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UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL CHOCO
DIEGO LUIS CORDOBA
FACULTAD DE HUMANIDADES Y ARTES
PROGRAMA DE TRABAJO SOCIAL
MODALIDAD A DISTANCIA
MODULO DE ELEMENTOS DE ESTADSTICA Y NOCIONES DE
PROBABILIDADES
Elabor:
Economista: JOHN ENRIQUE LUNA RENGIFO
Quibd ChocMayo de 2009
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
CONTENIDO
TEMA Pagina
PRIMERA PARTE
Historiaimportanciaconceptos
UNIDAD NUMERO UNO:
1. El mtodo estadstico.1.1. Etapas del mtodo estadstico.1.1.1. Planteamiento del problema.1.1.2. Fijacin de los objetivos.1.1.3. Las hiptesis.1.1.4. Unidad de observacin y de medida.1.1.5. Determinacin de la poblacin y de la muestra.1.1.6. Recoleccin de la informacin.1.1.7. Critica, clasificacin y ordenacin de la informacin.1.1.8. Tabulacin de la informacin.1.1.9. Presentacin de la informacin.1.1.10. Anlisis de la informacin.1.1.11. Publicacin de los resultados.1.2. Tcnicas de recoleccin de la informacin.1.2.1. Medicin.
-La observacin.-La entrevista.-La encuesta.-Auto evaluacin.
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UNIDAD NUMERO DOS: LAS FRECUENCIAS.
2. Las Frecuencias2.1. Distribuciones de frecuencias.2.1.1.Distribucin de frecuencias simples.2.2. Propiedades de las frecuencias.2.3. Distribucin de frecuencias por intervalos.2.4. Representacin grafica.2.4.1.Tipos de graficas.2.4.1.1.Histogramas de frecuencias.2.4.1.2. Grficos de barras2.4.1.3. Grficos circulares2.5. Histogramas de frecuencias.
- Auto evaluacin.
UNIDAD NUMERO TRES:
3. Mediadas de tendencia central.3.1. Media aritmtica.3.1.1 Propiedades de la media aritmtica.3.2. La mediana.3.3. La moda.3.4. Medidas de posicin -percentiles-3.4.1. Cuartiles.
- Representacin grafica.- Calculo matemtico.
3.4.2. Quintiles.- Representacin grafica.- Calculo matemtico.
3.4.3. Deciles y centiles.- auto evaluacin.
UNIDAD NUMERO CUATRO
4. Medidas de dispersin.4.1. Rango o recorrido.
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4.2. Desviacin media.4.3. Varianza y desviacin estndar.4.4. Coeficiente de variabilidad.
- Auto evaluacin.
SEGUNDA PARTE
UNIDAD NUMERO CINCO
5. Introduccin a las probabilidades.5.1 Introduccin.5.2. Escala de probabilidades.5.3. Espacio muestral de un experimento.5.4. Tcnicas de conteo.5.4.1.Permutaciones y combinaciones.
- Auto evaluacin.-
UNIDAD NUMERO SEIS:
6. Distribuciones de muestreo aleatorio.6.1. Marco muestral.6.2. Encuesta preliminar o piloto.6.3 La muestra.6.4. Metodos de muestreo aleatorio.6.5. Tamao de la muestra.6.5.1. Calculo del tamao de la muestra.
- Auto evaluacin.
UNIDAD NUMRO SIETE.
7. Prueba de hiptesis.7.1. La hiptesis.
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7.1.1. Hiptesis estadstica.7.1.2. Hiptesis nula.7.1.3. Hiptesis alternativa.7.2. Clases de pruebas.7.2.1. La prueba normal de medias poblacionales.7.2.2. Nivel de significacin.7.2.3. Procedimiento para la prueba de hiptesis.7.3. Prueba del Chi- cuadrado.7.3.1. Tabla de contingencia
- Auto evaluacin.
UNIDAD NUMERO OCHO.
8. Anlisis de regresin y correlacin lineal.8.1. Regresin lineal simple.8.2 Calculo de los coeficientes.8.2.1. Procedimiento para el calculo de los coeficientes.
- Auto evaluacin.
UNIDAD NMERO NUEVE.
9. Tasas e ndices.9.1. Las tasas.9.2. Numero ndice.9.2.1. ndices simples.9.2.2. Usos frecuentes de los ndices.
- Auto evaluacin.10. Terminologa.11. Referencias bibliogrficas.
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ESTADSTICA
GENERALIDADES.
HISTORIA.
La palabra stadistik proviene de la palabra italiana statista que
significa estadstica, utilizada por primera vez por Gottfried
Achenwall (1719 1772), posteriormente un profesor introdujo el
termino estadstica a Inglaterra; su uso fue popularizado por Sir
John Sinclair en su obra Statistical Account of Scotland (1791-
1799) (Informe estadstico sobre Escocia), no obstante, mucho
antes la gente ya registraba datos.
El Viejo testamento contiene informe sobre levantamiento de
censos; la estadstica gubernamental en Babilonia, Egipto y Roma
tambin lo demuestra. Por el ao de 1806, Guillermo el
Conquistador, orden la publicacin del Domesday Book, que era
un registro de la propiedad, extensin y valor de las tierras de
Inglaterra, lo que se constituy en el primer registro estadstico de
Inglaterra.
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IMPORTANCIA.
La estadstica se comporta como una ciencia auxiliar a todas las
ciencias, ms si se tiene en cuenta que diariamente desde la
posicin u oficio a que estemos dedicados nos vemos en la
necesidad de tomar decisiones bajo incertidumbre.
Para qu la Estadstica: los conceptos y las tcnicas de la estadstica se utilizan para la planeacin, el control, la direccin e
interpretacin de resultados de una actividad.
Al resumir algunos de los aspectos que indican la importancia de la
estadstica podramos mencionar:
a. Permite conocer la realidad de una observacin o fenmeno.
b. Ayuda a determinar lo tpico o normal de la observacin.
c. Indica los cambios que se generan en el fenmeno observado.
d. Relaciona dos o ms fenmenos.
e. Permite determinar las causas que dan origen al fenmeno.
f. Realiza estimativos sobre el comportamiento de un fenmeno.
g. Facilita la obtencin de conclusiones a nivel muestral
aplicables a toda la poblacin.
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Es un error buscar relacin directa entre la estadstica y los
nmeros nicamente, pues no es solamente eso, ciertamente, la
generalidad de la estadstica, indica cifras bsicamente relativas;
asesinatos, robos, ventas, exportaciones, importaciones, abortos,
nacimientos, defunciones, etc., por lo tanto, es bsico el
conocimiento de las operaciones elementales y las propiedades de
los signos.
CONCEPTOS
Por lo anterior, es normal encontrar diferentes conceptos sobre
estadstica segn el autor, o la idea a representar.
Uno de los ms elementales dice, que la estadstica es la
agrupacin de datos ordenados en forma sistemtica en cuadros
o grficos.
Conjunto de tcnicas que a partir de la observacin de diferentes
fenmenos, posibilitan hacer conclusiones.
Segn el interes, que nos ocupe en su uso, asi debemos
aprovechar alguna de las siguientes subdivisiones:
a. ESTADSTICA DESCRIPTIVA. Describe cuantitativamente una serie de personas, lugares o cosas.
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b. ESTADSTICA INFERENCIAL. Se ocupa de dar informacin para sacar conclusiones acerca de un grupo de
personas lugares o cosas, a partir de un anlisis puntual o
muestral.
c. TEORIA DECISORIAL, es utilizada especialmente por los administradores para tomar decisiones en condiciones de
incertidumbre: cuando por ejemplo, un fabricante de
aparatos de sonido no puede especificar precisamente la
demanda de sus productos o cuando en una escuela se
deben asignar grupos y crear horarios sin tener el
conocimiento preciso del numero de estudiantes que
entraran en un grado determinado.
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UNIDAD NMERO UNO
1. EL METODO ESTADSTICO
El mtodo estadstico es utilizado frecuentemente en las
investigaciones sociales, parte de la observacin de un fenmeno
permitiendo la libertad del fenmeno y su registro para su anlisis
final.
1.1 ETAPAS DEL METODO ESTADSTICO.
Las etapas del mtodo estadstico se pueden numerar a criterio del
investigador, no obstante, debe incluir los siguientes actividades.
Planteamiento del problema.
Fijacin de los objetivos.
Formulacin de la hiptesis.
Definicin de la unidad de medida y de observacin.
Determinacin de la poblacin y el tamao de la muestra.
Sistema de recoleccin de la informacin.
Critica, clasificacin y ordenacin de la informacin.
Tabulacin de la informacin.
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Presentacin de la informacin.
Anlisis de la informacin.
Publicacin de los resultados.
