Click here to load reader
Upload
ryan-johnson
View
1.117
Download
66
Embed Size (px)
Citation preview
ESPACIOSDEHILBERT (Geometra,Operadores,Espectros) LorenzoAbellanas Catedrtico de Mtodos Matemticos en la Universidad Complutense AlbertoGalindo Catedrtico de Mecnica Cuntica en la Universidad Complutense EUDEMA EUDEMAUNIVERSIDAD:MANUALES Cubierta: Jos Mara Cerezo Reservados todos los derechos.Ni la totalidad,ni parte de este libro,puede reproducirse o transmitirse por ningn procedimiento electr6nico o mecnico,incluyendo fotocopia,grobaci6n magntica o cualquier almacenamiento de informaci6n ysistema de recuperaci6n,sin permiso escrito de EUDEMA (Ediciones de laUniversidad Complutense,S.A.) Lorenzo Abellanas y Alberto Galindo EUDEMA, S.A.(Ediciones de la Universidad Complutense, S.A.),1987 Fortuny, 53. 28010 Madrid Depsito legal:M41.685-1988 ISBN:84-7754-035-7 Printed inSpain Imprime:Anzos, S.A.- Fuenlabrada (Madrid) ndice Introduccin........................................... ..11 l.Espacioslinealesyaplicacioneslineales.................... ..13 Espacioslineales.................................... . .13 Subespacioslineales................................. .. .14 BasesdeHamel.Dimensinlineal...................... ... .15 Sumadirectadesubespacioslineales..................... .. .16 Aplicacioneslinealesyantilineales..................... .. . ..17 Grficodeunoperadorlineal....................... .. . ...20 Isomorfismoslineales............................ . .. .. ..20 Proyectores.................................. .. . .. ...21 Ejerciciosdelcaptulo1........................ .. . .. ....23 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo1............. . .. .....25 2.Espacioslinealesnormados.................... ... .. .. ....29 Definicinyejemplos....................... ... .. . ......29 Relacinnorma-distancia..................... .. .. .......31 Sucesionesconvergentes..................... . ... .. ......32 Complecin.............................. .. .... ......34 Sumasinfinitasenespaciosnormados......... ... ...........36 Apndice:DesigualdadesdeMinkovskiyHolder(parasumas).....37 Ejerciciosdelcaptulo2.................. .... ...........39 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo2.... ..... ............42 3.EspaciosLP.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..49 Introduccin...................... ...................49 Borelianosyfuncionesborelianas..........................50 IntegraldeLebesgue.Espacio!f'1 55 Propiedadesc.d..EspaciosL1 59 EspaciosLP.. .. . .. .. . .. .. . . . . . .. . . . .. .. ... .. . .. . . .. . .61 Otraspropiedadesdelaintegral......................... ..62 ComparacinconlaintegraldeRiemann....................64 EspaciosU(!Rn).......................................65 Apndice............................................67 Ejerciciosdelcaptulo3.................................69 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo3.....................71 8LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 4.EspaciosHilbert.......................................75 Espaciosconproductoescalar(pre-Hilbert,Hilbert).............75 Propiedadesgeomtricaselementales........................76 Normainducidapor elproductoescalar.....................78 Ejemplosdeespaciosconproductoescalar...................79 Relacinnorma-productoescalar..........................80 EspaciosdeHilbert.Ejemplos............................82 Complementosortogonales...............................85 Ejerciciosdelcaptulo4.................................89 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo4.....................92 5.Bases deHilbert.Separabilidad................. ...........101 ProcesodeortonormalizacindeGram-Schmidt...............10 l Basesortonormales.................................... 102 EspaciosdeHilbertseparables............................104 Teoremadelisomorfismo................................107 Basesortonormalesybaseslineales.........................109 Algunasbasesortonormalesimportantesdefunciones...........ll O Basesortonormalesenvariasvariables......................ll4 Ejerciciosdelcaptulo5.................................116 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo5.....................118 6.Operadoreslinealesacotados.Generalidades...................123 Acotacinycontinuidaddeoperadoreslineales................123 Sobreeldominiodelosoperadoresacotados..................125 Existenciadelinversoend(H1,H2)126 Estructuraded(H 1,H 2)127 Algunosoperadoresinteresantes...........................129 Ejerciciosdelcaptulo6.................................136 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo6.....................138 7.Dualidad............................................143 Funcionaleslinealescontinuos.Espaciodual..................143 Formasbilineales......................................148 TopologadbilsobreH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150 Topologastilessobred(H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154 Apndice:Principiosbsicosdelanlisislineal.................157 Ejerciciosdelcaptulo7.............. : ..................163 Solucionesalosejerciciosdelcaptulo7.....................165 8.Algunostiposimportantes deoperadoreslinealesacotados.........167 ~ o p e r a d o radjunto....................................167 Operadoresautoadjuntosacotados.........................170 Operadores(autoadjuntos)positivos........................174 Proyectoresortogonales.................................179 Operadoresunitarios...................................184 LatransformacindeFourier comooperadorunitariosobreL2 188 Isometrasparciales....................................191 ESPACIOSDEHILBERT9 Operadoresnormales...................................194 Apndice(familiassumables).............................195 9.Operadorescompactos..................................197 Generalidades........................................197 OperadoresdelaclaseHilbert-Schmidt......................201 Operadoresdeclasedetraza.............................206 10.Espectroyresolvente...................................213 Definiciones..........................................213 Propiedadestopolgicasdeu(A)yp(A).. . . . . . . . .. . .. . . . .. . .216 ComparacindelosespectrosdeAyA+. .. . . . . . . . .. . . .. . . ..219 Rangonumricoyespectro..............................220 11.Espectrodeunitariosyautoadjuntos en.s;/(H).................223 Espectrodeoperadoresnormales..........................223 Espectrodeunitarios...................................224 Espectrodeisomtricos.................................225 Espectrodeautoadjuntos end(H).. . .. . . .. . .. . . .. . . . . . . . . .225 Espectrodeproyectores.................................226 Ejemplos............................................227 12.Espectroyformacannicadeoperadores compactos.............229 Espectrodeoperadorescompactos.........................229 Descomposicinespectraldelosoperadorescompactosnormales232 Forma cannicadeuncompactoarbitrario................... 234 Triangulacindeoperadorescompactos.....................236 13.Introduccinalas ecuacionesintegrales......................241 Operadoresintegrales.Generalidades.......................241 Ecuacionesintegralesdetipocompacto......................244 Ecuacionesintegralesyecuacionesdiferenciales................246 Propiedades espectrales delosoperadores integrales detipocompacto.248 Ncleoresolvente.....................................249 Resolucindelcasodegenerado...........................250 Mtodoiterativo(SeriedeNeumann).......................253 ElmtododelosdeterminantesdeFredholm.................256 EcuacionesdeVolterra..................................259 Ecuacionesintegralesconncleosimtrico...................260 14.Descomposicinespectraldeoperadoresnormalesacotados.........265 Clculofuncionalcontinuoconunoperadorautoadjuntoacotado265 Clculofuncionalboreliano..............................270 Losproyectos espectrales................................275 Familiasespectralesymedidasespectrales....................278 Integracinrespectodeunamedidaespectral..................279 Descomposicinespectraldeautoadjuntosacotados.............280 Relacinentreu(A)y{Et}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282 10LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Representacinespectraldeoperadoresautoadjuntosacotadoscones-pectrosimple......................................285 Descomposicinespectraldeunitarios.......................289 Descomposicinespectraldenormales......................289 Apndice. . . .. .. .. . . . .. . . . .. .. . . . .. . .. . . .. . .. .. . . .. . . .. .291 Matrices....... .....................................293 Matrizasociadaaunoperador linealenA"................293 Operaciones elementales..............................293 Trazaydeterminante................................294 Productodirectodematrices...........................295 Rango.. .........................................295 TiposimportantesdematricesenMn(R)..................296 Espectroyvectorespropios............................297 Clculovariacionaldea(A),Aautoadjunta................298 Localizacindelosvalorespropios......................299 Diagonalizacin.......... ..........................302 Polinomiomnimo............... ...................302 Teoremaespectral...................................303 Clculofuncional...................................304 Casoparticular:Funcinexponencial.....................308 Listadesmbolos. . . . . . . . . . . .. . . . .. . .. . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .309 lndiceanaltico311 Biblografia.. ... .. . . . . . . . . .. . . . .. .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . . .317 1ntroduccin LateoradeoperadoreslinealesenespaciosdeHilbertsehallasituadaenuna deesascuriosasconfluenciasentrelaFsicaylaMatemtica,quesloporhbito dejandeprovocarsorpresa.Enlosltimoscincuentaaos,laFsicaharecurridoa unateoramatemticabasadaenespaciosdedimensiniriflnita,dotadosdeuna estructurageomtricadetipoeucldeo,paraformularsuspropiosproblemasy esquemasdetrabajo.Y noesmenosciertoquehadevueltogenerosamenteel favor, tantoporlascontribucionesdealgunosfisicosatemasdecarcterestrictamente matemticocomoporelplanteamientocontinuodenuevosproblemasque,asuvez, acaparanlaatencinyelesfuerzodelosmatemticos,cerrandoasunciclode intercambiosqueactadecatalizadorsobreeldesarrollodeamboscampos. Enestasnotaspretendemosdarunavisinalavezautocontenida,concisay bastante completa delateora de operadores lineales acotados enespacios deHilbert. Trasunoscaptulospreliminaressobre espacios linealesnormados,seintroducen losespaciosLPdeLebesgue.Sudefinicinenelcaptulotercerosepresentaporun mtodo ms rpidoque el clsico enteora delamedida(u-lgebras,etc.), esperando quesudificultadsevea,conello,muyatenuada. Despusdeunanlisisrelativamentedetalladodelosaspectosmselementales delageometradelosespaciosdeHilbertydelasaplicacioneslinealescontinuas, serecogenalgunascuestionesrelacionadasconlosoperadoreslinealesacotadosque sondegranimportancia,tantotericacomoprctica.Noshemos reducidoal anlisis deoperadoresacotadosconel findemantenerlaexposicinaunniveladecuado parasusfinalidadesdocentesenelprimerciclodelaLicenciatura.Dehecho,el anlisisaqupresentado facilitarenormementeallectorinteresadolaincursinen problemaslinealesnoacotados. Entrelostiposmsimportantesdeoperadoresacotadosquequedanenglobados enelalcancedeestasnotasdestacanenprimerlugarlosunitarios,autoadjuntosy proyectoresortogonales,todoselloscasosparticularesdelosllamadosoperadores normales.Aellossededicaelcaptulooctavo.Otrafamiliadegraninters,lade losoperadorescompactos,hasidoaisladaenelcaptulonoveno,porgozarde propiedadesmuypeculiares. LosCaptulosJO,11y12presentanlasnocionesbsicasdeespectroy resolvente,suspropiedadesgeneralesylaestructuraespecificadelespectrodelas familiasantescitadas. Comoaplicacininmediata delosCaptulos9 y12,enelCaptulo13seanalizan algunosaspectosbsicosenlateoradeecuacionesintegrales. Finalmente,elCaptulo14contieneelclculofuncionalparaoperadoresauto-12LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO adjuntos(msgeneralmente,normales)acotados,ensusversionescontinuay boreliana,ascomoladescomposicinespectralytpicosconellarelacionados. Sehaintentadoalolargodeestasnotaspreservarenloposibleunequilibrio convenienteentrelosresultadostericosdt!llibroyalgunosejemplosilustrativos intercaladoseneltextoatalefecto.Locualnosignificaqueseabrumeallector conunasartadeejerciciosmontoname11terepetidos,meramentemecnicos.Bienal contrario,hemosprocuradoescogerunmuestrario deejemplos,avecesbajoelttulo deejercicios,suficientementerepresentativosy,siemprequehasidoposible,dentro delosoperadores que conmayor frecuenciaaparecenenlaprctica(transformacin deFourier,matricesdensidad,operador posicin[acotado],operadoresintegrales ... ). Sloenunequilibrioadecuadoentreelestudiodelateoraabstractayla resolucindeejemplosyejerciciospuedelograrseundominiorazonabledelanlisis linealenespaciosdeHilbert. Enestemismoordendeideas,ypeseaquelateoradematricesesrequisito previoparaunosconocimientosdebaseenteorageneraldeoperadoreslineales, hemoscredoaconsejableresumirenunapndicelaspropiedadesmsdestacables delasmatricesfinitas,coneldoblefindequeellectorpuedaconsultarlas directamente,yademspensandoenquelesirvancomoalmacnparaautoproponer-seejerciciossimplesenconexinconlasideasdeltexto. Queremos agradecer a M.A.Iglesiassuesmeroen el mecanografiado del original deestasnotas. DeseamosasimismoagradeceraM.angelesSolanoyDanielMontanya,de Eudema,suinestimablecolaboracinenlaedicinyproduccindeestaobra. 