ESTADISTICA DISTRIBUCIONESSoluciones a los EjerciciosSeccion 2: Distribuciones discretas 32. Distribuciones discretasEjercicio 66. Suponiendo que cada bebe tiene una probabilidad 0,51de ser varon, hallese la probabilidad de que una familia de 6 hijostenga:a). Por lo menos un nio.b). Por lo menos una nia.

Ejercicio 67. Si la probabilidad de acertar en un blanco es 1/5 y se hacen 10 disparos de forma independiente, cual es la probabilidad de acertar por lo menos dos veces?

Ejercicio 70. En una regulacin de calles por semforos, la luz verde est encendida durante 15 segundos, la luz mbar 5 segundos y la luz roja 55 segundos. Supongamos que las condiciones de trfico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automviles, de forma que llegar cuando el semforo est verde es un suceso aleatorio. Para cinco coches que lleguen en tiempos diferentes e indeterminados,calcular la probabilidad de que:a). solo tres encuentren la luz verde;b). a lo sumo cuatro encuentren la luz verde;c). mas de uno encuentre la luz verde.

Ejercicio 72. Una caja con 12 artculos tiene 4 defectuosos. Si se toma una muestra de 3, en un caso con reemplazamiento y en otro sin reemplazamiento, cual sera la probabilidad de no incluir artculos defectuosos en la muestra?

Ejercicio 73. Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que aparece un 6. Si X mide el nmero del lanzamiento en que ocurre. Se pide:a). Que funcion de probabilidad tiene la variable aleatoria X?b). Calcular P(X = 3).c). Calcular P(X > 4).

Ejercicio 74. Sea X una variable aleatoria geomtrica de parmetro p. Demostrar que:P(X > a + b|X > a) = P(X > b), para cualesquiera constantes positivas a y b.

Ejercicio 75. Para controlar la natalidad, un poltico algo excntrica, propone para los nuevos matrimonios la siguiente norma: nicamente podrn tener hasta un varn y como mximo 5 hijos. Sea X la variable nmero de hijos y V la variable nmero de varones de un matrimonio.Se pide:a). Probabilidad de que un matrimonio solo tenga un hijo.b). Probabilidad de que un matrimonio tenga k hijos.c). Nmero medio de hijos por matrimonio.d). Nmero medio de varones por matrimonio.e). Reduce esta norma la frecuencia de varones en la poblacin?

Ejercicio 76. Tres personas A, B, y C lanzan sucesivamente en el orden A, B, C un dado. La primera persona que saque un 6 gana. Si p es la probabilidad de sacar un 6 y q = 1 p, cules son sus respectivas probabilidades de ganar?

Ejercicio 77. Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta obtener dos seises y X mide el nmero del lanzamientos hasta que dicho suceso ocurre. Se pide:a). Que funcion de probabilidad tiene la variable aleatoria X?b). P(X = 3).c). P(X > 4).

Ejercicio 81. La centralita telefnica de un hotel recibe un nmerode llamadas por minuto que sigue una ley de Poisson con media 0,5. Determinar la probabilidad de que en un minuto al azar:a). Se reciba una nica llamada.b). Se reciban un mximo de dos llamadas.c). La centralita quede bloqueada, sabiendo que no puede realizar ms de 3 conexiones por minuto.

Ejercicio 82. En una gran ciudad se producen 2 incendios anuales por trmino medio. Cual es la probabilidad de que el prximo ao se produzcan ms de cuatro?

Ejercicio 86. Cuntas veces habra que lanzar un dado regular a fin de tener al menos un 95% de seguridad de que la frecuencia relativa de caras diste a lo ms 0,1 de la probabilidad terica 1/6?

Ejercicio 87. Una fabrica produce artculos defectuosos con una probabilidad del 5%. Cuntas tornillos habra que inspeccionar para tener al menos un 98% de seguridad de que la frecuencia relativa de tornillos defectuosos fD diste de 0,05 en menos de 0,02? Contestar a la pregunta anterior si la probabilidad real de 0,05 es desconocida.

