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Estadística I
1. Definición
Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación e interpretación de datos, lo cual sirve para sacar conclusiones que permitan tomar decisiones y aplicar los correctivos en caso fuera necesario.
5.1. Frecuencia Absoluta Simple (f
1)
También llamado simplemente frecuencia, es el número de veces que aparece repetido el valor: "x
i".
Se cumple:
f1 + f2 + f3 + ....... + fk = n
2. Población
Es un conjunto de elementos con una característica
en notación sigma:
k f n
común. Por ejemplo: Todos los alumnos matriculados
en el Colegio. 3. Muestra
Es una parte o subconjunto de la población. Generalmente se elige en forma aleatoria (al azar). Por ejemplo: una muestra de 40 alumnos del Colegio TRILCE elegidos al azar.
4. Variable estadística
Es una característica de la población y puede tomar diferentes valores. Se clasifican en:
A. Cualitativa: Son variables cuyos valores son
cualidades que representa la población. Por ejemplo: la v ar ia bl e "p ro fe si ón " pu ed e ad op ta r la s modalidades: Ingeniero, Médico, Profesor, etc.
B. Cuantitativa: Son variables que pueden ser
expresadas mediante números. Por ejemplo: número de alumnos matriculados, estatura, peso, edad, etc.
i 1 i
5.2. Frecuencia Acumulada (Fi)
Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias absolutas simples. Así tenemos:
5.3. Frecuencia Relativa Simple (h
i)
Es el cociente de la frecuencia absoluta simple y el número total de datos. Sus valores son números reales que oscilan entre 0 y 1. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1.
Las variables cuantitativas pueden ser a su vez:
B.1. Discretas
Cuando toma valores enteros. Por ejemplo:
h fi n
0 hi 1
número de alumnos, número de colegios en
el distrito de Miraflores, etc.
B.2. Continuas Cuando puede tomar cualquier valor numérico,
enteros o decimales. Por ejemplo: el peso, la talla, el tiempo, etc.
5. Distribución de frecuencias
Consideramos una muestra de tamaño "n" (número de elementos de la muestra) y la variable estadística "x" que puede tomar "k" valores diferentes:
x1, x
2, x
3, ......., x
k.
5.4. Frecuencia Relativa Acumulada (Hi)
Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias relativas simples.
Así tenemos:
Nota: Las frecuencias relativas también se pueden expresar
en forma porcentual.
x i f
i F
i h
i H
i h
i % H
i %
2002 160
2003 360
2004 500
2005 300
100 %
n =
6. Representación de datos
Los datos pueden ser representados por:
6.1. Tablas estadísticas
Es un arreglo de filas y columnas en los cuales se encuentran distribuidos los datos.
Ejemplo 1:
De un grupo de 200 alumnos se obtuvo la siguiente información, respecto a sus edades.
Nivel I
I. Completa la siguiente tabla y responde las preguntas:
Los datos anteriores se tomaron de un consultorio médico.
= Variable estadística.
= Frecuencia absoluta simple.
6.2. Gráficos estadísticos
Puede representarse mediante barras o sectores circulares.
Ejemplo 2:
Con los datos del ejemplo 1, construimos los siguientes diagramas.
fi
60
50
1. ¿Cuántas personas se atendieron en los años 1995;
2003 y 2004?
Rpta.: 2. ¿Qué año se atendió a más pacientes?
Rpta.: 3. ¿Qué porcentaje representan los que se atendieron en
2005?
Rpta.:
II. A un seminario empresarial asistieron 80 personas y se registró las edades de los participantes en los
siguientes intervalos:
Intervalos Conteo fi Fi hi Hi
40
30
20
10
xi 14 15 16 17 18
Diagrama de Barras
[20;25>
[25;30>
[30;35>
[35;40> [40;45>
[45;50]
IIII III
IIII IIII
IIII IIII IIII IIII
IIII IIII IIII IIII IIII
IIII IIII II
IIII I
n =
16 años
17 años
Completa la tabla y responde: 4. ¿Cuántas personas cuyas edades varían entre 30 y 34
años inclusive, asistieron?
18 años
Rpta.: 5. ¿Cuántas personas menores de 40 años asistieron?
