-
el lazo de realimentacin positiva obtenemos la figura La
eliminacin del lazo que contie-ne produce la figura Por ltimo, la
eliminacin del lazo de realimentacin conduceala figura
Observe que el numerador de la funcin de transferencia en lazo
cerrado es el pro-ducto de las funciones de transferencia de la
trayectoria directa. El denominador de esigual a
1 (producto de las funciones de transferencia alrededor de cada
lazo)
= 1
= 1
(El lazo de realimentacin positiva produce un trmino negativo en
el denominador.)
3-4 MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS
En esta seccin presentaremos el material introductorio al
anlisis en el espacio de estadosde los sistemas de control.
Teora de control moderna. La tendencia moderna en los sistemas
de ingeniera eshacia una mayor complejidad, debido principalmente a
los requerimientos de las tareascomplejas y la elevada precisin.
Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidasmltiples y
pueden variar en el tiempo. Debido a la necesidad de alcanzar los
requerimien-tos cada vez ms restrictivos en el desempeo de los
sistemas de control, al aumento enla complejidad del sistema y a un
acceso fcil a las computadoras de gran escala, aproxi-madamente
desde 1960 se ha desarrollado la teora de control moderna, que es
un nuevoenfoque del anlisis y diseo de sistemas de control
complejos. Este enfoque nuevo se basaen el concepto de estado. El
concepto de estado por s mismo no es nuevo, dado que ha exis-tido
durante largo tiempo en el campo de la dinmica clsica y en otros
medios.
La teora de control moderna contra la teora de control
convencional. La teorade control moderna contrasta con la teora de
control convencional en que la primera seaplica a sistemas con
entradas y salidas mltiples, que pueden ser lineales o no lineales,
entanto que la segunda slo se aplica a sistemas lineales con una
entrada y una salida e in-variantes con el tiempo. Asimismo, la
teora del control moderna es esencialmente un en-foque en el
dominio del tiempo, en tanto que la teora de control convencional
es unenfoque complejo en el dominio de la frecuencia. Antes de
continuar, debemos definir es-tado, variables de estado, vector de
estado y espacio de estados.
Estado. El estado de un sistema dinmico es el conjunto ms pequeo
de variables(denominadas variables de estado) de modo que el
conocimiento de estas variables en =
junto con el conocimiento de la entrada para determina por
completo el compor-tamiento del sistema para cualquier tiempo
Observe que el concepto de estado de ningn modo est limitado a
los sistemas fsicos.Se puede aplicar a sistemas biolgicos,
econmicos, sociales y otros.
Variables de estado. Las variables de estado de un sistema
dinmico son las que for-man el conjunto ms pequeo de variables que
determinan el estado del sistema dinmico.
70 Cap tu lo 3 Modelado matemtico de sistemas dinmicos
-
Si se necesitan al menos variables . . . , para describir por
completo el compor-tamiento de un sistema dinmico (por lo cual una
vez que se proporciona la entrada para
y se especifica el estado inicial en = el estado futuro del
sistema se determina porcompleto), variables son un conjunto de
variables de estado.
Observe que las variables de estado no necesitan ser cantidades
medibles observa-bles fsicamente. Las variables que no representan
cantidades fsicas y aquellas que noson medibles ni observables
pueden seleccionarse como variables de estado. Tal libertadal
elegir las variables de estado es una ventaja de los mtodos de
espacio de estados. Sinembargo, en la prctica es conveniente elegir
cantidades que se midan con facilidad paralas variables de estado,
si es posible, debido a que las leyes del control ptimo requerirnla
realimentacin de todas las variables de estado con una ponderacin
conveniente.
Vector de estado. Si se necesitan variables de estado para
describir por completo elcomportamiento de un sistema determinado,
estas variables de estado se consideran los componentes de un
vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un
vector deestado es aquel que determina de manera nica el estado del
sistema x(t) para cualquier tiempo
una vez que se obtiene el estado en = y se especifica la entrada
u(t) para
Espacio de estados. El espacio de dimensiones cuyos ejes de
coordenadas estnformados por el eje XI, el eje . . , el eje se
denomina espacio de estados. Cualquier es-tado puede representarse
mediante un punto en el espacio de estados.
