ESTABILIDAD FINANCIERA EN REDES BANCARIAS: … · D. Estabilidad en distinto tipo de redes ... Los ejercicios de simulación exhibidos en este trabajo ... se determina por completo

ESTABILIDAD FINANCIERA EN REDES BANCARIAS: CONECTIVIDAD DISTRIBUIDA SEGÚN LEYES DE POTENCIAS

Graziano, Alejandro G.

Mosquera, Manuel M.

Pérez Vincent, Santiago

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1. Introducción 2

2. Modelo original y réplica de resultados 3 A. Construcción de la red bancaria 3 B. Shock exógenos y su transmisión 8 C. Réplica de resultados 9

3. Modelo con bancos heterogéneos 14

A. Extensión a la red original 14 B. Red bancaria y ley de potencias 15 C. Equivalencia entre redes 19 D. Estabilidad en distinto tipo de redes 22

4. Extensiones a la red LP 27 A. Evidencia argentina 27 B. Activos externos en relación al grado de los bancos 28 C. Peso de los links en relación al grado de los bancos 33

5. Conclusiones 38

Referencias 40

Anexo A 41

Anexo B 48

2

1. Introducción

La reciente crisis económica global y la actual preocupación de las autoridades monetarias alrededor del mundo por generar un nuevo marco de regulaciones financieras exhiben la necesidad de profundizar el análisis sobre el funcionamiento de los sistemas bancarios.

El presente trabajo se basa en los estudios de Eboli (2004) y Nier, Yang, Yorulmazer y Alentorn (2008), que presentan al sistema financiero como una red de nodos interconectados por pasivos y activos interbancarios y que estudian cómo la estructura de la red bancaria afecta la estabilidad del sistema (entendida como la susceptibilidad a episodios de quiebre sistémico).

El análisis se focaliza únicamente en el riesgo a un quiebre sistémico generado por el incumplimiento de los compromisos entre bancos a partir de la insolvencia de alguna entidad financiera particular. Los problemas de pánico y corrida bancaria, crisis de liquidez o venta forzosa de activos no son analizados.

El modelo desarrollado en este trabajo sigue al presentado por Nier et al (2008). En su trabajo analizan la incidencia de ciertas características (parámetros) de los sistemas financieros sobre su estabilidad, principalmente, en redes que son homogéneas. La homogeneidad de la red viene dada por una distribución uniforme en las conexiones entre nodos, donde la probabilidad esta predefinida y es idéntica para todos los bancos. La configuración de la red propuesta, junto a los demás supuestos utilizados para el armado del sistema, da lugar a una estructura financiera con entidades muy similares entre sí, tanto en la cantidad de conexiones como en el tamaño de sus balances. Una vez obtenidos los principales resultados extienden el análisis a una red heterogénea construida con dos tipos de bancos que difieren en su probabilidad de conexión. Aunque no presentan formalmente los resultados, comentan que no difieren a grandes rasgos de los obtenidos para redes homogéneas

Nuestro trabajo intenta profundizar el análisis de redes heterogéneas, estudiando el comportamiento de redes donde el tamaño de las entidades financieras (entendido como su cantidad de conexiones o links) se distribuye siguiendo una ley de potencias. El interés por este tipo de redes responde a la evidencia presentada en los estudios de Boss, Elsinger, Summer y Thurner (2003), y Axtell (2001), que, continuando el aporte de Albert y Barabási (1999), sugieren la existencia de distribuciones de leyes de potencias en la conectividad de los bancos austríacos y en el tamaño de las empresas norteamericanas respectivamente. La información estadística disponible para la Argentina también parece indicar que el tamaño de las entidades del sistema financiero local (en términos de total de activos, total de pasivos y capital) se distribuye según una ley de potencias.

Los ejercicios de simulación exhibidos en este trabajo permiten concluir que la estabilidad relativa entre las redes con links distribuidos según una ley de potencias y aquellas donde las conexiones entre nodos están determinadas por una probabilidad idéntica varía según el valor de los demás parámetros estructurales de la red, existiendo conjuntos de valores donde cada una resulta más resistente.

El trabajo se organiza de la siguiente manera: la segunda sección explica el armado del sistema financiero y el mecanismo de propagación del shock tal como son presentados en Nier et al

3

(2008), y se replican los resultados obtenidos en ese trabajo; la tercera sección incorpora el concepto de ley de potencias previo repaso de la propuesta original de Nier et al (2008) para redes heterogéneas, describe el armado de la red a partir de esa nueva distribución, analiza la equivalencia teórico-práctica entre redes para su comparación y estudia la estabilidad sistémica de esta nueva estructura comparándola con los resultados de la sección anterior; la cuarta sección introduce dos extensiones al modelo a fin de agudizar el grado de heterogeneidad entre las entidades financieras y alterar la susceptibilidad del sistema a episodios de quiebre sistémico; por último, la quinta sección, repasa brevemente las principales conclusiones del trabajo.

2. Modelo original y réplica de resultados

2.A. Construcción de la red bancaria

Un sistema bancario puede ser definido como un conjunto de agentes económicos que mantienen determinados vínculos entre sí y con el exterior. De este modo, la asociación con una red puede hacerse de forma directa: los bancos representan los nodos y las relaciones entre sí definen sus vecindades. Estos vínculos que mantienen se pueden identificar a través de los préstamos interbancarios, que surgen por las necesidades de liquidez que impone el mercado. Es por esto que la existencia de los mercados de activos interbancarios nos permite estudiar si la topología de las redes de la que son parte involucra un riesgo sistémico o no. Así como facilitan la provisión de liquidez también son potenciales canales de contagio ante shocks idiosincrásicos originados fuera del sistema.

Este trabajo se basa en el paper de Nier et al (2008). Estos autores presentan un algoritmo que simula una red bancaria y las variables principales que la determinan, tanto a nivel de los balances como en el agregado. En la presente sección repasaremos la forma en que estos autores construyen los balances de los bancos individuales y las conexiones entre sí. Asimismo, comentaremos las implicancias de armar la red con este método.

El sistema bancario se compone de 푁 bancos (nodos). Cada uno de ellos posee un balance definido por cinco elementos. Por el lado del activo se encuentran los activos interbancarios (푖) y los activos externos (푒), en el pasivo se encuentran los pasivos interbancarios (푏) y los depósitos de sus clientes (푑) y, por último, el capital (푐).

푖 + 푒 = 푐 + 푏 + 푑 ∀푖 ∈ (1,푁)

Esta relación debe cumplirse para todos los bancos, por lo que en el agregado esta igualdad también se satisface. Las variables en mayúsculas corresponden a agregados.

퐼 + 퐸 = 퐶 + 퐵 + 퐷

En esta ecuación se puede señalar qué variables se determinan en el propio sistema y qué variables son externas. La variable 퐸 (activos externos) y la 퐷 (depósitos de clientes) corresponden a posiciones externas, mientras que 퐼 y 퐵 a internas. Dado que estas variables son agregadas, debe cumplirse por definición 퐼 = 퐵.

4

Los activos y pasivos interbancarios se definen al obtener la red de forma probabilística. Como fue dicho, cada link va a ser un préstamo interbancario que por definición tiene un sentido determinado. Por lo tanto, los links van a estar direccionados del banco i al banco j, existiendo la posibilidad que el banco j a su vez le preste al i. Se denomina a este tipo de redes como dirigidas. A la hora de armar la red, existen distintas posibilidades para definir las conexiones existentes. La utilizada en el trabajo de Nier et al se basa en recorrer cada par de vínculos (i j) y asignarles un link con una probabilidad homogénea 푃 . En la literatura, esta probabilidad se denomina de Erdös-Renyi (ER) y genera una matriz de adyacencias que define una red aleatoria. Estas redes tienen la particularidad de poseer nodos cuyo tamaño (medido en cantidad de links) puede aproximarse bien mediante una distribución de Poisson (siempre que el 푁 sea grande y que la conectividad promedio sea constante). Llamaremos al grafo generado mediante este procedimiento como red de Erdös-Renyi (ER) o red aleatoria. Cabe destacar que en dicho trabajo se identifica al link otorgado como un préstamo del banco i al j. Nosotros le asignamos la dirección contraria (i.e. el link direccionado de i a j significa un pasivo para el primero y un activo para el segundo) para facilitar la compatibilización con las extensiones que se presentarán en el trabajo. Igualmente, dada la simetría entre asignar activos o pasivos según este método la red esperada resultante no difiere con la del trabajo original.

Con la realización de una red se conocen los préstamos interbancarios existentes pero no su valor. Por lo tanto, asignándole un valor determinado a cada link se pueden obtener las variables 푏 e 푖1 de cada banco. Aquí también surgen distintas alternativas. Si se le asigna un valor homogéneo a todos los links, el monto de cada préstamo entre dos bancos será idéntico en todos los casos, mientras que si se le asigna un valor distinto a cada link, la red se transformará en una red pesada y las conexiones tendrán distinta importancia sistémica. El trabajo de Nier et al (2008) le asigna un peso homogéneo a todos los links.

Para obtener el peso de cada link y así poder definir las variables 푏 e 푖 de cada banco es necesario conocer el total de activos interbancarios existente en el sistema. Para ello, el trabajo citado escoge definir como inputs del sistema al total de activos externos (퐸) y a la relación agregada existente activos interbancarios y activos externos (휃) y de allí obtener el valor de activos interbancarios.

퐸휃

1 − 휃= 퐼

Con 휃 ∈ (0,1). La suma 퐸 + 퐼 da como resultado los activos totales del sistema (퐴). Con el 퐼 definido y la red realizada, se puede obtener el peso de cada link (푤).

푤 =퐼푍

Donde 푍 = ∑ 푘 , siendo k la cantidad de links obtenidos por cada banco i (donde 푘 es igual a 1 si existe un préstamo del banco i al j y es igual a 0 si no existe tal link). Con este resultado se puede obtener directamente los valores de 푖 y 푏 para cada banco.

1 Las variables en minúsculas corresponden a las variables a nivel de cada banco, es por esto que corresponde asignarles un subíndice i. Omitiremos este subíndice por cuestión de comodidad en la notación, a menos que sea necesario para la comprensión.

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La repartición del 퐸 entre los bancos se realiza a través de un algoritmo que prioriza asegurar la consistencia en la hoja de balance de cada banco. Una alternativa posible sería repartir el 퐸 según el tamaño o importancia de los bancos. El método es el siguiente. Dado que cada banco tiene su 푏 y su 푖, un 푏 más grande y un 푒 que no llegue a cubrir la diferencia entre 푏 e 푖 traería aparejado un pasivo más elevado que un activo, lo cual es inconsistente. Por lo tanto, en una primera etapa, se reparte una porción del 퐸 de modo que no quede ningún “hueco” que cubrir entre activos y pasivos interbancarios.

푒 = 푏 − 푖

Con este gap sellado, se reparte el 퐸 remanente (nótese la importancia de un 퐸 lo suficientemente grande).

푒 =퐸 −∑ 푒

푁

Quedando como monto de activos externos de cada banco la siguiente expresión.

푒 = 푒 + 푒

Cabe destacar que este método no garantiza que todos los e resultantes sean positivos2.

Con lo anterior, se determina por completo la columna de activos de todos los bancos. Veamos entonces como se determinan el capital y las variables del pasivo. En cuanto al capital del banco, Nier et al (2008) especifican otro parámetro sistémico que define el grado de capitalización de los bancos. Este parámetro es homogéneo para todos y por ende también define el grado de capitalización del sistema bancario.

푐 = 훾(푖 + 푒 )

Con 훾 ∈ (0,1). Este parámetro representa el requerimiento de capital.

El depósito de los clientes (푑) surge como diferencia de las variables ya determinadas a fin de garantizar la igualdad entre activos y pasivos.

푑 = 푖 + 푒 − 푐 − 푏

2 Puede demostrarse que esta forma de repartir el e trae como consecuencia que se determine a través de la siguiente ecuación:

푒 =퐸

(1− 휃)1푁 − 휃

푘∑ 푘 ± 푁.푉(푏 ) − (푁 − 1)푉(푏 )

En donde el radical es antecedido por un signo positivo si el desvío adicional respecto a la media en b que otorga al sistema es positivo (i.e. (푏 − 푏) > 0) y negativo si dicha adición es negativa. Por ende, existe una mayor probabilidad de obtener un 푒 negativo si el monto de activos externos es chico, si el tamaño del banco medido como la cantidad de links que posee es muy grande en relación a si todos los bancos fuesen iguales (el término entre paréntesis indica eso, aminorado el primer efecto por 휃) y si el 푏 que posee el banco en particular está muy por debajo de la media del sistema (esto aumentaría la varianza adicional otorgada por el banco, restando el radical en la ecuación). El efecto del 휃 es ambiguo.

