Instituto Universitario de Tecnologa IndustrialRodolfo Loero ArismendiCuman, Estado SucreRelaciones Industriales

Distribuciones de Probabilidades

Prof. Leonel NuezIntegrantes:Adriana C. Ortiz B. C.I. 17447530Seccin: R4NRCuman, Agosto de 2015NDICE GENERALPg.

INTRODUCCIN -------------------------------------------------------------------3

1.- Definir:

1.1.- Distribucin de Poisson ----------------------------------------------------4

1.2.- Distribucin Binomial -------------------------------------------------------4

1.3.- Distribucin Normal ---------------------------------------------------------5

1.4.- Distribucin t (student) -----------------------------------------------------7

2.- Caractersticas De Las Distribuciones

2.1.- Distribucin de Poisson ---------------------------------------------------- 7

2.2.- Distribucin Binomial -------------------------------------------------------8

2.3.- Distribucin Normal ---------------------------------------------------------9

2.4.- Distribucin t (student) ----------------------------------------------------10

3.- Utilidad De La Distribucin Normal En La Administracin Y Economa ---------------------------------------------------------------------------------10

4.- Ejemplos prcticos de cada distribucin (Poisson, Binomial, Normal y t (student) -------------------------------------------------------------------------------11

CONCLUSIN ----------------------------------------------------------------------16

BIBLIOGRAFA ---------------------------------------------------------------------17

INTRODUCCINUnadistribucindeprobabilidadindica toda la gama devaloresque pueden representarse como resultado de un experimento si ste se llevase a cabo.

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede disear un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenmenos naturales.

Toda distribucin de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque elvalortomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:1.- Variable aleatoria discreta (x). Porque solo puede tomar valores enteros y un nmero finito de ellos. 2.- Variable aleatoria continua (x). Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un nmero infinito de ellos dentro de un mismo intervalo.

Las distribuciones de probabilidad ms utilizadas son: las distribucin de Poisson, Binomial, Normal y T (student).

1) DEFINIR:1.1) DISTRIBUCIN DE POISSON.Es unadistribucin de probabilidaddiscretaque expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado nmero de eventos durante cierto perodo de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeas, o sucesos "raros".Fue descubierta porSimon-Denis Poisson, que la dio a conocer en1838en su trabajoRecherches sur la probabilit des jugements en matires criminelles et matire civile(Investigacin sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

Propiedades del modelo de Poisson:1) Esperanza:E(X)=.2) Varianza:V(X)=.En esta distribucin la esperanza y la varianza coinciden.3) La suma de dos variables aleatorias independientes con distribucin de Poisson resulta en una nueva variable aleatoria, tambin con distribucin de Poisson, de parmetro igual a la suma de parmetros:X1~P( =1)yX2~P( =2)y definimosZ=X1+ X2,entonces,Z~P( =1+2)Este resultado se extiende inmediatamente al caso denvariables aleatorias independientes con distribucin de Poisson. En este caso, la variable suma de todas ellas sigue una distribucin de Poisson de parmetro igual a la suma de los parmetros.

1.2) DISTRIBUCIN BINOMIAL.Es unadistribucin de probabilidaddiscreta que cuenta el nmero de xitos en una secuencia denensayos deBernoulliindependientes entre s, con una probabilidad fijapde ocurrencia del xito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotmico, esto es, slo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina xito y tiene una probabilidad de ocurrenciapy al otro, fracaso, con una probabilidadq= 1 -p. En la distribucin binomial el anterior experimento se repitenveces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado nmero de xitos. Paran= 1, la binomial se convierte, de hecho, en unadistribucin de Bernoulli.Para representar que unavariable aleatoriaXsigue una distribucin binomial de parmetrosnyp, se escribe:

La distribucin binomial es la base deltest binomialdesignificacin estadstica.Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir slo dos categoras (a las que se denomina xito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan comopyqopy 1-p).Se designa porXa la variable que mide el nmero de xitos que se han producido en losnexperimentos.Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variableXsigue una distribucin de probabilidad binomial, y se denotaB(n,p).

1.3) DISTRIBUCIN NORMAL.se llama distribucin normal,distribucin de Gaussodistribucin gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidaddevariable continuaque con ms frecuencia aparece aproximada en fenmenos reales.[citarequerida]Lagrficade sufuncin de densidadtiene una forma acampanada y es simtrica respecto de un determinadoparmetro estadstico. Esta curva se conoce comocampana de Gaussy es el grfico de unafuncin gaussiana.La importancia de esta distribucin radica en que permite modelar numerosos fenmenos naturales, sociales y psicolgicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenmenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observacin se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.De hecho, la estadstica descriptiva slo permite describir un fenmeno, sin explicacin alguna. Para la explicacin causal es preciso eldiseo experimental, de ah que al uso de la estadstica en psicologa y sociologa sea conocido comomtodo correlacional.La distribucin normal tambin es importante por su relacin con la estimacin pormnimos cuadrados, uno de los mtodos de estimacin ms simples y antiguos.

