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ESQUEMAS - FORMULARIOS
RAZ. MATEMÁTICO
Razonamiento Lógico ........................ 8
Orden de información ....................... 9
Planteo de ecuaciones -
Edades ............................................ 10
Operaciones matemáticas ............... 11
Sucesiones ................................... 12
Series ........................................... 13
Ecuaciones diofánticas ...................... 14
Análisis combinatorio ...................... 15
Máximos y Mínimos ......................... 16
ARITMÉTICA
Razón - Proporción - Promedios .......... 17
Magnitudes proporcionales .............. 18
Teoría de Conjuntos - Operaciones
entre conjuntos ............................. 19
Numeración ................................... 20
Adición y Sustracción ...................... 22
Multiplicación y División - Teoría
de la Divisibilidad ............................ 23
Criterios de la divisibilidad ............... 24
Números Primos ............................. 25
MCD y MCM .................................. 26
Números racionales Q - Tanto
por ciento ..................................... 27
Interés Simple - Mezclas .................. 28
ÁLGEBRA
Ecuaciones lineales ........................ 29
Principales productos notables ......... 30
Ecuación cuadrática ....................... 31
Polinomios - Teoría de exponentes .... 32
Sistema de Ecuaciones .................... 33
División de Polinomios - Factorización ... 34
Teoría de Ecuaciones ........................ 35
Inecuaciones I ............................... 36
Inecuaciones II ............................. 37
Valor absoluto - Relaciones y funciones ... 38
Binomio de Newton ........................ 39
Logaritmos .................................... 40
Números complejos ........................ 41
ÍNDICE GENERAL
GEOMETRÍA
Triángulos ..................................... 42
Congruencia de triángulos ............... 43
Cuadriláteros ................................ 44
Circunferencia ............................... 46
Proporcionalidad y semejanza
de triángulos ................................ 48
Relaciones métricas ........................ 49
Áreas triángulares ......................... 50
Áreas cuadrangulares -
Área circular .............................. 51
Geometría del espacio y poliedros
regulares ..................................... 52
Prismas y Cilindro - Pirámide - Cono ..... 53
Esfera y teorema de Pappus Guldin -
Polígonos y Poliedros regulares ........ 54
TRIGONOMETRÍA
Sistemas angulares - Sector circular ..... 55
Razones trigonométricas de
ángulos agudos ............................. 57
Resolución de triángulos rectángulos ... 58
Geometría analítica ........................ 59
Ecuación de la recta ....................... 60
Razones trigonométricas de un
ángulo en posición normal ............... 61
Reducción al primer cuadrante ......... 62
Circunferencia trigonométrica .......... 63
Identidades trigonométricas ............ 64
Identidades de ángulos compuestos ..... 65
Ángulos dobles y ángulos mitad I ..... 66
Ángulos mitad II y ángulo triple -
Triángulos rectángulos notables ....... 67
Transformaciones trigonométricas ..... 68
Funciones trigonométricas inversas .... 69
Ecuaciones trigonométricas ............. 70
Resolución de triángulos ................. 71
FÍSICA
Cinemática MRU - MRUV.................. 72
Caída libre - Movimiento
en dos dimensiones ....................... 74
Movimiento circular - Fuerza
Estática ........................................ 75
Dinámica - Rozamiento.................... 76
Trabajo - Potencia mecánica
Energía Mecánica ........................... 77
Hidrostática - Electrostática ............ 78
Electrodinámica .............................. 79
Electromagnetismo - Física
moderna ....................................... 80
Movimiento armónico simple ............. 81
QUÍMICA
Átomo .......................................... 82
Características generales de los
números cuánticos ......................... 83
Configuración electrónica ................ 84
Tabla Periódica Actual ..................... 85
Propiedades periódicas atómicas ...... 86
Enlace químico ............................... 87
Unidades químicas de masa ............. 88
Estado gaseoso ............................. 89
Soluciones .................................... 90
Estequiometría .............................. 91
Cinética - Equilibrio - Ácidos y Bases ..... 92
Electroquímica ................................ 93
Química Orgánica ........................... 94
Cíclicos y aromáticos ...................... 95
Hidrocarburos ............................... 96
Alquenos u olefinas - Alquinos
o acetilénicos ................................ 97
Alquenino - Oxigenados
y nitrogenados .............................. 98
Metalurgia y petróleo ..................... 99
Contaminación ambiental ................ 100
SAN MARCOS 2014 – II 8
ESQUEMA - FORMULARIO
Raz. Matemático
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9 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
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Raz. Matemático
SAN MARCOS 2014 – II 10
ESQUEMA - FORMULARIO
• A excede a B en 10 unidades• El doble, de un número disminuido en 3 unidades.• El doble de un número, disminuido em 3 unidades.• A es por dos veces B• A es dos veces más que B
A B 10– =
Lenguaje Literal(Enunciado) Traducción
Lenguaje Matemático(Ecuaciones)
2(x 3)
2x 3
–
–A 2BA B 2BA 3 B
== +=
Con dos o más sujetos
DaniellaMelanie
Pas Pre Futa d ec b f
• La diferencia de sus edades es siempre la misma. a c d d e f• La suma en aspa da el mismo resultado: a b c d d f b e a f c e
– –= = –
+ = ++ = ++ = +
ImportanteCaso 1:Año nacimiento edad año en curso• Si la persona ya cumplió años en el año en curso.
+ =
Caso 2:
Nota:
Año nacimiento edad = año en curso 1• Si la persona todavía no cumple años en el año en curso.
Si el problema no dice si ya cumplió o todavía, se trabaja con el caso 1.
+ –
Raz. Matemático
11 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
+
X
Materia prima
Botones
Producto terminado
Proceso de producciónOperación matemática
Máquina
Adición
Sustracción
División
Números Resultado
Operadores
a b 3a 5b 4* = + + Definición
..........................................
a b 3(b a ) a* = * + 2 2
Si x x 1= +
5 =mSe resuelve de
............... hacia ..............
Se resuelve de
............... hacia ..............m =5
Definición
..........................................
Explícita
Implícita
adentro afuera
afuera adentro
Raz. Matemático
SAN MARCOS 2014 – II 12
ESQUEMA - FORMULARIO
SUC
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22
22
C
t 1t 2
t 3t 4
t 5
Raz. Matemático
13 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Raz. Matemático
SAN MARCOS 2014 – II 14
ESQUEMA - FORMULARIO
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
MULTIPLICIDAD1. Si N es múltiplo de n
Si N = N nk; kn
n
: se lee múltiplo de nEjemplo:
Si N= 5
N =5k= {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....)
Si N = 8
N= 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}
2. Si N no es múltiplo de n
d eN n r ó N n r
donde: d er r n
dr : residuo por defecto
er : residuo por exceso
Ejemplo:20 no es múltiplo de 6 (20 6 )
20 6 18 3
2 20 6 24 4 -4
20 6 2 20 6 4
Donde: 2 + 4 =6
Aplicación:
Si N 9 3 N 9 6
Si N 12 1 N 12 11
PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD
1. o o o o on + n + n +...+ n = nEjemplo:
• 8 8 8 8
• 15 15 15 15 15
2. o o on+n = n
Ejemplo:
• 7 7 7
• 14 14 14
3.o
k n= n;k Z∈Ejemplo:
• 2 7 7
• 0 10 10
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Sea A x B = on
o o
Si A n B = n
o o
Si B n A = n
Ejemplo:4x 5
4 5 x 5
Raz. Matemático
15 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
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Raz. Matemático
SAN MARCOS 2014 – II 16
ESQUEMA - FORMULARIO
Problemas sobre certeza
Casos desfavorables
:Número deextraciones
Casosfavorables
+
Lo que noquiero que
salga
Lo que pide el
problema
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Otras situaciones
• Si: a + b = K
(a.b) = .máxK2
K2
• Si: a × b = K
(a+b) = mín K K+
• Si: a > 0
a + > 2 1a
x > 0 2
• Si: × = IR
Expresiones algebraicasde 2do grado
E(x) = Ax + Bx + C2
A > 0 EMÍN
A > 0 EMÁX X = 2A
Raz. Matemático
17 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Aritmética
SAN MARCOS 2014 – II 18
ESQUEMA - FORMULARIO
Propiedades
• A IP B A DP
• A DP B (C cte)
A IP C (B cte)
1B
A x CB
= cte
A IP B
a1
b1
a2
b2
= k
Valor “B”
Valor “A”
HipérbolaEquilátera
Gráfica:
a1
a2
b1 b2
a1 a2b1 b2= k= . .