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Nótese que a priori tampoco existen garantías de que 푑 sea positivo. Un 푒̂ lo suficientemente chico puede hacer que la adición del capital haga al pasivo más grande que al activo sin tener en cuenta al 푑. En este caso, el sistema define un 푑 negativo para consistir estos balances3.

Con las variables mencionadas, el sistema bancario está perfectamente determinado. Si se fijan los valores de los parámetros (훾, 휃, p, N, E) y se siguen los pasos precedentes, todos los balances quedan precisados consistentemente, la red ER armada y los agregados definidos.

Una forma de visualizar el modo en que se arman los balances y como afecta al sistema el valor de los parámetros es graficarlos luego de haber ordenado los bancos en forma descendiente según su cantidad de links activos (i.e. según su importancia sistémica). Para ello, si se realizan 1.000 sistemas con 100 bancos cada uno, se ordena según la variable i y se grafica el promedio para un set de valores de referencia de los parámetros, se puede tener una idea aproximada de cuál es el formato al que tiende el sistema. Utilizando los siguientes valores benchmark para los parámetros4 (훾, 휃, p, N, E) = (0.05, 0.2, 0.2, 100, E) se obtiene la siguiente figura.

Figura 2.A.1. Balance promedio de los bancos ordenados según su cantidad de activos interbancarios, repitiendo su elaboración 1.000 veces con los parámetros en los valores de referencia.

Lo que se observa es que las variables del pasivo son homogéneas en relación al grado de los bancos, expresado en los activos interbancarios. La proporción de activos externos, por su parte, es mayor para los bancos con menor cantidad de activos interbancarios.

3 En este caso, se demuestra que el 푑 se define de la siguiente forma:

푑 =(1− 훾)(1 −휃)

퐸푁− 푏 ± 훾 푁.푉(푏 ) − (푁 − 1)푉(푏 )

En este caso el radical tiene el signo contrario al caso del 푒. Es antecedido por un signo positivo si el desvío adicional respecto a la media en 푏 que otorga al sistema es negativo (i.e. 푏 − 푏 < 0) y negativo si dicha adición es positiva. Véase la importancia de que los activos externos promedio (퐸/푁) sean lo suficientemente mayores a los pasivos interbancarios promedio (푏). Un 훾 mayor implica una mayor probabilidad de que 푑 sea negativo pero es ambiguo al multiplicar al radical, mientras que un 휃 mayor implica lo contrario. 4 Nier et al (2008) estipulan estos mismos parámetros para hacer las simulaciones pero con un N=25. Utilizamos un 푁 = 100 para observar de forma más continua la distribución de los valores.

7

Figura 2.A.2. Balance promedio de los bancos, repitiendo su elaboración 1.000 veces. La figura superior izquierda corresponde a un 풑 alto, la superior derecha a la de un 풑 bajo, la inferior izquierda a un 휽 alto y la derecha a un 휸 alto.

En cada gráfico de la figura 2.A.2 se varió un parámetro para comparar la distribución de los balances en relación al caso benchmark. Como conclusión se obtiene que el parámetro 푝 incide sobre la pendiente de la curva de activos interbancarios y externos, cuyo signo es el opuesto. Para un 푝 alto, el sistema se acerca al caso en que todas las variables son homogéneas, mientras que para un 푝 bajo, los bancos se hacen más heterogéneos en su composición de activos. El parámetro 휃 produce una traslación de las curvas de activos externos e interbancarios. Cuanto más alto, más se eleva la curva de activos interbancarios y más disminuye la de externos. Nótese que para un 휃 lo suficientemente alto, existen bancos a los que se les asigna una cantidad negativa de activos externos. El parámetro 훾 mueve las curvas de capital y depósitos. Cuanto más alto 훾, más se eleva la curva de capital y más baja la de depósitos, existiendo la posibilidad de que sea negativa en todo su dominio. De este experimento puede deducirse que los activos externos tienen más probabilidad de ser negativos en los bancos más grandes, mientras que los depósitos pueden serlo de modo generalizado.

El código de programación del armado del sistema (red ER, balances individuales y variables agregadas) es sistema.m (presentado en el Anexo A.1).

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2.B. Shock exógenos y su transmisión

En nuestro trabajo, así como en Nier et al (2008), estudiamos las consecuencias de un shock exógeno idiosincrático sobre uno de los bancos y lo relacionamos con los parámetros estructurales del sistema. En especial, nuestro interés se centra en determinar el número de defaults que sufre el sistema, y por ende su resistencia, dependiendo del banco afectado en cuestión y de los parámetros particularmente establecidos del sistema.

El shock se produce sobre los activos externos del banco, es decir, sobre los capitales que el banco presta a los inversionistas o consumidores5. El tamaño del shock puede tomar algún valor entre 0 por ciento y 100 por ciento del 푑. Denominamos a la proporción o tamaño del shock como 휑. Para cada realización del sistema shockeamos un banco particular de la distribución y evaluamos los efectos que tiene en la red para diferentes valores de los parámetros. Siguiendo los pasos de Nier et al (2008) repetimos el mismo experimento para todos los bancos del sistema realizado y luego repetimos este procedimiento en reiteradas oportunidades para obtener resultados confiables.

La transmisión del shock comienza por la pulverización de los activos externos del banco afectado. La pérdida es absorbida en primera instancia por el capital que tiene el banco, luego por los pasivos interbancarios (prestamos que otras entidades le hicieron al banco shockeado) y finalmente por los depósitos. Si el shock inicial sobre los activos externos 푒 no es lo suficientemente grande y puede ser absorbido por el capital 푐, entonces el banco no entra en default y no hay propagación del efecto al resto de la red. Si por el contrario el shock inicial es mayor que el capital el banco entra en default y el residuo de la pérdida es absorbido por todos los bancos acreedores en igual proporción. El efecto del shock inicial se transmite a los otros bancos de la red que tengan conexión con el primer banco afectado. Si aún así, el shock no es absorbido en su totalidad el banco pasa sus pérdidas a los depositantes.

Formalmente, si 휑푒 > 푐 el banco i entra en default. La transmisión del shock al resto de los bancos j es del mínimo entre b y (휑푒 − 푐). Si (휑푒 − 푐) < 푏, cada banco acreedor recibe un shock en su activo externo e de (휑푒 − 푐)/푘, siendo k el número de bancos que son acreedores del banco i. En el caso de que el shock residual sea mayor a los pasivos interbancarios cada

acreedor recibe un shock de y los depósitos privados cubren el resto, es decir, 휑푒 − 푐 − 푏 = 훻푑 .

Para cada uno de los bancos secundarios que reciben residuos del shock original se repite el mismo análisis. Cuando el shock inicial es relativamente grande al capital de los bancos afectados de manera directa e indirecta, la transmisión es más duradera y persistente, y se van acumulando defaults a lo largo de la red. La cadena de contagios termina cuando el shock inicial es plenamente absorbido en alguna de las rondas por la red. Nótese que como los bancos pueden estar todos interconectados por construcción de la red, un banco trasmisor del shock puede ser luego receptor del residuo del mismo. A los efectos de analizar el número total de defaults del sistema, sólo tenemos en cuenta, para la suma, la primera vez que el banco entra en cesación de pagos. 5 Como señalan Neir et al (2008) las causas pueden estar originadas en el riesgo propio del crédito o en fraudes financieros.

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El código de la programación del shock se encuentra en el archivo shock.m (incluido en el Anexo A.2).

2.C. Réplica de resultados

Esta sección muestra la comparación de los resultados de las simulaciones presentadas en Nier et al (2008) con los que se obtienen al aplicar el algoritmo rutina.m (presentado en el Anexo A.3). El objetivo principal es mostrar que los algoritmos propuestos logran replicar correctamente los sistemas estudiados por el trabajo de Nier et al (2008), y profundizar el análisis del comportamiento de estos sistemas frente a shocks.

Los ejercicios de simulación buscan mostrar el efecto de cambios en los parámetros estructurales del sistema sobre su estabilidad (entendida como la susceptibilidad a episodios de quiebre sistémico).

Tal como se indica en las secciones anteriores, los sistemas pueden caracterizarse por 5 parámetros: la cantidad de bancos (푁), la probabilidad de interconexión entre bancos (푝), la cantidad de activos externos totales (퐸), el porcentaje de activos interbancarios sobre el total de activos (휃), y el porcentaje de capitalización de los bancos (훾). Es preciso aclarar, sin embargo, que estos parámetros definen un grafo aleatorio y no una realización específica del grafo.

Nier et al (2008) se focaliza en los resultados de los ejercicios de estática comparativa, es decir, donde se varía de a un parámetro por vez, manteniendo los demás valores fijos. Estos ejercicios toman una serie de valores base para los parámetros, reportados a continuación:

Tabla 2.C.1. Valores utilizados en los ejercicios de simulación para los parámetros del sistema

Parámetro Descripción Valor Base Rango de Variación 퐸 Activos externos totales 100.000 Fijo 푁 Cantidad de Bancos 25 10 a 25 푝 Probabilidad Erdös-Rényi de conexión entre

bancos 0,2 0 a 1

휃 % de activos interbancarios sobre total de activos

20% 0% a 50%

훾 % de patrimonio neto sobre total de activos 5% 0% a 10%

Las simulaciones en Nier et al (2008) siguen este procedimiento: en primer lugar, se genera una realización de la red; en segundo lugar, para cada realización de la red, se shockea un banco por vez, repitiendo el ejercicio para todos los bancos del sistema. Por cada banco que se shockea, se registra la cantidad de entidades que caen en la quiebra. Luego, se calcula el promedio de defaults para cada realización de la red. Este procedimiento se repite con 100 realizaciones de la red para cada conjunto de valores de parámetros (훾, 휃, 푝, 푁, 퐸).

A continuación se exhiben los gráficos de Nier et al (2008) y la réplica obtenida a partir de los algoritmos que se presentan en el Anexo A. Los gráficos reportan los resultados promedio

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sobre las 100 realizaciones y el rango de valores donde caen el 95 por ciento de estas realizaciones. Además, se repasan brevemente los principales resultados de los ejercicios de simulación.

En los cuatro ejercicios de simulación, los gráficos obtenidos al aplicar nuestros algoritmos resultan prácticamente idénticos a los presentados en Nier et al (2008), lo que permite confirmar las conclusiones de ese trabajo y, principalmente, corroborar la validez de nuestros algoritmos.

2. C. 1. Impacto de la capitalización bancaria (훾)

Este ejercicio intenta observar el efecto de cambios en el nivel de capitalización de los bancos (훾) sobre la estabilidad del sistema financiero.

Figura 2.C.1 Comparación de los resultados de la simulación sobre el parámetro 휸

Los gráficos permiten ver la relación negativa entre 훾 y la fragilidad del sistema financiero. A medida que el capital aumenta, la cantidad de defaults disminuye, hasta que, pasado un determinado nivel, el único banco que quiebra es aquel afectado por el shock inicial.

La relación entre la capitalización bancaria y la estabilidad del sistema no es lineal. En el primer tramo, la cantidad de defaults decrece rápidamente a medida que se incrementa γ, y los bancos son capaces de absorber una porción creciente del impacto inicial. Sin embargo, en el rango entre 1,5 por ciento y 4 por ciento, aproximadamente, la cantidad de quiebras se mantiene prácticamente constante. Según se explica en Nier et al (2008), esto sucede debido a que el nivel de capitalización es demasiado bajo para proteger a los acreedores del banco shockeado inicialmente, pero lo suficientemente elevado para absorber una tercera ronda de defaults. Dado que el parámetro 푝 está fijado en 20 por ciento y la cantidad de entidades es 25, los bancos poseen, en promedio, depósitos en 5 entidades financieras. La cantidad de quiebras se estabiliza en torno a 6 bancos (el shockeado inicialmente y sus acreedores), ya que el impacto no logra esparcirse más allá de este nivel. Esta estabilización y la posterior rápida

Gráfico Replicado

0 0.02 0.04 0.06 0.080

5

10

15

20

25

Porcentaje de capitalización

Can

tidad

de

defa

ults

Gráfico en Nier et al (2008)

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caída del nivel de defaults se debe a la elevada homogeneidad de las entidades en este tipo de sistemas (tanto en cantidad de links como en el tamaño y composición de sus balances).6

2. C. 2. Impacto de la exposición bancaria (휃)

Este ejercicio intenta observar el efecto de cambios en el nivel de exposición interbancaria (휃) sobre la estabilidad del sistema financiero.

