=[(4i + 6j)•(3i - 7j)]+[(4i + 6j)• (i + j)]
(4i + 6j)•[3i - 7j+i + j]=[(4i + 6j)•(3i - 7j)]+[(4i + 6j)• (i + j)]
(4i + 6j)•[4i - 6j]=[(4i + 6j)•(3i - 7j)]+[(4i + 6j)• (i + j)]
(4)(4)+(6)(-6)=[(4)(3) + (6)(-7)]+[(4)(1) + (6)(1)]
16 + (-36)=[12 + (-42)]+[4 + 6]
-20 = -30 + 10
-20 = -20
i j i ij j
u = 4i + 6j v = 3i - 7j w = i + j
i
j
i
j
-j -j
(u)(v+w) (u•v)+(u•w)
(u+v)(w)=(u•w)+(v•w)
u = 4i + 6j
{u,v,w Є V}
v = 3i - 7j w = i + j
[(4i + 6j)+(3i - 7j)]•(i + j)=[(4i + 6j)•(i + j)]+[(3i - 7j)•(i + j)]
(7)(1)+(-1)(1)=10 + (-4)
7 + (-1)=10 - 4
7-1 = 6
6 = 6
[4i + 6j+3i - 7j]•(i + j)=[(4)(1) + (6)(1)]+[(3)(1) + (-7)(1)]
[7i – j]•(i + j)=[4 + 6]+[3 + (-7)]
i j
i ij j
u = 4i + 6j v = 3i - 7j w = i + j
i
j
-j
i
j
-j
(u+v)(w) (u•w)+(v•w)
(u•v)=(v•u)
u = 4i + 6j
{u,v Є V}
v = 3i - 7j
(4i + 6j)•(3i - 7j) = (4i + 6j)•(3i - 7j)
(4i + 6j)•(3i - 7j) = (4i - 6j)•(3i + 7j)
(4)(3) + (6)(-7) =(4)(3) + (-6)(7)
12 + (-42) = 12 + (-42)
-30 = -30
i j i j
12 - 42 = 12 - 42
u = 4i + 6j
v = 3i - 7ju = 4i - 6jv = 3i + 7j
i
j
-j
i
j
-j
cos θ = u • vu v|| || || ||
u = 4i + 6j
v = 3i - 7j
u•v = -30
u|| || = u•u
u|| ||= (4i + 6j)(4i + 6j)
u|| ||= (4)(4)+(6)(6)
u|| ||= 16+36
u|| ||= 52
v|| ||= (3i - 7j)(3i - 7j)v|| ||= (3)(3)+(-7)(-7)
v|| ||= 9+49
v|| || = 58
cos θ = -30 = -30
52 58 3016
θ = cos-1(-0.54)
θ = 123.11°
cos θ = -30 = -30
52 58 3016
θ = cos-1(-0.54)
θ = 123.11°
(u• αv)= α(u•v)
u = 4i + 6j
{u,v Є V}
v = 3i - 7j
(4i + 6j)•[(½)(3i - 7j)] = (½)[(4i + 6j)•(3i - 7j)]
(4i + 6j)•(3/2i – 7/2j) = (½)[(4i - 6j)•(3i + 7j)]
(4)(3/2) + (6)(-7/2) =(½)[(4)(3) + (-6)(7)]
12/6 + (-42/2) = (½)(12 + (-42))
-15 = -15
i j i j
6 - 21 = (½) (12 – 42)
α = 1/2
(u• v) = 0
u = 3i - 1j
{u,v Є V}
v = 2i + 6j
(3i - 1j)•(2i + 6j) = 0
(3)(2) + (-1)(6) = 0
6 + (-6) = 0
Resultado = 0ES UN VECTOR ORTOGONAL
i j
6 - 6 = 0
u|| ||= (3i - j)(3i – j)u|| ||= (3)(3)+(1)(1)
u|| ||= 9+1u|| ||= 10
v|| ||= 40
d = 10 + 40
d = 50
Teorema de Pitágoras