La distribucin normal tambin aparece en muchas reas de la propia estadstica. Por ejemplo, ladistribucin muestralde las mediasmuestrales es aproximadamente normal, cuando la distribucin de la poblacin de la cual se extrae la muestra no es normal.1Adems, la distribucin normal maximiza laentropaentre todas las distribuciones con media yvarianzaconocidas, lo cual la convierte en la eleccin natural de la distribucin subyacente a una lista de datos resumidos en trminos de media muestral y varianza. La distribucin normal es la ms extendida en estadstica y muchos tests estadsticos estn basados en una "normalidad" ms o menos justificada de la variable aleatoria bajo estudio.

1.4) DISTRIBUCIN T(DE STUDENT)Es unadistribucin de probabilidadque surge del problema de estimar lamediade unapoblacinnormalmente distribuidacuando eltamao de la muestraes pequeo.Aparece de manera natural al realizar laprueba t de Studentpara la determinacin de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construccin delintervalo de confianzapara la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacin tpicade una poblacin y sta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.Las distribuciones t de Student fueron descubiertas por William S. Gosset (1876-1937) en 1908 cuando trabajaba para la compaa de cervezas Guinness en Dubln (Irlanda). No pudo publicar sus descubrimientos usando su propio nombre porque Guinness haba prohibido a sus empleados que publicaran informacin confidencial. Gosset firm sus publicaciones usando el nombre de "Student". Gosset tena buena relacin con Karl Pearson que haba sido su maestro. Necesitaba una distribucin que pudiera usar cuando el tamao de la muestra fuera pequeo y la varianza desconocida y tena que ser estimada a partir de los datos. Las distribuciones t se usan para tener en cuenta la incertidumbre aadida que resulta por esta estimacin. Fisher comprendi la importancia de los trabajos de Gosset para muestras pequeas.

2) CARACTERSTICAS DE LAS DISTRIBUCIONES:2.1) DISTRIBUCIN DE POISSON:Esta distribucin se puede hacer derivar de un proceso experimental de observacin en el que tengamos las siguientes caractersticas: Se observa la realizacin de hechos de cierto tipo durante un cierto periodo de tiempo o a lo largo de un espacio de observacin. Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria; pueden producirse o no de una manera no determinstica. La probabilidad de que se produzcan un nmero x de xitos en un intervalo de amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, s de su amplitud). La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo infinitsimo es prcticamente proporcional a la amplitud del intervalo. La probabilidad de que se produzcan 2 o ms hechos en un intervalo infinitsimo es un infinitsimo de orden superior a dos. En consecuencia, en un intervalo infinitsimo podrn producirse O 1 hecho pero nunca ms de uno. Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria X signifique o designe el "nmero de hechos que se producen en un intervalo de tiempo o de espacio", la variable X se distribuye con una distribucin de parmetrol.As:El parmetro de la distribucin es, en principio, el factor de proporcionalidad para la probabilidad de un hecho en un intervalo infinitsimo. Se le suele designar como parmetro de intensidad, aunque ms tarde veremos que se corresponde con el nmero medio de hechos que cabe esperar que se produzcan en un intervalo unitario (media de la distribucin); y que tambin coincide con la varianza de la distribucin.Por otro lado es evidente que se trata de un modelo discreto y que el campo de variacin de la variable ser el conjunto de los nmeros naturales, incluido el cero:

2.2) DISTRIBUCIN BINOMIAL:Unadistribucin binomial o de Bernoullitiene las siguientes caractersticas: En cada prueba del experimento slo son posiblesdos resultados:xitoyfracaso. Laprobabilidad de xito es constante, es decir, que no vara de una prueba a otra. Se representa porp. Laprobabilidad de fracasotambin esconstante, Se representa porq, q = 1 p Elresultadoobtenido en cada prueba esindependientede los resultados obtenidos anteriormente. Lavariable aleatoria binomial,X, expresa elnmero de xitos obtenidosen lasnpruebas. Por tanto, los valores que puede tomarXson:0, 1, 2, 3, 4, ..., n.Ladistribucin bimomialse expresa porB(n, p)