1 Espacioslinealesyaplicacioneslineales 1.1.ESPACIOSLINEALES Unespaciolineal(ovectorial)sobreuncuerpoA (quetomaremos= IRC)es unatema(L,+,)formadaporunconjuntonovacoLydosaplicaciones L x L ~L,A x L -+ Lllamadassumayproductoporescalares,respectivamente, quesatisfacen: i)(L,+) esungrupoaditivo ii)A.(x+y)=A. x+A.y iii)A. (fJ x) = (A.fJ) x iv)(A+fJ) X=A X+fJ x V)} X=X Vx,yEL VA.,!JEA Corrientemente, escribiremos Len lugar de (L,+, ),sobreentendiendo fijadas lasaplicaciones( +,).YsimplificaremosA. xescribiendoA.xsencillamente, convenioquenoinduceaerror debidoalascondiciones(ii-v)precedentes. LoselementosdeLsellamanvectores;losdeA,escalares. Notaciones SeaLunespaciolinealsobreA,yseanA,B,dossubconjuntosdeL. Definimos: A+B={x+ylxEA, yEB},A+=A A.A::: { A.xix E A},A.::: AA= U A.A AEA 14LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Ejercicios J.SeaMn(A)elconjuntodematricesn x nsobreA.Definaseuna estructura de espacio lineal enMn(A)mediante las operaciones usuales conmatrices. 2.ProbarqueelconjuntoC[a,b]defuncionescontinuascomplejas definidassobre[a,b] eIResunespaciolineal,conlasoperaciones habitualesdesumadefunciones,etc. 3.TodoespaciolinealLsobreCpuedeserconsideradocomoespacio linealsobreR 4.SeaNelconjunto den-plas =(a, a2, ,an)conocie A,dotado delasoperaciones Probar queesunespaciolinealsobreA. 1.2.SUBESPACIOSLINEALES UnsubconjuntonovacoMdeunespaciolinealLsedicesubespaciolineal deL siM+McM,AMcM. Eselementalprobarque: i)Si{M Cl} e AesunafamiliadesubespacioslinealesdeL,entoncesnM Cllo estambin. Cl ii)SiM1,M2, ,Mn,sonsubespacios lineales deL, entoncesM1 +M2+ +Mn tambinloes. Entodasestasafirmaciones,Lysussubespacioslinealesseconsideransobre elmismoA. Dadounsubconjunto(novaco)XdelespaciolinealL,sellamaenvolvente lineal deXalmnimo subespacio lineal que contiene aX.Se denotar por lin(X). Comoconsecuenciasinmediatasdeestadefinicin: i)lin(X)=n M, dondeMessubespaciolinealdeL. M=>X ii)lin(X)={xeLix=A.1x1 +A.2x2+ +A.nxn,A.ieA,xieX}. Haciendohincapi en esteltimo punto, hagamos constar explcitamente antes de entrar a discutir conceptos tales como independencia lineal,etc.,que eladjetivo linealllevasiempreimplcitalaideadesumasfinitasexclusivamente.Aspues, por ejemplo,Iin(X) consta tan slo deaquellosvectores enLque son alcanzables apartir delosdelconjunto generador Xmedianteproducto por escalaresysumas finitas.IndependientementedequeelconjuntoXfuerafinitoono! Ejercicio aotn SeaX:={l,t,t2, ,tn,... }cC[O,1).HallarIin(X).Ese'=}:---un o n. elementodelin(X)? ESPACIOSDE HILBERT15 Respuesta lin(X)=conjuntodepolinomiosenlavariablet.No,pues: t : e ' ~ O ,Vk entero>O. 1.3.BASESDEHAMEL.DIMENSIONLINEAL UnsubconjuntofinitooinfinitoX(novaco)deunespaciolinealLsobreA, sedicelinealmenteindependiente(abreviadol.i.),siA1x1 + +AnXn=O,xjEX, AjE A= VAj=O(nE N). ObsrvesequeinclusoenelcasoaparentementecomplicadodeserXinfinito sededucedeladefinicinanteriorque:Xesl.i.siyslositodosubconjunto finitodeXloes. SellamabasedeH amel(obaselineal)BdeunespaciolinealLatodo subconjuntoBe L,queseal.i.maximal,esdecirtalque,ademsdeserl.i.,no estcontenidopropiamente enningnotroconjuntol.i.enL. LaexistenciadebasesdeHamelencualquierespaciolineal# {O}lagarantiza ellemadeZorn. PuedenprobarselassiguientespropiedadesrelativasalasbasesdeHamel: BHl)Todoconjuntol.i.X eL, esampliableaunabasedeHameldeL. BH2)DosbasesdeHameldeLsoncoordinables,esdecirtienenelmismo cardinal.AdichocardinalcomnatodaslasbasesdeHameldeun L#{O}dado,selellamadimensinlineal(oalgebraica)deL, denotada por dim .... (L)o,desobreentenderseA,por dim(L). Por convenio,sedefinedim(L)=OsiL={O}. BH3)V basedeHamelB deL=L=lin(B). n BH4)SiBesunabasedeHameldeL,ladescomposicinx= LAjXj,AjEA, xjEB,queexisteporBH3es,adems,nica. 1 Puede demostrarse sin esfuerzo que existen espacios lineales de dimensin arbitraria. Ejemplos l.Probar quedimc(L)< + oo =dimu(L)=2 dimc(L). 2.SeaL = C[O,1],espaciolinealsobreC.ProbarqueelconjuntoX= Un} o, donde fn(x)=e"x", es l.i. en L. (Ayuda:Teorema fundamental dellgebra.) 3.Probarquedim .... (A")=n. 4.ConsidreseelespaciolinealANdeelementos{cxj}i=(cx,cx2, ,ex",... ), concxE A yoperaciones{ex Ji+ {PJi = {cxj+ Pj}i, A{cxj}i = {Acxj}i.Probar quetienedimensininfinita. 16LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 5.Paraconvencersedequelosespaciosfuncionalessonfrecuentementeyde maneranaturaldedimensininfinita,demustresequelasfunciones{x"}O' sonl.i.encualquierespaciodefuncionesdefinidasenunabiertonovaco y quecontengaalospolinomios. 1.4.SUMADIRECTADESUBESPACIOSLINEALES Uncasoparticularmuyimportante desumadesubespacioseselsiguiente: SiM 1,M 2,. ,M"'sonsubespacioslinealesdeL,diremosquelasuma M= M 1 +M 2 + + M n esdirecta,yladenotaremos .entalcaso:M 1 Ea M 2 Ea... EBMn,cuandoladescomposicinx=x1 +x2+ +xn,xieMi, esnicaVxeM. Ejemplo IR3=lin({e1,e2})Ealin({e3})=lin({e1,e2})+lin({e2,e3})= =lin({e1,e2})Ealin({e1 +e2+e3}) dondee1,e2,e3,denotalabasecannicadeIR3. Ejercicio Demostrar quedim(M1 Ea...EBMn)=dim(M 1)+ +dim(Mn). SeaMsubespaciolinealdeL.SiM'esotrosubespaciodeLtalque L=MEBM',diremosqueM'essubespaciolinealcomplementario(ocomplemento lineal)deMenL. De (BH l) sesigue la existencia de complementolinealpara cualquier subespa-ciolinealM eL. Hastaaqusehadefinidoloquesignificadescomponerunespaciolinealen sumadirectadesubespaciossuyos.Ahoravamosconlaconstruccininversa: dadosespacioslinealesL1,L2, ,Ln,formarunespaciolinealqueseasuma directadelosL i Sea{L .. }.. eAunacoleccindeespacioslinealessobreA.Elsubconjuntodel producto cartesiano conjuntista nL...formadoporloselementos{x .. E L .. lx .. =o " salvoalosumoparaunnmerofinitodendicesoceA},tieneestructurade espaciolineal: ).{x .. } + Jl{Y .. } ={h.. + JlY .. } Investidocondichaestructuralinealconstituyeunespaciolinealqueseconoce como suma directa Ea L .. ,ycuandoAesfinitosedenotatambinporL1 Ea L2 Ea... - " Ef>Ln. ESPACIOS DEH/LBERT17 Ejercicios J.InyectarcadaL,.enconimagenisomorfaalL,..(Vase 1.7.) 2.Describir
yC[O,1]. 3.Considerarlafuncinf:xeR-+3xeRProbarquelospuntosdesu grficaconstituyenunsubespaciolinealde R2 4.Ylosdelafuncinf(x)=x2? 1.5.APLICACIONESLINEALESY ANTILINEALES Nota Reservamoseltrminoaplicacin( = ope,.ador)para asignacionesunivaluadas. Porelcontrario,cuandohablemosderelacinR:A -+ B,setratardeuna asignacin,engeneralmultivaluada,deAenB.Mstarde,alhablardeinverso, setendroportunidaddedistinguirclaramenteambosconceptos. Definicin1. 1 SeanL1,L2,espacioslinealessobreA.UnaaplicacinuoperadorTcon dominiodedefinicinD ( T),subespaciolinealdeL 1,yrecorridoR ( n = = TD(T)cL2,sedirlinealsi T(x+ y)= Tx+ Ty T(A.x)=A.Tx Vx,yeD(T),VA.eA Obsrvesequeescribimos,parasimplificar,T(x)= Tx. Si,por elcontrario,A =CyTcumple T(x+ y)= Tx+ Ty T(A.x)=I Tx sedicequeTes antilineal. Vx,yeD(T),VA.eC Undetalle,aposteriorifundamental,quevaimplcitoenladefinicinde operador linealesquetalobjetoconstadedospartes:eldominio(=conjunto de vectoresdeL1 enqueestdefinidasuactuacin)ylaactuacinconcretadeT sobreesedominio,esdecir,laasignacinx-+ Tx.Esesencialdarsecuentade quecadaTllevaasociadoundominiodedefinicin,yqueengeneralD(T)no tieneporqucoincidircontodoelespacioL 1Elsiguienteejemplopuedeser ilustrativo: 18LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Ejemplo L1 = C(O,1].Puedeaspirarseaquela aplicacinTdefinidamediantederiva-cindfdxtengapordominiotodoL1?No,evidentemente. Peromsan,inclusorestringiendonuestraatencinalasfuncionesderiva-bles,todafuncinderivablecontenidaenC(O,1]esadmisibleeneldominiode T=dfdx,siendoL2 = C[O,1]?Denuevo,respuestanegativa.Antes,por pretender unespacioinicialL1 demasiadogrande.Ahora,por serL2 demasiadopequeo, conloquealgunoselementosqueTasignaracomofuncionesderivadassalen fueradel. Elconjunto,claramentenovaco,deaplicacioneslinealesT:L 1 -+ L 2 con dominioD(T)=L1 yrecorridoR(T)cL2,admiteunaestructuranaturalde espaciolinealsobreA,sinmsquedefinir: Denotaremostalespaciolinealpor!t'(L1,L2),ysiL1 =L2 =Lpor!t'(L).El elementonulode!t'(L1,L2)lodenotaremosporO(=OL, .... L,),paraabreviarla notacin. Enparticular,eloperadoridentidad(E!t'(L))lodenotaremosporIL1 sin quehayapeligrodeconfusincon1 E A.Esinmediatoprobar,paraunoperador linealT:L1-+L2,que i)V subespaciolinealMdelL1 =>T(M) essubespaciolinealdeL2 ii)Enparticular,R(T) essubespaciolinealdeL2 iii)DefinamoslarelacininversadeT:D(T)cL1-+L2,comoT-1: R(T) eL2-+ L1 actuandoas:paracualquierYo E D(T -1)=R(T),es T-1(y0)= {xED(T)ITx= Yo} iv)Como seacaba de indicar,T-1 es generalmente una relacin,no univalua-da,peseaqueTseaunivaluada.Cundo esr-1 univaluada,esdecirun operador?Heaquuncriteriotil: Criterio1.2(existenciadeoperadorinverso) DadounoperadorlinealT:D(T)cL1 -+L2,lastresafirmacionessiguientes sonequivalentes: a)T-1 esunoperadorlineal:R(T)-+ D(T). b)Tes inyectivo. e)Tx=O=>x=O. L lcxiklesunconjuntol.i. 5.DemostrarqueenM 2 ( C)lasmatrices1,u"'u.,,u zsonl. i.[Lasmatricesu sonlasllamadasmatricesdePauli: (o-i) u.,=iO' 6.Sidim(L) = n (finita),sesabequeparatodopar desubespacioslinealesM 1, M2cL setieneM1
siemprequedim(M1)ydim(M2)seansufi-cientementegrandes.Estoyanoesciertosidim(L)esinfinita.Exhibiren C[O,Ifdos subespaciosM1,M2,dedimensinigualaladeC[O,1],ytales queM1 nM2={0}. 7.DemostrarqueM 1 +.. +Mn=M 1 $.. $M 2 siyslosiM 1 nM 2 = (Mt +M2)nM3= .. =(M1 +... +Mn_.)nMn={O}. 8.SeaT1:feD(T.)cC[O,Ii-+f'= 1) condominioD(T.)=Iin({x"ln=O,1,2,... });y sea T2:feD(T2)cC[O,1]-+f'eC[O,1] condominioD(T2)=1in({e"x"ln=O,1,2,... }). i)CalcularT 2 T 1 ii)Probarque
3T21,comooperadoreslineales. iii)DemostrarqueningnisomorfismolinealUentreD(T1)yD(T2) queentrelaceT1,T2 (enelsentidoT2 U= UT1). 24LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 9.ConsidreseenC[O,1]laconjugacinT:f(x)-+ f(x).Demostrarque: i)Tesantilineal. ii)y2 =l. iii)C[O,l]=lin({!IT/=f})=lin({!IT/=-/}). JO.SeaenC[O,1]laaplicacinP:f(x)-+f(l-x).Demostrarquecone= {!IPf= /},se tiene: i)e=e +E e_. ii)~(1 P)eselproyectordee sobreeenladireccindee+. 11.ConsidreseelespacioC'[O,oo)formadoporlasfuncionescomplejasf(x), x e [0,oo ),continuasyconlmitefinitocuandox-+ oo.Demostrarque C' [0,oo)ye [0,1]sonlinealmenteisomorfos.Seraestociertosinla restriccinimpuestaalas/(.) agrandesdistancias? 12.SeaLunespaciolinealsobreA.DefinamosunaaplicacinbilinealT: LxL-+LcomoaquellatalqueT(l1,12)eslinealencadaunodelos argumentos,ysea!l'(21(L)elespaciolinealdetalesaplicacionesbilineales. Demostrarque!f'(21(L)esisomorfoa!l'(L,!l'(L)). ESPACIOSDE HILBERT25 SOLUCIONESALOSEJERCICIOSDELCAPITULO1 1.EsclaroqueBPor otrolado,dados dossubconjuntosfinitosordenados cualesquiera(A.1, ,A.m),A.;EA,(b1, ,bn),b;EB,podemosasociarlesel elemento 1= A.1 b 1 + + A.,b, EL, r = min {m,n}.Assedefine una suprayeccin "" DadoqueAyBsonconjuntosinfinitos,loscardinalesdeU(CQD). Nota p,qtalesque+ =1 sesuelenllamarexponentesconjugados.Esintere-pq san tesealarelpapelsimtricoque juega elvalorp = q = 2. 38LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO DesigualdaddeMinkowski p;;;:: 1{ai}i. {bi}l e/K Demostracin Trivial para p= 1,o cuando ai+bi=O, Vj.En losrestantes casos, la identidad (lcxl+ lfJI)P = (lcxl+ lfJI)P-1 (lcxl+ IPD conex= aiP=biimplica,trassumar: ocococ L (iail + lbii)P= L n0(v).Probar que: a)FessubespaciolinealdeF. b)F=FF. e)Fes densoen12 JO.Mismascuestionesen(C[O,1],lllloo)conelsubconjuntoflJJdetodoslos polinomiosP( t ),tE [0,1]. 11.SeaMcFelsubconjuntodetodosaquellosv=(cx1,cx2,... )eFtalesque lcxd~lcx2l~lcx31~.. EsMsubespaciolinealcerradoen12? 12.DefinamossobreIR2 lasaplicacionesIIIIPdadaspor v=(cx,cx2)EIR2-+llvllp=[lcxdP+Icx21PPIPe!R a)Describirlasbolascentradasenelorigen,paraelcasop= l. b)Idemparap=2. e)Sea eltringulo devrtices(0,0),(0,e),(e,0).Comentar laposiblevalidez delteorema de Pitgoras para ese tringulo, en las diversas normas11 llp 13.Demustreseelsiguienteteorema,debidoaS.Banach,quehajugado-y sigue jugando- juntamente convariasgeneralizacionesposteriores,unpapel crucialenelanlisis: Teorema Sea(M,p)unespaciomtricocompleto.SeaT:M-+ Munaaplicacinpara laqueexistek< 1 talque Entonces3un(nico)xeM talqueTx=x. Adems,x=limT"x0,Vx0eM. Nota Talesaplicacionessedicequesonestrictamentecontractivas.Yse dicequexespuntofijodeT. ESPACIOSDE HILBERT41 14.SealaaplicacinT= R2-+ R2,cuya matriz enuna ciertabaseortonormal del planoe1,e2,es T=!(J3-1) 41J3 Probar queesunacontraccinestrictayhallar .supuntofijo. 15.Dar un criterio sencillo para saber qu matrices autoadjuntas son estrictamen-tecontractivasenen. 16.Culesdeestasaplicacionessoncontractivasestrictas?Buscarelpuntofijo delasquelosean. a)A:R-+ R definidaporAx =ex b)B:[2,oo)-+ oo)definidapor Bx = Jx +-x e)C:L2(R)-+L2(R)definidaporCf= T 1 d)D:[1,oo)-+[1,oo)conDx=x+-X e)E:C[O,b]-+C[O,b]con(Ef) Nota R,[2,oo)seconsideraninvestidosconlamtricaeucldeausual.Y C[a,b]connorma11 11 oo 42LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO SOLUCIONESALOSEJERCICIOSDELCAPITULO2 J.Sea{vn}'i'eB,talque Vn- v. n-+oo Dado&>0,existepuesunN0=N0(e)talquellvn-vll N0 LuegoVn>N0 =>llvnll=llvn-v+vll llvn-vll +llvll Luegollxn+p-xnll llxn+p-Xn+p-111 +...+llxn+ 1-xnll(kn+p-1 +...+k") llx1-xoll Y deladesigualdadevidentekn+p-1+... deducimosque 1 Hemosprobado (recordar que k< 1 => 1 -;:-:O) que{ esuna sucesin de Cauchy.Por ser Mcompleto por hiptesis, existe limxn,alque llamaremos x.Esdecir,x=.limxn. Elrestodelademostracinesyainmediato. a)11 Tx-xll 11 Tx- Txnll+11 Txn-xll+llxn+ 1-xli-O. n .... oc LuegoTx=x,quedemuestraelcarcterdepuntofijodex. b)EselnicopuntofijodeTenM.PorquesihubieseotroTX=x,sera yalserkll-+l.e1cequeD esunacontracc10nnoestncta.) x-y ObsrvesequeD,peseacumpliruna condicinmuyprximaalaque definealascontraccionesestrictas,notieneen[1,oo)ningnpuntofijo.
