UNIDAD 1 CONCEPTOS BSICOS, PRESENTACIN DE INFORMACIN, MEDIDAS
DE
MDULO DE METODOS ESTADSTICOS
Lic. HUAYANAY CARRANZA RAL
SEMESTRE 2014 - 2
ESCUELA ACADMICO PROFESIONALMECNICA ELCTRICA
NVO CHIMBOTE, 2014
UNIDAD 1
1. DEFINICIONES BSICAS
1.1 . LA ESTADSTICA
La palabra estadstica se emplea en una gran variedad de formas.
En plural se emplea como sinnimo de dato.Es una ciencia aplicada
que nos proporciona un conjunto de mtodos, tcnicas o procedimientos
para recopilar, organizar (clasificar, agrupar), presentar, y
analizar datos con el fin de describirlos o de realizar
generalizaciones vlidas.Se denomina Estadstica Descriptiva al
conjunto de mtodos estadsticos que se relacionan con el resumen y
descripcin de los datos, como tablas, grficas y el anlisis mediante
algunos clculos.Se denomina Estadstica Inferencial al conjunto de
mtodos estadsticos con los que se hace la generalizacin o la
inferencia sobre una poblacin utilizando una muestra. La inferencia
puede contener conclusiones que pueden no ser ciertas en forma
absoluta, por lo que es necesario que estas sean dadas con una
medida de confiabilidad que es la probabilidad.Estas dos partes de
la estadstica no son mutuamente excluyentes, ya que para utilizar
los mtodos de la inferencia estadstica, se requiere conocer los
mtodos de la estadstica descriptiva.1.2 POBLACION Y MUESTRA
PoblacinEn forma general en estadstica se denomina poblacin a un
conjunto de elementos como personas, objetos, etc. en los que se
pueden observar o medir una o ms caractersticas de naturaleza
cualitativa o cuantitativa.A cada elemento de una poblacin se le
denomina unidad elemental o unidad estadstica.Por ejemplo los
empleados de una empresa en un da laborable, constituye una
poblacin en la que cada empleado (unidad estadstica), tiene muchas
caractersticas a ser observadas como gnero, estado civil, lugar de
procedencia, grado de instruccin, etc. (caractersticas
cualitativas) o nmero de hijos, ingresos mensuales, etc.
(caractersticas cuantitativas)El resultado de observar o medir una
caracterstica en una unidad estadstica, se denomina dato
estadstico, valor observado o simplemente observacinParmetrosSe
denomina parmetro a una medida descriptiva que resume una
caracterstica definida en la poblacin, tal como la media () o la
varianza (2) etc. Y se calcula a partir de los datos observados en
toda la poblacin
Tipos de poblacinPor el nmero de elementos que la componen, la
poblacin se clasifica en finita o infinita. La poblacin es finita
si tiene un nmero finito de N elementos. En caso contrario la
poblacin es infinitaMuestraDespus de definir la tarea de
investigacin estadstica a realizar, se debe decidir entre
investigar toda la poblacin o solo una parte de ella. En el primer
procedimiento es denominado censo y el segundo es llamado
muestreo.Se denomina muestra a una parte de la poblacin
seleccionada de acuerdo con un plan o una regla con el fin de
obtener informacin acerca de la poblacin de la cual proviene.La
muestra debe ser seleccionada de manera representativa de la
poblacin. Un mtodo de seleccin de muestras representativas es el
azar, esto es, cada elemento de la poblacin tiene la misma
posibilidad de ser incluida en la muestra.EstadsticaSe denomina
estadstica, estadgrafo o estadstico a una medida descriptiva que
resume una caracterstica definida de una muestra aleatoria, tal
como la media x o la varianza s2, calculada a partir de los datos
observados en la muestra.
1.3ESCALAS DE MEDICIN. En estadstica medir es observar el valor
que toma una variable estadstica en un elemento de la poblacin. Los
valores de la variable, adems de ser cualidad o cantidad, definen
niveles de medicin de las unidades estadsticas. Estos niveles de
medicin son denominados escalas.Una misma medicin puede
corresponder a varias unidades estadsticas. En este caso, se dice
que tales elementos estn en una misma modalidad o valor de la
variable.Estas escalas son: nominales, ordinales, intervalares o
racionales.
1.3.1ESCALA NOMINAL.-
Se dice que los valores de una variable estadstica estn en el
nivel de la escala nominal si estos solo clasifican a las unidades
estadsticas en iguales o diferentes. No poseen propiedades
cuantitativas y sirven nicamente para identificar las clases. El
nivel nominal permite mencionar similitudes y diferencias entre los
casos particulares. Por lo regular, los datos nominales o
cualitativos se describen en trminos de porcentaje o proporciones.
Para exhibir este tipo de informacin se usan con mayor frecuencia
tablas de contingencia y grficas de barras.
1.3.2ESCALA ORDINAL.-
Se dice que los valores de una variable estadstica estn en el
nivel de escala ordinal si estn en escala nominal y adems ordenan a
las unidades estadsticas por las caractersticas que se observa. Los
valores cualitativos de una variable en escala ordinal son los
resultados de un criterio para ordenar a las unidades estadsticas.
Si se asignara nmeros a tales valores, con estos no es posible
realizar operaciones aritmticas. Slo son vlidas las relaciones de
igualdad, no igualdad y de orden.Por ejemplo la variable nivel
socio econmico, definida en una poblacin de hogares, contiene un
criterio que genera valores: Bajo medio alto.El mtodo estadstico
con datos obtenidos en escala ordinal consiste bsicamente en
obtener el nmero o porcentaje de casos en cada categora, as como
obtener la moda, la mediana y el coeficiente de correlacin por
rangos.
1.3.3ESCALA DE INTERVALO.-
Una escala de intervalos es una escala ordinal que asigna a las
unidades estadsticas valores numricos, que son mediciones
realizadas con respecto a un cero arbitrario. Este cero no es
absoluto pues no mide la ausencia total de la caracterstica que se
observa en la unidad estadstica.Por ejemplo la variable altitud
definida en una poblacin de ciudades, tiene valores numricos que
son mediciones hechas de alturas con respecto al nivel del mar. El
nivel del mar es un cero elegido arbitrariamente.Con los valores de
una variable en escala de intervalos se puede comparar la
diferencia de las mediciones de dos unidades estadsticas con otra
diferencia, esto es x1 , x2, x3 son tres valores de una variable x
cuyos valores estn en el nivel de escala de intervalos, entonces se
verifica la relacin:
x3 - x1 = C, donde C es una constante x2 - x1 Con los valores de
esta escala son vlidas pues, las relaciones de igualdad, de no
igualdad y de orden. Adems son vlidas las operaciones de adicin y
sustraccin entre los valores de la escala, y la multiplicacin y
divisin entre los valores mismos de la escala.
Por ejemplo: El puntaje obtenido en un examen de conocimientos
calificado de 02 a 20 donde tres alumnos obtuvieron calificativos
02, 04 y 16 respectivamente. Propiedad: Si una variable estadstica
T tiene sus valores x en escala de intervalos, entonces, x
permanece invariante ante la transformacin y = ax + b ; donde a y b
son constantes arbitrarias.
Por ejemplo: 02, 04 y 16 es un juego de valores de tres unidades
estadsticas en x, entonces, 03, 09, y 45 es el juego de valores
respectivos en y. ambos juegos de valores de T, son la misma escala
de intervalos pues verifican las mismas relaciones.
1.3.4ESCALA DE RAZN.-
La escala de razn o cociente es una escala de intervalo que
asigna a las unidades estadsticas valores numricos, que son
mediciones realizadas con respecto a un cero real. Este cero
significa ausencia total de la caracterstica que se observa.Los
valores de esta escala se obtienen en general, por mediciones que
son conteos o por mediciones continuas tales como longitud, peso,
masa, volumen, tiempo, unidades monetarias, etc. Por ejemplo: Nmero
de hijos.Adems con los valores de una variable en la escala de razn
se puede comparar cuantas veces la medida de una unidad estadstica
es igual a la medida de otra unidad estadstica y se verifica la
relacin:x2 = C, donde C es una constante y x1 0 x1 Propiedad: Si
una variable estadstica T tiene sus valores x en escala de razn,
entonces, x permanece invariante ante la transformacin y = ax
2. VARIABLES ESTADISTICAS.
La caracterstica que se observa o mida en las unidades
estadsticas de una poblacin tiene diversos valores de naturaleza
cualitativa o cuantitativa. Por ejemplo la caracterstica gnero
tiene dos valores: hombre y mujer. La caracterstica peso en
kilogramos tiene infinitos valoresSe denomina variable estadstica a
una caracterstica definida en una poblacin y que asume por lo menos
dos valores. Estos valores pueden ser de cualidad o cantidad.
Variables cualitativas: Es la caracterstica cuyos valores son
cualidades. Estos valores, estn en nivel de escala nominal u
ordinal, no se pueden realizar operaciones aritmticas, por ejemplo:
nacionalidad, color de la piel, sexo.
Variables cuantitativas: es la caracterstica cuyos valores son
numricos. Estos valores estn en la escala de intervalo o de razn.
Por ejemplo edad, precio de un producto, ingresos anuales, nmero de
hijos, tiempo de vida til.
Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar
en discretas y continuas
Discretas: slo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.).
Por ejemplo: nmero de hermanos (puede ser 1, 2, 3....,etc, pero,
por ejemplo, nunca podr ser 3,45). Continuas: pueden tomar
cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la
velocidad de un vehculo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc.
Ejercicio 01Cierta variable asigna a las unidades estadsticas E1
y E2 de una poblacin los valores de 5 y 20 respectivamente en una
escala dada. La escala usada es .... y la relacin entre E1 y E2
es
Ejercicio 02Una variable cuantitativa cuya escala de intervalos,
asigna valores 1, 4 y 9 a las unidades estadsticas E1, E2 y E3
respectivamente. Si una transformacin lineal en los valores asigna
1 a E1 y -8 a E2 que valor le corresponde a E3?
Ejercicio 03Una empresa minera posee cinco minas cuyas altitudes
han aparecido en una revista extranjera con los valores:610.5,
750.2, 420.04, 917.7, 824.3Se desea saber cul es especficamente la
altitud de las tres ltimas minas en metros sobre el nivel del mar
si se sabe que la altitud de las 2 primeras minas son
respectivamente 1224, y 1503.4?
Ejercicio 04
Clasifique las variables e indique el tipo de escala en que estn
medidas:
ProfesinNacionalidadGrado de instruccinNmero de hijosNmero de
telfonoDireccinAo de nacimientoEdadEstado civilIngreso mensual
familiar promedioNmero de DNI
3. ORGANIZACIN DE DATOS.
Para el anlisis estadstico de los valores de una variable, es
necesario organizarlos y presentarlos en forma tal que facilita su
comprensin y su posterior utilizacin.Los datos son presentados en
un cuadro numrico y presentados en grficas estadsticas.Si la
variable es cuantitativa y el inters es slo obtener algunas medidas
descriptivas de ellas puede que no sea necesario agruparlos.Todo
cuadro numrico debe contener bsicamente ttulo, cuerpo y fuente.El
cuadro numrico de una sola variable estadstica se denomina
distribucin de frecuencias. Tenemos distribucin de frecuencias para
variable cualitativa, variable cuantitativa discreta y por
intervalos.
