Esta relación proporciona una formulación completa de la segunda ley

de Newton; no sólo expresa que la magnitud de F y a son proporcionales,

sino también (puesto que m es un escalar positivo) que los vectores

F y a tienen la misma dirección (figura 12.2). Debe advertirse que la

ecuación (12.1) sigue cumpliéndose cuando F no es constante sino que

varía con el tiempo de magnitud o dirección. Las magnitudes de F y a

permanecen proporcionales, y los dos vectores tienen la misma dirección

en cualquier instante determinado. Sin embargo, en general, no

son tangentes a la trayectoria de la partícula.

Cuando una partícula se somete de manera simultánea a varias

fuerzas, la ecuación (12.1) debe sustituirse por

_F _ ma (12.2)

donde _F representa la sumatoria, o resultante, de todas las fuerzas

que actúan sobre la partícula.

Debe notarse que el sistema de ejes con respecto al cual se determina

la aceleración a no es arbitrario. Estos ejes deben tener una orientación

constante con respecto a las estrellas, y es necesario que su origen

esté unido al Sol† o se mueva con velocidad constante con respecto al

Sol. Un sistema de ejes de estas características recibe el nombre de sis-

F3_

a3

F2_

a2

F1_

a1

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Figura 12.3

tema de referencia newtoniano.† Un sistema de ejes unido a la Tierra no

constituye un sistema de referencia newtoniano, ya que la Tierra gira con

respecto a las estrellas y está acelerada con respecto al Sol. Sin embargo,

en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería, la aceleración a puede

determinarse con respecto a los ejes unidos a la Tierra y las ecuaciones

(12.1) y (12.2) se utilizan sin ningún error apreciable. Por otro lado, estas

ecuaciones no se cumplen si a representa una aceleración relativa medida

con respecto a ejes en movimiento, tales como los ejes unidos a un

automóvil acelerado o a una pieza de maquinaria rotatoria.

Se observa que si la resultante _F de las fuerzas que actúan sobre

la partícula es cero, se deduce de la ecuación (12.2) que la aceleración

a de la partícula también es cero, Si la partícula se encuentra inicialmente

en reposo (v0 _ 0) con respecto al sistema de referencia newtoniano

utilizado, así se mantendrá en reposo (v _ 0). Si en un principio

se movía con una velocidad v0, la partícula mantendrá una velocidad

constante v _ v0; esto es, se moverá con velocidad constante vo en una

línea recta. Esto es el enunciado de la primera ley de Newton (sección

2.10). De tal modo, la primera ley de Newton constituye un caso particular

de la segunda ley y puede omitirse de los principios fundamentales

de la mecánica.

12.3. CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UNA

PARTÍCULA. RAZÓN DE CAMBIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

LINEAL

Si se reemplaza la aceleración a por la derivada dv_dt en la ecuación

(12.2), se escribe

_F _ m

o, ya que la masa m de la partícula es constante,

_F _ (mv) (12.3)

El vector mv se denomina como la cantidad de movimiento lineal, o

simplemente cantidad de movimiento de la partícula. Tiene la misma

dirección que la velocidad de la partícula, y su magnitud es igual al producto

de la masa m y la velocidad v de la partícula (figura 12.3). La

ecuación (12.3) expresa que la resultante de las fuerzas que actúan

sobre la partícula es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento

lineal de la partícula. En esta forma fue que Newton enunció

originalmente la segunda ley de movimiento. Al denotar por L la cantidad

de movimiento lineal de la partícula,

L _ mv (12.4)

y por L ˙ su derivada con respecto a t, es posible escribir la ecuación

(12.3) en la forma alternativa

_F _L ˙ (12.5)

d_

dt

dv_

dt

694 Cinética de partículas: segunda

ley de newton

†Puesto que las estrellas no están realmente fijas, una definición más rigurosa de sistema

de referencia newtoniano (denominado también sistema inercial) es uno respecto al

cual se cumple la ecuación (12.2).

v

m

mv

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Debe