Espectro (Recuperado)

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  • 7/26/2019 Espectro (Recuperado)

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    Universidad Central de Venezuela

    Facultad de Ingeniera

    Postgrado de Investigacin de Operaciones

    Pronostico

    Integrantes:

    Ing. Jos Alirio Cardoza

    Ciudad Universitaria de Caracas

    Aril !"#$

    A%A&I'I' ('P(C)*A&

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    Introduccin

    (l an+lisis espectral desco,pone un con-unto de datos en tr,inos cclicos o repetitivos.

    Original,ente /ue aplicado a la ingeniera donde los ,todos de trans/or,ada de Fourier

    0an sido aceptados pero a0ora ta,in es a,plia,ente utilizado en los an+lisis estadsticos

    est+ndares.

    (n esencia el ,todo espectral desco,pone una serie de tie,po estacionaria co,o una

    su,a de un con-unto de series de co,ponentes cclicos con propiedades espec/icas.

    (n general al an+lisis espectral se le lla,a an+lisis en el do,inio de la /recuencia 1a 2ue la

    /recuencia es una ,edida para representar ciclos. &a /recuencia es el n3,ero de ciclos por

    unidad de tie,po. Ade,+s es i,portante resaltar el 0ec0o de 2ue el an+lisis espectral no

    depende de un ,odelo para generar resultados. (ste analiza la serie en /or,a pura,ente

    ,ate,+tica 1 no est+ asado en ninguna teora acerca de los procesos 2ue de/inen las

    series.

    Co,o consecuencia el an+lisis espectral se puede e,plear en la /ase de diagnstico del

    proceso de a-uste estacional para co,proar la ausencia de co,ponentes estacionales en la

    serie a-ustada. (sto deido a 2ue 0a1 estacionalidad en una serie 4t cuando esta contiene

    ele,entos peridicas cu1o periodo coincide con un tie,po de re/erencia.

    Para interpretar correcta,ente el espectro conviene conocer entre otras cosas:

    &as distintas variantes de representacin del espectro 5unidades de /recuencia

    escala de densidad espectral etc6.

    7onde se encuentras las /recuencias asociadas con la estacionalidad.

    Co,o son los espectros de ciertos procesos en particular de los A*8A.

    Co,o a/ectan los /iltros el espectro.

    9u di/erencia 0a1 entre la representacin espectral de procesos estoc+sticos e

    integrados.

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    Breve resea histrica

    A /inales del siglo I el /sico A. 'c0uster se interes en el an+lisis de la serie sore

    /recuencia de ,anc0as solares recopilada por ;ol/er.

    'c0uster propuso un ,odelo en tr,inos de /unciones trigono,tricas siguiendo las ideas

    del an+lisis ar,nico:

    ai cos (it)+b i sen (i t)+t

    Xt=i

    Un ,odelo de este tipo re2uiere la esti,acin no solo de los coe/icientes ai bi sino

    ta,in de /recuencias i 2ue son desconocidas.

    'c0uster descrii su propuesta co,o el ,odelo de periodicidades ocultas.

    &a idea de 'c0uester para esti,ar las /recuencias /ue considerar /recuencias de pruea

    i'

    1 calcular el cuadrado de las a,plitudes esti,adas correspondientes a estas

    /recuencias:

    ( ai2+ bi

    2 ) , i=1,.k .

    (n la gr+/ica de /recuencia vs a,plitud al cuadrado si i'

    esta cerca de una

    /recuencia verdadera ( ai2+ bi

    2 )(ai2+bi

    2) 1 estos valores se apreciar+n clara,ente.

    'i en ca,io i'

    est+ le-os de todas las /recuencias verdaderas ( ai2+ bi

    2 ) ser+pe2ue

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    (n el siguiente cuadro se puede oservar la lnea de tie,po de los desarrollos en an+lisis

    espectral:

    Modelo Matemtico

    El Espectro

    Una serie de tie,po puede entenderse co,o una sucesin de n3,eros. &as sucesiones de

    n3,eros reales se pueden escriir co,o co,inaciones lineales de senos 1 cosenos 5o

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    e4ponenciales co,ple-as6. (sta representacin se 0ace ,ediante la trans/or,ada discreta de

    Fourier 5)F76.

    &a teora ,oderna de series de tie,po se asa en la 0iptesis de 2ue una serie te,poral es

    una realizacin de un proceso estoc+stico. An+loga,ente a las series te,porales los

    procesos estoc+sticos se pueden representar ,ediante co,inaciones lineales 5,+s

    e4acta,ente integrales6 de /unciones trigono,tricas o e4ponenciales co,ple-as aun2ue

    ponderados por coe/icientes aleatorios. (sta representacin es la lla,ada representacin

    espectral de un proceso estoc+stico. &a varianza de los coe/icientes de la representacin se

    lla,a densidad espectral.