MAGNITUDESPROPORCIONALES
(Valor de A) (Valor de B)=Cte
A DP B
Valor de AValor de B
= Cte
Valor “B”
Valor “A”
LíneaRecta
Gráfica:
b2b1
a1
a2
Valorde A
Constante
Valorde B
f(x) = K x
A DP B
Valorde B
Valorde A
Constante
f(x) = xk
A IP B
IPDP
=
• A DP B A IP 1B
Aritmética
19 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
1 2 3 n
elementos
A a ;a ;a ;.......;a i j
donde :a a
i, j
• Cardinal = n(A) = n
• N° subconjuntos = 2n(A) = 2n
• N° subconjuntos propios = 2n(A) – 1 = 2n – 1
OPERACIONES ENTRECONJUNTOS
No AA o BB A
A B
A B
Unión (U): Complemento ( (A)):
Solo ADiferencia (–):
A y BIntersección ( ):
A B
Sólo A o sólo B
DiferenciaSimétrica (A):
A
Aritmética
SAN MARCOS 2014 – II 20
ESQUEMA - FORMULARIO
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n b
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+
Aritmética
21 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Números capicúas
1a 1b 1c = a + b + c + d + e + x
1d 1e x
NUMERALES DE CIFRAS MÁXIMAS
n
BASES SUCESIVAS
k
k cifras
(n – 1)(n – 1)(n – 1)... (n – 1) n – 1 =
121; 3553; 27372; abccba
Aritmética
SAN MARCOS 2014 – II 22
ESQUEMA - FORMULARIO
I. ADICIÓNa + b + c +...+ z = S
Sumandos Sumatotal
Progresión aritmética
Sea:
an = a1 + (n – 1)r
n 1a – an 1
r ;
n: Número de términos
n 1n
a aS n
2
;
Sn: Suma de términos
Sumas notables
•n(n 1)1 2 3 ... n
2
++ + + +
• 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)• 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2
• 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
n(n 1)(2n 1)6
+ +
• 13 + 23 + 33 + ... + n3 =2n(n 1)
2
+
• a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an–1 =na – 1a – 1
II. SUSTRACCIÓN
M – S = D
Propiedades:
• 2M = M + S + D
• (n) (n)ab – ba = (n)xy
x y n – 1 =+
donde n 3 y a b
• (n) (n)abc – cba = (n)xyz
x z n – 1 =+
y = n – 1
donde: n 3; a c
• abcd – dcba xyzw=donde: a > d
x + y + z + w = 18 ó 27
Complemento Aritmético
• (b) (b)bk 1 cifras
CA(N ) 100...00 – N=
Si N tiene k cifras
• (n)CA(abcd ) =
n(n – 1 – a)(n – 1 – b)(n – 1 – c)(n – d)
Aritmética
23 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
*o
A B B(k)= =
Se dice:- A es múltiplo de B- A es divisible entre B- A dividido entre B da residuo cero
*o o on n n+ =
*o o on – n n=
*o o o on(k) n k nk
= = =
*o o
k(n) n=
* o o o o(n a)(n b)(n c) n a.b.c+ + + +=
*o o
k k(n r) n r+ +=
*o o
k k(n – r) n r+= , k: par
*o o
k k(n – r) n– r= , k: impar
*
o
Oo
o
N a
N b N MCM(a,b,c)
N c
=
= =
=
*
o
Oo
o
N a r
N b r N MCM(a,b,c) r
N c r
+
+ +
+
=
= =
=
Aritmética
SAN MARCOS 2014 – II 24
ESQUEMA - FORMULARIO
• Por 2o o o
abcde 2 e. Si e 2 abcde 2= = =+
• Por 4o o o
abcde 4 de. Si de 4 abcde 4= = =+
• Por 8o o o
abcde 8 cde. Si cde 8 abcde 8= = =+
• Por 5o o o
abcde 5 e. Si e 5 abcde 5= = =+
• Por 25o o o
abcde 25 de. Si de 25 abcde 25= = =+
• Por 125o o o
abcde 125 cde. Si cde 125 abcde 125 = = =
• Por 3o o o
Eabcde 3 a b c d e. Si E 3 abcde 3= = =+ + + + +
• Por 9o o o
Eabcde 9 a b c d e. Si E 9 abcde 9= = =+ + + + +
• Por 11 abcde+-+-+
o o o
E11 e – d c – b a. Si E 11 abcde 11= = =+ + +
• Por 13
ab cd e f gh 3143 1431- + - +
o o o
E
13– 3a b 4c 3d – e – 4f – 3g h. Si E 13 abcdefgh 13= = =+ + + +
• Por 7
ab cd e f gh 3123 1231+ - +
o o o
E
7 3a b – 2c – 3d – e 2f 3g h. Si E 7 abcdefgh 7= = =+ + + + +
Aritmética
25 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
• Por 33 a bcd eo o o
E33 a bc de. Si E 33 abcde 33= = =+ + +
• Por 99 a bcd eo o o
E99 a bc de. Si E 99 abcde 99= = =+ + +
• P or n 1en base n
o o o
(n) (n)E
abcde (n 1) a b c d e. Si E=(n – 1) abcde (n – 1) =
• P or n 1en base n
a b cd e+ - + -+(n)
o o o
(n)E
(n 1) e – d c – b a. Si E=(n 1) abcde (n 1)+ + + + + += =
• Dada la descomposición canonica del número N:
31 2 k1 2 3 kN p p p ...p ...D.C. =
• Su cantidad de divisores se calcula como:
N 1 2 3 kCD ( 1)( 1)( 1)...( 1) = + + + +
Además:
N SIMPLES COMPUESTOSCD CD CD = +
• La suma de divisores se calcula como:
1 2 k1 1 11 2 k
(N)1 2 k
p – 1 p – 1 p –1SD ...