3.1 Distribucin de frecuencias de variable cualitativa
Si la variable x es cualitativa, observada en una muestra de n
unidades estadsticas de una poblacin que origina k cualidades
diferentes C1, C2, Ck la tabulacin o agrupacin de estos n datos, es
la distribucin de frecuencias del cuadro 1.1La frecuencia absoluta
fi es el nmero de datos que resulta del conteo en la categora
respectivamente Ci, donde i= 1, 2, k. La suma de todas las
frecuencias absolutas es igual a n, el total de datos observados.La
frecuencia relativa hi se define en cada categora C1 , h1= fi /n la
suma total es igual a unoLa frecuencia porcentual pi se define para
cada categora Ci, pi = hi x 100%, la suma total es igual a
cien.
Cuadro 1.1 Distribucin de frecuencias de variable
cualitativaCategoras de la variable xFrecuencias absolutas
fiFrecuencias relativas hiFrecuencias porcentuales pi
C1C2...Ckf1f2...fkh1h2...hkp1p2...pk
Totaln1100
Ejercicio 5: Se elabor una encuesta a un grupo de nios y arroj
que las mascotas ms comunes que tiene un nio son perros, gatos,
peces, hmsteres y pjaros
perroGatoPerrohamster
pjaroHamsterGatoperro
hmsterGatoPjarogato
perroPerrohmsterPjaro
perroperroPjaroGato
Para calcular:Frecuencia absoluta: se cuenta la cantidad de
veces que ocurre el evento, en este caso, las mascotas.Frecuencia
relativa: se divide la frecuencia absoluta de cada evento entre el
total de eventos.Frecuencia porcentual: se multiplica la frecuencia
relativa por 100.
Cuadro 1.2 Distribucin de frecuencias mascotas mas comunes que
tiene un nio.MascotaFrecuencia absolutafiFrecuencia
relativahiFrecuencia porcentualpi
Perro
Pjaro
Hmster
Gato
total201100
Estos datos se pueden representar en una grfica de barras o en
una grfica de pastelGrfica de barras
Grfica de pastel
4.2 Distribucin de frecuencias para datos agrupados por
intervalos
Distribucin de frecuencias en la que los valores de la variable
se han agrupado en clases o intervalos. Esto se debe principalmente
a la disposicin de gran nmero de datos.Procedimiento
1 Toma de datos2 Ordenacin de datos: es una colocacin de los
datos numricos tomados en orden creciente a decreciente de
magnitud.3 Clculo del Rango (R): La diferencia entre el mayor y el
menor de los nmeros, ms uno, se llama rango o recorrido de datos. R
= (X max X min) + 1
4 Nmero de clases o intervalos (K): Para calcular el nmero de
clases se utiliza la regla de Sturges
*N de clases K = 1 + 3.332 log N (Regla de Sturges)
5 Tamao de la clase (A) se obtiene el tamao de clase dividiendo
el rango entre el nmero de clases.
Tamao de clase= A = Rango / N de clases
6 Lmites de clase: Representan el tamao de cada clase. El lmite
inferior ( LI ) de la primera clase toma el valor del dato menor de
la coleccin de datos, para obtener el lmite inferior de la clase
siguiente, se suma al lmite inferior de la case anterior el tamao
de clase.
7 Marca de clase (mi) : Es el punto medio de la clase y se
obtiene sumando los LI y LS de la clase y dividiendo entre 2. La
marca de clase tambin se llama punto medio de la clase.
Ejercicio 6 : ASIENTOS VACOS DE AUTOBUSES INTERPROVINCIALES1)
Toma de datosLos siguientes datos corresponden a la cantidad de
asientos vacos que reportaron 50 autobuses interprovinciales el
ltimo domingo.
121146611310124
10112452448
87841042629
566412811217
7684693775
2) Ordenacin de datos
12445678911
124456781012
124466781012
134466781012
234567891112
3) Rango = (12-1) + 1 = 11 + 1 = 12 4) N de clases = 1 +
3.332log (50) = 65) Tamao de clase Tamao de clase = 12/6 = 2
(aprox.)
6) Lmites de clase [LI - LS]
7) Marca de clase: miCuadro N 1.3 ASIENTOS VACOS DE AUTOBUSES
INTERPROVINCIALESClase MiFrecuencia simpleFrecuencia acumulada
LI
LSmiAbsolutafiRelativahiPorcentualpiAbsolutaFiRelativaHiPorcentjPi
1[1 3[
2[3 5[
3[5 7[
4[7 9[
5[9 11[
6[11 13[501100
Total501100 ---
Representacin grfica de datos.Se tomar el ejemplo anterior para
demostrar el uso de diferentes grficas.Histograma: forma grfica de
barras que emplea variables con escala de intervalos o de
proporciones. Para realizarla, se toma en cuenta para el eje X, los
Lmites reales, y para el eje Y, las frecuencias absolutas.
Polgono de frecuencias: Forma grfica que representa una
distribucin de frecuencias en la forma de una lnea continua que
traza un histograma. Para su elaboracin, se consideran las marcas
de clase en el eje X y las frecuencias absolutas en el eje Y.
Grfica de barras: la grfica de barras es una forma de grfica que
utiliza barras para indicar la frecuencia de ocurrencia de las
observaciones. Para construirla se constituye el eje y por las
frecuencias absolutas y el eje X por los lmites inferior y superior
de cada clase, dejando un espacio entre barra y barra.
PRACTICA N01
DEFINICIONES BASICAS DE ESTADISTICA TABLA DE FRECUENCIAS
1. Obtenga la amplitud de los intervalos de la distribucin de
frecuencias en cada uno de los siguientes casos:a. Datos enteros,
Xmin = 10 ; Xmax = 50 y k= 8 intervalosb. Datos con dos decimales
Xmin = 2.55, X max = 3.86 y k = 7c. Datos con tres decimales Xmin =
0.282, X max= 0.655 y k =6
2. Los salarios quincenales, en dlares recopilados en una
muestra de 45 empleados son:
63 82 36 49 56 64 59 35 78
43 51 70 57 62 43 68 62 26
64 72 52 51 62 60 71 61 55
59 60 67 57 67 61 67 51 81 50 64 76 44 73 56 62 63 60
Describa la variable y desarrolle la distribucin de frecuencia
de los datos
3. Los datos que siguen, son los consumos de agua del ltimo mes
registrados en metros cbicos en una muestra al azar de 32 viviendas
unifamiliares de la zona de Buenos Aires en Nuevo
Chimbote231216141712791813921182013151816415171915181917112314101613Organice
los datos en una distribucin de frecuencias de 5 intervalos. Luego
grafique el histograma. Comente la forma de distribucin.Es correcta
la afirmacin Ms del 45% de los consumos fluctan entre 14 y 19 m3?
Justifique su respuesta.
4. Las notas del examen parcial de Estadstica se registraron se
organizaron en una distribucin de frecuencias, cuyos resultados
incompletos se dan en la siguiente tabla:
IntervaloMarca de claseFrecuencia relativaFrecuencia relativa
acumulada
[ , [0.15
[ 6 , [0.45
[ , [0.70
[ , [13.5
[ , ]0.10
a. Grafique la distribucin de frecuencias y describa su formab.
Elabore la grfica de porcentajes y ubique en la misma los
cuartilesc. Es correcto que ms del 49% de las notas se ubican en el
intervalo: [ 8 , 14]?d. Calcule el intervalo de notas donde se
ubica el quinto superior de los estudiantes5. En una encuesta de
opinin acerca de las preferencias de bebidas gaseosas por su color
Negro (N), Blanco (B), Rojo (R), una muestra de 20 consumidores
marco las siguientes respuestas:
B N N B R N N B B N B N N R B N B R B N
Describa la variable estadstica y obtenga la distribucin de
frecuencias. Luego presente los datos agrupados en la grafica de
barras y circular. Comente el resultado.
6. Ante la pregunta sobre el nmero de hijos por familia una
muestre de 20 hogares marc las siguientes respuestas: 2 1 2 4 1 3 2
3 2 0 3 2 1 3 2 3 3 1 2 4
Describa la variable de la encuesta y obtenga la distribucin de
frecuencias de los datos, luego grafique la distribucin y
desarrolle su comentario.
7. Construirla distribucin de frecuencias, trazar una grfica y
comentar el resultado de la variable nivel socio econmico con sus
valores bajo =0, medio=1 y alto=2 si sus valores observados en 20
hogares son:1, 0 0 1 2 0 0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 1 2 1 08. Obtenga la
distribucin de frecuencias y trace su grfica. Luego determine los
cuartiles aplicando la para la variable nmero de artculos
defectuosos por lote encontrados al revisar 20 lotes de 48 artculos
cada uno si sus valores observados son: 3 2 5 0 1 3 2 1 5 1 3 4 2 4
4 3 4 3 2 3 Qu porcentaje de lotes tienen dos o ms, pero menos de 4
artculos defectuosos?
9. Los tiempos de vida til de un tipo de batera, se tabul en una
distribucin de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud con
frecuencias relativas acumuladas: 0.10, 0.25, 0.55, 0.80, 1.00.
Determine la distribucin de frecuencias absolutas si la tercera
frecuencia absoluta acumulada es 11, si la segunda marca de clase
es 6 y si el lmite inferior del cuarto intervalo es 12
10. En una compaa, el sueldo mnimo y mximo de 200 empleados es
de $150 y $300 respectivamente. Tales sueldos se tabulan en una
distribucin de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud. Si se
sabe que 20 empleados ganan al menos $150, pero menos de $180; 60
ganan menos de $210; 110 ganan menos de $240; 180 ganan menos de
$270 y el 10% restante de empleados gana a lo ms $300; reconstruir
la distribucin y graficar su polgono de frecuencias.
4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central denominadas tambin promedios,
ubican el centro de los datos tambin se las conoce como medidas de
posicin.
4.1Mediana
La mediana (Me) o valor medio de una serie de valores observados
es el nmero que separa a la serie de datos ordenados (en forma
creciente o decreciente) en dos partes de igual numero de datos. La
mediana es el percentil 50 de los datos observados no agrupados o
agrupados por intervalos.
Clculo de la mediana4.1.1Mediana de datos no agrupadosPara
realizar el cmputo de la mediana de n valores no agrupados de una
variable cuantitativa x se siguen los siguientes pasos:1. Se
ordenan los datos en forma creciente2. Se ubica el valor central
Me. Si n es impar, corresponde al dato ordenado del centro. Pero si
n es par, la mediana es la semisuma de los dos valores ordenados
centrales.
Ejemplo: Calcule la mediana para los siguientes datos. La edad
de una muestra de cinco estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22.Al
ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25.
La mediana es 21.