1.1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
Cuando decidimos realizar una investigacin, debemos iniciar con
pi firme, por ello, se debe hacer claridad sobre el qu y el porqu
se desea estudiar algn fenmeno.
Para andar por caminos menos riesgosos, se hace necesario
realizar una exhaustiva revisin bibliogrfica, para conocer los
resultados de investigaciones similares que nos permita ubicar
nuestra propuesta de manera histrica y terica.
1.1.2 FIJACIN DE LOS OBJETIVOS.
Una vez hemos determinado con claridad que vamos a investigar,
es necesario establecer nuestro alcance, es decir, cual o cuales
son nuestros objetivos, los cuales deben ser escritos con claridad
lejos de ambigedades; en los objetivos se hace necesario
diferenciar entre objetivos generales y objetivos especficos. De
igual manera se establecen las metas que deben ser cuantificables.
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1.1.3 LAS HIPTESIS.Segn la informacin o conocimiento sobre el fenmeno a
investigar por parte del investigador, se podrn establecer las
hiptesis buscando con ellas predecir de una manera provisional lo
que pueda llegar a suceder, como se trata de una hiptesis
estadstica, debe tener la posibilidad de ser probada y si es del
caso rechazada.
La hiptesis formulada debe estar relacionada con la media, la
proporcin, la varianza, etc., y con la posibilidad de ser rechazarla
si es del caso, por ello se habla de hiptesis nula y la contraria a
ella hiptesis alternativa.
1.1.4 UNIDAD DE OBSERVACIN Y DE MEDIDA.
La unidad de observacin esta constituida por todos y cada uno de
los elementos que hacen parte de la poblacin que previamente se
ha definido, indicando sus caractersticas.
La unidad de medida se determina de acuerdo a las caractersticas
de la unidad de observacin, por ello, debe definirse tambin
previamente.
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1.1.5 DETERMINACIN DE LA POBLACIN Y LA MUESTRA.
Estadsticamente, en la poblacin a estudiar debe determinarse la
posibilidad de manejo, para ello, pensemos que en algunos casos
desconocemos cuantos elementos existen en la poblacin, esta
poblacin la vamos a considerar como infinita independientemente que su numero sea pequeo; mientras que
puede darse el caso de una poblacin muy grande, pero que
sabemos con precisin cuantos elementos la componen, a esta
poblacin nos referiremos como una poblacin finita.
El estudio de todos los elementos de la poblacin se convertira en
un censo, que por lo dems, es costoso en trminos de recursos
financieros, demorados en el tiempo y a veces innecesarios.
El estudio en una muestra permite hacer inferencia a toda la
poblacin a la cual pertenece; la muestra debe tener principalmente
dos caractersticas; de una parte debe ser representativa y de otra
debe ser optima, para ello, existen mtodos segn sea la poblacin
finita o infinita y adems se refiera a una proporcin o una variable.
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Lo que si debe quedar desde ya claro es que esta debe ser
aleatoria o al azar, esto es, que todos los elementos tengan la
misma oportunidad de ser seleccionados y participar en ella, para
que la muestra sea optima.
1.1.6 RECOLECCION DE LA INFORMACIN.
La recoleccin de la informacin generalmente se inicia luego de
haber realizado una prueba piloto o prueba de campo, que permita
validar los cuestionarios establecidos para tal fin. Esta prueba
tambin sirve como medio para obtener de manera aproximada la
variabilidad de la poblacin, lo que posteriormente permite el
clculo exacto del tamao de la muestra, adems se establecen los
tiempos promedios de aplicacin que suelen ser de alguna utilidad.
1.1.7 CRITICA CLASIFICACION Y ORDENACIN DE LA INFORMACIN.
Una vez se ha recopilado toda la informacin, debe ser sometida a
una depuracin que permita detectar falsedades, por ello, esta
etapa es conveniente entregarla a una persona que tenga
conocimiento de la poblacin.
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Luego de la critica o depuracin, se debe ordenar el material
depurado e iniciar la clasificacin y ordenacin de las diferentes
variables consultadas con la ayuda de hojas auxiliares (este trabajo
se puede realizar mediante tcnicas sistematizadas).
1.1.8 TABULACION DE LA INFORMACIN.
Tabular o entablar la informacin consiste en organizar toda la
informacin respecto una o ms variables, estas tablas constarn
de un titulo, las columnas y filas necesarias que contengan los
diferentes tems y la cuantificacin de los resultados; debe anotarse
adems, la fuente de informacin respectiva
1.1.9 PRESENTACIN DE LA INFORMACIN.
La lectura de la informacin es de mayor claridad cuando se
presenta en cuadros, tablas y grficos, ello permite un mejor
anlisis, por lo tanto, debe tenerse muy en cuenta quien o quienes
son los destinatarios de la informacin que se presenta.
1.1.10 ANLISIS DE LA INFORMACIN.
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El anlisis es el fundamento final de la investigacin, conlleva a la
inferencia a manera de conclusiones.
1.1.11 PUBLICACIN DE LA INFORMACIN.
Es una etapa de mucha importancia, adems de que sirve una
investigacin sino se ha de publicar?; de otra parte, seguramente
muchas personas o investigadores estarn a esperas de los
resultados.
1.2 TCNICAS DE RECOLECCION DE INFORMACION
1.2.1 MEDICION: Medir algo es determinar cuantas veces una cierta unidad de medida, que se denomina patrn de medida cabe
en el objeto que se mide.
Este concepto es aplicable tanto a las medidas fsicas como a las
conceptuales; no obstante, para las medidas conceptuales no
existen patrones definidos, por lo tanto es tarea de quien realiza la
investigacin construir o adaptar uno previamente.
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La medicin desde el punto de vista estadstico, busca describir,
categorizar y evaluar la calidad de las mediciones y mejorar su
utilizacin.
En los procesos de investigacin social, y en especial en la
medicin, es necesario definir conceptos, niveles y variables
(aleatoria, continua, discreta, cualitativa, cuantitativa).
La informacin tiene diferentes fuentes de obtencin, en trminos
generales, puede ser primaria o secundaria.
La informacin es primaria, cuando el investigador la obtiene directamente a travs del contacto inmediato con el objeto de
anlisis.
La informacin es secundaria, cuando el investigador la recoge a partir de investigaciones anteriores con propsitos
diferentes, generalmente no se entra en contacto directo con el
objeto de anlisis.
Si por ejemplo, se requiere conocer la situacin nutricional del un
grupo escolar, como parte de la informacin necesaria para
determinar las causas de la desercin escolar en una determinada
poblacin, es posible obtener esta informacin de los archivos que
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llevan la trabajadoras sociales de cada institucin; esta se
constituye en informacin secundaria. Pero si quien realiza la
investigacin decide, disear sus propios instrumentos (encuestas
por ejemplo), determinar la poblacin, y aplicarlos a la poblacin o
muestra, estamos hablando de una informacin primaria.
Es comn en los procesos de investigacin la utilizacin de
informacin mixta.
Cuando se trata de informacin primaria, las principales tcnicas de
recoleccin de informacin son:
a. La observacin.
b. La entrevista.
c. La encuesta.
a. LA OBSERVACIN. Puede ser participante, la cual se realiza de manera permanente y al azar, se observan los
diferentes hechos de un grupo de personas. Cuando la
observacin es estructurada, se presenta menor libertad para escoger los hechos que se suceden y que constituyen el
contenido de la observacin, ya que el investigador sabe
previamente cuales son los aspectos relevantes para su
propsito.
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La observacin se constituye en una herramienta de investigacin,
si se logra en ella por lo menos:
Que sirva a un problema de investigacin, antes planteado.
Que se realice un planeamiento previo y sistemtico.
Que se lleven con claridad y de manera sistemtica los
registros.
Que las observaciones sean sometidas a validacin y control.
Por lo tanto, debe responder a:
1. Que se deber observar.
2. Cual es la relacin entre el observador y lo observado.
3. Cuales observaciones deben ser observadas.
4. Cuales procedimientos se tendrn en cuenta que garanticen la
seguridad de las observaciones.
b. LA ENTREVISTA: Es la tcnica apropiada cuando se requiere de testimonios y reportes verbales de un grupo de personas que
saben de ciertos acontecimientos; se concibe como la conversacin
que sostienen dos personas, y que se lleva a cabo a iniciativa del
entrevistador con el objetivo de obtener informacin necesaria para
la investigacin que realiza.
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Las principales caractersticas que constituyen una entrevista son:
Alto grado de flexibilidad.
Alta cobertura desde el punto de vista poblacional.
Permite asegurar la validez de las respuestas.
Las preguntas que se realizan en una entrevista son de diferente
tipo as:
Preguntas de hechos.
- Cul es su profesin?
