UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA

GRAN MARISCAL DE AYACUCHO DECANATO DE POSTGRADO

MAESTRÍA EN INGENIERÍA DE MANTENIMIENTO MENCIÓN

GERENCIA DE SEGURIDAD Y CONFIABILIDAD INDUSTRIAL

Facilitador: Maestrantes:

Lic. Esp. MSc Carlena Astudillo Cabrera, Carmen C.I: 9817500

Herrera, Roger C.I: 14029242

Rojas, Nhatalia C.I: 20739089

Diciembre, 09 de 2014

Situación Nro. 8: Determine el ciclo logístico (Z) en función de la gestión de

inventario (X) y de la gestión de almacén (Y) con valor de 4,9 y 7,2 respectivamente

en una escala del 1 al 10, aplicando un modelo lineal de dos variables para ajuste de

curva con el método de mínimos cuadrados con base a doce datos muéstrales tal

como se muestra en la tabla:

N X Y Z XY 𝑋2 𝑌2 XZ YZ

1 1 3 4,1

2 1.2 3,4 5,5

3 1,5 5 10,1

4 2 2 5,4

5 3 4,1 16,6

6 3,7 5 25,0

7 4 7 37,8

8 4,5 6,5 39,5

9 5,1 6,8 46,8

10 5,2 6,7 47,0

11 4,6 5,4 33,5

12 5,6 6,9 52,2

∑

Para hallar una solución práctica a esta situación, es necesario primeramente,

completar el llenado de la tabla para obtener los valores requeridos por las

ecuaciones a utilizar de acuerdo con la teoría de mínimos cuadrados. Esto se

realizó en hoja Excel, obteniéndose lo siguiente:

N X Y Z XY XZ YZ

1 1 3 4.1 3.00 1.00 9.00 4.10 12.30

2 1.2 3.4 5.5 4.08 1.44 11.56 6.60 18.70

3 1.5 5 10.1 7.50 2.25 25.00 15.15 50.50

4 2 2 5.4 4.00 4.00 4.00 10.80 10.80

5 3 4.1 16.6 12.30 9.00 16.81 49.80 68.06

6 3.7 5 25 18.50 13.69 25.00 92.50 125.00

7 4 7 37.8 28.00 16.00 49.00 151.20 264.60

8 4.5 6.5 39.5 29.25 20.25 42.25 177.75 256.75

9 5.1 6.8 46.8 34.68 26.01 46.24 238.68 318.24

10 5.2 6.7 47 34.84 27.04 44.89 244.40 314.90

11 4.6 5.4 33.5 24.84 21.16 29.16 154.10 180.90

12 5.6 6.9 52.2 38.64 31.36 47.61 292.32 360.18

∑ 41.4 61.8 323.5 239.63 173.2 350.52 1437.4 1980.93 En base a la teoría de ajuste por mínimos cuadrados, debe aplicarse las ecuaciones

normales que conllevarán a la determinación de los valores necesarios para obtener

la ecuación general que rige el ciclo logístico Z en función de los valores de gestión

de inventario X y gestión de almacén Y. La ecuación general viene dada por:

Z = ao + a1X+ a2Y (1)

Las ecuaciones resultantes de las derivadas parciales igualadas a cero que

garantizan un error aleatorio mínimo en la aplicación del ajuste son:

N ao + ∑ X a1 + ∑ Ya2 = ∑ Z (2)

∑ Xao + ∑ X2 a1 + ∑ XYa2 = ∑ XZ (3)

∑ Yao + ∑ XYa1 + ∑ Y2 a2= ∑ YZ (4)

Se sustituyen los valores de sumatorias obtenidos en la tabla 1 en las ecuaciones 2,

3 y 4 para obtener el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas como se

muestra:

12ao + 41,4a1 + 61,8 a2 = 323,5

41,4ao + 173,2a1 + 239,63 a2 = 1437,4

61,8ao + 239,63a1 + 350,52a2 = 1980, 93

Para resolver el sistema de ecuaciones, se aplica el método de Cramer, usando

matrices, como se muestra a continuación.

Primero se ordenan los datos:

12.00 41.40 61.80 ao 323.50

41.40 173.20 239.63 a1 = 1437.40

61.80 239.63 350.52 a2 1980.93

Se calcula del determinante, D = 3376.9932

Luego se aplica el método, sustituyendo por el término independiente, la columna de

la incógnita que se quiere calcular, en este caso ao, se resuelve el determinante,

luego se divide el valor obtenido entre el determinante C para resolver, como se

muestra:

323.5 41.4 61.8

1437.4 173.2 239.63

1980.93 239.63 350.52

Cao = -59928.8

ao = Cao / C

ao = -17.746

Del mismo modo se aplicó para hallar los valores de a1 y a2, obteniéndose

a1 = 7.260y

a2 = 3.817

De este modo, sustituyendo los valores en (1), y se obtiene la ecuación general que

rige el comportamiento del ciclo logístico la cual queda expresada de la siguiente

forma:

Z = -17.746 + 7.260X+ 3.817Y (5)

Para visualizar el comportamiento de esta curva que representa el ciclo logístico, se

evaluó la ecuación en los valores de X y Y, como se muestra en la tabla 2.