15 años
14 años
Rpta.:
Sector Circular
Intervalos
Conteo
f i
F i
h i
Hi
[02;05>
[05;08>
[08;11>
[11;14>
[14;17>
[17;20]
n = 40
10 15 11 08 12 10 13 10 12 10
12 17 10 12 11 14 15 20 10 12
a) 0,55 b) 0,125 c) 0,5 d) 0,75 e) 0,1
46 40 47 51 48 42 46 44 47 49 50 51 40 47 48 46 43 44 50 52
6. ¿Qué porcentaje de los asistentes son menores de 30 x
f F h
años? i i i i
ocupa ión número de lumnos c a
Rpta.:
7. ¿Qué porcentaje de los asistentes tienen entre 30 y 44
años, inclusive?
1º 180 2º 100 3º 140
Rpta.: III. A continuación se muestra las notas obtenidas por 40
alumnos de un aula en el último examen bimestral de Aritmética.
4º 200
5º 180
Completar la tabla y responda las siguientes preguntas:
12.¿Cuál es la frecuencia relativa de los alumnos de segundo
de secundaria?
10 20 14 13 06 16 06 06 14 18
07 05 12 11 02 04 14 18 16 17
Realice el conteo y complete el cuadro:
13.¿Qué porcentaje representan los alumnos de cuarto de
secundaria del total?
a) 40 % b) 30 % c) 25 % d) 60 % e) 80 %
14.Hallar "F3"
a) 180 b) 360 c) 420 d) 600 e) 280
15.Hallar el porcentaje de alumnos que no son de segundo
ni de cuarto de secundaria.
a) 50 % b) 62,5 % c) 70,5 % d) 42,5 % e) 25 %
Responde: 8. ¿Cuántos alumnos aprobaron el curso?
Rpta.:
Nivel II I. En una encuesta a 20 alumnos se obtuvo los siguientes
datos, respecto a sus pesos:
9. ¿Qué porcentaje desaprobó el curso?
Rpta.:
10. ¿Qué porcentaje del aula obtuvo 14 ó más en el examen?
Rpta.:
11. ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 08 en el
examen? ¿Qué porcentaje del total representan?
Rpta.:
IV. Se muestra la siguiente tabla de distribución del número
Completa la tabla y responde las preguntas:
Intervalos conteo fi
Fi
hi
Hi
40 ; 43
43 ; 46
46 ; 49
de alumnos de un colegio, según el grado de educación secundaria.
49;
52
a) 30 % b) 40 % c) 25 % d) 50 % e) 20 %
11.Hallar "F3"
a) 200 b) 220 c) 250 d) 400 e) 180
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
a) 62,5 % b) 75 % c) 87,5 % d) 72,5 % e) 90 %
a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9
a) 45 b) 48 c) 46 d) 43 e) 42
a) 240 b) 300 c) 340 d) 180 e) 280
a) 70 % b) 60 % c) 50 % d) 40 % e) 55 %
a) 24 % b) 30 % c) 18 % d) 15 % e) 20 % a) 40 % b) 30 % c) 35 %
d) 70 % e) 80 %
1. ¿Cuáles son los límites del intervalo de mayor
frecuencia? Completar la tabla y responda las siguientes preguntas:
9. ¿Cuál es la frecuencia relativa de Abogados?
a) 40 ; 43
c) 46 ; 49
e) 40 ; 5 2
b) 40 ; 46
d) 49 ; 52
a) 0,25 b) 0,20 c) 0,40 d) 0,70 e) 0,80
10.Hallar el porcentaje de Administradores.
2. Calcular "f1 + f4"
a) 8 b) 7 c) 9 d) 12 e) 14
3. Calcular "F2 + f2"
4. ¿Cuántos alumnos pesan menos de 46 kg?
12.Hallar el porcentaje de los que no son Ingenieros.
5. ¿Cuántos alumnos pesan más de 48 kg?
a) 9 b) 4 c) 6 d) 12 e) 14
6. Calcular el límite inferior de la tercera clase.
III. Enunciado Se tiene la siguiente tabla de frecuencias relativas de
400 empleados según su edad:
Edades 19 - 21 22 - 24 25 - 27 28 - 30 31 - 33
h
i 0,05 0,25 4k 2k k
13.¿Cuántos empleados tienen entre 22 y 30 años?
7. Calcular la suma del límite inferior de la cuarta clase
con el límite superior de la segunda clase.
14.¿Qué porcentaje de empleados tiene a lo más 27 años?
a) 95 b) 98 c) 90 d) 45 e) 72
8. ¿Qué porcentaje de alumnos pesan menos de 43 kg?
15.¿Qué porcentaje de empleados tiene por lo menos 25 años?
