Matemáticas »High School:

Número y cantidad»

Introducción

Números y sistemas de numeración.

Durante los años de jardín de infantes a octavo grado, los estudiantes deben extenderse en varias ocasiones su concepción de número. Al principio, "número" significa "número de cuenta": 1, 2, 3, ... Poco después, 0 se utiliza para representar "ninguno" y los números enteros están formados por los números de contar con cero. La extensión próxima es fracciones. Al principio, las fracciones son apenas números y atado fuertemente a las representaciones pictóricas. Sin embargo, por el tiempo que los estudiantes entiendan la división de fracciones, tienen un fuerte concepto de las fracciones como números y se han conectado, a través de sus representaciones decimales, con el sistema de base diez utilizada para representar los números enteros. Durante la escuela secundaria, las fracciones se complementan con fracciones negativas para formar los números racionales. En 8 º grado, los estudiantes extienden este sistema, una vez más, aumentando los números racionales con los números irracionales para formar los números reales. En la escuela secundaria, los estudiantes estarán expuestos a una nueva ampliación del número, cuando las cifras reales se complementan con los números imaginarios para formar los números complejos.Este ascenso a través de los sistemas de números hace que sea justo preguntar: ¿qué hace el número de la palabra significa que puede significar todo esto? Una posible respuesta es que un número es algo que se puede utilizar para hacer las matemáticas: calcular, resolver ecuaciones, o representan mediciones.Aunque la noción de cambio de número, las cuatro operaciones se mantienen igual en aspectos importantes. Las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva se extienden las propiedades de las operaciones con los números enteros, números racionales, números reales y los números complejos. La ampliación de las propiedades de los exponentes conduce a la notación nueva y productiva, por ejemplo, ya que las propiedades de los exponentes sugieren que (51/3) = 5 3 (1/3) • 3 = 51 = 5, definimos 51/3 para ser el raíz cúbica de 5.Las calculadoras son útiles en este capítulo para generar datos para experimentos numéricos, para ayudar a comprender el funcionamiento de la matriz, vector, y el álgebra de números complejos, y para experimentar con exponentes no enteros.Cantidades.En su trabajo en la medición a través de 8 º grado, los estudiantes miden principalmente atributos de uso común, tales como longitud, área y volumen. En la escuela secundaria, los estudiantes encuentran una amplia variedad de unidades en el modelado, por ejemplo, aceleración, cambio de divisas, las cantidades obtenidas como personas-horas y días-grado de calentamiento, las tasas de las ciencias sociales como el ingreso per cápita y las tasas en la vida cotidiana, tales como puntos anotados por juego o promedios de bateo. También se encuentran con situaciones nuevas en las que ellos mismos deben concebir los atributos de interés. Por ejemplo, para encontrar una buena medida de seguridad general autopista, se podrían proponer medidas como muertes por año, las muertes anuales por conductor, o muertes por vehículo-milla recorrida. Tal proceso conceptual que se podría llamar cuantificación. La cuantificación es importante para la ciencia, como cuando el área de superficie de repente "se destaca" como una variable importante en la evaporación. La cuantificación también es importante para las empresas, que deben conceptualizar atributos relevantes y crear o elegir las medidas adecuadas para ellas

Número y cantidad »El sistema de números realesLas normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSN-RN.A.1

• CCSS.Math.Content.HSN-RN.A.2• CCSS.Math.Content.HSN-RN.B.3Extender las propiedades de exponentes para exponentes racionales.• CCSS.Math.Content.HSN-RN.A.1 Explique cómo la definición del significado de los exponentes racionales sigue de extender las propiedades de los exponentes enteros a esos valores, lo que permite una anotación para los radicales en términos de exponentes racionales. Por ejemplo, definimos 51/3 para ser la raíz cúbica de 5 porque queremos (51/3) = 5 3 (1/3) 3 para mantener, por lo que (51/3) 3 debe ser igual a 5.• CCSS.Math.Content.HSN-RN.A.2 reescritura de expresiones que implican radicales y exponentes racionales utilizando las propiedades de los exponentes.Utilice las propiedades de los números racionales e irracionales.• CCSS.Math.Content.HSN-RN.B.3 Explicar por qué la suma o producto de dos números racionales es racional, que la suma de un número racional y un número irracional es irracional, y que el producto de un número racional distinto de cero y un número irracional es irracional.Número y cantidad »Cantidades *Las normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSN-Q.A.1• CCSS.Math.Content.HSN-Q.A.2• CCSS.Math.Content.HSN-Q.A.3Motivo cuantitativa y usar las unidades para resolver problemas.• CCSS.Math.Content.HSN-QA1 unidades utilizan como una forma de entender los problemas y orientar la solución de los problemas de varios pasos, elegir e interpretar las unidades de forma consistente en las fórmulas, elegir e interpretar la magnitud y el origen de gráficos y datos pantallas.• CCSS.Math.Content.HSN-QA2 Definir cantidades apropiadas para el propósito de la modelización descriptiva.• CCSS.Math.Content.HSN-QA3 Elige un nivel de precisión adecuado a las limitaciones en la medición al reportar las cantidades.

Número y cantidad »El sistema de números complejosLas normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSN-CN.A.1• CCSS.Math.Content.HSN-CN.A.2• CCSS.Math.Content.HSN-CN.A.3• CCSS.Math.Content.HSN-CN.B.4• CCSS.Math.Content.HSN-CN.B.5• CCSS.Math.Content.HSN-CN.B.6• CCSS.Math.Content.HSN-CN.C.7• CCSS.Math.Content.HSN-CN.C.8• CCSS.Math.Content.HSN-CN.C.9Realizar operaciones aritméticas con números complejos.• CCSS.Math.Content.HSN-CN.A.1 sabemos que hay un número complejo i tal que i2 = -1, y cada número complejo tiene la forma a + bi, con a y b reales.• CCSS.Math.Content.HSN-CN.A.2 Usar la relación i2 = -1 y las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para sumar, restar y multiplicar números complejos.• CCSS.Math.Content.HSN-CN.A.3 (+) Encuentra el conjugado de un número complejo, el uso conjuga encontrar módulos y cocientes de números complejos.Representar números complejos y sus operaciones en el plano complejo.• CCSS.Math.Content.HSN-CN.B.4 (+) Representa los números complejos en el plano complejo en forma rectangular y polar (incluidos los números reales e imaginarios), y explica por qué las formas rectangulares y polares de un número complejo dado representar el mismo número.• CCSS.Math.Content.HSN-CN.B.5 (+) Representa la suma, resta, multiplicación, y la conjugación de los números complejos geométricamente en el plano complejo, propiedades de uso de esta representación para el cálculo. Por ejemplo, (-1 + √ 3 i) 3 = 8 por (-1 + √ 3 i) tiene un módulo 2 y el argumento 120 °.• CCSS.Math.Content.HSN-CN.B.6 (+) Calcular la distancia entre los números en el plano complejo

como el módulo de la diferencia, y el punto medio de un segmento como el promedio de los números en sus puntos finales.Utilice números complejos en las identidades y ecuaciones polinómicas.• CCSS.Math.Content.HSN-CN.C.7 Resolver ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales que tienen soluciones complejas.• CCSS.Math.Content.HSN-CN.C.8 (+) Ampliar identidades polinómicas de los números complejos. Por ejemplo, escribir x2 + 4 como (x + 2i) (x - 2i).• CCSS.Math.Content.HSN-CN.C.9 (+) Conocer el teorema fundamental del álgebra; demostrar que es cierto para los polinomios de segundo grado.

