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Lyapunov estabilidad
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Este artculo es sobre la estabilidad asinttica de sistemas no lineales. Para la estabilidad de
sistemas lineales, consulte la estabilidad exponencial .
Este artculo incluye una lista de referencias , la lectura o relacionados con los
enlaces externos , pero sus fuentes no estn claras, ya que carece de citas en lnea
. Por favor, mejorar este artculo introduciendo citas ms precisas. (Mayo 2009)
Varios tipos de estabilidad se puede discutir de las soluciones de ecuaciones diferenciales
que describen los sistemas dinmicos . El tipo ms importante es el relativo a la estabilidad
de las soluciones cerca de un punto de equilibrio. Esto puede ser discutido por la teora de
Lyapunov. En trminos simples, si todas las soluciones del sistema dinmico que empiezan
cerca de un punto de equilibrio x estar cerca e x e para siempre, entonces x e es Lyapunov
estable. Con ms fuerza, si x e es Lyapunov estable y todas las soluciones que empiezan
cerca de x e convergen para x e, entonces x e es asintticamente estable. La nocin de
estabilidad exponencial garantiza una tasa mnima de la decadencia, es decir, una
estimacin de la rapidez de las soluciones convergentes. La idea de la estabilidad de
Lyapunov se puede ampliar a dimensiones infinitas variedades, donde se le conoce como la
estabilidad estructural , lo que se refiere al comportamiento de los diferentes, pero "cerca"
las soluciones a las ecuaciones diferenciales. Entrada a la estabilidad del estado (ISS) se
aplica a las nociones de Lyapunov sistemas con entradas.
Contenido
[hide]
1 Historia
2 Definicin de sistemas de tiempo continuo
o Segundo mtodo de Lyapunov 2.1 para la estabilidad
3 Definicin de sistemas de tiempo discreto
4 de Estabilidad para los modelos lineales de espacio de estado
5 Estabilidad de sistemas con entradas
Ejemplo 6
Lema 7 Barbalat y la estabilidad de variables en el tiempo los sistemas de
8 Referencias
9 Enlaces externos
[ editar ] Historia
La estabilidad de Lyapunov es el nombre de Aleksandr Lyapunov , un matemtico ruso que
public su libro "El problema general de la estabilidad de movimiento" en 1892. Lyapunov
fue el primero en considerar las modificaciones necesarias en los sistemas no lineales de la
teora lineal de la estabilidad sobre la base de linealizar cerca de un punto de equilibrio. Su
trabajo, publicado inicialmente en Rusia y luego traducido al francs, recibido poca
atencin durante muchos aos. Inters en que empez de repente durante la Guerra Fra
(1953-1962) perodo en que el llamado "segundo mtodo de Lyapunov" se encontr que era
aplicable a la estabilidad de la industria aeroespacial los sistemas de orientacin que
normalmente contienen fuertes no linealidades no tratable por otros mtodos. Un gran
nmero de publicaciones aparecieron entonces y en el control de los sistemas y la literatura.
Ms recientemente el concepto de Lyapunov exponente (relacionado con el primer mtodo
de Lyapunov de discutir la estabilidad) ha recibido un gran inters en relacin con la teora
del caos . Mtodos de Lyapunov de estabilidad tambin se han aplicado a la bsqueda de
soluciones de equilibrio en los problemas de asignacin de trfico a partir del trabajo de MJ
Smith y Wisten MB.
[ editar ] Definicin de sistemas de tiempo continuo
Considere un sistema dinmico no lineal autnomos
,
donde denota el vector de estado del sistema, un conjunto abierto que
contiene el origen y continua en . Supongamos que f tiene un correo x
equilibrio.
1. El equilibrio del sistema por encima se dice que es Lyapunov estable, si, para cada
, Existe una de tal manera que, si , A
continuacin, , Por cada .
2. El equilibrio del sistema por encima se dice que es asintticamente estable si es
Lyapunov estable y si existe > 0 tal que si , A continuacin,
.
3. El equilibrio del sistema por encima se dice que es exponencialmente estable si es
asintticamente estable y si existen , , > 0 tal que si , A
continuacin, , Para .
Conceptualmente, los significados de los trminos anteriores son las siguientes:
1. La estabilidad de Lyapunov de un equilibrio significa que las soluciones de partida "suficientemente cerca" al equilibrio (dentro de una distancia de ella) siguen siendo "bastante cerca" para siempre (a una distancia de la misma). Tenga en
cuenta que esto debe ser cierto para cualquier que uno puede querer elegir.