    &a representacin espectral de un proceso estoc+stico re2uiere usar un concepto

    ,ate,+tico co,ple-o: una ,edida aleatoria. Por otra parte es posile de/inir la densidad

    espectral a partir de la /uncin de autocovarianza sin aludir a la representacin espectral.

    Representacin de Fourier de una sucesin

    Una sucesin /inita x1 , x2, xT 52ue puede ser una serie te,poral es decir una

    realizacin de un proceso estoc+stico6 puede escriirse co,o una su,a de senos 1 cosenos

    de la /or,a siguiente:

    x t=k=0

    n

    (akcos (kt)+bksin (kt))

    7onde k=2k/T son las /recuencias naturales. Cuando T es par n=T/2 .

    (ntonces sin (0t)=sin (n t)=0 ,ientras 2ue cos (0 t)=1 1 cos (n t)=(1)t

    .

    Consecuente,ente

    x t=a0+k=1

    n1

    (akcos (kt)+bksin (kt))+an(1)t

    'i T es i,par entonces n=(T1)/2 1

    x t=a0+k=1

    n

    (akcos (kt)+bksin (kt))

    &os coe/icientes ak 1 bk nos dan la a,plitud de las /unciones sinusoidales 1 se pueden

    otener co,o:

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    ak=2

    T

    t=1

    T

    x tcos (kt)

    bk=2

    Tt=1

    T

    x tsin(kt)

    (n a,os casos las /recuencias 2ue aparecen en la representacin cu,plen k &a

    ,a1or /recuencia 2ue se puede oservar en una serie x t es la 2ue corresponde a ,edio

    ciclo por unidad de tie,po. (sta /recuencia se lla,a %12uist.

    7e esta /or,a una serie se puede representar co,o un con-unto de pares (t , x t) o 5con

    cierta prdida de in/or,acin6 co,o con-unto de pares

    (k , ak2+bk

    2)

    . &a pri,era

    representacin se lla,a en do,inio del tie,po 1 la segunda en el do,inio de la /recuencia.

    A ,enudo por analoga con las se

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    &a representacin del espectro se puede realizar ta,in ,ediante e4ponenciales

    co,ple-as. Para ellos se sustitu1e cos (kt) 1 sin (kt) por

    cos (kt)=e

    i kt+ei kt

    2

    sin (kt)=e

    i kt+ei kt

    2i

    7e a0 otene,os:

    x t=k=1

    T

    zkei kt

    &os coe/icientes de zk se pueden otener co,o:

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    zk=1

    Ti=1

    T

    xteikt

    Representacin de una sucesin peridica

    'i se tiene una sucesin x t de longitud T es peridica de periodo s donde

    s

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    Uno de los aspectos donde 0a1 ,+s variedad en cuanto a la representacin espectral en las

    unidades 2ue se e,plean para e4presar la /recuencia. ?asta a0ora se 0a visto 2ue las

    unidades de la /recuencia utilizada son radianes=unidad de tie,po 1 sus valores recorren el

    intervalo [0,] . 'in e,argo e4isten otras /or,as:

    %or,alizando la /or,a f= /(2) tene,os la /recuencia en ciclos=unidad de

    tie,po. (l intervalo de representacin es @"#=!.

    'e puede encontrar la nor,alizacin f=

    las unidades ser+n ,edios ciclos por

    unidad de tie,po 1 el intervalo de representacin es @ 0,1 .

    (n datos ,ensuales o tri,estrales 0a1 otra unidad de tie,po ade,+s de la de t

    2ue es el a

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    f( )= 1

    2

    h

    heihw

    Con la li,itacin de 2ue solo se puede incluir un nu,ero /inito de covarianzas a2u !r#.

    El periodograma

    Para rD) el n3,ero de ,uestras to,adas. &a /uncin f() se lla,a periodogra,a 1

    viene siendo la representacin espectral de una serie de tie,po. (l periodogra,a coincide

    con la trans/or,ada de Fourier discreta de la serie te,poral.

    &a e4presin nos puede 0acer sospec0ar 2ue las propiedades del periodogra,a pueden ser

    no ,u1 uenas. &a esti,acin de la 0esi,a covarianza con ) datos se otiene

    pro,ediando )0 valores. 'i inclui,os covarianzas 0asta )# esto signi/ica 2ue la

    esti,acin de las pri,eras 1 3lti,as se 0ar+ con ,u1 poco valores 1 ser+ en general ,u1

    ,ala. (n e/ecto el periodogra,a co,o esti,ador de densidad es:

    Asintotica,ente insesgado.

    Incosistente 1a 2ue la distriucin de f( ) cuando T se distriu1e

    apro4i,ada,ente co,o f( ) .(1 /2)X22

    . Ade,+s para distintas /recuencias los

    valores del periodogra,a son asinttica,ente independientes lo 2ue e4plica la

    apariencia ruidosa del periodogra,a.