- Cunto tiempo lleva viviendo en esta comunidad?
Preguntas sobre opiniones y creencias.
- Qu opinin tiene usted de la actual poltica de
gobierno?
- Cul considera el mejor candidato para las prximas
elecciones?
Preguntas sobre estndares o patrones de accin.
- Tiene usted dificultades para hacer amigos?
- Cmo considera se puede mejorar el rendimiento del
grupo?
Preguntas sobre sentimientos.
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- Cmo asimila usted los resultados electorales?
- Se siente usted aislado(a) por sus compaeros (as)?
Preguntas de control.
- Cuales son las personas mas influyentes en esta
comunidad?
- A quien considera usted como lder en su barrio?
Preguntas cerradas o de respuesta fija.
- Como es el rendimiento del grupo en general:
Bueno ( ) Regular ( ) Aceptable ( ) Malo ( )
- Sus ingresos mensuales son en SMLV: Menos de uno ( )
Dos ( ) Tres ( ) mas de tres ( ).
Preguntas abiertas o de respuesta libre.
- Qu piensa usted del curso de estadstica.
- Porqu piensa retirarse de la universidad.
Las entrevistas generalmente pueden ser estructuradas o no estructuradas, en el primer caso, las preguntas, son presentadas con exactitud en las palabras y orden a todos los
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entrevistados, normalmente no se tiene la oportunidad de hacer
preguntas por fuera de las programadas a no ser de clarificacin.
En las no estructuradas, las preguntas no estn predeterminadas,
se hace con el fin de permitir al entrevistado mayor espontaneidad
y profundidad en sus respuestas
c. LA ENCUESTA: Es el instrumento de mayor utilizacin como tcnica para la recoleccin de informacin primaria, especialmente
en las ciencias sociales. En general se pude decir que la encuesta
es una tcnica para la obtencin de informacin primaria, a partir
de un nmero representativo de individuos de una poblacin
(muestra), y que sirve para hacer una proyeccin sobre la
poblacin total.
Existen diferentes tipos de encuestas segn sean los propsitos de
ella, y bsicamente son:
Experimental; cuando la verificacin de la hiptesis se puede efectuar mediante la manipulacin de variables
independientes constitutivas del anlisis, esto por ejemplo,
cuando se precisa informacin sobre la dieta alimenticia de
las mujeres gestantes en los programas de gobierno.
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De evaluacin programtica. Su diseo parte de factores con algn antecedente en cuanto al manejo por parte de
organismos de accin social, se busca la aplicacin
inmediata, para la modificacin o cambio del estado de las
cosas. As, si se quiere conocer como incide la armona de
este grupo independientemente de lo heterogneo que es,
en el rendimiento general, la encuesta a aplicar ser de
este tipo.
Puede tambin ser aplicada para conocer los efectos de una
campaa contra la prostitucin o la drogadiccin en un grupo de
centros educativos.
De diagnstico. Este tipo se preocupa por la bsqueda del como varios actores contribuyen a la determinacin de un
fenmeno determinado. Con este diseo se puede
averiguar sobre los efectos de los movimientos sociales
hacia una determinada poblacin, en la disminucin de la
oferta de trabajo, etc.
De carcter predictivo. Como lo indica su nombre se ocupa no de la explicacin sino de estimar futuro del
comportamiento de algo. Un caso tpico puede ser la
encuesta que se aplica en la poblacin de Nuqu, para
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conocer los efectos en la demanda de los servicios
pblicos con el incremento poblacional como consecuencia
de la construccin de la va Animas Nuqu.
De anlisis secundario. Cuando la investigacin se basa en encuestas anteriores con propsitos diferentes. Sea el
caso de tomar la informacin contenida en un estudio
realizado por la UTCH, para conocer el sentido de
pertenencia por sexo hacia la universidad, y utilizarla para
determinar la poblacin estudiantil por sexo y edad.
El paso siguiente es el anlisis de la informacin, el cual se clarifica
en unidad posterior.
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
AUTOEVALUACION.
1. Para que sirve la informacin estadstica? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Enuncie las etapas del mtodo estadstico. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Para que se utiliza el mtodo estadstico. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Que es una hiptesis? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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5. Cuando se considera que una poblacin es finita? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6. Cuales son las principales fuentes de informacin? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Cuando una poblacin es infinita? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8. Enuncia las tcnicas de recoleccin de informacin primaria. ____________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9. Cuales son las caractersticas que debe tener una entrevista. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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10. enumere los tipos de encuesta que usted conoce?. __________
UNIDAD NMERO DOS:
2. FRECUENCIAS
2.1 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS.
Agotadas las etapas vistas en la unidad anterior, podemos decir,
que la informacin esta ordenada en tablas entendibles, pues estn
ordenadas y clasificadas, decimos entonces, que hemos realizado
una distribucin de frecuencias. Es decir, la distribucin de
frecuencias, es un mtodo para organizar y resumir los datos.
Antes de entrar a precisar lo referente a la distribucin de
frecuencias, es conveniente detenernos en determinar una
simbologa que nos permita realizar todo lo relacionado con su
estudio estadstico, no sin antes advertir, que no existe una
notacin nica, por ello, es conveniente antes de abordar un texto
especifico, determinar la que en el se utiliza.
n = Tamao de la muestra
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N = tamao de la poblacin
Xi = identificacin por cada valor observado.
Yi = identificacin por cada valor observado
fa = frecuencias absolutas.
fr = frecuencia relativa.
FA = frecuencia absoluta acumulada.FR = frecuencia relativa acumulada.
Yc = marca de clase, en la variable continua.
m = el numero de valores de la variable yi, tambin
se considera como el numero de intervalos o
marcas de clase en la variable continua.
2.1.1 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS SIMPLES.
Vamos a abordar este tema valindonos de un ejemplo.
Supongamos que en una investigacin realizada sobre una
poblacin 2340 estudiantes de un colegio de bachillerato, se
seleccionaron de manera aleatoria a 65 de ellos a los cuales se les
midi su coeficiente intelectual (CI), con el siguiente resultado.
N = 2340n = 65
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X1 = 80 X2 = 84 X3 = 80 X4 = 110
X....... X65 = 109
TABLA N 1
COEFICIENTE INTELECTUAL DE 65 ALUMNOS DE UN COLEGIO DE BACHILLERATO.
80 84 80 110 109 125 122 110 96 90 88 82 84
90 92 80 102 100 96 110 80 125 100 102 84 90
84 90 100 122 109 106 96 102 84 90 98 90 92
100 125 80 90 88 122 110 92 90 102 109 80 88
102 110 80 106 96 109 88 84 100 90 125 82 109
Para elaborar la tabla siguiente tomemos antes los valores que
toma la variable; de una vez hagmoslo de menor a mayor, e
identifiquemos las veces que se repite la observacin, esto es, la
frecuencia.
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CI CONTEO REPETICIN80 IIII II 7
82 II 2
84 IIII I 6
88 IIII 4
90 IIII IIII 9
92 III 3
96 IIII 4
98 I 1
100 IIII 5
102 IIII 5
106 II 2
109 IIII 5
110 IIII 5
122 III 3
125 IIII 4
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Podemos elaborar ahora, con la informacin anterior, una tabla de
frecuencias, donde se identifiquen, las frecuencias absolutas,
las relativas y las acumuladas; de otra parte debemos observar
en esta tabla lo referente a las propiedades de las frecuencias
que enunciaremos en paginas posteriores.
TABLA N 2DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS
Yi fa fr FA FR80 7 0.108 7 0.10882 2 0.031 9 0.13984 6 0.092 15 0.23188 4 0.062 19 0.29390 9 0.138 28 0.43192 3 0.046 31 0.47796 4 0.062 35 0.53998 1 0.015 36 0.554
100 5 0.077 41 0.631102 5 0.077 46 0.708106 2 0.031 48 0.739109 5 0.077 53 0.816110 5 0.077 58 0.893122 3 0.046 61 0.939125 4 0.062 65 1.00
65 1.00 - -
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De la tabla anterior, en especial de las columnas referidas a las
frecuencias relativas (fr) y las frecuencias relativas acumuladas
(FR), podemos indicar algunos elementos importantes, como:
Solamente, el 6.2% de los estudiantes presenta el mximo
puntaje del CI, que es de 125 puntos.
El puntaje mnimo que es de 80 puntos lo presentan nicamente
el 10.8%.
El 44.7 tiene un CI igual o superior a 100 puntos.
2.2 PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIAS
1. Las frecuencias absolutas (fa), son siempre valores enteros.
2. La suma de las frecuencias absolutas (fa), es igual a la
muestra (n).
3. Las frecuencias relativas (fr), son siempre valores
fraccionarios entre 0 y 1.