p – 1 p – 1 p –1
=
+ + +
Aritmética
SAN MARCOS 2014 – II 26
ESQUEMA - FORMULARIO
• La suma de inversas de divisores se calcula como:
(N)(N)
SDSID
N=
• El producto de los divisores se calcula como:
(N)CD(N)PD N=
• El esquema del algoritmo de Euclides:
A B
Cocientes
Residuos
K MCD (A;B)
O
• Conociendo el MCD de dos números podemos concluir que:
(A;B)
(A;B)
A p x k; donde: p y q son PESI
B q x kMCD k MCM k x p x q
===
=
• Siempre se cumple que:
MCD(A;B) MCM(A;B) A B =
•n A n B n kMCM ;
m m m
= •n A n B n kMCD ;
m m m
=
Aritmética
27 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Clases de fracciones
• Propia • Común y ordinaria• Impropia • Decimal• Reductible • Homogénea• Irreductible • Heterogénea
Número fraccionario
Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Fracción
Números enteros Z
Operacionescon tantopor ciento
Adición
Sustracción
Aumentos y descuentossucesivos
Aumento único
a ba b %100
= + +
Descuento único
a ba b – %100
= +
Aplicacionescomerciales
Variaciónporcentual
Pventa = Pcosto + ganancia
Pventa = Pfijado – descuento
Pventa = Pcosto – pérdida
Pfijado = Pcosto + incremento
Variaciónporcentual
Aumento ódisminución
100%Cantidad inicial
=
Aritmética
SAN MARCOS 2014 – II 28
ESQUEMA - FORMULARIO
M C I= +
r% y t en las mismas unidades
I C r% t
M = C (1 + r% t)
=
INTERÉS SIMPLE
medioCosto total
P = Peso total
Gradoalcohólico
Alcohol 100%Total
=
aparente aparenteG = P venta costoP = P + Ganancia
x L
a%
y L
b%
z L
c%
(x+y+z) L
d%+ + =
a%(x) + b%(y) + c%(z) = d%(x+y+z)
Aritmética
29 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Álgebra
SAN MARCOS 2014 – II 30
ESQUEMA - FORMULARIO
(a
b)
= a
2ab
b+
±±
22
2
(a
b)
(a
b)
2(a
b)
(a
b)
(a
b)
4
ab
++
–
=+
+–
–=
2 2
2 2
2 2
(a
b)(
a b
) a
b+
–=
–2
2
(a
b)(a
ab
b)
ab
(a
b)(a
ab
b)
a
b+
–
+
=+
–
+
+
=–
2
23
3
2
23
3
(a
b)
ab
3ab(
a b)
(a
b)
a3a
b 3a
bb
±
=±
±
±
±
=
±
+
±
33
3
33
22
3
(x
a)(x
b)
x
(a
b)x
ab+
+
=
+
+
+2
(a
b c
)
a b
c 2
(ab
ac
bc)
+
+=
++
++
+2
2
2
2
Si:
a b
c
0
. Se
verif
ica
que:
a
b
c
3ab
c
a
b
c
2(
ab
ac
bc)
++
=+
+
=+
+=
–+
+
3
33
22
2• • (x
xy
y)(
xx
yy
) x
xy
y2
nn
m2
m2n
nm
2m
4n2
n2
m4
m+
+–
+=
++
(xxy
y
)(x
xy
y)
xx
yy
2 2
2 2
4
22
4+
+
–
+
=
+
+
(a
b c)
a
bc
3(a
b)(a
c)
(b
c)+
+
=
+
+
+
+
+
+
33
3
3
ab
c3a
bc
(a
bc)
[ab
c(a
bbc
ca)]
33
32
22
++
–=
++
++
–+
+ARG
AN’D
GAU
SS
PR
INC
IPA
LES
PR
OD
UC
TO
S N
OT
AB
LES
6 7 8 9 1054321
Álgebra
31 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Análisis de las raíces Si: D 0
Si: D 0
Si: D 0
>
=
<
•
•
•
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Forma
Fórmula
ax bx c 0 ; a 0
x b b 4ac
2a
2
2
+ + =
=– –
2 raíces IRdiferentes x1 x2
2 raíces IRiguales x =x1 2
2 raíces ICconjugadas
Recordar:
(x x ) (x x ) 4x .x1 22
1 22
1 2+ – – =
suma:0b 0=x; x– producto:1
a c=x;1/x
c 0= b 0 ; c 0= =
a b cm n p
= =
Discriminante
D = b – 4ac2
x x b a1 2+ =–
x x c a
1 2. =
x x ??
1 2– =
Propiedades de las raíces
Si: ax + bx + c = 0
(opuestas) (inversas)
x – Sx + P = 0
Si: ax + bx + c = 0mx + nx + p = 0
2
2
2
2
Raíces simétricas Raíces recíprocas
Una raíz nula Dos raíces nulas
Reconstrucción de una ecuación cuadrática
Ecuaciones equivalentes: (Raíces iguales)
Álgebra
SAN MARCOS 2014 – II 32
ESQUEMA - FORMULARIO
Recordar las definiciones Recordar los teoremas
na a.a.a...a ;"n factores de a"
= n
0a 1 ; a 0=
n–n
n1 1a ; a 0
aa
= =
mn nm/n ma a a= =
m–nmm n m nn
aa .a a ; aa
= =+
m n m.n n n nn ma a a ; (a.b) a b= = =
n n n n nn
a a ; a.b a. bb b
= =
n n m nmnn
a a ; a ab b
= =
nk nmk ma a=
Monomio
Definición
Términos Semejantes
Grado Relativo
Grado Absoluto
Definición
Grado Absoluto
Grado Relativo
Clasificación
Polinomio
Ordenado
Completo
Homogéneo
Idénticos
Idénticamente nulo
Racional EnteraEXPRESIÓN ALGEBRAICA
Álgebra
33 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
tienen solución
no tienensolución
soluciones finitas
a b ca b c
1 1 1
2 2 2= =
a b ca b c
1 1 1
2 2 2=
a ba b
1 1
2 2
x
yE1
E2
x
y E1
E2
x
y E1 E2
(x ;y )0 0
E E1 2 //
E E1 2
Ecuación Compatible
Indeterminada
Ecuación Incompatible
Determinada
E : a x b y c
E : a x b y c1 1 1 1
2 2 2 2
+ =
+ =
Por su Solución
SISTEMA DE ECUACIONES
Álgebra
SAN MARCOS 2014 – II 34
ESQUEMA - FORMULARIO
Criterios de factorización
FACTORIZACIÓN
Criterio del factor
común y/o agrupación
Criterio de las
identidades
Criterio del
aspasimple
Criterio del
aspa doble
Criterio de los
divisores binomios
Criterio del aspa doble
especial
Álgebra
35 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
* Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0.
* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a= + + + + =0; na 0 , también se puede escribir
n 1 2 3 na (x – r )(x – r )(x – r )...(x – r ) 0=
donde 1 2 3 nr ,r ,r ,...,r raíces de la ecuación.
* Si: m n p1 2 3P(x) (x – r ) (x – r ) (x – r ) 0= =
Entonces:r1 es una raíz de multiplicidad mr2 es una raíz de multiplicidad nr3 es una raíz de multiplicidad p
* Teorema de Cardano - Viette
n–11 2 3 n
n
ar r r ... r –
a=+ + + + "Suma de raíces"
n–21 2 1 3 n–1 n
n
ar .r r .r ... r .r
a+ + + = "Suma de productos Binarios"
n 01 2 3 n
n
ar .r .r .....r (–1)
a= "Producto de raíces"
* Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a b+ ,
la otra es a – b .
* Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es i + ,
entonces la otra es – i .
* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a 0= =+ + + + por cada cambio de signo es una
raíz positiva.
* n n–1(–x) n n–1 0P a (–x) a (–x) ... a 0= =+ + + por cada cambio de signo es una raíz
negativa, o, menos en una cantidad par.
Álgebra
SAN MARCOS 2014 – II 36
ESQUEMA - FORMULARIO
Definiciones:
1.
2.
3.
4. < < < <
5. < >
Sea: { a ; b ; c } IR
“a” es no positivo a 0
“a” es no negativo a 0
a b a < b a = b
a b c a b b c
a b b a
TEOREMAS FUNDAMENTALES
T1:
T2: > >
T3: >
T4: >
T5: < >
a 0 ; a IR , n Z+
a b a ± m b ± m
a b m > 0 am > bm
a/m > b/m
a b m < 0 am < bm
a/m < b/m
a b 1/a 1/b
( a y b tienen el mismo signo)
2n
Importante:
+ + > >Sea:
ax bx c 0 ; a 0 x IR
2
b – 4ac2
Álgebra
37 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Inecuación....
Polinomial
De primer grado
De segundo grado
De grado superior
Fraccionaria
Irracional
Exponencial
Logarítmica
Trigonométrica
C
B
A
ax b 0+
ax bx c 02+ +
a 0
grado mayoro igual a 3
P(x) 0Q(x)
n P(x) 0
log x 4 22 – <
b bP(x) Q(x)
Sen x Cosx 0,52 + >
><
><
><
><
><
Se aplica el criterio de los puntos críticos.Importante:
Si: P(x) Q(x) 0Q(x) Si: b 1 bx by x y
Si: 0 b 1 bx by x y
> > >
< < < >
S1: Si:
P(x) P(x) 0S2: Elevamos a un exponente igual al indice y resolvemos.Luego el C.S. es: S1 S2
2nA
B
C
Álgebra
SAN MARCOS 2014 – II 38
ESQUEMA - FORMULARIO
Definición
a; si : a 0a
–a; si : a 0
= • |a| 0
• |a| = |–a|
• |ab| = |a||b|
• a a ; b 0b b
=
Ecuaciones convalor absoluto
|x| = 0 x = 0;
x a a 0 x a x –a = = =
|x| = |a| x = a x = –a |x| a (a 0) –a x a
|x| a x a x –a
|x| |y| (x + y)(x – y) 0
Inecuaciones convalor absoluto
• a2 = |a|2
• 2a a=
• |a + b| |a| + |b|
a;b
Propiedades
corte en "y"
corte en "x"GRÁFICA DEUNA FUNCIÓN
Intersección con losejes coordenados.