2. Estabilidad asinttica significa que las soluciones que empiezan cerca no es suficiente slo permanecen lo suficientemente cerca, pero tambin eventualmente
converge al equilibrio.
3. Estabilidad exponencial significa que no slo las soluciones convergen, pero en realidad convergen ms rpido que el o por lo menos tan rpido como una tasa
especial conocido .
La trayectoria de x es (localmente) atractivo si
para para todas las trayectorias que se inician lo suficientemente cerca, y atractivo
a nivel mundial si esta propiedad es vlida para todas las trayectorias.
Es decir, si x pertenece al interior de su variedad estable . Es asintticamente estable si es a
la vez atractivo y estable. (Hay contraejemplos que muestran que sus atractivos no implica
la estabilidad asinttica. Tales ejemplos son fciles de crear utilizando conexiones
homoclnicas .)
[ editar segundo mtodo] de Lyapunov para la estabilidad
Lyapunov, en su original de 1892 de trabajo propuesto dos mtodos para demostrar la
estabilidad. El primer mtodo desarrollado la solucin de una serie que se comprob luego
convergentes dentro de los lmites. El segundo mtodo, que es casi todo el mundo utiliza
hoy en da, hace uso de una funcin de Lyapunov V (x), que tiene una analoga con la
funcin potencial de la dinmica clsica. Se introduce de la siguiente manera para un
sistema que tiene un punto de equilibrio en x = 0. Considere la posibilidad de una funcin
de tal manera que
con igualdad si y slo si x = 0 (definida positiva)
con igualdad si y slo si x = 0 (negativo definido).
Entonces V (x) se llama una funcin de Lyapunov candidato y el sistema es asintticamente
estable en el sentido de Lyapunov (ISL). (Tenga en cuenta que V (0) = 0 es necesario, de lo
contrario, por ejemplo, V (x) = 1 / (1 + | x |) sera "probar" que es localmente
estable. Una condicin adicional llamada "adecuacin" o "la no acotacin radial" es
necesario para concluir estabilidad asinttica global.)
Es ms fcil visualizar este mtodo de anlisis por el pensamiento de un sistema fsico (por
ejemplo, vibracin de primavera y de la masa) y teniendo en cuenta la energa de este
sistema. Si el sistema pierde energa a travs del tiempo y la energa nunca es restaurado
luego, eventualmente, el sistema debe moler a una parada y llegar a algn estado de reposo
final. Este estado final se denomina atractor . Sin embargo, encontrar una funcin que da la
energa precisa de un sistema fsico puede ser difcil, y para los sistemas matemticos
abstractos, los sistemas econmicos o de sistemas biolgicos, el concepto de energa no
pueden ser aplicables.
Realizacin de Lyapunov es que la estabilidad se puede probar sin necesidad de
conocimientos de la energa fsica real, siempre una funcin de Lyapunov se puede
encontrar para satisfacer las limitaciones antes mencionadas.
[ editar ] Definicin de sistemas de tiempo discreto
La definicin de sistemas de tiempo discreto es casi idntica a la de los sistemas de tiempo
continuo. La siguiente definicin se proporciona esto, utilizando un lenguaje alternativo de
uso comn en los textos matemticos ms.
Sea (X, d) un espacio mtrico y una funcin continua . Un punto de se
dice que es Lyapunov estable, si para cada > 0, existe un > 0 tal que para todo , Si
d (x, y) <
entonces
para todos los .
Decimos que x es asintticamente estable si pertenece al interior de su conjunto estable ,
es decir, si existe un > 0 tal que
siempre que d (x, y)
tiene una solucin en la que N = N T>
0 y M = M T>
0 ( definida positiva matrices). (La
correspondiente funcin de Lyapunov es V (x) = x T x M).
En consecuencia, un tiempo discreto lineales de espacio de estado modelo
es asintticamente estable (de hecho, exponencialmente estable ) si todos los valores
propios de A tienen un mdulo menor que uno.
Esta ltima condicin se ha generalizado a los sistemas de conmutacin: conmutacin de
un sistema lineal de tiempo discreto (gobernado por un conjunto de matrices
)
es asintticamente estable (de hecho, exponencialmente estable ) si el radio espectral de
conjunto de la serie es menor que uno.