Ecuaciones en el espacio de estados. En el anlisis en el espacio
de estados, nosconcentramos en tres tipos de variables involucrados
en el modelado de sistemas dinmi-cos: variables de entrada,
variables de salida y variables de estado. Como veremos en laseccin
3-5, no es nica la representacin en el espacio de estados para un
sistema deter-minado, excepto en que la cantidad de variables de
estado es igual para cualquiera de lasdiferentes representaciones
en el espacio de estados del mismo sistema.
El sistema dinmico debe incorporar elementos que memoricen los
valores de la en-trada para Dado que los integradores de un sistema
de control en tiempo continuofuncionan como dispositivos de
memoria, las salidas de integradores se consideran lasvariables que
definen el estado interno del sistema dinmico. Por tanto, las
salidas de los in-tegradores funcionan como variables de estado. La
cantidad de variables de estado nece-sarias para definir
completamente la dinmica del sistema es igual a la cantidad
deintegradores que contiene el sistema.
Suponga que un sistema de entradas y salidas mltiples contiene
integradores. Tam-bin suponga que existen r entradas . . . , y m
salidas . . . , De-finan salidas de los integradores como variables
de , . . continuacinel sistema se describe mediante
(3-11)
71Seccin 3-4 en el espacio de estados
-
Si definimos
= .
=
(3-12)
f(x, u, =
. . . . , . .
= u(t) =
Las salidas . . . , del sistema se obtienen mediante
. .
. . . . . .
las ecuaciones (3-11) y (3-12) se convierten en
= f(x, u, (3-13)
= (3-14)en donde la ecuacin (3-13) es la ecuacin de estado y la
ecuacin (3-14) es la ecuacin dela salida. Si las funciones
vectoriales f g involucran explcitamente el tiempo el sistemase
denomina sistema variante con el tiempo.
Si se linealizan las ecuaciones (3-13) y (3-14) alrededor del
estado de operacin, tene-mos las siguientes ecuaciones de estado y
de salida linealizadas:
= + (3-15)
= + (3-16)en donde A(t) se denomina matriz de estado, B(t)
matriz de entrada, C(t) matriz de saliday D(t) matriz de transmisin
directa. (Los detalles de la de sistemas no linealesalrededor del
estado de operacin se analizan en la seccin 3-10.) Un diagrama de
bloquesque representa las ecuaciones (3-15) y (3-16) aparece en la
figura 3-10.
Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo
explcitamente, el sistema sedenomina sistema invariante con el
tiempo. En este caso, las ecuaciones (3-15) y (3-16)se simplifican
a
= + Bu(t) (3-17)
y(t) = + (3-18)
Cap tu lo 3 Modelado matemtico de sistemas dinmicos
-
Diagrama de bloquesdel sistema decontrol lineal entiempo
continuorepresentado en elespacio de estados.
La ecuacin (3-17) es la ecuacin de estado del sistema lineal e
invariante con el tiempo. Laecuacin (3-18) es la ecuacin de salida
para el mismo sistema. En este libro nos concen-traremos en los
sistemas descritos mediante las ecuaciones (3-17) y (3-18).
A continuacin presentaremos un ejemplo para obtener una ecuacin
de estado y unaecuacin de salida.
EJEMPLO 3-2 Considere el sistema mecnico que aparece en la
figura 3-11. Suponemos que el sistema esneal. La fuerza externa es
la entrada para el sistema, y el desplazamiento y(t) de la masa
esla salida. El desplazamiento y(t) se mide a partir de la posicin
de equilibrio en ausencia de unafuerza externa. Este sistema tiene
una sola entrada y una sola salida.
A partir del diagrama, la ecuacin del sistema es + + ky = u
(3-19)
Este sistema es de segundo orden, lo cual significa que el
sistema contienedos integradores.finamos las variables de estado y
como
=
=
A continuacin obtenemos =
Sistema mecnico.
o bien
La ecuacin de salida es
Y = En una forma matricial, las ecuaciones (3-20) y (3-21) se
escriben como
(3-20)
(3-21)
(3-22)
(3-23)
Seccin 34 Modelado en el espacio de estados 73
-
La ecuacin de salida, representada por la ecuacin se escribe
como
Figura 3-12Diagrama de bloquesdel sistema mecnicoque aparece en
lafigura 3-11.
Y = (3-24)
La ecuacin (3-23) es una ecuacin de estado y la ecuacin (3-24)
es una ecuacin de salida parael sistema. Las ecuaciones (3-23) y
(3-24) estn en la forma estndar:
en donde
y = cx +
C=[l
La figura 3-12 es un diagrama de bloques para el sistema.
