Estadıstica IIEjercicios Tema 2

1. Una empresa farmaceutica esta preocupada por controlar el nivel de impurezas en uno de susproductos; su objetivo es que la concentracion de las impurezas no supere el 3%. Se sabe que paraun lote del producto la concentracion de las impurezas sigue una distribucion normal con desviaciontıpica de 0.4%. Se ha seleccionado una muestra aleatoria de un lote del tamano 64, y se ha obtenidoque la concentracion promedio de las impurezas en la muestra era de 3.07%.

(a) Contraste a un nivel del 5% que la media de impurezas en la poblacion es igual al 3%, frentea la alternativa de que sea mayor del 3%.

(b) Encuentre el menor nivel de significacion para el que se pueda rechazar la hipotesis nula.

(c) Supongamos que la hipotesis alternativa fuese bilateral en vez de unilateral. Indique, sin llevara cabo nuevos calculos, si el p-valor del contraste serıa superior o inferior al obtenido en 1b.Dibuje un grafico que ilustre sus argumentos.

(d) En el contexto de este problema, explique porque una hipotesis alternativa unilateral puedeser mas apropiada que una hipotesis bilateral.

2. Un profesor de Estadıstica esta interesado en contrastar la capacidad de los estudiantes para deter-minar la dificultad de un examen una vez que lo han completado. Un numero elevado de estudianteshan realizado un examen, con una nota promedio de 78.5. Se pide a una muestra aleatoria de ochoestudiantes que predigan esta nota media, obteniendo los valores siguientes:

72 83 78 65 69 77 81 71

Suponemos que la distribucion de estas predicciones es normal.

(a) Contraste la hipotesis nula de que la media de las predicciones en la poblacion serıa 78.5.Utilice una alternativa bilateral y un nivel de significacion del 10%.

(b) Si se hubieran obtenido los mismos valores (media y desviacion tıpica) de una muestra aleatoriade dieciseis estudiantes, ¿serıa la conclusion del contraste diferente de la obtenida en 2a?

(c) Si llevar a cabo ningun nuevo calculo y sobre la base de la respuesta a 2a, decida si un intervalode confianza al 90% para la media de la poblacion incluirıa el valor 78.5 o no. ¿Y en el casode un intervalo de confianza para la media al 95%?

3. El alcalde de una ciudad cree que en una barriada especialmente deprimida al menos el 20% detodos los varones entre 18 y 65 anos de edad estan en paro. Una muestra aleatoria de 120 hombresde esta poblacion incluyo a veinte desempleados.

(a) Contraste la creencia del alcalde a un nivel de significacion del 5%.

(b) Calcule la potencia de dicho contraste.

(c) Construya una grafica de la curva obtenida en 3b usando Excel.

(d) A partir del grafico obtenido en 3c, ¿para que valores de p es la potencia del contraste mayoro igual que 0.8 (aproximadamente)? Para estos valores de p, ¿cual es una cota superior parala probabilidad de un error de Tipo II?

(e) ¿Cual serıa una cota superior para la potencia cuando p ≥ 0.2?

4. Una posible manera de evaluar la eficiencia de un profesor consiste en examinar las puntuacionesobtenidas por sus alumnos en el examen final. El valor medio de estas notas es por supuestorelevante, pero tambien lo es la varianza: algunos profesores trabajan muy bien con los estudiantesmas brillantes, pero pueden obtener peores resultados con estudiantes menos brillantes o menosmotivados. Para aplicar este procedimiento, el coordinador de la asignatura fija un examen estandarpara todos los grupos de la misma. Este experimento se ha llevado a cabo durante varios anos enuna cierta asignatura, y la varianza observada ha estado tıpicamente proxima a 300. Un nuevo

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profesor imparte un grupo con treinta estudiantes, y en el examen final estos estudiantes hanobtenido calificaciones con una cuasi varianza muestral de 480. Consideraremos las notas de estosestudiantes como una muestra aleatoria simple de una poblacion normal.