4. La suma de las frecuencias relativas (fr),es siempre igual a
1.
5. El ltimo valor de las frecuencias absolutas acumuladas
(FA), es igual a la muestra.
6. El ltimo valor de las frecuencias relativas acumuladas (FR),
es siempre igual a 1.
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2.3 DISTRIBUCIN DE LAS FRECUENCIAS POR INTERVALOS
En muchos casos nos encontramos con un gran numero de
observaciones de difcil agrupamiento en razn a que la distribucin
es muy amplia, a veces con frecuencias pequeas (unitarias); la
construccin de una tabla con estas caractersticas no ofrece
mayor utilidad en el anlisis.
Cuando esto sucede, es conveniente acudir a la construccin de
una tabla con datos agrupados en intervalos, lo cual notaremos con
la letra m.
El cuantos intervalos se han de construir, depende del investigador,
lo mismo que la amplitud de ellos, no obstante, los estudiosos del
tema aconsejan un nmero no inferior a 5 ni mayor a 15
Existe una formula bastante utilizada para ello donde: m = 1+3.3 log n
El procedimiento a seguir al menos el ms aconsejado- para
establecer los intervalos en una tabla de frecuencias es el
siguiente:
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1. Determinar los valores mnimo y mximo de las
observaciones.
2. Establecer la diferencia entre ambas, la cual llamaremos
rango o recorrido, que denotaremos como R3. Determinar el nmero de intervalos de la manera como se
sugiri anteriormente.
Determinar la amplitud (C) del intervalo, mediante: C = R/m.4. Establecer la diferencia en que ha sido alterado el
recorrido.
5. Distribuir adecuadamente la cantidad de alteracin.
Para lograr lo anterior se sugiere dividir esa diferencia entre
dos, y el resultado se le resta al valor mnimo, y el sobrante o
faltante, se le suma a la observacin mxima, para de esta
manera obtener los lmites inferior y superior de la tabla.
6. Construir los intervalos, determinar las marcas de clases y
agrupar las frecuencias.
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Tomemos como ejemplo el caso de las estaturas (Cm) de un grupo
de 50 alumnos de un colegio, cuyos registros son los siguientes:
Tabla N 3
ESTATURA EN CENTMETRO DE UN GRUPO DE CINCUENTA ESTUDIANTES
155 162 153 158 161 153 154
155 156 157 160 162 169 152
155 154 158 155 153 154 152
155 152 153 154 155 162 168
163 166 165 160 168 169 153
154 153 160 157 154 169 154
158 166 158 157 162 156 158
162
Estatura CONTEO REPETICIN
155 IIIIII 6
162 IIII 5
153 IIIIII 6
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158 IIII 5
161 I 1
154 IIIIIII 7
156 II 2
157 III 3
160 III 3
169 III 3
152 III 3
168 II 2
163 I 1
166 II 2
165 I 1
1b. Observacin mnima = 152; observacin mxima = 169.
2b. Diferencia entre las dos observaciones 169 152= 17 luego R
= 17
3c. Numero de intervalos: m = 1+3.3 log.n; m = 1 +3.3 log50, luego
m=7
4d. La amplitud C= R/m 17/7; luego C = 3.4 Aprox. =4,
5e. Lo cual aumenta el recorrido en 11 ya que 4X7 = 28, luego
entonces, 11/2 = 5.5,
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6f. Este numero se le resta al limite inferior, asi entonces 152 5.5
=146,5; el faltante para este caso es, 0,5;cifra que le sumaremos al
limite superior, el cual queda 169+5.5 = 174,5.
7g. Procedemos entonces a la construccin de los intervalos,
determinacin las marcas de clases y, a la agrupacin de las
frecuencias.
Con el ejemplo anterior, podemos construir una tabla de
distribucin de esas frecuencias quedando como sigue:
Tabla N 4DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS DE LA ESTATURA EN
CENTMETROS DE UN GRUPO DE 50 ESTUDIANTES
Yi-1 - yi Yi fa fr FA FR146.5 150.5 148.5 0 0 0 0.0150.6 154.5 152.5 16 0.32 16 0.32154.6 158.5 156.5 16 0.32 32 0.64158.6 162.5 160.5 9 0.18 41 0.82162.6 - 166.5 159.5 4 0.08 45 0.90166.6 - 170.5 168.5 5 0.10 50 1.00170.6 - 174.5 172.5 0 0 50 1.00 - 50 1.00 - -
2.4 REPRESENTACION GRAFICA
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Los resultados obtenidos suelen representarse adems de las
tablas y cuadros, en graficas que permiten una mejor lectura y
anlisis.
Una grafica o diagrama es un dibujo complementario de una tabla o
cuadro, que facilita el anlisis estadstico de una serie de variables
que en ella se relacionan.
Las graficas deben contener:
Un titulo, que debe ser claro y concreto, en el cual se dice que
se relaciona adems de indicar cuando y donde se realizaron las
observaciones.
Un cuerpo, que es el grafico en si el cual puede ser de diferentes
formas, segn la informacin que se relaciona o el pblico que
ha de recibir la informacin.
Unas notas adicionales que permite dar mayor claridad en lo
referente a las escalas utilizadas en cada eje, asi como los
crditos a quien suministro la informacin.
Si los grficos no se utilizan correctamente, se pude con ellos antes
de aclarar la informacin, distorsionarla.
2.4.1 TIPOS DE GRAFICOS:
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Los grficos ms comunes utilizados en la presentacin de la
informacin estadstica son:
2.4.1.1 Grficos de lneas. Su mayor utilidad es cuando se quiere
mostrar el comportamiento de una variable cuantitativa a travs
del tiempo, estn formados por segmentos de lneas rectas
unidos entre si; cada segmento registra la variacin de la variable
en un determinado tiempo. En el eje de las ordenadas, se
marcan los puntos segn la escala seleccionada, que debe ser
iguales si se trata de una escala aritmtica; las distancias deben
ser iguales en ambos ejes; en el eje de la variable se divide en
unidades de tiempo.
Veamos: en la Universidad Tecnolgica del Choc Diego Lus
Crdoba, durante los aos 2001 al 2006, las matriculas en los
diferentes programas a distancias variaron como se muestra en
el cuadro siguiente:
Tabla N 5MATRICULAS EN LOS PROGRAMAS A DISTANCIA DE LA
UTCH2001 - 2006
Aos Variacin porcentual
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2001 9.02002 15.02003 10.02004 16.02005 22.52006 27.0
La representacin grafica de la anterior informacin mediante el
grafico de lneas ser de la siguiente manera.
Grfica N 1VARIACIN POCENTUAL DE MATRICULAS DE
ESDTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA EN LA UTCH 2001 - 2006
30
25
20
15
100 2001 2002 2003 2004 2005 2006
El grafico de lneas puede ser compuesto, es decir, dos lneas cuando se tienen dos variables; agreguemos al caso anterior la
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variacin de las matriculas en la modalidad presencial, con el 15, el
20, el 23, el 25, el 20 y 35 por ciento respectivamente, con el y
tendramos entonces:
Grfico N 2
VARIACIN POCENTUAL DE MATRICULAS DE ESDTUDIANTES DE LA MODALIDAD A DISTANCIA Y
PRESENCIAL EN LA UTCH 2001 - 2006
30
25
20
15
10
5
0 2001 2002 2003 2004 2005 2006
2.4.1.2 Grficos de barras. Se elabora mediante la utilizacin de barras rectangulares de ancho igual y con la misma distancia de
separacin entre una y otra: es aconsejable cuando se trata de
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distancia: presencial:
variables cualitativas, o algn comportamiento de la variable en
periodos cortos, tambin puede ser simple o compuesto.
Para el caso de barras simples, tomemos por ejemplo, la
informacin sobre el nmero de hijos de las (as) participantes de un
curso de estadstica.