Ejercicio 88. Dos personas juegan a cara o cruz y han convenido encontinuar la partida hasta que tanto la cara como la cruz se hayanpresentado por lo menos 3 veces. Hallar la probabilidad de que el juegono se acabe cuando se han hecho 10 tiradas.Ejercicio 89. Un test psicotecnico comprende 50 preguntas, para cadauna existe una unica respuesta correcta sobre 5 posibles. Cadarespuesta correcta vale 1 punto.Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 2: Distribuciones discretas 11a). Si se somete a una persona a este test y responde al azar, hallarla probabilidad de que obtenga cero puntos.b). Si fuesen 200 personas respondiendo al azar, hallar el numeromedio de personas que obtienen 10 puntos.Ejercicio 90. Una gran empresa celebra, exactamente dentro de unano, su centenario. La direccion decide que todos los hijos de los trabajadoresque nazcan el da del centenario tendran derecho a una cuentade ahorro de 5000 euros. Suelen nacer 730 ninos al ano, es decir, unos2 por da. El valor esperado del desembolso a efectuar es de 10000 euros.La direccion destina 25000 euros para prevenir alguna desviacion.Cual es la probabilidad de que esta cantidad resulte insuficiente?Ejercicio 91. El 4% de las reservas de un vuelo no son utilizadas.Segun esta observacion, una compania de aviacion vende 75 billetespara 73 plazas. Cual es la probabilidad de que todos los pasajerosconsigan plaza?Ejercicio 92. Supongase que en un estudio dental sobre ninos se haToc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 2: Distribuciones discretas 12obtenido la proporcion p = 2/3 de la poblacion infantil que tienealguna caries. Calcular:a). Probabilidad de que haya que examinar 6 ninos para encontraruno con caries.b). Probabilidad de que haya que examinar 15 ninos para encontrar5 con caries.Ejercicio 93. El departamento de matematicas propone un examende test consistente en 25 cuestiones. Cada cuestion tiene 5 respuestaslistadas. Si un estudiante no conoce la respuesta correcta de ningunacuestion y prueba suerte, calcular:a). Cual es el numero esperado de respuestas correctas y su desviacion tpica?b). Suponiendo que cada respuesta acertada vale 1 punto, cuantodebe valer cada respuesta fallada para que la nota esperada delestudiante que prueba suerte sea nula?Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 2: Distribuciones discretas 13c). Si se pasa el examen cuando se responden correctamente 13cuestiones, cual es la probabilidad de que pase el alumno queha probado suerte?Ejercicio 94. Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta queaparece un 6. Si sabemos que no salio en la primera tirada, cual esla probabilidad de necesitar mas de 3 lanzamientos?Ejercicio 95. Una caja contiene 100 artculos, de los que 4 son defectuosos.Sea X el numero de artculos defectuosos encontrados enuna muestra de 9.a). Hallar P(X = 2).b). Aproximar la probabilidad anterior por una binomial.c). Aproximar la probabilidad anterior por una Poisson.Ejercicio 96. Supongase que el numero de llamadas telefonicas querecibe una operadora desde las 9:00 horas hasta las 9:05 horas sigueuna distribucion de Poisson con = 4. Hallar:Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 2: Distribuciones discretas 14a). Probabilidad de que la operadora no reciba ninguna llamada alda siguiente en ese intervalo de tiempo.b). Probabilidad de que en los dos proximos dias la operadora recibaun total de 3 llamadas en ese intervalo de tiempo.Ejercicio 97. Un almacen suministra un determinado tipo de grua.El numero de pedidos por da se ajusta a una distribuccion de Poissoncon parametro = 2. Tres de estas gruas por lo general se tienendisponibles en el almacen. Si se piden mas de tres, el comprador debedesplazarse a una distancia considerable hasta una empresa de ingeniera.a). En un da cualquiera, cual es la probabilidad de que se realiceun viaje a la empresa de ingeniera?b). Cual es el numero medio de pedidos por da?c). Cuantas gruas de repuesto deben permanecer en el almacenpara despachar a los compradores el 90% de las veces?Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 2: Distribuciones discretas 15d). Cual es el numero medio de compradores atendidos diariamenteen el almacen?e). Cual es el numero esperado de veces que el compradores realizara el viaje a la empresa de ingeniera?Ejercicio 98. Se supone que el numero de accidentes por semanaque ocurren en una fabrica sigue una distribucion de Poisson conparametro = 2. Se pide:a). Probabilidad de que en una semana cualquiera ocurra un soloaccidente.b). Probabilidad de que, en un grupo de 10 semanas, ocurran 3accidentes en tres semanas distintas.c). Probabilidad de que en una semana haya mas de 3 accidentes.d). Funcion de densidad del tiempo entre dos accidentes.e). Probabilidad de que el tiempo entre dos accidentes sea superiora 3 semanas.Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 2: Distribuciones discretas 16Ejercicio 99. Una agencia inmobiliaria dedicada a la venta de apartamentosen la Costa ha realizado un estudio de ventas, comprobandoque solo el 5% de las personas que acuden a visitar el piso piloto compranun apartamento. Se pide:a). Calcular la probabilidad de que tenga que recibir 10 visitas hastavender un apartamento.b). Calcular la probabilidad de que tenga que recibir 10 visitas hastavender dos apartamentos.c). Se han tenido que recibir 10 visitas hasta vender 2 apartamentos.Cual es la probabilidad de que las 3 primeras visitas noefectuaran ninguna compra?Ejercicio 100. Un video club tiene 12 pelculas infantiles para alquilara diario. Para este grupo se estima que la demanda sigue unproceso de Poisson con tasa 10 pelculas/da. Se pide:a). Probabilidad de que en un da se hayan alquilado todas laspelculas.Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 2: Distribuciones discretas 17b). Cuantas pelculas debera haber en existencia para que la probabilidadde no satisfacer la demanda de un da solo fuese del0,07 %?Ejercicio 101. Un lote de 10 motores electricos se debe rechazartotalmente o vender, segun el resultado de la siguiente operacion: seescogen dos motores al azar sin sustitucion y se inspeccionan. Si unoo mas son defectuosos, el lote se rechaza; en otro caso es aceptado.Supongamos que cada uno de los motores cuesta 75$ y se vende por100$. Si el lote contiene un motor defectuoso, cual es beneficio netoesperado del fabricante?Ejercicio 102. A un hotel llegan dos carreteras A y B. El numero dellegadas diarias por cada carretera siguen distribuciones de Poissonindependientes con parametros 8 y 9 respectivamente.a). Si un da llegaron 12 personas, cual es la probabilidad de que7 llegaran por la carretera A?b). El coste diario de manutencion por persona es de 2000 euros siToc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 2: Distribuciones discretas 18son menos de 5 personas y 1500 euros si son 5 o mas personas.Cual sera el coste diario esperado?Ejercicio 103. Una empresa de fabricacion de explosivos tiene dossecciones una segura S y otra con riesgo de accidentes R. En la seccionS hay 2000 empleados donde el numero de accidentes XS por anosigue una distribucion de Poisson de parametro 1 = 5 y en R hay 500empleados y el numero de accidentes YR por ano sigue una distribucionde Poisson de parametro 2 = 10. Los accidentes se producen de formaindependiente en las dos secciones.a). Cual es la probabilidad de que se produzcan cinco accidentesen la seccion S?b). Cual es el numero medio de accidentes por ano en la empresa?c). Si en un ano se han registrado 8 accidentes, cual es la probabilidadde que se hayan producido 6 accidentes en la seccionR?Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 19La compania La Avispa.asegura a cada empleado de la seccionS por una prima de p1 euros y a cada empleado de la seccionR por una prima de p2 euros y una indemnizacion comun de 10millones por accidentado.d). Expresar los beneficios B por ano de la compania.e). Cuales son los valores mnimos justos de las primas p1 y p2,para que el beneficio esperado por la compania no sea negativo?3. Distribuciones continuasEjercicio 104. Una variable aleatoria X se distribuye de forma uniformeen (2, 4). Se pide:a). P(X < 2,5)b). P(X > 3,2)c). P(2,2 < X < 3,5)Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 20d). E(X) y V ar(X)Ejercicio 105. Se sabe que la cantidad aleatoria demandada duranteun cierto periodo de tiempo por parte de una empresa textil tienedistribucion uniforme y no supera la tonelada. Determinar para dichoperiodo de tiempo:a). Probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900kg.b). Probabilidad de que la cantidad demandada este comprendidaentre 800 y 900 kg.c). La demanda esperada.Ejercicio 106. Una empresa tiene una funcion de costes que vienedada por C = 100,000+2X. En el mercado vende cada unidad a 5 eurosy la demanda X del citado artculo tiene una distribucion uniformeentre 25000 y 30000 unidades. Cual sera el beneficio esperado?Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 21Ejercicio 107. Comprobar que si T es exponencial de parametro

