ACTIVIDAD 1 VARIABLES ALEATORIAS

Desarrollo:

1. Lee los siguientes documentos para que apoyes tu aprendizaje:

-Introducción Esperanza Varianza

-Lotería y Probabilidad

-Valor esperado

-Variables aleatorias

 2. Define claramente el significado de variable aleatoria.

 3. Explica detalladamente la forma en que se construye una distribución de probabilidad.

 4. Explica por qué se dice que la media y la desviación estándar describen la distribución de

probabilidad.

 5. Describe el significado geométrico (en términos de distancias), tanto de la media como de

la desviación estándar.

 6. Realiza los ejercicios siguientes:

 (a)  Para el Ejemplo (2), encontrar los valores de μ y σ2

 (b)  Sea  la variable aleatoria que representa el número de varones en familias con cuatro

hijos.

(I) Encontrar el espacio muestral de tener cuatro hijos S.

(II) Construir una tabla que muestre la distribución de probabilidades de X

(III) Representar gráficamente la distribución de probabilidad de X

(IV) Encontrar los valores de μ y σ2

ACTIVIDAD 2 MODELOS PROBALÍSTICOS

Desarrollo:

1. Revisa y ordena las características de cada uno de los modelos probabilísticos

2. Explica detalladamente cuál modelo se puede usar según las condiciones del caso de

estudio; puedes apoyarte de organizadores gráficos.

3. Escribe las recomendaciones que le harías a alguien que está estudiando los modelos

probabilísticos; es decir, ¿cuáles conceptos o detalles deberían centrar su atención para

que el tema sea comprendido?

ACTIVIDAD 3 MODELOS PROBALISTICOS

EJERCICIOS:

1. Suponga que un cierto rasgo (color de ojos, ser zurdo, etc.) se determina por un par de genes, y que además d representa un gen dominante, y r un gen recesivo. Una persona con una pareja de genes (d,d) se dice que es dominante puro y con la pareja de genes (r,r) se dice que es recesiva pura y con una pareja (d,r) se dice que es híbrida. En apariencia, los dominantes puros y los híbridos son similares. Les descendientes de una pareja reciben un gen de cada progenitor y este gen puede, con la misma probabilidad, ser uno cualquiera de los dos que posee el progenitor citado (*)

2. Un proceso de producción de partes trabaja con un porcentaje promedio de defectos del 4% Cada hora se toma una muestra aleatoria de 15 artículos y se prueba. Si la muestra contiene más de un defecto, el proceso deberá detenerse (**)

3. Se sabe que a un banco acuden en promedio 60 clientes entre las 10 y las 11 de la mañana (**)

4. Un hombre afirma que está dotado de una percepción extrasensorial. Para comprobarlo, se realizan ocho lanzamientos de una moneda bien construida y se le pide que prediga por adelantado los resultados. Supongamos que obtiene seis predicciones correctas (*)

Actividad 4. Problemario

Instrucciones:

Lee cuidadosamente los enunciados Resuelve los ejercicios, apoyándote con una calculadora, las tablas

correspondientes a la distribución, etc. Explica claramente lo que haces para resolver y asegúrate que los

argumentos que presentes sean consistentes con tus procedimientos y respuestas.

Verifica las respuestas que obtuviste con los compañeros del curso Escribe los ejercicios en un archivo de Word

Variables aleatorias

1. Se ha determinado que la llegada de un cliente a un restaurante , durante intervalos de tiempo de 15 minutos, elegidos al azar, tiene la distribución de probabilidad mostrada en la tabla:

xi 0 1 2 3 4 5

pi 0.15 0.25 0.25 0.20 0.10 0.05

a. Comprobar que los datos de la tabla representan una distribución de probabilidad.

b. Hallar la probabilidad de que el número de personas que llegan, en un intervalo de 15 minutos, sea menor de cuatro.

c. Calcular la probabilidad de que al menos tres personas lleguen en un intervalo de 15 minutos.