Extensión de la Función
x=0
y=0
Dominio y Rango
discusiónde la curva
Funciones
Dos pares ordenados nopueden tener el mismoprimer elemento.
Si: (a;b) (a;c) f b c
DOMINIO Domf={x A/ y B (x;y) f}
RANGO Ranf={y B/ x A (x;y) f}
Álgebra
39 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
BINOMIO DE NEWTON
En el desarrollo de:
N° de términos n 1= +(x a)+ n
En el desarrollo de:
Coeficientes se obtendrási: x a 1
(x a)+ n
= =
En el desarrollo de:(x+a)n
de izquierda a derecha:T =c x ak+1
nk
n–k k
En el desarrollo de: (x+a)n
(x a)+ n = c x an n–k kk=0
n x; a 0n Z
c c c ... c 2+ + + + = nn n n n 0 1 2 n
n 1 2+
n 1 2+ + 1
Si “n” par
Si “n” impar
T T 1c = +n2
1er Tc =
=2do Tc(p+q)n(n+1) 2
En el desarrollo de: (x a )p q n+
T =c x ak+1n k n–kk
“K 1” el lugar+
x
y = x
y
F(x) xDom(F) [0;Ran(F) [0;
==
=
x
y=x2y
x
y=x3y
F(x) x (n par)Dom(F) Ran(F) [0;
= n ==
= IR
F(x) x (n impar)Dom(F) Ran(F)
= n ==
=IR
IR
1. Función constante 2. Función lineal
4. Función raíz cuadrada 5. Función potencia elemental
Funciones especiales
x
y = |x|y
F(x) |x|=Dom(F) Ran(F) [0;
==
IR
3. Función valor absoluto
pendiente
Álgebra
SAN MARCOS 2014 – II 40
ESQUEMA - FORMULARIO
1. Definición
xalog b x a b= =
2. Antilogaritmo
a a log b x b antilog x = =
3. Consecuencias
(a,b , a 1)
a log 1 0 = ; a log a 1 = ;
alog b a b = ;
a a log b log c b c = =
4. Propiedades
a a alog (xy) log x + log y = ;
a a ablog log b – log c c
= ;
a a a1colog b log – log bb
= = ;
ca a log b = c log b ;
nm
aam log b log bn
= ;
ca
c
log b log b
log a= ;
a b a log b . log c log c =
5. Ecuación exponencial
xaa b x log b= =
6. Ecuación logaritmica
a a log f(x) log g(x) f(x) g(x) = =
7. Inecuación exponencial7.1.
xc cx
xc c
log a log b,si: c>1a b
log a log b,si: 0<c<1
7.2.
xc cx
xc c
log a log b,si: c>1a b
log a log b,si: 0<c<1
8. Inecuación logaritmica
a aSi a>1; f(x)>g(x)>0
log f(x) log g(x)Si 0<a<1; 0<f(x)<g(x)
Álgebrajhsf
41 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
NÚMEROS COMPLEJOS CNÚMEROS REALES IR
NÚMEROS IMAGINARIOS II
formado por
z a bi= +
Eje real
Eje imaginario
Tenemos:
z = a bi+
|z|
DEFINICIONES
Dado el complejo: z a biComplejo conjugado: a biComplejo opuesto: z* a bi
= +=
= –z –
–
b
a
i = ii = 1i = ii = 1i = ii = 1
1
2
3
4
5
6
––
–
POTENCIAS DE “i”
i i i N = 4k+r = rRepresentación gráfica
Módulo de “z”
Argumento de “z”
|z|cos
|z|sen
Forma Trigonométrica de “z”: z iS )+|z|(Cos en=z |z|cis=
Resultado importantesTeoremas
T1: |z| | | |z*|T2: |z| z.T3:
= ==
zz2
(Cos + iSen ) Cos(n ) + iSen(n ) n =
de De Moivre
(1 i) = 2i2
(1 i) = –4+ 4
1 i1 i
+–
= i
|z| = a + b22
i 1= –
Álgebra
SAN MARCOS 2014 – II 42
ESQUEMA - FORMULARIO
1.
2.
3.
5.
4.
Geometría
43 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Mediana relativa a la hipotenusa
Si BM es la mediana relativa a lahipotenusa BM = AM = MC
T. de la Bisectriz T. de la Mediatriz
T. de los Puntos Medios
Geometría
SAN MARCOS 2014 – II 44
ESQUEMA - FORMULARIO
1. ABCD es un paralelogramo
2. Si ABCD es un paralelogramo
3. Si ABCD es un paralelogramo
4. Si ABCD es un paralelogramo
5. Si ABCD es un cuadrado
6. Si ABCD es un cuadrado
Geometría
45 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Geometría
SAN MARCOS 2014 – II 46
ESQUEMA - FORMULARIO
Geometría
47 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Geometría
SAN MARCOS 2014 – II 48
ESQUEMA - FORMULARIO
ab
xy
=
(1)
(2)
(3)
(4)
ab
xy
=
x = ab2
x =ab
a + b
ab
x
ab
x
En todo trapecio (M y N puntos de tangencia)
2 1 1x a b
= +
(5)
a b
yx
A
N
C
M
B
D
x
b
a
yx
ab
(6)
z p
xn
my
m.n.p = x.y.z
(7)
a
x b
y
cz
x.y.z = a.b.c
Geometría
49 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
(1)
a2 = c.m h2 = m.n
a.b= c.h a2 + b2 = c2
b2 = c.n
(2)
1 1 1x R r
(3)
2x a b
a b m n
a b m n
(4)
x 2 R r
3 3 32 2 2a b c
3h abc
Geometría
SAN MARCOS 2014 – II 50
ESQUEMA - FORMULARIO
ABCA mn
ABCA p.r
a b cp2
ABCabcA4R
S abT mn
ABCAS
4
A
B
C
S
Geometría
51 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
• Círculo: • Sector Circular
2
2
S R
dS4
2RS
360
• Corona Circular
Geometría
SAN MARCOS 2014 – II 52
ESQUEMA - FORMULARIO
Teorema de Euler
C V A 2
Donde:
C: N.° carasV: N.° vérticesA: N.° aristas
Ángulo diedro
Notación:diedro AB (d–AB)
Elementos:
* Arista: AB *Caras: P y Q
* Plano: MON
m(diedro AB) = m MON =
Diedro recto oplanos
perpendiculares
P Q
Si: MN AB MN P
MN Q
Tetraedro regular
C = 4; V = 4; A = 6
2TA a 3 ;
3aV 212
a 6h3
Hexaedro regular
C = 6; V = 8; A = 12
2TA 6 a ; 3V a
d a 3
Octaedro regular
C = 8; V = 6; A = 12
2TA 2a 3 ;
3a 2V3
D a 2
Geometría
53 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
h
BO
ap
g gh
r
g
r B
h
B
B
B
h
Fórmulas
1. V B.h
2. LPerímetro de
A .h la base
3. T LA A 2B
Fórmulas
1. 2V r g
2. LA 2 rg
3. TA 2 r(g r)
Cílindro rectoPrisma recto
Pirámide regular Cono recto
Fórmulas
1.Bh
V3
2. Lsemiperímetro
A .Ap de la base
3. T LA A B
Fórmulas
1.2r h
V3
2. LA rg
3. TA r(g r)
2 2 2 Ap h ap 2 2 2 g h r
Geometría
SAN MARCOS 2014 – II 54
ESQUEMA - FORMULARIO
Esfera Fórmulas:
1. 34V R
3
2. 2TA 4 R
Polígonos regulares En todo polígonoequiángulo:
Fórmulas
iSm 180 (n 2)
eSm 360
N°Diagonales: ND
Dn(n 3)
N2
Fórmulas
c
c
:medidadelángulocentral
360n
i1180 (n 2)
mn
e1360
mn
Fórmulas
(n 2)180
n
360n
Geometría
55 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Circunferencia
R
L 2 R=
Círculo
A R= 2
Longitud de Arco
R
R
R
0 < < 2
SECTOR CIRCULAR
R
SistemaSexagesimal
Unidad (1°)
1°<>60’1’<>60’’
m
SistemaCentesimal
Unidad (1g)
= 400g
1 <>100
1 <>100
g m
m s
SCR
SistemaRadial
SCR
S9
C R10= =
20
Unidad (1 rad)
=2 rad
223,1416 7
SISTEMAS ANGULARES
=360°
S C R180 200
= =
=2 rad
+ 3 2 10
m m
m
Trigonometría
SAN MARCOS 2014 – II 56
ESQUEMA - FORMULARIO
Área de Sector Circular
R
R
S
--
S = 1 LR2
L
-
-
L
S= L2
2
R
R
S
-
-
221S . R=
Trigonometría
57 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
60º
2 k k 3
k
Razones RecíprocasSen A Csc A = 1Cos A Sec A = 1Tan A Cot A = 1
Razonescomplementarias
Sen A = Cos CTan A = Cot CSec A = Csc C
m A m C 90 =
Teorema de Pitágoras ABC (recto en B)
a2 + c2 = b2
=
=
=
=
=
=
Cateto OpuestoSen AHipotenusa
Cateto AdyacenteCos AHipotenusa
CatetoOpuestoTan ACateto Adyacente
Cateto AdyacenteCot ACatetoOpuesto
HipotenusaSec ACateto Adyacente
HipotenusaCsc ACateto Opuesto
Trigonometría
SAN MARCOS 2014 – II 58
ESQUEMA - FORMULARIO
Datos generales
• Lado (a)
• Ángulo ( )
Relaciónfundamental
lo que quiero R.T.lo que tengo
RazonesTrigonométricas
C.O. C.A.Sen CosH H
C.O.TanC.A.