Número y cantidad »Vector y Matriz CantidadesLas normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSN-VM.A.1• CCSS.Math.Content.HSN-VM.A.2• CCSS.Math.Content.HSN-VM.A.3• CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.4• CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.5• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.6• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.7• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.8• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.9• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.10• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.11• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.12Representar y modelar con magnitudes vectoriales.• CCSS.Math.Content.HSN-VM.A.1 (+) Reconocer magnitudes vectoriales que tiene magnitud y dirección. Representar cantidades vectoriales por segmentos orientados, y el uso de símbolos adecuados para los vectores y sus magnitudes (por ejemplo, v, | v |, | | v | |, v).• CCSS.Math.Content.HSN-VM.A.2 (+) Encuentra los componentes de un vector restando las coordenadas de un punto inicial a partir de las coordenadas de un punto terminal.• CCSS.Math.Content.HSN-VM.A.3 (+) Resolver problemas que implican la velocidad y otras cantidades que pueden ser representados por vectores.Realizar operaciones sobre vectores.• CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.4 (+) Sumar y restar vectores.o CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.4a Añadir vectores de extremo a extremo, componente a componente, y por la regla de paralelogramo. Entender que la magnitud de la suma de dos vectores no es típicamente la suma de las magnitudes.o CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.4b Dados dos vectores en magnitud y dirección forma, determinar la magnitud y la dirección de su suma.o CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.4c Entender resta de vectores v - w como v + (-w), donde w es-el inverso aditivo de w, con la misma magnitud que w y que apunta en la dirección opuesta . Representar resta de vectores gráficamente mediante la conexión de las puntas en el orden adecuado, y realizar vector resta de componentes se refiere.• CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.5 (+) Multiplicar un vector por un escalar.o CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.5a Representa multiplicación escalar gráficamente vectores de escala y posiblemente revertir su dirección, realice multiplicación escalar componente a componente, por ejemplo, como c (vx, vy) = (CVX, CVY).o CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.5b Calcule la magnitud de un cv múltiplo escalar utilizando | | cv | | = | c | v Calcular la dirección del cv sabiendo que cuando | c | v ≠ 0, la dirección de cv es ya sea a lo largo de v (para c> 0) o en contra de v (para c <0).Realizar operaciones con matrices y matrices de uso en aplicaciones.• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.6 (+) Utilice matrices para representar y manipular los datos, por ejemplo, para representar a los pagos o relaciones de incidencia en una red.• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.7 (+) Multiplicar matrices por escalares para producir nuevas matrices, por ejemplo, como cuando se doblan todas las ganancias en un juego.• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.8 (+) sumar, restar y multiplicar matrices de dimensiones

apropiadas.• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.9 (+) Entender que, a diferencia de la multiplicación de números, la multiplicación de matrices de matrices cuadradas no es una operación conmutativa, pero todavía satisface las propiedades asociativas y distributivas.• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.10 (+) entiende que el cero y las matrices de identidad juegan un papel en la adición de matrices y multiplicación similar a la función de 0 y 1 en los números reales. El determinante de una matriz cuadrada es distinto de cero si y sólo si la matriz tiene un inverso multiplicativo.• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.11 (+) Multiplicar un vector (considerado como una matriz con una columna) por una matriz de dimensiones adecuadas para producir otro vector. Trabajar con matrices como transformaciones de vectores.• CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.12 (+) Trabajo con 2 × 2 matrices como a las transformaciones del plano, e interpretar el valor absoluto del determinante en términos de superficie.

High School: Algebra »IntroducciónExpresiones.Una expresión es un registro de un cálculo con números y símbolos que representan números, operaciones aritméticas, exponenciales, y, en niveles más avanzados, el funcionamiento de la evaluación de una función. Convenios sobre el uso de paréntesis, y el orden de las operaciones aseguran que cada expresión es inequívoca. Creación de una expresión que describe un cálculo que implica una cantidad en general requiere la capacidad de expresar el cálculo en términos generales, haciendo abstracción de casos específicos.Lectura de una expresión con la comprensión implica el análisis de su estructura subyacente. Esto puede sugerir una forma de escribir la expresión que muestra algún aspecto diferente de su significado diferente pero equivalente. Por ejemplo, p + 0.05p se puede interpretar como la adición de un impuesto de 5% a un precio p. Reescritura p + 0.05p como 1.05p muestra que la adición de un impuesto es lo mismo que multiplicar el precio por un factor constante.Manipulaciones algebraicas se rigen por las propiedades de las operaciones y los exponentes, y las convenciones de notación algebraica. A veces, una expresión es el resultado de la aplicación de las operaciones a las expresiones más sencillas. Por ejemplo, p + 0.05p es la suma de las expresiones más simples y p 0.05p. Visualización de una expresión como el resultado de la operación en las expresiones más simples a veces puede aclarar su estructura subyacente.Una hoja de cálculo o un sistema de álgebra computacional (CAS) se puede utilizar para experimentar con expresiones algebraicas, realizar manipulaciones algebraicas complicadas, y entender cómo se comportan las manipulaciones algebraicas.Ecuaciones y desigualdades.Una ecuación es una declaración de igualdad entre dos expresiones, a menudo visto como una formulación de preguntas para las que los valores de las variables de las expresiones de ambos lados son de hecho iguales. Estos valores son las soluciones de la ecuación. Una identidad, en contraste, es cierto para todos los valores de las variables; identidades se desarrollan a menudo mediante la reescritura de una expresión en una forma equivalente.Las soluciones de una ecuación de una forma variable de un conjunto de números, las soluciones de una ecuación con dos variables forman un conjunto de pares ordenados de números, que se pueden representar en el plano de coordenadas. Dos o más ecuaciones y / o desigualdades forman un sistema. Una solución para este sistema debe satisfacer todas las ecuaciones y las desigualdades en el sistema.Una ecuación a menudo puede ser resuelto por sucesivamente deducir de ella una o más ecuaciones simples. Por ejemplo, se puede añadir la misma constante a ambos lados sin cambiar las soluciones, pero elevar al cuadrado ambos lados podría conducir a soluciones extrañas. Competencia estratégica en la solución incluye mirando hacia el futuro para las manipulaciones de producción y previsión de la naturaleza y el número de soluciones.Algunas ecuaciones no tienen soluciones en un sistema de número dado, sino que tenga una solución en un sistema más grande. Por ejemplo, la solución de x + 1 = 0 es una, no es un número entero número entero; la solución de 2x + 1 = 0 es un número racional, no es un entero; las soluciones de x2 - 2 = 0 son números reales, no números racionales, y las soluciones de x2 + 2 =