se cumple la propiedadT =1

; 2T=1

2 .Ejercicio 108. Comprobar que si T es exponencial de parametro

se cumple la propiedadP(T > s + t|T > s) = P(T > t)Ejercicio 109. La variable aleatoria T es de tipo Exponencial().Cual es la probabilidad de que T sea superior a su valor esperado?Cual es la probabilidad de que T sea superior al doble de su valoresperado?Ejercicio 110. La funcion de densidad del tiempo T entre dos averasde una instalacion de calculo esf(t) = 0,25e0,25t.Para resolver un determinado problema es necesario que funcione laToc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 22instalacion sin fallos durante 3 minutos, que es el tiempo necesario parala resolucion del problema. Si falla la instalacion durante el periodode 3 minutos hay que volver a empezar con el calculo del problemateniendo en cuenta que la existencia de una avera solo se apreciadespues de los tres minutos. Sea Y el tiempo total necesario para laresolucion del problema. Hallar:a). Distribucion de Y .b). Tiempo medio de resolucion del problema.c). Probabilidad de que en 18 minutos puedan ser resueltos 3 problemas.Ejercicio 111. La duracion de la vida de una bombilla es Exp().La probabilidad de que sobrepase las 100 horas de uso es 0,9.a). Cual es la probabilidad de que sobrepase 200 horas de uso?b). Cuantas horas se mantiene funcionando con una probabilidad0,95?Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 23Ejercicio 112. El tiempo medio de funcionamiento de una bombillaes de 120 horas. Se ponen en funcionamiento 6 bombillas al mismotiempo. Sea Ti el tiempo que transcurre hasta que se estropean ibombillas. Determinar E[Ti] para i = 1, 3, 6.Ejercicio 113. En la figura 1 cada componente tiene una funcionde fiabilidad de tipo exponencial con parametro i. Determinar lafuncion de fiabilidad del sistema y el tiempo medio de vida del sistema.Figura 1: Fiabilidad en serie y paraleloToc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 24Ejercicio 114. En la figura 2 cada componente tiene la misma funcion de fiabilidad de tipo exponencial con parametro . Determinarla funcion de fiabilidad del sistema y el tiempo medio de vida delsistema.Figura 2: Fiabilidad en serie y paraleloEjercicio 115. En la figura 1 cada componente tiene una funcion defiabilidad de tipo exponencial con parametro i. Sea A el suceso lacomponente 1 se estropea antes que la componente 2. Determinar laToc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 25probabilidad del suceso A.Ejercicio 116. Sean 30 instrumentos electronicos E1,E2, . . . ,E30.Tan pronto como falla E1 se activa E2, y as sucesivamente. Si eltiempo en que falla Ei, para cualquier i, es de tipo exponencial conparametro = 0,1 hora1 y T es el tiempo total de funcionamientode los 30 instrumentos, hallar la probabilidad de que T supere las 350horas.Ejercicio 117. Sea Z una variable aleatoria normal con = 0 y = 1. Calcular:a) p(Z 0) b) p(Z 1)c) p(Z > 1) d) p(Z > 1)e) p(1 < Z < 1) f) p(2 < Z < 1)Ejercicio 118. Sea X una variable aleatoria normal con = 50 y2 = 25. Calcular:a) p(X 40) b) p(X 60)c) p(X > 65) d) p(X > 35)e) p(40 < X < 60) f) p(30 < X < 42)Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 26Ejercicio 119. Se sabe que el numero X de personas que entrandiariamente en unos grandes almacenes se distribuye normalmente. Sihay una probabilidad 0,58 de que entren menos de 75 clientes y unaprobabilidad 0,38 de que entren entre 75 y 80 clientes, determinar lamedia y la varianza de la variable X.Ejercicio 120. La duracion aleatoria de un determinado tipo de artculos,en horas, viene regulada por la ley de probabilidad N(180, 5).Determinar la probabilidad de que la duracion de tal artculo:a). Sea superior a 170 horas.b). Sea inferior a 150 horas.Ejercicio 121. Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina duranteun cierto periodo de tiempo se comporta con arreglo a la ley normalde media 150000 litros y desviacion tpica 10000 litros, determinar lacantidad que hay que tener dispuesta a la venta en dicho periodo parapoder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0,95.Ejercicio 122. Un instrumento electronico esta formado por tresToc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 27componentes. Dos formas posibles de disponer estas componentes son:i) en serie, ii ) en paralelo. Si los tiempos de fallo de cada componenteson independientes y siguen una distribucion exponencial con funcionde densidad:f(t) = 0,01 e0,01t,se desea saber:a). Probabilidad de que el instrumento funcione despues de 50 horasen los dos casos.b). Si el sistema no ha fallado durante 20 horas, cual es la probabilidadde que falle en las 30 horas siguientes?Ejercicio 123. Para ganar el jubileo un peregrino decide ir, a golpede alpargata, desde su pueblo hasta Santiago de Compostela, siendola distancia entre ambos lugares de 300 km. Este peregrino es precisamentefabricante de dicho tipo de calzado y sus datos han permitidoestablecer a un ingeniero, que vive en el pueblo, a efectos de controlde calidad, que los kilometros que se pueden recorrer con un par deToc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 28alpargatas, antes de que queden inservibles, es una variable N(20, 16).Aunque el peregrino no le