4.1.2Calculo de la mediana para datos agrupadosLa mediana de una
muestra de datos organizados en una distribucin de frecuencias se
calcula 1 Ubicando el intervalo que contiene a la mediana : 0.5n2
Se aplica la siguiente frmula:Mediana = LI + [n/2 Fi-1] A fidonde:
LI es el lmite inferior de la clase que contiene a la mediana, Fi-1
es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, fi
es la frecuencia absoluta de clase de la mediana y A es la amplitud
del intervalo de clase de la mediana.
Ejercicio 7Calcule la mediana de 45 salarios quincenales
agrupados en 7 intervalos de igual amplitud.
4.2Moda
La moda de una serie de datos es el valor Mo que se define como
el dato que ocurre con mayor frecuencia.
Ejemplo: Las calificaciones de un examen de diez estudiantes
son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. Como la calificacin 81
es la que ms ocurre, la calificacin modal es 81
4.2.1Clculo de la moda para datos agrupados La moda de los datos
agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene
la frecuencia de clase mayor. Cuando dos valores ocurren una gran
cantidad de veces, la distribucin se llama bimodal.Clculo de la
moda para datos agrupados por intervalos
Mo= Li + [ d1 ] A (d1 + d2)Li = Limite inferior del intervalo
modal d1 = fi fi-1 d2= fi fi+1A= amplitud del intervalo modal
Ejercicio 8Calcule la moda de 45 salarios quincenales agrupados
en 7 intervalos de igual amplitud.
Ejercicio 9Ejemplo de clculo de media mediana y moda. Para
ejemplificar, tomaremos el ejemplo de autobuses interprovinciales
de la pagina anterior .
4.3 Media
La media aritmtica denominada simplemente media (x) es el valor
numrico que se obtiene dividiendo la suma total de los valores
observados de una variable entre el nmero de observaciones. Calculo
de la media (x)1. Media aritmtica de datos no agrupados:Media = x =
Suma total = x = xi n de datos n
Ejercicio 10: Calcule la media aritmtica de los 45 salarios sin
agruparx = xi = 2670/45 = n2. Media aritmtica de datos agrupadosa.
Media para datos agrupados de variable discretaSe calcula
multiplicando cada valor por el nmero de veces que se repite. La
suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la
muestra:
Ejercicio 11Calcule la media aritmtica de la distribucin de
frecuencias del nmero de hijos por familia de una muestra de 20
hogares: 2 1 2 4 1 3 2 3 2 0 3 2 1 3 2 3 3 1 2 4SolucinN de hijosN
de familiasProducto
xififi xi
01234147620414188
Total2044
La media de la distribucin es x = fi xi = 44/20 = 2.2 hijos
N
b. Media para datos agrupados por intervalos
Media = x = Suma total = x = fi mi n de datos n
Ejercicio 12:Calcular la media de la distribucin de 45 salarios
organizados en 7 intervalos
c. Media con frecuencias relativas
Media = x= Suma total = x = fi mi = hi mi n de datos n
Ejercicio 13Calcular la media con frecuencias relativas de la
distribucin de 45 salarios organizados en 7 intervalos:
d. Media ponderada
Media = x = Suma total = x= wi xi n de datos wi
Ejercicio 14:Si en un examen de matemtica, 110 alumnos del
horario Hi obtuvieron una media de 12.6 y 120 alumnos del horario
H2 obtuvieron una media de 13.48 entonces la media global
es:Ejercicio 15:Si un alumno en el semestre anterior ha obtenido 11
en el curso de investigacin de 5 crditos, 13 en el curso de
matemticas de 4 crditos y 16 en el curso de estadstica con 3
crditos. Cual ser su promedio ponderado?MEDIDAS DE POSICIN NO
CENTRALES
Las medidas de posicin no centrales permiten conocer otros
puntos caractersticos de la distribucin que no son los valores
centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de
valores que dividen la muestra en tramos iguales:Cuartiles: son 3
valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma
creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada
uno de ellos concentra el 25% de los resultados.Deciles: son 9
valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma
creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada
uno de ellos concentra el 10% de los resultados.Percentiles: son 99
valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma
creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada
uno de ellos concentra el 1% de los resultados.Ejemplo: Calcular
los cuartiles de la serie de datos referidos a la estatura de un
grupo de alumnos. Los deciles y centiles se calculan de igual
manera, aunque hara falta distribuciones con mayor nmero de
datos.
VariableFrecuencias absolutasFrecuencias relativas
EstaturaSimpleAcumuladaSimpleAcumulada
FiFipiPi
1,20113,3%3,3%
1,214513,3%16,6%
1,224913,3%30,0%
1,232116,6%36,6%
1,241123,3%40,0%
1,252146,6%46,6%
1,2631710,0%56,6%
1,2732010,0%66,6%
1,2842413,3%80,0%
1,2932710,0%90,0%
1,3033010,0%100,0%
1 cuartil: es el valor 1,22 cm, ya que por debajo suya se sita
el 25% de la frecuencia 2 cuartil: es el valor 1,26 cm, ya que
entre este valor y el 1 cuartil se sita otro 25% de la frecuencia.3
cuartil: es el valor 1,28 cm, ya que entre este valor y el 2
cuartil se sita otro 25% de la frecuencia. Adems, por encima suya
queda el restante 25% de la frecuencia.Cuando un cuartil recae en
un valor que se ha repetido ms de una vez (como ocurre en el
ejemplo en los tres cuartiles) la medida de posicin no central sera
realmente una de las repeticiones.
PRACTICA N 02MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL1. Los sueldos del mes
de enero de 200 empleados de una empresa tienen una media de $230a.
Si el 60% de los empleados son hombres (el resto son mujeres), y
tiene un sueldo promedio de $250. Cunto es el sueldo medio de las
mujeres en enero? b. Si para el mes de julio, se propone un aumento
general que consiste en un aumento variable del 30% a cada sueldo
de enero ms una bonificacin de $30, Cunto dinero adicional
necesitar la empresa para pagar los sueldos incrementados?2. Los
costos de fabricacin en soles de diez objetos son los
siguientes:9.35, 9.46, 9.20, 9.80, 9.77, 9.00, 9.99, 9.36, 9.50 y
9.60Si el precio de venta de cada objeto es 3 veces su costo de
fabricacin menos 5 soles, calcular la utilidad media por
objeto.
3. En una evaluacin 5 alumnos tiene cada uno una nota12, y un
alumno tiene 18. Si se indica como nota promedio 13, Que nota
promedio es? Es el promedio adecuado?
4. De las edades de cuatro personas, se sabe que la media es
igual a 24 aos, la mediana es 23 y la moda es 22. Encuentre las
edades de las 4 personas.
5. De la curva de frecuencia de sueldos de 30 empleados de una
empresa, se sabe que Mo =$200, Me=$220 y x= $250. Califique como
verdadera o falsa las siguientes afirmaciones. Justificando su
respuesta.a. El sueldo ms frecuente es de $200 y ms de la mitad de
los empleados gana ms de esa cantidadb. Con una suma de $3300 se
asegura el pago de la mitad de los empleados y con $7500 el de
todos los empleados.
6. Para calcular el suministro de agua que una ciudad requiere
mensualmente se escogen 15 familias de la ciudad, resultando los
siguientes consumos en metros
cbicos11.221.516.419.714.616.932.218.213.123.818.315.518.822.714.0Si
en la ciudad hay 5000 familias Cuntos metros cbicos de agua se
requieren mensualmente si el consumo promedio por familia permanece
igual?7. El sueldo promedio de 200 empleados de una empresa es $400
se propone dos alternativas de aumento:a. $75 a cada uno y b. 15%
de su sueldo ms 10 soles a cada unoSi la empresa dispone a lo ms de
94 000 para pagar sueldos Cul es la ms conveniente?
8. Al calcular la media de 125 datos, result 42. Un chequeo
posterior mostr que en lugar del valor 12.4 se introdujo 124.
Corregir la media.
9. Las ventas de un distribuidor de automviles, en cierto
periodo, ascendieron a la cantidad de 1 650 000, vendiendo 50
automviles nuevos a un precio promedio de $ 13 000 y algunos carros
usados con un precio de $5000 en promedio. Cul es el promedio de
los precios de todos automviles que se vendieron?10. De los
horarios de clases de la UCV se sabe que ninguno tiene ms de 100 o
menos de 70 alumnos matriculados. Se sabe que uno de cada 5 tiene
80 alumnos, que el 30% tiene 100 y la mayora 90 alumnos. Calcule la
media aritmtica de alumnos por horario.
11. En tres grupos distintos de 100 000, 90 000 y 20 000
personas, el porcentaje de personas con educacin superior es 21%,
42% y 40% respectivamente. Calcular el porcentaje promedio de
personas con educacin superior.
12. El sueldo medio de los obreros de una fabrica es de $286a.
Que porcentaje de hombre y mujeres trabajan en la fabrica si sus
sueldos medio respectivos son $300 y $260?b. Si el 60%de los
obreros tienen menos de 30 aos y percibe el 20% del total de los
sueldos, Cunto es el sueldo medio de los obreros de al menos 30
aos?
13. Al tabular las calificaciones de un examen se obtuvieron las
siguientes notas 07, 08 , 09, 10, 11 12, 13, 14, 15, 16, 17 y las
frecuencias del nmero de alumnos respectivas: 1, 1, 1, 1, 1, 6, 8,
16, 18, 20 y 2a. Cul es la media, la mediana y la moda de las
notas. Qu valor escogera como el promediob. Cunto es la nota mnima
para estar en el quinto superior?
4.3 MEDIDAS DE DISPERSION
Las Medidas de dispersin o variabilidad son nmeros reales que
miden el grado o nivel de separacin de los datos con respecto a un
valor central, que generalmente es la media aritmtica.Estudia la
distribucin de los valores de la serie, analizando si estos se
encuentran ms o menos concentrados, o ms o menos
dispersosRango:Rango de variacin o recorrido (R ) es el nmero que
resulta de la diferencia entre el mayor y el menor valor de una
serie de datos observados de la variable x. Esto es:
R = ( X mx. X min) + 1
Rango intercuartil
Es una medida que excluye el 25% superior y el 25% inferior,
dando un rango dentro del cual se encuentra el 50% central de los
datos observados.
RI = Q3 Q1Varianza
a. Varianza de datos no agrupados
Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la
media. Se calcula como sumatoria de las diferencias al cuadrado
entre cada valor y la media, multiplicadas por el nmero de veces
que se ha repetido cada valor. La sumatoria obtenida se divide por
el tamao de la muestra.
S2 = suma total de cuadrados de diferencias = (xi - x )2 = xi2 -
x 2 n de datos n n
La varianza siempre ser mayor que cero. Mientras ms se aproxima
a cero, ms concentrados estn los valores de la serie alrededor de
la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, ms
dispersos estn.
