E S T A B IL IZ A C I¶O N T E M P O R A L D E P R E C IO S E N P A ¶IS E S

E N D E S A R R O L L O Y L A O P C I¶O N R E A L

D E P O S P O N E R C O N S U M O

F r a n c isc o V e n e g a s-M a r t¶³n e z ¤

E scu ela S u p erior d e E con om ¶³a, In stitu to P olit¶ecn ico N acion al

R e su m e n

E n esta in v estig a ci¶o n se d esa rro lla , b a jo el su p u esto d e u n a eco n o m ¶³a m o n eta ria , p eq u e~n a

y a b ierta , u n m o d elo esto c¶a stico d e esta b iliza ci¶o n in ° a cio n a ria en d o n d e el tip o d e ca m b io a ct¶u a

co m o u n a n cla n o m in a l y la cred ib ilid a d es im p erfecta . E n esta eco n o m ¶³a la s ex p ecta tiva s d e

lo s a g en tes so b re la ta sa d e d eva lu a ci¶o n so n co n d u cid a s p o r u n p ro ceso d e d ifu si¶o n co n sa lto s

d o n d e el ta m a ~n o d e u n a p o sib le d eva lu a ci¶o n tien e u n a d istrib u ci¶o n d e va lo res ex trem o s; co m o lo

m u estra n lo s h ech o s estiliza d o s so b re d eva lu a cio n es ex trem a s reg istra d a s en M ¶ex ico en 1 9 9 4 y en

A rg en tin a en 2 0 0 1 . S e su p o n e q u e n o ex iste u n m erca d o d e co b ertu ra s co n tra p o sib les d eva lu a -

cio n es, es d ecir, lo s m erca d o s ¯ n a n ciero s so n in co m p leto s. B a jo este esq u em a , la s d in ¶a m ica s d e

eq u ilib rio d e co n su m o y riq u eza so n ex a m in a d a s cu a n d o u n p la n d e esta b iliza ci¶o n co n cred ib ili-

d a d im p erfecta es im p lem en ta d o . S e estu d ia el ca so d e u n h o rizo n te esto c¶a stico d e esta b iliza ci¶o n

co n d istrib u ci¶o n ex p o n en cia l. A sim ism o , se va l¶u a la o p ci¶o n rea l d e p o sp o n er co n su m o cu a n d o

se esp era q u e u n p la n d e esta b iliza ci¶o n sea a b a n d o n a d o . T a m b i¶en , se estu d ia n lo s efecto s d e

ch o q u es ex ¶o g en o s so b re el co n su m o y el b ien esta r eco n ¶o m ico . P o r ¶u ltim o , se u tiliza el m o d elo

p ro p u esto p a ra rea liza r sim u la cio n es q u e rep ro d u cen lo s a u g es d e co n su m o p riva d o a n tes d e q u e

lo s p la n es a n ti-in ° a cio n a rio s fu era n a b a n d o n a d o s en M ¶ex ico en 1 9 9 0 -1 9 9 4 y en A rg en tin a en

2 0 0 1 -2 0 0 3 , cu a n d o se p ro d u jero n d eva lu a cio n es ex trem a s.

C lasi ca ci¶on J E L : F 3 1 , F 4 1 , G 1 3

P alab ras clave: E sta b iliza ci¶o n in ° a cio n a ria , p ro d u cto s d eriva d o s, va lo res ex trem o s.

¤ M a ilin g a d d ress: C erro d e V ig¶³a 1 5 , C o l. C a m p estre C h u ru b u sco , D eleg . C oy o a c¶a n , 0 4 2 0 0 M ¶ex ico ,

D .F ., E -m a il: fv en eg a s1 1 1 1 @ y a h o o .co m .m x , T el: +5 2 (5 5 )5 4 8 3 2 2 5 4 , F a x : +5 2 (5 5 )5 4 8 3 2 2 3 4 .

1

A b str a c t

T h is p a p er d ev elo p s, u n d er th e fra m ew o rk o f a sm a ll, o p en , a n d m o n eta ry eco n o m y, a

sto ch a stic m o d el o f in ° a tio n sta b iliza tio n ta k in g a s a n o m in a l a n ch o r th e ex ch a n g e ra te a n d

cred ib ility is im p erfect. In th is eco n o m y a g en ts h av e ex p ecta tio n s o f th e ra te o f d eva lu a tio n

d riv en b y a d i® u sio n -ju m p p ro cess w h ere th e size o f a p o ssib le d eva lu a tio n h a s a n ex trem e va lu e

d istrib u tio n ; a s sh ow ed th e sty lized fa cts a b o u t ex trem e d eva lu a tio n s reg istered in M ex ico in

1 9 9 4 a n d in A rg en tin a in 2 0 0 1 . It is a ssu m ed th a t th ere is n o a d eriva tiv es m a rk et to h ed g e

a g a in st fu tu re d eva lu a tio n s, th a t is, th e ¯ n a n cia l m a rk ets a re in co m p lete. U n d er th is fra m ew o rk ,

th e eq u ilib riu m d y n a m ics o f co n su m p tio n a n d w ea lth a re ex a m in ed w h en a sta b iliza tio n p la n

w ith im p erfect cred ib ility is im p lem en ted . T h e ca se o f a sto ch a stic h o rizo n o f sta b iliza tio n w ith

th e ex p o n en tia l d istrib u tio n is stu d ied . M o reov er, th e rea l o p tio n to p o stp o n e co n su m p tio n is

va lu ed w h en a sta b iliza tio n p la n is to b e a b a n d o n ed . A lso , ex o g en o u s sh o ck s o n co n su m p tio n

a n d eco n o m ic w elfa re a re a ssessed . F in a lly, th e p ro p o sed m o d el is u sed to ca rry o u t sim u la tio n s

th a t rep ro d u ce th e b o o m s o f p riva te co n su m p tio n b efo re th e a n ti-in ° a tio n a ry p la n s w ere a b a n -

d o n ed in M ex ico in 1 9 9 0 -1 9 9 4 a n d in A rg en tin e in 2 0 0 1 -2 0 0 3 , w h en ex trem e d eva lu a tio n s to o k

p la ce.

J E L C lassi ca tion : F 3 1 , F 4 1 , G 1 3

K ey w ord s: In ° a tio n sta b iliza tio n , co n tin g en t cla im s, ex trem e va lu es.

1 . In tro d u c c i¶o n

De acuerdo con Fondo Monetario Internacional (FMI) , actualmente, m¶as del 20% de

los pa¶³ses en el mundo tienen reg¶³menes cambiarios que utilizan al tipo de cambio como un

ancla nominal. Esta proporci¶on es similar a la que se obtuvo en 1990. Las experiencias de

M¶exico en 1994 y de Argentina en 2001 invitan a resaltar la necesidad de que los planes

de estabilizaci¶on basados en el tipo de cambio tienen que ser cre¶³bles. A ¯nales de 1994 el

p¶ublico mexicano estaba esc¶eptico acerca de las acciones del gobierno para defender una

tasa ¯ja de devaluaci¶on combinada con una banda ajustable, el resultado fue un d¶e¯cit

insostenible en la cuenta corriente de la balanza de pagos seguido de un repentino \boom"

en el consumo y una devaluaci¶on extrema. Por otro lado, el caso del plan de convertibilidad

del gobierno Argentino inici¶o en 1991 y se abandon¶o en diciembre de 2001. Una vez m¶as,

en 2000, el p¶ublico Argentino anticip¶o el ¯nal del plan de estabilizaci¶on, lo cual condujo a

un \boom" en el consumo seguido de una devaluaci¶on extrema. En conclusi¶on, uno de los

puntos importantes que las autoridades ¯scal y monetaria y los encargados de dise~nar la

2

pol¶³tica econ¶omica deben tomar en cuenta cuando estructuran un plan anti-in°acionario

basado en el tipo de cambio, es que en la mayor¶³a de los casos el resultado ¯nal es un

incremento sustancial en el consumo y una devaluaci¶on extrema.