e...11l ne1ecto,x=x ex1gmax+- =X=>- =O=>xrt1,oo). XX e)IIEJ -Egll [f(t)-g(t)]dtl-glloo Luegosib < 1,entoncesEescontraccinestricta. Por ejemplo,loesenC[O,1/2].Sunicopuntofijoeselcero. 3 EspaciosLP 3.1.INTRODUCCIN En elprximo captulo iniciaremos elestudio de los espacios deHilbert, cuyos ejemplosmsimportantesenlaprcticason,talvez,losespaciosfuncionalesde Lebesgue,L 2 Pensamos queunas pocas ideas elementales son suficientes para poder trabajar mstardeunbuennmero deejemplosdeoperadoreslineales enL 2 que,deotra forma,quedaranfueradealcancepeseaconstituirunaltoporcentajedelas aplicacionesdelosespaciosdeHilbert. Yahemosdicho(Captulo2)que(C[O,1],11112)noescompleto,ylomismo puede decirse de(C(K),1111,)para cualquier compacto K eIRdeinterior novaco yparacualquiernmeroreal1 ~ p U BiEPA). j=l ii)Cerradabajocomplementos(BE fA=> IR-BE 34). Puedeprobarsequetalfamiliamnimaexiste,porquelainterseccinde cualquier coleccindefamiliasquesatisfaganlas condiciones impuestas estodava unafamiliaquelassatisface "(yesclaroquelafamiliadetodoslossubconjuntos deIRcumpleesosrequisitos). LoselementosdefAsellamanconjuntosdeBoreloborelianosdeR Ejemplos J.TodoabiertodeIResuninnumerabledeintervalosabiertos,y,enconse-cuencia,boreliano. 2.Todo cerrado,y enparticular todo compacto,deIR,son tambinborelianos (sese1 yii). ESPACIOSDEHILBERT53 3.Todacoleccinnumerabledepuntosesunboreliano,porserlounpunto (cerrado)ylapropiedadi). 4.Elconjuntodepuntosracionalesen[0,1]esboreliano. 5.Considrese la funcin f:x E IR-+ elxl E RProbar que-1 ( {a}) E 34,Va E IR. 6.Mismoejercicioconf:IR-+ IR,definidapor {x4 senx, lxlB 00 donde1recorretodaslasunionesdeintervalosabiertosdisjuntos1 =U (ai,bi), j=l paralosquesedefinepreviamentelalongitud1(1)comolasuma: 00 IU)= lbj-aA j= 1 Ntese que 1(1) ~+ oo,asque admitimos medidas infinitas lomismo que finitas. Entresuspropiedades,sonimportanteslassiguientes: l.BE24=>JL(B)=inf{JL(A)IAabierto =:JB}. 2.BE24=>JL(B)=sup{JL(C)ICcompacto eB}. 54LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 3.SeanBnEBI,n ~l,disjuntosdosados.Entonces.u( QBn)= ~ . u ( B n ) . LasdosprimerasacercanlanocindemedidadeBorel-Lebesgueanuestra intuicindequesmedirunsubconjuntodeIR,afirmandoquelamedida,u(B) puedecalcularseaproximandopordentroBmediantecompactosoporfuera medianteabiertos.Encuantoalatercera,secitarcomolapropiedadde a-aditividadde,u. Ejemplos J.,u((l))=O, ,u(IR)= OO. 2.,u((a,oo))=.u((-oo,b))=oo. 3 ..u((a,b))=lb-al. 4.,u( {x E racionalesen[0,11}) =0. 5.Todo conjuntonumerabledepuntostienemedidanula(enparticular,sies finito). 6.MdensoenIR:::;. ,u(M) =oo?No.Contraejemplo:M= Q,racionales.Es ,u(O)=O!Enefecto,Qesnumerable. Ahoraqueyasedisponedeunconceptodemedidadesubconjuntosmuy generalesdeIR,esposibleaislarunafamiliacorrespondiente,muyabundante,de funcionesquesernsusceptiblesdeintegracin. Definicin3.3 Sedicequeuna funcinf:IR-+ IResmedibleBorel,oboreliana,si-1 (B) E 91, VBEBI. Esinteresanteobservarlaanalogasiguiente: abiertos de la topologa++conjuntos borelianos funcin continua--- funcinboreliana Esconveniente extender lanocindemedibleafuncionesrealesquepuedan tomar valores oo.Ental caso, fse dir Borel si -1 (B)EBI,VBEBIy si,adems, -1{+oo}E91, -1{-oo}El. Definicin3.3' Unafuncinf(x)devalorescomplejossedicemedibleBorelsiyslosiRe f, Imfloson. Consecuenciamsomenosdirectadeladefinicinsonlassiguientespropie-dades: ESPACIOSDEHILBERT55 Proposicin3.4 Sif,g,sonrealesmedibleBorel,tambinlosonlasfuncionesf+g,A.f(A.E l!l), fg,1/1.fg. Sinembargo,suelesermstil,enlaprctica,parainvestigarsiunafdadaes deBorel,recurriralsiguiente: Criterio3.5 a)f:lll-+lll esmedibleBorelsiyslosi-1{(a,b)}EB!J,Va,Vb. b)SifnesmedibleBorel,Vn,ysifn(x)-----+ f(x),Vx,entoncesfesmedible n-ao Dore l. e)f:ill-+lll esmedibleBorelsiyslosi{x:f(x)n EntoncesesmedibleBorelyacotada,ysedefine r fdx= limrfndx JRn-+ooJR ESPACIOSDE HILBERT57 Ntesequeellmiteexiste,pues{f fndx} esunasucesinmontonano decreciente.Dicholmitepuedeserfinirooinfinito. Definicin3.8 Dada freal(nonecesariamentemedibleBorel,sean f+(x):=mx{f(x), ;f_(x):=mx{-f(x),-f-V V Ntesequealserfboreliana,1!1 =f + + f _loestambin(porlaproposicin en3.2).Demaneraque3 {lfldx. Diremosquesi{lfldx< +oo.Yparatodafe.!t'MIR)sedefine queesfinita,evidentemente. Definicin3.9 Dadafrealdefinidasobre[a,b],diremosquefe .!t'Ma,b]silafuncin :ne.!t'MIR).ysedenotarrfdx= LFdxsuintegral. Anlogamente, siBe91, y fest definida sobre B,definiremos tfdx= ifx8dx. CuandoBseaunintervalo(ex,p),finitoono,seacostumbra escribir t=J:. Definicin3./0 Dada f =u+iv compleja, definida sobreIR,sedice quefe.!t't(IR) si ilfldx1Xf +Pge.P1(1R),'VIX,Pe C.Esdecir, .P1(1R)es espaciolineal. b)L(iXf+Pg)dx=iXLfdx+PLgdx, 'VIX,pec. e) Vfe.P1(1R). d)Sife.P1(1R)y entoncesge.P1(1R). e)} f, ge.P1(1R)=> f)Dada fe.P1(1R),Ve>O,3c5>0talqueLI!IXAdx 1fdx=O< 1 1,xe-2-, b Mssorprendenteeselhechodequepuedenexhibirsefuncionescontinuas montonasparalasqueanesJ> dxO,30 tal que Llf(di)- f(ci)l 3f'c.d.en[a,b]yademsf'=g,c.d. d)fabsolutamentecontinua en[a,b] f' E [a,b]. e)J,/2,absolutamentecontinuasen[a,b]=> !d
b]. Teorema3.27(derivacinbajoelsignointegral) Seaf(x,y)una funcindefinidaymedibleBorelsobre[a,b].xx IRytalque: i)f(x0,
Vx0E[a,b]. ii)f(x, y0)es absolutamente continua en [a,b]como funcin de x, c.d. en IRy . ... )of(x,y)rol([b]'"') 111OXE .z;a,X11\\ Entonces: drr of(x,y) dx J/(x, y)dy = JRoxdy,c. d.en[a,b] 3.9.APNDICE PorsuimportancianosloparagarantizarquelosLPtienenestructura normada sino en muchas demostraciones que afectan atales espacios, enunciamos 68LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO acontinuacinlasdesigualdadesparalelasalasdelCaptulo2,peroahoraensu formulacinintegral.Denotamospor XindistintamenteIR,IR",[a,b],ocualquier celdadeIR",ocualquierborelianodeIR,IR". Proposicin3.28(desigualdadesintegralesdeHolderyMinkowski) Sip,q,son tales 1,1 fgeL1 pq Evidentede(H). 2.0)L2[a,b]cL1[a,b]. En efecto,sese (H)con p=q=2, y tmese g(x)= 1,que est en L2[a,b]! 3.0)Sinembargo,
As,
eL2(1R)-U(IR). ESPACIOS DE HILBERT69 EJERCICIOSDELCAPITULO 3 1.Demostrardirectamente,apartirdeladefinicin3.2,queelconjuntoOde losracionalesdelarectatienemedida(Borel-Lebesgue)nula. 2.Probarquelasfunciones(1),(3),(5)y(7)dadasenlosejerciciosde 3.2 sonmediblesBorel. 3.Para disipar la sospecha de quelosborelianos demedida nula fueransiempre conjuntosnumerables,demostrarqueelsiguienteconjuntoC(llamadocon-junto ternariode Cantor) esboreliano, nonumerable,y de medida nula:Dado [0,1],extraer delmismoeltercioabiertocentral(1/3,2/3).Delosdostercios restantes,eliminartambinsustercioscentrales(1/32,2/32),(7/32,8/32).Con loscuatro(tercios)2 restantes,hacerlomismo,yassucesivamente.Loque quedadel[0,1]trasestasextraccioneseselconjuntoternariodeCantor,C. . ,f 1 f{0, xracional} 4.Demostrar que la func1on: [0,1]-+ R,con va ores(x) = 1 .. 1 no , x 1rrac1ona esintegrableRiemann. 5.Sealafuncin x(x)= lim[lim{cos(k!nx)}2m] lc:-+oom-+co Probarquex()esmedibleBorel.DequconjuntoenResx funcin caracterstica? 6.Exhibirunafuncinf:[0,1]-+ R,continuaen(0,1],talquef, !f'P,\fp ;;:::l. 7.Demostrarque1 ~p < q < oo => !t'q[a,b]e!f'P[a,b]. 8.Seaf:(0,oo)-+Rdefinidacomo 1 f(x) =x(l + llnxl)2 Demostrar quesig=f11P,p;;;::1,entoncesge!f'P,gfl!t'q,\fq;;;::1,p::i:q. 9.Siseextiendeladefinicinde!f'PaloscasosOO llgoll:=oosiq>p llgtll:=oosiqv1 =v2 Naturalmente,enelcasoA= IRsobranlasconjugaciones.NoasparaA= C. Definicin4.2 Alpar(L,(., .))selellamaespacioconproductoescalar(opre-Hilbert). Un espacio deHilbertesun espacio conproducto escalar, completo enla norma llvll =(v,v)112(Denominacinqueser justificadaen4.3.) Todoelcontenidodelassecciones4.1hasta4.5esvlidoencualquier espacioconproductoescalar,nonecesariamenteHilbert.Y,dehecho,enestas secciones,(L,(.,.))denotarunespaciopre-Hilbert. 76LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO TodosubespaciolinealM e(L,(.,.))recibeporrestriccinlaestructurade espacioconproductoescalar(M,(.,.)). Nota Nohayunanimidadencuantoalosconveniosdenotacindelproductoescalar, concretamenteenloqueserefierea(PE3),puesmuchosautoresexigen,porel contrario,quelosescalaressalganintactosdelaizquierdadelacoma.A esteconvenioseadscribencasiensutotalidadlosmatemticosyaldenuestra definicinlosfsicos,comoreglageneral.Debetenerse cuidado decomprobar este detallealconsultar labibliografa. Desdeunpuntodevistageomtrico,lagranventajadelaestructurade producto escalarradica enlaposibilidadqueofrece deintroducir generalizaciones naturalesdelconceptodeortogonalidadoperpendicularidaddelageometra eucldeaclsica. Definicin4.3 Dosvectoresv,we(L,(.,.))sedirnortogonalessi(v,w)=O.Yescribiremos simblicamentev.l w. Asimismo,unconjuntodevectoresS={v,.},.eA c(L,(.,.))sedirortogonalsi (v,.,v11)=0, Vrx=I=P. Siadems(v,.,v,.)= 1,Vrx,sedicequeelconjuntoSesortonormal. Ejercicio Todoconjuntoortogonaldevectoresnonulosesl.i. Finalmente,dadosdosconjuntosS1,S2,devectoresen(L,(.,.)),diremosque S1.lS2 si(v1,v2)=0, Vv1 eS1,Vv2eS2 Antesdedarejemplosdeespaciosconproductoescalar,deduciremoslas propiedades geomtricas que gozan tales espacios como consecuencia delconcepto recinintroducidodeortogonalidad.Laanalogaconlageometraelementales perfecta. 4.2.PROPIEDADESGEOMTRICASELEMENTALES A lolargodeestaseccindenotaremosllvll :=(v,v)1'2 (razpositiva),dejando para 4.3sujustificacinrigurosacomonorma. ESPACIOSDEH/LBERT77 Teorema4.4(dePitgorasgeneralizado) Si{ v J ~esortonormalen(L,(.,.)),setiene'r/veL: nn llvii2=LI(vi, vW+IIv-})vi, v)vill2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,.__ ____ Il(v,w ) l ~ l l v l l l l w l l l (desigualdad finitadeBessel) (dP..sigualdaddeSchwarz-Cauchy-Buniakowskii) Adems:l(v,w)l= llvllllwll{v,w}nol.i. 78LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Demostracin l.Inmediatodeladefinicinde1111. 2.Evidentedelteorema4.4. 3.Obvioparav=O.Si
esortonormalyladesigualdadde w)12 llwll2,esdecir,l(v,w)l llvllllwll. ParaobtenerlaigualdadelteoremadePitgorasexige,paraelcaso notrivialv que: w)oseallvll2w=(v,w)v (CQD) 4.3.NORMAINDUCIDAPORELPRODUCTOESCALAR Teorema4.6 En un pre-Hilbert (L,(.,.)), la aplicacin v--+llvll=(v, v)112,define una norma. Demostracin Lanicapropiedadnotrivialaverificares(N4),ladesigualdadtriangular (vase2.1).Ahorabien,dadosv,weL: segnladesigualdaddeSchwarz(CQD). Volviendolavistaatrsunmomento,recordemosqueunanormadetermina automticamente sobreelLsubyacenteunaestructuramtricaasociada.Asque lacadena: Productoescalar--+ Norma--+ Mtrica(distancia)--+ Topologamtrica garantizalaexistenciasobrecualquierpre-Hilbertdeunatopologamtricadefinida medianteladistanciad:Lx L--+ por d(v,w)= llv-wll =(v-w,v-w)112 Mientras noseespecifique locontrario, toda afirmacin concerniente apropie-dadestopolgicasde(L,(.,.))harreferenciaaestatopologa. Ejercicios i)Enunpre-Hilbert,interpretar la convergenciadeuna sucesinvn--+ v entrminosdelafuncindistancia. ESPACIOSDE HILBERT19 ii)Probar quelasfuncionesL-+ A siguientessoncontinuas: v-+ llvll v-+(w,v),w fijo eL iii)LaaplicacinA x L-+ LdefinidaporA.,v-+ A.vescontinua. iv)UtilizandoladesigualdaddeSchwarz,prubeseque(.,.):LxL-+A escontinua,enelsentidodeque v)LasumavectorialLxL-+L,esdecirv1,v2-+v1+v2 tambines continua. lpsistimos enqueencualquierreferenciaacontinuidad,convergencia,clausu-ras,etc.,sobreentenderemossiemprelatopologamtricaasociadaalproducto escalar.Y sobreoC)sesuponesiemprelatopologamtricausualdeo C definidaporlanormaeucldea. 4.4.EJEMPLOSDEESPACIOSCONPRODUCTOESCALAR (EpHl)Anadmiteestructuradeespacioconproductoescalarconladefinicin: n (v,w) ='f.aifJiparav =(a.,... ,O!n),w = (fJ.,... ,fJn) 1 (EpH2)lx(A)conelproductoescalardev= w= dadopor: (v,w) = 'f. UtilizaremosconfrecuenciaH.= /x(N). (Epll3)C(K), conKcompacto,yproductoescalar: (f,g) =tf(x)g(x)dx (EpH4)