Desviacin estndar(S) : Se calcula como raz cuadrada de la
varianza. V s2
b. Varianza de datos agrupados
S2 = suma total de cuadrados de diferencias = fi (mi - x )2 = fi
mi2 - x 2 n de datos n n
Ejercicio N 15b.1 Calcule la varianza y Desviacin Estndar de la
distribucin de frecuencias del numero de hijos de la muestra de 20
familias.ejemplo.odsb.2 Calcule la varianza y la desviacin estndar
de los 45 salarios quincenales organizados en 7 intervalos1DIANA
MARINA QUILICHE PUMA.xlsx
c. Varianza con frecuencias relativas
S2 = suma total de cuadrados de diferencias = fi (xi - x )2 =
himi2 - x 2 n de datos n
d. Simetra y asimetra de una distribucinEl orden de ubicacin de
los promedios describe la simetra de la distribucin de los datos.
As tenemos que es:a. SIMETRICA si x = Me = Mob. ASIMETRICA POSITIVA
si Mo Me xc. ASIMETRICA NEGATIVA si x Me Mo
e. Propiedades:a. Xi 2 = n (s2 + x2 )
b. Si x se transforma en y = ax + b; Vary = a2 Varx Sy2 = a2 Sx2
Sy = a Sx
c. Dados k serie de datos con tamaos, medias y varianzas
respectivasLa varianza total se determina por:
Sn 2 = ni (Sni2 + xi2)/n - (xn)2 donde: xn = [ni xi]/n
d. Desigualdad de Chebyshev: Cualquiera sea la forma de la
distribucin simtrica o asimtrica de los datos observados de una
variable x, el intervalo se cumple que:
[x k Sn , x +k Sn] donde k1 contiene por lo menos 1 1 % de los
datos k2
Coeficiente de variacin de Pearson (CV) Se calcula como cociente
entre la desviacin tpica y la media de la muestraCV = S/ x o
VALORES ESTANDARIZADOS
Z = X - x S
Los valores estandarizados indican la posicin relativa de las
unidades estadsticas dentro de su grupo. Por lo tanto Z es otro
medida de posicin adems de los percentiles.
Ejemplo
Las calificaciones en un examen final de matemtica y estadstica
generaron las medias 13 y 17 y las desviaciones estndar de 3 y 4
respectivamente. Si Luis obtuvo 14 en matemtica y 16 en estadstica
en cul de los dos cursos tiene mejor rendimiento relativo?
PRACTICA N 03
MEDIDAS DE DISPERSION
1. En el mes de enero el sueldo promedio de los trabajadores del
sector industrial era de $200. Para el mes de julio se considera un
aumento del 30% al sueldo del mes de enero ms un adicional de $50.
Si el coeficiente de variacin en enero era de 0.25, Se puede decir
que la distribucin de sueldos en julio es ms homognea?
2. Si los salarios no agrupados de 120 obreros tiene una media
de $300 y una desviacin estndar de $30a. Cuntos obreros por lo
menos tiene salarios comprendidos en el intervalo [$240 , $360]?b.
Determine el intervalo que contiene al menos el 88.889% de los
salariosc. Si el salario mnimo es de $210, en que porcentaje se
puede afirmar que los salarios son superiores a $390?
3. A cuatro unidades estadsticas se le asigna los valores de 6,
10, 14 y 20 respectivamente en una escala de razn. Si en La misma
escala se transforma 6 en 9, calcule el coeficiente de variacin de
los 4 valores transformados.
4. La demanda diaria en Kg de un producto tiene una media de 10
y una desviacin estndar de 2. Si se hace un incremento del 20% de
la demanda ms 3kg. En que porcentaje se logra reducir la
variabilidad de la demanda diaria?
5. Las notas de una prueba de conocimientos que van de 0 a 20 se
tabularon en una distribucin de frecuencias y de la cul se
obtuvieron Media= 10 mediana=8, moda=4 y desviacin estndar=3.a.
Describa la asimetra de la distribucin aplicando los promediosb. Si
a cada alumno se sube 4 puntos. Se ha logrado bajar la dispersin de
las notas?
6. Se realizaron 10 mediciones en C con cada uno de dos
termmetros A y B.a. Cul de los dos termmetros es ms confiable, si
SA=4 y SB=5?b. Cul si adems XA= 20 y XB=27?
7. La media y la desviacin estndar de los sueldos de N empleados
de una fbrica son 500 y 30 respectivamente. A cada uno de los N
empleados se les dar un aumento de A% de su sueldo ms su
bonificacin de B soles. Halle A y B de tal manera que la media de
los sueldos modificados sea 600 y su desviacin estndar 33
8. Un investigador califica la aptitud de los grupos A y B de
dos modos. Si los cuartiles I, 2 y 3 del grupo A son
respectivamente 5, 10 y 30 y del grupo B son 35, 45 y 50a. Cul de
los dos grupos tiene aptitud ms homognea?b. Describa la simetra de
cada grupo
9. Una prueba de conocimientos A se calific sobre 20 puntos
dando una media de 12 y una desviacin estndar de 2 puntos. Mientras
que una prueba de aptitud B se calific sobre 100 puntos, dando una
media de 70 y una desviacin estndar de 5.a. En cul de las dos
pruebas los puntajes son ms homogneos?b. Si Juan tiene 14 en A y
Luis 73 en B, Quin tiene mejor rendimiento?
10. Los sueldos de 100 empleados de una empresa tienen una media
de $300 y una desviacin estndar de 50. Se propone dos alternativas
de aumento: i) $75 a cada uno, y ii) 15% del sueldo ms $20 a cada
uno. Cul alternativa es ms conveniente,a. Si la empresa dispone slo
de $37 000 para pagar sueldos?b. Si la empresa quiere homogenizar
los sueldos?
11. Los sueldos de 150 trabajadores de una empresa tiene un
coeficiente de variacin del 5%. Si despus de un incremento del 20%
de los sueldos ms una bonificacin de $60 el coeficiente de variacin
baja a 4%a. Cuanto es la media y la desviacin estndar de los
sueldos antes del incremento?b. Cunto dinero adicional necesita la
empresa para pagar todos los sueldos despus del incremento?
12. Al calcular la media y la desviacin estndar de 80 datos,
resultaron 30 y 4 respectivamente. Un chequeo mostr que en lugar
del valor 1.7 se introdujo 17. Corrija la media y la desviacin
estndar.
13. Los siguientes datos muestran calificativos de 20 personas
sometidos a una prueba de aptitud. Los 20 estudiantes fueron
divididos en dos grupos, al grupo I se calific de 0 a 100 y al
grupo 2 de 0 a 20:i. Grupo I 86, 81, 79, 73, 95, 86, 94, 90, 86,
88ii. Grupo II 16, 19, 13, 20, 14, 16, 19, 18, 17, 15a. Calcule la
media y la desviacin estndar en cada grupo, Cul de los dos grupos
es ms homogneo?b. Se puede aceptar que el estudiante con 73 puntos
del grupo I tiene mayor aptitud que el estudiante con 13 puntos del
grupo 2?
14. El costo inicial de produccin X de una muestra de 80 objetos
de cierto tipo, tiene una media de $250 para el 60% de la muestra y
de $200 para el resto, adems una desviacin estndar de $20 para el
60% de la muestra y de $25 para el resto.a. Calcule la varianza del
costo inicial de los 80 objetosb. Si el costo final de produccin Y
es igual al 20% ms del costo inicial, ms 5 dlares y si el precio de
venta de cada objeto de la muestra es proporcional al cuadrado del
costo final de produccin, Cunto se recaudara por la venta total?,
Cunto sera la utilidad neta?
15. El costo de produccin de una muestra de cierto tipo de
objeto tiene una desviacin estndar de $30. El costo medio de
produccin es de $250 para el 60% de la muestra y de $200 para el
resto. Si su precio de venta en dlares es igual al 10% ms de su
precio de costo ms 10 dlares, calcule la media y la varianza de la
venta de la muestra.
5 NOCIONES DE MUESTREO
5.1 TIPOS DE MUESTREOLos autores proponen diferentes criterios
de clasificacin de los diferentes tipos de muestreo, aunque en
general pueden dividirse en dos grandes grupos: mtodos de muestreo
probabilsticos y mtodos de muestreo no probabilsticos.
5.1.1Muestreo probabilsticoLos mtodos de muestreo probabilsticos
son aquellos que se basan en el principio de equiprobabilidad. Es
decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la misma
probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y,
consiguientemente, todas las posibles muestras de tamao n tienen la
misma probabilidad de ser elegidas. Slo estos mtodos de muestreo
probabilsticos nos aseguran la representatividad de la muestra
extrada y son, por tanto, los ms recomendables. Dentro de los
mtodos de muestreo probabilsticos encontramos los siguientes
tipos:El mtodo otorga una probabilidad conocida de integrar la
muestra a cada elemento de la poblacin, y dicha probabilidad no es
nula para ningn elemento.Los mtodos de muestreo no probabilsticos
no garantizan la representatividad de la muestra y por lo tanto no
permiten realizar estimaciones inferenciales sobre la poblacin.(En
algunas circunstancias los mtodos estadsticos y epidemiolgicos
permiten resolver los problemas de representatividad aun en
situaciones de muestreo no probabilistico, por ejemplo los estudios
de casocontrol, donde los casos no son seleccionados aleatoriamente
de la poblacin.)Entre los mtodos de muestreo probabilsticos ms
utilizados en investigacin encontramos:
Muestreo aleatorio simple:El procedimiento empleado es el
siguiente: Se asigna un nmero a cada individuo de la poblacin A
travs de algn medio mecnico (bolas dentro de una bolsa, tablas de
nmeros aleatorios, nmeros aleatorios, generados con una calculadora
u ordenador, etc.) se eligen tantos sujetos como sea necesario para
completar el tamao de muestra requerido.Este procedimiento,
atractivo por su simpleza, tiene poca o nula utilidad prctica
cuando la poblacin que estamos manejando es muy grande.Ejemplo:
formar el equipo de ftbol de la universidad seleccionando 11
boletas de una urna con el nombre de todos los alumnos de la
universidad.
Muestreo aleatorio sistemtico:Este procedimiento exige, como el
anterior, numerar todos los elementos de la poblacin, pero en lugar
de extraer n nmeros aleatorios slo se extrae uno. Se parte de ese
nmero aleatorio i, que es un nmero elegido al azar, y los elementos
que integran la muestra son los que ocupa los lugares i, i+k, i+2k,
i+3k,...,i+(n1)k, es decir se toman los individuos de k en k,
siendo k el resultado de dividir el tamao de la poblacin entre el
tamao de la muestra: k= N/n. El nmero i que empleamos como punto de
partida ser un nmero al azar entre 1 y k.El riesgo este tipo de
muestreo est en los casos en que se dan periodicidades en la
poblacin ya que al elegir a los miembros de la muestra con una
periodicidad constante (k) podemos introducir una homogeneidad que
no se da en la poblacin. Imaginemos que estamos seleccionando una
muestra sobre listas de 10 individuos en los que los 5 primeros son
varones y los 5 ltimos mujeres, si empleamos un muestreo aleatorio
sistemtico con k=10 siempre seleccionaramos o slo hombres o slo
mujeres, no podra haber una representacin de los dos sexos.