Algunas de las investigaciones en la literatura especializada sobre estabilizaci¶on tempo-

ral que han considerado un marco estoc¶astico son, por ejemplo, Drazen y Helpman (1988)

que analizan la estabilizaci¶on con un tipo de cambio estoc¶astico, Calvo y Drazen (1997)

que consideran la incertidumbre en la permanencia de reformas econ¶omicas, y Venegas-

Mart¶³nez (2001) , (2006a) , (2006b) y (2006c) que estudia la estabilizaci¶on cuando el tipo de

cambio es conducido por un proceso de Ito. Mientras que todas estas investigaciones han

proporcionado avances te¶oricos considerables, existe todav¶³a un conjunto de regularidades

emp¶³ricas que requieren ser explicadas como lo se~nalan Helpman y Razin (1987) , y Kiguel

y Liviatan (1992) . En primer lugar, los modelos existentes han encontrado di¯cultades en

explicar los ¶ordenes de magnitud de los \booms" inesperados de consumo. Segundo, en

la mayor¶³a de los casos, los planes de estabilizaci¶on in°acionaria resultan en devaluaciones

extremas y este hecho no ha sido incorporado todav¶³a en el an¶alisis y modelado de dichos

planes. Tercero, la mayor¶³a de los modelos carecen de una explicaci¶on plausible de la falta

de credibilidad, incluso si no hay cambio en los par¶ametros que determinan las expectativas

de devaluaci¶on. Cuarto, la mayor¶³a de los modelos no consideran que justamente lo que

hace que un plan de estabilizaci¶on sea temporal es la incertidumbre.

Las opciones reales han cobrado recientemente un gran inter¶es en macroeconom¶³a; ver

por ejemplo: Strobel (2005) y Henderson y Hobson (2002) . El principal ob jetivo asociado

con opciones reales es como valuar productos derivados sobre activos no negociables. 1 En

esta investigaci¶on se val¶ua la opci¶on real de posponer consumo en v¶³speras de que un plan de

estabilizaci¶on sea abandonado. En este caso, el activo subyacente de la opci¶on es el precio

del dinero en t¶erminos de bienes, es decir, el poder adquisitivo de una unidad monetaria. 2

Es importante destacar que el presente trabajo proporciona una f¶ormula anal¶³tica del valor

de dicha opci¶on.

1 S e su g iere a l lecto r v er lo s d o s lib ro s cl¶a sico s so b re o p cio n es rea les: D ix it y P in d y ck (1 9 9 4 ) y S ch w a rtz

y T rig eo rg is (2 0 0 1 ).2 U n a n ¶a lisis so b re va lu a ci¶o n d e o p cio n es rea les co n in fo rm a ci¶o n a p rio ri p u ed e ser en co n tra d o en

V en eg a s-M a rt¶³n ez (2 0 0 5 ).

3

Esta investigaci¶on, desarrolla, bajo el supuesto de una econom¶³a abierta y peque~na, un

modelo estoc¶astico de estabilizaci¶on con ancla nominal en el tipo de cambio, reconociendo

el papel que desempe~nan los movimientos extremos en la din¶amica de las expectativas

de devaluaci¶on. Se supone que las expectativas de devaluaci¶on siguen un movimiento

Browniano mezclado con un proceso de Poisson en donde el movimiento Browniano conduce

a la tasa de devaluaci¶on y el proceso de Poisson modela una posible devaluaci¶on. Adem¶as,

el tama~no esperado de una posible devaluacione se supone que tiene una distribuci¶on de

valores extremos del tipo de Fr¶echet. Con base en este marco te¶orico y suponiendo un

agente representativo con utilidad logar¶³tmica se examinan las din¶amicas de equilibrio del

consumo y la riqueza real cuando un plan de estabilizaci¶on es implementado y el tama~no

de una posible devaluaci¶on es conducido por una distribuci¶on de Fr¶echet. Tambi¶en, se

estudian los impactos sobre consumo y bienestar econ¶omico por cambios permanentes en

los par¶ametros que determinan las expectativas.

El modelo propuesto se desarrolla bajo los tres siguientes supuestos: 1) el ingreso

del gobierno por \seignorage" (impuesto in°acionario) no es reembolsado a los agentes,

2) los agentes perciben una tasa de devaluaci¶on estoc¶astica y 3) no existe un mercado

de derivados (futuros, opciones o estructurados) que cubran contra el riesgo de posibles

devaluaciones. El modelo que se desarrolla proporciona soluciones cerradas, lo que hace

m¶as f¶acil el entendimiento de diferentes aspectos en la estabilizaci¶on temporal, sobre todo

cuando el tama~no esperado de una posible devaluaci¶on alcanza un valor extremo.

Por ¶ultimo, se listan varias caracter¶³sticas distintivas del modelo: 1) existe falta de

credibilidad a¶un cuando los valores de los par¶ametros que determinan las expectativas

de devaluaci¶on no son modi¯cados, 2) trata con horizontes estoc¶asticos de estabilizaci¶on,

3) reproduce v¶³a simulaci¶on Monte Carlo, con valores apropiados de los par¶ametros, los

\booms" de consumo privado en los casos de M¶exico en 1990-1994 y Argentina en 2001-

2003, los cuales resultaron en una devaluaci¶on extrema y 4) se val¶ua la opci¶on real de

espera cuando el consumo puede ser pospuesto en v¶³speras de que concluya un programa

de estabilizaci¶on de precios.

Este documento est¶a organizado como sigue. En la pr¶oxima secci¶on se considera una

econom¶³a que produce y consume un solo bien y que est¶a sujeta a una restricci¶on \cash-in-

advance" donde los agentes tienen expectativas de devaluaci¶on conducidas por un proceso

4

de difusi¶on con saltos de Poisson y el tama~no esperado de una posible devaluaci¶on tiene

una distribuci¶on de valores extremos. En la secci¶on 3 se resuelve el problema de decisi¶on

de un consumidor representativo, tomador de precios y adverso al riesgo. Asimismo, en la

secci¶on 4 se llevan a cabo varios experimentos de pol¶³tica econ¶omica a trav¶es de diversos

ejercicios de est¶atica comparativa. En la secci¶on 5 se examinan los impactos en el bienestar

por choques ex¶ogenos en los valores de los par¶ametros que determinan las caracter¶³sticas

de la econom¶³a. En el transcurso de la secci¶on 6 se estudia el comportamiento de la

din¶amica de la riqueza y el consumo, y se conducen varios experimentos sobre la pol¶³tica

cambiaria. En la secci¶on 7 se llevan a cabo simulaciones Monte Carlo sobre la respuesta de

consumo a cambios permanentes en los valores de los par¶ametros relevantes del modelo,

suponiendo que el tama~no esperado de una posible devaluaci¶on tiene una distribuci¶on de

valores extremos del tipo de Fr¶echet. En la secci¶on 8 se val¶ua la opci¶on de posponer

consumo en v¶³speras de que expire un programa de estabilizaci¶on de precios. Por ¶ultimo,

en la secci¶on 9 se presentan un conjunto de conclusiones, limitaciones y sugerencias para

posteriores investigaciones.

2 . E stru c tu ra d e l m o d e lo

Se considera una econom¶³a peque~na y abierta poblada por consumidores con dota-

ciones y gustos id¶enticos, los cuales viven para siempre en un mundo en el que s¶olo hay

un bien homog¶eneo de consumo, el cual es internacionalmente comerciable. Los agentes

mantiene dos activos: saldos reales y un bono real, cotizado y negociado internacional-

mente, que paga una tasa de inter¶es constante y libre de riesgo de incumplimiento.

2 .1 P a rid a d d e p o d e r d e c o m p ra y d in ¶a m ic a d e l tip o d e c a m b io

Se supone que el bien internacionalmente comerciable es libre de barreras y aranceles

para su compra o venta. El nivel general de precios dom¶esticos, Q t , est¶a determinado por

la condici¶on de paridad de poder de compra, la cual est¶a dada por

Q t = Q¤t e t; (1)

donde Q ¤t es el precio en moneda extranjera del bien en el resto del mundo y e t es el tipo

de cambio nominal. De ahora en adelante, se supone, por simplicidad, que

Q ¤t = Q¤0 = 1 y e 0 = 1:

5

En lo que sigue, se supondr¶a que la din¶amica incierta de la tasa esperada de deva-

luaci¶on y, por lo tanto, la din¶amica de la tasa de in°aci¶on es conducida por un movimiento

geom¶etrico Browniano combinado con un proceso de Poisson con un tama~no de salto

aleatorio conducido por una distribuci¶on de valor extremo del tipo de Fr¶echet, esto es,

de te t=dQ tQ t

= ¼ dt + ¾ dB t + Z dN t; (2)

donde ¼ > 0 ;¾ > 0, (B t) t¸ 0 es un movimiento Browniano (o proceso de Wiener) de¯nido

sobre un espacio ¯jo de probabilidad con su ¯ltraci¶on aumentada (−;F ;(F B

t ) t¸ 0 ;IP) . Aqu¶³

F B

t es la informaci¶on disponible al tiempo t. Asimismo, se supone que dN t es un proceso

de Poisson con par¶ametro de intensidad ¸ . El tama~no de un salto hacia arriba es tal que

Z =1

1 ¡ X ¡ ® ¡ 1; X > 0; ® > 0

y

X =Y ¡ º·

; · ; º > 0;

donde Y es una variable aleatoria de tipo de Fr¶echet con par¶ametros ® , º y · > 0.