0 son números complejos, no los números reales.Las mismas técnicas de solución utilizadas para resolver las ecuaciones se pueden utilizar para reorganizar fórmulas. Por ejemplo, la fórmula para el área de un trapecio, A = ((b1 + b2) / 2) h, pueden ser resueltos para h utilizando el mismo proceso deductivo. Las desigualdades pueden ser resueltos por el razonamiento acerca de las propiedades de la desigualdad. Muchas, pero no todas, de las propiedades de la igualdad continúan manteniendo las desigualdades y puede ser útil en la solución de ellos.Conexiones con las funciones y la modelización. Las expresiones pueden definir funciones, y expresiones equivalentes definir la misma función. Preguntar cuando dos funciones tienen el mismo valor para la misma entrada conduce a una ecuación; graficar las dos funciones permite encontrar soluciones aproximadas de la ecuación. Conversión de una descripción verbal de una ecuación, desigualdad, o el sistema de estos es una habilidad esencial en el modelaje.Algebra »Estructura ver en expresionesLas normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSA-SSE.A.1• CCSS.Math.Content.HSA-SSE.A.2• CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.3• CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.4Interpretar la estructura de expresiones.• CCSS.Math.Content.HSA-SSE.A.1 Interpretar expresiones que representan una cantidad en función de su contexto. ★o CCSS.Math.Content.HSA-SSE.A.1a interpretar partes de una expresión, como las condiciones, factores y coeficientes.o CCSS.Math.Content.HSA-SSE.A.1b Interpretar expresiones complicadas por ver una o varias de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P (1 + r) n como el producto de P y un factor no dependiendo de P.• CCSS.Math.Content.HSA-SSE.A.2 Usar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 - y4 como (x2) 2 - (y2) 2, reconociendo de este modo como una diferencia de cuadrados que se pueden factorizar como (x2 - y2) (x2 + y2).Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver los problemas.• CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.3 Elija y producen una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar las propiedades de la cantidad representada por la expresión. ★o CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.3a Factor de una expresión cuadrática para revelar los ceros de la función que define.o CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.3b completar el cuadrado en una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define.o CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.3c Utilice las propiedades de los exponentes para transformar expresiones para las funciones exponenciales. Por ejemplo, el 1.15t expresión puede reescribirse como (1.151/12) 12t ≈ 1.01212t para revelar la tasa de interés mensual equivalente aproximado si la tasa anual es del 15%.• CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.4 Derivar la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (cuando la relación común no es 1), y el uso de la fórmula para resolver problemas. Por ejemplo, calcular los pagos hipotecarios. ★Algebra »Aritmética con polinomios y expresiones racionalesLas normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSA-APR.A.1• CCSS.Math.Content.HSA-APR.B.2• CCSS.Math.Content.HSA-APR.B.3• CCSS.Math.Content.HSA-APR.C.4• CCSS.Math.Content.HSA-APR.C.5• CCSS.Math.Content.HSA-APR.D.6• CCSS.Math.Content.HSA-APR.D.7Realizar operaciones aritméticas con polinomios.• CCSS.Math.Content.HSA-APR.A.1 Entender que los polinomios forman un sistema análogo al de los números enteros, es decir, están cerrados en las operaciones de suma, resta y multiplicación, sumar, restar y multiplicar polinomios.

Comprender la relación entre los ceros y los factores de polinomios.• CCSS.Math.Content.HSA-APR.B.2 Conocer y aplicar el teorema del resto: Para un polinomio p (x) y un número a, el resto en la división por x - a es P (A), por lo que p ( a) = 0 si y sólo si (x - a) es un factor de p (x).• CCSS.Math.Content.HSA-APR.B.3 Identificar ceros de polinomios cuando factorizaciones adecuados están disponibles, y utilizar los ceros para construir una gráfica aproximada de la función definida por el polinomio.Use identidades polinómicas para resolver problemas.• CCSS.Math.Content.HSA-APR.C.4 Demostrar identidades polinómicas y utilizarlos para describir relaciones numéricas. Por ejemplo, la identidad polinomio (x2 + y2) 2 = (x2 - y2) 2 + (2xy) 2 se puede utilizar para generar ternas pitagóricas.• CCSS.Math.Content.HSA-APR.C.5 (+) Conocer y aplicar el teorema del binomio para el desarrollo de (x + y) n en potencias de x e y para un entero positivo n, donde x e y son cualquier número, con coeficientes determinados por ejemplo por Triangle.1 de PascalVuelva a escribir expresiones racionales.• CCSS.Math.Content.HSA-APR.D.6 reescritura simples expresiones racionales en diferentes formas, escribir a (x) / b (x) en la forma q (x) + r (x) / b (x), donde a (x), b (x), q (x) yr (x) son polinomios con el grado de r (x) menor que el grado de b (x), utilizando la inspección, la división larga, o, para los ejemplos más complicados, un sistema de álgebra computacional.• CCSS.Math.Content.HSA-APR.D.7 (+) Comprender que las expresiones racionales forman un sistema análogo al de los números racionales, cerrado bajo la suma, resta, multiplicación y división por una expresión racional no nulo, sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones racionales.: Algebra »Creación de ecuaciones ✭Las normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.1• CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.2• CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.3• CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.4Crear ecuaciones que describen los números o relaciones.• CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.1 Crear ecuaciones y desigualdades en una variable y utilizarlos para resolver problemas. Incluya ecuaciones derivadas de las funciones lineales y cuadráticas y racionales y exponenciales simples.• CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.2 Crear ecuaciones con dos o más variables para representar las relaciones entre cantidades, graficar ecuaciones en los ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.• CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.3 Representa a restricciones por las ecuaciones o desigualdades, y por los sistemas de ecuaciones y / o desigualdades e interpretar soluciones como opciones viables o no viables en un contexto modelado. Por ejemplo, representar a las desigualdades que describen las limitaciones nutricionales y el coste de las combinaciones de los diferentes alimentos.• CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.4 Reorganizar fórmulas para resaltar una cantidad de interés, usando el mismo razonamiento que en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, cambiar la ley de Ohm V = IR para resaltar la resistencia R.Algebra »Razonamiento con ecuaciones y desigualdadesLas normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSA-REI.A.1• CCSS.Math.Content.HSA-REI.A.2• CCSS.Math.Content.HSA-REI.B.3• CCSS.Math.Content.HSA-REI.B.4• CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.5• CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.6• CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.7• CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.8• CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.9• CCSS.Math.Content.HSA-REI.D.10

