CASO 2: CONTINGENCIAS DEL CERCADO DE LIMAUn estudio de factibilidad sobre atención de contingencias del Cercado de Lima, mediante

llamadas al numero de emergencias 700 para atención de asaltos, incendios, y otros

desastres naturales, realizado por profesionales en Ciencias de la Administración, reveló

que los viernes y sábados en la noche el tiempo de respuesta a las llamadas al número

oscilaban entre 1.2 y 4.6 minutos y se comprobó que estaban distribuidas uniformemente.

Las llamadas tenían Distribución Poisson y alcanzaron una tasa promedio de 9 por hora. Si

la policía de la ciudad tuviera que responder más de 3 llamadas, en cualquier momento

podrán acudir a serenazgo para solicitarles ayuda.

El Alcalde de la ciudad deseaba reducir el tiempo promedio de respuesta a 2 minutos. Se

estimaba que el costo de más carros patrulleros, serenazgo, bomberos y personal sería de

S/.575,000 por cada reducción de 30 segundos. El costo debía ser asumido por un

impuesto predial a las casas cuyo valor en el avalúo catastral estuviera por encima de

S/.70,000. Las casas en Lima tienen un avalúo catastral promedio de S/.45,750 con una

desviación estándar de S/.15,110 y parecía estar distribuido normalmente. En el momento

del estudio había 42,089 casas en los límites del Cercado de Lima.

El estudio presentado a la alcaldía estaba diseñado para evaluar la respuesta de la ciudad a

las emergencias, así como también la factibilidad de lograr la meta de reducción en el

tiempo de respuesta que quería el alcalde. El reporte final necesitó de la aplicación de

numerosas distribuciones de probabilidad así como de una evaluación de Decreto de

Alcaldía de promulgar un sobrecargo al impuesto predial para financiar las mejoras del

programa de Contingencia.

Trate, con herramientas estadísticas, cada uno de los puntos solicitados por el Alcalde,

junto con otras herramientas que usted considere pertinente.

DISTRIBUCION POISSON (Variable Discreta)

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DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISTRIBUCIÓN DE POISSON

DISTRIBUCIÓN NORMALTiempos de respuesta minutos

minutos

valoración

UTILIDAD

☺ La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.☺Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso resultado discreto.☺Es muy útil cuando la muestra o segmento( N )es grande y la probabilidad de éxitos (p) es pequeña☺Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento (n) dado.

PROPIEDADES DE UN PROCESO DE POISSON

☺ La probabilidad de observar exactamente un éxito en el segmento o tamaño de muestra (n) es constante☺El evento debe considerarse un suceso raro☺El evento debe ser aleatorio e independientes de otros eventos

LA DISTRIBUCION DE POISSON

La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta.La distribución de Poisson parte de la distribución binomialCuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson

Se tiene que cumplir que:p<0.10p*n<10

FORMULA

P(k;Λ)=e- Λ * ΛkK!

Donde

☺E= es el base del logaritmo natural (e = 2.71828...),☺P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito K.☺Λ = Lambda es la ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito K.☺K= es el numero de éxitos por unidad☺K! = es el factorial de K

LA MEDIA Y LA VARIANZA

MEDIA µ=E(X)= ΛVARIANZA Λ= σ2

GRAFICA MODELO POISSON

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Ejemplo

Si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa,

obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan

encuadernaciones defectuosas.

K=5, Λ=400(0.02)=8P (5,8)= 85 e -8 =0.092

5!

Ejemplo 2

Se distribuyó el número de clientes que visitaron la oficina de un jóven abogado durante sus primeros 102 días de práctica, de la siguiente manera:

No. DE CLIENTES 0 1 2 3 4 5

No. DE DIAS 40 36 16 7 2 1

Pruebe si el número de clientes por día sigue una distribución Poisson.

Solución

H0 : El número de clientes por día tiene distribución Poisson

H1 : El número de clientes por día no tiene distribución Poisson

Para calcular la frecuencia esperada en cada clase, se necesita conocer la probabilidad en cada una de dichas clases, para ésto se utiliza la función de probabilidad de la distribución Poisson que es:

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donde:   es el promedio de clientes por día.

Con la información disponible se obtiene un promedio aritmético de 1, por lo tanto   =1. Conocido el promedio se puede calcular la probabilidad en cada clase:

Para el cálculo de la estadística de trabajo se debe tener en cuenta que cada una de las frecuencias esperadas debe ser mayor o igual a 5; para cumplir esta condición se deben unir las tres últimas clases obteniéndose así una frecuencia esperada de 8,16 y una frecuencia observada de 10.

Tabla 3.2 Cálculo de las frecuencias esperadas

No. DE CLIENTES No. DE DIAS pj ej

0 40 0,368 37,536

1 36 0,368 37,536

2 16 0,184 18,768

3 7 0,061 6,222

4 2 0,015 1,53

4

5 1 0,004 0,408

TOTAL N=102 1,000

Por lo tanto la estadística de trabajo es:

Asumiendo una confiabilidad del 99 por ciento, en una tabla de la distribución chi-cuadrado y dos grados de libertad (número de clases: m=4, número de estimadores obtenidos a partir de la muestra, la media, k=1. Entonces m-k-1 = 2) se obtiene un valor para Z de 9,21. El valor de la estadística de trabajo está en la zona de no rechazo de la hipótesis nula (Figura 3.22), por lo tanto con una confiabilidad del 99 por ciento, se concluye que el número de clientes que visitan al abogado tiene una distribución Poisson.