Tabla N 6
NUMERO DE HIJOS(AS) DE LOS(AS) PARTICIPANTES DE UN CURSO DE ESTADSTICA
Grafico N 3NUMERO DE HIJOS(AS) DE LOS(AS) PARTICIPANTES DE UN
CURSO DE ESTADSTICA
10
8
6
4
2
0
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Numero de hijos frecuencia0 11 32 53 74 2
5 o mas 1
F R E C U E N C I A S
0 1 2 3 4 5y/o, mas
Podemos relacionar ahora, la preferencia entre el bsquetbol, el
ftbol, la natacin y el voleibol, entre un grupo de hombres y
mujeres, con el resultado siguiente:
Tabla N 7
PREFERENCIA POR ALGUNOS DEPORTES SEGN EL SEXO
DEPORTE / SEXO
HOMBRES MUJERES TOTAL
N % N % N %Bsquetbol 6 31.6 13 68.4 19 100.0
Ftbol 15 78.9 4 21.1 19 100.0
Natacin 11 57.9 8 42.1 19 100.0
voleibol 8 42.1 11 57.9 19 100.0
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Numero de hijos
Grafico N 4PREFERENCIA POR ALGUNOS DEPORTES SEGN EL SEXO
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0 Bsquetbol Ftbol Natacin Voleibol
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
Hombres
Mujeres Total
2.4.1.3 Grficos circulares. Se conoce tambin como grficos de pastel debido a su forma, consistente en una circunferencia
dividida en sectores, su mayor utilidad es en tipos de variables
cualitativas, en especial con porcentajes o cifras absolutas de
pocas observaciones en lo posible que no supere 5 observaciones
Si por ejemplo, sabemos que el estado civil de los participantes en
un curso de estadsticas es el siguiente: 5 casados(as); 8
solteros(as); 6 unin libre, la representacin grafica ser la
siguiente:
Tabla N 8
ESTADO CIVIL DE LOS ASISTENTES A UN CURSO DE STADSTICA
ESTADO CIVIL NUMERO PORCENTAJECASADOS 5 26.3
SOLTEROS 8 42.1UNION LIBRE 6 31.6
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ESTADO CIVIL DE LOS ASISTENTES A UN CURSO DE STADSTICA
2.5. HISTOGRAMAS DE FRECUENCIAS
Los histogramas de frecuencias tambin son representaciones
graficas, son diagramas de frecuencias unidimensionales en un
plano cartesiano generalmente compuestos por rectngulos de
reas proporcionales a las respectivas frecuencias ubicando los
intervalos de la variable en el eje horizontal (abscisas); y en el eje
vertical (ordenadas) las frecuencias de cada clase.
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Unin libre 31.6%
Solteros (as) 42.1%)
Casados(as) 26.3%
Casados(as)
En sntesis, los rectngulos indican en la base la amplitud de cada
intervalo y en las alturas las frecuencias.
Grafica N 6HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS DE LA ESTATURA EN
CENTMETROS DE UN GRUPO DE 50 ESTUDIANTES
0 146 150 154 158 162 166 170 174
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
20 1
8
16
14
12
10
8
6
4
2
0
F
r
e
c
u
e
n
c
i
a
s
Estatura en centmetros de los estudiantes
AUTOEVALUACION.
1. Para que sirve la distribucin de frecuencias. ____________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
______
2. Enuncie las propiedades de las frecuencias. _______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
____________________
3. Como se determina la amplitud de un intervalo?. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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4. Que es el rango o recorrido?. _________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Cuantos intervalos se aconseja construir en una tabla de distribucin de frecuencias?. __________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________6. Que es una marca de clase?.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________7. Mediante que formula obtiene usted el nmero de
intervalos.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8. Cuales son las principales graficas que se utilizan en la estadstica. ________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________9. En que tipo de variable se aconseja la grafica de
lneas.________________________________________________________________________________________________________________________________________
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_______________________________________________________
10. En que tipo de variable se aconseja la grafica de pastel._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
UNIDAD NMERO TRES
3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Se conocen tambin con el nombre de medidas de posicin, y son
las que nos permiten determinar la posicin de un valor respecto a
un conjunto de datos, el cual consideramos como valor
representativo de las observaciones realizadas.
El anlisis de las mediadas de posicin es conveniente realizarlo
unido a los resultados de las medidas de dispersin que veremos
en un capitulo posterior.
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Entre las principales medidas de tendencia central podemos
considerar las siguientes:
Media aritmtica.
Mediana
Modo o moda.
Media geomtrica.
Media armnica
Media cuadrtica.
Media cbica.
Centro o recorrido
Cuartiles, deciles y percentiles.
Antes de seguir adelante, es conveniente detenernos de manera
muy rpida para conocer un concepto de mucha utilidad es esta
unidad, y es el referido a las desviaciones.
DESVIACIONES (Z). Las desviaciones son las diferencias que se presentan entre los valores de la variable y un punto fijo, que
puede ser la media aritmtica o un origen de trabajo.
3.1 MEDIA ARITMTICA ( X )
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Concepto. La media aritmtica matemticamente es definida como la suma de todos lo valores observados dividida entre el numero
total de observaciones.
Calculo. Su calculo es muy sencillo; veamos el siguiente ejemplo: si un pescador asegura que pesca diariamente unos 37 kilos de
sierra, debemos creerle aunque sepamos que algn da de la
semana no pesca nada, lo que sucede es que algunos das pesca
mas de 37 kilos y as compensa aquellos de baja cantidad, de
acuerdo a la explicacin anterior sobre el concepto, veamos:
Tabla N 9DIAS DE PESCA TOTAL kilosLunes 75
Martes 42
Mircoles 0
Jueves 42
Viernes 37
Sbado 42
Domingo 0
Lunes 75
Martes 42
Mircoles 30
Jueves 29
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Viernes 29
Sbado 38
X = Xi/n
Las observaciones, es decir, lo obtenido en cada da de pesca, se
representan:
X1 = 75 X2 = 42 X3 = 0 X4 = 42
X5 = 37 X6 = 42 X7 = 0 X8 = 75
X9 = 42 X10 = 30 X11 = 29 X12 = 29
X13 = 38
X = 75+42+0+42+37+42+0+75+42+30+29+29+38 = 481 13 13
luego X = 37
EL anterior ejemplo muestra el clculo de la media aritmtica
cuando se trata de datos simples, es decir, sin agrupar.
Si los datos estn agrupados procedemos de la siguiente manera:
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Digamos que al pescador del ejemplo anterior se le hizo
seguimiento durante varios das y se obtuvo:
Agrupemos los datos de las observaciones del pescador reseadas
en un ejemplo anterior y las ubicamos en la siguiente tabla.
Tabla N 10
KILOS DE SIERRA CAPTURADOS POR UN PESCADOR
Cantidad Klg. Frecuencia (fa)0 2
29 230 137 138 142 475 2
13
X = Yifa n
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X = 0(2)+29(2)+30(1)+37(1)+38(1)+42(4)+75(2) __________________________________________ =
13
0+58+30+37+38+168+150 481 = 13
13
luego X = 37
3.1.1 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMTICA.
La media aritmtica tiene ciertas propiedades que permiten con
mayor facilidad la solucin de algunos problemas; las principales
son:
La suma de las desviaciones respecto a la media aritmtica es
siempre igual a cero (0).
Para la comprobacin sigamos con el ejemplo del pescador.
OBSERVACIONES MEDIA ARITMTICADESVIACIONES
Xi X Zi
75 37 3842 37 5
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
0 37 -3742 37 537 37 042 37 50 37 -3775 37 3842 37 530 37 -729 37 -829 37 -838 37 1
_____Suma 0
En datos agrupados tendremos:
Tabla N 11
DATOS AGRUPADOS DE LAS OBSERVACIONES DE PESCA
Yi fi yifa ZI Zi fa0 2 0 -37 -74
29 2 58 -8 -1630 1 30 -7 -737 1 37 0 038 1 38 1 142 4 168 5 2075 2 150 38 76
13 481 0
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
La media de una muestra es igual a la media ponderada de las
submuestras, tomndose como ponderacin los tamaos de
esas submuestras.
Comprobacin:
Muestra submuestra 1. submuestra 2Xi fi Xi fi0 2 029 2 5830 1 3037 1 3738 1 3842 4 16875 2 150
481
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
Xi fi Xi fi37 1 3738 1 3842 4 16875 2 150
8 393Xi fi Xi fi0 2 029 2 5830 1 30
5 88
Xt = 37 X1 =17.6 X2 = 49.1
La media aritmtica de las dos submuestras de manera conjunta ser igual a:
Xt = X1(f1) +X2(f2) Xt = 17.6(5) + 49.1(8) n1+n2 ; 5+8
Xt = 88+392.8 Xt = 37 13
La media aritmtica de una constante por una variable, es igual
al producto de la constante por la media aritmtica de la
variable.
Sea la constante K = 3
Variable sola variable por K
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
kXi fi kXi fi0 2 0
87 2 17490 1 90
111 1 111114 1 114126 4 504225 2 450
13 1443
Xi fi Xi fi0 2 0
29 2 5830 1 3037 1 3738 1 3842 4 16875 2 150
13 481
La media aritmtica de una constante mas una variable, es igual
a la constante ms la media aritmtica de la variable.
Comprobacin:
Sea la constante K = 3
Variable sola variable + K
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
Xi fi Xi fi0 2 0
29 2 5830 1 3037 1 3738 1 3842 4 16875 2 150
13 481
K+Xi fi kXi fi3 2 6
32 2 6433 1 3340 1 4041 1 4145 4 18078 2 156
13 520
X = 481 = 37x3 =111 13 X = 1443 = 111
13
La suma de los cuadrados de las desviaciones es mnima,
cuando dichas desviaciones se toman respecto a la media
aritmtica.