(a) Para un nivel de significacion del 5%, contraste la hipotesis nula de que la varianza de lapoblacion de todas las calificaciones es 300, frente a una alternativa bilateral.

(b) Basandose en la respuesta a 4a, indique si un intervalo de confianza al 95% para la varianzade la poblacion contendrıa el valor 300.

(c) Calcule la potencia del contraste.

(d) Dibuje la funcion de potencia para 4c en Excel.

(e) A partir de la grafica en 4d, ¿cual es la probabilidad de un error de Tipo II para σ2 = 500(aproximadamente)?

5. Indique cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

(a) El nivel de significacion de un test es la probabilidad de que la hipotesis nula sea falsa.

(b) Un error de Tipo I se produce cuando una hipotesis nula verdadera es rechazada.

(c) Una hipotesis nula se rechaza al nivel de 0.025, pero se acepta al nivel 0.01. Esto quiere decirque el p-valor del contraste esta entre 0.01 y 0.025.

(d) La potencia de un contraste es la probabilidad de aceptar la hipotesis nula cuando es verdadera.

(e) Si se rechaza una hipotesis nula frente a su alternativa al nivel del 5%, con los mismos datosse deberıa rechazar tambien frente a esa alternativa al nivel del 1%.

(f) Si se rechaza una hipotesis nula frente a su alternativa al nivel del 1%, con los mismos datosse deberıa rechazar tambien frente a esa alternativa al nivel del 5%.

(g) El p-valor de un contraste es la probabilidad de que la hipotesis nula sea verdadera.

6. Una companıa de seguros paga a sus agentes mediante comisiones. Asegura que en su primer anolos agentes obtendran unas comisiones de 40000 euros en promedio, y que la desviacion tıpica dela poblacion es menor o igual a 6000 euros. Para una muestra aleatoria simple de nueve agentes sehan obtenido los valores siguientes, correspondientes a comisiones en su primer ano,

9∑i=1

xi = 333 y

9∑i=1

(xi − x)2 = 312,

donde xi esta medida en miles de euros y la distribucion de la poblacion se supone normal.

(a) Contraste a un nivel del 5% la hipotesis nula de que la media de la poblacion es al menos de40000 euros (utilice el p-valor).

(b) Contraste a un nivel del 10% la hipotesis nula de que la desviacion tıpica de la poblacion escomo maximo de 6000 euros (utilice el p-valor).

7. Un fabricante asegura que un aerogenerador en una localizacion concreta puede generar en promedioal menos 800 kWh de energıa por dıa. Se supone que la generacion de energıa diaria del aerogen-erador sigue una distribucion normal con desviacion tıpica igual a 120 kWh. Se recogen datos deuna muestra aleatoria de 100 dıas para contrastar esta afirmacion frente a la alternativa de que lamedia es inferior a 800 kW. Se acepta la afirmacion si la media muestral es 776 kWh o mas, y serechaza en otro caso.

(a) ¿Cual es la probabilidad α de un error de Tipo I aplicando la regla de decision anterior si lamedia de la poblacion es realmente igual a 800 kWh por dıa?

(b) ¿Cual es la probabilidad β de un error de Tipo II aplicando esta regla de decision si la mediade la poblacion es realmente de 740 kWh por dıa?

(c) Supongamos que se aplica la misma regla de decision, pero a una muestra de 200 dıas en lugarde 100 dıas.

i. ¿Serıa el nuevo valor de α mayor, menor o igual que el obtenido en 7a?

ii. ¿Serıa el valor de β mayor, menor o igual que el obtenido en 7b?

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Supongamos ahora que se trabaja con una muestra de 100 observaciones, pero la regla de decisionse modifica para aceptar la afirmacion siempre que la media de la muestra sea al menos igual a 765kWh.

(d) Para esta nueva regla de decision:

i. ¿Serıa el valor de α mayor, menor o igual que el obtenido en 7a?

ii. ¿Serıa el valor de β mayor, menor o igual que el obtenido en 7b?