Muestreo aleatorio estratificado:Este tipo de muestreo asegura
que todos los estratos de inters estarn representados adecuadamente
en la muestra. Cada estrato funciona independientemente, pudiendo
aplicarse dentro de ellos el muestreo aleatorio simple o el
estratificado para elegir los elementos concretos que formarn parte
de la muestra. En ocasiones las dificultades que plantean son
demasiado grandes, pues exige un conocimiento detallado de la
poblacin.(Tamao geogrfico, sexos, edades,...).La distribucin de la
muestra en funcin de los diferentes estratos se denomina afijacin,
y puede ser de diferentes tipos:Afijacin Simple: A cada estrato le
corresponde igual nmero de elementos mustrales.Afijacin
Proporcional: La distribucin se hace de acuerdo con el peso (tamao)
de la poblacin en cada estrato.Afijacin Optima: Se tiene en cuenta
la previsible dispersin de los resultados, de modo que se considera
la proporcin y la desviacin tpica. Tiene poca aplicacin ya que no
se suele conocer la desviacin.
Muestreo aleatorio por conglomerados:Los mtodos presentados
hasta ahora estn pensados para seleccionar directamente los
elementos de la poblacin, es decir, que las unidades mustrales son
los elementos de la poblacin.En el muestreo por conglomerados la
unidad muestral es un grupo de elementos de la poblacin que forman
una unidad, a la que llamamos conglomerado. Las unidades
hospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de
determinado producto, etc., son conglomerados naturales. En otras
ocasiones se pueden utilizar conglomerados no naturales como, por
ejemplo, las urnas electorales. Cuando los conglomerados son reas
geogrficas suele hablarse de "muestreo por reas".El muestreo por
conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamente un cierto
numero de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamao
muestral establecido) y en investigar despus todos los elementos
pertenecientes a los conglomerados elegidos.
5.1.2Mtodos de muestreo no probabilsticosA veces, para estudios
exploratorios, el muestreo probabilstico resulta excesivamente
costoso y se acude a mtodos no probabilsticos, aun siendo
conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones, pues
no se tiene certeza de que la muestra extrada sea representativa,
ya que no todos los sujetos de la poblacin tienen la misma
probabilidad de se elegidos. En general se seleccionan a los
sujetos siguiendo determinados criterios procurando que la muestra
sea representativa.
Muestreo por cuotas:Tambin denominado en ocasiones "accidental".
Se asienta generalmente sobre la base de un buenconocimiento de los
estratos de la poblacin y/o de los individuos ms "representativos"
"adecuados" para los fines de la investigacin. Mantiene, por tanto,
semejanzas con el muestreo aleatorio estratificado, pero no tiene
el carcter de aleatoriedad de aqul.En este tipo de muestreo se
fijan unas "cuotas" que consisten en un nmero de individuos que
renen unas determinadas condiciones, por ejemplo: 20 individuos de
25 a 40 aos, de sexo femenino y residentes en Gijn. Una vez
determinada la cuota se eligen los primeros que se encuentren que
cumplan esas caractersticas. Este mtodo se utiliza mucho en las
encuestas de opinin.Muestreo opintico o intencional:Este tipo de
muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado de obtener
muestras "representativas" mediante la inclusin en la muestra de
grupos supuestamente tpicos. Es muy frecuente su utilizacin en
sondeos preelectorales de zonas que en anteriores votaciones han
marcado tendencias de voto.Muestreo casual o incidental:Se trata de
un proceso en el que el investigador selecciona directa e
intencionadamente los individuos de la poblacin. El caso ms
frecuente de este procedimiento el utilizar como muestra los
individuos a los que se tiene fcil acceso (los profesores de
universidad emplean con mucha frecuencia a sus propios
alumnos).Bola de nieve:Se localiza a algunos individuos, los cuales
conducen a otros, y estos a otros, y as hasta conseguir una muestra
suficiente. Este tipo se emplea muy frecuentemente cuando se hacen
estudios con poblaciones.
5.3 TAMAO DE LA MUESTRAToda investigacin lleva implcito en la
fase de diseo la determinacin del tamao muestral necesario para la
ejecucin del mismo. El no realizar dicho proceso, puede llevarnos a
dos situaciones diferentes: primera que realicemos el estudio sin
el nmero adecuado, con lo cual no podremos ser precisos al estimar
los parmetros y adems no encontraremos diferencias significativas
cuando en la realidad s existen. La segunda situacin es que
podramos estudiar un nmero innecesario de la poblacin, lo cual
lleva implcito no solo la prdida de tiempo e incremento de recursos
innecesarios sino que adems la calidad del estudio, dado dicho
incremento, puede verse afectada en sentido negativo.Para
determinar el tamao muestral de un estudio, debemos considerar
diferentes situaciones:A. Estudios para determinar parmetros. Es
decir pretendemos hacer inferencias a valores poblacionales
(proporciones, medias) a partir de una muestra (Tabla 1).B.
Estudios para contraste de hiptesis. Es decir pretendemos comparar
si las medias o las proporciones de las muestras son
diferentes.Tabla 1. Elementos de la Inferencia Estadstica
A. Estudios para determinar parmetros Con estos estudios
pretendemos hacer inferencias a valores poblacionales
(proporciones, medias) a partir de una muestra.A.1. Estimar una
proporcin:Si deseamos estimar una proporcin, debemos saber:El nivel
de confianza o seguridad (1- ). El nivel de confianza prefijado da
lugar a un coeficiente (Z ). Para una seguridad del 95% = 1.96,
para una seguridad del 99% = 2.58. La precisin que deseamos para
nuestro estudio. Una idea del valor aproximado del parmetro que
queremos medir (en este caso una proporcin). Esta idea se puede
obtener revisando la literatura, por estudio pilotos previos. En
caso de no tener dicha informacin utilizaremos el valor p = 0.5
(50%). Ejemplo: A cuntas personas tendramos que estudiar para
conocer la prevalencia de diabetes?Seguridad = 95%; Precisin = 3%:
Proporcin esperada = asumamos que puede ser prxima al 5%; si no
tuvisemos ninguna idea de dicha proporcin utilizaramos el valor p =
0,5 (50%) que maximiza el tamao muestral:
donde:Z 2 = 1.962 (ya que la seguridad es del 95%) p = proporcin
esperada (en este caso 5% = 0.05) q = 1 p (en este caso 1 0.05 =
0.95) d = precisin (en este caso deseamos un 3%)
Si la poblacin es finita, es decir conocemos el total de la
poblacin y desesemos saber cuntos del total tendremos que estudiar
la respuesta seria:
donde:N = Total de la poblacin Za2 = 1.962 (si la seguridad es
del 95%) p = proporcin esperada (en este caso 5% = 0.05) q = 1 p
(en este caso 1-0.05 = 0.95) d = precisin (en este caso deseamos un
3%). A cuntas personas tendra que estudiar de una poblacin de
15.000 habitantes para conocer la prevalencia de diabetes?Seguridad
= 95%; Precisin = 3%; proporcin esperada = asumamos que puede ser
prxima al 5% ; si no tuviese ninguna idea de dicha proporcin
utilizaramos el valor p = 0.5 (50%) que maximiza el tamao
muestral.
Segn diferentes seguridades el coeficiente de Za vara, as:Si la
seguridad Za fuese del 90% el coeficiente sera 1.645 Si la
seguridad Za fuese del 95% el coeficiente sera 1.96 Si la seguridad
Za fuese del 97.5% el coeficiente sera 2.24 Si la seguridad Za
fuese del 99% el coeficiente sera 2.576 A.2. Estimar una media:Si
deseamos estimar una media: debemos saber:El nivel de confianza o
seguridad (1- ). El nivel de confianza prefijado da lugar a un
coeficiente (Z ). Para una seguridad del 95% = 1.96; para una
seguridad del 99% = 2.58. La precisin con que se desea estimar el
parmetro ( d es la amplitud del intervalo de confianza). Una idea
de la varianza S2 de la distribucin de la variable cuantitativa que
se supone existe en la poblacin.
Ejemplo: Si deseamos conocer la media del rendimiento acadmico
de una poblacin, con una seguridad del 95 % y una precisin de 3
puntos y tenemos informacin por un estudio piloto o revisin
bibliogrfica que la varianza es de 250
Si la poblacin es finita, como previamente se seal, es decir
conocemos el total de la poblacin y desearamos saber cuntos del
total tendramos que estudiar, la respuesta sera:
B. Estudios para contraste de hiptesisEstos estudios pretenden
comparar si las medias o las proporciones de las muestras son
diferentes. Habitualmente el investigador pretende comparar dos
tratamientos. Para el clculo del tamao muestral se precisa
conocer:Magnitud de la diferencia a detectar que tenga inters
clnicamente relevante. Se pueden comparar dos proporciones o dos
medias. Tener una idea aproximada de los parmetros de la variable
que se estudia. Seguridad del estudio (riesgo de cometer un error
a) Poder estadstico (1 - b) (riesgo de cometer un error b) Definir
si la hiptesis va a ser unilateral o bilateral. Bilateral:
Cualquiera de los dos parmetros a comparar (medias o proporciones)
puede ser mayor o menor que el otro. No se establece direccin.
Unilateral: Cuando se considera que uno de los parmetros debe ser
mayor que el otro, indicando por tanto una direccin de las
diferencias. La hiptesis bilateral es una hiptesis ms conservadora
y disminuye el riesgo de cometer un error de tipo I (rechazar la H0
cuando en realidad es verdadera).B1. Comparacin de dos
proporciones:Donde:n = sujetos necesarios en cada una de las
muestras Za = Valor Z correspondiente al riesgo deseado Zb = Valor
Z correspondiente al riesgo deseado p1 = Valor de la proporcin en
el grupo de referencia, placebo, control o tratamiento habitual. p2
= Valor de la proporcin en el grupo del nuevo tratamiento,
intervencin o tcnica. p = Media de las dos proporciones p1 y p2
Los valores Za segn la seguridad y Zb segn el poder se indican
en la Tabla 2 .B2. Comparacin de dos medias:Donde:n = sujetos
necesarios en cada una de las muestras Za = Valor Z correspondiente
al riesgo deseado Zb = Valor Z correspondiente al riesgo deseado S2
= Varianza de la variable cuantitativa que tiene el grupo control o
de referencia. d = Valor mnimo de la diferencia que se desea
detectar (datos cuantitativos) Los valores Za segn la seguridad y
Zb segn el poder se indican en la Tabla 2 (8).Tabla 2. Valores de
Za y Zb ms frecuentemente utilizados
Za
aTest unilateralTest bilateral
0.2000.1500.1000.0500.0250.0100.8421.0361.2821.6451.9602.3261.2821.4401.6451.9602.2402.576
Potencia
b(1-b)Zb
0.010.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.990.950.900.850.800.750.700.650.600.550.502.3261.6451.2821.0360.8420.6740.5240.3850.2530.1260.000
Ejemplo de comparacin de dos medias:Deseamos desarrollar un
experimento y consideramos que sera eficaz si lograse un descenso
de 15 puntos respecto a la puntuacin inicial. Por estudios previos
sabemos que la desviacin tpica del experimento es de 16 puntos,
aceptamos un riesgo de 0.05 y deseamos un poder estadstico de 90%
para detectar diferencias si es que existen.