• CCSS.Math.Content.HSA-REI.D.11• CCSS.Math.Content.HSA-REI.D.12Entender resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento.• CCSS.Math.Content.HSA-REI.A.1 Explique cada paso en la solución de una ecuación simple como después de la igualdad de números afirmado en el paso anterior, partiendo del supuesto de que la ecuación original tiene una solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución.• CCSS.Math.Content.HSA-REI.A.2 Resolver ecuaciones racionales y radicales simples en una variable, y dar ejemplos de cómo pueden surgir soluciones extrañas.Resolver ecuaciones y desigualdades en una variable.• CCSS.Math.Content.HSA-REI.B.3 Resolver ecuaciones y desigualdades lineales en una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras.• CCSS.Math.Content.HSA-REI.B.4 Resolver ecuaciones de segundo grado en una variable.o CCSS.Math.Content.HSA-REI.B.4a Utilice el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x - p) 2 = q que tiene las mismas soluciones. Derivar la fórmula cuadrática de esta forma.o CCSS.Math.Content.HSA-REI.B.4b Resolver ecuaciones de segundo grado de la inspección (por ejemplo, para x2 = 49), que tienen raíces cuadradas, completando el cuadrado, la fórmula cuadrática y factoring, según corresponda a la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuando la fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribir como un bi ± para los números reales a y b.Resolver sistemas de ecuaciones.• CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.5 Demuestra que, dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, en sustitución de una ecuación por la suma de la ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones.• CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.6 resolver sistemas de ecuaciones lineales y exactamente alrededor (por ejemplo, con los gráficos), centrándose en los pares de ecuaciones lineales con dos variables.• CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.7 resolver un sistema simple que consiste en una ecuación lineal y una ecuación de segundo grado en dos variables algebraicamente y gráficamente. Por ejemplo, encontrar los puntos de intersección entre la recta y =-3x y el círculo x2 + y2 = 3.• CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.8 (+) Representa un sistema de ecuaciones lineales como una sola ecuación matricial en una variable vector.• CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.9 (+) Encuentre la inversa de una matriz si existe y lo utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales (que utilizan la tecnología de matrices de dimensión 3 × 3 o superior).Representar y resolver ecuaciones y desigualdades gráficamente.• CCSS.Math.Content.HSA-REI.D.10 Entender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todos sus soluciones de trazado en el plano de coordenadas, a menudo formando una curva (que podría ser una línea).• CCSS.Math.Content.HSA-REI.D.11 Explique por qué las coordenadas x de los puntos en las gráficas de las ecuaciones y = f (x) ey = g (x) se cruzan son las soluciones de la ecuación f (x) = g (x), encontrar las soluciones aproximadamente, por ejemplo, el uso de la tecnología para representar gráficamente las funciones, hacer tablas de valores, o encontrar aproximaciones sucesivas. Incluya los casos en que f (x) y / o de g (x) son lineales, polinómicas, racionales, valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. ★• CCSS.Math.Content.HSA-REI.D.12 gráficamente las soluciones a una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano (excluyendo el límite en el caso de una desigualdad estricta), y la gráfica del conjunto solución a un sistema de de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.• Inicio• Las NormasHigh School: Funciones en los EstadosResoIntroductionFunciones describen situaciones en las que una cantidad determina otra. Por ejemplo, el retorno de 10.000 dólares invertidos a una tasa anualizada de 4.25% es una función de la longitud de

tiempo que el dinero se invierte. Debido a que continuamente hacemos teorías sobre las dependencias entre cantidades en la naturaleza y la sociedad, las funciones son herramientas importantes en la construcción de modelos matemáticos.En las matemáticas escolares, funciones suelen tener entradas y salidas numéricas y, a menudo se definen por una expresión algebraica. Por ejemplo, el tiempo en horas que tarda un coche para conducir 100 millas es una función de la velocidad del vehículo en millas por hora, v, la regla T (v) = 100 / v expresa esta relación algebraica y define una función cuyo nombre es T.El conjunto de entradas a una función se llama su dominio. A menudo inferir el dominio que todas las entradas para los cuales la expresión que define una función tiene un valor, o para los que la función tiene sentido en un contexto dado.Una función puede ser descrito de varias maneras, por ejemplo mediante un gráfico (por ejemplo, la huella de un sismógrafo), por una regla verbal, como en, "Te voy a dar un estado, me das la capital," por una expresión algebraica como f (x) = a + bx, o por una regla recursiva. La gráfica de una función es a menudo una forma útil de visualizar la relación entre los modelos de función, y la manipulación de una expresión matemática de una función puede arrojar luz sobre las propiedades de la función.Las funciones se presentan como expresiones pueden modelar muchos fenómenos importantes. Dos familias importantes de las funciones que se caracterizan por las leyes de crecimiento son funciones lineales, que crecen a un ritmo constante, y las funciones exponenciales, que crecen a un ritmo constante por ciento. Funciones lineales con un término constante de cero describir relaciones proporcionales.Una utilidad gráfica o un sistema de álgebra computacional se puede utilizar para experimentar con las propiedades de estas funciones y sus gráficas y construir modelos computacionales de funciones, incluyendo funciones definidas recursivamente.urcesFunctions »Funciones InterpretaciónLas normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSF-IF.A.1• CCSS.Math.Content.HSF-IF.A.2• CCSS.Math.Content.HSF-IF.A.3• CCSS.Math.Content.HSF-IF.B.4• CCSS.Math.Content.HSF-IF.B.5• CCSS.Math.Content.HSF-IF.B.6• CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7• CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.8• CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.9Entender el concepto de función y uso notación de función.• CCSS.Math.Content.HSF-IF.A.1 Entender que una función de un conjunto (llamado el dominio) a otro conjunto (llamado la gama) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento de la gama. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f (x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f (x).• CCSS.Math.Content.HSF-IF.A.2 Use la notación de funciones, evaluar las funciones para las entradas en sus dominios, e interpretar los estados que utilizan la notación de funciones en términos de un contexto.• CCSS.Math.Content.HSF-IF.A.3 Reconocer que las secuencias son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la secuencia de Fibonacci se define de forma recursiva por f (0) = f (1) = 1, f (n +1) = f (n) + f (n-1) para n ≥ 1.Interpretar las funciones que se presentan en las aplicaciones en términos del contexto.• CCSS.Math.Content.HSF-IF.B.4 Para una función que modele una relación entre dos cantidades, interpretan las principales características de gráficos y tablas en función de las cantidades y los gráficos croquis que muestran las características clave dado una descripción verbal del relación. Las características clave incluyen: intercepta; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa, en relación máximos y mínimos, simetrías, comportamiento extremo, y la periodicidad .★• CCSS.Math.Content.HSF-IF.B.5 Relacionar el dominio de una función de su gráfica y, en su caso, a la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h (n) indica el número de horas-