d. Determinar el número esperado de personas para un intervalo de 15 minutos.

e. Determinar la varianza de llegadas para un intervalo de 15 minutos.Distribución Binomial

2. Sheldon M. Ross. Sección 5.5. Ejemplo 5.17 Suponga que un cierto rasgo (color de ojos, ser zurdo, etc.) se determina por un par de genes, y que además d representa un gen dominante, y r un gen recesivo. Una persona

con una pareja de genes (d,d) se dice que es dominante puro y con la pareja de genes (r,r) se dice que es recesiva pura y con una pareja (d,r) se dice que es híbrida. En apariencia, los dominantes puros y los híbridos son similares. Les descendientes de una pareja reciben un gen de cada progenitor y este gen puede, con la misma probabilidad, ser uno cualquiera de los dos que posee el progenitor citado.

a. Explicar claramente por qué se trata de una distribución binomial.b. ¿Cuál es la probabilidad de que un descendiente de dos progenitores

híbridos tenga la apariencia contraria a la de ellos?. Elaborar un diagrama para el cálculo de la probabilidad.

c. Suponga que dos padres híbridos tienen cuatro descendientes, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los cuatro descendientes tengan una apariencia recesiva?

3. Robert R. Pagano. Capítulo 9. Problema 11 Una tienda de llaves anuncia que las llaves fabricadas allí tienen una probabilidad de 0.9 de funcionar de manera eficaz. Si usted compra 10 llaves en esa tienda, ¿cuál es la probabilidad |de que todas las llaves funcionen de manera eficaz?

Distribución Poisson

4. Sheldon M. Ross. Sección 5.5. Problema 11 Un hombre afirma que está dotado de una percepción extrasensorial. Para comprobarlo, se realizan ocho lanzamientos de una moneda bien construida y se le pide que prediga por adelantado los resultados. Supongamos que obtiene seis predicciones correctas. ¿Cuál sería la probabilidad de que realizara al menos este número de predicciones correctas si no estuviera dotado de la percepción extrasensorial que sostiene y simplemente hubiera hecho las predicciones al azar?

5. Se sabe que a un banco acuden en promedio 60 clientes entre las 10 y las 11 de la mañana. Encuentre la probabilidad de que exactamente dos clientes lleguen en un minuto dado del horario mencionado.

Distribución normal

6. Se quiere establecer el número máximo de personas que pueden ocupar un ascensor. Un estudio indica que, si hay ocho personas en él, la distribución

de su peso total es normal con una media igual a 1200 libras y una varianza igual a 9800 libras. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de ocho personas exceda 1300 libras?

7. Robert R. Pagano. Capítulo 9. Problema 19. En su universidad, 30% de los estudiantes de último año de licenciatura provienen de otros estados. Si usted selecciona al azar a ocho de sus estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que

a. todos sean del estado?b. todos sean de otros estados?c. exactamente dos sean del estado?d. Cuando menos cinco sean del estado?

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE MODELOS PROBALÍSTICOAC

EJERCICIO 5

Instrucciones:

Lee cuidadosamente los enunciados Resuelve los ejercicios con lápiz y papel, apoyándote con una calculadora,

las tablas correspondientes a la distribución, etc. Explica claramente lo que haces para resolver y asegúrate que los

argumentos que presentes sean consistentes con tus procedimientos y respuestas.

Escribe los ejercicios en un archivo de Word

Variables aleatorias

8. Sea X la variable aleatoria que expresa el número de personas que habitan en una casa elegida al azar. La distribución de probabilidad de X es la siguiente:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ó más

pi 0.225 0.321 0.188 0.145 0.062 0.023 0.016 0.020

a. Comprobar que los datos de la tabla representan una distribución de probabilidad.

b. Hallar la probabilidad de que el número de personas que viven en un hogar sea menor o igual que cuatro.

c. Calcular la probabilidad de que al menos dos personas vivan en una vivienda.

d. Obtener el número promedio de personas que habitan en una vivienda.e. Determinar el número esperado de personas para un intervalo de 15

minutos.f. Determinar la varianza de llegadas para un intervalo de 15 minutos.