conproducto escalar: (/, g)= Lf(x)g(x)dx AnlogamenteparaL2[a,b]. 80LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Losprecedentesproductosescalaresinducensobreloscorrespondientesespa-cioslinealessubyacentes,vaelteorema4.6,lasnormasdeltipo11112 (vase Captulo 2).De ahora enadelante,cada vez que sehable de estos cuatro espacios sesobreentenderquevaninvestidosconlosproductosescalaresqueacabamos dedefinir. Que(.,.)esfinitoparacadapardevectoresdelosanterioresespacios(como hadeserparatomarvaloresenIRoC),sedebeaque:
'f.(v, v)=O,luego (PEl) =>v=O. iii)M l. l.= (Ml.)l..=> M.Evidente,porladefinicin. iv)Ml.=(M)l.=(linM)l.=(linM)l.. v)estanocindecomplementoortogonalcon decom-plementolineal(1.4).No debenconfundirse.Tras elprximoteore-masecomprendermejorla relacinentreambas. Conlanocindecomplementoortogonalseentradellenoenunacoleccin deresultadosquesoncaractersticosdelosespaciosdeHilbert,enelsentidode quelosdeBanach,engeneral,noloscomparten.Setratadepropiedadesque exigenla existencia deunproducto escalar,y quegeneralizanlasdelageometra eucldea,raznporlacuallageometradeespaciosdeHilbertesmuysimilara latan familiardeC".Peseatodonoestardemsponer enguardia allector sobreelmanejodeestaanalogaconespaciosdedimensinfinita,puessinose extremanlasprecaucionessuelecaerseengeneralizacionesintuitivamenteclaras, peronosiempreciertas.Conformeavanceensuestudio,tendrocasindever dndeterminanlasanalogas. Elteoremageomtricoqueseenunciaacontinuacinesunodelospuntales detodocuantoseguir.Distngase,depaso,entrelaspropiedadeslineales,las propiedadesmtricas(derivadasdelanocindedistancia),ylaspropiedades geomtricas(asociadasalaexistenciadeunproductoescalarylaconsiguiente nocindeortogonalidad). 86LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Teorema4.9(delaproyeccinortogonal) SiMes un subespacio lineal cerrado del espacio de Hilbert H, entonces VveH: v=v1 +v2 ,conv1 e M,v2eML ytaldescomposicinesnica. Definicin4.10 Sedicequev1 eslaproyeccinortogonaldev sobreM. Demostracin Constadedospasos.Enelprimerosecaracterizav1 comoaquelvectoren Mcuyoextremoestalamnimadistanciadelextremodev,ysepruebasu existenciayunicidad.Enelsegundosedemuestraquev-v1 eM1.. i)Sead= infllv-wll,distanciadevalsubespacioM.Porsucondicinde weM nfimo,debeexistiralgunasucesin{wn}i eMtalquelimllv-wnll =d. n-eo Probemosque{wn}iesdeCauchy,utilizandolaleydelparalelogramo: llwn-wmll2 +112v-(wn+wm)ll2 =211v- wnll2 +211v- wmll2 2 11Wn+Wmll2 2 Wn+Wm Pero112v-(wn+wm)ll=4v-2 pues 2 eM. Luegollwn-wmll2
+llv-wmll2-2d2]-+0,paran,m-+ 00(*) Mcerrado=>3limwn=v1eM.Yclaramente d=llv-v1ll. Encuantoalaunicidad,siexistiesendosV,v'1 e Mtalesque llv-v1ll=llv-v'1ll=d,ladesigualdad(*)seguirasiendovlidacambian-doWnowmpor v1,v'1,yde ella obtendramosllv1 -v; 112 y en consecuen-ciaV=V'1. ii)Faltaverquev2=v-v1 eM1..Comollv-v111 =d,tenemosVA. eA yVweM:
llv-(v1 +A.w)ll2=d2+IA.I2 llwii2-2Re[A.(v-v1,w)] estoes,IA.I2
w)]. ..b.,(w,v-v} S1fuese(v-v1, para algunweM,astana tomar 11.=llwll2 para llegaraunabsurdo(CQO). Consecuencias l. 0)H =M$ M 1.,V subespaciolinealcerradoMeH. Sinembargo,la-construccinimplcitaenelteorema4.9esmuchoms restrictivaqueunasimpleoperacindecomplementolineal.Porello convienedistinguirlamediantelasiguiente: ESPACIOS DE HILBERT87 Definicin4.11 DadossubespacioslinealescerradosM,N,deunespaciodeHilbert H,diremosqueHessumadirectaortogonaldeambos,simblicamente H=Mr.BN siademsdeserH=MffiN, secumpleMl.N. Con estadefinicin: 2. 0)H =M (;BM 1.,V subespaciolinealcerradoMeH. Comprense de nuevo en estepunto losconceptos de complementolineal ycomplementoortogonal! 3.0)SidenotamosporPMelproyectorsobreMenladireccindeM.! (vase 1.8): PM+PM.i=ln PMPM.i=O=PM.!PM SedicequePMeselproyectorortogonalsobreM. 4.0)ParatodosubconjuntonovacoS eH, setienesu =lin(S). Enefecto,esinmediatoconvencersedequelin(S) esu sinmsque recordarlasdefiniciones.Ahorabien,sifueselin (S) =F su, aplicandoel teoremadelaproyeccinortogonalalespaciodeHilbertsu (consultar 4.7,ejercicio(i))yasusubespaciocerradopropiolin(S),hallaramos algnO:Fvesutalquevl.lin(S).Estoes,veS.inSu={O},absurdo. (CQD). 5.0)UnsubespaciolinealSdeHes densoenHsiyslosiS.i={O}. 6.0)Dado{uiHortonormalenHyveH setiene: Dichodeotraforma,elproblemadeaproximacinptimaalvectorv medianteelementosdelsubespacioM=lin({ui}D,loresuelveelvector PMv. Evidentedelademostracindelteoremadelaproyeccinortogonal. Ejercicio DadossubespacioslinealescerradosM,N,deunHilbertH,con N eM,probar que: SeescribeavecesM nN .1= M e Nyselellamacomplementoortogonal deNenM. 88LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Lapropiedaddequecada subespaciocerrado deunespaciodeHilberttenga algnsubespaciocomplementariocerrado(suortogonal),facilitaenormementeel anlisisfuncionalenestosespacios,ynosecumpleengeneralparaespaciosde Banach. ESPACIOSDE HILBERT89 EJERCICIOSDELCAPITULO4 l.ConsidreseelespaciolinealrealMn(IR)dematricesrealesn x n(n> 1). DenotaremosA,B,C,... ,suselementos.Disctaseculesdelassiguientes aplicacionesA,B-+(A,B)EIRdefinidasenMn(IR)xMn(IR)sonproductos escalaresparaM n(IR):. a)(A,B)=tr A+tr B. b)(A,B)=det(AB). e)(A,B)=tr(AB). 2.Misma pregunta que en elejercicio anterior, relativa al espacio lineal complejo cn(n> 1): Denotamosv=(V,... ,vn)ECn,w=(W,... ,wn)ECn. a)(w,v)=w2v1 b)(w,v)=w1v1 +2w2v2+3w3v3++nwnvn. e)(w,v)=lwtl2+lwzl2++lwnl2 3.Demostrarquesiv,w,sonelementoscualesquiera(:o!: O)deunespaciode HilbertH,sonequivalenteslassiguientesafirmaciones: A1)3cx>Otalquew=cxv. Az)llv+wll =llvll+llwll. A3)lllvll-llwlll=llv-wll. (Ayuda:utilizarlaleydelparalelogramo.) 4.Probar queencualquier espaciodeHilbertcomplejoH: i)LaaplicacinTv.:vE H-+ (v0,v) E Cescontinua. ii)Vn-+V} =>(Vn,Wn)-+(V,W) Wn-+W 5.Culesdeestosvectorespertenecena12 = l ~ ? a)v1=(l,-1, ),-1, ... , (-l)n+l, ... ). b)Vz=G, ~ '... ,;n' } e)v3=(i,-1,-i, 1,i,... ,n ....). ( ili1i) d)v4=l,2!' 3!'4!'... , (2n-l)!' (2n)!' 90LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 6.Discutir la veracidad de las siguientes afirmaciones sobre convergencia en 12: a)Siv,.=(7+ 21n' 7-O,.. .). entonces7,O,O,... ). 1 11 b)v,.=-n 1 e)vE12=>(v, d)Lasucesine,.noesconvergenteen[2. 7.Resolverelejercicio(C)de4.6,suponiendoO O entero,dadove 12 Noo arbitrario=> Ll(v,en)l2 ~llvVLuegolaserieLl 1/m::;.. /,.(x)=O,'t/n>m.Luegoelnicolmiteposi-bleenL2[0,1],siexiste,detalsucesin{f,.}i',seralafuncin f=OeL2[0,1].Ahorabien: 1 11/,.112= foiin2dx=n+O,paran-+oo Demaneraque{f,.}i'noesconvergenteenL2[0,1]. 8.Un sencillo clculo muestra que cos xes ortogonal a sen nx, 't/n?:;l. En efecto: f2"f+" (cos x,sen nx)Lo,2,.1=cos xsen nxdx= ( -1)"cos xsen nxdx=O o- .. por serla funcincos xsen nx imparenlavariablex. Luegocos x.lM =;..PM(cos x)=O. 9.Enefecto,para m#n tenemosque: f+ .. (cosnt,cos mt)L-,.,,.1=_,.cos nt cos mtdt= 1 J+"= 2 _,.[cos(m+n)t+cos(m-n)t]dt=O f+" porque_,.cos ktdt=O,kentero#O Cuandom= n,obtenemos: f"f"1 +cos 2nt llcosntii2 =cos2 ntdt= 2 dt=n L2[-K,K)-K-K Luegoelconjunto{cosnt}noesortonormal. 96LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO JO.a)Alserve/2,hadeocurrirquelcxnl-0.Podemossuponer,pues,paran n-+oo suficientementegrande,lcxnl< l. Ahorabien, A< 1 A4 A.l.Luego,por elcriteriodecomparacindeseriescontrminosrealespositivos,vemos 00 quesiLlcxnl4 fuesedivergente,tambindeberaserloautomticamente 1 00 Llcxnl2,luegovj/2Noexiste,pues,talv. 1 00 b)TmeseCXn=n-1,conlocualLlcxnleslaseriearmnica(divergente), 1 mientrasque
5),(5=>6).Elementales. (6=> 1)Delo contrario,3vtal que Su {v}sera ortonormal.Por tanto,v.lS, lo cualesabsurdoporquedeberaverificarseque1=11vll2=Li(v .. , v)l2=0 (CQD). OlEA Notas 1)Losnmeros(v .. , v)en(B04)sedenominancoeficientesdeFourierdeven labase{v .. }.. eA 2)La identidad (B06) expresa la saturacin de la desigualdad de Bessel,vlida paraconjuntosortonormales,finitosono. Ejercicio Probarqueenlasumav= (v.. ,v)v.. ,conunconjuntodendices " arbitrario,slohayunacoleccinalosumonumerabledetrminosno nulos. (Ayuda:Dancontribucinnonulalostrminosprovenientesde en={v...IXEAII(v ...v ) l ~1/n},paraalgnnenteropositivo.Cadaenes numerable,debidoaladesigualdadfinitadeBessel.Enefecto,enno puedecontenermsden2llvll2 elementos,asquecadaenesincluso finito.Y launinUenes,por tanto,numerable.) n [Sobreconvergenciadeseriesdevectores,vaseCriterio5.15.] Ejercicio UnabaseortonormaldeH,essiemprebasedeHamelparaH? Respuestamsadelante( 5.5). 5.3.ESPACIOSDEHILBERTSEPARABLES Definicin5.5 UnespaciotopolgicoXsellamaseparablesiposeealgnsubconjunto numerabledensoenX. ESPACIOSDE HILBERT105 Ejemplos 1.EnC"elconjuntodevectoresconcomponentesracionales(partesreale imaginariaracionales)esnumerabledenso. 2.EnC[a,b]lospolinomiosconcoeficientesdetiporacionalesnumerable ydenso. Enelcasoparticular deespaciosmtricos: Proposicin5.6 UnespaciomtricoMesseparablesiyslosiposeeunabasenumerablede abiertos. Demostracin Sea{Ui}.i= 1 una basenumerable de abiertos, esdecirquetodo abiertoU eM esunindeunasubcoleccindelosUiEscojamospuntosx i e Uiporlodems arbitrarios.Esfcilprobar queelconjunto{xi}iesdensoenM. Recprocamente,dadounconjuntodepuntos{x Ji densoenM,lasbolas centradasenlosx iconradiosracionales,constituyenunabasenumerablede abiertosparaM.Bastadarsecuentadeque'v'reQ,'v'xeM,3x;deesacoleccin talqued(x,x;) convergente. Puesbien,comov hadesercombinacinlinealdelosun,tenemos: 00 v:: L(n!)-112un=A1Ua, +A2Ua, + "' +).,u"'r 1 Multiplicandoporui=>(j!)-112 =0parainfinitosvaloresdej.Absurdo! (CQD). 110LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Corolario5.14 HdeHilbertseparablededimensininfinita:::::;.todabaselinealesnonume-rable. AsqueenespaciosdeHilbertseparablesdedimensininfinitanohayque confundirbasedeHamelconbaseortonormal.Debesobretodotenersemuy encuentaquerespectodeunabaselinealdeHamel,todovectoressuma finita, mientras querespecto de una base ortonormal todo vector essuma finitao infinita. Estilteneruncriterioparasabercundounasumainfinitaconvergeenun Hilbert. Criterio5.15(convergenciadeseriesdevectores) Sea{un}funconjuntoortonormaldevectoresdeH,espaciodeHilbert. 0000 convergeenH L!A.lconvergeen 11 Demostracin 00 LA.iuiconvergeenHlasucesindesumasparcialesesdeCauchy 1 -11f.A.iuill-+0,m,n-+oof.IA.il2-+0,m,n-+oof1A.i12 esconvergentem+!m+l1 yaqueescompleto.(CQD). Nteselaanalogadeestacondicinnecesariaysuficienteconladefinicin deloselementosdeH.(i\1),dondeseexigaexactamente,paraqueunasucesin 00 (1X1, ,1Xn,...quefueseLI1Xil2por Gram-Schmidt,entonceslasfunciones {Pn(t)p112(t)}g'sonunabaseortonormalparaL2(sopp). Nota Elmtodo de Gram-Schmidt est justificado porque elproducto escalar introduci-dodefineunaestructurade-espaciodeHilbertparaelconjuntodefunciones ftalesque(/, f)p iii)Cuando sop pesacotado,la condicinimpuesta enellemaestrivialmente satisfecha.Probar as que el ejemplo anterior (1)proporciona en efecto una baseortonormal. 5.7BASESORTONORMALESENVARIASVARIABLES LaconstruccindebasesortonormalesenL2(X)dondeXesunborealiano deRn (n > 1),oenparticularparaL 2 (R),essugeridapor elsiguiente: Teorema5.18 DadosdosborelianosB1 eB2 eR;,ysendasbasesortonormales{!Jf', {gk}f'deL2(B},U(B2) respectivamente,elconjunto{fi(x)gk(y)}fk= 1 constitu-yeunabaseortonormaldeL2(B),dondeB=B1 x B2 eRm+n.(Suponemosel casonotrivial.t(B),.t(B2)#:0.)