persona que se necesita para montar los motores de n en una fábrica, a continuación, los números enteros positivos serían un dominio apropiado para la función. ★• CCSS.Math.Content.HSF-IF.B.6 Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función (presentada simbólicamente o como una mesa) durante un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio de una gráfica. ★Analizar las funciones con diferentes representaciones.• Funciones CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7 Gráfico expresan simbólicamente y muestran las características clave de la gráfica, con la mano en casos sencillos y utilizar la tecnología para los casos más complicados. ★o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7a Gráfico funciones lineales y cuadráticas y mostrar intercepta, máximos y mínimos.root o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7b Gráfico cuadrado, raíz cúbica, y las funciones definidas a trozos, incluidas las funciones de paso y funciones de valor absoluto.o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7c funciones polinómicas Gráfico, identificando ceros cuando factorizaciones adecuados están disponibles, y que muestra el comportamiento final.o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7d (+) Gráfico de funciones racionales, identificando ceros y asíntotas cuando factorizaciones adecuados están disponibles, y mostrar un comportamiento extremo.o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7e Gráfico funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando intercepta y comportamiento extremo, y funciones trigonométricas, mostrando periodo, la línea media, y la amplitud.• CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.8 escribir una función definida por una expresión en diferentes formas, pero equivale a revelar y explicar las diferentes propiedades de la función.o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.8a Utilice el proceso de facturación y completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar ceros, valores extremos, y la simetría de la gráfica, e interpretar estos en términos de un contexto.o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.8b Utilizar las propiedades de los exponentes para interpretar las expresiones para las funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar por ciento la tasa de cambio de funciones, tales como y = (1.02) t, y = (0.97) t, y = (1.01) 12 t, y = (1,2) t/10 y clasificarlos como un crecimiento exponencial o decadencia.• CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.9 comparar las propiedades de dos funciones de cada uno representado de una manera diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas, o por descripciones verbales). Por ejemplo, dada una gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica para otro, por ejemplo, que tiene el máximo mayor.Funciones »Funciones de construcciónLas normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.1• CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.2• CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.3• CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.4• CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.5Construir una función que modela una relación entre dos cantidades.• CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.1 Escribir una función que describe la relación entre dos cantidades. ★o CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.1a Determine una expresión explícita, un proceso recursivo, o los pasos para el cálculo de un contexto.o CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.1b Combinar tipos de funciones estándar usando operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que los modelos de la temperatura de un cuerpo de enfriamiento mediante la adición de una función constante a una exponencial en descomposición, y relacionar estas funciones para el modelo.o CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.1c (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T (y) es la temperatura en la atmósfera como una función de la altura, y h (t) es la altura de un globo de tiempo como una función de tiempo, entonces T (h (t)) es la temperatura a la la ubicación del globo de tiempo como una función de tiempo.• aritmética CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.2 Write y sucesiones geométricas, tanto de forma recursiva y con una fórmula explícita, los utilizan para modelar situaciones, y traducen entre las

dos formas. ★Construir nuevas funciones de las funciones existentes.

Matemáticas »High School: Número y• CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.3 identificar el efecto en el gráfico de la sustitución de f (x) por f (x) + k, kf (x), f (kx), y f (x + k ) para valores específicos de K (tanto positivos como negativos);

encontrar el valor de k dado los gráficos. Experimente con los casos e ilustrar una explicación de los efectos sobre el gráfico utilizando la tecnología. Incluir el reconocimiento uniforme y

funciones impares de sus gráficas y expresiones algebraicas para ellos.• CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.4 Encontrar funciones inversas.

o CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.4a Resolver una ecuación de la forma f (x) = c por una simple función que f tiene una inversa y escribir una expresión para el inverso. Por ejemplo, f (x) = 2 x3 o

f (x) = (x 1) / (x-1) para x ≠ 1.o CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.4b (+) Verificar por la composición que una función es la inversa

de la otra.o CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.4c (+) Lectura de valores de una función inversa de una gráfica o

una tabla, dado que la función tiene inversa.o CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.4d (+) Producir una función invertible de una función no

inversible mediante la restricción del dominio.• CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.5 (+) Entender la relación inversa entre exponentes y logaritmos y

utilizar esta relación para resolver problemas de logaritmos y exponentes.Funciones »Modelos lineales, cuadráticas, exponenciales y *

Las normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.1• CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.2• CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.3• CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.4• CCSS.Math.Content.HSF-LE.B.5

Construir y comparar los modelos lineales, cuadráticas y exponenciales y resolver problemas.• CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.1 Distinguir entre las situaciones que se pueden modelar con

funciones lineales y con funciones exponenciales.o CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.1a Demostrar que las funciones lineales crecen por la igualdad

de las diferencias sobre intervalos iguales, y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales durante intervalos iguales.

o CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.1b Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una velocidad constante por unidad de intervalo con relación a otro.

o CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.1c Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decae a una tasa constante por ciento por unidad de intervalo con respecto a otro.

• CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.2 construir funciones lineales y exponenciales, incluyendo aritmética y secuencias geométricas, dado un gráfico, una descripción de una relación, o dos

pares de entrada-salida (estos incluyen la lectura de una tabla) .• CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.3 Observe usando gráficos y tablas que una cantidad creciente de

forma exponencial con el tiempo excede de una cantidad creciente lineal, cuadrática, o (en general) como una función polinómica.

• CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.4 Para los modelos exponenciales, expresa como logaritmo de la solución a ABCT = d, donde a, c, y d son números y la base b es 2, 10, o por correo, evaluar el

logaritmo utilizando la tecnología.Interpretar expresiones para las funciones en cuanto a la situación en que modelo.

• CCSS.Math.Content.HSF-LE.B.5 interpretar los parámetros en una función lineal o exponencial en función de un contexto.

Funciones »Funciones trigonométricasLas normas en este ámbito:

• CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.1• CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.2• CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.3

• CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.4• CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.5• CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.6• CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.7• CCSS.Math.Content.HSF-TF.C.8• CCSS.Math.Content.HSF-TF.C.9

Ampliar el ámbito de las funciones trigonométricas usando el círculo unitario.• CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.1 Entender medida en radianes de un ángulo como la longitud del

arco en el círculo unitario subtendido por el ángulo.• CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.2 Explicar cómo el círculo unidad en el plano de coordenadas

permite la ampliación de las funciones trigonométricas para todos los números reales, interpretadas como medidas de ángulos en radianes atravesado en sentido antihorario alrededor

del círculo unitario.• CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.3 (+) Usar triángulos especiales para determinar geométricamente

los valores de seno, coseno, tangente de π / 3, π / 4 y π / 6, y utilizar el círculo de la unidad de expresar los valores de seno, coseno, y tangente para x, π + x, y 2π - x en términos de sus

valores para x, donde x es cualquier número real.• CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.4 (+) Usar el círculo unitario para explicar la simetría (pares e

impares) y la periodicidad de las funciones trigonométricas.Modelar fenómenos periódicos con las funciones trigonométricas.

• CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.5 Selecciona las funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos con una amplitud determinada, la frecuencia y la línea media. ★

• CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.6 (+) Comprender que la restricción de una función trigonométrica a un dominio en el que siempre está aumentando o disminuyendo siempre permite su inversa que

se construirá.• CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.7 (+) Usar funciones inversas para resolver ecuaciones

trigonométricas que surgen en contextos de modelado, evaluar las soluciones que utilizan la tecnología, e interpretarlos en términos del contexto .★

Demostrar y aplicar las identidades trigonométricas.• CCSS.Math.Content.HSF-TF.C.8 probar la identidad pitagórica sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1 y usarlo para encontrar sin (θ), cos (θ), o tan (θ) dada sen (θ), cos (θ), o tan (θ) y el cuadrante del ángulo.• CCSS.Math.Content.HSF-TF.C.9 (+) Demostrar la suma y la resta de las fórmulas para el seno,

coseno y tangente y utilizarlos para resolver problemas.High School: Modelando

Modelización matemática en el aula y las estadísticas a la vida cotidiana, el trabajo y la toma de decisiones. Modelado es el proceso de selección y uso de las matemáticas y las estadísticas

necesarias para analizar situaciones empíricas, para entenderlos mejor, y para mejorar las decisiones. Las cantidades y sus relaciones en la política física, económica pública, social y

situaciones cotidianas pueden ser modelados utilizando métodos matemáticos y estadísticos. Al hacer modelos matemáticos, la tecnología es útil para diferentes supuestos, las consecuencias

que exploran y comparan las predicciones con datos.Un modelo puede ser muy simple, como por ejemplo escribir coste total como un producto de precio unitario y el número de comprado, o el uso de una forma geométrica para describir un

objeto físico como una moneda. Incluso estos modelos simples implican la toma de decisiones. Depende de nosotros, ya sea para modelar una moneda como un cilindro tridimensional, o si un

disco de dos dimensiones funciona bastante bien para nuestros propósitos. Otras situaciones de modelado de una ruta de entrega, un programa de producción, o una comparación de

amortizaciones de préstamos, necesitan modelos más elaborados que utilizan otras herramientas de las ciencias matemáticas. Situaciones del mundo real no están organizados y etiquetados para su análisis, la formulación de modelos manejables, lo que representa este tipo de modelos, y su

análisis es adecuado un proceso creativo. Como cada dicho proceso, esto depende de la experiencia adquirida, así como creativity.Some ejemplos de tales situaciones pueden incluir:

• Estimar cuánto se necesita agua y alimentos para el socorro de emergencia en una devastada ciudad de 3 millones de personas, y cómo podría ser distribuida.

• Planificación de un torneo de tenis de mesa para 7 jugadores en un club con 4 mesas, donde cada jugador juega contra otros jugadores.

• Diseñar la disposición de los puestos en una feria de la escuela con el fin de recaudar la mayor cantidad de dinero posible.

• Análisis de la distancia de frenado de un coche.• Saldo de la cuenta de ahorros de modelado, el crecimiento de colonias de bacterias, o el

crecimiento de la inversión.• Participar en el análisis de la ruta crítica, por ejemplo, se aplica a cambio de una aeronave en un

aeropuerto.• Análisis de riesgo en situaciones tales como deportes extremos, las pandemias y el terrorismo.

• Relacionar las estadísticas de población a las predicciones individuales.En situaciones como éstas, los modelos elaborados dependen de una serie de factores: ¿Qué tan preciso una respuesta es lo que queremos o necesitamos? ¿Qué aspectos de la situación hacen

que más necesitamos para comprender, controlar u optimizar? ¿Qué recursos de tiempo y las herramientas que tenemos? La gama de modelos que podemos crear y analizar también se ve

limitado por las limitaciones de nuestros conocimientos matemáticos, estadísticos y técnicos, y nuestra capacidad de reconocer las variables y las relaciones entre ellos importantes. Diagramas

de diversos tipos, hojas de cálculo y otras tecnologías, y álgebra son herramientas poderosas para comprender y resolver problemas provenientes de diferentes tipos de situaciones del mundo

real.Uno de los conocimientos proporcionados por el modelo matemático que es esencialmente la misma estructura matemática o estadística a veces puede modelar aparentemente diferentes

situaciones. Los modelos también pueden arrojar luz sobre las propias estructuras matemáticas, por ejemplo, cuando un modelo de crecimiento de las bacterias hace más vivo el crecimiento

explosivo de la función exponencial.El ciclo de modelización básica se resume en el diagrama. Se trata de (1) la identificación de las

variables en la situación y la selección de aquellos que representan características esenciales, (2) la formulación de un modelo mediante la creación y selección de representaciones geométricas, gráficas, tabulares, algebraicas, o estadísticos que describen las relaciones entre las variables, (3) el análisis y la realización de operaciones de estas relaciones para sacar conclusiones, (4) la

interpretación de los resultados de la matemática en cuanto a la situación original, (5) la validación de las conclusiones mediante la comparación con la situación, y luego o bien mejorar el modelo o, si es , (6) información aceptable sobre las conclusiones y el razonamiento detrás de

ellos.Opciones, suposiciones y aproximaciones están presentes en todo este ciclo.

En el modelado descriptiva, un modelo simplemente describe los fenómenos o los resume en una forma compacta. Las gráficas de las observaciones son un modelo descriptivo para conocer

ejemplo, los gráficos de la temperatura global y el CO2 atmosférico a través del tiempo. Modelado analítico trata de explicar los datos sobre la base de las ideas teóricas más profundas, aunque

con parámetros que se basan empíricamente, por ejemplo, el crecimiento exponencial de colonias bacterianas (hasta los mecanismos de corte, como la contaminación o el hambre intervenir) se

sigue de una tasa de reproducción constante. Las funciones son una herramienta importante para el análisis de este tipo de problemas.