Precisamos 20 personas en cada grupo.Ejemplo de comparacin de
dos proporciones:Deseamos evaluar si el Tratamiento T2 es mejor que
el tratamiento T1 para lo cual diseamos un ensayo. Sabemos por
datos previos que la eficacia del T habitual est alrededor del 70%
y consideramos relevante si el nuevo T demuestra un acierto del
90%. Nuestro nivel de riesgo lo fijamos en 0.05 y deseamos un poder
estadstico de un 80%.
n = 48.
II UNIDAD
6. COEFICIENTE DE CORRELACIN LINEALEn una distribucin
bidimensional puede ocurrir que las dos variables guarden algn tipo
de relacin entre s. Por ejemplo, si se analiza la estatura y el
peso de los alumnos de una clase es muy posible que exista relacin
entre ambas variables: mientras ms alto sea el alumno, mayor ser su
peso.El coeficiente de correlacin lineal mide el grado de
intensidad de esta posible relacin entre las variables. Este
coeficiente se aplica cuando la relacin que puede existir entre las
variables es lineal
No obstante, puede que exista una relacin que no sea lineal,
sino exponencial, parablica, etc. En estos casos, el coeficiente de
correlacin lineal medira mal la intensidad de la relacin las
variables, por lo que convendra utilizar otro tipo de coeficiente
ms apropiado.
Para ver, por tanto, si se puede utilizar el coeficiente de
correlacin lineal, lo mejor es representar los pares de valores en
un grfico y observar la forma que describen.
El coeficiente de correlacin lineal se calcula aplicando la
siguiente frmula:
Es decir:Numerador: se denomina covarianza y se calcula de la
siguiente manera: en cada par de valores (x,y) se multiplica la "x"
menos su media, por la "y" menos su media. Se suma el resultado
obtenido de todos los pares de valores y este resultado se divide
por el tamao de la muestra.Denominador se calcula el producto de
las varianzas de "x" y de "y", y a este producto se le calcula la
raz cuadrada.Los valores que puede tomar el coeficiente de
correlacin "r" son: -1 < r < 1Si "r" > 0, la correlacin
lineal es positiva (si sube el valor de una variable sube el de la
otra). La correlacin es tanto ms fuerte cuanto ms se aproxime a
1.Por ejemplo: altura y peso: los alumnos ms altos suelen pesar
ms.Si "r" < 0, la correlacin lineal es negativa (si sube el
valor de una variable disminuye el de la otra). La correlacin
negativa es tanto ms fuerte cuanto ms se aproxime a 1.Por ejemplo:
peso y velocidad: los alumnos ms gordos suelen correr menos.Si "r"
= 0, no existe correlacin lineal entre las variables. Aunque podra
existir otro tipo de correlacin (parablica, exponencial, etc.)De
todos modos, aunque el valor de "r" fuera prximo a 1 o -1, tampoco
esto quiere decir obligatoriamente que existe una relacin de
causa-efecto entre las dos variables, ya que este resultado podra
haberse debido al puro azar.
Ejemplo: vamos a calcular el coeficiente de correlacin de la
siguiente serie de datos de altura y peso de los alumnos de una
clase:
AlumnoEstaturaPesoAlumnoEstaturaPesoAlumnoEstaturaPeso
Xyxyxy
Alumno 11,2532Alumno 111,2533Alumno 211,2533
Alumno 21,2833Alumno 121,2835Alumno 221,2834
Alumno 31,2734Alumno 131,2734Alumno 231,2734
Alumno 41,2130Alumno 141,2130Alumno 241,2131
Alumno 51,2232Alumno 151,2233Alumno 251,2232
Alumno 61,2935Alumno 161,2934Alumno 261,2934
Alumno 71,3034Alumno 171,3035Alumno 271,3034
Alumno 81,2432Alumno 181,2432Alumno 281,2431
Alumno 91,2732Alumno 191,2733Alumno 291,2735
Alumno 101,2935Alumno 201,2933Alumno 301,2934
Aplicamos la frmula:(1/30) * (0,826)
r
=----------------------------------------------------------
(((1/30)*(0,02568)) * ((1/30)*(51,366)))^(1/2)
Luego,r =0,719
Por lo tanto, la correlacin existente entre estas dos variables
es elevada (0,7) y de signo postivo.
7. REGRESIN LINEALRepresentamos en un grfico los pares de
valores de una distribucin bidimensional: la variable "x" en el eje
horizontal o eje de abscisa, y la variable "y" en el eje vertical,
o eje de ordenada. Vemos que la nube de puntos sigue una tendencia
lineal:
El coeficiente de correlacin lineal nos permite determinar si,
efectivamente, existe relacin entre las dos variables. Una vez que
se concluye que s existe relacin, la regresin nos permite definir
la recta que mejor se ajusta a esta nube de puntos.
Una recta viene definida por la siguiente frmula:y = a + bx
Donde "y" sera la variable dependiente, es decir, aquella que
viene definida a partir de la otra variable "x" (variable
independiente). Para definir la recta hay que determinar los
valores de los parmetros "a" y "b":El parmetro "a" es el valor que
toma la variable dependiente "y", cuando la variable independiente
"x" vale 0, y es el punto donde la recta cruza el eje vertical.El
parmetro "b" determina la pendiente de la recta, su grado de
inclinacin.La regresin lineal nos permite calcular el valor de
estos dos parmetros, definiendo la recta que mejor se ajusta a esta
nube de puntos.El parmetro "b" viene determinado por la siguiente
frmula:
Es la covarianza de las dos variables, dividida por la varianza
de la variable "x".
El parmetro "a" viene determinado por:a = ym - (b * xm)
Es la media de la variable "y", menos la media de la variable
"x" multiplicada por el parmetro "b" que hemos calculado.
Ejemplo: vamos a calcular la recta de regresin de la siguiente
serie de datos de altura y peso de los alumnos de una clase. Vamos
a considerar que la altura es la variable independiente "x" y que
el peso es la variable dependiente "y" (podamos hacerlo tambin al
contrario):
AlumnoEstaturaPesoAlumnoEstaturaPesoAlumnoEstaturaPeso
xYxyxy
Alumno 11,2532Alumno 111,2533Alumno 211,2533
Alumno 21,2833Alumno 121,2835Alumno 221,2834
Alumno 31,2734Alumno 131,2734Alumno 231,2734
Alumno 41,2130Alumno 141,2130Alumno 241,2131
Alumno 51,2232Alumno 151,2233Alumno 251,2232
Alumno 61,2935Alumno 161,2934Alumno 261,2934
Alumno 71,3034Alumno 171,3035Alumno 271,3034
Alumno 81,2432Alumno 181,2432Alumno 281,2431
Alumno 91,2732Alumno 191,2733Alumno 291,2735
Alumno 101,2935Alumno 201,2933Alumno 301,2934
El parmetro "b" viene determinado por:b =(1/30) * 1,034
-----------------------------------------= 40,265
(1/30) * 0,00856
Y el parmetro "a" por: a = 33,1 - (40,265 * 1,262) = -17,714
Por lo tanto, la recta que mejor se ajusta a esta serie de datos
es:y = -17,714 + (40,265 * x)
Esta recta define un valor de la variable dependiente (peso),
para cada valor de la variable independiente
(estatura):EstaturaPeso
xx
1,2030,6
1,2131,0
1,2231,4
1,2331,8
1,2432,2
1,2532,6
1,2633,0
1,2733,4
1,2833,8
1,2934,2
1,3034,6
8. PROBABILIDADLa probabilidad mide la frecuencia con la que
aparece un resultado determinado cuando se realiza un
experimento.Ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos saber cul
es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un nmero par, o
que salga un nmero menor que 4.El experimento tiene que ser
aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados,
dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aun realizando
el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no
se conoce cul de los resultados se va a presentar:Ejemplos:
lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz,
pero no sabemos de antemano cul de ellos va a salir.En la Lotera de
Navidad, el "Gordo" (en Espaa se llama "Gordo" al primer premio)
puede ser cualquier nmero entre el 1 y el 100.000, pero no sabemos
a priori cual va a ser (si lo supiramos no estaramos aqu
escribiendo esta leccin).Hay experimentos que no son aleatorios y
por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la
probabilidad.Ejemplo: en lugar de tirar la moneda al aire,
directamente seleccionamos la cara. Aqu no podemos hablar de
probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno
mismo. Antes de calcular las probabilidades de un experimento
aleatorio hay que definir una serie de conceptos: Suceso elemental:
hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden
presentar.Ejemplo: al lanzar una moneda al aire, los sucesos
elementales son la cara y la cruz. Al lanzar un dado, los sucesos
elementales son el 1, el 2, .., hasta el 6.Suceso compuesto: es un
subconjunto de sucesos elementales.Ejemplo: lanzamos un dado y
queremos que salga un nmero par. El suceso "numero par" es un
suceso compuesto, integrado por 3 sucesos elementales: el 2, el 4 y
el 6O, por ejemplo, jugamos a la ruleta y queremos que salga "menor
o igual que 18". Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos
elementales (todos los nmeros que van del 1 al 18).Al conjunto de
todos los posibles sucesos elementales lo denominamos espacio
muestral. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio
muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones
posibles).Ejemplo: si tiramos una moneda al are una sola vez, el
espacio muestral ser cara o cruz.Si el experimento consiste en
lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral
estara formado por (cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y
(cruz-cruz).