8. Queremos contrastar la hipotesis nula de que una proporcion en una poblacion es igual a 0.5 frentea una alternativa bilateral. Una complicacion en estos casos es que para un nivel de significaciondado, cuanto mayor es el numero de observaciones en la muestra, mas probable es que se rechace lahipotesis nula. ¿Por que es esto cierto, y en que sentido puede plantear esta situacion un problemapara un profesional que quiera aplicar tecnicas de contraste de hipotesis en estos casos?

9. Consideremos la poblacion de todos los residentes en Getafe. Estamos interesados en estudiar elgasto semanal de estos residentes en pan, cantidad que suponemos sigue una distribucion normal.Para una muestra aleatoria simple de diez residentes se obtuvieron los siguientes valores de gasto(en euros):

4.6 4.2 5.1 3.8 4.4 4.5 3.8 3.1 5.0 4.0

que podemos resumir en las cantidades siguientes:

n∑i=1

xi = 42.5 y

n∑i=1

x2i = 183.91.

(a) Utilice un intervalo de confianza para contrastar la hipotesis nula de que la varianza de lapoblacion σ2 es igual a 2, frente a la alternativa bilateral, a un nivel de significacion del 5%.

(b) Estudiamos ahora otro parametro de la misma poblacion, la proporcion de residentes en Getafeque gastan una cantidad igual o menor a 4 euros en pan a la semana, p. Deseamos llevar acabo un contraste unilateral, H0 : p ≥ 0.75, a un nivel del 5%. Para ello, como necesitamosuna muestra mayor, recogemos informacion de otras 25 personas, que combinada con los datosanteriores nos proporciona la muestra siguiente:

4.6 4.2 5.1 3.8 4.4 4.5 3.8 3.1 5.0 4.03.0 4.6 3.3 3.5 4.4 4.2 4.2 3.4 3.8 4.04.1 4.5 4.4 2.3 3.7 4.4 4.4 4.1 3.5 3.63.5 3.8 4.2 4.4 4.0

Estime la proporcion de residentes en Getafe que no gastan mas de 4 euros en pan a la semana,y lleve a cabo el contraste indicado.

10. Los datos que se indican a continuacion representan los tiempos de desplazamiento al trabajo (enminutos) para una muestra aleatoria simple de 15 personas que trabajan en una planta industrial:

21.7 26.8 33.1 27.9 23.5 39.0 28.0 24.7 28.4 28.9 30.0 33.6 33.3 34.1 35.1

Suponemos que los tiempos de desplazamiento siguen una distribucion normal. Hemos llevado acabo un contraste unilateral para una muestra en Excel a un nivel del 5%, con el objeto de contrastarsi la media de la poblacion supera los 28 minutos

Describa formalmente el contraste a llevar a cabo. A partir de los resultados mostrados, ¿se rec-hazarıa la hipotesis nula? ¿Cual serıa su conclusion? (Nota: Excel no incluye una funcion parallevar a cabo un contraste sobre una muestra, por lo que hemos realizado un contraste para dosmuestras como muestras emparejadas, donde la primera muestra corresponde a los valores de losque disponemos, y la segunda muestra esta formada por n repeticiones de µ0).

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11. A continuacion se muestra una salida de Excel, correspondiente a los datos del problema 9b. Inter-prete sus contenidos, e indique como explicarıa a un companero suyo la manera de llevar a cabo elcontraste del problema 9b en Excel. Sugerencia: emplee un contraste para muestras emparejadas.

12. Deseamos llevar a cabo el contraste de hipotesis siguiente: H0 : µ = −10 vs. H1 : µ 6= −10. Se haobtenido una muestra aleatoria simple con 700 observaciones, y un valor (estandarizado) para el

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estadıstico del contraste igual a −1.96. El p-valor asociado a este contraste es:

(a) 0.025 (b) 0.05 (c) 1.96 (d) Ninguno de los anteriores.

13. Se quiere verificar si un dado esta equilibrado. Para ello, se decide llevar a cabo el siguienteexperimento: se tira el dado tres veces y se concluye que el dado esta cargado si la suma de las trestiradas es menor que 5.