Claramente, Z > 0. Note que un incremento en Y , conduce a un incremento en X , el

cual, a su vez, aumenta el valor de Z . En este caso, se pude veri¯car que la funci¶on de

distribuci¶on acumulada de Y est¶a dada por

F Y (y ) =

8><>:0; y < º ;

exp

(¡μy ¡ º·

¶¡ ® ); y ¸ º

(3)

y la funci¶on de densidad de Y satisface

f Y (y ) =®

·F Y (y )

μy ¡ º·

¶¡ (1 + ® ); y ¸ º : (4)

Observe que si ® > 2, entonces

E [Y ] = º + · ¡

μ1 ¡ 1

®

¶y

E£Y 2¤= · 2¡

μ1 ¡ 2

®

¶+ 2º · ¡

μ1 ¡ 1

®

¶+ º 2 :

6

As¶³ que

Var [Y ] = · 2·¡

μ1 ¡ 2

®

¶¡ ¡2

μ1 ¡ 1

®

¶:

Por otro lado, ya que el n¶umero de devaluaciones esperadas (i.e., saltos hacia arriba en el

tipo de cambio) por unidad de tiempo sigue un proceso de Poisson dN t con intensidad ¸ ,

se tiene que

IPNfun salto durante dtg = IP

NfdN t = 1g = ¸ dt

y

IPN fm¶as de un salto durante dtg = IPN fdN t > 1g = o (dt);

as¶³ que

IPNfning¶un salto durante dtg = 1 ¡ ¸ dt + o (dt) ;

donde o (dt)=dt ! 0 cuando dt ! 0. Observe que el tiempo esperado hasta el pr¶oximo

salto es 1= ¸ . Por ¶ultimo, es f¶acil mostrar que

E[dN t ] = Var[dN t ] = ¸ dt:

2 .2 A c tiv o s d isp o n ib le s e n la e c o n o m ¶³a

El consumidor representativo mantiene dos activos reales: saldos reales, m t = M t= Q t ,

donde M t es el stock nominal de dinero y un bono internacional real de precio bt . El bono

paga una tasa de inter¶es real constante r (i.e., paga un rendimiento de r unidades del bien

de consumo por unidad de tiempo) . De esta manera, la riqueza real del consumidor, y t ,

est¶a dada por

y t = m t + bt; (5)

donde y 0 es determinado ex¶ogenamente.

2 .3 F in a n c ia m ie n to d e l c o n su m o

La econom¶³a est¶a equipada con una restricci¶on \cash-in-advance" :

m t =

Z t+ ½ ¡ 1

t

csds; (6)

7

donde ct es consumo y ½¡ 1 > 0 es el tiempo que el dinero debe ser mantenido para ¯nanciar

el consumo. La condici¶on (6) es fundamental para ligar la din¶amica del tipo de cambio

con el consumo. Observe que

m t =

Z t+ ½ ¡ 1

t

csds ¼ct

½+ o

μ1

½

¶:

En lo que sigue, se supondr¶a que el t¶ermino del error o (1= ½ ) es despreciable, en cuyo caso

m t = ct½ . Es decir,

E

·m t

ct

¸= ½ :

2 .4 R e n d im ie n to d e sa ld o s re a le s

La tasa de rendimiento estoc¶astica por mantener saldos reales, dR m , es simplemente

el cambio porcentual en el valor del dinero en t¶erminos de bienes. Al aplicar el lema de

Ito al inverso del nivel de precios (i.e., al poder adquisitivo de una unidad monetaria) , con

(2) como la ecuaci¶on que conduce el proceso subyacente, se tiene

d

μ1

Q t

¶=

·¡μ1

Q 2t

¶¼ Q t +

12

μ2

Q 3t

¶¾ 2 Q 2t dt ¡

μ1

Q 2t

¶¾ Q tdB t

+

μ¡ X ¡ ® + 1

Q t¡ 1

Q t

¶dN t

=1

Q t

£¡¡ ¼ + ¾ 2

¢dt ¡ ¾ dB t ¡ X ¡ ® dN t

¤:

(7)

El signo menos que aparece en el t¶ermino ¡ X ¡ ® es debido a que saltos en el tipo de

cambio afectan de manera negativa los saldos reales. En conclusi¶on, la tasa de rendimiento

estoc¶astica por la tenencia de saldos reales est¶a dada por

dR m =¡¡ ¼ + ¾ 2

¢dt ¡ ¾ dB t ¡ X ¡ ® dN t: (8)

3 . P ro b le m a d e d e c isi¶o n d e l c o n su m id o r

El cambio marginal de la riqueza real del consumidor en t¶erminos de la composici¶on

del portafolio μ t = m t= y t y 1 ¡ μ t = bt= y t, as¶³ como del consumo, ct, est¶a dada por

dy t = y tμ tdR m + y t(1 ¡ μ t)rdt ¡ ctdt;

8

con y 0 ex¶ogenamente determinada. La ecuaci¶on anterior puede ser reescrita, al sustituir

(8) en la expresi¶on anterior, como

dy t = y t

h(r ¡ Ã μ t)dt ¡ μ t¾ dB t ¡ μ tX

¡ ® dN ti; (9)

donde

à = ½ + r + ¼ ¡ ¾ 2 :

La funci¶on de utilidad esperada del tipo Von Neumann-Morgenstern al tiempo t,

I (y t;t) , de un consumidor representativo, competitivo y adverso al riesgo, con riqueza y t ,

se supone que es de la forma:

I (y t;t) = E

·Z 1

t

log(cs ) e¡ r sds

¯F

B

t ; (10)

donde F B

t representa toda la informaci¶on disponible al tiempo t. Por simplicidad, se supone

que la tasa subjetiva de descuento del agente coincide casualmente con la tasa de inter¶es

internacional real, r , la cual se supone constante y libre de riesgo de incumplimiento. Este

supuesto conduce a un estado estacionario en el nivel de consumo. Se ha considerado la

funci¶on de utilidad logar¶³tmica con el prop¶osito de obtener soluciones simples que hagan

el an¶alisis subsiguiente m¶as sencillo.

3 .1 C o n d ic io n e s d e p rim e r o rd e n p a ra u n a so lu c i¶o n in te rio r

La ecuaci¶on de Hamilton-Jacobi-Bellman del problema de control ¶optimo estoc¶astico

(o programaci¶on din¶amica estoc¶astica en tiempo continuo) de m¶aximizaci¶on de utilidad

con log(ct) = log(½ y tμ t) , y bajo el supuesto de que Y es estoc¶asticamente independiente

de dN t , est¶a dada por

maxμtH (μ t ; y t;t) ´ max

μt

nlog(½ y tμ t) e

¡ r t + Iy (y t;t) y t(r ¡ Ã μ t) + It(y t;t)

+ 12 Iy y (y t;t)y

2t μ2t ¾

2 ¡ ¸ EhI³y t¡μ tX

¡ ® + 1¢;t´¡ I (y t;t)

io= 0:

(11)

La condici¶on de primer orden para una soluci¶on interior, μ t 6= 0, es

@ H

@ μ t= 0:

Dado el descuento de tipo exponencial en (10) , se postula I (y t;t) en forma separable como

I (y t;t) = G (y t) g (t) ; (12)

9

donde G (y t) = ¯ 0 + ¯ 1 log(y t) y g (t) = e ¡ r t . En este caso, las constantes ¯ 0 y ¯ 1 se

determinan partir de (11) . As¶³ pues, la condici¶on (11) conduce a

maxμ tH (μ t ; y t;t) ´ max

μ t

(log(½ y tμ t) + ¯ 1 (r ¡ Ã μ t) ¡ r [¯ 1 log(y t) + ¯ 0 ]

¡ 12 ¯ 1 μ

2t ¾

2 + ¯ 1 L (μ t)

)= 0;

(13)

donde

L (μ t) = ¡ ¸ E£log¡μ tX

¡ ® + 1¢¤: (14)

Note que el argumento en la funci¶on logar¶³tmica en (14) permanece positivo. Con el ob jeto

de calcular la condici¶on de primer orden, es necesario encontrar

@

@ μ tL (μ t) = E

·@

@ μ tlog¡μ tX

¡ ® + 1¢= E

·X ¡ ®

μ tX ¡ ® + 1:

A partir del resultado anterior, se puede concluir que μ t ¶optima es invariante en el tiempo,

esto es, μ t ´ μ , y satisface

1

¯ 1 μ¡ ¸

μE

·X ¡ ®

X ¡ ® + μ ¡ 1

¸= Ã + μ ¾ 2 : (15)

Si se considera el siguiente cambio de variable

³ =

μy ¡ º·

¶¡ ®;

la esperanza matem¶atica en (15) puede ser reescrita como

E

·X ¡ ®

X ¡ ® + μ ¡ 1

¸=

Z 1

0

[(y ¡ º )= · ] ¡ ®[(y ¡ º ) = · ] ¡ ® + μ ¡ 1

f Y (y )dy

=

Z 1

0

³

³ + μ ¡ 1e ¡ ³ d³

=1

μe 1 = μ¡(¡ 1;1= μ ):

(16)

donde

¡(¡ 1;1= μ ) = ¡ ¡(0;1= μ ) + e ¡ 1 = μ μ :

Se debe tener presente para el an¶alisis subsiguiente la siguiente f¶ormula para ¡(0;1= μ ) :

¡(0;1= μ ) =

Z 1

1 = μ

e ¡ u

udu

=μ e ¡ 1 = μ (1 ¡ μ + o (μ ) ) ;

(17)

10

donde ¡(¢;¢) es la funci¶on Gamma incompleta. Se puede mostrar que ¡(0;0) = 1 ,¡(0;1 ) = 0, y ¡(0;1) = e ¡ 1 o (1) ¼ 2

9 . Por lo tanto, si se utilizan (16) y (17) , la condici¶on

de primer orden puede ser escrita como

1

¯ 1 μ¡ ¸

μ

μ1 ¡ 1

μe 1 = μ¡(0;1= μ )

¶= Ã + μ ¾ 2 : (18)

Si se supone que 0 < μ < 1 , entonces la aproximaci¶on ¡(0;1= μ ) ¼ μ e ¡ 1 = μ (1¡ μ ) es aceptable,

y se puede escribir la condici¶on de primer orden como

1

¯ 1 μ¡ ¸ = Ã + μ ¾ 2 ; (19)

la cual representa una ecuaci¶on cuadr¶atica en μ (con ra¶³ces reales) . Una vez que un ¶optimo

μ es escogido, los coe¯cientes ¯ 0 y ¯ 1 son determinados a partir de (11) , en cuyo caso:

(1 ¡ r ¯ 1 ) log(y t) ¡ r ¯ 0 + r ¯ 1 + log (½ μ ) ¡ ¯ 1£Ã μ + 1

2 μ2 ¾ 2 ¡ L (μ )

¤= 0 (20)

lo cual conduce a

¯ 1 = r¡ 1 y ¯ 0 =

1

r[1 + log(½ μ ) ] ¡ 1

r 2

£Ã μ + 1

2 μ2 ¾ 2 ¡ L (μ )

¤: (21)

As¶³, la condici¶on de primer orden produce

r

μ= Ã + ¸ + μ ¾ 2 ;

la cual es una ecuaci¶on cuadr¶atica con ra¶³ces reales y s¶olo una ra¶³z positiva dada por

1 > μ =¡ ( Ã + ¸ ) +

p( Ã + ¸ ) 2 + 4¾ 2 r

2¾ 2> 0: (22)

La Gr¶a¯ca 1 muestra el valor ¶optimo de μ en funci¶on de à + ¸ y ¾ 2 , con r = 0:0850.

11

Gr¶a¯ca 1. El valor ¶optimo de μ en funci¶on de à + ¸ y ¾ 2 .

4 . E x p e rim e n to s d e e st¶a tic a c o m p a ra tiv a

En esta secci¶on se llevan a cabo algunos experimentos de est¶atica comparativa sobre

la decisi¶on ¶optima μ . Se analiza el impacto sobre la μ ¶optima, 0 < μ < 1, por cambios

en la tasa media esperada de la in°aci¶on ¼ , la volatilidad instant¶anea de la in°aci¶on y

el par¶ametro de intensidad ¸ . Al diferenciar totalmente la condici¶on de primer orden, se

tiene

d¼ + (μ ¡ 1)d¾ 2 + d¸ + ª(μ )dμ = 0; (23)

donde

ª(μ ) = ¾ 2 +r

μ 2:

Un primer resultado relevante es que: un incremento en la tasa de devaluaci¶on, la cual

conlleva a un incremento en el costo de oportunidad de compra de bienes, conduce a una

12

disminuci¶on permanente en la proporci¶on de la riqueza asignada para el consumo futuro.

Para ver esto, es su¯ciente utilizar (23) , lo cual conduce a

@ μ

@ ¼= ¡ 1

ª(μ )< 0: (24)

Note tambi¶en que un incremento en la varianza del componente de difusi¶on producir¶a un

efecto contrario al de ¼ sobre μ debido a que

@ μ

@ ¾ 2=1 ¡ μ

ª(μ )> 0: (25)

Dicho de otra manera, el consumidor asigna una mayor proporci¶on de su riqueza para

mantener saldos reales a ¯n de ¯nanciar consumo para enfrentar una mayor varianza en el

precio del consumo.

Otro resultado importante es la respuesta de la proporci¶on de la riqueza que se asigna

en equilibrio a la tenencia de saldos reales, μ , por cambios en el par¶ametro de intensidad,

¸ . Un incremento en el n¶umero esperado de devaluaciones extremas por unidad de tiempo

causa un aumento en el costo de oportunidad de comprar bienes. Esto, a su vez, disminuye

permanentemente la proporci¶on de riqueza asignada al consumo futuro. Adem¶as, a partir

de (11) , se tiene@ μ

@ ¸= ¡ 1

ª(μ )< 0: (26)

Evidentemente, los cambios marginales (24) , (25) y (26) est¶an relacionadaos mediante

@ μ

@ ¼=@ μ

@ ¸=

1

μ ¡ 1@ μ

@ ¾ 2:

5 . Im p a c to so b re e l b ie n e sta r e c o n ¶o m ic o

Ahora se valuan los efectos de choques ex¶ogenos sobre el bienestar econ¶omico. Como

es usual, el criterio de bienestar econ¶omico, −, del agente representativo es la utilidad

m¶axima con riqueza real, y 0 , es decir, la utilidad indirecta que proporciona el nivel de

riqueza y 0 . As¶³, el bienestar est¶a dado por la expresi¶on:

−(¼ ;¾ 2 ;¸ ; y 0 ) ´ I (y 0 ;0) =1

r[1 + log(y 0 ) + log(½ μ ) ]

¡ 1

r 2

hà μ + 1

2 μ2 ¾ 2 ¡ L (μ )

i:

(27)

13

Con el ob jeto de calcular el bienestar econ¶omico μ ; se necesita encontrar expl¶³citamente,

L (μ ) . Para ello, se usa el mismo cambio de variable que en (16) , as¶³

E£log¡μ X ¡ ® + 1

¢¤=

Z 1

0

log(μ 2 ³ + 1)e ¡ ³ d³

=e 1 = μ¡(0;1= μ ) :

(28)

Es importante se~nalar que (16) puede ser obtenido al derivar (28) , en efecto,

@

@ μe 1 = μ¡(0;1= μ ) = ¡ 1

(μ ) 2e 1 = μ¡(0;1= μ ) + e 1 = μ

μ@ ¡(0;1= μ )

@ (1= μ )

¶μ@ (1= μ )

@ μ

¶= ¡ 1

(μ ) 2e 1 = μ¡(0;1= μ ) + e 1 = μ

³¡ μ e ¡ 1 = μ

´μ¡ 1

(μ ) 2

¶= ¡ 1

(μ ) 2e 1 = μ¡(0;1= μ ) +

1

μ:

Note que, debido a que se presenta una derivada en L (μ ) en la condici¶on de primer orden,

se puede usar ahora la aproximaci¶on ¡(0;1= μ ) = μ e ¡ 1 = μ (1 + O (μ ) ) , de esta manera

L (μ ) = ¡ ¸ μ =Z μ

0

¸ dx :

As¶³ pues, los impactos sobre el bienestar econ¶omico por cambios en la tasa promedio de

devaluaci¶on, la volatilidad y la probabilidad de devaluaci¶on son, respectivamente:

@ −

@ ¼= ¡ μ

r 2< 0;

@ −

@ ¾ 2= ¡ μ 2

2r 2< 0 y

@ −

@ ¸= ¡ μ

r 2< 0:

14

6 . D in ¶a m ic a d e la riq u e z a y e l c o n su m o

Ahora se considera el proceso estoc¶astico que genera la riqueza real del individuo

cuando el ¶optimo μ es aplicado. Si se sustituye el punto ¶optimo μ en (9) , se obtiene

dy t = y t

h(¸ + μ 2 ¾ 2 )dt ¡ μ ¾ dB t ¡ μ X ¡ ® dN t

i: (29)

La soluci¶on de la ecuaci¶on diferencial estoc¶astica anterior, con condici¶on inicial y 0 , es

y t = y 0 e±t; (30)

donde

±t = ´ t ¡ ²t; ´ t » N [F (μ ) t;G (μ ) t] ; ²t = H (μ ;X )N t;

F (μ ) = ¸ +μ 2 ¾ 2

2; G (μ ) = μ 2 ¾ 2 ; y H (μ ;X ) = log(μ X ¡ ® + 1) ; (31)

Note que

E[±t ] = [F (μ ) ¡ ¸ E[H (μ ;X ) ] ] t

= [F (μ ) ¡ ¸ μ (1 ¡ μ + o (μ ) ) ] t(32)

En virtud de (6) , el proceso estoc¶astico para el consumo, en (30) , puede ser escrito como

ct = μ y 0 e±t: (33)

Esto indica que, en la ausencia de un mercado de productos derivados, el riesgo de deva-

luaci¶on tiene un efecto sobre la riqueza v¶³a la incertidumbre en ±t, esto es, la incertidumbre

cambia el conjunto de oportunidades que enfrenta el consumidor. Por otro lado, el riesgo

de devaluaci¶on tambi¶en afecta el portafolio de inversi¶on v¶³a efectos sobre μ . As¶³, un cam-

bio en las variables de pol¶³tica estar¶a acompa~nado tanto por efectos de riqueza como de

sustituci¶on. No se puede determinar el nivel de consumo en este marco estoc¶astico. S¶olo

se puede calcular la probabilidad de que, en un cierto intervalo de tiempo dado, un cierto

nivel de consumo ocurra. Asimismo, note que de la desigualdad de Jensen, se tiene que el

consumo esperado satisface

E[ct ] ¸ y 0 μ e E [±t]: (34)

15

6 .1 C o n su m o in e sp e ra d o

En esta secci¶on, se analiza una pol¶³tica de la forma:

¼ t =

(¼ 1 si 0 · t · T ;

¼ 2 si t > T ;

donde T es ex¶ogenamente determinado y ¼ 1 < ¼ 2 . Note que en el modelo estoc¶astico

existe falta de credibilidad a¶un cuando los par¶ametros permanecen constantes debido a que

los agentes siempre asignan alguna probabilidad al evento de devaluaci¶on de la moneda

dom¶estica. A continuaci¶on se analiza la respuesta de consumo debido a la pol¶³tica anterior.

A partir de (33) , se puede escribir

cT + ¢

cT=

μ 2

μ 1hT(¢; ¼ 1 ;¼ 2 );

donde hT(¢; ¼ 1 ;¼ 2 ) ´ expf ¡ (±T (¼ 1 ) ¡ ±T + ¢ (¼ 2 ) )g tiende a 1 cuando ¢ ! 0 c.s. (casi

seguramente) . El l¶³mite signi¯ca que aunque las componentes estacionarias de los par¶ame-

tros de ´ t y ²t son diferentes antes y despu¶es del tiempo T , tal diferencia es despreciable

cuando ¢ ! 0 . As¶³,

lim¢ ! 0

cT + ¢ = cTμ 2

μ 1c:s: (35)

Tambi¶en, se puede observar que μ 2 = μ 1 < 1 , junto con (35) , implica que cT > lim¢ ! 0 cT + ¢

c.s. , indicando un salto (auge) en el consumo al tiempo T . Si ¼ fuera constante para

siempre, i.e., si ¼ t = ¼ 2 para toda t ¸ 0, entonces se tendr¶³a

ct+ ¢ = cth t (¢; ¼ 2 ;¼ 2 ) : (36)

Por otro lado, a partir de (36) , el t¶ermino ht(¢; ¼ 2 ;¼ 2 ) ! 1 cuando ¢ ! 0 c.s. En

consecuencia, el consumo ser¶³a continuo c.s. para toda t. Si el plan de estabilizaci¶on es

temporal, entonces cT > lim¢ ! 0 cT + ¢ c.s. , indicando un salto en el consumo al tiempo T ,

como se mostr¶o antes. El an¶alisis anterior puede ser aplicado a los par¶ametros restantes,

a saber, ¼ ¶o ¸ .

6 .2 H o riz o n te s d e e sta b iliz a c i¶o n e sto c ¶a stic a

Sea T una variable aleatoria distribuida exponencialmente con par¶ametro T¡ 1. Supon-

ga que T es independiente de dB t, dN t y Y . Si se desprecia el t¶ermino o (μ ) en (32) y se

supone c0 = y 0 μ , entonces la tasa de crecimiento del consumo est¶a dada por

16

E[log(cT = c0 ) ] = E[E[log(cT = c0 )jT ] ] = [F (μ ) ¡ ¸ μ (1 ¡ μ ) ] T :

Si se aplica la desigualdad de Jensen en (34) el consumo tiene una cota inferior dada por

L B (ct) = c0 eE [±t]: La Gr¶a¯ca 2 muestra a L B (ct) en funci¶on de c0 y T . Las unidades de

c0 est¶an en t¶erminos de £ 101 1 a pesos (mexicanos) de 1993. Se puede ver que cuando c0y T aumentan, L B (ct) tambi¶en aumenta.

Gr¶a¯ca 2. L B (ct) en funci¶on de c0 y T .

7 . E je rc ic io d e sim u la c i¶o n

El siguiente experimento consiste en intentar simular a trav¶es del m¶etodo Monte Carlo

la respuesta del consumo a cambios en los valores de los par¶ametros que determinan las

expectativas de la tasa de devaluaci¶on. El Cuadro 1 presenta dos vectores con valores de los

par¶ametros ;(¼ j ;¾2j ;¸ j ); j = 1;2; que reproducen las tendencias del consumo observado

en M¶exico entre 1989 y 1994. 3 . Se supone tambi¶en que r = 0:0850 y y 0 = 1:849 £ 101 2

(pesos de 1993) . En este caso, se supone que · = 1 y º = 0:

3 S e to m a ro n cerca d e 8 0 0 co m b in a cio n es d e va lo res d e lo s p a r¶a m etro s.

17

μ 1 = 0:455 μ 2 = 0:444

¼ 1 = 0:192 ¼ 2 = 0:298

¾ 21 = 0:499 ¾ 22 = 0:409

¸ 1 = 0:010 ¸ 2 = 0:100

Cuadro 1. Valores de los par¶ametros (caso Mexicano) .

En la gr¶a¯ca 3 (a) se han simulado trayectorias de: el movimiento Browniano, el

movimiento geom¶etrico Browniano y el proceso de difusi¶on con saltos de Poisson y va-

lores extremos4 . En la gr¶a¯ca 3 (b) varias trayectorias simuladas son mostradas antes y

despu¶es del primer trimestre de 1993. En la gr¶a¯ca 4 (a) la l¶³nea punteada corresponde

a consumo observado. En la gr¶a¯ca 4 (b) la l¶³nea continua clara representa la tendencia

simulada del consumo con la componente de difusi¶on con saltos de Poisson. La gr¶a¯ca 4

(c) muestra una l¶³nea continua obscura que representa la tendencia simulada del consumo

con la componente de difusi¶on con saltos de Poisson con un tama~no de salto conducido

por la funci¶on de distribuci¶on del tipo de Fr¶echet. Finalmente, la gr¶a¯ca 4 (d) compara

la tendencia en 4 (b) y 4 (c) 5 . Note que, con los valores de los par¶ametros, la simulaci¶on

estoc¶astica que considera una distribuci¶on de valores extremos imita el orden de magnitud

del salto en el consumo observado en el primer trimestre de 1993; un salto de alrededor de

60 mil millones de pesos de 1993. El Cuadro 2 y la Gr¶a¯ca 5 repiten el mismo ejercicio

para el caso de Argentina 2001-20036 .