II. Enunciado Se muestra la siguiente tabla de distribución del número de trabajadores de un Ministerio, de acuerdo a su ocupación.
IV. Dada la siguiente distribución de frecuencias, respecto
a las edades de empleados de una compañía.
xi
fi F h H
ocupación # de personas i i i
Administradores 120
Ingenieros 50
Abogados 80
Obreros 90
Secretarias 60
n = 400
Edades [19 - 21] [22 - 24] [25 - 27] [28 - 30] [31-33]
h
i 0,15 0,25 0,40 0,10 0,10
Además: F
5 = 300
16.¿Cuántos empleados tienen edades entre 22 y 30 años,
inclusive?
18.¿Qué porcentaje de los empleados tienen a lo más 24
años?
a) 175 b) 225 c) 450 a) 30 % b) 35 % c) 20 % d) 360 e) 250 d) 40 % e) 50 %
17. ¿Cuántos empleados tienen por lo menos 28 años? 19.Hallar "f1 + f3"
a) 40 b) 50 c) 60 a) 150 b) 160 c) 165
d) 80 e) 90 d) 170 e) 155
20.¿Cuántos empleados tienen más de 30 años?
a) 100 b) 20 c) 40 d) 50 e) 30
Estadística II (Gráficos)
I. Gráfico de barras
Ejemplo
A continuación se muestra el sueldo proyectado de una persona durante el año 2005.
1. ¿Cuál fue la población en 2002?
2. ¿Cuál era la población en 2004?
Sueldo
(cientos de soles)
20
16 15
13 11
10 8
3. ¿En cuánto aumenta la población de hombres del año
2003 al año 2005?
4. Del año 2002 al año 2005 la población de mujeres
¿aumentó o disminuyó? ¿en cuánto?
E F M A M J J A S O N D
1. ¿En qué mes ganó menos?
2. ¿En qué mes ganó más?
Mes III. Gráfico lineal
Ejemplo:
Rendimiento de la cosecha "x", a diferentes temperaturas e intensidades luminosas.
Rendimiento (%)
3. ¿Cuál fue su sueldo promedio durante el año 2005?
4. ¿En cuántos meses ganó más del sueldo promedio?
II.Gráfico de barras adecuadas
Ejemplo:
A continuación se muestran la población de hombres y mujeres de cierta localidad, durante el período 2002-
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50
A
B
C Temperatura (°C)
2005.
# población
(miles)
25
20
15 15
10 10
8 5
hombres
mujeres
I. Intensidad luminosa A II. Intensidad luminosa B
III. Intensidad luminosa C
1. El máximo rendimiento, con intensidad luminosa A,
se alcanza aproximadamente con una temperatura de:
2. ¿Qué rendimiento se alcanza, aproximadamente con
una temperatura de 30 °C e intensidad luminosa C?
2002 2003 2004 2005
enero
febre
ro
marz
o
abril
mayo
junio
3. Para una mejor cosecha, ¿qué intensidad luminosa
conviene y a qué temperatura?
1. ¿Qué porcentaje de los consumidores prefiere más el
producto "A" que el producto "C"?
IV. Sector circular
Ejemplo:
En una encuesta se obtuvo la siguiente información, acerca del consumo de los productos "A", "B", "C", "D" y "E"; de un total de 200 personas encuestadas.
2. ¿Cuántos de los encuestados prefieren el producto
"B"?
3. ¿Qué porcentaje de los consumidores prefieren más
el producto "C" que el producto "E"?
C
B 15 %
D
30 % 10 %
5 % E
4. ¿Cuántos de los encuestados prefieren los productos
"D" y "E"?
40 %
A
Problemas para la clase
Enunciado 1
• La siguiente gráfica muestra el volumen de venta
obtenido durante los seis primeros meses del año, de un equipo de vendedores.
1. ¿Cuál es el volumen total de venta, durante esta
"Campaña de Medio Año"?
a) 160 000 b) 220 000 c) 200 000 d) 190 000 e) 242 000
Cantidad de artículos
45 000
40 000
35 000
30 000
25 000
20 000
15 000
Mes
2. Indicar el promedio (aprox.) de venta mensual durante
esta campaña.
a) 28 828 b) 33 300 c) 33 333 d) 30 300 e) 30 000
3. ¿Durante cuántos meses el volumen de venta estuvo
sobre el promedio mensual?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1
4. ¿Cuál es el máximo volumen de venta logrado a lo
largo de toda la campaña, durante un mes?