8.1 PROBABILIDAD: RELACIN ENTRE SUCESOS Entre los sucesos
compuestos se pueden establecer distintas relaciones:a) Un suceso
puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer
suceso tambin lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene
adems otras soluciones suyas propias.Ejemplo: lanzamos un dado y
analizamos dos sucesos: a) que salga el nmero 6, y b) que salga un
nmero par. Vemos que el suceso a) est contenido en el suceso
b).Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al
contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumplira el
suceso b), pero no el el a).b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto
ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple
obligatoriamente el otro y viceversa.Ejemplo: lanzamos un dado al
aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que
salga mltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos
casos.c) Unin de dos o ms sucesos: la unin ser otro suceso formado
por todos los elementos de los sucesos que se unen.Ejemplo:
lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga
nmero par y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unin
estara formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el
6d) Interseccin de sucesos: es aquel suceso compuesto por los
elementos comunes de dos o ms sucesos que se intersectan.Ejemplo:
lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga
nmero par, y b) que sea mayor que 4. La interseccin de estos dos
sucesos tiene un slo elemento, el nmero 6 (es el nico resultado
comn a ambos sucesos: es mayor que 4 y es nmero par).e) Sucesos
incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya
que no tienen elementos comunes (su intereseccin es el conjunto
vacio).Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:
a) que salga un nmero menor que 3, y b) que salga el nmero 6. Es
evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.f) Sucesos
complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente
se tiene que dar el otro.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y
analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero par, y b) que salga
un nmero impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar
el segundo (y viceversa). 8.2 Clculo de probabilidadesComo hemos
comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor
posibilidad de que se d un determinado resultado (suceso) cuando se
realiza un experimento aleatorio.La probabilidad toma valores entre
0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):El valor
cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la
probabilidad de que salga el nmero 7 es cero (al menos, si es un
dado certificado por la OMD, "Organizacin Mundial de Dados").El
valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y
la probabilidad de que salga cualquier nmero del 1 al 6 es igual a
uno (100%).El resto de sucesos tendr probabilidades entre cero y
uno: que ser tanto mayor cuanto ms probable sea que dicho suceso
tenga lugar.Cmo se mide la probabilidad?Uno de los mtodos ms
utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad
de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos
posibles.P(A) = Casos favorables / casos posiblesVeamos algunos
ejemplos:a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el nmero 2:
el caso favorable es tan slo uno (que salga el dos), mientras que
los casos posibles son seis (puede salir cualquier nmero del uno al
seis). Por lo tanto:P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo,
16,6%)b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un nmero par:
en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el
cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo
seis. Por lo tanto:P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo,
50%)c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un nmero menor
que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el
uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos
posibles. Por lo tanto:P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo,
66,6%)d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan
slo un caso favorable, el nmero que jugamos (qu triste...), frente
a 100.000 casos posibles. Por lo tanto:P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001
(o lo que es lo mismo, 0,001%)Merece la pena... Por cierto, tiene
la misma probabilidad el nmero 45.264, que el nmero 00001, pero cul
de los dos compraras?Para poder aplicar la Regla de Laplace el
experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos: a) El nmero
de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera
infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos
posibles" el cociente siempre sera cero.b) Todos los sucesos tienen
que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas
caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podramos
aplicar esta regla. A la regla de Laplace tambin se le denomina
"probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer
antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados
y saber que todos tienen las mismas probabilidades.Y si el
experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qu
hacemos?, ponemos una denuncia?No, no va a ser necesario denunciar
a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de clculo
de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo
frecuentista):Cuando se realiza un experimento aleatorio un nmero
muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles
sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son
sus respectivas probabilidades.Ejemplo: si lanzo una vez una moneda
al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha
aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.Si lanzo
diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga
7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la
probabilidad del suceso "cara" ya no sera del 100%, sino que se
habra reducido al 70%.Si repito este experimento un nmero elevado
de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara"
y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. En este modelo ya no
ser necesario que el nmero de soluciones sea finito, ni que todos
los sucesos tengan la misma probabilidad.Ejemplo: si la moneda que
utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera
trucada), es posible que al repetir dicho experimento un nmero
elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia, por
ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%. Estos valores seran las
probabilidades de estos dos sucesos segn el modelo frecuentista.A
esta definicin de la probabilidad se le denomina probabilidad a
posteriori, ya que tan slo repitiendo un experimento un nmero
elevado de veces podremos saber cual es la probabilidad de cada
suceso.
9 PROBABILIDAD DE SUCESOSAl definir los sucesos hablamos de las
diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre s, as
como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los
mismos. Vamos a ver ahora cmo se refleja esto en el clculo de
probabilidades.a) Un suceso puede estar contenido en otro:
entonces, la probabilidad del primer suceso ser menor que la del
suceso que lo contiene.Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos
sucesos: a) que salga el nmero 6, y b) que salga un nmero par.
Dijimos que el suceso a) est contenido en el suceso b).P(A) = 1/6 =
0,166P(B) = 3 / 6 = 0,50Por lo tanto, podemos ver que la
probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la
probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).b) Dos sucesos
pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos
sucesos son las mismas.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y
analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga
mltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.P(A) = 3 / 6
= 0,50P(B) = 3 / 6 = 0,50c) Interseccin de sucesos: es aquel suceso
compuesto por los elementos comunes de los dos o ms sucesos que se
intersectan. La probabilidad ser igual a la probabilidad de los
elemntos comunes.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos
sucesos: a) que salga nmero par, y b) que sea mayor que 3. La
interseccin de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el
6.Su probabilidad ser por tanto:P(A B) = 2 / 6 = 0,33d) Unin de dos
o ms sucesos: la probabilidad de la unin de dos sucesos es igual a
la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que
se unen, menos la probabilidad del suceso interseccinEjemplo:
lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga
nmero par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unin
estara formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el
6.P(A) = 3 / 6 = 0,50P(B) = 3 / 6 = 0,50P (A B) = 2 / 6 = 0,33Por
lo tanto,P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666e) Sucesos
incompatibles: la probabilidad de la unin de dos sucesos
incompatibles ser igual a la suma de las probabilidades de cada uno
de los sucesos (ya que su interseccin es el conjunto vacio y por lo
tanto no hay que restarle nada).Ejemplo: lanzamos un dado al aire y
analizamos dos sucesos: a) que salga un nmero menor que 3, y b) que
salga el nmero 6.La probabilidad del suceso unin de estos dos
sucesos ser igual a:P(A) = 2 / 6 = 0,333P(B) = 1 / 6 = 0,166Por lo
tanto, P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50f) Sucesos complementarios: la
probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a
1 - P(A)Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que
salga un nmero par, luego su complementario, suceso (B), es que
salga un nmero impar. La probabilidad del suceso (A) es igual a
:P(A) = 3 / 6 = 0,50Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual
a: P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50 Se puede comprobar aplicando
la regla de "casos favorables / casos posibles": P(B) = 3 / 6 =
0,50 g) Unin de sucesos complementarios: la probabilidad de la unin
de dos sucesos complementarios es igual a 1.Ejemplo: seguimos con
el ejemplo anterior: a) que salga un nmero par, y b) que salga un
nmero impar. La probabilidad del suceso unin de estos dos sucesos
ser igual a:P(A) = 3 / 6 = 0,50P(B) = 3 / 6 = 0,50Por lo tanto, P(A
U B) = 0,50 + 0,50 = 1
10 PRUEBA DE HIPTESIS
Hiptesis: enunciado acerca de una poblacin elaborada con el
propsito de ponerse a prueba.Ejemplos de hiptesis acerca de un
parmetro de poblacin son:la media mensual de ingresos para
analistas de sistemas es $3625,el 20% de los delincuentes juveniles
son capturados y sentenciados a prisin.
PRUEBA DE HIPTESIS
Afirmacin acerca de los parmetros de la poblacin. Etapas Bsicas
en Pruebas de Hiptesis.Al realizar pruebas de hiptesis, se parte de
un valor supuesto (hipottico) en parmetro poblacional. Despus de
recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadstica
muestral, as como la media (x), con el parmetro hipottico, se
compara con una supuesta media poblacional (). Despus se acepta o
se rechaza el valor hipottico, segn proceda. Se rechaza el valor
hipottico slo si el resultado muestral resulta muy poco probable
cuando la hiptesis es cierta.Etapa 1.- Planear la hiptesis nula y
la hiptesis alternativa. La hiptesis nula (H0) es el valor
hipottico del parmetro que se compra con el resultado muestral
resulta muy poco probable cuando la hiptesis es cierta.Etapa 2.-
Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El
nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hiptesis nula
solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor
hipottico que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera
ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 1.05 o menos.Etapa
3.- Elegir la estadstica de prueba. La estadstica de prueba puede
ser la estadstica muestral (el estimador no segado del parmetro que
se prueba) o una versin transformada de esa estadstica muestral.
Por ejemplo, para probar el valor hipottico de una media
poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa
distribucin normal, entonces es comn que se transforme la media en
un valor z el cual, a su vez, sirve como estadstica de prueba.