Representación gráfica de los servicios públicos, hojas de cálculo, sistemas de álgebra computacional, y el software de geometría dinámica son herramientas poderosas que pueden ser utilizados para modelar fenómenos puramente matemáticos (por ejemplo, el comportamiento de

los polinomios), así como los fenómenos físicos.Normas de modelado

Modelado se interpreta mejor no como una colección de temas aislados, sino más bien en relación con otras normas. Cómo hacer modelos matemáticos es un estándar para la Práctica de las Matemáticas, y los estándares de modelado específicos aparecen en todas las normas de la

escuela secundaria se indica mediante un símbolo de estrella ( ).★• Inicio

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High School: Th GeometríaUna comprensión de los atributos y relaciones de objetos geométricos se puede aplicar en

diversos contextos-interpretar un dibujo esquemático, la estimación de la cantidad de madera necesaria para enmarcar un techo inclinado, la representación de gráficos de ordenador, o el

diseño de un patrón de costura para el uso más eficiente del material .Aunque hay muchos tipos de geometría, la matemática escolar se dedica principalmente a la

geometría euclidiana plana, estudiaron tanto sintéticamente (sin coordenadas) y analítica (con coordenadas). Geometría euclidiana se caracteriza sobre todo por el postulado de las paralelas,

que a través de un punto exterior a una recta dada no es exactamente una línea paralela. (Geometría esférica, por el contrario, no tiene líneas paralelas.)

Durante la escuela secundaria, los estudiantes comienzan a formalizar sus experiencias geometría de la escuela primaria y secundaria, con definiciones más precisas y el desarrollo de pruebas cuidadosas. Más tarde, en la universidad algunos estudiantes a desarrollar geometrías

euclidianas y otras cuidadosamente un pequeño conjunto de axiomas.Los conceptos de congruencia, similitud, y la simetría puede entenderse desde la perspectiva de

la transformación geométrica. Fundamental son los movimientos rígidos: traslaciones, rotaciones, reflexiones, y combinaciones de los mismos, todos los cuales están aquí supone para

preservar la distancia y los ángulos (y por lo tanto las formas en general). Reflexiones y rotaciones cada explican un determinado tipo de simetría y las simetrías de un objeto ofrecer una idea de sus atributos, como cuando la simetría de reflexión de un triángulo isósceles asegura que

sus ángulos de la base son congruentes.En el enfoque adoptado aquí, dos figuras geométricas se definen para ser congruentes si hay una

secuencia de movimientos rígidos que lleva uno sobre el otro. Este es el principio de superposición. Para triángulos, la congruencia significa la igualdad de todos los

correspondientes pares de lados y todos los correspondientes pares de ángulos. En los grados medios, a través de experiencias de dibujo triángulos de condiciones dadas, los alumnos notan

maneras de especificar suficientes medidas en un triángulo para que todos los triángulos dibujados con estas medidas son congruentes. Una vez establecidos estos criterios de

congruencia de los triángulos (ASA, SAS, y SSS) usando movimientos rígidos, que pueden ser utilizados para probar teoremas sobre triángulos, cuadriláteros, y otras figuras geométricas.

Transformaciones de similitud (movimientos rígidos seguidos por dilataciones) definen similitud de la misma manera que los movimientos rígidos definen congruencia, formalizando así las ideas

de similitud "misma forma" y "factor de escala" desarrollado en los grados intermedios. Estas transformaciones conducen al criterio de similitud triángulo que dos pares de ángulos

correspondientes son congruentes.Las definiciones de seno, coseno y tangente de ángulos agudos se basan en los triángulos

rectángulos y semejanza, y con el teorema de Pitágoras, son fundamentales en muchas situaciones de la vida real y la teórica. El teorema de Pitágoras se generaliza a triángulos no

adecuados por parte de la Ley de los cosenos. En conjunto, las leyes de senos y cosenos incorporan los criterios de congruencia de triángulos para los casos en los tres tipos de

información suficiente para resolver completamente un triángulo. Además, estas leyes dan dos soluciones posibles en el caso ambiguo, lo que demuestra que Side-Side-Angle no es una geometría criterion.Analytic congruencia conecta el álgebra y la geometría, dando lugar a

potentes métodos de análisis y resolución de problemas. Al igual que la recta numérica números asociados con locales en una dimensión, un par de ejes perpendiculares asociados pares de

números con oficinas en dos dimensiones. Esta correspondencia entre las coordenadas numéricas y puntos geométricos permite que los métodos de álgebra para ser aplicados a la

geometría y viceversa. El conjunto solución de una ecuación se convierte en una curva geométrica, haciendo la visualización de una herramienta para hacer y entender el álgebra. Las

formas geométricas se pueden describir mediante ecuaciones, por lo que la manipulación algebraica en una herramienta para la comprensión geométrica, odeling, y prueba.

Transformaciones geométricas de los gráficos de las ecuaciones algebraicas corresponden a los cambios en sus ecuaciones.

Entornos de geometría dinámica proveen a los estudiantes con las herramientas experimentales y de modelización que les permitan investigar fenómenos geométricos, de la misma manera que los

sistemas de álgebra computacional les permiten experimentar con fenómenos algebraicas.

Conexiones con las ecuacionesLa correspondencia entre las coordenadas numéricas y puntos geométricos permite que los

métodos de álgebra para ser aplicados a la geometría y viceversa. El conjunto solución de una ecuación se convierte en una curva geométrica, haciendo la visualización de una herramienta

para hacer y entender el álgebra. Las formas geométricas se pueden describir mediante ecuaciones, por lo que la manipulación algebraica en una herramienta para la comprensión

geométrica, modelado y prueba.Geometría »Congruencia

Las normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.1• CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.2• CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.3• CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.4• CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.5• CCSS.Math.Content.HSG-CO.B.6• CCSS.Math.Content.HSG-CO.B.7• CCSS.Math.Content.HSG-CO.B.8• CCSS.Math.Content.HSG-CO.C.9

• CCSS.Math.Content.HSG-CO.C.10• CCSS.Math.Content.HSG-CO.C.11• CCSS.Math.Content.HSG-CO.D.12• CCSS.Math.Content.HSG-CO.D.13

Experimente con las transformaciones en el plano• CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.1 Conocer definiciones precisas de ángulo, círculo, línea

perpendicular, línea paralela, y el segmento de línea, basados en las nociones no definidas en el punto, la línea, la distancia a lo largo de una línea, y la distancia alrededor un arco circular.• CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.2 Representa transformaciones en el plano utilizando, por

ejemplo, transparencias y software de geometría, describir transformaciones como las funciones que tienen puntos en el plano que las entradas y dan otros puntos como salidas. Comparar

transformaciones que preservan la distancia y el ángulo a aquellos que no lo hacen (por ejemplo, la traducción frente tramo horizontal).

• CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.3 Dado un rectángulo, paralelogramo, trapecio o polígono regular, describir las rotaciones y reflexiones que lo llevan sobre sí mismo.

• CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.4 Desarrollar definiciones de rotaciones, reflexiones, y las traducciones en términos de ángulos, círculos, líneas perpendiculares, líneas paralelas y

segmentos de línea.• CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.5 Dada una figura geométrica y una rotación, la reflexión, o de traducción, dibujar la figura transformada usando, por ejemplo, papel cuadriculado, papel de

calcar, o el software de geometría. Especifique una secuencia de transformaciones que llevarán a una figura dada a otra.