2.3) DISTRIBUCIN NORMAL: Su esperanza es . Su varianza es 2y, por tanto, su desviacin tpica es . Es simtrica respecto a su media , como puede apreciarse en la representacin anterior. Media, moda y mediana coinciden (). Cualquier transformacin lineal de una variable con distribucin Normal seguir tambin el modelo Normal. SiX~N(, ) y definimosY=aX+b(cona 0), entoncesY~N(a +b, |a|).Es decir, la esperanza deYsera +by su desviacin tpica, |a|. Cualquier combinacin lineal de variables normales independientessigue tambin una distribucin Normal. Es decir, dadasnvariables aleatorias independientes con distribucinXi~N(i, i) parai= 1, 2, ...,nla combinacin lineal:Y=anXn+an1Xn1+ ... +a1X1+ a0sigue tambin el modelo Normal:

2.4) DISTRIBUCIN T(DE STUDENT):La distribucin t de Student es la distribucin de probabilidad del cociente

Donde: Zes unavariable aleatoriadistribuida segn unanormaltpica (de media nula yvarianza1). Ves una variable aleatoria que sigue unadistribucin congrados de libertad. ZyVsonindependientesSies una constante no nula, el cocientees una variable aleatoria que sigue ladistribucin t de Student no centralcon parmetro de no-centralidad.

3) UTILIDAD DE LA DISTRIBUCIN NORMAL EN LA ADMINISTRACIN Y ECONOMA:El modelo de la normal tiene mucha utilidad entre ella se puede mencionar las siguientes:

caracteresmorfolgicosde individuos como laestatura; caracteresfisiolgicoscomo el efecto de unfrmaco; caracteressociolgicoscomo elconsumode cierto producto por un mismo grupo de individuos; caracterespsicolgicoscomo elcociente intelectual; nivel deruidoentelecomunicaciones; errorescometidos al medir ciertas magnitudes; etc.

4) EJEMPLOS DE CADA DISTRIBUCIN.

4.1) DISTRIBUCIN DE POISSON:Ejemplo N1:Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por da, cules son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un da dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos das consecutivos?Solucin:a)x = variable que nos define el nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en un da cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.l= 6 cheques sin fondo por dae= 2.718b)x= variable que nos define el nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en dos das consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

l= 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio quellegan al banco en dos das consecutivos

Nota:lsiempre debe de estar en funcin de x siempre o dicho de otra forma, debe hablar de lo mismo que x.

Ejemplo N2:En la inspeccin de hojalata producida por un proceso electroltico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfeccin en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando ms una imperfeccin en 15 minutos.Solucin:a)x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.l= 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalatab)x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.l= 0.2 x 5 =1 imperfeccin en promedio por cada 5 minutos en la hojalata=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416c)x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.l= 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

4.2) DISTRIBUCIN BINOMIAL:Ejemplo N1:La probabilidad de que un artculo producido por una fbrica sea defectuoso es 0.02. Se envi un cargamento de 10.000 artculos a unos almacenes. Hallar el nmero esperado de artculos defectuosos, la varianza y la desviacin tpica.

Ejemplo N2:Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el nmero 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sera P(X=20):

4.3) DISTRIBUCIN NORMAL:Ejemplo N 1El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye segn una distribucin normal, con media de 5 das y desviacin tpica 1 da. Calcular el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 das.t1= -y t2= (7 -5)/1 = 2En la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a un tiempo inferior a 7 das.). Esta probabilidad es 0,9772. Por lo tanto, el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 das es del 97,7%.

Ejemplo N2La vida media de una lmpara, segn el fabricante, es de 68 meses, con una desviacin tpica de 5.Se supone que se distribuye segn una distribucin normalEn un lote de 10.000 lmparas.a)Cuntas lmparas superarn previsiblemente los 75 meses?. b) Cuntos lmparas se estropearn antes de 60 meses?a) t = (75 -68)/5 = 1,4P (X > 75) = (t > 1,4) = 1 - P (t1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808Luego, el 8,08% de las lmparas (808 lmparas) superarn los 75 mesesb) t = (60 -68)/5 = -1,6P (X60) = (t -1,6) = P (t> 1,6) = 1 - P (t 1,6) = 0,0548Luego, el 5,48% del lote (548 lmparas) no llegarn probablemente a durar 60 meses

4.4) DISTRIBUCIN T(DE STUDENT):Ejemplo N1:Los valores de las matriculas de estudiantes en una universidad privada tienen un comportamiento aproximadamente normal, donde el promedio es de 2.100.000. Se seleccionan 8 liquidaciones, siendo los valores los siguientes: 1.950.000, 2.100.000, 2.250.000, 1.890.000, 2.250.000, 1.950.000, 2.050.000, 2.350.000. Determine la probabilidad de que: El promedio sea menor de 2.000.000. El promedio se encuentre entre 2.000.000 y 2.200.000 El promedio sea mayor o igual a 2.500.000Solucin manual:Sea X = Liquidacin matriculas.m = 2.100.000 ; s = ?=2.098.750 s=168.644.8085 n=8a) P(