Seahik(x,y)=fi(x)gk(y).Entonces,utilizandoelteoremadeFubini(3.8): (hikhi'k.)L(BJ= JB.gk(y)gdy>[t.fi(x)fj(x)dmx ESPACIOS DE HILBERT115 Luego{hik}./:'k=tesortonormal.Paraverqueesbaseusaremos(B03)de5.2. Bastaverque f l.hik=>/=0. Seacpi(y)=f .{(x,y)fi(x)dmx.SetieneVk: JB, Por ser{gk}baseortonormaldeL2(B2)setienecpi(y)=Oc.d.enB2 Luegof .{(x,y)fi(x)dmx=Oc.d.eny,Vj,yalser{Ji}baseortonormalpara JB, U(B1)resultaf(x,y)=Oc.d.enx,c.d.eny. ElteoremadeFubini(3.8)=>/=0eU(B).(CQD). Ejemplos A partir delasbasesde funcionesexpuestas en 5.6,pueden construirse varias basesparaespaciosL2(B),sobreborelianosen~ " .n> l,queseanproductos cartesianos. Enparticular,{(2n)-"12eik-x},dondek=(k1,... ,kn),Vkienteros,ydondekx denotaelproducto escalarusualdevectoresen~ " .esunabaseortonormalpara L2([0,2n] x...x [0,2n]) que da origen a las llamadas series mltiples deFourier. 116LORENZOABELLANASY ALBERTOGALINDO EJERCICIOSDELCAPITULO 5 l.Ortonormalizar,porGram-Schmidt,elsistemal.i.defunciones1,x,x2,en L2[0,1]. 2.Sea{ei}r,1 oo,unabaseortonormalenunHilbertcomplejoseparable Hde dimensinN, finitaono.Probar que3v:#O enHtalque{ei-v}r sigue siendounsistemaortonormalsiyslosiN< oo. 3.Calcularlosa,b,e E e,queminimizanlaintegral f2" 0 1 f(x)-a-b senx-ecos xl2dx donde f(x)=sgn(x-n). 4.Demostrar que elconjunto {P2n}o = { J2n + P2n} de funciones,extrado de labasedeHermiteenL 2 [- 1,1],esbaseortonormalparaelespaciode HilbertHformadoporlasfuncionesenL 2 [- 1,1]quesonpares. 5.Essabidoqueen=(2n)-112ei""',n=O, 1,... ,formanunabaseortonormal enL 2 [0,2n ].Demostrar que: i)TambinesunabaseortonormalparaL2[ -1t,n]. ii)LasfuncionesAcosnx, constituyenunabaseortonormalen L2[0,n]. iii)Idemcone;= Asennx,n l. 6.En 5.6sedanalgunasbasesortonormalesenL 2 (1),siendo1 unintervalo, finitoono,deR.EstasbasessondelaformalfJn(x)=p112(x)p"(x),n=O,1, 2,... ,dondepesuna funcinpositivaycontinua,yPn(x)unpolinomioreal degradon. Demostrar que Pn(x) tienen ceros reales y distintos en elinterior 1 de l. 7.ConsidreseenL2[0,1]elsiguienteconjuntodeelementos:lfJo.o= 1,y 2"'2 si m-1m-1/2
(/Jm,n(X)= -2n/2 SI m-1/2m
oen elresto donden,m,sonenteros, y1 ESPACIOSDE HILBERT117 Demostrar queformaunabaseortonormalenL2[0,1](basedeHaar). 8.Sealafuncin f(x)= I< -l)ncos(2n+ 1)x o2n+ 1 i)Pertenecefa L2[0,2n]? ii)Sumarlaserieanterior. 9.Sabiendoque
hallarelde-sarrollodelxlenseriedepolinomiosdeLegendre,enelintervalo[ -1,1]. JO.Utilizandolaexpresin [GdcesefuncingeneratrizdelospolinomiosdeHermite],desarroare-"''2e;." enseriedefuncionesdeHermitelfJn 11.EselconjuntoAcos nx,npar,unabaseortonormalenL 2 [0,1t ]? DequsubespaciodeL 2 [0,n]loes? 12.Dar unabaseortonormalparaL 2 (B),siendoB = [0,2n] x R. 118LORENZO ABELLANASYALBERTO GALINDO SOLUCIONESA LOSEJERCICIOSDELCAPITULO5 l.Seanv1 =1,v2 =x,v3 =x2DeacuerdoconelteoremadeGram-Schmidt, construimos: W1 =V1,llw1ll=1,U= 1 1 w2 =x-(u1,v2)u1 =x-1/2,llw211 =li' u2=2Jj(x-l/2) 2y 3 221 w3=x-(U,v3)u1-(u2,V3)U2=X-x+ 6 llwJII = 6Js, u3 =6J5(x2-x+ ~ ) Lasfuncionesu1,u2,u3,proporcionanelresultadoquebuscamos. 2.Laexigencia(ei-v, ek-v)=5ik=>llvll2=(ei,v)+(v,ek)=>(ei,v)=IX(constante N independiente de j).LuegoN< oo,ReIX= 11 v 112/2,yv =IXLeiPero estaltima 1 igualdad=> 11 v 112 =N I1XI2Enconsecuencia,NI1XI2 = 2 ReIX.Luegobastatomar 1X=2/N. 3.Lacombinacinlineal~(a0+b0eix+c0e-ix)quedifiereen11112 lomenos v' 2Tr posibledefeslaproporcionadaporeldesarrolloFourier(vase4.7, consecuencia6): a0=(e0,f)=O 4i b0 =(e1,f)=M: v' 2Tr 4i c0=(e_1,f)=li0=- M: v' 2Tt .d1. Sienoen=M: e'"x.Por tanto, v' 2n a=c=O, b= -8/fo 4.Por supuestoque{ P z n } ~esunsistemaortonormal,constituidopor funciones pares.Su carcter completo enHseprueba teniendo en cuenta que Vfe L 2 [- 1,1] esdesarrollableenlaforma ESPACIOSDE HILBERT119 yque(pn,f)=O siemprequen seaimpary fpar. 5.i)EsevidentequeestambinortonormalenL2[ -1t,1t].Denoser base,existira[(
-1t,1t]talque(en,/)=0, 'r/n.Pero O=(en,f>=_l_f" e-inx {(x)dx=( -l)"-l-f2" e-inx {(x-1t)dx J2ic-"J2ico Comolafuncinf(x)=f(x-1t)esunelementononuloenL2[0,21t], laigualdadanteriorviolaraelhechodeque 00 esbaseortonormal enL2[0,21t]. ii)Delocontrario,existiragEU[O,1t], talque g)=O, 'r/n.Ahora bien,lafuncinparG(x)=g(lxl),XE [ -1t,1t],defineunelementono nulodeL2[ -1t,1t],y 1f". (en,G)=M.:. g)=O v 21t_, Contradiccinconi). iii)Anlogamente,conG (x) = g (lxl)sgn (x ). 6.Comop0 esunaconstante((/)otienesignoconstantesobre/.Luego (({)0,({)1)=0, por loque(/)1 debecambiar designoalrecorrer/0,ypor tanto p 1 tiene un cero x 11 E /0Engeneral, Pntiene n ceros simples Xn 1, ,xnnE /0: .o. delocontrario,sixn. 1, ,xn. NN< n,fueranlospuntosen1enquePn cambia designo,podramos escribir Pn (x) = (x- xn. 1).. (x- xn. N)q (x ),siendo qdegradon-N ybienq;;::O, sobre/0Pero(({)i,(/)n)=O, f,P(x)pn(x)P(x)dx=O,V polinomioPdegradoD(Q)=L2(R). Adems,interesantecontrastecon(E0-3),ahoraQnoesacotadoensu dominio.Prubese! Ayuda:Comparar11/11.IIQ/11para f = X1-n.+nJ (E0-6) Seam(x)unafuncinmedibleBorelesencialmenteacotadasobreR,enel sentido de que 3h(x) medibleBorelacotada sobre R talque m(x)=h(x) c.d.Tales funcionesmediblesm(x)secaracterizanporque llmll oc.=inf{tX>OIJ.t({xllm(x)l >tX}) =0} < oo yconstituyenelespacio quepuededemostrarseesBanachbajo1111-x, Esfcilprobar queeloperadorlinealdefinidosobreL 2 (R)por: /(x)-+m(x)f(x) pertenecead'(U(R)), connorma Enparticular,sim(x) = XAAcon.t(A) eloperador correspondiente: {f(x)xeA f(x)-+XA(x)f(x)= 0 esidempotenteydenormal.Es,sencillamente,elproyectorortogonalsobreel subespaciocerradodeaquellasfuncionesconsoporteenA. (E0-7) Fijadaunafuncindedosvariablesrealesk(x, y)eL2(R2),construyamos con ellaeloperadorlineal: ESPACIOSDE HILBERT133 K:f(x)-+ Lk(x,y)f(y)dy=(Kf) (x) ElteoremadeFubini( 3.8)aseguraquek (x,)EL 2 (R),c. d.enx.Yla desigualdaddeSchwarz(osealadeHolderconp=2) afirmaque: IL k(x. Y>JdyryWdyJ esdecir,queIIKfll2 llkll2 11!112,asqueK Ed(L2(R))conIIKII llkll2 EstosoperadoresintegralessellamandeHilbert-Schmidtyjueganunpapel preponderanteenteoradeecuacionesintegralesyenlagestacindelactual contextoabstractodeespaciosdeHilbert. Tendremosocasinmsadelantedevolversobre ellosendetalle. (E0-8) SeaU(R") y fijemosunvectoraER".Eloperadorlineal U a:f(x)-+ f(x-a) es,evidentemente.unabiyeccinisomtrica:11 U .JII2 = 11!112LuegoU a Ed(L 2) conIIUall =l. Nota Esfrecuenteenlaprcticaencontraroperadoresdefinidosindirectamen-teenL2(R"),vaunaaccindirectasobrelosvectoresdeR".As,enestecaso, hayunaoperacinsubyacentedetraslacindevectoresx-+x+a,queinduce sobrelasfuncionesunaaccinUa.Enparticular,U0=IL AsimismoVa:f(x)-+e-iv=O.Locualhaceque3(a+)-1 e!t'(R(a+), D(a+)). Pero
(E0-4) Qf=O=>xf(x)=O,Vxe[a,b)=>f=O.LuegoQesinyectivo,demaneraque 3Q-1 comooperadorlinealconD(Q-1)=R(Q). Adems, sibJentoncesIIQ/112=r 11/112 1 luegoQ-.esacotado,conIIQ-111 min{lal,lbl}. Mientrasquesi eloperadorlinealQ-1 noesacotado.Trataremos elcaso O< bexplcitamente. 142LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Sea/,(x)=Jx[o,k](x).Entonces11/,11=1,'Vn(supongamosnsuficien-1 tementegrandeparaque- O,3e.lM0,conF(e)= l.Notarqueentonces H={e}E!;>M0,luegoM0 cerrado.AplicarCorolario7.8. SeaH=U[a,b],conbasedeHamelB={fa}ae[O.llenlaqueescogemos f11"(x)=x",'Vn>O,f0(x)= l.LaexistenciadetalbaseBvienegarantizadapor (BHl)yejemplo5 en 1.3. [Nota:En 5sevioque la dimensin lineal de L2[a,b]esno numerable.Puede probarsemsexactamentequetienelapotenciadelcontinuo.] DefinamosunfuncionallinealO=FF:H--+ ICmediantesuactuacinsobrela basedeHamel: { 1 rOa=O, -(Vn>O) F(;rz)= n aresto de los a PuestoquefYJeNcleodeF,FesunfuncionallinealnocontinuosobreH. ElteoremadeRieszsugierequepodemosdotarad(H, A)conunproducto escalar.Enefecto,siF1,F2ed(H, A),seanf1,f2,losvectoresdeHquedicho teoremalesasociarespectivamente.Definamoslaaplicacin (.,.): d(H, A)Xd(H, A)--+A Secompruebasindificultadque(.,.) esunproducto escalarsobred(H, A). Por elcorolario3,esteproducto escalar determinalanormapreviamente definida sobred(H, A).Y puestoqued(H, A)escompleto(6.4)sededucequed(H, A) tieneestructuradeespaciodeHilbertsobreA.Esascomoseleconsideraenel restodeestaseccin. 148LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Corolario7.9 LaaplicacinfeH-+F1e.!ii(H,A),dondeF1(g)==.(f,g),esunabiyeccin isomtricaantilineal.(SedicequesonantiisomorfosambosespaciosdeHilbert.) Demostracin La biyeccinesclara por elteorema deRiesz-Frchet.Elcarcter antilinealse debeaque: F;.1(g)=(lf,g)=I(f, g)=IF1(g) (Ydeahelcambiodeordenenladefinicinde(.,.)!).Y esisomtricapor el corolario7.7.(CQD). Notas (1)La dimensinhilbertiana deH y la desudual coinciden.Enconsecuencia, debenserisomorfos( 5.4). En efecto,esfcilver quesisecomponelaaplicacindelcorolario7.9 conuna conjugacinve H-+ ve H(dondeprefijandounabaseortonormal {u,.}de H, se definev= I,.u,., siera v= ;.,.u,.), seobtiene unisomorfismo 1111 deHconsudual. (2)Puede probarse que elespacio dual delespacio deBanachlP(resp.U) con 1 nik>nik'mik>mik 2.o) Sea g elvector con componentes todas nulas excepto las mik -simas, que .11. son1gua esa- respectivamente. nik Que ge/X.esclaroporque:llgii2=I ---3k>Otalque IITnll~ k ,Vn. Demanera queIITvll=limIITnvll~ k l l v l l .(CQD). n-+ao Corolario7.19 (Teoremadelaap6caci6nabierta,Banach) SeanB1,B2,espaciosdeBanach,yseaTe.91(B1,B2)conR(T)=B2 EntoncesTes abierta(esdecir,SabiertoenB1 => T(S) abiertoenB2). Demostracin Consultarpor ejemplo[ReedySimon]. Corolario7.20(Teoremadeloperadorinverso,Banach) SeaTe.91(B1,B2)biyectivo,conB1,B2,espaciosdeBanach.Entonces T-1e.91(B2,B1). Demostracin Elcorolario=> Tabierto=> T-1 continuo.(CQD). Corolario7.21(Teoremadelgrficocerrado) SeanB1,B2,espaciosdeBanach,yseaTe!l'(B1,B2).Entonces: Tacotado elgrficor(T) escerrado Demostracin [=>]Recordar la definicin der(T) en 1.6.Essubespacio lineal deB1 EBB2:=B. Adems,Bconlanormall[v1,v2]ll8= llv1ll8,+ llv2ll8,esunespaciodeBanach. Laafirmacindelteoremaesquer(T)esunsubespaciolinealcerradodeB. Explcitamente,hemosdeprobar quesi [vi,Tvj]--;----+[v,w]entonces[v,w] e r(n J-+"" Deotraformaan,quesi{vi}iesunasucesintalque{vTr-+v, vi convergente entoncesTvr-+ Tv. Seapues{vi}i-:--+v.Automticamente,por serTcontinuo,Tvr-:---+Tv. J-'t 00J- 00 [fo=/0 c.d.