= =
=
Área de regióntriangular
abS Sen2
=
Cálculo de Sen
2SSenab
=
Primer caso Segundo caso Tercer caso
Trigonometría
59 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
1 2 1 2x x y y,
2 2
PA
Bmk
nk
mA nBPm n
3. 4.
G: Baricentro
A B CG3
a a a; a 0
a a; a 0
2a a
5. 6.
2 22 1 2 1D x x y y
1. 2.
Trigonometría
SAN MARCOS 2014 – II 60
ESQUEMA - FORMULARIO
ECUACIÓN DE LA RECTA
D. Rectas perpendiculares
= –1 2m m 1
1 2L L
C. Rectas paralelas
1 2m m=
1 2L //L
E. Ecuaciones1. Forma General. L: Ax + By + C = 02. L: y = mx + b
A Pendiente de la recta
m Tan =
2 1
2 1
y – ym
x – x=
B. Ángulo de inclinación de larecta
Trigonometría
61 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
a = a; a > 0a = –a; a < 00 = 0
m C = 90ºn, n
x
su lado finalcoincide con los semi ejes.
SenCsc
TanCot
ParaTodas
CosSec
x: abscisay: ordenadar: radio vector
r = x + y ; r > 02 2
y(x,y)
r
x
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
Trigonometría
SAN MARCOS 2014 – II 62
ESQUEMA - FORMULARIO
R.T.(90 )= CoR.T.( )
R.T(270 )=
0º <
R.T.(180º )= R.T.( )
R.T(360º )=
0º <
Sen(– ) = –Sen
Tan(– ) = –Tan
Cos(– )= Cos
Si:
Cos Cos 0
Tan Tan 0
Cot Cot 0
Sec Sec 0
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
Si: 2
Sen Sen 0
Tan Tan 0
Cot Cot 0
Csc Csc 0
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
R.T.(360ºK + )= R.T.( )
R.T(2K + )=
0º < K Z
Cot(– ) = –Cot
Csc(– ) = –Csc
Sec(– )= Sec
R.T. (2n) R.T.(0)=
Trigonometría
63 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Trigonometría
SAN MARCOS 2014 – II 64
ESQUEMA - FORMULARIO
I. P
itag
óri
cas
I. R
ecí
pro
cas
I. p
or
Div
isió
nId
en
tid
ade
s A
uxi
liar
es
Sen
x C
osx
12
2+
=
Sen
x 1
C
osx
22
=–
Cos
x 1
S
enx
22
=–
1 Ta
nx
Sec
x +
=
22
Tan
x S
ecx
12
2=
–
1 S
ecx
Tan
x=
–2
2
1 C
otx
Csc
x+
=2
2
Cot
x C
scx
12
2=
–
1 C
scx
Cot
x=
–2
2
Senx
Csc
x 1
=
Senx
1
Cs
cx=
Cscx
1
Se
nx=
Cosx
Sec
x 1
=
Cosx
1
S
ecx
=
Secx
1
C
osx
=
Tanx
1
Co
tx=
Cotx
1
Ta
nx=
Tanx
S
enx
Cos
x=
Cotx
C
osx
Senx
=
Senx
T
anxC
osx
=
Cosx
C
otxS
enx
=
Sen
x+Co
s
12S
enxC
os4
2=
– 4
2x
x
(Sen
xCo
s
12S
enxC
os=
x)x
2
Senx
1Co
sx1
Cos
xSe
nx=
Sen
x+Co
s
13S
enxC
os6
2=
– 6
2x
x
1Se
cxT
anx
Secx
T
anx
=
Sec
x+Co
s
Sec
xCos
22
=2
2x
x
(1Se
nx+
Cos
2
(1Se
nx)(
1Co
s=
x)
x)2
Tanx
+ C
ot
Sec
xCsc
=x
x
1
Sen
xCos
x=
Cosx
1Se
nx1
Sen
xCo
sx=
1Cs
cxC
otx
Cscx
Co
tx=
IDEN
TID
AD
ES T
RIG
ON
OM
ÉT
RIC
AS
Trigonometría
65 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Sen(x y) SenxCosy CosxSeny
Cos(x y) CosxCosy SenxSeny
Tanx TanyTan(x y)1 TanxTany
=
=
=
Si x y z (2n –1) ; n Z2
TanxTany TanxTanz TanyTanz 1
Cotx Coty Cotz CotzCotyCotz
+ +
+ + +
+ +
=
=
Si x y z n ; n Z
CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1
Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz
+ +
+ +
+ +
=
=
=
Trigonometría
SAN MARCOS 2014 – II 66
ESQUEMA - FORMULARIO
Cos + Cot=
Seno del doble
Coseno del doble
Tangente del doble:
Seno de la mitad
12
Ángulos doble y Ángulos mitad I
Coseno de la mitad
12
Fórmula racionalizada
Tangente de la mitad
=
Tan2
Sen2 = 2Sen Cos
Sen 2 = 4Sen Cos2 2 2
Sen2 = Cos Sen2 2–
Cos2 = 2Cos 12 –
Cos2 = 1 2Sen– 2
Tan2 = 2Tan1–Tan
Sen2 = 2Tan1+Tan
Cos2 = 1 – Tan1+Tan
2
2
a ba b
+ –
x b=
x
a
b
a>b2Tan
1+Tan2
Sen 2
(1 Cos )– Cos 2
(1 Cos )+
Cot 2
Tan 2
Csc – Cot
1 + Cos2 = 2Cos2
1 – Cos2 = 2Sen2
1 – Cos
Trigonometría
67 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Ángulo mitad Ángulo triple
xCot Cscx Cotx2xTan Cscx – Cotx2
=
=
+
3Sen3x 3Senx – 4Sen x
Sen3x Senx 2Cos2x 1
Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x
Identidad Auxiliarx xCot Tan 2Cscx2 2x xCot – Tan 2Cotx2 2
=
=
+
3Cos3x 4Cos x – 3Cosx
Cos3x Cosx 2Cos2x – 1
Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 x
+
1 CosxxCot2 1 – Cosx
1 – CosxxTan2 1 Cosx
+
+
=
=
3
2
Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x
3Tanx – Tan xTan3x1 – 3Tan x
'
' 36°
Trigonometría
SAN MARCOS 2014 – II 68
ESQUEMA - FORMULARIO
I. Suna o diferencia a producto
Observación:
A B A – BCosB – CosA 2Sen Sen2 2
= +
II. Producto a suma o diferencia
Observación:
2SenxSeny=Cos(x–y)–Cos(x+y)
2SenxCosy Sen(x y) Sen(x – y)2CosxSeny Sen(x y) – Sen(x – y)
x y2CosxCosy Cos(x y) Cos(x – y)–2SenxSeny Cos(x y) – Cos(x – y)
===
=
+ +++ +
+
A B A – BSenA SenB 2Sen Cos2 2
A B A – BSenA – SenB 2Cos Sen2 2 A B
A B A – BCosA CosB 2Cos Cos2 2A B A – BCosA – CosB –2Sen Sen
2 2
=
=
=
=
+
+
++
+
Propiedades
Sen(x – 120 ) Senx Sen(x 120 ) 0Cos(x – 120 ) Cosx Cos(x 120 ) 0
==
+ + ++ + +
2 2 2
2 2 2
3Sen (x – 120 ) Sen x Sen (x 120 )23Cos (x –120 ) Cos x Cos (x 120 )2