importa disciplinarse severamente, tampocoquiere correr un riesgo excesivo de destrozarse los pies. Por eso, quieresaber cual es el menor numero de pares de alpargatas que debe llevarpara tener una garanta de al menos un 91% de que no tendra quecaminar descalzo.Ejercicio 124. Un individuo juega con probabilidad de ganar iguala 1/2 en cada juego. Si gana en un juego obtiene 5 euros y si pierdepaga 5 euros. Durante una tarde juega 400 veces. Con cuanto dinerodebe acudir si quiere tener una probabilidad de 0,95 de hacer frentea sus posibles perdidas?Ejercicio 125. Un corredor de bolsa adquiere 50 acciones diferentes.Se sabe, por estudios anteriores, que los beneficios de cada accion sedistribuyen uniformemente en el intervalo (1000, 2000), y que dichosbeneficios son independientes. Dicho corredor concierta con sus clientesuna ganancia, por cada accion de 1200 euros, que probabilidadtiene de no perder dinero?Ejercicio 126. Un instituto de opinion publica quiere obtener unaToc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 29muestra de votantes de un cierto estado, suficientemente grande paraque la probabilidad de obtener una proporcion de votos a favor delcandidato A inferior al 50 %, sea de 0,01, si la intencion de voto a favorde dicho candidato es realmente del 52 %. Que tamano debera tenerla muestra?Ejercicio 127. Dos individuos A y B realizan un juego bajo las siguientescondiciones: se lanza un dado perfecto, si sale 1 o 2 eljugador A paga 6 euros a B, pero si sale 3, 4, 5 o 6 el jugador Bpaga 21 euros a A.Se pide:a). Si juegan 300 partidas determinar la probabilidad de A ganeentre 175 y 230 euros.b). El beneficio esperado para ambos jugadores en 300 partidas.c). Si B lleva en el bolsillo 200 euros, cuantas partidas al menoshay que jugar para que B lo pierda todo con una probabilidadde al menos 0,9772?Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 30Ejercicio 128. El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmentecon media 30 cl, y desviacion tpica 2 cl.a). Cual es la probabilidad de que un bote determinado tenga masde 33 cl?b). En un envase de 6 botes cual es la probabilidad de que el contenidolquido total sea inferior a un litro y tres cuartos?Ejercicio 129. Sabiendo que el 30% de los enfermos con infartos demiocardio que ingresan en un hospital, fallecen en el mismo, y que alano ingresan 2000, determinar la probabilidad de que fallezcan en elhospital un maximo de 550.Ejercicio 130. En un proceso de fabricacion se sabe que el numeroaleatorio de unidades defectuosas producidas diariamente, viene dadopor la ley de probabilidad:P(X = r) = e10 10rr! r = 0, 1, 2, . . .Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 31Determinar la probabilidad de que en 150 das, el numero de unidadesdefectuosas producidas supere las 1.480 unidades.Ejercicio 131. Una empresa sabe que la demanda aleatoria de unartculo que produce, se ajusta por la ley N(10000; 100). Si la empresadecide seguir produciendo el artculo en el futuro, supuesto que lademanda este comprendida entre 9930 y 10170 unidades, determinarla probabilidad de que no siga produciendo tal artculo.Ejercicio 132. Una tienda comercial dispone a la venta diariamentesolo dos artculos a precios p1 y p2, de forma que: el 70% de lasunidades ofrecidas lo son del artculo de precio p1 y el 30% restantelo son del artculo de precio p2. Si en un da determinado se venden2000 unidades, determinar la probabilidad de que mas de 800 unidadescorrespondan al artculo de precio p2.Ejercicio 133. Un concesionario de automoviles vende a particularesvehculos de la misma marca. Sabiendo que la probabilidad de queeste tipo de vehculos este en servicio dos anos despues es de 0,8,determinar la probabilidad de quede 4000 automoviles vendidosmasde 3120 esten en servicio dentro de dos anos.Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISeccion 3: Distribuciones continuas 32Ejercicio 134. La demanda de un producto oscila diariamente entre20 y 40 unidades. Determinar la probabilidad de que en un periodode 182 das, el n0 de unidades demandadas supere 6370 unidades,supuesta la independencia de la demanda de cada da respecto de lasrestantes.Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 33Soluciones a los EjerciciosEjercicio 66. Sea X el numero de varones de entre 6 hijos. X Bin(6; 0,51), luego:a). P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 q6 = 1 0,496 = 0.986b). P(X 5) = 1 P(X = 6) = 1 p6 = 1 0,516 = 0.982Ejercicio 66Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 34Ejercicio 67. Sea X el numero de aciertos de entre 10 disparos.X Bin(10;15)luego:P(X 2) = 1 P(X 1) = 1 P(X = 0) P(X = 1))=) 1 q10 10 p q9Ejercicio 67Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 35Ejercicio 68. Sea Xi para todo i una distribucion de Bernoulli conE[Xi] = p V ar(Xi) = pqComoX = X1 + X2 + . . . + Xnluego: = E[X] = E[X1] + E[X2] + . . . + E[Xn]= n py tomando varianzas para una suma de variables aleatorias identicase independientes2 = V ar[X] = V ar[X1] + V ar[X2] + . . . + V ar[Xn]= n pqEjercicio 68Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 36Ejercicio 69. Sea X el numero de caras obtenido en los 500 lanzamientos.X B(500; 0,5), luegoP(240 X 260) =X260k=240