Tabla 2. Ciclo logístico resultante para los valores de gestión

de inventario y gestión de almacén

Gestión de

inventario, X

Gestión de

almacén, Y

Ciclo logístico, Z

Z = -17,75+7,26*X +3,82*Y

1 3 0.97

1.2 3.4 3.94

1.5 5 12.23

2 2 4.41

3 4.1 19.68

3.7 5 28.20

4 7 38.01

4.5 6.5 39.73

5.1 6.8 45.24

5.2 6.7 45.58

4.6 5.4 36.26

5.6 6.9 49.25

En la figura 1, se puede observar la representación gráfica tanto de la gestión de

inventario, X, la gestión de almacén, Y y el ciclo logístico, Z.

Figura 1. Comportamiento del ciclo logístico para la gestión de inventario y gestión

de almacén dadas.

Con el fin de analizar la variabilidad de los resultados obtenidos con la curva de

ajuste respecto a los de la muestra, es necesario calcular el coeficiente de

correlación y el coeficiente de determinación para este caso de estudio.

Coeficiente de correlación, r :

(6)

Coeficiente de determinación, también llamado r cuadrado, r2, puede hallarse

además por esta relación:

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Gestión de inventario Gestión de almacén Ciclo logístico

(7) Donde SSE es la suma de los residuos al cuadrado.

Para realizar los cálculos fue necesario agregar otras columnas a la tabla original

quedando como se muestra en la tabla 3.

Tabla 3. Data ordenada para calcular coeficientes de correlación y de determinación. N X Y Z XY XZ YZ Z

2 Z ESTIM ERROR SSE Zi- (Zi - )2

1 1 3 4.1 3.00 1.00 9.00 4.10 12.30 16.81 0.97 - 3.13 9.83 -22.86 522.50

2 1.2 3.4 5.5 4.08 1.44 11.56 6.60 18.70 30.25 3.94 - 1.56 2.42 -21.46 460.46

3 1.5 5 10.1 7.50 2.25 25.00 15.15 50.50 102.01 12.23 2.13 4.54 -16.86 284.20

4 2 2 5.4 4.00 4.00 4.00 10.80 10.80 29.16 4.41 - 0.99 0.99 -21.56 464.76

5 3 4.1 16.6 12.30 9.00 16.81 49.80 68.06 275.56 19.68 3.08 9.51 -10.36 107.30

6 3.7 5 25 18.50 13.69 25.00 92.50 125.00 625.00 28.20 3.20 10.24 - 1.96 3.84

7 4 7 37.8 28.00 16.00 49.00 151.20 264.60 1,428.84 38.01 0.21 0.05 10.84 117.54

8 4.5 6.5 39.5 29.25 20.25 42.25 177.75 256.75 1,560.25 39.73 0.23 0.05 12.54 157.29

9 5.1 6.8 46.8 34.68 26.01 46.24 238.68 318.24 2,190.24 45.24 - 1.56 2.45 19.84 393.69

10 5.2 6.7 47 34.84 27.04 44.89 244.40 314.90 2,209.00 45.58 - 1.42 2.02 20.04 401.67

11 4.6 5.4 33.5 24.84 21.16 29.16 154.10 180.90 1,122.25 36.26 2.76 7.62 6.54 42.79

12 5.6 6.9 52.2 38.64 31.36 47.61 292.32 360.18 2,724.84 49.25 - 2.95 8.72 25.24 637.14

∑ 41.4 61.8 323.5 239.63 173.2 350.52 1437.4 1980.93 12314.21 323.5 58.43 3.2E-14 3593.19

12 26.96

N

Tomándose los valores de la tabla 3 y reemplazando en la ecuación 6, se obtiene,

r = 0.99184

Por tanto, r2 = 0.98374

Calculando r2 por la relación

Se obtiene,

1 -r2 = 0.016262

r2 = 0.983738

Para estos resultados puede decirse que el ajuste realizado es bastante bueno dado

que el valor de r2 está bastante cercano a 1, por lo que los valores del ciclo logístico

pueden estimarse con la ecuación general obtenida en función de la gestión de

inventario y la gestión de almacén. Quizá el ajuste puede mejorarse si se descartan

los puntos 4 y 11 que están bastante alejados de la tendencia del resto de los

puntos.

Entonces, usando esta ecuación se puede obtener el ciclo logístico para una gestión

de inventario, X = 4.9 y una gestión de almacén Y = 7.2, para el cual se resulta Z

= 45.31.