a) 35 000 b) 40 000 c) 45 000 d) 50 000 e) 60 000
a) 40 % b) 50 % c) 45 % d) 30 %
Enunciado 4
e) 10 %
a) 40 % b) 25 % c) 33,3 %
d) 45 % e) 20 %
Enero
Febre
ro
Marz
o
Enero
Febre
ro
Marz
o
5. ¿Entre qué meses el volumen de venta tuvo la caída
más apreciable?
a) mayo y junio b) enero y febrero c) marzo y abril d) abril y mayo
e) mayo y enero Enunciado 2
• La inflación en un país mostró la siguiente evolución
entre febrero y junio:
Tasa de inflación (%)
8. ¿En qué porcentaje desciende la producción de camote
entre febrero y marzo?
a) 40 % b) 25 % c) 33 %
d) 45 % e) 20 %
9. ¿Cuál fue la producción total de papa (en toneladas)
en los tres meses?
a) 60 b) 50 c) 80 d) 70 e) 45
10.¿Qué porcentaje más de camote, con respecto a la
papa, se produce en enero?
90
70
50 • El gráfico muestra la producción (en toneladas) de
30 arroz y cebada, en tres meses del año:
10 Producción (toneladas)
F M A M J
Mes 30
6. Halla la inflación promedio durante el periodo febrero- 25
junio. (aprox.) 20
a) 30 % b) 40 % c) 45,5 % 15
d) 66,5 % e) 36 % 10
7. ¿Cuál será la inflación de julio según la tendencia 5
mostrada?
cebada
arroz
Mes
a) 100 % b) 120 % c) 130 % d) 150 % e) 180 %
Enunciado 3 • El gráfico muestra la producción (en toneladas) de dos
tubérculos, en tres meses del año.
11.¿En qué porcentaje desciende la producción de arroz
entre febrero y marzo?
Producción (toneladas)
35
30
25
20
15
10
5
papa
camote
12.¿Cuál fue la producción total de cebada (en toneladas)
en los tres meses?
a) 60 b) 50 c) 80 d) 70 e) 45
Enunciado 5 • Sony analiza las ventas de TV de 43" en Lima
Metropolitana, en las últimas ocho semanas. La información se muestra a continuación:
Mes
# de TV
vendidos
35
30
25
20
15
10
5
1 2 3 4 5
6 7 8
Semana
a) 1 p.m. b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
18.¿Durante qué período tuvo el paciente más de 37° de
temperatura?
a) De 10 a.m. a 6 p.m. b) De 8 a.m. a 6 p.m. c) De 2 p.m. a 6 p.m. d) De 11 a.m. a 5 p.m. e) De 8 a.m. a 4 p.m.
19.¿Cuál fue aproximadamente la temperatura del
paciente a las 11 a.m.?
a) 37° b) 38,5° c) 37,5° d) 36° e) 38°
13.¿Cuántos TV se vendieron en las tres primeras semanas?
a) 55 b) 60 c) 65 d) 70 e) 75
14.¿En qué semana se vendió un mayor número de
televisores?
a) segunda b) tercera c) cuarta d) quinta e) sexta
15.¿En qué semana hubo una mayor variación en las
ventas?
a) 3ra y 4ta b) 5ta y 6ta c) 1ra y 2da d) 6ta y 7ma e) 2da y 3ra
16.¿Cuál es el promedio de TV que se vende por semana?
a) 19,75 b) 19,25 c) 18,25 d) 18,75 e) 19,5
Enunciado 6
20.¿Cuál fue la temperatura que más veces se presentó
en el paciente?
a) 36° b) 37° c) 38°
d) 39° e) 40°
21.¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura mínima
observada?
a) 6 a.m. b) 8 a.m. c) 12m. d) 2 p.m. e) 10 a.m.
Enunciado 7 • En el siguiente gráfico circular se muestra los
resultados de una encuesta acerca de las preferencias de ciertos géneros musicales, sobre un total de 800 encuestados.
Balada
20 %
• La siguiente gráfica muestra la temperatura de un
paciente en el Hospital del Niño, durante el transcurso de 12 horas:
40°
Rock
30 %
Salsa
35 %
Criollo 10 %
39°
38°
37°
36°
35°
34°
6 a.m.
8 10 2 4
12:00 m.
6 p.m.