500k

0,5500k 0,5k=X260k=240

500k

0,5500como np = 250 > 5 y npq = 125 > 5, aproximamos a la distribucionnormal B(500, 0,5) N( = 250, =p125), realizando el ajuste porcontinuidad:P

240 250 0,5p125< z 1) = 1 P(X 1) = 1 P(X = 0) P(X = 1)= 1

50

150 455

51

151 454= 0, 26272Ejercicio 70Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 38Ejercicio 71.a). X se ajusta a una distribucion geometrica G(p = 0,1).b). Si X G(p = 0,1), entoncesX =1p= 10 V ar(X) = qp2c). Y se ajusta a una distribucion Binomial Negativa BN(k; p =0,1),d). Si Y BN(k; p = 0,1), entoncesY = kp= 10 V ar(Y ) = kqp2Ejercicio 71Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 39Ejercicio 72. Con reemplazamiento, X sigue una distribucion BinomialBin(n = 3; p =412)luegoP(X = 0) = q3 =

8123= 0, 296 Sin reemplazamiento, X sigue una distribucion HipergeometricaHG(N,E, n) = HG(12, 4, 3)P(X = 0) =4083

123 =1455= 0, 254Ejercicio 72Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 40Ejercicio 73. X sigue una distribucion geometrica o de Pascal G(p = 16 ) luegoP(X = k) = p qk1P(X = 3) = p q2 En la geometrica se tiene que P(X > k) = qk, luegoP(X > 4) = q4 =

564Ejercicio 73Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 41Ejercicio 74. Si X es geometrica, de parametro p, se tiene 8k queP(X > k) = qk, luego si a, b > 0 ,P(X > a + b|X > a) = P(X > a + b \ X > a)P(X > a)= P(X > a + b)P(X > a)= qa+bqa = qb= P(X > b)Ejercicio 74Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 42Ejercicio 75. Sea X la variable numero de hijos y V la variablenumero de varones de un matrimonio, y sea p la probabilidad de quenazca un varon. Configuramos la funcion de distribucion en una tablapara ambas variablesX 1 2 3 4 5pX p p q p q2 p q3 p q4 + q5V 1 1 1 1 1 0pV p p q p q2 p q3 p q4 q5a). P(X = 1) = p.b). P(X = k) = p qk1 con 1 k 4 y P(X = 5) = p q4 + q5c). Numero medio de hijos por matrimonio:E[X] = 1 p + 2 p q + 3 p q2 + 4 p q3 + 5 (p q4 + q5)= (sustituyendo p por 1 q)= 1 + q + q2 + q3 + q4Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 43d). Numero medio de varones por matrimonio:E[V ] = 1 p + 1 p q + 1 p q2 + 1 p q3 + 1 p q4 + 0 q5)= p(1 + q + q2 + q3 + q4)e). ComoE[V ]E[X]= pla frecuencia de varones en la poblacion sigue siendo de p, es decircon ese criterio de parada en la descendencia, no se modificala proporcion entre hombres y mujeres.Ejercicio 75Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 44Ejercicio 76. Gana A cuando ocurren los siguientes sucesos6, 6666, 6666666, 6666666666 razonando analogamente para B y C, se tiene:P(A) = p + p q3 + p q6 + = p1 q3P(B) = p q + p q4 + p q7 + = p q1 q3P(C) = p q2 + p q5 + p q8 + = p q21 q3Ejercicio 76Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 45Ejercicio 77.a). X sigue una distribucion binomial negativa BN(k = 2; p = 16 )luegoP(X = n) =

n 11

p2 qn2 n = 2, 3, b). P(X = 3) = 2 p2 qc).P(X > 4) = 1 P(X 4) == 1 P(X = 2) P(X = 3) P(X = 4)= 1 p2 q0 2 p2 q 3 p2 q2siendo p = 1/6 y q = 5/6.Ejercicio 77Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 46Ejercicio 78. Sea X1 el numero de intentos hasta el primer exito, X2el numero de intentos desde el primer exito hasta el segundo exito,Xiel numero de intentos desde el (i 1)esimo exito hasta el iesimoexito. EntoncesX = X1 + X2 + + Xk Xi G(p)X es la suma de variables aleatorias identicas e igualmente distribuidas,{Xi}()i.i.d.), con E[Xi] =1py V ar[Xi] = qp2 . Tomando esperanzasy varianzas se llega aE[X] = kpV ar[X] = k qp2Ejercicio 78Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 47Ejercicio 79. Sea X el numero de extracciones hasta encontrar elquinto donante con sangre tipo A. Como X sigue una distribucionbinomial negativa BN(5; p), donde p es la probabilidad de que undonante cualquiera tenga sangre tipo A, es decir p = 0,432.P(X = 10) =