Comprobacin: tomemos la informacin que hemos venido trabajando de manera parcial, y adems tomemos otros dos
parmetros, por ejemplo, asumamos los parmetros P = 30, y
T = 50, ambos diferentes de la media.
Tabla N 12CALCULO DE LOS CUADRADOS DE LAS DESVIACIONES DE
LA MEDIA Y DE OTROS PARMETROS.
X X Z Z2
Para-metro
PDesv.
Respectoa p
P2
Para-metro
T
Desv. Respecto a T
T2
75 37 38 1444 30 45 2025 50 25 62542 37 5 25 30 12 144 50 -8 640 37 -37 1369 30 -30 900 50 -50 2500
42 37 5 25 30 12 144 50 -8 6437 37 0 0 30 7 49 50 -13 169
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
X = 481/13 = 37+3 =40 X = 520/13 = 40
42 37 5 25 30 12 144 50 -8 640 37 -37 1369 30 -30 900 50 -50 2500
75 37 38 1444 30 45 2025 50 25 62542 37 5 25 30 12 144 50 -8 6430 37 -7 49 30 0 0 50 -20 40029 37 -8 64 30 -1 1 50 -21 44129 37 -8 64 30 -1 1 50 -21 44138 37 1 1 30 8 64 50 -12 144
5904 6541 8101
Son obvios los resultados.
OTRO METODOS PARA EL CALCULO DE LA MEDIA ARITMTICA
a. Se calcula mediante la utilizacin de las desviaciones con
respecto al origen de trabajo.
b. De las observaciones: 36 42 50 58 66 72 80
86; y adems, tiene las siguientes frecuencias absolutas: 8,
12, 10, 4, 8, 14, 6, 9.
En primer trmino obtengamos la media aritmtica de la manera
convencional como se explico anteriormente:
Tabla Numero 13
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
DISPOSICIN DE LA INFORMACIN PARA EL CALCULO DE LA MEDIA
Yi fa Yifa
36 8 28842 12 50450 10 50058 4 232
66 8 52872 14 100880 6 48086 9 774
71 4314
Y = 4314/71 = 60.8
Partamos de la misma informacin:
Se tienen las observaciones: 36 42 50 58 66 72 80
86; y adems, tiene las siguientes frecuencias absolutas: 8,
12, 10, 4, 8, 14, 6, 9.
El procedimiento es el siguiente:
Denotamos a Zi como las desviaciones respecto a un origen de
trabajo.
Teniendo en cuenta que el numero de datos (observaciones es par,
se toma uno de los dos valores centrales; cuando es impar se toma
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
el dato central, todo lo anterior, con el fin de simplificar las
operaciones.
Asi: Zi = Yi - OtAhora, tomemos la observacin 58 como nuestro origen de trabajo,
para as calcular a Zi
Tabla N 14INFORMACIN PARA EL CLCULO DE LA MEDIA
ARITMTICA
Yi fa Zi Zifa36 8 -22 -17642 12 -16 -19250 10 -8 -8058 4 0 066 8 8 6472 14 14 19680 6 22 13286 9 28 252
Sum. 71 - 196
La media aritmtica ser: Y = Ot + Sum ZiFa / n
= 58 + 196 / 71 luego la media aritmtica Y = 60.76NOTA: en el clculo de la media aritmtica, debe tenerse en cuenta
la existencia de valores extremos (altos o bajos), para que el
anlisis no se distorsione.
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
3.2 LA MEDIANA. (Me).
CONCEPTO. Se define como aquel valor que supera a no ms de la mitad de las observaciones y que a su vez es superado por no
ms de la mitad de las observaciones; la mediana es un valor
central.
CALCULO. Para su clculo se tiene en cuenta si el nmero de observaciones es una cifra par o impar ya sea en datos agrupados
o no agrupados.
Si se trata de datos NO AGRUPADOS en un numero impar de observaciones, debemos ordenar los datos de menor a mayor, o de
mayor a menor.
Tomemos las siguientes observaciones: X1 = 4; X2 = 2; X3 = 10;
X4 = 12; X5 = 8; X6 = 20; X7 = 15.
Si los ordenamos de menor a mayor tenemos:
2 4 8 10 12 15 20; luego, Me = 10
Tambin podemos calcular la Me como n+1/2; asi para el caso
anterior tendremos que n = 7, luego:
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Me = 7+1/2 = 4, lo que indica que la mediana corresponde a la
observacin nmero cuatro, correspondiente al valor de 10.
Cuando el numero de observaciones es una cifra par la mediana es igual al promedio aritmtico de las dos observaciones centrales,
es decir, a la suma de sus valores dividido entre dos.
Si X1 = 4; X2 = 16; X3 = 6; X4 = 10; X5 = 18 X6 = 14
Me = 4 6 10 14 16 18
Me = 10+14/2 = 24/2 = 12.
Cuando se trata de datos AGRUPADOS, el clculo se realiza
mediante la formula:
n/2 FA (i-1)Me = LI + __________________ C; donde:
fa
LI = limite inferior del intervalo mediano, (donde se encuentra la
posicin n/2)
n = numero de observaciones
FA = frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano.
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fa = frecuencia del intervalo mediano.
C = amplitud del intervalo.
Sean las siguientes observaciones
Tabla N 15
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA DE LOS CI DE 50 ESTUDIANTES
Yi-1 - yi Ya fa fr FA FR146.5 150.5 148.5 0 0 0 0.0150.6 154.5 152.5 16 0.32 16 0.32154.6 158.5 156.5 16 0.32 32 0.64158.6 162.5 160.5 9 0.18 41 0.82162.6 - 166.5 159.5 4 0.08 45 0.90166.6 - 170.5 168.5 5 0.10 50 1.00170.6 - 174.5 172.5 0 0 50 1.00Sumatoria - 50 1.00
50/2 32
Me = 158.6 + __________________ 4; = 155.49
9
Lo anterior indica que el 50% obtuvo menos de 155.49 puntos y
que el 50% obtuvo ms de 155.49 puntos.
3.3 MODA. (MO)
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Concepto. La moda o modo es valor de la variable con mayor frecuencia; puede presentarse mas de una observacin con el
mismo numero de frecuencia, es decir, varias modas, asi
estaramos hablando de multimodal, o con dos modas, bimodal.
Si tomamos el ejemplo anterior, encontramos que se trata de
una distribucin bimodal, ya que se presentan dos
observaciones agrupadas con una frecuencia de 16, esta es la
moda; bimodal para este caso.
Tabla N 16DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA DE LOS CI DE 50
ESTUDIANTES
Yi-1 - yi Yi fa fr FA FR146.5 150.5 148.5 0 0 0 0.0150.6 154.5 152.5 16 0.32 16 0.32154.6 158.5 156.5 16 0.32 32 0.64158.6 162.5 160.5 9 0.18 41 0.82162.6 - 166.5 159.5 4 0.08 45 0.90166.6 - 170.5 168.5 5 0.10 50 1.00170.6 - 174.5 172.5 0 0 50 1.00Sumatoria - 50 1.00
3.4 MEDIDAS DE POSICIN (PERCENTILES)
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3.4.1 CUARTILES. Llamados tambin cuartillas, son valores posicionales que dividen la informacin en cuatro partes iguales, el
primer cuartil deja el 25% de la informacin por debajo de l, y el
75% por encima, el segundo cuartil, al igual que la mediana, divide
la informacin en dos partes iguales, y por ultimo el tercer cuartil
deja el 75% por debajo de si, y el 25% por encima.
REPRESENTACIN GRAFICA.
Q1 Q2 Q3
0% 25% 50% 75% 100%
Se necesita calcular tres Cuartiles, el cuarto resulta por residuo.
Su formula es la siguiente:
kn/4 FA (i-1)Qk = LI + __________________ C; donde:
fa
k = orden del cuartil: (1,2,3)
LI = limite inferior del intervalo, donde se encuentra el cuartil
n = numero de observaciones
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FA (i-1) = frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior al que
contiene el cuartil.
Fa = frecuencia del intervalo que contiene el cuartil.C = amplitud de los intervalos.
Tabla N 17
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA DE LOS CI DE 50 ESTUDIANTES
Yi-1 - yi Yi fa fr FA FR146.5 150.5 148.5 0 0 0 0.0150.6 154.5 152.5 16 0.32 16 0.32154.6 158.5 156.5 16 0.32 32 0.64 Q1158.6 162.5 160.5 9 0.18 41 0.82 Q2162.6 - 166.5 159.5 4 0.08 45 0.90 Q3166.6 - 170.5 168.5 5 0.10 50 1.00170.6 - 174.5 172.5 0 0 50 1.00Sumatoria - 50 1.00
CALCULO MATEMTICO.