=
=
+ + +
+ + +
4 4 4
4 4 4
9Sen (x – 120 ) Sen x Sen (x 120 ) 89Cos (x – 120 ) Cos x Cos (x 120 )8
+ + +
+ + +
Si x y z 180°yx zSenx Seny Senz 4Cos Cos Cos
2 2 2yx zCosx Cosy Cosz 4Sen Sen Sen 1
2 2 2
+ +
+ +
+ + +
=
=
=
Trigonometría
69 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Propiedades
I)
f
ArcSen(–x) –ArcSenxArcCos(–x) – ArcCosxArcTan(–x) –ArcTanx
x DArcC ot(–x) – ArcCotxArcSec(–x) – ArcSecxArcCsc(–x) –ArcCscx
======
II)
f
Sen(ArcSenx) xCos(ArcCosx) xTan(ArcTanx) x
x DC ot(ArcCotx) xSec(ArcSecx) xCsc(ArcCscx) x
======
III)
f
ArcSen(Seny) yArcCos(Cosy) yArcTan(Tany) y
y DArcC ot(Coty) yArcSec(Secy) yArcCsc(Cscy) y
======
Función Función Dominio (x) Rango (y)Inversa Directa
ArcSenx = y Seny = x [–1; 1] – ;2 2
ArcCosx = y Cosy = x [–1; 1] 0;
ArcTanx = y Tany = x R – ;2 2
ArcCotx = y Coty = x R 0;
ArcSecx = y Secy = x R – –1; 1 0; –2
ArcCscx = y Cscy = x R – –1; 1 – ; – 02 2
Trigonometría
SAN MARCOS 2014 – II 70
ESQUEMA - FORMULARIO
TEMA 10
R.T. (2K ) R.T.(0)
R.T. (4K 1) R.T.2 2
R.T. (2K –1) R.T.( )
3R.T. (4K –1) R.T.2 2
=
=
=
=
+
Solución general
KG
Sen a
K (–1) Vp( )
Vp ArcSen(a)
=
==
+
Signos de la RT
Reducción al primercuadrante (I)
R.T.(90° ó 270° )= CoR.T.( )
R.T.(180° ó 360° )= R.T.( )
0 90
Solución general
G
Cos a2K Vp( )
Vp ArcCos(a)
===
( x Z)
Reducción al primercuadrante (II)
R.T.(360°k+ )=R.T.( ) R.T.(2K + )=R.T.( )
Solución general
G
Tan aK Vp( )
Vp ArcTan(a)
===
+
Ángulos cuadrantales
(4K 1)2
(2K 1)
(4K 1)2
2K
x
y
Trigonometría
71 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
b abSenA
bCosA c - bCosAH BA
C
c
Ley de Cosenos
ABC : se cumple
2 2 2a b c 2bcCosA 2 2 2b a c 2acCosB 2 2 2c a b 2abCosC
Ley de Cosenos
ABC : se cumple2 2 2b c aCosA
2bc
2 2 2a c bCosB2ac
2 2 2a b cCosC2ab
Ley de Proyecciones
ABC : se cumple
aCosB + bCosA = caCosC + cCosA = b
bCosc + cCosB = a
Ley de Senos
ABC : se cumple
a b c 2RSenA SenB SenC
= = =
R: circunradio
Ley de Senos
ABC : se cumple
a = 2R SenA
b = 2R SenB
c = 2R SenC
Ley de Senos
ABC : se cumple
aSenA2R
= bSenB AB2R
=
cSenC2R
= R: circunradio
Ley de Senos
R: circunradio
Ley de Senos
Trigonometría
SAN MARCOS 2014 – II 72
ESQUEMA - FORMULARIO
Movimiento Rectilíneo Uniforme
d v.t.=
Observación
– Observar bien las unidades y aplicar el factor de conversación
Km 5 m=h 18 s
; si es necesario
– Tener en cuenta que la fórmula del tiempo de encuentro
y tiempo de alcance son sólo para MRU.
– Para el tiempo de encuentro y de alcance tener en cuenta que losmovimientos son simultáneos.
Encuentro:
e1 2
dtV V
=
Alcance:
a1 2
dtV – V
=
Física
73 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Observación
– Observar bien si el movimiento es acelerado o desacelerado para colocar elsigno (+); (–), respectivamente en las fórmulas.
– No importa si el movimiento es horizontal, vertical, oblicuo; si es trayectoriarecta y aceleración constante entonces será un MRUV.
– Tener en cuenta las unidades; generalmente las unidades son en el sistemainternacional (S.I.)
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Cambio de velocidadaTiempo
fV Va
t
f iV V at i fV Vd t
2
2i
1d Vt at
2 2 2
f iV V 2ad
Física
SAN MARCOS 2014 – II 74
ESQUEMA - FORMULARIO
Propiedades movimiento completo (subida y bajada)
Elementos y ecuaciones del MVCL
Donde:• v0: velocidad inicial (m/s).• vF: velocidad final (m/s).• g: aceleración de la
gravedad (m/s2).• h: altura (m).• t: tiempo (s).
• En el punto "c" (altura máxima) la velocidad es cero.
C(V 0)
• En un mismo nivel la rapidez de subida es igual quela rapidez de bajada.
B D(V V ) ; A E(V V )
• Entre dos niveles el tiempo de subida es igual que eltiempo de bajada.
AB DEt t ; BC CDt t ; AC CEt t
Nota: * se deduce del punto "3"
isub baj
2i
máx
Vt t
g
VH
2g
1. h = v0t 12 gt2
2. h =
3. vF = v0 gt
4. vF2 = v0
2 2 gh
gravedad (m/s2).
Física
75 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Medida de la interacción entre dos cuerpos
Peso (W)W mg=
Por contacto
FUERZA
A distancia
Fuerza elásticaF = KxE
Otros:- Tensión- Reacción normal- Fricción
• Primera condición de equilibrio: M 0 =
• Segunda condición de equilibrio: M 0 =
• Mo
F Mo
F
ANTIHORARIO HORARIO
•
•
Física
SAN MARCOS 2014 – II 76
ESQUEMA - FORMULARIO
Las componentes de las fuerzas (eje x) en dirección del movimiento, cumplen lasegunda ley.Donde:F = R Fuerzas
a favor de “a” – Fuerzasen contra de “a”
1° Realizar un DCL.2° Descomponer las fuerzas en las ejes
del movimiento y del equilibrio.3° Aplicar la 2da ley de Newton en el
eje de movimiento.