94

p5 q5Ejercicio 79Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 48Ejercicio 80.a). El suceso {Y n} en la hipergeometrica equivale a necesitar almenos n intentos para obtener los k exitos, lo que equivale alsuceso {X k} en la binomial.b). Es inmediato de lo anterior.Ejercicio 80Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 49Ejercicio 81. La variable X numero de llamadas por minuto sigueuna distribucion de Poisson Po( = 0,5), luegoa). P(X = 1) = e0,5 0,51!= 0,303b). P(X 2) = e0,5 + e0,5 0,51!+ e0,5 0,522!= 0,986c).P(X > 3) = 1 P(X 3) == 1 P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) P(X = 3)= 1 e0,5 e0,5 0,51! e0,5 0,522! e0,5 0,533!= 0, 002Ejercicio 81Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 50Ejercicio 82. La variable X numero de incendios anuales sigue unadistribucion de Poisson Po( = 2), luegoP(X > 4) = 1 P(X 4) == 1 P(X = 0) P(X = 1) . . . P(X = 4)= 1 e2 e2 21! e2 222! e2 233! e2 244!= 0, 0527Ejercicio 82Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 51Ejercicio 83. De las dos igualdades del calculo siguientes1Xk=0k kk!= e1Xk=0k2 kk!= (2 + ) ey de la definicion de E[X] y V ar[X] se obtiene con facilidad que = ; 2x= .Ejercicio 83Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 52Ejercicio 84. El numero de caras sigue una distribucion binomialB(500; 0,5). A partir de la aproximacion deX B(n, p) N(np, = pnpq)la variable aleatoria frecuencia relativa fr se aproxima afr = Xn N(p, =rpqn)luegoP(0,45 < fr < 0,65) = P0@0,45 0,5q0,25500< z 3) = 1 e2

1 +21!+222!+233!

= 0, 14288d). Sea T tiempo entre dos accidentes. T sigue una distribucion detipo exponencial de parametro = 2.e). Pide P(T > 3) = 1 FT (3) = e23 = 0, 002.Ejercicio 98Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 68Ejercicio 99.a). Sea X el numero de visitas hasta vender un apartamento, X esG(p = 0,05)P(X = 10) = p q9 = 0, 03151b). Sea Z el numero de visitas hasta vender dos apartamento, Z esBN(k = 2, p = 0,05)P(Z = 10) =

91

p2 q8 = 0, 01493c). Equivale a que las tres primeras han sido fracasos y en las sieterestantes dos exitos siendo uno de ellos la ultima visita, es decirP(Z > 3 sin exito en las tres primeras |Z = 10) ==q q q

61

p2 q5P(Z = 10)=69Ejercicio 99Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 69Ejercicio 100.a). Sea X el numero de pelculas demandadas,P(X 12) = 1 P(X 11) = 1 X11i=0e10.10ii!= 0, 3032Este calculo se puede aproximar con Po(10) N(10, 2 = 10).b). Sean n las pelculas almacenadas, entonces necesitamos calcularn para que P(X > n) 0,07 o bien P(X n) 0,93. Con laaproximacion Po(10) N(10, 2 = 10) tendremosP(X n) = P(z n 10p10= z0) 0,93de la tabla normal N(0, 1) obtenemos z0 = 1,48, luego resolvemosz0 = n 10p10= 1,48 n = 15 peliculasEjercicio 100Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 70Ejercicio 101. El numero de defectuosos X sigue una hipergeometricacon N = 10, E = 1, N E = 9 y tamano de la muestra n = 2. SeaA el suceso el lote se acepta, entoncesP(A) = P(X = 0) =