22.¿Cuántos más prefieren salsa que rock?
a) 280 b) 240 c) 256 d) 80 e) 40
23.¿Cuántos de los encuestados prefieren más salsa y rock, que los demás géneros musicales?
a) 280 b) 520 c) 480 d) 360 e) 240
17. ¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura máxima observada?
24.¿Qué parte de los que no prefieren balada, representan
los que sí la prefieren?
1 1 1
a) b) c) 5 4 3
1
d) 2 e) 1
8
28.¿Qué porcentaje de los hogares tienen más de un TV
conectado al servicio?
a) 70 % b) 60 % c) 65 %
d) 75 % e) 80 %
29.¿Cuál es el número promedio de TV conectados?
25.¿Cuál es el ángulo central que tiene la porción de
baladas?
a) 36° b) 72° c) 49°
d) 20° e) 40°
Enunciado 8
• El siguiente gráfico nos muestra la distribución de
componentes en el cuerpo humano.
15 % Otros
materiales
a) 2,1 b) 2,2 c) 2,3 d) 2,35 e) 2,4
30.Si la instalación del primer TV es gratis y por cada TV adicional se cobra $ 10, ¿cuál ha sido el ingreso por instalación en los 100 hogares analizados?
a) $ 1 100 b) 1 000 c) 1 150 d) 1 200 e) 1 250
Enunciado 10
15 % Proteínas
secos • La t ab la m ue st ra l as t em pe ra tu ra s má xi ma s
registradas durante una semana del mes de abril.
70 % Agua
26.¿Qué fracción representan las proteínas y el agua?
Día Temperatura (°C)
Lunes 25°
Martes 28°
Miércoles 30°
Jueves 26°
Viernes 24°
Sábado 15°
1 a)
5
3 d)
20
17 b)
20
1 e)
2
1 c)
20 Domingo 20°
31.El mayor y menor dato registrado corresponden a los
días:
a) lunes y miércoles b) jueves y sábado 27. De acuerdo a este gráfico, una persona de 80 kg de
peso, ¿de qué peso de agua estaría compuesta?
a) 48 kg b) 40 c) 24 d) 56 e) 68
Enunciado 9 • La empresa "Super Cable" realiza un estudio para
conocer cuántos de los televisores de una casa utilizan su servicio, para ello visita a 100 clientes y obtuvo los siguientes resultados:
Número de Cantidad
TV conectados de hogares
1 30
2 35
3 20
4 15
c) martes y sábado d) martes y domingo e) miércoles y sábado
32.La temperatura promedio (media aritmética) en dicha
semana fue:
a) 25° b) 24° c) 22,5° d) 23,2° e) 25,6°
33.Si un día se considera frío cuando la temperatura
máxima registrada es menor que el valor promedio,
¿cuántos de estos días fueron fríos?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
34.La temperatura máxima observada diariamente fue decreciente:
a) a partir del miércoles b) de martes a jueves
Año toneladas
1998
40
1999 70
2000 100
2001 130
2002 160
2003 190
2004 220
2005 250
c) de viernes a domingo d) de miércoles a sábado e) de jueves a viernes
35.La temperatura "mediana", es decir la que ocupa el
centro cuando todas se ordenan de menor a mayor, corresponde al:
a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes
Enunciado 11
39.¿Cuántos millones de km2 le falta a la superficie de
Oceanía, para igualar a la superficie de Sudamérica?
a) 8 b) 10 c) 6 d) 12 e) 5
Enunciado 12 • En el país se ha extraído, durante ocho años, las
siguientes cantidades anuales de cobre:
35
30
25
20
15
10
A B C D E F
• El diagrama anterior muestra la superficie de algunas
zonas geográficas en millones de km2.
Donde:
A = África B = Asia
C = Europa D = EE.UU.
E = Oceanía F = Sudamérica
Cobre (toneladas)
350
300
36.Entre Europa y Estados Unidos tienen aproxima-
damente (en millones de km2):
a) 35 b) 25 c) 20 d) 32 e) 40
37. ¿Por cuántos millones de km2 excede la superficie de
Asia a Oceanía?
250
200
150
100
50
98 99 00 01 02 03
04 05 06
Año
a) 10 b) 18 c) 15 d) 8 e) 12
38.África contiene, en proporción, a la superficie de
Oceanía:
a) igual b) el doble
40.Se puede asegurar que la producción en el año 2006:
a) Disminuirá. b) Será igual que el año anterior. c) Será de 280 toneladas. d) No se puede asegurar cuál será la producción. e) Ninguna de las anteriores.
c) el triple d) 1 1 2
veces