Estabilidad de sistemas planetarios

Raúl Santos

• Modelo (simplificado) del problema1. Descripción del problema usando aproximación lineal de las

ecuaciones de movimiento

2. Soluciones y discusión de estabilidad • Estabilidad de sistemas en la zona habitable1. Sistema 51 Peg

2. Sistema 47 Uma

3. Sistema HD210277

• Conclusiones

Tópicos a DiscutirTópicos a Discutir

Modelando la evolución planetaria

P

Consideremos el movimiento de un planeta (partícula), sometido a la atracción de su Estrella madre y sometido, además, a la perturbación de otro cuerpo.Las suposiciones que haremos son:• La perturbación ocurre en el mismo plano de movimiento del sistema no perturbado• Las perturbaciones son periódicas, de periodo T (principalmente las estamos asociandoa la acción de otro planeta en nuestro sistema, por lo que las perturbaciones tienen asociada una frecuencia característica que proviene del movimiento del objeto que introduce la Perturbación)

Sistema sin perturbar, soluciones => CónicasSistema perturbadoSistema perturbado

Modelamos la influencia de otro objeto sobre m por una

perturbación periódica en el plano

m

M

P

P

Descripción del problema

kza

kzv

kzr

ˆˆ)2(ˆ)(

ˆˆˆ

ˆˆ

2

amF

ˆ)(ˆ)(

22

tt

z

GMf

m

F

0

2

222

z

z

GM

Elegimos coordenadas cilíndricas

Usando la segunda ley de Newton (tratamiento no relativista)

Estudiemos el comportamiento del sistema bajo la atracción de la estrellade masa M y la acción de una fuerza perturbativa (por ahora arbitraria),Que modela la atracción que sufre m debido a otros cuerpos

tvztz 00)( 000 vz

2

22 GM

La ecuación en z es trivial Nos preocupamos del caso

Con esta condición, el sistema conserva momentum angular (dirección), y aun vive en el plano.

(1)

(2)

De la ecuación (2)

CdttF

Cdtdt

d

)(

22

Reemplazando en (1)

23

GMF

Linealizemos la ecuación anterior respecto a una orbita circular

20

30

GM

)( 00 rr

(3)

La ecuación para r es

))((1

)())(32(1

30

40

tFtrtFr

Versión in-homogénea de la ecuación de Hill

Recordemos que:

)()( tFTtF

Esta es una ecuación lineal, podemos descomponer la solución en la homogénea + la particular

40

40

3

2

2

2

0)cos(

cos)(

hTh

T

utu

ttF

Estudiando el espacio de parámetros para la solución homogénea, en el caso especial

Podemos arreglar la ecuación anterior haciendo el cambio:

30

40

0

)32(1

3

uFu

ru

ph uuu

0)cos( 2 hTh utu

Finalmente si estudiamos la solución particular con:

)}()({

)(,00

30

2

2

tTtuu pp

Dada la ultima ecuación, podemos expandir en serie de Fourier la perturbación (la asumimos par)

022

0

0

022

0

)cos(3

1

2)(

2)cos()(

)cos()(

nn

n

np

nn

n

np

nnn

tA

tr

tA

tu

tAt

Aparecen las resonancias

asociadas a los periodos orbítales

Estabilidad de sistemas planetarios en la zona habitable

Revisamos los resultados de simulaciones hechas en distintossistemas planetarios conocidos, sobre la estabilidad de orbitas de planetas tipo tierra en la franja donde la vida se puede desarrollarde manera similar que en la tierra, la denominada zona habitable (HZ).

La Zona Habitable

Toda la vida en la tierra requiere agua líquida al menos en alguna parte de su ciclo vital, por lo tanto se define la HZ como el rango de distancia desde la estrella donde el agua en la superficie está en fase líquida.Los criterios para determinar las fronteras de esta zona son variados, pero los acá utilizados son:1. Para el limite inferior, la distancia máxima a la cual el efecto

invernadero produce la evaporación de toda el agua superficial2. Para el limite superior, la distancia máxima a la cual una atmósfera libre

de Nubes de CO2, puede mantener una temperatura de 273 ºK

Los sistemas a considerar:

51-Peg51-Peg47 UMa,y HD 210277

Notar que los 3 sistemas poseen HZ similares, mientras que los planetas de los sistemas poseen características variadas

Órbitas de los planetas en los sistemas considerados

Las áreas grises corresponden a las HZ de

los distintos planetas

Las simulaciones para determinar la estabilidad en estos modelos se

realiza en base a las perturbaciones de periodos cortos, del orden de 1000

años, con las cuales se pueden manejar mejor los procesos de

encuentros planetarios

Se asume:

Órbitas coplanares entre los plantas del sistema

Masa de los planetas terrestres simulados = Masa de la tierra

En base a las edades de las estrellas madre, se estima la posición de las HZ

51 PEG51 PEG

La órbita de un planeta terrestre en la HZ, es estable independiente de la posición inicial dentro de la franja

Explicación

51-Peg esta en una orbita circular muy cercana a la estrella madre, su efecto neto sobre un planeta tipo tierra en la franja de habitabilidad es despreciable frente a la acción de la masa central.

En principio, podríamos pensar que si en el sistema 51-Peg se generó un planeta tipo tierra en la HZ, este perfectamente podría albergar vida, pero debemos recordar que la presencia de 51-Peg b, en una orbita circular y cercana a la estrella se infiere de procesos de migración en una etapa inicial de la formación del sistema.

63

62

61

10489.1;9275.1

10071.1;6041.1

10075.1;2803.1

AUr

AUr

AUr

Estudiemos un poco mas en detalle la migración, y su efecto en los planetas interiores

Simulando un sistema de dos planetas con masas entre aleatorias entre 0 y 5 masas de Júpiter, tal que el planeta externo es influenciado por la acción de las fuerzas de marea por la presencia de un disco.

Los planetas en un comienzo no están en resonancia, pero el planeta externo es forzado hacia adentro por causa de la disipación con el disco, por lo que los planetas entran gradualmente en resonancia, típicamenteen resonancia 3:1. Luego los dos planetas migran juntos hacia la estrella, siempre cerca de la resonancia, pero las interacciones entre los dos planetas tienden a aumentar la excentricidad orbital de ambos.Estas grandes excentricidades llevan a alguno de los planetas a salir fuera de la condición resonante, pero además sacan al sistema de la estabilidad, lo que se traduce en:a) Acreción por la estrella b) Eyección c) Colisión

Diagrama esquemático del proceso de migración y

estabilidad

Propiedades de los planetas sobrevivientes: dos planetas sometidos

a fuerza de marea por presencia del disco (350 simulaciones)

47 Uma47 Uma

A diferencia de 51 Peg, este sistema si presenta inestabilidad para las orbitas externas, 2 y 3

}6171.1;1853.1{

10546.8;1176.1

2

51

AUAUr

AUr

Para la órbita mas externa, el Para la órbita mas externa, el planeta deja la HZ después de planeta deja la HZ después de

tan solo 0.24 años!tan solo 0.24 años!

HD210277HD210277

Este sistema es altamente no estable, todas las órbitas (1,2 y 3) se escapan de HZPara la órbita intermedia, el tiempo de vida en la HZ es de solo 52.52 años.Dada la alta inestabilidad en estas condiciones, se procede además a estudiar distintos ángulos relativos entre los HD210277b y el planeta tipo tierra considerado.

yryrt 9.20;7.462

HD210277 ContinuaciónHD210277 Continuación

60º60º 120º120º 180º180º

Es clara la razón de esta inestabilidad, la orbita del gigante

atraviesa la HZ debido a su excentricidad (e=0.45)

ConclusionesConclusiones

51 Peg

A pesar de que un planeta tipo tierra (ET) es estable en todas las configuraciones testeadas, si 51 Peg b se ubica donde esta luego de un proceso de migración, solo hay una probabilidad del 20% de sobrevivencia de un planeta ET.

47 Uma

Es posible que si este sistema posee un planeta ET en la parte interior de la HZ, este sea capaz de soportar vida (habría que investigar la variación de la propia HZ debido al envejecimiento de 47 Uma), las órbitas lanzadas en la parte mas externa de la HZ, no son estables como para albergar vida conocida.

HD210277

Esta planeta no puede albergar vida (como la conocemos)

ReferenciasReferencias

1. Adams F. C. & Laughlin G. 2003, Icarus, 163, 209

2. C.D. Murray & S.F. Dermott (1999). Dynamics of Solar System. (Cambridge U. Press)

3. J.Avron, B.Simon, 1981, Phys, Rev. Letts. 46, 17

4. Jones, B. W., Sleep, P. N., & Chambers, J. E. 2001, A&A, 366, 254

5. Noble M., Musielak Z. E. & Cuntz M. 2002, ApJ, 572, 1024

6. R. Rothe (1970). Matemática Superior (Editorial Labor)