=>f0eU(IR). (CQD). EstaproposicinvieneaindicarqueelespaciodeHilbertestcompletoo saturado en elsentido de que losposibles elementos que daran producto escalar finitocontodaslasfuncionesdeL2(1R)yaestabandentrodelespacio. Siseintentauna demostracin directa delaproposicin,esdecirdeltipo:Si f0fiL2(1R),encontremos alguna geL2(1R)tal que la integral de f0g sea infinita, es muchomenosfcildeloquepudieraparecer.Inclusoesasenelcasodiscreto querecogeelprximo: Ejercicio 00 Sea{cxnH"unasucesindenmerospositivostalque'i)nPn < oo, 1 0000 'V{Pn}iquecumplaProbar que11 N Ayuda:Definanse funcionalesFNenll as:FN({Pn}i)='f.cxnPnoN= l,2,... , 1 yaplqueseBanach-Steinhaus. Enestecaso,unademostracindirectalaproporciona{Pn}icon Pn=ncxn(Utilcese elteorema deDini-Pringsheim sobre convergenciade 'f.cxf 1 series[Knopp]). Curiosamente,sinembargo,puedeprobarsequehayunconjuntodensode taleselementosdivergentes.Ellosededucedeunaversinmsprecisadel teoremadeBanach-Steinhaus,queguardamsexplcitalahuelladelteoremade Baire.Tantoesteteoremacomoelyaenunciadoenformadecorolario,suelen llamarsetambinprincipiodeacotacinuniforme. Teorema7.24(Banach-Steinhaus,2.versin) SeaF= {T.. }.. eAed(B1,B2),dondeB1,B2,sonespaciosdeBanach.Dos nicassituaciones(excluyentes)sonposibles: 162LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO a){IITII}eAesacotada(esdecirsupiiTII11 Elvector que lo representa es w est en 12 ya5,.= 4 < oo. 2.a)F1 (f)=(x.,f>Lconx.=x.1- ..... 1eL2 Portantoeslinealy continuo,convectorrepresentanteX b)No eslineal:F2(A.f)=A.2F2(f). e)Tampocoeslineal:F3(0)=FO. 3.i)Imposible,porqueF(O)= 1 esincompatibleconlalinealidad. ii)Por serf!IJdensoenL2[0,27t],lacontinuidaddelsupuestoFexigiraF=O sobreL 2LuegoelnicoejemploposibleeselfuncionalnuloF =O. 4.Bastar exhibirunasucesin{/n}fcC[-1, 1],queseadeCauchyenL2,con lmitee C( -1,+ 1],paralaque{f,.(O)}inoseadeCauchyenC. Tomemos/,.(x)=e-nx.Entonces: n-+oo L' Luegof,.-OeC(-1,+1].Y,sinembargo,/,.(0)=1+0. Nota:Estefuncionaldiscontinuorecibe,enunesquemamsgeneralde funcionaleslineales,elnombrededeltadeDirac,enhonordeltsicoingls P.A.M.Dirac. Nota:Respectodelanormalllloodelsupremo,escontinuaporque 11/lloo 166LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 5.a)Eloperador A1 que cumple q>1(w,v)=(w,Av), Vv,w,eselque sobre labase ortonormal{ei}l"actaas: b {eij~lO}.. { },o )A2ei= 0 j> 10 .Esdecir,A2 =proyectorortogonalsobrelmei 1 { On=l e)A3en=en-t n-1n ~1 211255 6.llwll=9 +16=144 =>llwll=122 convergedbilmentealw.Enefecto: (vn,v)=(w,v)+a(e"'v)- (w,v),Vv n ....cxo puestoque(B06)=>(en,v)-+0,Vv. 7.An40, porque11An-011=11Anii=1+0.n-+oo. (NtesequeAnessencillamenteelproyectorortogonalsobrelin{en}). Enconsecuencia,An ~O automticamente. 8.Simpleconsecuenciade(B06)aplicadoacualquierbaseortonormalque contengaalasucesin{gn}. 9.Lasucesinfn(x)=Xn.n+tJ(x)satisfaceloexigido,deacuerdoconelejercicio anterior. Sirvetambin{ll'n(x) },siendoll'nlasfuncionesdeHermite(vase 5.6). 8 Algunostiposimportantesdeoperadores linealesacotados Nota Apartir deaqu,A= C. 8.1.OPERADORADJUNTO Enestecaptulovanadescribirselaspropiedadesgeneralesmsinteresantes devariasfamiliasdeoperadoreslinealesacotados,cuyadefinicindepende directamentedelanocindeoperadoradjunto. Definicin8.1 Dado A E d(H),Hespacio deHilbert,sedefineeloperador adjunto deAcomo elnicooperadorA+ (E d(H))quesatisface: 1(w,Av)=(A + w,v)1Vv,wEH La existenciay unicidad deA+, para cualquier A E d(H),vienengarantizadaspor elteorema7.11. Suspropiedadesmsimportantesserecogenenelsiguiente: Teorema8.2 i)LaaplicacinA--+ A+estableceunabiyeccinantilinealisomtricade d(H). (Esdecir,IIA+II=IIAII,(r:x.A+fJB)+=aA++fJB+.) ii)(AB)+=B+ A+. iii)(A+)+ =A. iv)A,A-1Ed(H)=(A+)-1=(A-1)+Ed(H). v)IIA + All =IIAII2 168LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Demostracin i)Elcarcterantilinealeinyectivosesiguedelaspropiedadesdel productoescalar( 4.1 ).Enefecto, A+ =B+ =>(w,(A-B)v)=O,'r/v,wEH=>(A-B)v=O,'rlvEH=>A=B Encuantoalcarcterisomtricoesconsecuenciadelteoremaex-puesto en 7.2, aplicado a la formasesquilineal acotada cp(v,w) =(Av, w). Queesbiyeccinessimpleconsecuenciadeiii). ii),iii)Elementales. iv)Bastatomar adjuntosenAA-1 =A-1 A= 1,teniendoencuentaii)y el hechodeser1 +=l. v)IIA + All~IIA + IIIIAII=IIAII2utilizandolaproposicin6.9. Porotraparte,deIIAvii2=(Av,Av)=(v,A+ A v ) ~IIA + Allllvll2 dedu-cimosqueI I A I I2~ I I A +All(CQD). Ntese que ascomoA E d(H)puede tener onoasociadounoperador inverso A-1,ahorapor elcontrario,enloqueserefierealadjunto,todoA E d(H)lleva asociadosuA+(siempreexiste). Ejercicio Mustreselavaliqezdelasiguientereglaprctica:Unoperador linealacotado pasa deuno aotro lado delproducto escalar cambindolo por suadjunto. Topolgicamente,laoperacindetomar adjuntossecomportaas: Proposicin8.3 LaaplicacinA E d(H)-+ A+ E d(H),HespaciodeHilbert,escontinua: i)Enlatopologauniformeded(H), 'r/H. ii)Enlatopologafuerteded(H), siyslosidimH < oo. iii)Enlatopologadbilded(H), 'r/H. Demostracin i)SiAn ~A,entonces11 An-A 11--+ O ytomandoadjuntos=> 11 A: -A+ 11 = n-eco IIAn-AII--+0. n-eco ii)Debidoa(E0-1) en 6.5,bastaverquesidimHesinfinita,laoperacin A-+ A+noescontinua.Enefecto,seaH = 12 EBH'(12 =12 eapartirde ahora)yconsideremoseloperadorT + 1 end(/2),definidoen(E0-2), ESPACIOSDEHILBERT169 seccin 6.5,extendidotrivialmente comoceroaH'.Sabemos quen 1O, yqueT"-t 1 .:f.O.PeroT + 1 =comosecompruebafcilmente,yno obstanteT"-1 .!. O.(ParaladefinicindeT _" vaseabajoejemplo3). iii)Evidentedelasdefiniciones.(CQD). Talveznoestdemsobservar quepesealascomparaciones establecidas de 7.4entrelastrestopologasded(H)citadas,nohaycontradiccin conelcontenidodelaproposicin8.3.Recurdesequesiunaaplicacin entreespaciostopolgicosf:(X,.2")--+ (Y,.2"'),escontinuaenlastopolo-gasindicadas.2"y .2"',esautomticamentecontinua sisesustituye.2"por unatopologamsfinay .2"'por otramenosfina.Peronotienepor qu mantenersecontinuasiambasserefinanoserebajanalmismotiempo! Ejemplos 1.1 + =1.o+ =O. 2.SidimH=nAed(H),peseaserD(A)=H porhiptesisimplcitaenladefinicinde!l'(H).Podrapensarsequeelserno acotadounoperador linealvaasociadoalhechodenopoder estar definidosobre todoslosvectoresdeH.(Talocurraconlosejemplos(E04),(E05),dondeal pasarasernocontinuo,eloperadorperdadominioenciertosentido.)Perono esciertatalapreciacin.Noestardemsdarunejemploexplcitodeoperador linealdefinidosobretodoslosvectoresdeH,peronoacotadosobreH. Ejemplo(Ae!l'(H)-d(H)) Sea{enH"unabaseortonormal deH, separable.Dadoque{en} 1 esl.i., existe unabasedeHamelB={u,.},.e1011 quecontienelosencomou11".Definamos A:H-+Has: {OIU11 Au,.= o 1 si01::/:-,Vn n .11. st01=- , a gun n n yloextendemoslinealmenteaH.Evidentemente,A e !l' (H)ysinembargo, A, .91 (H),porque delocontrario,alserA e"= O,Vn,habradeserpor linealidad ycontinuidadA =0,queesfalso. Nota(DefinicindeAed(H) porsuaccinsobreunabaseortonormal) Ladiscusinanteriorhaceaconsejablepuntualizarquedadaunaasignacin univaluadaacadavectordeunabaseortonormal{en}ldeH,Hilbertseparable, digamosen-+fneH,existealosumounnicooperadorAed(H)quehaga Aen= fn,Vn. 174LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Deahquemuchasvecesserecurra,porcomodidad,adefinirunoperador AEd(H)sinmsquedarsuaccinsobreunabaseortonormal:Aen=fn (n= l, 2,... ). Sinembargo,noparatodaasignacinen-+ fnexisteunoperadorA E d(H) quelaimplemente(considrese,porejemplo,enelcasodedimHinfinita, en-+ fn=nen;obienen-+ fn=e1,Vn).Unacondicinqueaseguralaexistenciade AesqueIllfnll2O,luego3f -lim(PMPN)"=XPN. n Porltimo,alserPMPNA"=A"+ 1,severificaPMPNX =X, deforma quesiXv=vhadeserPMPNv=v.Esdecir,queveM,veN(puesdelo contrarioseraIIPNvll< llvll.luegollvll=IIPMPNvll:s::;IIPNvll< llvll;contra-diccin).Dichodeotramanera,veMnN. Recprocamente,ve MnN=> Av= v =>Xv = v. Enconsecuencia,X= P MA P Nyportanto, ii)[=>]PMA PN=PMPN=>PMPNdebeserautoadjunto,porserPMA PNun proyectorortogonal.ElloexigeobviamentePMPN=PNPM. [(PMPN)"=PMPN=>PMAPN=PMPN,pori). iii)EssuficienteindicarqueMV N=(MJ.ANJ.)\ demodoqueasuvez iv)Evidentedeloanterior(CQD). Elcomportamientobajosumasoproductosvieneresumidoenelsiguiente: Criterio8.18 DadosproyectoresortogonalesP,Q enH: a)P+Q esproyectorortogonalPQ=QP=O. (SedicequeP .LQ,puesproyectansobresubespaciosmutuamenteortogo-nalesentalcaso.) b)PQesproyectorortogonalPQ=QP. e)P-Q esproyectorortogonalQ:s::;P. YproyectanrespectivamentesobrePH(fJQH,PH AQH,PH8QH. 182LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Demostracin a)[iii]Comou-1 ed(H), U esbiyectivo.Por otrolado,(Uv,Uw)=(U+ Uv,w) =(v,w),luegoUconservaproductos escalares. ESPACIOSDE 11/LBERT185 [iii=>i]PorserUbiyectivo,sededucede(Uv,Uw)=(v,w)que(v,Uw)= (U-1v,w),Vv,wEH.Luegou-1=U+. [iiiii]LanicacosanotrivialaverificaresqueelserUisomtricoenH, que por definicin(2.4) significa11 U vil= llvll.VvE H, esequivalente ala conserva-cindeproductos escalares:(Uv,Uw)=(v,w),Vv,wEH (**). Obviamente(**)=>Uisomtrico. Para elrecproco,supuestoqueUesisomtrico,tendremosporlaidentidad depolarizacin( 4.5): 1111 Re(Uv,Uw)= IIU(v+w)ll2- IIU(v-w)ll2=llv+wll2- llv-wii2=Re(v,w) Ysustituyendow poriw=>lm(Uv,Uw)=lm(v,w)=>(CQD). [iv=>iii]Sea{e}e1 eHunabaseortonormal,ysea Ue}e1 labase transformadabajoU.EsfcilconvencersedequeUestableceunabiyeccin H-+H, explcitamenteV=LA.e++ conlasmismascomponentesque 11 v,peroreferidasalanuevabase.(Sobreelsentidodeestossumatorios,vase apndicealfinaldelcaptulo.) Adems(Uv, LJlej)= IJl=(v, w),segn elteorema5.4 en 5.2.111 [iii=>iv]Sencilloejercicio. [i v]Elemental. (CQD) Corolario8.24 SeaA E d(H)isomtrico.Entonces:Aunitario RecorridodeA= H Corolario8.25 SiA E d(H), dim(H) < oo:AisomtricoAunitario. Ejercicio Probar que una isometraT:H-+ Hcumpler+ T =1,pero no necesa-riamenteTT+ =l. Ejemplos l.Una matriz A =((Aii)) referida auna cierta base ortonormal de C",represen-taunoperadorunitariosiyslosi(A')= A-1 2.Conlanotacindelejemplo8.1,eloperadorMesunitariosiyslosi lm(x)l =1,c.d. 186LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO 00 3.Con lanotacin delteorema 8.20,prubese que ~ ) n P nesunitariosiy slo 00 1 siIA.nl=l,'rlnY LPn=l. 1 4.LosoperadoresUa,V,,U(R)introducidosen6.5sonunitariosensus respectivos espaciosdeHilbert.Efectivamente, como ya seindic aldefinir-los,proporcionanbiyeccionesisomtricassobredichosespacios. 5.Heaquunejemplosencillodeoperadorisomtricoend(H) quenoes unitario. Considresesobre/2 elejemplo(E0-2) de 6.5,esdecireloperador Sucarcter isomtrico salta ala vista,pero no esunitario pues surecorrido esortogonalalvector(1,O,O,... )yenconsecuencianodenso.