Figura 2.C.2 Comparación de los resultados de la simulación sobre el parámetro 휽

Los gráficos exhiben una relación positiva entre el nivel de exposición interbancaria (θ) y la fragilidad del sistema financiero. En el primer tramo, el tamaño de los activos y pasivos interbancarios es muy pequeño, por lo que el shock inicial es absorbido principalmente por los depósitos privados del banco afectado. A medida que se incrementan los pasivos interbancarios, los acreedores de la entidad shockeada comienzan a sufrir la transmisión del impacto inicial. Dados los valores de los parámetros utilizados en el ejercicio, el shock no logra nunca derribar más allá del segundo nivel, por lo que la cantidad de defaults se estabiliza alrededor de 6.

La rápida transición entre el segmento en el que el shock no logra propagarse hasta el tramo en el que caen en default todos los acreedores de la entidad shockeada se debe a la relativa homogeneidad de los bancos de la red7.

6 Con el objetivo de comprender la dinámica de los shocks se construyó analíticamente un sistema con 푁 bancos homogéneos. En este sistema, se supuso que los 푁 bancos depositan y reciben crédito de otras 푁푝 entidades. Los balances fueron armados de la siguiente manera:

푒 = ; 푖 = 푒 ; 푏 = 푖; 푐 = 훾(푒 + 푖); 푑 = 푒 + 푖 − 푏 − 푐

Esta formulación permite encontrar el rango del parámetro 훾 para el que la cantidad de defaults se mantendrá estable en (푁푝 + 1). Este rango está dado por: [( ) ] < 훾 < . Dados los valores base de los parámetros, este rango va desde 0.67% a 4%, en línea con lo que se observa en la figura 2.C.1.

7 En el caso de perfecta homogeneidad, el valor crítico de la transición es 휃 = 훾푁푝. Para los valores de los parámetros utilizados en las simulaciones, 휃 = 0,25, en línea con lo que se observa en la figura 2.C.2.

Gráfico Replicado

0% 10% 20% 30% 40% 50%

5

10

15

20

25

Porcentaje de activos interbancarios

Cant

idad

de

defa

ults


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2. C. 3. Impacto del grado de conectividad de la red (푝)

El siguiente ejercicio estudia el impacto de la conectividad de la red bancaria (푝) sobre su resistencia a shocks en alguna de las entidades financieras. El ejercicio se repite con tres niveles distintos de capitalización bancaria (훾): 1 por ciento (línea celeste), 3 por ciento (línea roja) y 7 por ciento (línea amarilla).

Figura 2.C.3 Comparación de los resultados de la simulación sobre el parámetro 풑

Los gráficos permiten observar que existe una relación no monótona entre el grado de conectividad (풑) y la estabilidad de la red financiera. Según se explica en Nier et al (2008), esto se debe a que las conexiones interbancarias producen dos efectos opuestos: por un lado, propagan el shock a las demás entidades del sistema; pero, por otro lado, ayudan a que el impacto sea absorbido por un mayor número de bancos, disipando las pérdidas. El gráfico muestra que cada uno de estos mecanismos domina en rangos distintos, dando lugar a gráficos con forma de “M”.

Los gráficos exhiben también una importante interdependencia entre la conectividad y la capitalización del sistema financiero. En redes con baja capitalización (1 por ciento, línea celeste), el primer efecto domina en un rango mayor, por lo que el aumento de las conexiones genera un importante incremento en la cantidad de defaults. Este resultado permite concluir que los sistemas mal capitalizados son más frágiles si su grado de conectividad es mayor. En sistemas bien capitalizados (7 por ciento, línea amarillo), en cambio, el aumento en la conectividad genera una rápida reducción de la cantidad de quiebras. Esto indica que las redes con niveles altos de capitalización son más sólidas cuanto mayor es su conectividad.

2. C. 4. Impacto de la concentración del sistema (푁)

El siguiente ejercicio analiza la relación entre la concentración y la estabilidad del sistema financiero. La simulación exhibe la fragilidad de las redes a medida que aumenta el tamaño inicial del shock (en porcentaje de los activos externos del banco). El gráfico muestra los resultados en sistemas con diferente cantidad de bancos (푁): 25 (línea celeste), 20 (línea roja), 15 (línea amarilla) y 10 (línea verde). El tamaño total de los activos externos se mantiene constante en todos los ejercicios, de manera que los sistemas con mayor cantidad de entidades implican un menor grado de concentración (퐸/푁).

Gráfico Replicado

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0

5

10

15

20

25

Probabilidad de Erdös RenyiC

antid

ad d

e de

faul

ts


13

Figura 2.C.4 Comparación de los resultados de la simulación sobre el tamaño del shock inicial, en sistemas con diferente cantidad de bancos (푵), manteniendo fijo el total de activos agregados (푬).

Los gráficos permiten ver la relación negativa entre la concentración y la robustez del sistema financiero. Sin embargo, esta conclusión, obtenida en Nier et al (2008), no es completamente precisa. El aumento en la estabilidad del sistema no se debe a una menor concentración -entendida como la relación entre el total de activos y la cantidad de bancos (퐸/푁)- sino únicamente a la mayor cantidad de entidades financieras (푁). Las cualidades del sistema no están afectadas por la nominalidad, por lo que el total de activos en el sistema financiero (퐸) no incide sobre la fragilidad de la red.

En la figura 2.C.5. se exhiben los resultados de la simulación anterior para sistemas financieros con diferente cantidad de bancos pero igual concentración (퐸/푁). El resultado es exactamente el mismo al de ejercicio anterior, donde se modificaba la cantidad de bancos, variando la concentración del sistema.

Al aumentar la cantidad de bancos, la importancia relativa de cada entidad disminuye. Por un lado, el shock inicial, generado por el default de una sola entidad, es menos importante. En sistemas con 10 entidades financieras, un shock que elimina el 100 por ciento de los activos externos de un banco, reduce aproximadamente el 10 por ciento de los activos externos totales del sistema. En sistemas con 25 entidades, un shock del 100 por ciento, reduce sólo el 4 por ciento. Por otro lado, si se mantiene constante la probabilidad de Erdös-Renyi, la mayor cantidad de bancos genera más número de interconexiones, lo que diluye el shock inicial entre más acreedores.

Gráfico Replicado

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tamaño del shock, porcentaje de activos externos

Por

cent

aje

de d

efau

lts


14

Figura 2.C.5 Comparación de los resultados de la simulación sobre el tamaño del shock inicial, en sistemas con diferente cantidad de bancos (푵), manteniendo fijo el total de activos externos promedio por banco (푬/푵).

El siguiente gráfico muestra la relación positiva entre la cantidad de bancos y la estabilidad del sistema, para diferentes valores de capitalización bancaria.

Figura 2.C.6 Resultados de la simulación sobre el parámetro 푵, en sistemas con diferente grado de capitalización (휸)

3. Modelo con bancos heterogéneos

3.A. Extensión a la red original

Nier et al (2008) centran su atención en el análisis de redes que son homogéneas, es decir, donde cada banco tiene igual probabilidad de estar conectado con otro cualquiera. Sin embargo, como mencionan Albert y Barabasi (1999) y Boss et al (2003) la distribución que se observa en el mundo real es claramente asimétrica. De hecho, Boss et al (2003) muestran evidencia de que la estructura de la red del mercado interbancario austriaco es libre de escala,

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tamaño del shock, % de activos externos

Por

cent

aje

de d

efau

lts

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

Cantidad de bancos (N)

Por

cent

aje

de d

efau

lts

2% 3% 5%

15

donde existen algunos pocos bancos con muchas conexiones y muchos otros con pocas o nulas conexiones. Se dice que la red es escalonada porque presenta un primer grupo de bancos que se conectan entre sí y con el resto y un segundo grupo que en la mayoría de los casos sólo se conecta con alguno de los primeros.

Nier et al (2008) modelan la red escalonada a partir de una modificación sencilla a la distribución ER original. En primera instancia agrupan los 푁 bancos en dos categorías diferentes: 푛 bancos chicos y 푚 bancos grandes. Permiten a los bancos grandes tener una probabilidad de conexión mayor que la de los bancos chicos. 푃 representa la probabilidad de conexión de los bancos grandes y 푃 la de los chicos. Cuando 푃 = 푃 la red es homogénea y funciona de la misma manera que la ER. En aquellos casos donde 푚 = 1 y 푃 = 1 la red tiene un banco como nodo central que tiene conexión con todos los otros bancos de la red.

Nier et al (2008) investigan el efecto de escalonar la red con 25 bancos, incluyendo un sólo banco grande y la probabilidad de que el banco grande se conecte entre el 20 por ciento y el 100 por ciento de los casos. Luego de analizar una serie de experimentos concluyen en que los resultados obtenidos para la red homogénea son lo suficientemente robustos para extenderlos a una red heterogénea. Los archivos sistema.m y rutina.m contienen los posibles experimentos bajo la extensión ER2. A los efectos de reducir la arbitrariedad en la elección de los parámetros, en nuestro código, agregamos una variable adicional 휌 que permite elegir la proporción de bancos chicos de la red ER2.

No obstante, la confección de la red heterogénea planteada por Nier et al (2008) no deja de ser arbitraria y carecer de una justificación empírica más o menos confiable. A la luz de Boss et al (2003) y la propuesta final de Nier et al (2008), es que decidimos confeccionar una red heterogénea cuya distribución de links siga una ley de potencias para así dar cuenta de los tópicos planteados. A continuación, estudiamos el sistema en su conjunto y como se desempeña ante shocks idiosincráticos, y comparamos los resultados con el paper original de distribución ER.

3.B. Red bancaria y ley de potencias

Como fue mencionado, existe evidencia de que la distribución de la importancia relativa de los bancos, medido a través de la cantidad de links que poseen, se puede caracterizar mediante una ley de potencias. Intuitivamente, esto se traduce en un sistema bancario con muchos bancos pequeños y pocos grandes. Dicha distribución sigue la siguiente forma.

푝(푘) = 퐴푘

En donde la probabilidad de obtener una cantidad de links igual a 푘 se determina por la constante 퐴, necesaria para que cumpla la ley de cierre de la distribución y el parámetro 훼, que regula la pendiente de la distribución.

Esta distribución tiene algunas características peculiares. El parámetro 훼 no puede tomar valores menores o iguales a 1 para que la ley de cierre se cumpla. Por otro lado, si toma valores en el intervalo (1,2], la esperanza de 푘 no es finita (diverge) y si lo hace en el intervalo

16

(1,3], la varianza no lo es. En términos generales, el momento 푚 no es finito si 훼 toma un valor menor a 푚 + 1.

¿Cómo introducir una ley de potencias en la red bancaria armada bajo el procedimiento de Nier et al (2008)? El criterio que adoptamos fue que el grado de los nodos siga una ley de potencias. Es decir, que la cantidad de links de cada banco sea extraída como realización de una ley de potencias. En el caso de la red ER se recorría cada par de vínculos (i j) y se realizaba con una probabilidad definida si el banco i poseía una deuda con el banco j. En este caso la ley de potencias define un vector con la cantidad de links deudores de cada banco. Definimos la ley de potencias sobre los pasivos interbancarios por el hecho de ser el transmisor directo del shock inicial. El armado de la red sigue el siguiente procedimiento. Primero se obtienen 푁 realizaciones de una ley de potencias8 y se ordenan los bancos de modo que el banco con más links posea el índice 1 y el banco con menor cantidad de links el índice 푁. En esta instancia, cada banco va a poseer 푘 pasivos sin contrapartida acreedora. En el segundo paso, cada banco reparte sus pasivos interbancarios recorriendo cada banco en orden creciente (de 1 a 푁, excepto i) y otorgándole un link con probabilidad (1 − 푟)9. Esto se va a repetir hasta que la cantidad de links pasivos del banco se agoten10. Nótese que esto puede suceder antes que recorra todos los bancos, por ende una probabilidad alta de otorgar el link va a tener como consecuencia que los bancos grandes en pasivos, definidos según sus pasivos interbancarios por medio de la realización de la ley de potencias, sean también grandes en activos. Por el contrario, cuanto más alto el valor de 푟, más homogéneos van a ser los bancos en sus activos y más se va a trasladar la ley de potencias a los activos externos.