Dinámica lineal
( ) ( )
Dinámica Circular
1. Segunda Ley de Newton: FRam
2. RF ( F a favor de a) – ( F en contra de a)
=3. La acción de un cuerpo sobre otro, no es unilateral.
4. cp cpF ma
5.2
2cp
Va W RR
= =
Segunda Ley de Newton:
Física
77 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
1. FW F r =
2. Neto FW W= ó
Neto R( ) : acelerado
W F r( ) : desacelerado
+=
–
3. De la gráfica, se concluye
0
F
x
A1
A2
A3x1 x2
WF = A1 – A2 + A3
4. mg( ) : baja
W mgh( ) : sube
+=
–
1. 2C
1E mv2
=
2. P Pe PgE E E= +
3. PgE mgh=
4.2
Pe1E kx2
=
5. Si solo actúan fuerzas conservativasla energía mecánica se conserva.
Mi MfE E=
ENERGÍA MECÁNICA
Física
SAN MARCOS 2014 – II 78
ESQUEMA - FORMULARIO
E = L g Vsumergido
E = Wreal – Waparente
E = L efg
. Vsumergido
efg
= g
– a
Prensa Hidraúlica
A1
F1
A2
F2
h2h1
1 1 2
2 2 1
F A hF A h
= =
P = PHidrostática = L.g.h
mV
= wV
=
También: HP . h= . g =
Fuerza eléctrica
Unidades610 –=3m 10–=2c 10–=
Cuantificación dela carga
Q n e=
Carga fundamental
19fQ 1,6 10 C e –= – =
Ley de Coulomb
1 22
K q qF
d=
F Eq=
29
2Nmk 9 10C
=
q1; q2: cargasd: distancia
Intensidad de
campo eléctrico
2UnidadKQE :N / Cd
=
ELECTROSTÁTICA
Frotamiento
Inducción
Contacto
Electrización
Física
79 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
1 2 3I I I+ =
En cualquier conexión o nudo la sumade todas las corrientes que entrandebe ser igual a la suma de todas lascorrientes que salen.
V IR =
En cualquier circuito; la suma algebraicade los voltajes de las baterias es iguala la suma de las caidas de potencial(IR) de cada resistencia del circuito.
PRIMERA LEY DEKIRCHHOFF
SEGUNDA LEY DEKIRCHHOFF
Potencia disipada en una resistencia
22 VP VI I R
R= = =
qIt
=
VRI
=
LRA
=
Si encuentras resistencia en serie. Estos se suman
Si encuentras resistencia en paralelo: como por ejemplo:R1
R2
R1 R2
R1 + R2Req =
1R1
Req =1R2
+
Física
SAN MARCOS 2014 – II 80
ESQUEMA - FORMULARIO
Intensidad del campo magnético
0.B2 D
=
Espira circular
La inducción magnética en el centroes:
oo
IB
2R
=
Fuerza magnética
F q vBsen=
Fuerza magnética sobre unconductor de longitud "L"
F ILBSen=
Flujo magnético
BAcos =
Fuerza electromotriz inducida ( )en una barra
vBL =
Fuerza electromotriz inducida enuna espira
Nt
–=
Físicajhsf
81 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
x ASen(wt)=
V WACos(wt)=
2a W ASen(wt)= –
mT 2k
=
2a w x=
máxV WA=
2w 2 fT= =
1 kf2 m
=
kwm
=
2
máxa w A=
Física
SAN MARCOS 2014 – II 82
ESQUEMA - FORMULARIO
ÁTOMOes
la partícula mínima de un elemento que conserva sus propiedades
sus partes son sus partículas fundamentales son
núcleo
núcleo
átomo neutro ion
protones y neutrones principal-mente
compacta
carga positiva
carga negativa
la masa del átomo
el volumenatómico
protón
isótopos isóbaros isótonos
positiva
neutrón
nula
electrón
negativa
zonaextranuclear
zonaextranuclear
solamente a los electrones
casi vacío
contienecontiene
carga cargacarga
es
es
determina
determina
posee
posee
ubicados en el ubicado en
en un
representación representación
se cumple que
se cumple queA q+EZcatión
A q–EZanión
AEz #nº = A – Z
#p = Z #e+ –
#p = Z+ #e = –
ejemplo
tipos de núclidos
especie #p+ #e– #n27 3+Al13
33 2–S16
13
16
10
18
14
17
poseen igual poseen igual poseen igual
númeroatómico
númerode masa
número deneutrones
ejemplo ejemplo ejemplo
12C614C6
40Ca2040Ar18
11B514C6
Química
83 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS NÚMEROS CUÁNTICOS
Valorespermitidos
Númerocuántico
Determina para el
electrón orbital
Principal(n)
Secundario o
azimutal( )l
Magnético(m )l
SpinMagnético
(m )s
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
K L M N O P Q (Capas)
El nivel principal de
energía
El tamaño o volumen
La forma geométrica
Su orientación
espacial
no tiene significado
l = 0, 1, 2, 3, ...(n – 1)
s p d f
máximovalor
El subnivel de energía
El orbital o REEMPE
El sentido de rotación
o
m = , ..., 0, ... +l l l
m = + , ..., 0, ... –l l l
En el átomo actual, el nivel de energía queda definido con n, un subnivel se define con los valores de n y , un orbital con n, y m y un electrón queda definido con n, , m y m .
l ll
l
l s
– – –
Antihorario Horario
1m = +1/2s
1m = –1/2s
Química
SAN MARCOS 2014 – II 84
ESQUEMA - FORMULARIO
CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA
ordenamiento sistemático de los electrones en la zona extra nuclear
es el
se basa en
permite
según
ejemplo
otros
16S = Ne 3s 3p 2 4
23V = Ar 4s 3d 2 3
según Kernel
principio de aufbau
distribuir a través de lossubniveles
el orden creciente de laenergía relativa (E )R
9F: 1s 2s 2p52 2
Er: 1 2 3
16S = s 2s 2 2 6 2 42p 3s 3p23V = s 2s 2 2 6 2 5 2 3 2p 3s 3p 4s 3d
2He:1selectrón n l ml ms
1 0 ms
1 ms0
0
0
permite
estableciendo que
ejemplos
en un átomo dos electrones no pueden tener sus 4 números
cuánticos iguales
principio de exclusión de Pauli
Distribuir a través de un orbital
permite
para ello
ejemplos
ejemplos
distribuir a través de losorbitales de un subnivel
a todos los orbitales se les deja a medio llenar
antes de llenarlo
a todos los orbitales se les deja a medio llenar
antes de llenarlo
gO:1s 2s 2px 2py 2pz
16S: [Ne]:3s
3px 3py 3pz
Todos sus electronesapareados
uno o más electronesdesapareados
diamagnético paramagnético
si posee
será será
Química
85 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
TABLA PERIÓDICA ACTUALes un
en función de
instrumento del ordenamientosistemático de los elementos
sus números atómicos crecientes
clasificación
Según las propiedadesde los elementos
por bloques
según la
para
distribución electrónica
final
elementos representativos
elementos de transición
en subniveless y/o p
en subnivelesd y/o f
finalizan
finalizan
Conductividadeléctrica
como
pueden ser
ejemplos
buena regular mala
metal mateloide no metal
- Fe- Cu- Ag- Pb- Au
- B- Si- Ge- As- Sb
- C- H- O- N- S
en
periodos
horizontalmente
grupos
en columnas
ordena a los elementos
poseen poseen
igual número de niveles o capas
igual número de electrones de valencia
presentan
propiedades químicas diferentes
propiedades químicas similares
tradicionalmente
existen 7 periodos y16 grupos
según IUPAC
existen 7 periodos y18 grupos
Química
SAN MARCOS 2014 – II 86
ESQUEMA - FORMULARIO
prop
ieda
des
subm
icro
scóp
icas
de
los
elem
ento
s qu
e va
rían
en fo
rma
regu
lar
en
un p
erio
do o
gru
po y
per
mite
n ex
plic
ar s
us p
ropi
edad
es f
ísic
as y
quí
mic
as.