[ editar ] Estabilidad de sistemas con entradas
Un sistema con los insumos (o controles) tiene la forma
donde la entrada (por lo general en funcin del tiempo) u (t) puede ser visto como un
control de entrada externa, el estmulo, la perturbacin o funcin forzada. El estudio de
estos sistemas es el tema de la teora de control y se aplica en la ingeniera de control . Para
los sistemas con los insumos, se debe cuantificar el efecto de los insumos en la estabilidad
del sistema. Los dos principales enfoques de este anlisis son la estabilidad BIBO (para
sistemas lineales ) y la entrada a estado (ISS) estabilidad (para sistemas no lineales )
[ editar ] Ejemplo
Considere la posibilidad de una ecuacin, en comparacin con el oscilador de Van der Pol
ecuacin se cambia el trmino de friccin:
El equilibrio se encuentra en:
Aqu est un buen ejemplo de un intento fallido de encontrar una funcin de Lyapunov que
demuestra la estabilidad:
Dejar
para que el sistema correspondiente
Elijamos como una funcin de Lyapunov
que es claramente definida positiva . Su derivada es
Parece que si el parmetro es positivo, la estabilidad es asinttica para Pero esto
es errneo, ya que no depende de x 1, y ser del 0 por todas partes en el eje x 1.
[ editar lema] Barbalat y la estabilidad de variables en el
tiempo los sistemas de
Supongamos que f es funcin del tiempo solamente.
Despus de haber no implica que f (t) tiene un lmite en . Por
ejemplo, .
Tener f (t) acercarse a un lmite no implica que . Por ejemplo,
.
Tener f (t) ms bajos limitada y decreciente ( ) Implica que converge a un
lmite. Pero no dice si o no como .
Barbalat es el lema dice:
Si f (t) tiene un lmite finito cuando y si es uniformemente continua (o
est limitado), entonces como .
Por lo general, es difcil analizar la estabilidad asinttica de variables en el tiempo los
sistemas, ya que es muy difcil de encontrar funciones de Lyapunov con un derivado
definida negativa.
Sabemos que en el caso de los autnomos (invariante en el tiempo) los sistemas, si es
negativo semi-definida (NSD), entonces tambin es posible conocer el comportamiento
asinttico invocando invariante conjunto de teoremas. Sin embargo, esta flexibilidad no
est disponible para los sistemas variables en el tiempo. Aqu es donde "lema Barbalat de"
entra en el cuadro. Dice as:
Si V (x, t) satisface las siguientes condiciones:
1. V (x, t) es menor limitada
2. es negativo semi-definida (NSD)
3. es uniformemente continua en el tiempo (satisfecho si es finito)
entonces como .
El siguiente ejemplo es tomado de la pgina 125 del libro de Li Slotine y Aplicadas de
control no lineal.
Considere un sistema que no es autnoma
Esto no es autnoma porque la w de entrada es una funcin del tiempo. Supongamos que la
entrada de w (t) es acotado.
Tomando V = e 2 + g
2 da
Esto nos dice que V (t)
Usando el lema de Barbalat:
.
Esto es limitada porque e, g y w estn limitadas. Esto implica como y por
lo tanto . Esto demuestra que el error converge.
[ editar ] Referencias
Lyapunov AM El problema general de la estabilidad del movimiento (en ruso),
Tesis doctoral, Universidad. Jarkov 1892 traducciones Ingls: (1) estabilidad del
movimiento, Academic Press, Nueva York y Londres, 1966 (2) El problema general
de la estabilidad del movimiento, (AT Fuller trans.) Taylor & Francis, Londres
1992. Se incluye una biografa de Smirnov y una extensa bibliografa de los trabajos
de Lyapunov.
Letov AM Estabilidad de los sistemas de control no lineal (en ruso) Mosc 1955
(Gostekhizdat); Ingls tr. Princeton 1961
RE Kalman y JF Bertram: Anlisis y Diseo de Sistema de Control a travs del
segundo mtodo de Lyapunov, J. bsica Engrg vol.88 1960 pp.371, 394
JP LaSalle y Lefschetz S: Estabilidad por el mtodo de Lyapunov En segundo
lugar, con aplicaciones, Nueva York 1961 (Acadmico)
Parques PC: mtodo de Liapunov en la teora de control automtico, control de E
11 1962 12 1962 II
RE Kalman funciones de Lyapunov para el problema de Lurie en control
automtico, Proc Nat. Acad.Sci EE.UU., febrero 1963, 49, no.2, 201 -.