A continuación se presentan tres figuras que resumen que conexiones se van a dar con mayor frecuencia. La primera corresponde a un 푟 alto (0,9), lo que significa que los activos (leídos en sentido horizontal) van a ser más homogéneos; la segunda a un 푟 intermedio (0,5), que muestra activos más heterogéneos; y la tercera a un 푟 chico (0,1), en donde los bancos van a reflejar más en los activos la distribución de pasivos de los bancos, creada mediante una ley de potencias. Los gráficos corresponden a un sistema con 100 bancos y un 훼 = 1,05511. Se obtuvieron 1.000 realizaciones de cada red y se calcularon las frecuencias relativas de cada conexión (i,j).

8 Se utilizó el programa randht.m provisto por el Instituto Santa Fe en su sitio web. http://www.santafe.edu/~aaronc/powerlaws/ 9 Definimos al parámetro 푟 como la probabilidad de que el banco i no le otorgue un link al banco j. 10 Si al recorrer todos los bancos existen links sin repartir, el procedimiento vuelve a comenzar por el banco con menor índice sin link otorgado y a continuar en orden creciente por los que no recibieron links en la primera vuelta. Esto se repite hasta que todos los links se hayan repartido y es lo que fundamentalmente define la homogeneidad en activos cuando el 푝 es alto. 11 La elección de este valor se explica en la siguiente sección.

17

Figura 3.B.1. Frecuencias relativas en 1.000 repeticiones de la existencia de links (i,j) para una red LP, con 푵 = ퟏퟎퟎ, 휶 = ퟏ,ퟎퟓퟓ y 풓 = ퟎ,ퟗ,ퟎ,ퟓ 풚 ퟎ,ퟏ respectivamente.

Dado que la imagen de la distribución es el intervalo (1, +∞) existe la posibilidad que la realización de la ley de potencias sea mayor a 푁 − 1 (el máximo total de links que puede tener

18

un banco). Si esto sucede, se vuelve a extraer realizaciones de esta distribución para los bancos que hayan obtenido este grado. De este modo, la distribución se ve truncada y la imagen se acota a (1,푁 − 1].

El procedimiento anterior cambia estructuralmente la forma en que la red es construida, por lo que no nos referiremos a ella con el mismo nombre. La llamaremos red generada mediante una ley de potencias o, de forma más reducida, red LP.

El cambio introducido solo modifica el armado de la red, dejando intacto el modo en que se construyen los balances y las variables agregadas. Los pesos de los links ahora van a estar directamente especificados por la suma de los componentes del vector de dimensión 푁 proveniente de la ley de potencias. Este va a ser el 푍 resultante, que por ser una suma de variables aleatorias continuas que siguen la misma distribución, también va a seguir una ley de potencias.

¿Cuál es el efecto en las otras variables del balance de que el 푏 y siga una ley de potencias? El efecto solo va a ser importante en los bancos más grandes, que por definición son la menor proporción del sistema. Siguiendo el modo de graficar los balances presentado al explicar el armado de la red ER, se presentan las figuras siguientes.

Figura 3.B.2. Balance promedio de los bancos, repitiendo su elaboración 1.000 veces con los parámetros en los valores de referencia. El primero corresponde a un 휶 = ퟏ,ퟎퟓퟓ y el segundo a un 휶 = ퟐ.

Se observa que la ley de potencias introducida por medio de los pasivos interbancarios tiene su correlato en los activos interbancarios a través de un parámetro 푟 relativamente bajo (0,2). El resto de las variables son homogéneas en la mayor parte del soporte, mostrando los mayores cambios en los bancos más grandes. Los activos externos son los que mayores cambios observan dado que la mayor varianza en las diferencia entre activos y pasivos interbancarios se presentan en los bancos de mayor grado. Puede observarse como un 훼 más elevado trae aparejado activos externos negativos en dichos bancos. Esto es porque a medida que el 훼 se incrementa, la distribución va perdiendo la fuerza de generar valores muy elevados12. Esto por

12 Otra característica práctica de la distribución es que a medida que el 훼 se eleva, la probabilidad de obtener valores cercanos al mínimo permitido en la distribución se incrementa sustancialmente (en este caso al 1).

19

el lado del 푏, pero por el lado del 푖, los bancos más grandes van a seguir teniendo la probabilidad mayor de recibir un link, por lo que llega un punto en el que es más probable tener un 푖 mayor al 푏. Se observa que esto sucede con un 훼 = 2.

El código de programación del armado de este sistema (red LP, balances individuales y variables agregadas) también se encuentra como una de las opciones en sistema.m.

3.C. Equivalencia entre redes

En la sección anterior se explicó el armado de redes bancarias en las cuales la cantidad de conexiones de cada banco sigue una ley de potencias. Estas redes poseen características específicas que se diferencian de redes cuyas conexiones se pueden aproximar mediante una distribución de Poisson (es decir, cuya probabilidad de conexión entre dos nodos se determina mediante la probabilidad de Erdös-Renyi).

El objetivo de esta sección es encontrar un método que nos permita comparar ambos tipos de grafos. Vamos a definir a dos redes como equivalentes si sus proporciones de links conectados esperados son iguales para un N dado.

퐸(푝 (푍,푁)) = 퐸(푝 (푍,푁))

con 푝(푍,푁) =( )

, siendo 푍 la cantidad total de conexiones y 푁(푁 − 1) la combinatoria

entre nodos. Dado que estas redes son dirigidas, el denominador no se divide por 2.

En el caso de la red ER, este valor esperado coincide con la probabilidad de Erdös-Renyi, que es un parámetro que se determina explícitamente en el armado de la red. En cambio, en la red LP este valor no se explicita de entrada. Al armar la red, el único parámetro que se define es el exponente de la ley de potencias. Por lo tanto, para encontrar una forma de asemejar ambos tipos de redes debemos encontrar una forma de asociar valores de este parámetro con valores específicos de probabilidades de Erdös-Renyi.

Sin embargo, ambos parámetros interceden de forma distinta en el armado de la red. Mientras que el parámetro 푝 de la red aleatoria define completamente la realización de la red, el parámetro 훼 de la ley de potencia sólo define la cantidad de links que va a poseer cada banco, haciendo necesaria una segunda etapa en donde estos se distribuyan. De esto se deduce que en la red LP la variable aleatoria 푍 es la sumatoria de 푁 variables aleatorias 푘 , que representa cada una de ellas la cantidad de links de cada banco. Igualmente, dado que por construcción el exponente de la ley de potencias es igual para todos los bancos, se puede asociar una red completa a un exponente específico.

Un método posible para encontrar la equivalencia es utilizar la Ley de los Grandes Números (LGN) y construir 푀 redes LP indizadas. Con las redes ordenadas de 1 a 푀 se computa la proporción de nodos conectados de cada red y se construye una sucesión en la cual el elemento 푝 , con 1 ≤ 푗 ≤ 푀, representa el promedio de la proporción de nodos conectados para las redes con índice menor o igual a j. La LGN fuerte de Kolgomorov estipula que si 푀 tiende a infinito y la esperanza de 푝 existe y es finita, la sucesión converge en probabilidad al

20

parámetro buscado que es, en definitiva, la probabilidad de Erdös-Renyi asociada a una red aleatoria.

No obstante, el exponente de la ley de potencias no es un parámetro que tenga consecuencias inocuas en el valor esperado de la proporción de nodos conectados. Una variable aleatoria que sigue una distribución de leyes de potencia con 훼 menor o igual a 2 no posee media finita, por lo que para estos valores la equivalencia no podría ser encontrada mediante la mencionada LGN.

Figura 3.C.1. Sucesiones de medias de proporción de nodos conectados para redes que siguen distribuciones de leyes de potencias con 푵 = ퟏퟎퟎ.

La figura 3.C.1. muestra que el promedio de nodos conectados de una red de tamaño 100 que sigue una ley de potencias con parámetro 1,8 tiende en forma “escalonada” al infinito a medida que aumenta la cantidad de redes evaluadas (es decir, a medida que aumenta la muestra de redes). Lo mismo parece suceder con un valor del parámetro igual 2, aunque a una velocidad menor. Para un valor del parámetro igual a 2,2, la sucesión de medias converge (se observa en la curva más próxima al eje de abscisas).

A pesar de esto, gracias al modo de construcción que sigue la red, la variable aleatoria 푍 sigue una ley de potencias truncada. Por lo tanto, la esperanza de esta ley de potencias está acotada en el conjunto [1 푁− 1], evitando la posibilidad de que diverja al infinito. No podemos asegurar su existencia pero sí construir una sucesión de medias como la explicada y observar su comportamiento.

21

Figura 3.C.2. Sucesiones de medias de proporción de nodos conectados para redes que siguen distribuciones de leyes de potencias truncadas con 푵 = ퟏퟎퟎ.

La figura 3.C.2 muestra que al truncar la ley de potencias, las sucesiones de medias generadas por medio de una ley de potencias con exponente menor o igual a 2 no divergen ni oscilan, por lo contrario, parecieran converger a un valor específico13. Por otro lado, se observa que un exponente mayor se traduce en una menor cantidad de nodos conectados y por ende en términos equivalentes, en una probabilidad de Erdös-Renyi menor.

Tabla 3.C.1. Parámetros que generan redes equivalentes en proporción de nodos conectados para 푵 = ퟏퟎퟎ y 푴 = ퟏퟎퟎ.ퟎퟎퟎ.

Exponente de la ley de potencias

(훼)

Probabilidad de Erdös-Renyi (푝)


(훼)



(훼)



(훼)


1,1 0,18731 2,1 0,04083 3,1 0,01848 4,1 0,01403 1,2 0,16163 2,2 0,03613 3,2 0,01774 4,2 0,01379 1,3 0,13833 2,3 0,03235 3,3 0,01709 4,3 0,01358 1,4 0,11794 2,4 0,02928 3,4 0,01654 4,4 0,01338 1,5 0,10022 2,5 0,02675 3,5 0,01604 4,5 0,01320 1,6 0,08518 2,6 0,02469 3,6 0,01561 4,6 0,01303 1,7 0,07269 2,7 0,02297 3,7 0,01523 4,7 0,01288 1,8 0,06216 2,8 0,02157 3,8 0,01488 4,8 0,01273 1,9 0,05354 2,9 0,02035 3,9 0,01457 4,9 0,01260 2, 0,04647 3 0,01935 4 0,01429 5 0,01247

Luego de concluir que al truncar la ley de potencias subyacente a una red, la misma posee un valor esperado de proporción de nodos conectados que existe y es finito para cualquier valor 13 Este experimento fue iterado varias veces y se observó que, para todos los 훼 evaluados, 푝(푍,푁) convergió hacia a aproximadamente los mismos valores.

22

del exponente mayor a 1, podemos construir una tabla que asocie los valores de estos parámetros con probabilidades de Erdös-Renyi de redes aleatorias. Estas equivalencias nos asegurarán que la esperanza de la proporción de nodos conectados sea aproximadamente igual.

Dado que Nier et al (2008) utilizan el valor 0,2 como referencia del parámetro 푝, es relevante obtener un valor de 훼 que cree una red LP equivalente para un tamaño de la red bancaria dada. Cómo se explicará posteriormente se utilizará un 푁 = 100 para la comparación. Entonces, para dicho 푁, el valor de 훼 es aproximadamente 1,055.

La relación existente para un rango más amplio de 훼 se observa gráficamente en la siguiente figura.

Figura 3.C.3. Equivalencia entre el 휶 de una red con una distribución de ley de potencias y la probabilidad de Erdös-Renyi de una red aleatoria para 푵 = ퟏퟎퟎ.

3.D. Estabilidad en distinto tipo de redes

La siguiente sección analiza la estabilidad de las redes con links distribuidos según una ley de potencias (LP) y compara los resultados con los obtenidos en redes donde las conexiones entre nodos están determinadas por una probabilidad predefinida e idéntica para todos los bancos (ER).