Observe que las salidas de los inte-gradores son variables de
estado.
Correlacin entre funciones de transferencia y ecuaciones en el
espacio de es-tados. A continuacin mostraremos cmo obtener la
funcin de transferencia de un sis-tema con una sola entrada y una
sola salida a partir de las ecuaciones en el espacio deestados.
Consideremos el sistema cuya funcin de transferencia se obtiene
mediante
= G(s) (3-25)Este sistema se representa en el espacio de estados
mediante las ecuaciones siguientes:
= Ax + Bu (3-26)y = cx + (3-27)
en donde x es el vector de estado, es la entrada, y y es la
salida. La transformada de de las ecuaciones (3-26) y (3-27) se
obtienen mediante
x(O) = + BU(s)Y(s) = +
(3-28)(3-29)
74 Captulo 3 Modelado matemtico de sistemas dinmicos
-
EJEMPLO 3-3
Dado que la funcin de transferencia se defini antes como el
cociente entre la transfor-mada de de la salida y la transformada
de de la entrada, cuando las condi-ciones iniciales son cero,
suponemos que x(O) en la ecuacin (3-28) es cero. Por tanto,tenemos
que
= BU(s)o bien
= BU(s)Premultiplicando por en ambos miembros de esta ltima
ecuacin, obtenemos
X(s) = (3-30)
Sustituyendo la ecuacin (3-30) en la ecuacin llegamos a
Y(s) = + (3-31)
Despus de comparar la ecuacin (3-31) con la ecuacin (3-25) vemos
que
G(s) = + (3-32)
sta es la expresin de la funcin de transferencia en trminos de
A, B, C y D.Observe que el segundo miembro de la ecuacin (3-32)
contiene Por tanto,
G(s) se escribe como
=
en donde Q(s) es un polinomio en s. Por tanto, es igual al
polinomio caractersticode G(s). En otras palabras, los valores
especficos de A son idnticos a los polos de G(s).
Vuelva a considerar el sistema mecnico que aparece en la figura
3-11. Las ecuaciones en el es-pacio de estados para el sistema se
obtienen mediante las ecuaciones (3-23) y (3-24). Obten-dremos la
funcin de transferencia para este sistema a partir de las
ecuaciones en el espacio deestados.
Sustituyendo A, B, C y D en la ecuacin obtenemos
G(s) = A)-B + D
Dado que
b1 1
k b b k km - -m m m
Seccin 3-4 Modelado en el espacio de estados 7 5
-
tenemos que
b
=1
- -m m m
1s m
bs k
que es la funcin de transferencia del sistema. La misma funcin
de transferencia se obtiene dela ecuacin (3-19).
Matriz de transferencia. A continuacin, considere un sistema con
entradas y sali-das mltiples. Suponga que hay entradas . . . , y m
salidas . . . , y,. Definamos
La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con la
entrada U(s), o bien
Y(s) = (3-33)
Dado que el vector de entrada u es de dimensin r y el vector de
salida y es de dimensinm, la matriz de transferencia es una matriz
de m X
3-5 REPRESENTACIN EN EL ESPACIO DE ESTADOSDE SISTEMAS
DINMICOS
Un sistema dinmico formado por una cantidad finita de elementos
de parmetros con-centrados se describe mediante una serie de
ecuaciones diferenciales, en las cuales eltiempo es la variable
independiente. Con la notacin matricial, puede expresarse
unaecuacin diferencial de n-simo orden mediante una ecuacin
diferencial matricial deprimer orden. Si elementos del vector son
un conjunto de variables de estado, la ecuacindiferencial matricial
es una ecuacin de estado. En esta seccin presentaremos mtodospara
obtener representaciones en el espacio de estados de sistemas en
tiempo continuo.
Representacin en el espacio de estados de sistemas de n-simo
orden repre-sentados mediante ecuaciones diferenciales lineales en
las cuales no contiene de-rivadas de la funcin de excitacin.
Considere el siguiente sistema de n-simo orden:
y + + = (3-34)
Si consideramos que el conocimiento de y(O), y(O), . junto con
la entrada para 0, determina totalmente el comportamiento futuro
del sistema, podemos tomar y(t),
j(t), . . . como un conjunto de variables de estado.