    &a /igura a continuacin ,uestra una gr+/ica de varios periodogra,as para distintas

    ,uestras:

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    Filtros lineales y espectro

    Uno de los puntos /uertes del an+lisis espectral de procesos estoc+sticos se ,ani/iesta

    cuando e,plea,os /iltros lineales. Un /iltro lineal F es una aplicacin 2ue trans/or,a

    procesos de la /or,a

    x t y t=F( B )x t=kz

    akBkx t

    7onde B x t=x t1 . (n la ter,inologa de series de tie,po a esta se le conoce co,o

    ,edia ,vil.

    Cuando deci,os 2ue un proceso x t satis/ace un proceso de ,edia ,vil 58A6 eso es

    e2uivalente a decir 2ue x t es el resultado de aplicarle un /iltro lineal causal a un proceso

    de ruido lanco t .

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    Cada /iltro lineal tiene una /uncin asociada lla,ada /uncin de trans/erencia para el caso

    anterior si tiene 2ue la /or,a de la /uncin de trans/erencia es (z )=

    k

    akzk

    .

    'i x t e y t tienen densidades espectrales fx () 1 f y() respectiva,ente u se

    cu,ple 2ue y t=F(B )xy entonces:

    f y ( )=| ( ei )|2

    fx ()

    &a /uncin | (ei)|2

    se lla,a /uncin de ganancia. &a /uncin de ganancia nos dice

    co,o act3a el /iltro sore x t en el do,inio de la /recuencia. 'i | (ei )|2

    1 la a,pli/ica.

    Interpretacin del espectro de series estacionales

    'eries Periodicas

    Una serie peridica de periodo tiene un espectro concentrado en unas pocas /recuencias. (n

    el an+lisis de series te,porales estacionales es 0aitual nor,alizar la /recuencia de ,anera

    2ue estas /recuencias sean 0,1,. s / . Por tanto:

    Para series tri,estrales las /recuencias estacionales son # 1 !ciclos por a

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    ser conveniente co,proar la presencia de estacionalidad en la serie di/erenciada

    regular,ente.

    Interpretacin de la escala

    Cuando se e4a,ina el espectro de una serie a-ustada para detectar estacionalidad alinterpretar los picos 2ue se oservan dee tenerse en cuenta lo siguiente:

    Cuando co,para,os el resultado de a-ustar la ,is,a serie con distintos ,odelos o

    ,todos la ,agnitud de los picos en /recuencias estacionales nos orienta sore la

    i,portancia de la co,ponente estacional 2ue 2ueda.

    Por el contrario al co,parar el resultado de a-uste de distintas series el ta,a

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    Por la cantidad de datos a si,ple vista no se puede oservar clara,ente la presencia de

    estacionalidad en la serie pero si pareciera 2ue esta se encuentra presente.

    'i se realiza una desco,posicin de la serie se tiene 2ue:

    Para la serie desco,puesta se ve 2ue 0a1 una co,ponente estacional el co,porta,iento de

    la serie se repite veri/icare,os esta oservacin realizando una an+lisis espectral de la

    serie.

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    Co,o la serie tiene una clara tendencia ascendente ser+ necesario di/erenciar la serie a

    travs del test de 7icLie Fuller 2ue /or,a parte de la ase de datos de H* se puede

    co,proar si la serie di/erenciada es estacionaria.

    'e otuvo la siguiente gra/ica de la serie di/erenciada:

    Aplicando el test de 7icLie Fuller:

    'e otiene una serie estacionaria condicin necesaria para 0allar el espectro de la serie de

    energa generada en ((UU.

    Aplicando el pa2uete H'tats se otuvo el siguiente periodogra,a de la serie:

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    7el periodogra,a se oserva 2ue la serie tiene estacionalidad ve,os los picos en las

    /recuencias # ! E B $ 5lo 2ue se esperaa para una serie con datos ,ensuales6 por lo

    tanto 0a1 estacionalidad ,ensual. 7eido a 2ue la series de generacin elctrica presenta

    un co,porta,iento si,ilar para ,eses iguales en distintos a

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    CO%C&U'IO%('

    Al igual 2ue otras tcnicas el an+lisis espectral tiene venta-as 1 desventa-as 2ue deen ser

    consideradas en el ,o,ento de decidir aplicar este instru,ento.

    (l an+lisis espectral es una 0erra,ienta especial,ente adecuada para sacar a la luzco,ponentes peridicas 1a 2ue consiste en representar co,o una su,a de sucesiones

    peridicas. 7eido a esto el an+lisis espectral se puede e,plear en la /ase de diagnstico

    del proceso. (sta representacin nos per,ite centrar la atencin en las /recuencias 2ue ,+s

    nos interesan.

    Oservando la aplicacin del an+lisis espectral en una serie de generacin elctrica ve,os

    clara,ente el co,porta,iento estacional 2ue poseen este tipo de series deido a 2ue la

    de,anda elctrica no tiende a tener co,porta,ientos si,ilares a ,edida 2ue van pasando

    los a

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