En los ejercicios de simulación, el parámetro 휶 de la ley de potencias y la probabilidad de Erdös-Renyi fueron seleccionados según las equivalencias exhibidas en la sección anterior -lo que asegura que la cantidad total de links sea similar-, permitiendo observar si la estructura de la red tiene alguna incidencia sobre su fragilidad.

23

La comparación se realizó con redes de 100 bancos, de manera que la ley de potencias en la distribución de los links interbancarios pueda observarse mejor. Tal como se discutió en la sección 2.C, la mayor cantidad de entidades le da más estabilidad al sistema financiero. Por esta razón, se debió reducir el valor base del ratio de capitalización de 5 por ciento a 1 por ciento, ya que el utilizado anteriormente aseguraba la plena estabilidad del sistema.

Tabla 3.D.1. Valores de los parámetros del sistema utilizados en los ejercicios de simulación

Parámetro Descripción Valor Base Rango de Variación 퐸 Activos externos totales 100.000 Fijo 푁 Cantidad de Bancos 100 Fijo 휶 Exponente de la ley de potencia 1.055 1,001 a 5 푝 Probabilidad Erdös-Rényi de conexión entre

bancos 0,2 0,01 a 0,22

휃 % de activos interbancarios sobre total de activos 20% 0% a 50% 훾 % de patrimonio neto sobre total de activos 1% 0% a 3% 휑 % de shock sobre activos externos 100% 0% a 100% 푟 Probabilidad de recibir un link activo en el reparto

de links pasivos en la red LP (reciprocidad) 0,2 0 a 1

3. D. 1. Impacto de la capitalización bancaria (훾)

El siguiente ejercicio intenta observar el efecto de cambios en el nivel de capitalización de los bancos (훾) sobre la estabilidad de los distintos tipos de redes.

Figura 3.D.1 Comparación de los resultados de la simulación sobre el parámetro 휸

Los gráficos permiten observar que, como era de esperarse, en ambos tipos de redes existe una relación negativa entre el ratio de capitalización bancaria y su fragilidad. Igualmente, los resultados exhiben algunas marcadas diferencias entre los dos tipos de redes.

En el caso de la red ER se percibe un tramo donde el porcentaje de defaults se mantiene prácticamente estable, a medida que aumenta el grado de capitalización bancaria. En este rango, el capital es demasiado bajo para proteger a los acreedores del banco shockeado inicialmente, pero lo suficientemente elevado para absorber una tercera ronda de defaults.

Distribución según Ley de Potencias (LP)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Por

cent

aje

de d

efau

lts

Distribución según Erdös-Renyi (ER)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Por

cent

aje

de d

efau

lts

24

Esto no sucede en las redes LP, donde, como consecuencia de la mayor heterogeneidad entre los bancos, el porcentaje de defaults decrece en forma monótona a medida que aumenta la capitalización14.

El gráfico permite obtener ciertas conclusiones respecto de la estabilidad relativa entre estos dos tipos de redes. En niveles muy bajos de capitalización, la red LP se muestra más estable que la red ER. Esto se debe a que, aún en estos niveles de capitalización, el default de los bancos más pequeños –que, por la configuración de la red y el valor utilizado para el parámetro 푟, suelen estar endeudados con los bancos de mayor tamaño- logra ser absorbido por sus acreedores y no se esparce hacia otras entidades.

En niveles más altos de capitalización, sin embargo, la red LP resulta más frágil que la red ER. El nivel de capitalización suficiente para asegurar la perfecta estabilidad del sistema (dados los valores base para los demás parámetros) es cercano a 1 por ciento en la red ER, mientras que en la red LP se eleva a 1,5 por ciento. Los shocks a los bancos de mayor tamaño son los que continúan esparciéndose a medida que aumenta la capitalización.

3. D. 2. Impacto de la exposición bancaria (휃)

Este ejercicio intenta observar el efecto de cambios en el nivel de exposición interbancaria (휃) sobre la estabilidad de las redes financieras.

Figura 3.D.1 Comparación de los resultados de la simulación sobre el parámetro 휸

La mayor exposición interbancaria incide negativamente sobre la robustez del sistema financiero en ambos tipos de redes. Al igual que en el ejercicio de simulación anterior, los resultados de la red ER exhiben tramos claramente diferenciados. La rápida transición está explicada por la elevada homogeneidad de los bancos en el sistema. En la red LP, la mayor heterogeneidad entre los bancos lleva a que el aumento en el porcentaje de defaults sea gradual. 14 Los resultados de los ejercicios de simulación en redes ER se ajustan relativamente bien a los del sistema con entidades perfectamente homogéneas, presentado en la nota al pie de página número 6. En

este caso, el valor que asegura la perfecta estabilidad del sistema, 훾 = es 1%.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


Por

cent

aje

de d

efau

lts

Distribución según Erdös Renyi (ER)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


Por

cent

aje

de d

efau

lts

25

El gráfico exhibe también mayor dispersión en las simulaciones en las redes LP. Este resultado, que se mantiene en el resto de los ejercicios de simulación, se debe a la mayor heterogeneidad que muestran las distintas realizaciones de las redes LP generadas a partir del mismo conjunto de valores de parámetros.

3. D. 3. Impacto de la concentración del sistema (푁)

El siguiente ejercicio analiza la relación entre la cantidad de bancos y la estabilidad del sistema financiero. La simulación exhibe la fragilidad de los sistemas a medida que aumenta el tamaño inicial del shock (en porcentaje de los activos externos del banco). El gráfico muestra los resultados en sistemas con diferente cantidad de bancos (푁): 100 (línea celeste) y 75 (línea roja).

Figura 3.D.3 Comparación de los resultados de la simulación sobre el tamaño del shock inicial, en sistemas con diferente cantidad de bancos (푵)

El gráfico muestra que ambos tipos de redes exhiben una relación positiva entre la cantidad de entidades y su estabilidad. El porcentaje de defaults alcanzado en las redes ER es superior al que se observa en las redes LP, confirmando que, al valor base de capitalización (1 por ciento), las redes ER se muestran, en promedio, menos estables que las redes LP.

3. D. 4. Impacto del grado de conectividad de la red (푝)

El siguiente ejercicio analiza el impacto de cambios en la conectividad de la red sobre la estabilidad del sistema financiero. Tal como se comentó en las secciones 3.B y 3.C, en las redes LP, el parámetro 훼 de la distribución de ley de potencias incide sobre la conectividad de la red. El aumento del parámetro 훼 reduce la probabilidad de ocurrencia de bancos grandes y medianos, y aumenta la cantidad bancos pequeños, disminuyendo el grado promedio de los nodos de la red.

En el siguiente gráfico, se exhiben conjuntamente el porcentaje de defaults en redes ER y redes LP a diferentes niveles de conectividad (entendida como el ratio entre la cantidad de links promedio por banco y el total de entidades). La comparación se realizó modificando el parámetro 푝 en las redes ER y el parámetro 훼 en las redes LP, siguiendo la tabla de equivalencias exhibida en la tabla 3.C.1.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


Por

cent

aje

de d

efau

lts

Distribución según Erdös Renyi (ER)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


Porc

enta

je d

e de

faul

ts

26

Figura 3.D.4 Comparación de los resultados de la simulación sobre el grado de conectividad de la red, con un ratio de capitalización (휸) de 1 por ciento.

El gráfico exhibe que ambos tipos de redes muestran una relación no monótona entre la conectividad y su estabilidad. Los resultados muestran que la estructura de la red incide sobre su estabilidad de manera diferente a medida que varía el grado de conectividad. En redes muy poco conectadas (con conectividad por debajo de 1 por ciento), ambas estructuras muestran un comportamiento similar y elevada resistencia a los shocks. Sin embargo, el desempeño se muestra muy diferente en otros segmentos. Dados los valores base de los demás parámetros, las redes LP se muestran en promedio más estables, acentuándose la diferencia en niveles de conectividad en torno al 3 por ciento y entre 10 y 20 por ciento.

Figura 3.D.5 Comparación de los resultados de la simulación sobre el grado de conectividad de la red, con un ratio de capitalización (휸) de 1,5 por ciento.

La mayor estabilidad de las redes LP no se puede tomar como regla general. Tal como se indicó en la sección 3.D.1 (al analizar la fragilidad de ambos tipos de redes a diferentes niveles de capitalización), existen combinaciones de los valores de los parámetros para los que las redes ER resultan más resistentes. La figura 3.D.5 muestra los resultados de la simulación respecto del grado de conectividad, utilizando un ratio de capitalización (훾) del 1,5 por ciento. El gráfico exhibe claramente que la estabilidad relativa de ambos tipos de redes se va modificando a medida que varía la conectividad del sistema financiero.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.05

0.1

0.15

0.2

Grado de conectividad de la red

Por

cent

aje

de d

efau

ltsER LP

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Grado de conectividad de la red

Por

cent

aje

de d

efau

lts

LPER

27

3. D. 5. Impacto del parámetro de reciprocidad en la exposición interbancaria (푟)

El siguiente ejercicio intenta analizar la estabilidad de la red LP a medida que se modifica el parámetro 푟. Tal como se comentó en la sección 3.B, este parámetro incide en la distribución de los activos interbancarios entre los distintos bancos de la red. Un valor bajo de 푟 lleva a que las entidades más grandes en términos de depósitos interbancarios, sean también los que le otorgan la mayor cantidad de crédito a las demás entidades. En este caso, el total de pasivos y activos interbancarios en cada banco es similar. A medida que se aumenta el valor de este parámetro, los activos interbancarios se distribuyen de manera más homogénea entre las entidades. De esta manera, los bancos grandes son en mayor medida deudores netos del resto del sistema financiero, y los pequeños, acreedores netos.

Figura 3.D.6 Comparación de los resultados de la simulación sobre el parámetro 풓

El gráfico muestra una fuerte relación positiva entre el valor del parámetro 푟 y el porcentaje de defaults. Esta relación se debe a que, a medida que se incrementa el valor de 푟, aumenta la exposición al riesgo interbancario de las entidades pequeñas y medianas -que poseen un capital menor en términos absolutos-. En valores altos de 푟, aumenta la probabilidad de préstamos entre entidades pequeñas y medianas, incrementando la fragilidad de la red. En valores bajos de 푟, en cambio, las entidades pequeñas y medianas suelen estar endeudadas con bancos de mayor tamaño. En estos casos, el default de las entidades de menor tamaño es amortiguado por los bancos grandes, logrando que el shock no se esparza a través de la red.

4. Extensiones a la red LP

4.A. Evidencia argentina

La característica particular de la red LP fue cambiar estructuralmente la distribución de la cantidad de links de los bancos. Este método de construcción de una red bancaria encuentra su evidencia empírica en el trabajo de Boss et. al. En dicha red, la distribución LP de los links del propio grafo se trasladó parcialmente a los pasivos interbancarios y a los activos

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Valor de parámetro r

Por

cent

aje

de d

efau

lts

28

interbancarios o externos, dependiendo del valor adoptado por el parámetro de reciprocidad entre activos y pasivos (푟). El hecho de que valor monetario de los activos y pasivos bancarios posean una distribución LP no es lo anteriormente documentado, pero una exploración superficial del sistema bancario argentino devela patrones similares.

Utilizando dos aplicaciones provistas por el Instituto Santa Fe en su sitio web15 pudimos calcular el 훼 que realiza el fit más exacto a los datos empíricos de activos, pasivos y capital del sistema bancario argentino16. Con este 훼 graficamos la distribución empírica para observar su cercanía a la distribución teórica.

Figura 4.A.1 Respectivas distribuciones empíricas y teóricas de activos, pasivos y capital del sistema bancario argentino.

Lo que encontramos es que los activos bancarios pueden aproximarse relativamente bien mediante un 훼 = 1,5594 estipulando un valor mínimo para la distribución de 530. Por otro lado, los pasivos bancarios se aproximan con un 훼 = 1,55 y un valor mínimo de 209, mientras que el capital de los bancos con 훼 = 1,6286 y un mínimo de 86.