(a) Defina las hipotesis nula y alternativa para este contraste.

(b) Defina la region crıtica del contraste en funcion de los resultados de las tres tiradas.

(c) Determine el nivel de significacion del contraste.

(d) De una expresion para la potencia de este contraste en funcion de las probabilidades de cadauno de los valores (pi, i = 1, . . . , 6, donde pi = P (X = i) con X = “el resultado de unatirada”).

(e) Determine la probabilidad de un error de Tipo II si p1 = 1/2 y todas las demas probabilidadesfueran iguales a 1/10.

14. Se ha observado que un cierto procedimiento de respuesta automatica desarrollado para actuarcuando se detectan problemas de calidad (emergencias) en una linea de produccion da lugar a res-puestas inadecuadas en ciertos casos. Se desea determinar si el procedimiento ha de ser modificado,ya que en general ha funcionado adecuadamente. Se ha seleccionado una medida de calidad parautilizar como referencia en esta decision. Se supone que la medida sigue una distribucion normalcon varianza igual a 1. Esta referencia se ha observado en n = 25 emergencias, obteniendo un valorpromedio muestral de 15.4. Si el valor promedio para el proceso (en ausencia de emergencias) es15, responda a las preguntas siguientes:

(a) ¿Se dispone de evidencia suficiente para concluir que el procedimiento de respuesta aumentael valor promedio de la medida de referencia, a un nivel α = 0.05?

(b) La cuasi desviacion tıpica muestral para las 25 observaciones fue 1.2. ¿Implica este valor quela varianza de la poblacion ha aumentado con el procedimiento? Lleve a cabo este contrastepara un nivel de confianza del 10%.

(c) ¿Obtendrıa las mismas conclusiones si los contrastes anteriores fueran llevados a cabo a unnivel del 1%?

15. Dentro de una encuesta sobre la duracion del empleo en un cierto sector economico, se ha recogidoinformacion de una muestra de 86 empleados (una vez que abandonaron el sector). Estos datosestan disponibles en el fichero “datos ej2.xlsx”, medidos en anos y meses de duracion de los empleos.

Utilice Excel para responder a las preguntas siguientes:

(a) ¿Es razonable suponer que estos datos siguen una distribucion normal? ¿Por que?

(b) ¿Proporciona la informacion en la muestra suficiente evidencia para aceptar la afirmacion (aun nivel del 5%) de que la media del tiempo que se permanece empleado en este sector esinferior a cinco anos y medio?

16. Para mejorar las habilidades de sus vendedores y las ventas de la empresa, una companıa estaconsiderando la posibilidad de ofrecerles cursos de formacion en “Tecnicas de Venta”. Como estaformacion es cara, se ha seleccionado un grupo de nueve vendedores al azar para participar enuna version de prueba del programa de formacion. Una vez completado el curso, y empleandolas tecnicas aprendidas en el curso, los nueve empleados consiguieron una media de 115 unidadesvendidas en un cierto periodo de tiempo.

El objetivo de la empresa es que sus vendedores realicen unas ventas en promedio superiores a 100unidades en ese periodo de tiempo. Suponemos que la variable de interes sigue una distribucionnormal con una desviacion tıpica de 20 unidades.

(a) A un nivel de significacion del 5%, contraste la eficacia del curso definiendo la region crıticadel correspondiente contraste de hipotesis.

(b) Obtenga el p-valor del contraste y haga una recomendacion en relacion con la implantaciondel curso, en funcion del nivel de significacion deseado.

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(c) Supongamos que µ = 120 tras el curso y el nivel de significacion es del 5%. Determine laprobabilidad de un error de Tipo II para este contraste.

(d) Supongamos que la empresa desease que la probabilidad de un error de Tipo II para estecontraste fuese inferior al 1%, si µ = 120 y el nivel de significacion permanece en el 5%.Encuentre el menor valor de n para el que se cumpla esta condicion.

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