Figura 3.22 Regla de decisión: prueba bondad de ajuste

 

EJEMPLO

Si los autos llegan a una supermercado siguiendo un proceso de Poisson, el tiempo entre llegadas sucesivas es una variable aleatoria con distribución exponencial. Se registraron las horas de llegada para todos los automóviles durante 2 horas y los tiempos entre llegadas (en minutos) se resumen a continuación:

TIEMPO ENTRE LLEGADAS 1

1-2

2-3 3

No. DE AUTOS 40 29 15 8

5

Pruebe si es cierto que el tiempo entre llegadas tiene distribución exponencial.

Solución

H0 : El tiempo entre llegadas tiene distribución exponencial

H1 : El tiempo entre llegadas no tiene distribución exponencial

Para calcular la probabilidad en cada clase, es necesario conocer la función de distribución de la

exponencial, que es:

Con la información disponible se obtiene un promedio o valor esperado de 1,4, por lo tanto =0,71 autos por minuto. La probabilidad en cada clase es:

 

Tabla 3.3 Cálculo de las frecuencias esperadas

TIEMPO nj pj  ej 

1 40 0,5084 46,77

1-2 29 0,2499 22,99

2-3 15 0,1229 11,31

3 8 0,1188 10,93

TOTAL 92 1,000 92

La estadística de trabajo es:

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Asumiendo una confiabilidad del 95 por ciento, en una tabla de la distribución chi-cuadrado y dos grado de libertad (número de clases: m=4, número de estimadores obtenidos a partir de la muestra: k=1. Entonces m-k-1 = 2) se obtiene un valor para Z de 5,99. El valor de la estadística de trabajo está en la zona de no rechazo de la hipótesis nula (Figura 3.23), por lo tanto con una confiabilidad del 95 por ciento, no se rechaza que el tiempo entre llegadas de los autos tiene una distribución exponencial.

Figura 3.23 Regla de decisión:prueba bondad de ajuste

La Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson (1781-1840),

francés que desarrolló esta distribución basándose en estudios efectuados en la última parte

de su vida.

  

La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la

distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda

(necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los

arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un

cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una

variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).

El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo será de

0,1,2,3,4,5 o algún otro número entero. De manera análoga, si se cuenta el número de

automóviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el número

será entero.

  

Características de los procesos que producen una distribución de la probabilidad de Poisson.

  

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El número de vehículos que pasan por una caseta de cobro en las horas de mayor tráfico

sirve como ejemplo para mostrar las características de una distribución de probabilidad de

Poisson.

  

El promedio (media) de los arribos de vehículos por hora de gran tráfico puede estimarse a

partir de los datos anteriores del tráfico.

Si dividimos las horas de gran tráfico en periodos (intervalos) de un segundo cada uno,

encontraremos que los siguientes enunciados son verdaderos:

  

a) La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue por segundo a una caseta

individual es un número muy pequeño y es constante para que cada intervalo de un segundo.

b) La probabilidad de que dos o más vehículos lleguen en un intervalo de un segundo es tan

reducida que podemos asignarle un valor cero.

c) El número de vehículos que llegan en determinado intervalo de un segundo es

independiente del momento en que el intervalo de un segundo ocurre durante la hora de gran

tráfico.

d) El número de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del número de

arribos de cualquier otro intervalo de un segundo.

  

Ahora bien, podemos generalizar partiendo de las cuatro condiciones que hemos descrito en

este ejemplo, si estas condiciones se cumplen nos apoyaremos en una distribución de

probabilidad de Poisson para describirlos.

  

Cálculo de probabilidades mediante la distribución de Poisson.

  

La distribución de Poisson, según hemos señalado, se refiere a ciertos procesos que pueden

ser descritos con una variable aleatoria discreta. La letra X suele representar esa variable y

puede además asumir valores enteros (0,1,2,3 etc..) . Utilizamos la letra X mayúscula para

representar la variable aleatoria y la x minúscula para designar un valor específico que puede

asumir la X mayúscula. La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribución de

Poisson se calcula mediante la fórmula:

  

P(x) = l x * e-l / x!

  

l x = Lambda

(número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo) elevada a la potencia x.

  

 e-l = e= 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa.

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 x! = x factorial.

  

Ejemplo :

Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los

archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de

accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad

en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un

mes determinado.

  

Aplicando la fórmula anterior:

  

P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674

  

P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370

  

P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425

  

P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042

  

P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552  

  

Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo

que será igual a :

P(0) = 0.00674 

P(1) = 0.03370 

P(2) = 0.08425 

P(3) = 0.14042 

 P(3 o menos) = 0.26511

  

Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la

probabilidad de que ocurran más de tres debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489.

  

La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial.

  

Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales,

se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como :

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n=>20

p=<0.05

  

En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media de la

distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de modo que la

fórmula quedaría así:

  

P(x) = (np) X * e-np /x!

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