Estadísticas y distribuciones de muestreo - Diana Cobosdianacobos.com/upload/0c0daf_13_Distribuciones t, Ji y F.pdf · Distribuciones muestrales ... Es decir que se obtiene de la

1

D I A N A D E L P I L A R C O B O S D E L A N G E L

Estadísticas y distribuciones de muestreo

27/11/2011

Estadísticas

Una estadística es cualquier función de las observaciones en una

muestra aleatoria que no depende de parámetros desconocidos.

Por ejemplo, si X1, X2,…,Xn es una muestra aleatoria de tamaño

n, entonces la media de la muestra , la varianza de la muestra S2

y la desviación estándar S son estadísticas.

El proceso de extraer conclusiones en torno a poblaciones con

base en datos de muestras utiliza estadísticas en forma

considerable.

X

n

X

X

n

i

i 1

1

)(1

2

2

n

XX

S

n

i

i

2

Diana Cobos del Angel 27/11/2011

2

Distribuciones muestrales

Supóngase que se toma una muestra aleatoria de tamaño n,

X1, X2, …, Xn de una población con distribución Normal,

N(m,s2).

Cada observación es una v.a. con distribución N(m,s2)

Entonces la media es una v. a. con distribución

N(m,s2/n)

X

3


Teorema de Límite Central

Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma

de una población con media m y varianza s2, entonces, el

estadístico

Se aproxima a una distribución Normal estándar cuando n tiende a

infinito.

Observación: esta aproximación será mejor para n ≥ 30 sin

importar la forma de la población. Si n < 30 la aproximación es

buena sólo si la población no difiere mucho de una distribución

Normal.

X

n

XZ

/s

m

4


3

Distribución Ji cuadrada c2

Sean Z1, Z2, …, Zn variables aleatorias con distribución normal

estándar, es decir N(0,1). Entonces

Tiene la función de densidad Ji cuadrada con n grados de libertad

222

2

2

1

1

2 ... nn

n

i

i ZZZZY c

5


Distribución Ji cuadrada c2 6


4

Características de Ji cuadrada c2

Asimétrica y asintótica al eje x por la derecha; Su dominio va de 0 a +

Área bajo la curva desde 0 a + =1 Tiene parámetro = n (g.l.) Al aumentar n se aproxima a la normal Representa distribución muestral de varianza. Entre las aplicaciones: Determinación intervalos confianza para varianzas Pruebas de hipótesis para una varianza El ajuste de datos a una distribución dada conocida Las pruebas de independencia.

7


Gráficas de Ji cuadrada c2 8


5

Distribución Ji cuadrada c2 9


Probabilidad c2 Excel

=DISTR.CHI(x;)

Devuelve la probabilidad de una variable aleatoria continua siguiendo una distribución Ji cuadrada de una sola cola con gl.

P(X>c2)

10


6

Probabilidad c2 11


Probabilidad c2 Inversa Excel

=PRUEBA.CHI.INV(P,)

Devuelve el valor de c2 para una probabilidad dada, de una distribución Ji-cuadrada de una sola cola con g.l.

12


7

Ejercicios Ji cuadrada c2

a) Calcular la probabilidad de obtener un valor mayor de

23.7 en una distribución c2 con = 14 g.l., es decir

b) Calcular el valor de c2 después del cual se encuentre el 5 % del área en una distribución Ji-cuadrado con 4 g.l., es decir

)7.23( 2

14 cP

05.0)( 22

4 ccP

13


Distribución “t” de Student

Desarrollada con base en distribuciones de frecuencia

empíricas por el estadístico William Gosset, cuyo

seudónimo era “Student”.

Gosset trabajó en la Cervecería Guiness de Dublín y

tenía dificultades al usar la distribución Normal en

muestras pequeñas

“The probable error of a mean” Biometrika 1908

Fisher fue quien encontró mas aplicaciones para ésta.

14


8


La distribución muestral de la media de una muestra aleatoria se ajusta muy bien a la distribución Normal si se conoce s. Si n es grande, esto no presenta ningún problema, aún cuando s sea desconocida, por lo que en este caso es razonable sustituirla por s.

Sin embargo, en el caso de usar valores de n < 30, o sea en el caso de pequeñas muestras, esto no funciona tan bien, y la distribución que mejor se ajusta es la t de Student.