Este fenómeno empírico nos incentiva a buscar variantes en la construcción del sistema bancario presentado en la sección 3.D. que modifiquen otros aspectos estructurales del sistema, con la intención de explorar como se modifica la absorción de un shock idiosincrático. Para tal fin proponemos dos extensiones: A) Distribuir los activos externos según la LP realizada en el armado de la red, B) Variar el tamaño de los links siguiendo también la distribución LP realizada en la red. Este último caso convierte a la red en un grafo pesado.

4.B. Activos externos en relación al grado de los bancos

Introducir una ley de potencias para la distribución de los bancos puede ser útil para captar algo de la heterogeneidad de tamaños y conexiones que observamos en el mercado financiero real. Hasta aquí, el cambio en la distribución fue complementado con la misma construcción de balances bancarios que presentan Nier et al (2008). No obstante, es posible que tal

15Los programas utilizados son: plfit.m (indica el valor de 훼 y la mínima imagen de la distribución que mejor ajustan a los datos) y plplot.m (grafica la distribución teórica y empírica). www.santafe.edu/~aaronc/powerlaws/ 16 Datos obtenidos del Ranking de Entidades Financieros presentado en el sitio web del Banco Central de la República Argentina (www.bcra.gov.ar).

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framework no capte totalmente la esencia de una ley de potencias para la distribución de bancos, esto es, algunos bancos grandes y una gran mayoría de bancos chicos. La distribución equitativa (obviando la cantidad de conexiones) de los residuos del 퐸 agregado y la homogeneidad en el peso de los links 푤 para el total de la distribución, podría sesgar los resultados de nuestro modelo suavizando los efectos resultantes de la distribución asimétrica.

Como se explicó anteriormente, Nier et al (2008) utilizan un algoritmo de dos etapas para cumplimentar la restricción operativa del banco 푒 ≥ 푏 − 푖 , esto es, que los activos externos sean iguales o superiores a los préstamos interbancarios netos que pide el banco. En la primera etapa construyen el 푒 = 푏 − 푖 , utilizando los valores de 푏 e 푖 que se obtienen de multiplicar la exposición interbancaria de cada banco por el peso de cada uno de los links 푤. En la segunda etapa se distribuye el 퐸 residual de manera equitativa entre todos los bancos, esto es, (퐸 − ∑ 푒 )/푁 = 푒 , de donde se obtiene 푒 = 푒 + 푒 . Dada la naturaleza simétrica de la distribución elegida por Nier et al (2008) el algoritmo en dos etapas parece una forma razonable de distribuir el 퐸 agregado entre los bancos. Sin embargo, cuando los bancos se distribuyen bajo una ley de potencias, podría pensarse que tal distribución ecuánime no es del todo compatible con la distribución y que sesga en algún sentido los resultados obtenidos. Para lidiar con este problema proponemos una distribución del 퐸 agregado diferente, otorgándole más cantidad de activos externos a los bancos con mayor cantidad de links, es decir, a los bancos más grandes. Formalmente

푒 = 푒 +푘

∑ 푘 (퐸 − 푒 )

donde

푒 = 푘

∑ 푘 (퐸 − 푒 )

Construimos el 푒 de la misma manera que en Nier et al (2008), pero formamos el e de cada banco con el residuo del 퐸 agregado ponderado por la cantidad de relativa de conexiones de cada uno de ellos. De esta manera los bancos con más conexiones en los pasivos interbancarios (푘 más alto ó mayor cantidad de pasivos interbancarios) del total de conexiones (∑ 푘 ) tienen un 푒 mayor y, por ende, un 푒 mayor. Los bancos con mayor cantidad de conexiones son los bancos grandes de la distribución de la ley de potencias y son los que bajo esta extensión recibirán mayor cantidad de activos externos. Suponer que los bancos más grandes prestan más capital a los inversores, que los bancos chicos, parece un supuesto razonable para nuestro modelo a la luz de la evidencia previamente mencionada.

Es interesante observar qué sucede con los balances una vez introducida la extensión propuesta. Para ello reemplazamos el código incluido en el Anexo B.1 en la programación original (Anexo A).

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Figura 4.B.1. Balance promedio de los bancos, repitiendo su elaboración 1.000 veces con los parámetros en los valores de referencia.

La figura 4.B.1 ilustra cómo bajo la nueva distribución de los residuos del 퐸 agregado se obtiene una ley de potencias en los activos externos e y en los depósitos 푑. Como podemos observar de la construcción en dos etapas de los 푒 se produce ahora un efecto doblemente positivo e unidireccional que otorga más activos externos a los bancos más grandes (aquellos que obtienen mayor cantidad de links de la distribución en sus pasivos interbancarios 푏) acentuando la heterogeneidad de la red17. Nótese que el peso de los links permanece constante para todos los bancos, por lo que aquellos que obtengan mayor cantidad de conexiones de la distribución tendrán un 푏 más alto. El resultado de la primera etapa del algoritmo arrojara más 푒 a medida que los 푏 aumenten. En el mismo sentido, la segunda etapa repartirá el residuo del 퐸 agregado ponderando con mayor importancia a aquellos bancos con 푏 , aumentando sus 푒 en mayor cuantía y ampliando la diferencia, en términos de capital prestado, entre los bancos chicos y los bancos grandes.

Curiosamente los depósitos no sólo siguen una ley de potencias, sino que además se asemejan notoriamente a los activos externos. Tal resultado no es otra cosa que la consecuencia lógica de la construcción de los depósitos en el framework planteado. La variación positiva de los activos externos ( ∆푒) aumenta el activo bancario de los bancos que se iguala a los pasivos respectivos a través de una compensación creciente de los depósitos a medida que los bancos son más grandes. Todo a fin de cumplimentar la última ecuación que cierra el sistema 푑 = 푎 − 푐 − 푏 . Los balances generados a partir de este procedimiento, en donde todas las variables se acercan a una distribución de ley de potencias, se ajustan de mejor manera a lo que se observa en la evidencia empírica de la Argentina.

A continuación corremos nuevamente las rutinas de la sección 3.D para la extensión propuesta y observamos si efectivamente se produce una modificación significativa en los resultados.

17 La fuerza del efecto de la primera etapa depende del parámetro 푟

31

4. B.1. Impacto de la Capitalización Bancaria (훾)

En la primera rutina analizamos el efecto de la capitalización bancaria (훾) en la resistencia del sistema ante el shock idiosincrático.

Figura 4.B.2. Proporción de defaults como función del porcentaje de capitalización 휸

Luego de los 100 experimentos se obtiene la misma relación positiva que con el modelo original de LP, a mayor porcentaje de capitalización sobre el nivel de activos mayor resistencia del sistema a shocks idiosincráticos. Sin embargo, es posible notar una diferencia a priori interesante. La necesidad de imponer un mayor porcentaje de capitalización 훾, que en la LP original, para que la proporción de defaults se aproxime a cero. Mientras que la proporción de defaults en promedio es prácticamente nula a partir de niveles de capitalización del 1,5 por ciento en el framework de la LP original, en esta extensión recién se empieza a estabilizar entorno a números bajos a partir del 6 por ciento de capitalización. Bajo la nueva distribución de los residuos del 퐸 agregado acentuamos levemente la diferencia entre los bancos chicos y los grandes, lo que es compatible con la necesidad de tener un nivel de capitalización levemente mayor a fin de evitar el efecto de los bancos grandes. No obstante, mencionado efecto no deja de ser marginal ya que el peso de los links, que no es otra cosa que el canal de transmisión, permanece constante.

4.B.2. Impacto de la exposición interbancaria (휃)

En la figura 4.B.3 se observa que la proporción de defaults originada en la variabilidad del porcentaje de activos interbancarios es similar a la encontrada en el estudio del modelo LP original. Como diferencia, se puede destacar que a medida que se incrementa 휃, el crecimiento de los defaults es constante y no sufre un aumento tan abrupto en torno al 20 por ciento como en la red LP original.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Pro

porc

ión

de d

efau

lts

32

Figura 4.B.3. Proporción de defaults como función del porcentaje de activos interbancarios 휽

4. B.3. Impacto del tamaño del shock (휑)

Figura 4.B.4. Proporción de defaults como función del tamaño del shock 흋

A medida que el shock representa una caída mayor del total de activos externos del banco la proporción de defaults aumenta así como en el modelo original de LP. No obstante, mientras en la extensión la proporción de defaults se estabiliza en torno al 10 por ciento cuando el tamaño del shock supera el 30 por ciento de los activos externos, en el modelo original la estabilización se da a partir del 70 por ciento con un nivel de defaults promedio levemente superior al 15 por ciento. El sistema presenta una pequeña resistencia superior para tamaños altos del shock y menos resistente, en promedio, para niveles bajos. Los bancos chicos reciben una proporción menor de los residuos del 퐸 agregado, lo que achica el promedio de su 푒 y, por ende, su capacidad para caer y “tirar” otros bancos.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Tamaño del shock

Pro

porc

ión

de d

efau

lts

33

4.C. Peso de los links en relación al grado de los bancos

Esta extensión se propone modificar el hecho de que todos los links tengan el mismo peso. Esto significa transformar a la red en grafo pesado. El criterio seguido es darle a los bancos grandes préstamos interbancarios de mayor valor unitario según la distribución empírica de links.

En la extensión anterior se observó que al distribuir los activos externos según la LP realizada en la distribución de links, los depósitos bancarios tuvieron que acomodarse para cerrar el balance. Esto significa que un banco con un 푒 grande también posee un 푑 grande. Cuando un shock externo afecta un banco que posee un balance con esas características, gran parte del shock inicial termina impactando en d, que es la porción del shock que se fuga del sistema. Por lo tanto, repartir los activos externos siguiendo el procedimiento explicado en la sección anterior no hace más peligrosos que en la red LP a los bancos grandes, ya que lo que aumenta no es el canal de contagio sino la fuga del shock inicial.

En esta sección el armado del sistema debe seguir otro procedimiento. Lo primero es armar la red siguiendo los pasos explicados en la red LP. Con la red realizada, se determina un monto agregado de activos interbancarios suponiendo préstamos de valor unitario e introduciendo una potencia a la cantidad de links pasivos de cada banco:

퐼 = 푘

Pero el monto agregado de activos se determina a través del 퐸 y el 휃. Por lo que los pasivos interbancarios de cada banco se van a determinar de la siguiente forma:

푏 = 푘퐼퐼

Dando como resultado un peso de los links determinado para cada banco:

푤 = 푘퐼퐼

En definitiva, a través de esta forma de armar el sistema el peso de los links pasivos va a ser homogéneo para el banco i y va a ser heterogéneo entre bancos. El procedimiento para otorgar los links pasivos del banco i se mantiene: reparte sus pasivos interbancarios recorriendo cada banco en orden creciente (de 1 a N, excepto i) otorgándole un link con probabilidad (1-r). De esto se deduce que para un banco j, todos sus links activos van a diferir por provenir de distintos bancos. En el Anexo B.2 se muestra que líneas de programación se deben incorporar al programa sistema.m para generar esta red.

Cabe destacar que este procedimiento incorpora un parámetro al sistema, el grado de los pasivos interbancarios (훽). En el siguiente gráfico vemos el efecto que tiene estipularlo en 2 en el armado de las redes.

34

Figura 4.C.1. Promedio del peso de las conexiones en 1.000 repeticiones para una red pesada LP, con los parámetros en los valores de referencia, 휷 = ퟐ y 풓 = ퟎ,ퟗ 풚 ퟎ,ퟏ respectivamente.

Como se puede observar, a diferencia del caso original de LP, variar al 푟 de 0,9 a 0,1 trae como consecuencia una matriz de adyacencia similar, disminuyendo el impacto de este parámetro. Recordemos que en la red LP al valuar al ren 0,1 se obtenía una red que replicaba la LP de los pasivos en los activos interbancarios. En este caso dicho fenómeno prácticamente no sucede. Esto es lógico dado que los bancos grandes poseen links pasivos de mayor magnitud y los reparten en la mayor parte del sistema. Los bancos chicos reparten sus links pasivos mayormente a los bancos más grandes en pasivos, pero el peso de estos links es marginal respecto de los primeros. Es por eso que la mayor proporción de activos de todos los bancos va a ser explicada por el gran peso de los links pasivos de los bancos grandes. En este escenario, variar el 푟 tiene un efecto mucho menor porque su función ahora la desempeña en parte 훽.

A continuación observamos el gráfico de balances para observar que sucede con el sistema en dos valores diferentes de 훽.