10

92

1009 = 0,8beneficio neto esperado del fabricante B sera:E[B] = 25 P(A) 75 P(A) = 5Ejercicio 101Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 71Ejercicio 102.a). Sea XA el numero de clientes que llegan por la carretera A yXB el numero de clientes que llegan por la carretera B. El totales T = XA + XB que es de Poisson de parametro = 17.P(XA = 7|T = 12) = P(XA = 7 y XB = 5)P(T = 12)==e8 877! e9 955!e17 171212!= 0, 16834b). Sea A el suceso llegan menos de 5 personas.P(A) = P(T < 5) = e17X4i=017ii!= 0, 0002El coste es C = 2000.IA + 1500 IA, y el coste diario esperado:E[C] = 2000 P(A) + 1500.P (A) = 1500, 1Ejercicio 102Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 72Ejercicio 103.a). P(XS = 5) = e5 555! = 0,1754b). 1 + 2 = 15.c). Sea Z = XS + YR el numero total de accidentes,P(YR = 6|Z = 8) = P(XS = 2, YR = 6)P(Z = 8)=e10 1066! e5 522!e15158/8!= 0,273d).B = 2000 p1 + 500 p2 106 (XS + YR)e). Hacemos que sea justo para los empleados de la seccion S, con2000 p1 106 E[XS] = 0, p1 = 2500 eurosToc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 73Lo mismo para los empleados de la seccion R, con500 p2 106 E[YR] = 0, p2 = 20000 eurosOtra forma, es exigir que la razon de los ingresos por seccion seala razon de indices de accidentados por seccion , es decir2000 p1500 p2= 12p1p2=18que junto a E[B] = 2000 p1 +500 p2 106 15 = 0 proporciona lamisma solucion.Ejercicio 103Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 74Ejercicio 104. Sea X U(2, 4) conf(x) =12 FX = x 222 < x < 4a). P(X < 2,5) = FX(2,5) = 0,25b). P(X > 3,2) = 1 FX(3,2) = 1 0,6 = 0,4c). P(2,2 < X < 3,5) = FX(3,5) FX(2,2) = 0,75 0,1 = 0,65d). E[X] = 3 y V ar[X] = 412Ejercicio 104Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 75Ejercicio 105. Sea X U(0, 1) conf(x) = 1 FX = x 0 < x < 1a). P(X < 0,9) = 0,9b). P(0,8 < X < 0,9) = FX(0,9) FX(0,8) = 0,1c). E[X] =12Ejercicio 105Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 76Ejercicio 106. Sea X U(25000, 30000) conf(x) = x 25000500025000 < x < 30000como los beneficios B = V CE[B] = E[5 X 100000 2 X) = 3 E[X] 100000 = 17500Ejercicio 106Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 77Ejercicio 107. Sea T Exp() conf(t) = e t FT (t) = 1 e t 0 < tE[T] =Z 10

t e t = (por partes)=

t e t 1

e t10=1

Para la varianza V ar[T] = E[T2] E[T]2 se integra dos veces porpartes y se obtiene2T=1

2 .Ejercicio 107Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 78Ejercicio 108. Sea T Exp() conf(t) = e t FT (t) = 1 e t 0 < tP(T > s + t|T > s) = P(T > s + t \ T > s)P(T > s)= P(T > s + t)P(T > s)= e (s+t)e s= e t = P(T > t)Ejercicio 108Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 79Ejercicio 109. Sea T Exp() conf(t) = e t FT (t) = 1 e t 0 < tP(T >1

) = e 1

= e1yP(T > 21

) = e 2 1

= e2Ejercicio 109Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 80Ejercicio 110. La probabilidad de que la instalacion no se avere entres minutos es P(T > 3) = e0,253 = e0,75 = p = 0,472.a). La variable Y es geometrica G(p) y puede tomar los valores1, 2, 3, . . . en unidades de 3 minutos. La probabilidad de resolverel problema en el k-esimo intento y por tanto se empleen 3kminutos esP(Y = k) = pqk1b). E[Y ] = e0,75 = 6,35 minutos.c). Sea Z el numero de problemas resueltos en 18 minutos. Z sedistribuye como una B(6, p), luegoP(Z = 3) =

63

p3 q3 = 0,7072Ejercicio 110Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 81Ejercicio 111. Sea T Exp() conf(t) = e t FT (t) = 1 e t 0 < tcomo P(T > 100) = e 100 = 0,9 =) = 0,00105a). P(T > 200) = e 200 = 0,81b). Para hallar t con P(T > t) = 0,95 resolvemose t = 0,95 =) t = 48,85Ejercicio 111Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 82Ejercicio 112. El tiempo Bi de duracion de una bombilla es Exp(),la variableMi = min(B1,B2, ,Bi) es tambien exponencial Exp(i ).M6 indica el tiempo que transcurre hasta la primera rotura, M5 indicael tiempo que transcurre entre la primera rotura y la segunda,yanalogamente para Mi, entonces T1 = M6, T3 = M6 + M5 + M4 yT6 = M6 +M5 + +M1, luegoE[T1] =1206= 20E[T3] =1206+1205+1204= 74E[T6] =1206+1205+ +1201= 220Ejercicio 112Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 83Ejercicio 113. Sistema en serie. Sea T = min(T1, T2)P(T > t) = P(T1 > t ^ T2 > t) = P(T1 > t) P(T2 > t)= e1 t e2 t = e(1+2) t= 1 FT (t)luegofT (t) = (1 + 2) e(1+2) tlo que muestra que T sigue una distribucion Exp(1+2) y portanto la esperanza esE[T] =1

1 + 2Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 84 Sistema en paralelo. Sea T = max(T1, T2)P(T < t) = P(T1 < t ^ T2 < t) = P(T1 < t) P(T2 < t)= (1 e1 t) (1 e2 t)= FT (t)y calculando la esperanza se tieneE[T] =1

1+1

21

1 + 2Ejercicio 113Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 85Ejercicio 114. En el sistema en paralelo el tiempo es T = max(T1, T2, T3)P(T < t) = P(T1 < t ^ T2 < t ^ T3 < t) == P(T1 < t) P(T2 < t) P(T3 < t)= (1 e t)3= FT (t)el calculo de la esperanza por integracion por partes es algo pesado,y resultaE[T] =1

(1 +12+13)Ejercicio 114Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 86Ejercicio 115. Sea A el suceso la componente 1 se estropea antes quela componente 2. Si T1 es la duracion de la componente 1, T2 es laduracion de la componente 2, Tmin es la duracion mnima del sistemay Tmax es la duracion maxima del sistema, se tiene queTmax = Tmin + T2 A + T1 Ay tomando esperanzasE[Tmax] = E[Tmin] + E[T2] P(A) + E[T1] P(A)Sustituyendo las esperanzas del ejercicio 113, se obtieneP(A) = 1