4 S e u tilizo u n so ftw a re esta d¶³stico d en o m in a d o \ X trem es" (R eiss y T h o m a s, 2 0 0 1 ) y la m eto d o lo g¶³a

d e R ip ley (1 9 8 7 ) p a ra la s sim u la cio n es p o r M o n te C a rlo .5 F u en te: In stitu to N a cio n a l d e E sta d¶³stica G eo g ra f¶³a e In fo rm ¶a tica , M ¶ex ico .6 F u en te: In stitu to N a cio n a l d e E sta d¶³stica y C en so s d e la R ep ¶u b lica d e A rg en tin a .

18

Gr¶a¯ca 3. (a) simulaci¶on de trayectorias del movimiento Browniano, movimiento

geom¶etrico Browniano, y procesos de difusi¶on con saltos de Poisson y valores extremos,

(b) simulaci¶on de varias trayectorias del consumo antes y despu¶es del primer

trimestre de 1993 (miles de millones de pesos de 1993) .

19

Gr¶a¯ca 4. Simulaci¶on de tendencias del consumo: (a) consumo observado,

(b) simulaci¶on de tendencia del consumo con la componente de difusi¶on y saltos

de Poisson, (c) simulaci¶on de la tendencia del consumo con la componente de

difusi¶on y saltos de poisson y valores extremos, (d) se compara

la tendencia en (b) y (c) (miles de millones de pesos de 1993) .

20

μ 1 = 0:532 μ 2 = 0:477

¼ 1 = 0:112 ¼ 2 = 0:154

¾ 21 = 0:390 ¾ 22 = 0:416

¸ 1 = 0:011 ¸ 2 = 0:053

Cuadro 2. Valores de los par¶ametros (el caso de Argentina) .

Gr¶a¯ca 5. (a) simulaci¶on de trayectorias de consumo, (b) simulaci¶on de tendencias.

La l¶³nea punteada corresponde al consumo observado en millones de pesos

(pesos Argentinos de 1993) .

8 . O p c i¶o n re a l d e p o sp o n e r e l c o n su m o

En esta secci¶on se caracteriza el precio de la opci¶on real de posponer el consumo como

la soluci¶on de una ecuaci¶on diferencial-integral. En primer lugar, observe que la ecuaci¶on

(7) puede ser reescrita como

dS t = Á S tdt + ¾ S tdB t + » S tdN t; (37)

donde

S t = 1= Q t; Á = ¡ ¼ + ¾ 2 ; y » = ¡ X ¡ ® :

Note que S t = 1= Q t es el precio del dinero en t¶erminos de bienes, es decir, el poder

adquisitivo de una unidad monetaria; un activo no negociado. A partir de la de¯nici¶on de

21

Z dada en (2) , se tiene

» =1

1 + Z¡ 1:

As¶³, de (37) , la tasa de rendimiento estoc¶astica de saldos reales, dR m = dS t= S t, puede ser

escrita como

dR m = Á dt + ¾ dB t + »dN t: (38)

Si V (S t;t) denota el valor de la opci¶on real de espera cuando el consumo se pospone y se

utiliza el lema de Ito, se tiene

dV =

μ@ V

@ t+@ V

@ S tÁ S t +

12

@ 2 V

@ S 2t¾ 2 S 2t

¶dt +

@ V

@ S t¾ S tdB t + [V (S t(» + 1) ;t) ¡ V (S t;t) ] dN t

¶o

dV = ÁVV dt + ¾

VV dB t + »V V dN t; (39)

donde

ÁV=1

V

μ@ V

@ t+@ V

@ S tÁ S t +

12

@ 2 V

@ S 2t¾ 2 S 2t

¶;

¾V=1

V

@ V

@ S t¾ S t

y

»V=1

V[V (S t(» + 1);t) ¡ V (S t;t) ] :

En este caso, la restricci¶on presupuestal del consumidor, en t¶erminos del portafolio μ 1 t =

m t= y t , μ 2 t = V t= y t; 1 ¡ μ 1 t ¡ μ 2 t = bt= y t, y consumo, ct, est¶a dada por

dy t = y tμ 1 tdR m + y tμ 2 tdR V+ y t(1 ¡ μ 1 t ¡ μ 2 t)rdt ¡ ctdt;

con y 0 ex¶ogenamente determinado. Evidentemente, dR V= dV = V . As¶³, si se sustituyen

(38) y (39) en la expresi¶on anterior, la restricci¶on presupuestal puede ser reescrita como

dy t = y t

h(r + (° ¡ r ) μ 1 t + (Á V ¡ r ) μ 2 t)dt+ (μ 1 t¾ + μ 2 t¾ V )dB t + (μ 1 t» + μ 2 t»V )dN t

i; (40)

donde ° = ¾ 2 ¡ ¼ ¡ ½ = Á ¡ ½ . La ecuaci¶on de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problemadel control ¶optimo estoc¶astico que maximiza la utilidad, con log(ct) = log(½ y tμ 1 t) , est¶a

22

dada por

maxμ 1t;μ 2t

H (μ t ; y t;t) ´ maxμ 1t;μ 2t

(log(½ y tμ 1 t)e

¡ r t + Iy (y t;t)y t[r + (° ¡ r ) μ 1 t + (Á V ¡ r ) μ 2 t ]

+ It(y t;t) +12 Iy y (y t;t) y

2t (μ 1 t¾ + μ 2 t¾ V )

2

+ ¸ E»

hI³y t(μ 1 t» + μ 2 t»V + 1) ;t

´¡ I (y t;t)

i)= 0;

(41)

donde

I (y t;t) = E

"Z T

t

log(cs ) e¡ r sds

¯F

B

t

#:

Las condiciones de primer orden son:

@ H

@ μ 1 t= 0 y

@ H

@ μ 2 t= 0:

Se postula I (y t;t) en forma separable (multiplicativamente) , es decir,

I (y t;t) = e¡ r t[¯ 1 log(y t) + ¯ 0 ] ;

donde ¯ 0 y ¯ 1 son determinados de (41) . Si se sustituye el candidato anterior en (41) , se

obtiene

maxμ 1t;μ 2t

H (μ 1 t;μ 2 t ; y t;t) ´ maxμ 1t;μ 2t

(log(½ y tμ 1 t) + ¯ 1 [r + (° ¡ r )μ 1 t + (Á V ¡ r ) μ 2 t ]

¡ r [¯ 1 log(y t) + ¯ 0 ]

¡ 12 ¯ 1 (μ 1 t¾ + μ 2 t¾ V )

2

+ ¸ ¯ 1E» [log(μ 1 t» + μ 2 t»V + 1) ]

)= 0:

Si se calculan ahora las condiciones de primer orden, se encuentra que los valores ¶optimos

de μ 1 t y μ 2 t satisfacen

1

¯ 1 μ 1 t+ E»

·¸ »

μ 1 t» + μ 2 t»V + 1

¸+ ° ¡ r = (μ 1 t¾ + μ 2 t¾ V )¾

y

E»

·¸ »

V

μ 1 t» + μ 2 t»V + 1

¸+ Á

V¡ r = (μ 1 t¾ + μ 2 t¾ V )¾ V :

23

Hasta ahora no se ha hecho alg¶un supuesto sobre los valores de los par¶ametros. De ahora

en adelante, sin p¶erdida de generalidad, se supone que ° = Á ¡ r , esto es r = ½ . Si paravaluar la opci¶on se supone una soluci¶on de esquina, μ 1 t = 1 y μ 2 t = 0, se tiene que

1

¯ 1+ ¸ E»

·»

» + 1

¸+ ° ¡ r = ¾ 2 (42)

y

¸ E»

·»V

» + 1

¸+ Á

V¡ r = ¾ ¾

V(43) :

En este caso, se puede mostrar que ¯ 1 = r ¡ 1 . Despu¶es de algunos c¶alculos simples, se

tiene que las condiciones (42) y (43) conducen a

Á = r + ¾ 2 ¡ ¸ E»·»

» + 1; (44)

y

¸ E»

·»V

» + 1

¸+ Á

V¡ r = ¾ ¾

V: (45)

De (45) se sigue que

¸ E»

·V (S t(» + 1);t) ¡ V (S t;t)

» + 1

¸+

μ@ V

@ t+@ V

@ S tÁ S t +

12

@ 2 V

@ S 2t¾ 2 S 2t

¶¡ r V = @ V

@ S t¾ 2 S t:

Si ahora se sustituye (44) en la ecuaci¶on anterior, se tiene

¸ E»

24V (S t(» + 1);t) ¡ V (S t;t) ¡ » S t @ V@ S t» + 1

35+ @ V@ t+@ V

@ S tr S t +

12

@ 2 V

@ S 2t¾ 2 S 2t ¡ r V = 0: (46)