Primer cuartil: Q1 = 154.5 + 1(50)/4 16 x 4 = 153.6
16
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
Interpretacin del resultado: el 25% de los alumnos obtuvieron
menos de 153.6 puntos; mientras que en un 75% su puntaje fue
superior a 153.6.
Segundo cuartil: recordemos que debe ser igual a la medianaluego: Q2 = 158.5 + 2(50)/4 32 x 4 = 155.4
9Interpretacin del resultado: el 50% de los estudiantes obtienen
menos de 155.4 puntos de CI, mientras el otro 50% obtuvo un
puntaje mayor a 155.4.
Tercer cuartil: Q1 = 162.5 + 3(50)/4 41 x 4 = 159
4
Interpretacin del resultado: el 75% de los estudiantes obtuvo
menos de 159 puntos, mientras que en el 25% su puntaje fue
superior.
3.4.2 QUINTILES. Llamados tambin quintillas, dividen la informacin en cinco partes iguales, agrupadas en porcentajes
de 20, 40, 60, y 80%, lo cual indica que se deben calcular
cuatro (4) parmetros.
REPRESENTACIN GRAFICA.
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
0% 20% 40% 60% 80% 100%
CALCULO MATEMTICO:
El calculo matemtico se realiza con la formula anterior, cambiando
el parmetro que divide a kn; para el caso anterior fue cuatro
(4), ahora ser cinco (5).
Tabla N 18DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA DE LOS CI DE 50
ESTUDIANTESYi-1 - yi Yc fa fr FA FR146.5 150.5 148.5 0 0 0 0.0150.6 154.5 152.5 16 0.32 16 0.32154.6 158.5 156.5 16 0.32 32 0.64 Q1158.6 162.5 160.5 9 0.18 41 0.82 Q2162.6 - 166.5 159.5 4 0.08 45 0.90 Q3166.6 - 170.5 168.5 5 0.10 50 1.00170.6 - 174.5 172.5 0 0 50 1.00Sumatoria - 50 1.00
3.4.3 DECILES Y CENTILES. Similar a los casos anteriores, la informacin se divide en 10 partes iguales para los deciles y en
cien para los centiles.
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
En trminos generales, el calculo de cualquier percentil, se realiza mediante:
Qk = LI + kn/r FA (i-1) xC
faDonde:
LI = limite inferior del intervalo que contiene el percentil. k = orden
del percentil.
FA (i-1 = frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior al que
contiene el percentil.
n = numero de observaciones.
C = amplitud de los intervalos.
r = numero de partes en que se divide la informacin.
fi = frecuencia del intervalo que contiene el percentil.
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AUTOEVALUACION.
1. Haga un listado de los promedios que usted conoce___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Que son las desviaciones. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. Si la media de 75 artculos es de 52.6 galones, y la de 25 artculos es de 48.4 galones, encuentre la media de los 100 artculos.
4. La suma de las desviaciones es igual a cero cuando se toman con respecto a la media aritmtica? ________
5. Un grupo de valores puede tener mas de una media aritmtica? ___
6. Para calcular las marcas de clase, se suma el lmite inferior al suprior y se divide por dos? ______
7. enuncie y explique una de las propiedades de la media aritmtica.__________________________________________________________________________________________
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__________________________________________________________________________________________________
8. D un ejemplo de observacin multimodal._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9. Que son los cuartiles: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10. Que relacin existe entre la mediana y el segundo cuartil
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
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UNIDAD NMERO CUATRO
4. MEDIDAS DE DISPERSIN
CONCEPTO. Llamados tambin estadgrafos de dispersin, determinan como se agrupan o dispersan los datos alrededor de un
promedio.
4.1 RANGO O RECORRIDO. ( R ) Es la mas sencilla de todas, y solamente tiene en cuenta los valores extremos de los datos.
R = Xi mximo Xi mnimo.
Sean las observaciones: 28, 38. 70, 96, 48
R = 96 28 = 68
R = 68
4.2 DESVIACIN MEDIA (DM). Sirve para medir la distancia absoluta promedio entre cada uno de los datos (observaciones) y el
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parmetro caracterstico de la informacin; que generalmente es la
media aritmtica.
m
CALCULO DM = Xi X fa 1
n
Xi = diferentes valores de la variable X. fa = numero de veces que se repite la observacin Xi
X = media aritmtica de la informacin.
n = tamao de la muestra.
m = numero de agrupamientos o intervalos.
Sea el ejemplo consignado en la tabla nmero 18, datos de los
cuales ya se conoce que la media aritmtica e igual 60.76
Tabla N 19CALCULO DE LA DESVIACIN MEDIA
Xi fa Xi - X Xi X fa
36 8 24.76 198.0842 12 18.76 225.12
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50 10 10.76 107.6058 4 2.76 11.0466 8 5.24 41.9272 14 11.24 157.3680 6 19.24 115.4486 9 25.24 227.16 71
4.3 VARIANZA. (S2) Y LA DESVIACIN TPICA O ESTNDAR. (S).CONCEPTO. Es de las ms utilizadas entre las medidas de dispersin, y se define como la media aritmtica de los cuadrados
de las desviaciones respecto a su media. La desviacin tpica (S), es la raz cuadrada de la varianza.
CALCULO. Existen varias formulas para realizar su clculo, entre ellas tenemos:
Para datos sin agrupar:
Xi2 n X2
S2 = ; S2 = Xi2 X2 n n
Ejemplos:
Sean las observaciones sin agrupar: X1 = 8, X2 = 6, X3 = 11,
X4 = 9, X5 = 14, X6 = 10, X7 = 5
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
Donde, X = 8+6+11+9+14+10+5 = 63/7 = 97
Xi2 = 82+62+112+92+142+102+52 = 623
Adems, n = 7; X2 = 81
Luego: S2 = 623 7(81) = 623 567 = 8 7 7
Tambin podemos calcular la varianza mediante la segunda
formula asi:
S2 = 623/7 81 = 89 81 = 8
Habamos anotado que la desviacin estndar S, es la raz
cuadrada de la varianza; luego para nuestro ejemplo tendremos:
S = S2 luego, S = 8 ; S = 2.8
4.4 COEFICIENTE DE VARIABILIDAD. (CV). O de variacin tiene en cuenta el valor de la media aritmtica, para establecer un
numero relativo; nos permite comparar varios datos que estn
expresados en diferentes unidades, y se define como la relacin
entre la desviacin tpica sobre la media aritmtica multiplicada por
cien.
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
CV = S/X. 100
Tomando la informacin del ejemplo anterior, cuando se calcul la
varianza, podemos ahora determinar le coeficiente de variabilidad
CV
CV = 2.8/9X100 CV = 31.1%
Nota: este resultado lo podemos analizar mas adelante cuando
tengamos el CV, de los datos agrupados.
Calculo de la varianza para datos agrupados:
S2 = ( Yi - Y )2 fa, o tambin, S = Y2fa - Y2
n n
con la informacin del ejemplo del pescador que hemos venido
analizando construyamos una tabla segn las necesidades,
recordando que la media aritmtica es igual a 37, en razn a que:
Y = 481/13 de donde: Y = 37
Yi fa Yi - Y (y y )2 (Yi Y)2fa Yi fa Y2 Y2fa
0 2 -37 1369 2738 0 0 029 2 -8 64 128 58 841 168230 1 -7 49 49 30 900 90037 1 0 0 0 37 1369 136938 1 1 1 1 38 1444 1444
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42 4 5 25 100 168 1764 705675 2 38 1444 2888 150 5625 11250
13 5904 481 23701
Ahora podemos aplicar las formulas correspondientes, y
encontramos que:
a) S2 = 5904/13 = 454.2
b) S2 = 23701/13 372 S2 = 1823.2 1369 = 454.2
igualmente, S = 454.2 S = 21.3
ahora, CV = 21.3/37X100 CV = 57.6%
De los resultados anteriores podemos deducir, que en los datos
sin agrupar hay menos dispersin de la informacin por cuanto
los valores extremos son poco significativos; dicho de otra
manera, en el segundo caso (datos agrupados) hay valores
extremos distantes de la media aritmtica.
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
AUTOEVALUACION.