1 + 2Ejercicio 115Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 87Ejercicio 116. Si el tiempo Ti de cada instrumento es Exp( = 0,1)con X = 10 y 2X= 10, el tiempo total de funcionamiento de los 30instrumentos corresponde a la variableT = T1 + T2 + . . . + T30Por el Teorema Central del Lmite, la suma de las 30 variables i.i.d.se ajusta a una N(n ,pn2X)T N(300;p3000)luegoP(D > 350) = 1 P

z 1) = 1 (1) = 0,1587d). P(Z > 1) = 1 (1) = (1) = 0,8413e). P(1 < Z < 1) = (1) (1) = 0,6826f). P(2 < Z < 1) = (1) (2) = (2) (1) = 0,1359Ejercicio 117Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 89Ejercicio 118. Se obtienen tipificando a la variable z N(0; 1):a). P(X 40) = P

z 40 505

= (2) = 0,0228b). P(X 60) = P

z 60 505

= (2) = 0,9772c). P(X > 65) = P

z >65 505

= 1 (3) = 0,0013d). P(X > 35) = P

z >35 505

= (3) = 0,9987e). P(40 < X 60) = (2) (2) = 0,9544f). P(30 < X 42) = (1,6) (4) = 0,0548Ejercicio 118Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 90Ejercicio 119. Suponemos que X se distribuye N(, 2). Tenemos:P(X < 75) = 0,58, P(75 < X < 80) = 0,38tipificando Z = (X )/ obtenemosP(Z t) P(T2 > t) = G1(t)G2(t) == etet = e2ty as tenemos para el sistema en serie la funcion de distribuciony la funcion de densidad del tiempo TS:FS(t) = 1 e2t fS(t) = 2 e2tluegoP(TS > 50) = GS(50) = e2 50 = e1yP(TS > 50|TS > 20) = P(TS > 50 y TS > 20)P(TS > 20)== GS(50)GS(20)= e0,6 = 0,5488Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 94P(TS < 50|TS > 20) = 1 0,5488 = 0,4512 Sistema en Paralelo:Fp(t) = P(Tp < t) = P(T1 < t) P(T2 < t) == F1(t) F2(t) = (1 et)(1 et)y as, la funcion de supervivencia del tiempo Tp:Gp(t) = 1 (1 et)(1 et)luegoP(Tp > 50) = Gp(50) = 1(1e 50)2 = 1(1e0,5)2 = 0.8452yP(Tp > 50|Tp > 20) = P(Tp > 50 y Tp > 20)P(Tp > 20)= Gp(50)Gp(20)= e0,6P(Tp < 50|Tp > 20) = 1 0,8739 = 0,1261Ejercicio 122Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 95Ejercicio 123. Sea R1 el recorrido con el primer par de zapatillas, yRi el recorrido con el par iesimo de zapatillas. El recorrido total RTcon n pares de zapatillas equivale a:RT = R1 + R2 + . . . + RnLa variable RT sigue una distribucion normal N(20 n; 2 = 16 n).P(RT > 300) = P(Z >300 20n4pn= z0) 0,951 (z0) 0,95 (z0) 0,05de las tablas obtenemos z0 = 1,65 y as300 20n4pn= z0 1,65resolviendo esta ecuacion se obtiene n 17. Ejercicio 123Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 96Ejercicio 124. Sea C la cantidad que lleva en el bolsillo. Sea X elnumero de partidas ganadas de 400, de tipo B(400; 1/2). Sea B elbeneficio B = 5X 5(400 X) = 10X 2000. Hay que calcular Ccon la condicionP(B + C 0) 0,95Es decirP(10X 2000 + C 0) = P

X 2000 C10

0,95Aproximando X por la distribucion normal N(200; = 10) se tieneP Z 2000C10 20010= z0! 0,95Como 1 (z0) 0,95, buscando en la tabla N(0; 1), obtenemosz0 = 1,65, luego resolviendo la ecuacion2000C10 20010 1,65 C 165Ejercicio 124Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 97Ejercicio 125. Sea X la ganancia por accion y G la ganancia totaldel corredor de bolsa. EntoncesG = 50X 1200,50 = 50X 60,000luegoP(G 0) = P(50X 60000 0)= P(X 1200)=Z 2000120011000dx = 0,8Ejercicio 125Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 98Ejercicio 126. Sea fA la frecuencia obtenida con una muestra detamano n. Se tiene que fA N(p,ppq/n), siendo la proporcion realp = 0,52. Hay que determinar n con la condicionP(fA < 0,50) 0,01Tipificando, obtenemosP0@Z 0,9772Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 100o seaP

XA 0,9772con la aproximacion XA N( 2n3 ; 2 = 2 n9 ), se tieneP Z 0,9772Como (2) = 0,9772, resolvemos la inecuacion200+6n27 2np 32n/9 2y obtenemos n 28 partidas.Ejercicio 127Toc JJ II J I Volver J Doc Doc ISoluciones a los Ejercicios 101Ejercicio 128. Sea El contenido X en cl. de un bote de cerveza esX N(30; 2):a).P(X > 33) = 1 P(X 33) = 1 P(z 1,5)= 1 (1,5) = 1 0,9332 = 0,0668b). Si Xi es el contenido del bote i-esimo, el contenido total de los6 botes S esS = X1 + X2 + . . . + X6siendo S la suma de 6 variables aleatorias normales i.i.d, S N(198,p24)P(S < 175) = P(z