Figura 4.C.2. Balance promedio de los bancos, repitiendo su elaboración 1.000 veces con los parámetros en los valores de referencia. El primero corresponde a un 휷 = ퟐ y el segundo a un 휷 = ퟒ.

Como puede observarse en ambos casos, ahora lo que imita la forma de la 푏 (definida mediante la LP de la red y el grado de los pasivos) es sólo la 푒. La curva de la 푖 es prácticamente

35

recta, evidenciado que no puede también inclinarse por una LP dado que sólo recibe adicionalmente links marginales de los bancos más chicos. Respecto a los diferentes valores de 훽 no se observan cambios significativos más que el mayor empinamiento de las dos curvas afectadas. Cabe mencionar que para valores de 훽 menores a 1 el 푒 tiende a hacerse negativo en los bancos más grandes porque el 푖 de estos bancos es el que comienza a adoptar la forma de la LP.

4.C.1. Impacto del grado de los pasivos interbancarios (훽)

Para realizar los experimentos y ver si este sistema soporta a los shocks idiosincráticos de forma diferente debemos estipular los valores de referencia de los parámetros. Estos van a ser los utilizados en el caso de la red LP (que se diferenciaban de la red ER en que el valor de 훾 es 0,01 y el de 푁 es 100). Sin embargo, hace falta definir un valor para 훽. Una primera aproximación es observar lo que sucede luego de shockear al sistema con el procedimiento habitual variando el 훽.

Figura 4.C.3. Proporción de defaults en el sistema según diferentes valores de 휷.

En el gráfico se observa como en el valor de 훽 = 1, que era el utilizado implícitamente en los casos anteriores, el sistema está cerca de soportar de la mejor forma un shock idiosincrático (está cerca del mínimo local en donde sólo cae aproximadamente y en promedio un 5 por ciento del sistema). Por lo contrario, el sistema se hace más vulnerable aproximadamente en el intervalo [1,5 2], cuando cae en promedio el 12 por ciento del sistema. Este tramo entre el mínimo y el máximo muestra explícitamente como el sistema se hace rápidamente más proclive a sufrir defaults en cadena por el hecho de tener pasivos interbancarios capaces de propagar de forma más ajustada al tamaño del shock. En este tramo creciente el shock inicial parece fugarse poco del sistema.

El tramo decreciente que se extiende desde aproximadamente 훽 = 2 también tiene explicación. A medida que este parámetro incrementa su valor, una mayor proporción de los

36

activos externos recaen en los bancos grandes (como se observa en la figura 4.C.2 con 훽 = 4). El resto del sistema se mantiene mucho más similar por lo que cuanto más crece el tamaño de los bancos grandes en relación al resto del sistema, una mayor proporción del shock se fuga (dada la capacidad limitada de trasmitir el shock de los bancos medianos y chicos), haciendo menor daño al sistema en su totalidad.

Por lo anterior, decidimos fijar en 훽 = 2 como valor de referencia para los siguientes experimentos dado que en este valor se observa una cercanía con la máxima vulnerabilidad del sistema. En este valor, la mayor diferencia posible en pesos de los links es 99 a 1 (en el caso que un banco obtenga 99 links y otro solo 1).

Los experimentos que llevamos a cabo con esta red nos otorgaron resultados similares a los expuestos en la red LP. Sin embargo se destacan a continuación algunas diferencias observadas en la resistencia del sistema al variar 훾 y 훼.

4.C.2. Impacto de la capitalización bancaria (훾).

Respecto del parámetro de capitalización bancaria, el mayor cambio observado se encuentra en que el sistema comienza a transmitir el shock a valores más altos de 훾.

Figura 4.C.4. Proporción de defaults en el sistema según diferentes valores de 휸.

Por un lado, las diferencias fundamentales con la red ER se mantienen: la segunda ronda de defaults no está marcada por ser los bancos muy heterogéneos. Por el otro, el mensaje es el mismo: en todo el soporte a mayor capitalización menor vulnerabilidad. El hecho de que se produzcan defaults para valores mayores de 훾 puede deberse al efecto de que los links de mayor magnitud pueden vulnerar de forma más rápida el capital de otra entidad bancaria. El sistema presenta links de peso muy por encima de la media como para que esto suceda ¿Por qué no crece el c promedio lo suficiente como para soportar este impacto? Puede explicarse porque solo un componente de los activos crece de forma exponencial en los bancos grandes:

37

los activos externos. Como vimos, los activos interbancarios son bastante homogéneos para todos los bancos.

4.C.3. Impacto del grado de conectividad de la red (푝)

Recordemos que el parámetro 훼 guarda una estrecha relación con la proporción de vínculos conectados del sistema. En la red ER, al variar el parámetro que regulaba esta proporción se observaba que el gráfico de defaults tomaba la forma de una “M”. En la red LP se observaba algo parecido pero con otra escala (la relación que gobierna a ambos parámetros está expuesta en el cuadro 3.C.1).

Figura 4.C.5. Proporción de defaults en el sistema según diferentes valores de 풑.

El punto más alto graficado del lado izquierdo se encuentra aproximadamente en un 푝 = 0,18 por lo que la caída que debería pronunciarse al aumentar este 푝 se encontraría en el estrecho espacio entre el valor de 훼 relacionado con el 푝 mencionado y la asíntota ubicada en 훼 = 1. Por lo contrario, en valores elevados de 훼 (bajos de 푝) parece observarse la otra punta de la “M”. Dado que la conectividad de esta red nunca puede llegar a 0, no existe un 훼 que replique exactamente esta parte del gráfico.

En la figura 4.C.6 se observa la evolución de la media de defaults en los tres casos: red ER, red LP y red LP pesada. Nótese que para la mayor parte del soporte graficado, la relación entre la red LP y la red LP pesada es de traslación. Específicamente esto se da para un 푝 menor a aproximadamente 0,17. Por lo tanto, resulta interesante destacar que la red LP pesada, a bajos valores de conectividad, presenta más resistencia ante un shock idiosincrático que las dos otras redes. Esto es contraintuitivo: existen bancos de diverso tamaño que ante desvalorizaciones abruptas de sus activos puede presentar cuadros de insolvencia extendidos ante otros bancos. Las otras redes parecen más propicias a repartir su insolvencia entre todos los acreedores, no solo los bancarios. La explicación puede provenir de que dado que hay muchos bancos con bajo poder de transmisión, el promedio se ve disminuido de forma más abrupta que en la red LP. Los grandes bancos, con grandes canales de transmisión son solo un fragmento del sistema, pueden afectar a otros bancos pero la conectividad a esos valores de 푝

38

aun no es lo suficientemente alta. Igualmente, esta situación se ve revertida cuando la conectividad supera el valor 0,17. Allí comienza a tener efecto la asociación más directa entre activos externos y pasivos interbancarios, por ende la conectividad aun tiene que aumentar más para poder canalizar un monto más elevado del shock canalizado.

Lamentablemente es prácticamente imposible aumentar la conectividad del sistema en las redes LP dado que los valores de 푝 mayores a 0,2 implican valores de 훼 demasiado cercanos a 1 como para ser calculados con una exactitud aceptable.

Figura 4.C.6. Proporción promedio de defaults en el sistema según diferentes valores de 풑 según tipo de red.

5. Conclusiones

Este trabajo analiza cómo afecta la estructura particular de la red bancaria a la estabilidad del propio sistema. Replicamos el trabajo de Nier et al (2008) para redes homogéneas y extendemos el análisis a estructuras donde las probabilidades de conexión siguen una distribución asimétrica, precisamente, una ley de potencias.

El armado del sistema bancario bajo la ley de potencias se traduce en un sistema bancario con muchos bancos chicos y pocos bancos grandes. Definimos la ley de potencias sobre los pasivos interbancarios por ser los transmisores directos del shock en el modelo. El nuevo modelo sólo modifica el armado de la red, dejando intacto el modo en que se construyen los balances y las variables agregadas. No obstante, estas redes poseen características específicas que se diferencian de redes cuyas conexiones se pueden aproximar mediante una distribución de Poisson. Para que ambas redes sean equivalentes y comparables sus proporciones de links conectados esperados deben ser iguales para un 푁 dado. Utilizando la Ley de los Grandes Números y concluyendo que al truncar la ley de potencias subyacente a una red la misma posee un valor esperado de proporción de nodos conectados que existe y es finito, construimos una tabla que asocia los valores de estos parámetros con probabilidades de Erdos-Renyi de redes aleatorias.

39

Analizamos la resistencia y estabilidad de las redes LP y comparamos los resultados con los obtenidos en las redes ER para diferentes parámetros preestablecidos. Los siguientes resultados surgen del estudio.

Cuando analizamos el impacto de la capitalización bancaria encontramos que, como consecuencia de la mayor heterogeneidad entre los bancos, el porcentaje de defaults decrece en forma monótona a medida que aumenta la capitalización. Respecto a la estabilidad relativa de la LP encontramos que, para bajos niveles de capitalización, se muestra más estable que la red ER. Sin embargo, cuando los niveles de capitalización son altos, la red LP resulta más frágil.

Cuando analizamos el impacto del grado de conectividad de la red encontramos una relación no monótona entre la conectividad y su estabilidad para ambos tipos de redes. En redes muy poco conectadas (con conectividad por debajo de 1 por ciento), ambas estructuras muestran un comportamiento similar y elevada resistencia a los shocks. Al aumentar la conectividad, la estabilidad relativa de ambos tipos de redes se va modificando, dependiendo también del valor de otros parámetros.

Extendemos el análisis de la red LP en dos extensiones diferentes: distribuyendo los activos externos según la LP realizada en el armado de la red y variando el tamaño de los links siguiendo también la distribución LP realizada. Ambas provocan una acentuación en la asimetría de las redes originando variaciones marginales en la estabilidad de las redes.

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Referencias

Albert, R. y Barabasi, A-L (1999), “Emergence of scaling in random networks”, Science, Vol. 286, pp. 508-512.

Axtell, R. et al. (2001), “Zipf distribution of U.S. firm sizes”, Science, Vol. 293, pp. 1818-1820

Boss, M., Elsinger, H., Summer, M., y Thurner, S. (2003), “The network topology of the interbank market”, arXiv:cond-mat/0309582v1

Eboli, M. (2007) “Systemic risk in financial networks: a graph theoretic approach”, Trabajo en preparación

Heymann, D. Perazzo R., y Zimmermann, M. (2010), “Modelos económicos de múltiples agentes. Una aproximación a la economía desde los sistemas complejos”, Trabajo en preparación.

Nier, E., Yang, J., Yorulmazer, T., y Alentorn, A. (2008), “Network models and financial stability”, Bank of England Working Paper N° 346.