(Sise prefiere,msdirectamentedelapropiadefinicindeunitario,T + 1 noes biyectivo.) [Esteltimoejemploensealanicamaneraqueexiste,esencialmente, deformarisometras.Porquepuedeprobarse: Proposicin8.26(Halmos) TodaisometraenunHilbertseparableesounitariaosumadirectadeun operador unitarioy ciertonmero(finitoono)decopiasdeT + 1,osumadirecta decopiasdeT + 1.] 6.Unejemploextraordinariamenteimportantedeoperadorunitarioesla transformacindeFourier,queporsuintersrelegamosaunaseccin aparte,para exponerloconmsdetalle. Ejercicios a)U 1,U 2,unitarios+ U 1 +U 2 unitario. Contraejemplo:U 1 = U 2 =l. b)U1,U2,unitarios=>U1 U2 unitario. e)Probar quelosunitarios end(H) formanungrupoo//(H)(llama-dogrupounitariodeH). Nota:Puede incluso probarse que las topologas fuertey dbil para d(H) introducidas en 7.4 coinciden sobre o//(H) y en esta topolo-gao//(H)esungrupotopolgico. d)A e d(H)unitarioyautoadjuntoalavez=> A 2 =l. e)Elnicoproyectorortogonalunitarioesl. ESPACIOS DEHILBERT187 f)LasisometrasenJi/ (H)tienenporrecorridounsubespaciolineal cerrado.Peroestonoescierto,engeneral,paratodoA e Ji/ (H) comomuestraelsiguienteejemplo:SeaQ:f(x)-+xf(x),definido enL2[0,1].Qed(H) (E0-4,6.5).SurecorridonoesH:as 1 :Fxf(x),Vf eH;sinembargo,sigl.QH,xg(x)seraortogonal aH.Imposiblesig=FO.LuegoelrecorridodeQ no escerrado. Finalmente, para ver cmo en ciertos casos simples puede asegurarse explcita-mentelaexistenciadeuna expresindeunoperadorunitariocomocombinacin linealdeproyectoresortogonales,alamaneraquesugiereelteorema8.20yel posteriorcomentario,supongamosununitarioU ed/I(H)talqueun= 1,para algnenteron >O. Seane0,e1,... ,en-llasracesn-simasdelaunidad.Formemos: n-1n-1 ComoL i{-1 = esclaroqueU=L e;P;.SilogramosprobarquelosP; i=Oi=O sonproyectoresortogonalesyquePl.Pi,i=Fj,habremoslogradoladeseada descomposicin. Pero(U')+= u-= un-,=P;.Por otraparte,deducimosde n-1 L+ = r.s=O queLuegoquedaprobado. As,porejemplo,siU2 = 1(comoenFsicaeloperadorparidadoinversin espacial): 11 U= P 0- P 1,conPo= 2 (1 + U),P 1 = 2 (1 - U) P 0 proyectasobreelsubespaciodelasfuncionesparesyP 1 sobreeldelas impares. SiU4=1 (cualeselcaso transformacindeFourier (8.6)) con U =P0+iP1-P2-iP3 1 Po= -(1 +U +U2+U3) 4 1 P1 = (1-iU -U2+iU3) 123 P2 =(l-U+U-U) 1 P3=(l +iU-U2-iU3) 188LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Adelantandoideas,siq>"sonlasfuncionesdeHermite( 5.6),P 0,P 1,P 2 y P 3 proyectanrespectivamentesobreloscierresde: lin({q>0,q>4,... }),lin({q>3,q>7,... }),lin({rp2,q>6,... }),lin({q>1,q>5,... }) 8.6LATRANFORMACINDEFOURIERCOMOOPERADOR UNITARIOSOBREL2 LatransformacindeFourierocupaunlugarpreferenteenlasaplicaciones delAnlisisFuncionalenmuydiversoscamposdelaFsica,siempreligadaal conceptodemagnitudesduales(posicinymomento,tiempoyenerga ...).Aun cuando hacer justicia asuenorme importancia exigira dedicarlemuchas pginas, noslimitaremosenestasnotasarecogervariasfacetasdesucontenidodesdeel punto devistamatemtico,eludiendolasaplicaciones concretasquenossacaran fueradelobjetivoprincipal. En esta seccin concretamente, presentaremos la transformacin de Fourier en L 2 (R),donde aparece comoun operador unitario,y encaja por tanto en elactual contextoenquenosmovemos. SuelellamarseformalmentetransformacindeFourierala aplicacin 1f +co M- e-i"'f(x)dx V2n-co definida(cuandoexistalaintegral)sobrefuncionesfdediversosespaciosfun-cionales. Aqupretendemosdefinir' sobrelasfuncionesdeL2(R).Yelprimerpaso paraelloesdar sentidoalaaccin'sobreunabaseortonormal. Lema 8.27 Sea{rpn}olabase ortonormal deL2(R) constituida por lasfuncionesq>n(x)de Hermite( 5.6).Entonces Vn;;l!:O,VyeR Demostracin Esunlaboriosoejerciciosobreintegracinporpartes.Vaseporejemplo [Helmberg]. Portanto,puededefinirseunnicooperadorlineal'sobrelin{q>0,q>1,.. ,} talque'q>n=( -i)"q>n,Vn;;l!:O.AsparaVfelin{rp1,q>2,... }tienesentidola definicin: 1J+co. f(y)=(,f)(y)=M- e-'"'f(x)dx V 27t-co ESPACIOS DE HILBERT189 Lema8.28 i)'v'/Elin{qJ0,qJ1,
ii)unabiyeccinisomtricadelin {qJ0,qJ 1, }sobre smismo. iii)Elinversosobrelin{qJ0,qJ1, }eseloperador definidocomo 1J+ao. -1 g)(x) =M- e'"' g(y)dy, V 21t-ao g E lin {qJ0,qJ t> } Demostracin N i)Cualquier f = "f)n IPnoNfinito, es integrable Lebesgue (porque 'v' IPn EL 1 (R), o queesespaciolineal).Luego 'v'yER ii)Ydelaexpresinobtenidaparafcomocombinacinlinealdelas funcionesdeHermite(baseortonormal)sededucefcilmenteque Su carcter inyectivo se deduce en que-g)ll =0=> 11/ -gil =0, y ade-msessuprayectivoporquedadaf=tAnl'fJnsetiene iii)Consecuencia inmediata de(*), pues
-x) (CQD). Teorema8.29 a)3 un (nico) operador Ed(L2(R)) tal que 'v'/Elin{qJ0,qJ1, }: 1J+ao. M- e-'"'f(x)dx V 21t-ao 'v'yER
e'"'g(y)dy 1J+ao. J2ic-ao 'v'xER (ElsellamatransformacindeFouriersobreL2(R).) 190LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO b)Laactuacinde, ;;-1 enU(IR) vienedadaporlasfrmulas: idf +ce e-i:Jcy_l (:F f) (y)=M: -df(x)dx y2nY-ocX c.d.enIR, (!F-1g)(x)=-- --g(y)dy - idf +oceixy - l J2ir dx-ocY c.d.enIRx paraf,g E U (IR),arbitrarias. e)Sienparticular f, gEL 1 (IR)nU(IR) entonces lJ+oc. (!Ff)(y)=- e-x'f(x)dx J2ir-oc c.d.enIR, C.d.enIRx Demostracin a)Simpleaplicacindelteorema6.4,habidacuentadeque{IPn}oesbase ortonormalparaL2(1R). b)Dada una sucesin de Cauchy {fn}i e: lin{q>0,IPt>... },con lmite /EL2(1R), setiene que;; f=lim;; fn,por continuidad.Y,por otra parte, dados P ~rx. n .... oc reales,lacontinuidaddelproductoescalarpermiteescribir ffl)J+oc.1J+oc[J/1.] =limM:e-x'fn(x)dydx= limM:e-x'dyfn(x)dx= n.... ocy21r-ocn.... ocy21r-oc f + oc- iflx- iu 1e-e =limM:fn(x)dx n.... ocy21r-ocX LautilizacindelteoremadeFubini( 3.8)vienejustificadaalserfn EL 1 (IR), pues fflf+ocf+oc -ocle-ixyfn(x)ldxdy=(P-rx.)-oc1/n(x)ldxcualquierpolinomioenA,A+,estodavanormal. iv)Un operador lineal en C"esnormal siy slo sisumatrizrepresenta-tivaenunabaseortonormalesunitariamenteequivalenteauna matrizdiagonal.Enotraspalabras,siyslosi3baseortonormal respecto de la cual la matriz representativa deloperador es diagonal. vii)Quelafamiliadeoperadoresnormalesesmsampliaquelos unitarios y autoadjuntos unidos, lomuestra el ejemplo (:!)e d(IR2). viii)AnormaltalqueA2=0=>A=0. [Ayuda:(A+Av, A+ Av)=(Av, A+ A2v)=O, VveH=>A+ A=O.Luego (Av,Av)=O,VveH=>A=O.] ix)Porelcontrarioexistenoperadores(nonormales)A :;i:Otalesque A2=0.Ejemplo
x)UnaisometraparcialWesnormalsiy slosiDl(W')=R(W'). [Ayuda:vaseelteorema8.31.] 8.9.APNDICl!(FAMILIASSUMABLES) Auncuandoyaenanteriorescaptulossehanutilizadoexpresionesdesuma L sobreconjuntosarbitrariosdendices(nonumerablesengeneral),puedeser aeA conveniente,parafijarideas,exponerbrevementeelsignificadoqueseatribuyea dichossmbolos. SeaAunafamiliadendicescualquiera.Y sea{v .. }.. eAunafamiliadevectores enunespacioXconproductoescalar,quevienerotuladaporelconjuntode ndicesA. Sedicequelafamilia{v .. }.. eAeX essumable,consumaveX, siVe>O,3una subcoleccinfinitadendicesJ0=J0(e)talquellv- L v.. llA+BeCC2(H),yademsIIA+BII2 IIAII2 + IIBbporque dadaunabaseortonormal{e.,},yunsubconjuntofinitoJdendices,se cumple: [ J'2 + 11Be211)2 J'2
+[
IIAII2+ IIBII2 dedonde iii)Xe.r#(H),AeCC2(H)=>AX, XAeCC2(H),y ademsIIAXb IIXII IIAbEnefecto,si{e.,}esbaseortonormal,
IIXII2LI1Ae.,ll2= IIXII2 IIXIIIIAII2 "" Paralaotradesigualdad: I11AXe.,II2=IIIX+ A+
IIX+II2 IIA+IIt 2" y comoux+ 11 = IIXIIy IIA + 112 = IIAII2,resulta finalmente IIXIIIIAII2 iv)Laaplicacin11112:AeCC2(H)-+IIAII2eal definesobreCC2(H)unanorma. LapropiedadN 1 esobviay lasrestanteshansidoyaestablecidas. ESPACIOSDE HILBERT203 v)Dotadodeesaestructuranormada,ce2(H) escompleto.Vemoslo: Dada {en} 'f e: ce 2 (H), de Cauchy en la norma11112,automticamente lo esen1111comoconsecuenciadelprecedenteteorema9.7.Asque Faltaprobar queeEce2(H). Dado e>O,sabemosllen-emll2 0talquellvnll 'r/n,loquenosasegurallvll Yensegundolugar,dadoe>Oyunabaseortonormal{e11},3unconjunto finitoJdendicestalqueL11Ae"ll2n(?m)(x,y)=q>n(x)(?m(y).Por lotanto: k(x,y)= L kn.mf/Jn(x)(?m(Y)c.d. n.m ESPACIOSDE HILBERT205 siendo2: lkn,ml2 = Jlk(x,y)l2 dx dy.Por consiguiente, n,m n,mn,m Ntesepuesque la definicin de norma Hilbert-Schmidt dada para K en 6.5coincideconlaabstracta. (OHS4)Considreseen[2laaplicacinlinealdefinidacomo ao Aen=LAmnem m=l siendo{en} ilabaseestndar.Si2: IAmnl2 < oo,entoncesparatodo m,n v = IA.nen E 12 laserieAv= 2:(2:AmnAn)emconvergefuertementey 1mn defineA E re 2 (H). (Essencillamenteun caso semejante alanterior,peroconunamedida sobreIRdadaporunasumademedidasdiscretas,tipodeDirac, concentradasenlosnaturales.) Paraterminarestaseccinenunciaremosunresultadoque,apartedeser necesarioms abajo por razonestcnicas,tiene interspor dotar a re 2 (H) conuna estructuradeespaciodeHilbert. Proposicin9.12 SeanB,CEre2(H).EntoncesLI(Be.,,Ce.,)jtriiAII =0=>IAI112=0=> IAI=O=>A=O. Encuantoa(N4),desigualdadtriangular,seanlasrespectivasdes-composicionespolaresdeA,B,A+ B: A=WAIAI,B=W8IBI,A+B=WIA+BI EntonceslA+ Bl =w+ WA IAI +w+ WsiBI => IIA+BII1 =triA+BI=tr(w+ WAIAI)+tr(w+IIW+ WAIIIIAII1 + +IIW+ WsiiIIBII1 IIAII1 +118111 dondehemosutilizado iii). ii)A= WAIAI=>IIA + ll1 =triA +l=tr(WAIAI W.t)=tr(W1 WAIAI)=triAI= IIAII1 iii)XA=XWAIAI,XA=W'IXAI=>IXAI=W'+XWAIAI=YIAI,denotando Y=W'+ XWA Puestoque11 Yll IIXII,seobtiene: triXAI =tr(YIAI)=tr(YIAI112IAI112)=(IAI112 y+,
IIIAI112112IIIAI112 y+ 11211 y+
IIXIIIIAI11 Elotro casoesanlogo. iv)PoniendoA= WA IAI,bastaaplicariii) (CQD). ESPACIOS DE HILBERT209 Larelacinexistenteentrelostrestiposdeoperadoresmanejadoshastael momento enestecaptulo (compactos,Hilbert-Schmidty trazables)quedaaclara-da enelprximo: Teorema9.19 a)A 1 (H) 11 A 11 11 A ll2 11 A ll1 b)
Demostracin a)IIAII1=triAI=(IAI112 IAI112),
IIAII2IIAII1 dondehemosutilizadoelteorema9.7,queasuvezcompletaladoble desigualdadrequerida. b)Simpleconsecuenciadea).(CQD). Volviendoalaestructuranormadade 1 (H): Teorema9.20 1(H),11111)esBanach. Demostracin Toda sucesin de Cauchy {An} 'f en ese espacio normado es tambin de Cauchy enlllb, por elteorema ltimo, y de acuerdo con elteorema
Falta probar que
y que11An-AII1-0. Enefecto,de se n-+ oo sigue(vaseejercicio(a) alfinalde8.3)que lA-AmiYcomo 11 An-Am111 -+O,paran,m-+ oo,dadoe> O,setendr,dadaunabaseortonormal, paracualquierconjuntofinitoJ: L (e .. ,IAn-Amle.. ) A 1 (H). 00 2.UnoperadordeltipoA=:LA.nPn,A.nPn=#O,'Vn(notacinde8.4,teore-1 ma 8.20)estrazablesiyslosi'VPnesderangofinitornyadems 000000 :LIA.nlrn]A.ep(A)=>3(A-A.)-1 acotado ensudominioR(A-A.), densoenH.Que-remosprobarqueR(A-A.)=H.Sinolofuera,elteorema6.4permiteextender unvocamente (A- A.) -1 atodo elespacioH.Pero dadoque elrecorridoR(A- A.)-1 eraya(antesdelaextensin)H,concluimosqueeloperador extensin(.f-:1)-1 noesinyectivo,esdecir,3w#Otalque