son
caso
s ge
nera
les
es la
para
áto
mos
ioni
zado
s
Rad
io a
tóm
ico
(R
A)
mita
d de
la d
ista
ncia
en
tre
los
núcl
eos
de d
os á
tom
os
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cent
es
es e
l
Afi
nid
ad e
lect
rón
ica
(AE)
se e
mpl
ea a
l rad
io ió
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qu
e se
def
ine
en f
orm
aan
álog
aal r
adio
ató
mic
o
en e
spec
ies
isoe
lect
róni
cas
RA
rela
ción
inve
rsa
Z
es u
n
cam
bio
de e
nerg
ía q
ue s
epr
oduc
e cu
ando
un
átom
oen
est
ado
gase
oso
acep
taun
ele
ctró
n pa
ra fo
rmar
un
anió
n gene
ralm
ente
es u
n pr
oces
o ex
otér
mic
o
repr
esen
taci
ón
x +
e–
–– x
+ A
E(g
)1–
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Química
87 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
ENLACE QUÍMICO es la fuerza que une átomos de una sustancia
de naturaleza
Electrostática Electromagnética
llamada llamada
Enlace iónicoo electrovalente
Enlace covalente
se da generalmente
entre un metal y un no metal mediante transferencia de electrones
Ejemplos:
MgO, CaF , ...2 excepciones
Estructura de Lewis
[Mg]2+
[Ca]2+
O
F
2+
1–2
en Compuestos binariosiónicos
generalmente
EN 1,7EN: Diferenciade electronegatividad
X = halógeno
BrX , A X
NH C , NH Br ...2
4 4
3
Química
SAN MARCOS 2014 – II 88
ESQUEMA - FORMULARIO
UNIDADES QUÍMICA DE MASA
MoléculaÁtomo
n = =mmA
# átomosNA
n = =mM
# átomosNA
N = 6,023 x 10A23 m: masa
Unidades fórmula
n = =mPF
# unidadesfórmula
P.F.: peso fórmula
Química
89 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Propiedades generales
Teoría cinética molecular
Ecuación general de losgases
A nivelsubmicroscópico
A nivelmacroscópico
– Alta entropía– Grandes
distanciasintermoleculares
– Alta energía
– Expansión– Comprensión– Difusión– Efusión
Variables de estado
Volumen
Igual a la capacidad
delrecipiente
que lo contiene
Temperatura
es
Presión
es
Un estado de agregación de la materia, en la cual las moléculas que lo componen poseen un movimiento caótico.
La energíacinética
media de las moléculas
choques de las moléculas del gas con la
pared del recipiente
participan en lala cual
justifica la Ecuación universalde los gases
PV = RTn
PM = DRT
en condiciones normales (CN)
V =nx22,4Lgas
D = g/LgasM
22,4
P=1atm<>760 mm Hg yT=0ºC <> 273 K
P VT1 1
1
P VT2 2
2
=
si, además, una variablede estado es constante
Isotérmico(T=cte.)
P V =P V1 1 2 2
Isobárico(P=cte)
Isocórico(V=cte)
VT
1
1
VT
2
2
=PT
1
1
PT
2
2=
procesos restringidos
WRT=PVM
ESTADO GASEOSO
caracteriza se debe a los
a través de la cualpodemos determinar
Química
SAN MARCOS 2014 – II 90
ESQUEMA - FORMULARIO
SOLUCIONES
Unidades de concentración
Físicas
Químicas
Molaridad
Normalidad
M = = =nV
10 x %m x DM
MV
m
%m = x 100mstomsol
%V = x 100VstoVsol
D: densidad
Química
91 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Contracción volumétrica (C.V.):
Reactivo limitante (RL):Reactante que se consume totalmente.
Reactivo en exceso (RE):Reactante que se consume parcialmente.
Porcentaje de pureza:
cantidadsust.pura%Pureza .100cantidadmuestra
Rendimiento o ef iciencia de lareacción (RR)
CRRR .100%CT
Regla práctica de planteo deproblemas estequioméetricos
Regla: coef x M coef. coef x 22,4 Lcoef x NA coef x NA x subíndice
Dato: gramos mol vol (CN) moléculas átomo
Química
SAN MARCOS 2014 – II 92
ESQUEMA - FORMULARIO
A. Teoría ácido - base
Química
93 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
B. Ácidos y bases: Escala de pH
CÁTODO ( )–
Na+
2C
CÁTODO:
ÁNODO:
+1e
–2e– NaC (Fundido)
Na 0
C 02
Na+
(Reducción)
(Oxidación)
C–
( ) ÁNODO +
e –
Química
SAN MARCOS 2014 – II 94
ESQUEMA - FORMULARIO
QU
ÍMIC
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ÁN
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Pur
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Química
95 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Química
SAN MARCOS 2014 – II 96
ESQUEMA - FORMULARIO
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4
46
Química
97 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Son compuestos que en su estructura, presentan por lo menos un enlace doble (2átomos de carbono con hibridación sp2), siendo una sustancia químicamente activa.El doble enlace carbono-carbono es una unidad estructural y un grupo funcionalimportante en la química orgánica, el doble enlace es el punto donde los alquenossufren la mayoría de las reacciones.
Ejemplos:
ALQUENOS U OLEFINAS
ALQUINOS O ACETILENICOSSon hidrocarburos acíclicos insaturados o compuestos que en su estructurapresenta por lo menos un enlace triple. Los átomos de carbono del grupofuncional (enlace triple) poseen hibridación sp.
átomos de carbono con hibridación sp2)
Química
SAN MARCOS 2014 – II 98
ESQUEMA - FORMULARIO
ALQUENINOCnH2n + 2 – 2d – 4t
Donde: n: número de carbonos d: número de enlaces dobles; t: número de enlacestriples. Cuando en la cadena carbonada hay doble y triple enlace simultáneamente, lanumeración de la cadena principal se hace en base al doble enlace y la terminaciónusada es enino.
Ejemplo:
Alquino Fórmula global Fórmula semidesarrollada
Fórmula desarrollada
Etino C H2 2
Propino C H3 4
Butino
CH CH
CH C CH3
C CH H
C CH C
H
H
H
CH C CH2 CH3
1 inoBut
CH3 C C CH3
inoBut 2
C CH C
H
H
C
H
H
H
C C C
H
H
HH C
H
H
C H4 6
(Posee 2 isómerosde posición)
Química
99 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Burbujeador
Líquido
Tanque de petróleo
Horno
Bomba
Bomba
Crudoreducido
Gasolinao diesel
Kerosén
Rectificadores
Vapor
Vapor
Bomba AguaGasolina
Gas derefinería
Separadorde gas
Condensador
reflujo
Vapor
Líquido
Colu
mna
de
frac
cion
amie
nto
vapores
Química
SAN MARCOS 2014 – II 100
ESQUEMA - FORMULARIO
Min
eral
es Hematita Fe2O3
Limonita Fe2O3 + 3.H2O Magnetita Fe2O3.FeO Siderita FeCO3 Pirita FeS
Métodos mecánicos (concentra el
mineral)
Trituración, molienda, pulverizado – Tamización – Levigación (oro) Flotación (sulfuros)
Métodos Químicos (mineral
concentrado)
Tostación Calcinación Reducción
de sulfuro a óxido con corriente de aire de CO3
= a óxido en ausencia de aire óxidos + C = CO2 + metal
Electrólisis Húmeda (Na) Seca (Na, K, Mg, Al)
Prep
arac
ión
del m
iner
al
Electrometalúrgicos (mineral
concentrado) Electrotérmicos Hornos de arco voltáico 2800 - 3000°C es una reducción
Química
101 SAN MARCOS 2014 – II
ESQUEMA - FORMULARIO
Química