9. Sea X la variable aleatoria que expresa el número de ventas que realiza un vendedor, en un día, cuando visita a 8 clientes. La distribución de probabilidad de X es la siguiente:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8

pi 0.05 0.14 0.20 0.26 0.19 0.10 0.05 0.02

a. ¿Los datos de la tabla representan una distribución de probabilidad?b. Determinar el número esperado de ventas en un día.c. Determinar la varianza del número de ventas.

Distribución Binomial

10. Un agente de seguros tiene ocho contactos, y en promedio la probabilidad de conseguir una venta es 0.38. Si X representa el número de ventas que puede conseguir el vendedor, construir la distribución de probabilidad.

11. Robert R. Pagano. Capítulo 9. Problema 12 Una estudiante resuelve un examen de opción múltiple con 16 preguntas. Cada una de ellas tiene cinco alternativas. Si la estudiante adivina en 12 de las preguntas, ¿cuál es la probabilidad de que adivine ocho respuestas correctas? Suponga que todas las alternativas tienen las mismas probabilidades para cada una de las preguntas en las cuales la estudiante adivine.

Distribución Poisson

12. Antonio Nieves. Capítulo 8. Problema 8.18 Un proceso de producción de partes trabaja con un porcentaje promedio de defectos del 4% Cada hora se toma una muestra aleatoria de 15 artículos y se prueba. Si la muestra contiene más de un defecto, el proceso deberá detenerse.

a. Calcule la probabilidad de que el proceso se detenga debido al esquema de muestreo

b. De acuerdo con la respuesta en el inciso a), ¿el esquema de muestreo es adecuado o generará demasiadas interrupciones?

13. Un editor de libros de texto, informa que el número medio de errores por capítulo es de 0.8 ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de dos errores en un capítulo específico?

Distribución normal

14. Ciertos estudios muestran que el uso de gasolina para una marca de automóviles tienen una distribución normal, con una media de 16.5 kilómetros por cada litro (km/lt), una desviación estándar de 2.3 km/lt. ¿Qué porcentaje de automóviles compactos consume 15 km/lt o más?

15. Se quiere establecer el número máximo de personas que pueden ocupar un ascensor. Un estudio indica que, si hay ocho personas en él, la distribución de su peso total es normal con una media igual a 1200 libras y una varianza igual a 9800 libras. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de ocho personas exceda 1300 libras?

16. Los coeficientes intelectuales de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente en forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la Universidad requiere un CI de al menos 95, ¿cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base, sin importar sus otras calificaciones?

17. Douglas A. Lind. Sección 6.6. Ejercicio 20 Una investigación sobre los delincuentes juveniles que el juez Conners pone en libertad condicional reveló que el 38% de ellos cometió otro delito.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que los últimos 100 delincuentes juveniles nuevos, 30 o más cometerán otro delito?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que 40 o menos de los delincuentes cometerán otro delito?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que de 30 a 40 de los delincuentes cometerán otro delito?

Aproximación de la distribución normal a la binomial

18. Un vendedor de telemercadeo consigue una venta en el 15% de los casos que atiende. Si en un día realiza 40 llamadas, ¿cuál es la probabilidad de que 15 o menos hagan una compra? Realiza los cálculos tanto para la distribución binomial como para la normal y compara los resultados.

19. Antonio Nieves. Capítulo 9. Problema 9.25 Un fabricante sabe que, en promedio, 2% de las aspiradoras que fabrica requerirán reparaciones en un término de 100 días posteriores a su venta. Use la aproximación normal a la distribución binomial para determinar la probabilidad de que entre 1500 de

esas aspiradoras al menos 40 requieran reparaciones en los primeros 100 días después de su venta.