(Matemticamente, tal eleccin
76 Captulo 3 Modelado matemtico de sistemas dinmicos
-
de variables de estado es muy conveniente. Sin embargo, en la
prctica, debido a que lostrminos que contienen las derivadas de
orden superior no son exactos, por los efectos deruido inherentes
en cualesquiera situaciones prcticas, tal eleccin de las variables
de es-tado puede no ser conveniente.)
Definamos
= Y =
Y
A continuacin, la ecuacin (3-34) se escribe como
o bien
en donde
x =
= . + u
A =
00
0
= Ax Bu
La salida se obtiene mediante
Y =
1 0 00 1 0
0 0 1
0 . . .
o bien
y = cx
B =
01
(3-35)
(3-36)
Seccin 3-5 Representacin en el espacio de estados de sistemas
dinmicos 77
-
en donde
c = 0
[Observe que en la ecuacin (3-27) es cero.] La ecuacin
diferencial de primer orden(3-35) es la ecuacin de estado, y la
ecuacin algebraica (3-36) es la ecuacin de salida. Lafigura 3-13
contiene una representacin en diagrama de bloques de la ecuacin de
estado yde la ecuacin de salida obtenidas a partir de las
ecuaciones (3-35) y
Observe que la representacin en el espacio de estados para la
funcin de transferen-cia del sistema
1 + + . + +
tambin se obtiene mediante las ecuaciones (3-35) y (3-36).
Representacin en el espacio de estados de sistemas de n-simo
orden repre-sentadas mediante ecuaciones diferenciales lineales en
las cuales contiene de-rivadas de la funcin de excitacin. Si la
ecuacin diferencial del sistema involucraderivadas de la funcin de
excitacin, como
y + . . . + + = + + . . .
entonces el conjunto de variables y, . . . , y no califica como
un conjunto de varia-bles de estado y no puede usarse el mtodo
directo que se emple antes. Esto se debe a que ecuaciones
diferenciales de primer orden
= . . + + + +
en donde = y, pueden no conducir a una solucin nica.El problema
principal al definir las variables de estado para este caso estriba
en los tr-
minos que estn derivados del segundo miembro de la ltima de las
ecuaciones prece-dentes. Las variables de estado deben ser de tal
modo que eliminen las derivadas de enla ecuacin de estado.
Una forma de obtener una ecuacin de estado y una ecuacin de
salida es definir lassiguientes variables como un conjunto de
variables de estado:
Figura 3-13Representacin en diagramade bloques de una ecuacin
deestado y una ecuacin desalida obtenidas mediante lasecuaciones
(3-35)y respectivamente.
78 Captulo 3 Modelado matemtico de sistemas dinmicos
-
= Y = = = =
.
(n-l) = y =
en donde . . . , , se determinan a partir de
Po = = =
=
(3-38)
(3-39)
= . . . Con esta eleccin de variables de estado est garantizada
la existencia y unicidad de la solu-cin de la ecuacin de estado.
(Observe que sta no es la nica eleccin de un conjunto devariables
de estado.) Con la eleccin actual de variables de estado,
obtenemos
= +
= + (3-40)
= + = . . .
[Para obtener la ecuacin vase el problema En trminos d e las
ecuacionesmatriciales, la ecuacin (3-40) y la ecuacin de salida se
escriben como
L l
0 1 00 0 1 .
0 0 0. . .
y = 0 . +
Seccin 3-5 Representacin en el espacio de estados de sistemas
dinmicos 79
-
o bien
en donde
x =
y = cx +
0 1 00 0 1
A = . . .
0 0 0
c = 0 = =
(3-41)
(3-42)
La condicin inicial x(O) puede determinarse a partir de la
ecuacin (3-38).En esta representacin en el espacio de estados, las
matrices Ay C son exactamente las
mismas que para el sistema de la ecuacin (3-34). Las derivadas
del segundo miembro dela ecuacin (3-37) afectan los elementos de la
matriz B.
Observe que la representacin en el espacio de estados para la
funcin de transferencia
Y(s) + + + + + + . +
Figura 3-14Representacin en diagrama de bloques de la ecuacin de
estado y la ecuacinobtenidas mediante las ecuaciones (3-41) y
respectivamente.
de salida
80 Captulo 3 Modelado matemtico de sistemas dinmicos