X

15



Sean Z es una v.a. Normal estándar y V es una v.a. Ji con k grados de libertad. Si Z y V son independientes, entonces la v.a.

tiene una distribución t con n grados de libertad, cuya función de densidad es:

kV

ZT

/

16


9


Definiendo el estadístico t:

Se puede probar que siendo `x la media de una muestra de tamaño n tomada de una población Normal con media m y varianza s2, el estadístico t es el valor de una variable aleatoria con distribución "t" de Student y parámetro (grados de libertad) = n-1.

t =x -

s / n

m

17


Distribución “t” de Student 18


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Student_densite_best.JPG

10



Características de la distribución “t”

Tiene media igual 0, es asintótica al eje x y su dominio va de - a +;

El área bajo la curva desde - a + es igual a 1

m 0, s2 depende parámetro (grados libertad)

Varianza > 1, pero se aproxima a 1 cuando n

Al aumentar n, la distribución “t se aproxima a la Normal; n > 30 ó más, excelente aproximación

Entre las aplicaciones:

Estimación de intervalos de confianza para medias a partir de muestras pequeñas

Pruebas de hipótesis basadas en muestras < 30

20


11




Las tablas brindan sólo los puntos porcentuales de la cola

superior

22


12

Probabilidad “t” en Excel

=DISTR.T(x,,colas) Devuelve el área a la derecha de x (a)

x= valor de t (solo positivo)

= grados de libertad

Colas = 1 o 2 colas

colas= 1, P( X>t )

colas = 2, P(|X| > t); P(X > t o X < -t).

23


Probabilidad “t” Inversa en Excel

=DISTR.T.INV(a,)

Devuelve el valor de t de dos colas, después del cual se encuentra el a x 100% del área de la curva.

P(|X| > t) = P(X < -t o X > t).

Para una cola, remplazar a por 2 a.

24


13

Ejercicio distribución “t” de Student

a) Calcular la probabilidad de obtener un valor mayor que 2,26 en una distribución t con 9 gdl

b) Calcular la probabilidad de obtener un valor mayor que 2,26 o menor que -2,26 en una distribución t con 9 gdl

c) Calcular el valor de t después del cual se encuentre el 5% del área de la curva con 9 gdl

d) Calcular el valor de t para a= 0,05 con 9 gdl y dos colas

25


Distribución "F” de Fisher

Sean W y Y v.a. con distribución Ji cuadrada, independientes con

n1 y n2 grados de libertad respectivamente. Entonces el cociente

Sigue la distribución F con n1= u g.l. en el numerador y n2 = v g.l.

en el denominador y su función de densidad es:

2

1

/

/

nY

nWF

26


14

Distribución "F” de Fisher

También llamada "F” de Fisher - Schnedecor

Representa la distribución muestral de la razón de dos varianzas. Es decir que se obtiene de la razón de dos distribuciones Ji-cuadradas.

Definimos el estadístico F como:

El cual es el valor de una variable aleatoria que tiene distribución F con parámetros n1 y n2

2

2

2

1

s

s=F

27


Propiedades de distribución F

Asimétrica, y asintótica al eje x por el lado derecho

Su dominio va de 0 a +

Área bajo curva desde 0 a + =1

Tiene parámetros n1 y n2

Entre sus aplicaciones: Pruebas de hipótesis entre 2 varianzas

Análisis de varianza

Análisis de covarianza.

28


15

Gráfica de la distribución F 29


Propiedades de Distribución F

)4()2(

)2(2)(

2)(

2

2

21

21

2

2

2

2

nnn

nnnFV

n

nFE

30


16

Gráfica de la distribución F 31


Probabilidad F Excel

=DISTR.F(x,1, 2)

Devuelve el área a la derecha de un valor en una distribución F con 1 y 2 g.l.

P( F>x )

32


17

Probabilidad F Inversa Excel

=DISTR.F.INV(a, 1, 2)

Devuelve el valor crítico de F(a) para una distribución F con 1, 2 g.l.

33


Ejercicios sobre la distribución F

a) Determine la probabilidad de tener un valor de F mayor que 9.28 en una distribución F con 1=3 y 2=3 g.l.

b) Halle la el valor crítico de F(0.05) para 1=3 y 2=15 g.l.

34


Documents

Estadísticas y distribuciones de muestreo - Diana Cobosdianacobos.com/upload/0c0daf_13_Distribuciones t, Ji y F.pdf · Distribuciones muestrales ... Es decir que se obtiene de la