Se supone que las condiciones de frontera son de la forma V (0;t) = 0 y V (S t;t) = max(S t ¡K ;0) donde K es el precio de ejercicio de la opci¶on real (de posponer el consumo hasta el

\¶ultimo minuto" = T ) . Note que el valor esperado anterior

E»

·V (S t(1 + » );t) ¡ ¸ V (S t;t)

» + 1

¸=

Z 1

¡ 1

V (S t(1 + » );t) ¡ ¸ V (S t;t)» + 1

f » (» )d» ;

donde f » (¢) es la funci¶on de densidad de » produce en (46) una ecuaci¶on diferencial-integral.Observe que si » es constante en (46) , rede¯niendo ¸ como ¸ = (»+1) , se obtiene la f¶ormula de

Merton(1976) . Por ¶ultimo, observe que cuando » = 0 ¶o ¸ = 0, la ecuaci¶on (46) se reduce a

24

la ecuaci¶on diferencial parcial parab¶olica de segundo orden de Black-Scholes (1973) . Ahora

bien, note que si se escribe

³ =

μy ¡ º·

¶¡ ®;

entonces

E

·»

» + 1

¸=E

·X ¡ ®

X ¡ ® ¡ 1

¸=

Z 1

0

[(y ¡ º )= · ] ¡ ®

[(y ¡ º ) = · ] ¡ ® ¡ 1 f Y (y )dy

=

Z 1

0

³

³ ¡ 1 e¡ ³ d³

= ¡ e¡(¡ 1;1) ;donde ¡(¡ 1;1) = ¡ ¡(0;1) + e ¡ 1 . Se puede mostrar que ¡(0;1) ¼ 2= 9 (de hecho, ¡(0;1) =0:219383934:::) . De aqu¶³ que la ecuaci¶on (46) se pueda escribir como

¸ E»

·V (S t(1 + » );t) ¡ V (S t;t)

» + 1

¸+@ V

@ t+ 1

2 ¾2 S 2t

@ 2 V

@ S 2t+£r + ¸ ( 29 ¡ 1)

¤S t@ V

@ S t¡ r V = 0:

Una posibilidad para determinar V (S t;t) consiste en de¯nir una sucesi¶on de variables

aleatorias Y n con la distribuci¶on del producto de n variables aleatorias independientes e

id¶enticamente distribuidas » + 1 con Y 0 = 1. Es decir, si f »n g n 2 IN es una sucesi¶on de

variables aleatorias independientes e id¶enticamente distribuidas, se de¯ne

Y 0 = 1

Y 1 = »1 + 1

Y 2 = (»1 + 1)(»2 + 1)

...

Y n =

nYk = 1

(»k + 1)

...

En este caso, la soluci¶on de la ecuaci¶on (46) con condiciones de frontera

V (0;t) = 0; y V (S t;0) = max(S t ¡ K ;0);

est¶a dada por

V (S t;t) =

1Xn = 0

E»EY n

·e ¡ ¸ (T ¡ t)= (» + 1 )[¸ (T ¡ t) = (» + 1) ] n

n !VB S(S tY n e

¡ ¸ E » [» = (» + 1 )](T ¡ t);t) ;

(47)

25

donde » es independiente de f »n g n 2 IN y V B S (¢;¢) es la soluci¶on de Black-Scholes. En efecto,considere

V (S t;t) =

1Xn = 0

E»EY n[P n ;t V

(n )B S

] ; (48)

donde

P n ;t =e ¡ ¸ (T ¡ t)= (» + 1 )[¸ (T ¡ t)= (» + 1) ] n

n !;

U n ;t = Y n e¡ ¸ E » [» = (» + 1 )](T ¡ t)

y

V (n )B S

= V B S (S tU n ;t;t) :

En lo que sigue, se supone que

D n ;t = S tU n ;t:

En tal caso,

@ V

@ S t=

1Xn = 0

E»EY n

"P n ;t U n ;t

@ V (n )B S

@ D n ;t

#; (49)

@ 2 V

@ S 2t=

1Xn = 0

E»EY n

"P n ;t U

2n ;t

@ 2 V (n )B S

@ D 2n ;t

#(50)

y

@ V

@ t=¸ E» [» = (» + 1) ]

1Xn = 0

E»EY n

"P n ;t D n ;t

@ V (n )B S

@ D n ;t

#

+

1Xn = 0

E»EY n

"P n ;t

@ V (n )B S

@ t

#

+ ¸

1Xn = 0

E»EY n

"P n ;t V

(n )B S

» + 1

#

¡ ¸1Xn = 1

E»EY n

"e ¡ ¸ (T ¡ t)= (» + 1 )[¸ (T ¡ t)= (» + 1) ] n ¡ 1

(n ¡ 1) !

ÃV (n )B S

» + 1

!#:

(51)

En consecuencia, a partir de (49) , (50) y (51) , se obtiene

@ V

@ t=¸ E» [» = (» + 1) ] S t

@ V

@ S t+

1Xn = 0

E»EY n

"P n ;t

@ V (n )B S

@ t

#+ ¸ E»

·V (S t;t)

» + 1

¸

¡ ¸1Xm = 0

E»EY m + 1

"e ¡ ¸ (T ¡ t)= (» + 1 )[¸ (T ¡ t) = (» + 1) ] m

m !

ÃV (m + 1 )B S

» + 1

! #:

(52)

26

Observe que el ¶ultimo t¶ermino en la ecuaci¶on anterior se puede reescribir como

E»

·V ((» + 1)S t;t)

» + 1

¸=

1Xn = 0

E»EY n

"P n ;t

V (n )B S(D n ;t(1 + » ) ;t)

» + 1

#

=

1Xn = 0

E»EY n + 1

"P n ;t

V (n + 1 )B S

(D n + 1 ;t;t)

» + 1

# (53)

ya que D n + 1 ;t y D n ;t(1 + » ) son variables aleatorias independientes e id¶enticamente dis-

tribuidas. Por lo tanto, la ecuaci¶on (52) puede ser reescrita como

@ V

@ t=

1Xn = 0

E»EY n

"P n ;t

@ V (n )B S

@ t

#¡ ¸ E»

24V (S t(» + 1) ;t) ¡ V (S t;t) ¡ » S t @ V@ S t» + 1

35: (54)

De (49) , (50) y (54) , se sigue que

@ V

@ t+ 1

2 ¾2 S 2t

@ 2 V

@ S 2t+ r S t

@ V

@ S t¡ r V

=

1Xn = 0

P n ;tE»EY n

"@ V (n )

B S

@ t+ 1

2 ¾2 D 2

n ;t

@ 2 V (n )B S

@ D 2n ;t

+ r D n ;t@ V (n )

B S

@ D n ;t¡ r V (n )

B S

#

¡ ¸ E»

24V (S t(» + 1);t) ¡ V (S t;t) ¡ » S t @ V@ S t» + 1

35:(55)

Debido a que la ecuaci¶on

@ V (n )B S

@ t+ 1

2 ¾2 D 2

n ;t

@ 2 V (n )B S

@ D 2n ;t

+ r D n ;t@ V (n )

B S

@ D n ;t¡ r V (n )

B S= 0

se cumple para toda n 2 IN [ f0g , se deduce, inmediatamente, que (47) es soluci¶on de (46) .

Con el ob jeto de obtener aproximaciones num¶ericas de (47) , la cantidad dentro de la

esperanza matem¶atica en (49) dada por

M»;Y n

=

1 0 0 0Xn = 0

e ¡ ¸ (T ¡ t)= (» + 1 )[¸ (T ¡ t)= (» + 1) ] n

n !V (n )B S

(56)

es simulada usando el software estad¶³stico \Xtremes" (Reiss y Thomas, 2001) y la meto-

dolog¶³a de Ripley (1987) para las simulaciones Monte Carlo. Posteriormente, se calcula el

promedio 10,000 valores simulados de M»;Y n

para obtener, con un valor particular de ¸ ,

27

una soluci¶on aproximada de la opci¶on real de posponer el consumo. Para ello, en primer

lugar se consideran los siguientes valores de los par¶ametros en el cuadro 3 para calcular el

precio de referencia de Black-Scholes V (0 )B S.

Par¶ametros del precio Black-Scholes para valuar la opci¶on real

S t K r ¾ T ¡ t V (0 )B S

42.00 41.00 0.11 0.13 0.25 2.436

Cuadro 3. Valores de los par¶ametros del precio de referencia de Black-Scholes.