1. Enuncie las principales medidas de tendencia central. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Que concepto tiene usted de la media aritmtica. _________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. Enuncie tres propiedades de la media aritmtica. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Explique un concepto de mediana._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Que concepto dara usted sobre la moda.__________________________________________________________________________________________________________________
6. Que son los cuartiles.__________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Que son las mediadas de dispersin. ___________________
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__________________________________________________________________________________________________
8. Que utilidad tiene la desviacin media. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9. Como se define la varianza. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10. Que utilidad tiene en estadstica el coeficiente de variabilidad. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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SEGUNDA PARTE(Estadstica II)
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
UNIDAD NUMERO CINCO
5. INTRODUCCIN A LAS PROBABILIDADES
5.1 INTRODUCCIN.
Si nosotros furamos chinos, propondra dejar de lado esta unidad,
pues ellos consideran que las probabilidades son exclusivamente
de Dios.
El concepto de probabilidad se pude interpretar sin necesidad de definirlo, pero teniendo en cuenta que nos sirve con mucha claridad
para expresar el grado de creencia sobre la ocurrencia de un
suceso. Las probabilidades guardan relacin con la teora de los
conjuntos, de mucha importancia en la estadstica inferencial.
Un concepto generalizado sobre probabilidad dice que: es la
medida del grado de confianza que se tiene de que ocurra el
acontecimiento en el prximo ensayo.
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5.2 ESCALA DE PROBABILIDADES
1 certeza absoluta
Hecho verosmil
0,5
Hecho inverosmil Imposibilidad absoluta
0
Consecuente con el concepto de probabilidad, entendemos que
existen eventos de los cuales tenemos dudas, es decir, no
podemos asegurar con certeza; de all, que dudamos al lanzar
nuestro juicio, no obstante, existen situaciones en las cuales
estamos seguros de algo antes del suceso.
Analicemos y comentemos cada una de las situaciones que
contiene el grafico.
a. Hecho cierto. Cuando son favorables todos los casos posibles. Ganar la lotera si he comprado todos los billetes.
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b. Hecho verosmil. Cuando el suceso es susceptible de realizarse, pero los casos favorables son menores que la
unidad, pero mayores de 0,5, por ejemplo, ganar la lotera
si he comprado mas de la mitad de los billetes.
c. Hecho inverosmil. Cuando el suceso es susceptible de realizarse, pero los casos favorables son menores de 0,5,
sin que lleguen a ser cero. Ganar la lotera si he comprado
menos de la mitad de los billetes.
d. Hecho imposible. Cuando no existe posibilidad alguna de casos favorables. Ganar la lotera si no he comprado ni un
billete.
El calculo elemental de la probabilidad, desde el punto de vista clsico, es:
Numero de casos favorables p =
Numero de casos posibles
Como resultado de la formula anterior, y concordante con el grafico,
tenemos que la probabilidad p, siempre estar entre 0 y 1, es decir, p menor que 1 pero mayor que 0.
El caso tpico del lanzamiento de una moneda normal, siempre
debe caer o bien cara, o bien sello; y cada probabilidad equivale a
= 0,5
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
De lo anterior tambin se deduce, que la suma de probabilidades
de un mismo evento es igual a la unidad.
5.3 ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO. (U)
El espacio muestral de un experimento, se puede representar en
forma de cuadricula o a travs del diagrama del rbol.
a. Experimento uno . Lanzamiento de una moneda, lo natural es esperar obtener cara o sello.
U = c, s
U = ,
b. Experimento dos . Lanzamiento de dos monedas.
U = cc, cs, sc, ss
U = , , ,
c
csc diagrama del rbol
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s s
c. Experimento tres. Lanzamiento de un dado correcto.
U = 1, 2, 3, 4, 5, 6
U = , , , , ,
d. Experimento cuatro . Una familia con tres hijos.
Casos posibles
U HHH HHM HMH HMM MHH MHM MMH MMM
1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
H H M
H H
M M
H H
M M
M H
M
Ejemplo; cual es la probabilidad de que los hijos de una familia
sean todos hombres?
P = CF/ CP
U = HHH HMH HMM HHM MMM MHM MMH MHH
Luego P = 1/8
5.4 TCNICAS DE CONTEO.
Las tcnicas de conteo son de utilidad cuando en la prctica se hace casi imposible contar fsicamente el numero de ocurrencias de
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
un evento, lo que obliga a la bsqueda de un mtodo corto, rpido
y seguro. De las ms utilizadas vamos a tomar, las permutaciones
y las combinaciones.
5.5 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.
Las permutaciones ( Pn nPn ) son tcnicas de conteo, que consisten, en ordenar o hacer arreglos de todos los elementos de
un conjunto.
Calculo: Pn = n!, y se lee como permutaciones de n elementos tomados de n en n; asi una permutacin es igual a n! (ene factorial), donde n equivale a numero de elementos a ordenar.
Por definicin, 0! Es igual a uno.
Desarrollo del factorial. 4! = 4x3x2x1 = 248! =8x7x6x5x4x3x2x1 =40.320.
Ejemplos.
1. De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra CARO.
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Veamos: como la palabra consta de cuatro (4) letras, Pn =4!
Luego, P = 4x3x2x1 = 24; comprobemos:
CARO CAOR CROA CRAO COAR CORA
ACOR ACRO AROC ARCO AORC AOCR
RACO ROCA RCAO ROAC RAOC RCOA
OCRA ORCA OACR OARC OCAR ORAC
2. Se desea ordenar en una fila a los siguientes alumnos: LUISA, JUAN, PEDRO, MARTHA y JOSEFA; de cuantas formas diferentes
se hacer?.
La solucin ser: n Pn = n!
5P5 = 5! 5X4X3X2X1 = 120
2. Alguien quiere colgar 6 cuadros en lnea recta sobre una
pared de su biblioteca; de cuantas maneras lo puede hacer?
nPn = n!6P6 = 6! 6x5x4x3x2x1 =720
Las combinaciones, ( nCr son arreglos de elementos sin importar el orden en que se dispongan, tambin es un arreglo de
cierto numero de elementos tomados de un conjunto de ene
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
elementos en tal forma que el orden en que se dispongan no
importa.
Ejemplos:
1. Un club que tiene 12 miembros , va a elegir, presidente,
vicepresidente, secretario y tesorero; cuantas planchas
diferentes podr organizar para ocupar esos cargos?.
Tenemos: nCr = n! r! ( n r )!
12C4 = 12! = 12! = 4! ( 12 4 )! 4! X 8!
12X11X10X9X8! = 11880/24 = 495
4X3X2X1X8!
2. cuantos comits diferentes se pueden organizar de un grupo
de 8 personas, si el comit lo conforman solamente cinco?.
8 C5 = 8! 8X7X6X5! 5! ( 8 5)! 8 C5 = 5! X 3X2X1 = 56
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
AUTOEVALUACION.
1. De cuantas maneras puede formarse un comit de 5
personas teniendo un total de nueve?
2. Que es un espacio muestral? _________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
3. Que es un experimento? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Que diferencia hay entre permutaciones y combinaciones? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. La probabilidad de la ocurrencia de un evento debe ser mayor
o iguala cero y menor que uno? _____
6. De cuantas maneras puede formar una familia de 5 hijos, si
desea que dos sean nias y tres nios?
7. Determine el valor de : 7!; 8!; 5!; 3! Por 4!; 5! Mas 6!
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
8. Exprese por medio del diagrama del rbol, el lanzamiento de
una moneda tres veces.
9. Porque son importantes las tcnicas de conteo?
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
10. Describa el espacio muestral del lanzamiento de dos dados:
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
UNIDAD NMERO SEIS
6. DISTRIBUCIONES DE MUESTREO ALEATORIO
A manera de complemento a lo explicado en la primera parte,
abordemos este tema en lo concerniente a la parte terica, de
manera tal que permita clarificar esta importante herramienta en los
procesos investigativos.
Es posible afirmar que una de las principales tareas de la
estadstica es la de realizar inferencias acerca de una poblacin
objetivo, con base en los resultados obtenidos a travs de una
muestra.
Recordemos que poblacin o universo lo definimos como un
conjunto de elementos; y que un elemento o unidad puede ser una
persona, una familia, una empresa, un rbol, objeto o animal.
Cuando se realiza una investigacin, es pertinente estudiar las
caractersticas de los elementos que sirven como base en el
estudio, estas caractersticas pueden ser, cualitativas (atributos),
que se expresan por palabras: alto, poco, grande, bueno, etc. o
cuantitativas (variables), que pueden ser expresadas en forma
MODULO DE ESTADISTICA PARA TRABAJO SOCIAL DISTANCIAELABORO: JOHN LUNA RENGIFO
numrica: dos, cero, cinco, siete, etc., y pueden adems ser
medidas.
6.1 Marco muestral. Se refiere a un listado actualizado y revisado que contiene todos los elementos constitutivos de la
poblacin objeto de la investigacin.
6.2 Encuesta preliminar o piloto. Es aquella recomendad