DefinicionesHiptesis nula H0: afirmacin acerca del valor de un
parmetro poblacional.Hiptesis alterna H1: afirmacin que se aceptar
si los datos muestrales proporcionan evidencia de que la hiptesis
nula es falsa.Nivel de significancia: probabilidad de rechazar la
hiptesis nula cuando es verdadera.Error Tipo I: rechazar la
hiptesis nula cuando en realidad es verdadera. Error Tipo II:
aceptar la hiptesis nula cuando en realidad es falsa.Estadstico de
prueba: valor obtenido a partir de la informacin muestral, se
utiliza para determinar si se rechaza o no la hiptesis.Valor
crtico: el punto que divide la regin de aceptacin y la regin de
rechazo de la hiptesis nula.Valor p en la prueba de hiptesis Valor
p: es la probabilidad de observar un valor muestral tan extremo o
ms que el valor observado, dado que la hiptesis nula es
verdadera.Si el valor p es menor que el nivel de significancia, H0
se rechaza.Si el valor p es mayor que el nivel de significancia, H0
no se rechaza
LA PRUEBA DE X 2 La prueba de X 2 se utiliza cuando se quieren
analizar la correlacin entre dos variables cuyos valores son
nominales y parte, de la comparacin de las frecuencias absolutas
del cruce de los valores, con los valores de las frecuencias
esperados de forma terica.En el siguiente ejemplo se tienen 212
estudiantes de las carreras de psicologa, ingeniera y arquitectura,
se desea encontrar si existe correlacin entre la carrera estudiada
y el gnero (masculino o femenino).TABLA
1GENEROCARRERAGENEROCARRERAGENEROCARRERAGENEROCARRERAGENEROCARRERA
MasculinoingenieraFemeninoPsicologafemeninoArquitecturaFemeninoingenierafemeninopsicologa
FemeninoarquitecturaMasculinoIngenieramasculinoingenieraFemeninopsicologamasculinoarquitectura
MasculinopsicologaMasculinoArquitecturafemeninoingenieraFemeninopsicologamasculinoingeniera
FemeninoingenieraMasculinoIngenierafemeninopsicologaFemeninoarquitecturamasculinopsicologa
FemeninoarquitecturaFemeninoIngenierafemeninopsicologaMasculinoingenierafemeninoingeniera
FemeninopsicologaMasculinoIngenierafemeninoarquitecturaFemeninopsicologafemeninoarquitectura
FemeninopsicologaFemeninoIngenieramasculinoarquitecturaFemeninoarquitecturafemeninopsicologa
FemeninoingenieraFemeninoIngenieramasculinopsicologaMasculinoarquitecturafemeninoarquitectura
MasculinoingenieraFemeninoArquitecturafemeninopsicologaFemeninopsicologafemeninopsicologa
FemeninopsicologaMasculinoIngenierafemeninoingenieraFemeninoingenierafemeninopsicologa
MasculinopsicologaFemeninoIngenierafemeninoingenieraFemeninoarquitecturamasculinoingeniera
MasculinoingenieraFemeninoIngenieramasculinoingenieraMasculinopsicologafemeninoarquitectura
MasculinopsicologaMasculinoPsicologafemeninoingenieraMasculinopsicologafemeninoingeniera
FemeninopsicologaFemeninoArquitecturafemeninopsicologaMasculinoarquitecturamasculinoarquitectura
MasculinoingenieraMasculinoPsicologafemeninoingenieraMasculinoingenieramasculinoarquitectura
MasculinoarquitecturaMasculinoIngenieramasculinoarquitecturaFemeninoarquitecturafemeninopsicologa
MasculinoarquitecturaFemeninoIngenierafemeninoarquitecturaFemeninoarquitecturafemeninoingeniera
MasculinoingenieraMasculinoArquitecturamasculinoingenieraFemeninopsicologamasculinoingeniera
FemeninoarquitecturaFemeninoPsicologamasculinopsicologaFemeninopsicologafemeninopsicologa
FemeninoarquitecturaMasculinoPsicologafemeninopsicologaFemeninopsicologafemeninopsicologa
FemeninopsicologaMasculinoArquitecturafemeninopsicologaMasculinoarquitecturamasculinoingeniera
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FemeninopsicologaFemeninoArquitecturafemeninopsicologaMasculinoingenieramasculinoarquitectura
FemeninoarquitecturaFemeninoArquitecturafemeninoarquitecturaMasculinoingenieramasculinoarquitectura
FemeninoingenieraFemeninoPsicologafemeninoingenieraMasculinoarquitecturafemeninopsicologa
MasculinoarquitecturaMasculinoIngenierafemeninoingenieraFemeninopsicologamasculinoingeniera
FemeninopsicologaFemeninoArquitecturafemeninoingenieraFemeninoingenieramasculinoingeniera
FemeninoarquitecturaMasculinoIngenierafemeninopsicologaFemeninoarquitecturamasculinopsicologa
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FemeninoingenieraMasculinoPsicologafemeninopsicologaMasculinoarquitecturafemeninoarquitectura
MasculinoingenieraMasculinoIngenierafemeninoarquitecturaMasculinopsicologafemeninopsicologa
MasculinoingenieraMasculinoPsicologafemeninoarquitecturaFemeninoarquitecturafemeninopsicologa
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FemeninoarquitecturaFemeninoIngenierafemeninoarquitecturaMasculinoingenierafemeninopsicologa
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MasculinopsicologaFemeninoIngenierafemeninopsicologaFemeninoarquitecturamasculinopsicologa
MasculinoarquitecturaMasculinoArquitecturamasculinoingenieraMasculinoingenieramasculinoingeniera
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FemeninoingenieraMasculinoArquitecturafemeninoingenieraMasculinoarquitectura
Lo primero que hacemos es un conteo de las variables cruzadas
como se muestra en la siguiente tabla.TABLA 2Frecuencia
observadaPsicologaIngenieraarquitectura
Masculino243930
Femenino493238
Despus se procede a contar los valores de cada variable sumando
los renglones sumando las columnas, por ejemplo el total de:
masculino es 24 + 39 + 30 = 93femenino es 49 + 32 + 38 =
119psicologa es 24 + 49 = 73ingeniera es 39 + 32 = 71arquitectura
es 30 + 38 = 68Y la suma total es 212TABLA
3psicologaIngenieraarquitectura
Masculino24393093
Femenino493238119
737168212
Se calcula la tabla de las frecuencias esperadas multiplicando
de la TABLA 3 la suma del rengln por la suma de la columna dividida
entre la suma total, colocando el resultado en la TABLA 4.As
para:masculino - psicologa 73 x 93 / 212 = 32.0235849masculino
ingeniera 71 x 93 / 212 =31.1462264masculino arquitectura 68 x 93 /
212 =29.8301887femenino - psicologa 73 x 119 / 212 =
40.9764151femenino ingeniera 71 x 119 / 212 =39.8537736femenino
arquitectura 68 x 119 / 212 =38.1698113TABLA 4frecuencia
esperadapsicologaIngenieraarquitectura
Masculino32.023584931.146226429.8301887
Femenino40.976415139.853773638.1698113
Si comparamos los valores de las frecuencias esperadas con la de
las frecuencias observadas tenemos que la frecuencia observada en
masculino psicologa = 24 es menor que su frecuencia esperada =
32.0235849 esto puede implicar un correlacin negativa, es decir el
valor masculino de la variable gnero puede presentar valores
inferiores a los esperados del valor psicologa de la variable
carrera. Una forma ms simple de decirlo es que los estudiantes de
genero masculino tienden a presentarse menos en la carrera de
psicologa en menor grado que los de genero femenino, el que exista
una correlacin negativa o positiva no implica trminos excluyentes o
determinantes pues en este ejemplo aunque la correlacin parece ser
negativa ( tal y como lo calcularemos mas adelante) ello no implica
que estudiantes del genero masculino se excluyan de la carrera de
psicologa, simplemente significa que los valores observados son
menores a los que esperaramos estadsticamente si no hubiera
correlacin.Para medir la correlacin procedemos a calcular el valor
de la X 2.El valor de la X2 es igual a:
Esto es la suma de los cuadrados de la diferencia entre la
frecuencia esperada menos la frecuencia observada entre la
frecuencia esperada.Esto lo veremos con mayor claridad en la
siguiente tabla
As para:(GENERO-CARRERA) (fe - fo) 2 / fe
masculino - psicologa ( 32.0235849 24 ) 2 / 32.0235849 =
2.01032817masculino ingeniera ( 31.1462264 39 ) 2 / 31.1462264 =
1.9803927masculino arquitectura ( 29.8301887 30 ) 2 / 29.8301887 =
0.0009666femenino - psicologa ( 40.9764151 49 ) 2 / 40.9764151 =
1.5710968femenino ingeniera ( 39.8537736 32 ) 2 / 39.8537736 =
1.54770186femenino arquitectura ( 38.1698113 38 ) 2 / 38.1698113 =
0.00075546TABLA 5X2 psicologaIngenieraarquitectura
Masculino2.010328171.98039270.00096667
Femenino1.57109681.547701860.00075546
X2 =7.11124166
El valor de la X2 es la suma de todos los trminos 2.01032817+
1.9803927+ 0.00096667+ 1.5710968+ 1.54770186+ 0.00075546
7.11124166
As:X2 = 7.11124166
Ahora calculamos los grados de libertad (g.l.) mediante la
siguiente frmula.
g.l. =(r 1)(c 1)
g.l. = grados de libertadr = nmero de renglonesc = nmero de
columnas
Para el ejemplo que estamos manejando tenemos:r = 2 (Los
renglones para los dos valores masculino y femenino)c = 3 (Las
columnas para los tres valores de psicologa, ingeniera y
arquitectura)
As:g.l. = (r 1)(c 1)g.l. = (2 1)(3 1)g.l. = (1)(2)g.l. = 2
Para el ejemplo tenemos que:X2 = 7.11124166 y g.l. = 2Teniendo
el valor de la X2 y los grados de libertad procedemos a calcular
(alfa)Siendo alfa:
Donde es la funcin GAMMALa funcin anterior no se puede integrar
de manera explcita por lo que para resolverla es necesario usar
mtodos numricos de integracin.
Mediante las hojas de clculo de Microsoft Excel es posible
calcular el valor de escribiendo para este
ejemplo:=DISTR.CHI(7.11124166, 2)Ya que: X2 = 7.11124166 y g.l. =
2Haciendo esto, obtenemos: = 0.0285636361919662
El significado de (alfa) y su interpretacinEl mtodo de anlisis
de correlacin no paramtrica para tablas de contingencia de la X2
parte del supuesto inicial de que no existe correlacin entre las
variables y que los resultados de la muestra son producto
exclusivamente del azar.A este supuesto inicial se le conoce como
la hiptesis nula y se le designa con H0.Dada esta suposicin el
valor de es la probabilidad de que se obtenga una muestra como la
que se obtuvo sin que exista una correlacin de las variables, si el
valor de es muy pequeo, entonces tenemos dos opciones:1.-) Se
obtuvo una muestra muy extraa y con escasas probabilidades de
ocurrir.2.-)La hiptesis nula de que no existe correlacin entre las
variables es falsa siendo que los valores observados ocurrieron no
por azar sino porque estn correlacionadas, A esta opcin se le
conoce como la hiptesis alternativa y se le denomina Ha.Si el valor
de es muy pequeo, se opta por la segunda opcin pues es una
explicacin mas plausible que las variables estn correlacionadas a
que haya ocurrido un hecho rarsimo.Para nuestro ejemplo tenemos
que: = 0.0285636361919662Esto significa que la probabilidad sera
menor del 3 % para que ocurra una muestra como la que se
obtuvo.Otra forma de percibir la probabilidad de alfa es obteniendo
el reciproco de esto es:0.0285636361919662Significa que la
probabilidad de ocurrencia es de uno en 34.Tambin tenemos lo que es
el nivel de significancia o intervalo de confianza (I.C).I.C. = 1 -
I.C. = 1 - 0.0285636361919662I.C. = 0.971436363808034I.C. = 97.144
%Tenemos entonces para nuestro ejemplo dos opciones.1.-) Los
resultados de esta muestra son producto exclusivamente del azar y
ocurri algo que ocurre una de cada 34 veces (hiptesis nula H0
).2.-) No ha ocurrido un hecho extrao con pocas posibilidades de
ocurrencia sino que ha ocurrido un hecho comn donde las variables
se encuentran correlacionadas (hiptesis alternativa Ha ).Cul es la
opcin que tomaramos para este caso?Existe un criterio que es
enteramente convencional pues no existe ninguna razn matemtica para
validarlo de que con valores de menores o iguales a 0.05, se opta
por la hiptesis alternativa Ha, esto es las variables estn
correlacionadas en tanto que para valores de mayores de 0.05 se
opta por la hiptesis nula H0, esto es las variables no estn
correlacionadas.Una = 0.05 implica un nivel de significancia de o
intervalo de confianza (I.C.) de:I.C. = 1 - I.C. = 1 0.05I.C. =
0.95I.C. = 95 %A este criterio se le conoce como un nivel de
significancia del 95 %
Si aplicamos este criterio a nuestro ejemplo, tenemos que: =
0.0285636361919662 0.0285636361919662 < 0.05
I.C. = 97.144 %97.144 % > 95 %Lo que implica la hiptesis
alternativa Ha estos es que las variables GNERO Y CARRERA estn
correlacionadas.Como podemos observar en la tabla de frecuencias
esperadas ( TABLA 4 ), todas la frecuencias esperadas son mayores
que 5, si el porcentaje de las frecuencias esperadas menores que 5
es mayor del 50 %, existe entonces una sobrestimacin de la prueba
de X2, en la siguiente tabla nos muestra los resultados obtenidos
para las variables del ejemplo siendo c < 5 el porcentaje de
frecuencias esperadas menores que 5, si este porcentaje es mayor
del 50 %, debajo de la celda est (estimacin) aparecer la palabra
s.e. (sobrestimada).
TABLA 6varvarNombrenombreAlfaI.C.g.l.c < 5est
12GENEROCARRERA0.0285636360.97143636420.00%