(*). Pero,por otro lado, de la construccin de (,4-:'1')-1,vase 6.2,sededuce que 3enR(A-A.) algunasucesin{wn}f'-+wtalque -----' O=(A -A.)-1 w=lim(A -A.)-1 wn Aplicandoaambosmiembroseloperadorcontinuo(A- A.)sellegaauna contradiccincon(*). [ Evidente(CQD) Uncriteriomenossimpleperomsgeneralparamuchassituacionesesel siguiente: Criterio10.5 Sea A: D(A) eH-+ Hlineal.Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: a)3sucesin{vn}f'eD(A) conllvnll=l,Vn,talque(A-A.)vn-+0. b)(A-A.)-1 onoexisteosiexistenoesacotado ensudominio. Demostracin [a=>b]Si3(A-A.)-1,losvectoresWn=tienennormaunidady,sin embargo,II(A-A.)-1wnll- oo,porloque(A-A.)-1 nopuedeseracotado. n-+oo [b=>a]Si
entoncesexistealgnvconllvll=lenD(A)talque (A-A.)v=O. Luegolasucesintrivial{v,v,v,... }cumplea). Si3 (A- A.)-1,peronoesacotadoensudominio,setieneque 3w(#O)eD((A-A.)-1)talqueII(A-A.)-1wnll-00 nllwnlln-+oo Luegolasucesin{(A-A.)-1wn}f',normalizada,cumplea)(CQD). Nota SiA.eup(A),puede escogerse la tal sucesin{vn}f' eH)., con Joque estrictamen-te(A-A.)vn=O,Vn.Sinembargo,cuandoA.edc{A),porejemplo,latalsucesin {Vn} f'debetenerforzosamenteinfinitosvectoresdistintOS,yademsningunode ellosestrictamenteaniquiladopor(A- A.).Aunqueseacercaindefinidamentea ello,noloconsigue. 216LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Corolario10.6 SeaA:D(A) eH-+ Hlineal. 3{vn}feD(A),llvnll=l,talque(A-A.)vn--;;=;+0=>A.ea(A). Ejercicio Probar quelasiguienteafirmacinesfalsa: 3 {vn}f eD(A),llvnll=1,tal que O ~ ( A-A.)vn--;;=;+ O=>A.ea,(A)uac(A) [Ayuda:ConsidreseeloperadorA ed(/2)definidocomo {On impar} Aen=en,paraelqueA.=Oeap(A)] - n par n 10.2.PROPIEDADESTOPOLGICASDEa(A)Yp(A) Referentealaparticinconjuntistaaup=C,vamosaverquepes siempre unabiertoyauncerradodelplano. Lema10.7 SeaA:D(A) eH -+Hlineal.SeaA.eCtalque3(A-A.)-1 yesacotadoensu dominio.Entonces,para 'VJJ.talqueIJJ.-A.I < II(A -A.)-111-1 severificaque: i)3(A-JJ.)-1 yesacotadoensudominio. ~ ~ = ii)R(A-JJ.)noessubespaciopropiodeR(A-A.). [PorII(A-A.)-111 entendemoslanormaJe (A-A.)-1 sobresudominioR(A-A.).] Demostracin VveD(A)=> 11(.4-JJ.)vll =li(A-A.+A.-JJ.)tll ~II(A-A.)vii-IA.-JJ.IIIvll ~II(A-A.)vii-IA.-JJ.I II(A -A.)-111 II(A -A.) vil= II(A -A.) vil [1-IA.- JJ.III(A -A.)-1111~ o ysloesO cuandov =O.Asque3 (A- JJ.)-1Yesacotadoensudominio,pues llamandow:=(A-JJ.)v: ESPACIOSDE HILBERT217 Finalmente, siR(A-p) fuesesubespaciopropio de R(A-A.), 3woconllwoll =1 en R(A-A.)8R(A-p). Tomandounasucesin {wn}f ={(A-A.)vn}f e: R(A-A.)talqueWo, 1 llwo-(A-p)vnll llwo-(A-A.)vnll +IA.-plllvnllllwo-Wnll +IA.-piII(A-A.)-11111wn11 Haciendo n-+ oose llega a1pi II(A -A.)-111.contrario ala hiptesis (CQD). Teorema10.8 VA=>p(A)abierto,u(A) cerradoenIR2 Demostracin Esconsecuenciainmediatadellemaanterior. En elresto de esta seccin vamos arestringir nuestra atencin alosoperadores acotadoscondominioH. Teorema10.9(SeriedeC.Neumann) SiAed(H) yIA.I> IIAII,entonces a)A.ep(A). -1 oo(A)" b)(A -A.)-1 = TI, serieconvergenteennorma end(H). Demostracin II(A -A.)vll IA.IIIvii-IIAvlly sloesO siv=O.Luego3(A-A.)-1 y esacotadoensudominio. Falta ver que R(A-A.)=H. Observemos a tal finque cuando IA.I> IIAII. la serie -1 oo(A)" I convergeuniformemente,ypor tantoXed(H). Adems(A -A.) X= 1 =X(A -A.), fcildecomprobar.AsqueX= (A- A.)-1 pertenecead(H)(CQD). Corolario10.10 SeanA,Bed(H): 218LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Demostracin Enefecto,IIA -l B-111:::;:IIA -1IIIIB-AII lv(A")I:s:;;l,V enteron>O. Ejercicio a)noesmejorable.Considrese d(C2).EntoncesIIAII=1 ylv(A)I = Prubese. 11 Espectrodeunitariosyautoadjuntosend(H) Enestecaptuloseinvestiganaquellascaractersticasgeneralesquegozanlos espectrosdediversasfamiliasdeoperadoresacotados.Quedaaparteelespectro delosoperadorescompactos,queporsuconexinconlateoradeecuaciones integralesadquiereentidadpropiaysertratadodespus. JI. l.ESPECTRODEOPERADORESNORMALES Dado queambos alavez,unitarios y autoadjuntos acotados, caenenglobados enlosllamadosoperadoresnormales,comenzaremospor estudiarstos,puessus propiedadessondoblementeaprovechables(vase 8.8). Teorema11.1 SiA E .91 (H)esnormal,entonces: a)Av=A.v-A + v=Xv Demostracin a)Si(A -A.)v=O,elcriterio8.36=>(A + -X)v=O.Elrecprocoporsimetra. b)A.2(v1,v2)=(v1,Av2)=(A + v1,v2)=(X1 v1,v2)=A.1 (v1,v2).(CQD). Mientrasestoaclaramucholacuestindea P'nuestroprximoresultadose refiereala,,quedesaparecedeescena(afortunadamente,cabradecir). Teorema11.2 A E .91 (H)normal=> a,(A) = (/). 224LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Demostracin Si3A.eu,(A),la parte a)anterior junto conelteorema10.13conduciranaun absurdo.En efectoA.eu,(A)=>Ieup(A +)=>A.eup(A),absurdo!(CQD). Conviene hacer notar que la ortogonalidad de vectores propios contenida en el teorema11.1,parteb),noesciertaengeneralparaoperadoresarbitrarios.Es elementaldarcontraejemplos(cogerdimH = 2incluso).Sinembargo,siempre esciertaotrapropiedadmenosfuerte:laindependencialineal. Proposicin11.3 SeaA:D(A)Hlineal.Sean eup(A),A.i#A.ksij#k.Sean Avi=A.ivi,vi#O,1 ::;.j::;.N.Entoncesv1,v2,... ,vN,sonl.i. Demostracin Por induccin.EstrivialparaN= l. Supuesto ciertopara n-1, esdecir,que{viH-1 son l.i.,veamosqueson l.i.tambin. nnn-1 Enefecto,'f.Pivi=O=>0= (A-A.n)LPivi='f. Pi(A.i-A.n)vi=> 111 =>P1 =P2==Pn-1 =0=>Pn=O(CQD) Y en cuanto al u P'no est dems poner en guardia al lector sobre la existencia deoperadoreslineales(nonormales,claroest)conu rconstituidoporun continuodepuntos(vaseelejemplodelaprximaseccion11.3yaplqueseel teorema10.13). 11.2.ESPECTRODEUNITARIOS Yasabemos queu,=(/).AhoralocalizaremosloquequedauPuucdemanera muyprecisa. Teorema11.4 Uunitario=>u(U)e{A.:IA.I=l}. Demostracin Sabemos ya que {IA.I> 1}ep(A), por elteorema10.9.Adems A.=Oep(U), por elcriterio10.4,yaque3U-1=U+e.9/(H).Yellema10.7=>{1A.IIA.I2(v,v)=(Av,Av)=(v,v)=>IA.I=1 Pero ya niesu,=(/), ni est todo elu en la circunferenciaunidad.Un teorema deHalmos[vase 8.5]afirmaquetoda isometranounitaria esisomorfaasuma directadeunitariosEt>copiasdelT + 1Deahelintersdeprototipode T + 1,quepasamosaanalizar.(Esademsunbuenejerciciodeclculode espectros.) EspectrodeT + 1 Evidentemente,up(T+1)=(/),pues(T+1-A.)v=Oexigev=O.Yesclaroque {IA.I> 1}e: p(T+ 1),porque isomtrico =>11 T + 111 =l. Veamos siR(T+ 1- A.)esdenso onoen12 SeaIA.I< l.Entonceselvectorw = (1,I,P,... , n,... ) E 12 yesortogonala R(T+ 1 -A.)luegosteesnodenso.Deaqu{IA.I< 1}e: u,(T+ 1). EncuantoalosIA.I=1,yanoexistetalw E 12LuegoFtu ,. Comouescerrado,{IA.I=1}e: uc(T + 1). Ejercicio Calcularu(L 1),usandoelteorema10.13. 11.4.ESPECTRODE AUTOADJUNTOSEN d(H) Nuevamentesabemosyaqueu,=(/).Yahoralocalizaremosenloposibleel resto. 226LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Teorema11.5 { 1)a(A) eR,a.(A) =(/) A e .91 (H)autoadjunto => 2)a(A) e[inf(v,Av),sup(v,Av)] llvll=lllvll=l Demostracin VA.=a+ib,b:;{:O: JI(A-A.)vii2=11(A-a)vll2+b2llvJI2;;:b2llvll2 (=0 siy slosiv=O) por loque3(A-A.)-1 acotadoensudominioR(A-A.).Y a.=(/)=>A.ep(A). Lalocalizacinentreinf ysupdelosvaloresmediosessimpleconsecuencia delodichosobrerangonumrico(teorema10.16)(CQD). Anpuedeaadirseunanuevaprecisin,queenciertomodoratificala proposicin10.12. Proposicin11.6 SeaAautoadjunto ed(H), con m=inf(v,Av) y M=sup(v,Av).Entonces llvll=lllvll=l m,Mea(A).. Demostracin HaremosexplcitamenteelcasodeM,pueselotroesanlogo. Recordandoelejercicio1 en 10.1,podemosestudiareloperadorB =A-m, todavaautoadjuntoend(H),peroahorayacon-m.Locual, graciasalcorolario8.8permiteconcluirde11 B 11 =M-m,que3sucesin{vn} '', Jlvnll= 1,talque(vn,Bvn)---+ M -m.Luego: n-+co II(A-M)vnll2=JI(B-(M -m))vnll2=11Bvnii2-2(M -m) (vn,Bvn)+(M
-m)2-2(M -m)(vn,Bvn) dedondeII(A- M)vnll---+ O.Yelcorolario10.6finalizalademostracin. n-+co (CQD). 11.5.ESPECTRODEPROYECTORES Una subfamiliaimportantsima deautoadjuntosacotadossonlosproyectores P2=P=P+ (=proyectores ortogonales).Exceptuados los dostrivialesO,1,cuyos ESPACIOS DE H/LBERT227 espectrossonrespectivamenteu(O)={O},u(1)={1},todoslosdemstienenel mismoespectro: Teorema11.7 SeaPed(H) unproyectorortogonalnotrivial(P2 =P=P+, 0:;6P:;61). u(P)=up(P)={O,1} Demostracin Sea Mel subespacio sobre elque proyecta P.La no trivialidad exige O:;6 M :;6 H. Para cualquierveH, v=v1 +v2,v1 e M,v2eMl.. Dadoleup(P), conPv=lv,v=;60:Pv=P2v=lPv=l2v=>l2=l=>l=O,l. Y ambossonvalorespropios,puesPtM=IM,PMl.={O}. Si0:;6l:;61,leucup. Peroprobemosqueuc= (/)! ( =0 siy slo siv=O), que prueba que 3(P-l)-1 acotado en su dominio. (CQD). 11.6.EJEMPLOS l.SidimH < oo,todolodichoaqusobreoperadoresnormalessereducea lateorausualdematricesnormales(Apndice). 2.Sea eloperadorUadefinidoen por f(x)-+f(x-a), claramenteunitario. No tiene niu, (por ser unitario),niuP(porque Uaf =lf => f=0 en U(R)). Probaremosahoraqueu e (U a)= {lll =1}.Segnelcorolario10.6,bas-tarexhibirunasucesin{fn}f conllfnll =1,talqueII(Ua-A.)fnll- O. n-+oo Seal=e-8,Oe RDefinamosf(x)=.eill:x:fa. ClaramenteU a!= lf, peroffiL
Seanahoralasfuncionesfn(x)=.X-na,+na)Todastienen ..2na normal.Y adems: (CQD) 3.Q:f(x)eL2[a,b]-+xf(x)eL2[a,b],autoadjuntoacotadocomosevioen 8.1. 228LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO De la teora general se tiene u,(Q)= (/);up(Q)uuc(Q) e[inf,sup]=[a, b]. EssencilloverquelanicafeL2 talque(Q-A.)f=Oesf=O.Luego up(Q)= (/). Veamosfinalmentequeuc(Q)=u(Q)=[a,b]. Dadoa Demostracin Lema12.2 DadosAerrl(H),O#A.eC,3k;.>Otalque't/weR(A-).)admitealgunapre-.{(A-A.)vw=W ImagenVwparalaquellvwll~ k ; . l l w l l ' Demostracin Excesivamentetcnica,porloquelaomitimos.Consltese,porejemplo [Helmberg]. 230LORENZOABELLANASYALBERTOGALINDO Yaestamosencondicionesdedar ellemaprincipal. Lema12.3
a)R(A- A.)essubespaciolinealcerradodeH. b)A.ep(A)R(A-A.)=H. Demostracin a)Escojamoscualquiersucesinde Cauchy{wn}i eR(A-A.), y la correspon-dientedepreimgenesconstruidascomoenellema12.2:{Vw} i. Contiene algunasubsucesindbilmenteconvergente(7.3),digamos(vJi. Entonces{Avn}convergefuertemente,porlacompacidaddeA,luego existeensentidofuerte limAVn=lim(Avn-wn),siendown=(A-A.)vn n-oon-oo Y comoellosignificaque{vn}iesfuertementeconvergente. Llamandou= Jimvisetiene(A-A.)u=lim(A-A.)vi=lim wieR(A