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Anexo A

A.1. Función sistema.m

La siguiente función genera los balances y las matrices de adyacencia que definen a los sistemas financieros:

function [Adj, balance] = sistema(N, tipo, varargin) % Adj = matriz de adyacencia entre bancos % balance = matriz con la información de los balances de las entidades del sistema financiero. % N = cantidad de bancos en el sistema financiero. % tipo = tipo de estructura de la red: ER (Erdös Renyi), ER2 (Red Escalonada) o LP (Ley de Potencias) % varargin = vector de parámetros que definen las características del sistema. varargin = cell2mat(varargin); switch tipo; case 'er' if nargin == 2 % Valores default de los parámetros varargin = [1000 0.2 0.05 1 0.2]; % varargin = [E theta gamma phi P] end E = varargin(1); % Total de activos externos del sistema theta = varargin(2); % Proporción de activos interbanc. sobre activos. gamma = varargin(3); % Porcentaje de capitalización de los bancos. phi = varargin(4); % Porcentaje de shock sobre activos externos. P = varargin(5); % Probabilidad de Erdös-Rényi case 'er2' if nargin == 2 % Valores default de los parámetros varargin = [1000 0.2 0.05 1 0.2 0.6 0.96]; % varargin = [E theta gamma phi Ps Pl ro] end E = varargin(1); % Total de activos externos del sistema theta = varargin(2); % Proporción de activos interbanc. sobre activos. gamma = varargin(3); % Porcentaje de capitalización de los bancos. phi = varargin(4); % Porcentaje de shock sobre activos externos. Ps = varargin(5); % Probabilidad de conexión de bancos chicos Pl = varargin(6); % Probabilidad de conexión de bancos grandes ro = varargin(7); % Proporción de bancos chicos case 'lp' if nargin == 2 % Valores default de los parámetros varargin = [100000 0.2 0.01 1 0.2 1.055]; % varargin = [E theta gamma phi r alpha] end E = varargin(1); % Total de activos externos del sistema. theta = varargin(2); % Proporción de activos interbanc. sobre activos. gamma = varargin(3); % Porcentaje de capitalización de los bancos. phi = varargin(4); % Porcentaje de shock sobre activos externos. r = varargin(5); % Incide en la reciprocidad de conexiones interbancarias. alpha = varargin(6); % Parámetro de la distrib. de ley de potencias. end %%% Los siguientes pasos generan la matriz de adyacencia a partir de las

42

%%% funciones definidas más adelante. switch tipo; case 'er' Adj = er_red(N,P); case 'er2' Adj = er_red2(N,Ps,Pl,ro); case 'lp' Z = randht(N,'powerlaw',alpha); for i=1:N while Z(i)>N-1; Z(i) = randht(1,'powerlaw',alpha); end end Z = sort(Z,1,'descend'); Z = round(Z); Adj = lp_red(N,Z,r); end b_cant = sum(Adj, 2); i_cant = sum(Adj, 1); b_cant = transpose(b_cant); %%% Los siguientes pasos calculan los valores de las variables agregadas A = E/(1-theta); % El total de activos del sistema financiero I = A-E; % El total de activos interbancarios w = I/sum(i_cant); % El valor de cada préstamo interbancarios %%% Los siguientes pasos generan los balances de los bancos. i = w*i_cant; % El vector de activos interbancarios b = w*b_cant; % El vector de pasivos interbancarios e = b-i; e = e + ((E - sum(e))/N); % El vector de activos externos c = gamma*(e+i); % El vector de capital d = e + i - b - c; % El vector de depósitos externos % Crea una variable con la información de los balances de los bancos. balance(1,:) = e; balance(2,:) = i; balance(3,:) = b; balance(4,:) = d; balance(5,:) = c; end %%% Función que genera la matriz de adyacencia para los redes ER function Adj = er_red(N,P) Adj = rand(N); Adj = (Adj < P); Adj = Adj - diag(diag(Adj)); end %%% Función que genera la matriz de adyacencia para los redes ER2 function Adj = er_red2(N,Ps,Pl,ro) n = N*ro; % Cantidad de bancos chicos n = round(n); Adj = rand(N); Adj2 = (Adj(1:n,:)< Ps); Adj3 = (Adj(n+1:N,:)< Pl); Adj = [Adj2;Adj3]; Adj = Adj - diag(diag(Adj));

43

end %%% Función que genera la matriz de adyacencia para los redes LP function Adj = lp_red(N,Z,r) Adj = zeros(N); for i = 1:N Z_temp = 0; Z_max = Z(i); % El máximo número de links del banco está dado por Z(i). % El número Z(i) determina el número de pasivos interbancarios que tiene cada banco. % En los siguientes pasos, se distribuyen estos pasivos entre las demás entidades. % El algoritmo recorre las otras entidades financieras, comenzando desde % la que posee más cantidad de pasivos interbancarios. while Z_temp < Z_max for j = 1:N % Para cada una de las otras entidades financieras if j==i Adj(i,j) = 0; elseif rand(1) > r && Z_temp < Z_max && Adj(i,j)==0 % Si la realización del número aleatorio es mayor al parámetro P (y aun no se asignaron todos los pasivos de esta entidad). Adj(i,j) = 1; % Se asigna un depósito al banco j Z_temp = Z_temp + 1; end end end end end

44

A.2. Algoritmo shock.m

El siguiente algoritmo fue utilizado para simular la transmisión del shock a través de la red financiera. Utiliza las variables creadas en la función sistema.m:

N = length(Adj); % Variable con la cantidad de bancos en el sistema

%%% Los siguientes pasos generan la matriz de transición del shock. % Esta matriz de transición resulta de dividir cada fila de la matriz de adyacencia (generada por sistema.m) por la suma total de la fila. trans_adj = Adj./repmat(sum(Adj, 2),1,N); % En caso de que la suma de la fila sea cero, la matriz de transición toma valores 0 (cero) para ese banco. Z_rep = repmat(sum(Adj, 2),1,N); replace = Z_rep(:,1) == 0; trans_adj(replace,:) = 0; clear Z_rep replace; % Si no se eligió previamente qué banco se shockeará, se elige aleatoriamente un banco del sistema if exist('i_shock','var') == 0; i_shock = round(rand()*N); end % Si no se eligió previamente qué porcentaje del activo del banco se shockeará, se supone que caerá el 100% del activo externo. if exist('phi','var') == 0; phi = 1; end s = zeros(N,1); % Vector de estados del shock def = zeros(N,1); % Vector de defaults %%% Los siguientes pasos calculan el impacto del shock inicial en el banco afectado. balance(5,i_shock)= balance(5,i_shock) - phi * balance(1,i_shock); % Reduce el valor del capital en el tamaño del shock balance(1,i_shock)= (1 - phi) * balance(1,i_shock); % Reduce el valor del activo en el tamaño del shock if balance(5,i_shock) < 0 % Si el tamaño del shock es mayor al del capital del banco s(i_shock) = - balance(5,i_shock); balance(3,i_shock) = balance(3,i_shock) - abs(balance(5,i_shock)); % El shock reduce los pasivos interbancarios balance(5,i_shock) = 0; % El capital queda en cero (default) end if balance(3,i_shock) < 0 % Si los pasivos interbancarios son totalmente eliminados por el shock s(i_shock) = s(i_shock) - abs(balance(3,i_shock)); % El shock reduce los depósitos privados balance(4,i_shock) = balance(4,i_shock) - abs(balance(3,i_shock)); balance(3,i_shock) = 0; % Los pasivos interbancarios quedan en cero. end %%% Los siguientes pasos calculan la transición del shock a los demás bancos del sistema

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while sum(s) > 0.01 % La transición se calculará mientras la suma de los shocks residuales sea mayor a un límite arbitrario lo suficientemente pequeño. Este valor incide fuertemente sobre la precisión y la velocidad del algoritmo. s = transpose(s) * trans_adj; % Se calcula la transición de estado balance(5,:) = balance(5,:) - s; balance(2,:) = balance(2,:) - s; s = zeros(N,1); % Se vuelven a calcular los balances de los bancos, ajustando aquellos que fueron afectados por el shock for i = 1:N if balance(5,i) < 0 s(i)= - balance(5,i); balance(5,i) = 0; balance(3,i) = balance(3,i) - s(i); end if balance(3,i) < 0 s(i) = s(i) - abs(balance(3,i)); % Se calcula el shock residual balance(4,i) = balance(4,i) - abs(balance(3,i)); balance(3,i) = 0; end if balance(4,i) < 0 balance(4,i) = 0; end if s(i) < 0.001 s(i)= 0; end end end defaults = length(find(balance(5,:)==0)); % Se cuenta la cantidad de bancos que están en quiebra (capital es cero).

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A.3. Función rutina.m

La siguiente función fue utilizado para replicar los resultados de los ejercicios de simulación y gráficos del trabajo de Nier, Yang, Yorulmazer y Alentorn (2008), y para llevar a cabo las simulaciones en los distintos tipos de redes.

function [B parametro_v] = rutina(N, tipo, parametro, pmin, pmax) % B = matriz que registra el promedio de defaults para cada repetición para cada conjunto de valores de los parámetros. % parametro_v = matriz que contiene los valores del parámetro sobre el que se realizó la simulación. % N = cantidad de bancos en el sistema financiero % tipo = tipo de estructura de la red: ER (Erdös Renyi), ER2 (Red Escalonada) o LP (Ley de Potencias) % parametro = parametro sobre el que se realizará la simulación % pmin = valor minimo del parámetro % pmax = valor máximo del parámetro % ejemplo: [A, B] = rutina(25, 'er', 'gamma', 0, 0.1) global arg, global parametro_v; tic N_repeticiones = 100; % Número de repeticiones que se harán para cada conjunto de valores de los parámetros if isempty(parametro_v) == 1; N_parametro = 49; % Cantidad de valores que tomará el parámetro sobre el que se realiza la simulación rango = pmax - pmin; gap = rango/N_parametro; parametro_v = pmin:gap:pmax; end A = zeros(N_repeticiones, N, length(parametro_v)); if isempty(arg) == 1; switch tipo case 'er', arg = [1000 0.2 0.05 1 0.20]; % arg = [E theta gamma phi P] case 'er2', arg = [1000 0.2 0.05 1 0.2 0.6 0.96]; % arg = [E theta gamma phi Ps Pl ro] case 'lp', arg = [1000 0.2 0.05 1 0.2 1.055]; % arg = [E theta gamma phi r alpha] end end for j = 1:length(parametro_v) switch parametro case 'E', arg(1)= parametro_v(j); case 'theta', arg(2)= parametro_v(j); case 'gamma', arg(3)= parametro_v(j); case 'phi', arg(4)= parametro_v(j); case 'P', arg(5)= parametro_v(j); case 'r', arg(5)= parametro_v(j); case 'Ps', arg(5)= parametro_v(j); case 'Pl', arg(6)= parametro_v(j); case 'alpha', arg(6)= parametro_v(j); case 'ro', arg(7)= parametro_v(j); case 'N', N = round(parametro_v(j)); end for t = 1:N_repeticiones

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switch tipo case 'er', [Adj_, balance_] = sistema(N, tipo, arg(1), arg(2), arg(3), arg(4), arg(5)); case 'er2', [Adj_, balance_] = sistema(N, tipo, arg(1), arg(2), arg(3), arg(4), arg(5), arg(6), arg(7)); case 'lp', [Adj_, balance_] = sistema(N, tipo, arg(1), arg(2), arg(3), arg(4), arg(5), arg(6)); end phi = arg(4); for g = 1:N Adj = Adj_; balance = balance_; i_shock = g; shock A(t,g,j) = defaults/N; end B(t,j)= mean(A(t,:,j)); end disp(j) end toc B = sort(B)

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Anexo B

B.1. Extensión de la sección 4.B.

Para poder correr el sistema presentado en esta sección es necesario definir una variable global 훽 y reemplazar la siguiente línea en la función sistema.m:

e = b-i; e = e + ((E - sum(e))/N);

por la siguiente:

e = b-i; e = e +(b_cant/sum(b_cant))*(E - sum(e));

B.2. Extensión de la sección 4.C.

Para poder correr el sistema presentado en esta sección es necesario definir la variable global 훽 y reemplazar la siguiente fracción en la función sistema.m:

b_cant = sum(Adj, 2); i_cant = sum(Adj, 1); b_cant = transpose(b_cant); %%% Los siguientes pasos calculan los valores de las variables agregadas A = E/(1-theta); % El total de activos del sistema financiero I = A-E; % El total de activos interbancarios w = I/sum(i_cant); % El valor de cada préstamo interbancarios %%% Los siguientes pasos generan los balances de los bancos. i = w*i_cant; % El vector de activos interbancarios b = w*b_cant; % El vector de pasivos interbancarios

por el siguiente código:

b_cant = sum(Adj, 2); b_cant = transpose(b_cant); %%% Los siguientes pasos calculan los valores de las variables agregadas A = E/(1-theta); % El total de activos del sistema financiero I = A-E; % El total de activos interbancarios %%% Los siguientes pasos aplican la potencia a los pasivos b_prima = (b_cant.^beta); B_prima = sum(b_prima,2); b_tot = b_prima*(I/B_prima); % reescala para que sea consistente con E y theta %%% Los siguientes pasos calculan la matriz de adyacencia de la red pesada Adj2=zeros(N); for i=1:N for j=1:N if Adj(i,j) == 0 Adj2(i,j) = 0; else Adj2(i,j)=b_tot(i)./b_cant(i); end end end Adj=Adj2;

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%%% Los siguientes pasos generan los balances de los bancos. b = b_tot; % El vector de pasivos interbancarios i = sum(Adj, 1); % El vector de activos interbancarios

Documents

ESTABILIDAD FINANCIERA EN REDES BANCARIAS: … · D. Estabilidad en distinto tipo de redes ... Los ejercicios de simulación exhibidos en este trabajo ... se determina por completo