En el cuadro anterior la variable S t representa el poder adquisitivo de una unidad mo-

netaria, el par¶ametro K es el precio de ejercicio de posponer el consumo hasta el ¶ultimo

minuto, r es la tasa de inter¶es, y T ¡ t es el plazo. El Cuadro 4 muestra las aproximacionesnum¶ericas del precio de la opci¶on real llevando a cabo simulaciones Monte Carlo para

diferentes valores de ¸ con E» [» = (» + 1) ] = ¡ e¡(¡ 1;1) . Se supone que, para propositos desimulaci¶on, » sigue una distribuci¶on del tipo de Fr¶echet con media 0.01 y varianza 0.001 .

Las unidades de S t y K est¶an en pesos mexicanos de 1993.

Precio de la opci¶on real

E» [» = (» + 1) ] = ¡ e¡(¡ 1;1)¸ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

V (S t;t) 2.646 2.673 2.698 2.726 2.742

(C o n t.)

¸ 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

V (S t;t) 2.845 2.865 2.898 3.012 3.081

Cuadro 4. Simulaci¶on del valor de la opci¶on real.

Se puede concluir, del cuadro anterior, que el precio de la opci¶on real de posponer el

consumo aumenta cuando el n¶umero promedio de saltos de Poisson por unidad de tiempo

se incrementa debido a un aumento en ¸ , lo cual aumenta el costo de oportunidad para

comprar bienes en el futuro.

9 . C o n c lu sio n e s

Se ha desarrollado un modelo estoc¶astico de estabilizaci¶on in°acionaria bajo el supues-

to de que la credibilidad sobre sus alcances y duraci¶on es imperfecta. Una caracter¶³stica

importante de esta formulaci¶on es que existe falta de credibilidad a¶un si los valores de

28

los par¶ametros del proceso estoc¶astico que conduce la tasa de devaluaci¶on permanecen

constantes, ya que los agentes siempre asignan una probabilidad positiva el evento de de-

valuaci¶on. Al emplear una funci¶on de utilidad de tipo logar¶³tmico se obtuvieron soluciones

cerradas que permitieron analizar las implicaciones de una din¶amica de devaluaciones ex-

tremas. Estas soluciones expl¶³citas, aunque sencillas, tambi¶en permitieron un an¶alisis de

importancia medular para explicar las consecuencias de aquellos planes de estabilizaci¶on

que se espera que sean temporales.

Es importante destacar que el hecho de combinar un movimiento Browniano con un

proceso Poisson con el tama~no del salto conducido por una distribuci¶on de valor extremo

aporta nuevos elementos para llevar a cabo experimentos de simulaci¶on e investigaci¶on

emp¶³rica sobre diversos hechos estilizados registrados en estabilizaciones temporales.

Otro resultado relevante de este trabajo de investigaci¶on es una expresi¶on anal¶³tica

para el precio de la opci¶on real de posponer el consumo en v¶³speras de que el programa

anti-in°acionario sea abandonado. Y aunque los resultados obtenidos dependen, en gran

medida, de la funci¶on de utilidad logar¶³tmica, la cual es un caso l¶³mite de la familia de

funciones de utilidad con coe¯ciente constante de aversi¶on al riesgo, el precio de la opci¶on

real de posponer el consumo es independiente de las preferencias del agente.

Falta, por supuesto, extender el modelo para incluir bienes durables, lo cual propor-

cionar¶a supuestos m¶as realistas. Esta extensi¶on dar¶a lugar a din¶amicas m¶as complejas de

analizar, pero los resultados ser¶an todav¶³a m¶as acordes con lo que se observa en la realidad.

R e fe re n c ia s

B la ck , F . a n d M . S ch o les (1 9 7 3 ). T h e p ricin g o f o p tio n s a n d co rp o ra te lia b ilities. T h e J o u rn a l o f P o litica l

E co n o m y, 8 1 (3 ), p p . 6 3 7 -6 5 4 .

C a lv o , G . A . a n d A . D ra zen (1 9 9 7 ). U n certa in d u ra tio n o f refo rm : D y n a m ic im p lica tio n s. W o rk in g p a p er

n o . 5 9 2 5 (N a tio n a l B u rea u o f E co n o m ic R esea rch ).

D ix it, A . K , a n d R . S . P in d y ck . (1 9 9 4 ). In v estm en t u n d er u n certa in ty. P rin ceto n (U n iv ersity P ress,

P rin ceto n N J ).

D ra zen , A a n d E . H elp m a n (1 9 8 8 ). S ta b iliza tio n w ith ex ch a n g e ra te m a n a g em en t u n d er u n certa in ty, in :

E . H elp m a n , A . R a zin , a n d E . S a d ka , ed s., E co n o m ic e® ects o f th e g ov ern m en t b u d g et (M IT P ress,

C a m b rid g e, M A ).

H elp m a n , E . a n d A . R a zin (1 9 8 7 ). E x ch a n g e ra te m a n a g em en t: in tertem p o ra l tra d e-o ® s. A m erica n

E co n o m ic R eview , 7 7 (1 ), p p . 1 0 7 -1 2 3 .

29

H en d erso n , V ., a n d D . G . H o b so n (2 0 0 2 ). R ea l o p tio n s w ith co n sta n t rela tiv e risk av ersio n . J o u rn a l o f

E co n o m ic D yn a m ics a n d C o n tro l, 2 7 (2 ), p p . 3 2 9 -3 5 5 .

K ig u el, M . a n d N . L iv ia ta n (1 9 9 2 ). T h e b u sin ess cy cle a sso cia ted w ith ex ch a n g e-ra te-b a sed sta b iliza tio n .

T h e W o rld B a n k E co n o m ic R eview . 6 , p p . 2 7 9 -3 0 5 .

M erto n , R . C . (1 9 7 6 ). O p tio n p ricin g w h en u n d erly in g sto ck retu rn s a re d isco n tin u o u s. J o u rn a l o f

F in a n cia l E co n o m ics, 3 (1 -2 ), p p . 1 2 5 -1 4 4 .

R eiss, R . D ., a n d M . T h o m a s (2 0 0 1 ). S ta tistica l a n a ly sis o f ex trem e va lu es. S eco n d ed itio n (B irk h Äa u ser-

V erla g , B a sel, S w itzerla n d ).

R ip ley, B . D . (1 9 8 7 ). S to ch a stic S im u la tio n (W iley, N ew Y o rk ).

S ch w a rtz, E . S . a n d L . T rig eo rg is (2 0 0 1 ), R ea l o p tio n s a n d in v estm en t u n d er u n certa in ty . T h e M IT P ress

C a m b rid g e, M a ssa ch u setts L o n d o n , E n g la n d .

S tro b el, F . (2 0 0 5 ). M o n eta ry in teg ra tio n a n d in ° a tio n p referen ces: a rea l o p tio n s a n a ly sis. E u ro pea n

E co n o m ic R eview , 4 9 (4 ), p p . 8 4 5 -8 6 0 .

V en eg a s-M a rt¶³n ez, F . (2 0 0 1 ). T em p o ra ry sta b iliza tio n : a sto ch a stic a n a ly sis, J o u rn a l o f E co n o m ic D y-

n a m ics a n d C o n tro l, 2 5 (9 ), p p . 1 4 2 9 -1 4 4 9 .

V en eg a s-M a rt¶³n ez, F . (2 0 0 5 ). B ay esia n in feren ce, p rio r in fo rm a tio n o n v o la tility, a n d o p tio n p ricin g : a

m a x im u m en tro p y a p p ro a ch . In tern a tio n a l J o u rn a l o f T h eo retica l a n d A p p lied F in a n ce, 8 (1 ), p p .

1 -1 2 .

V en eg a s-M a rt¶³n ez, F . (2 0 0 6 a ). S to ch a stic tem p o ra ry sta b iliza tio n : u n d iv ersi a b le d eva lu a tio n a n d in co m e

risk s. E co n o m ic M od ellin g, 2 3 (1 ), p p . 1 5 7 -1 7 3 .

V en eg a s-M a rt¶³n ez, F . (2 0 0 6 b ). F isca l P o licy in a S to ch a stic T em p o ra ry S ta b iliza tio n M o d el: U n d iv ersi -

a b le d eva lu a tio n R isk . J o u rn a l o f W o rld E co n o m ic R eview , 1 (1 ), p p . 1 3 -3 8 .

V en eg a s-M a rt¶³n ez, F . (2 0 0 6 c). R iesg o s F in a n ciero s y E co n ¶o m ico s (P ro d u cto s D eriva d o s y D ecisio n es

E co n ¶o m ica s b a jo In certid u m b re). 1 a . ed ici¶o n . In tern a tio n a l T h o m so n E d ito rs.

30