Comprender congruencia en términos de movimientos rígidos• CCSS.Math.Content.HSG-CO.B.6 Usar descripciones geométricas de movimientos rígidos para transformar figuras y para predecir el efecto de un movimiento rígido dado en una figura dada; dado dos figuras, utilizar la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos para

decidir si son congruentes.• CCSS.Math.Content.HSG-CO.B.7 Usar la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos para mostrar que dos triángulos son congruentes si y sólo si los correspondientes pares

de lados y los pares correspondientes de ángulos son congruentes.• CCSS.Math.Content.HSG-CO.B.8 Explicar cómo los criterios de congruencia de triángulos (ASA,

SAS, y SSS) se derivan de la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos.Demostrar teoremas geométricos

• CCSS.Math.Content.HSG-CO.C.9 demostrar teoremas sobre las líneas y ángulos. Teoremas incluyen: ángulos verticales son congruentes, cuando una transversal cruza líneas paralelas, los ángulos alternos internos son congruentes y los ángulos correspondientes son congruentes, los

puntos de una mediatriz de un segmento de línea son exactamente la misma distancia de los extremos del segmento.

• CCSS.Math.Content.HSG-CO.C.10 Demostrar teoremas sobre triángulos. Teoremas incluyen: medidas de los ángulos interiores de un triángulo suma a 180 °; ángulos de la base de triángulos isósceles son congruentes; el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y la mitad de la longitud; las medianas de un triángulo se reúnen en un

punto.• CCSS.Math.Content.HSG-CO.C.11 Demostrar teoremas sobre paralelogramos. Teoremas

incluyen: los lados opuestos son congruentes, ángulos opuestos son congruentes, las diagonales de un paralelogramo bisecan, y por el contrario, los rectángulos son paralelogramos

con diagonales congruentes.Hacer construcciones geométricas

• CCSS.Math.Content.HSG-CO.D.12 Hacer construcciones geométricas formales con una variedad de herramientas y métodos (compás y una regla, cuerda, dispositivos reflectantes, papel plegado software geométrica, dinámica, etc.) Copia de un segmento, la copia de un ángulo, bisectriz de un

segmento, bisectriz de un ángulo, la construcción de líneas perpendiculares, incluyendo la mediatriz de un segmento de línea, y la construcción de una línea paralela a una recta dada por un

punto no en la línea.• CCSS.Math.Content.HSG-CO.D.13 Construir un triángulo, un cuadrado y un hexágono regular

inscrito en una circunferencia.StavGeometry »Similitud, triángulos rectángulos, y trigonometría

Las normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.1• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.2• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.3• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.B.4• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.B.5• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.C.6• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.C.7• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.C.8• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.9

• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.10• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.11

Comprender similitud en términos de transformaciones de semejanza• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.1 Comprobar experimentalmente las propiedades de

dilataciones dadas por un centro y un factor de escala:o CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.1a una dilatación lleva una línea no pasa por el centro de la

dilatación de una línea paralela, y deja una línea que pasa por el centro sin cambios.o CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.1b La dilatación de un segmento de línea es más larga o más

corta en la relación dada por el factor de escala.• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.2 Dados dos números, utilizar la definición de similitud en términos de transformaciones de semejanza para decidir si son similares; explicar mediante

transformaciones de semejanza del significado de la semejanza de triángulos como la igualdad de todos correspondientes pares de ángulos y la proporcionalidad de los correspondientes pares de

lados.• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.3 Usar las propiedades de las transformaciones de similitud

para establecer el criterio de AA por dos triángulos son similares.Demostrar teoremas que involucran similitud

• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.B.4 Demostrar teoremas sobre triángulos. Teoremas incluyen: una línea paralela a un lado de un triángulo divide los otros dos proporcionalmente, y por el contrario,

el Teorema de Pitágoras demostró el uso de semejanza de triángulos.• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.B.5 Uso congruencia y criterios de similitud de triángulos para

resolver problemas y para demostrar las relaciones en figuras geométricas.Definir las razones trigonométricas y resolver problemas relacionados con triángulos rectángulos

• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.C.6 Entender que por semejanza, índices secundarios en triángulos rectángulos son propiedad de los ángulos del triángulo, lo que lleva a las definiciones

de las razones trigonométricas de ángulos agudos.• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.C.7 Explicar y utilizar la relación entre el seno y el coseno de

ángulos complementarios.• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.C.8 uso razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras para

resolver triángulos rectángulos en problemas aplicados. ★Aplicar la trigonometría para triángulos generales

• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.9 (+) Derivar la fórmula A = 1/2 ab pecado (C) para el área de un triángulo dibujando una línea auxiliar de un vértice perpendicular al lado opuesto.

• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.10 (+) Probar las leyes de senos y cosenos y utilizarlos para resolver problemas.

• CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.11 (+) Comprender y aplicar la Ley de los senos y de la Ley de los cosenos para encontrar medidas desconocidas en triángulos rectángulos y no a la derecha

(por ejemplo, problemas de topografía, las fuerzas resultantes).Geometría »Circles

Las normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSG-C.A.1• CCSS.Math.Content.HSG-C.A.2• CCSS.Math.Content.HSG-C.A.3• CCSS.Math.Content.HSG-C.A.4• CCSS.Math.Content.HSG-C.B.5

Comprender y aplicar los teoremas sobre los círculos• CCSS.Math.Content.HSG-CA1 Demostrar que todos los círculos son similares.

• CCSS.Math.Content.HSG-CA2 Identificar y describir las relaciones entre los ángulos inscritos, radios, y los acordes. Incluir la relación entre los ángulos centrales, inscritos, y circunscrita;

ángulos inscritos en un diámetro son ángulos rectos, y el radio de un círculo es perpendicular a la tangente en que el radio se cruza con el círculo.

• CCSS.Math.Content.HSG-CA3 construir los círculos inscritos y circunscritos de un triángulo, y demostrar las propiedades de los ángulos de un cuadrilátero inscrito en un círculo.

• CCSS.Math.Content.HSG-CA4 (+) Construye una recta tangente desde un punto exterior a un círculo dado al círculo.

Encontrar longitudes de arco y áreas de los sectores de los círculos• CCSS.Math.Content.HSG-CB5 Derivar similitud utilizando el hecho de que la longitud del arco interceptado por un ángulo es proporcional al radio, y definir la medida en radianes del ángulo

que la constante de proporcionalidad; derivar la fórmula para el área de un sector.Geometría »Expresando propiedades geométricas con las ecuaciones

Las normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.A.1• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.A.2• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.A.3• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.4• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.5• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.6• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.7

Traducir entre la descripción geométrica y la ecuación de una sección cónica• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.A.1 Deducir la ecuación de un círculo de centro dado y el radio usando el teorema de Pitágoras, completar el cuadrado para encontrar el centro y el radio de un

círculo dado por una ecuación.• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.A.2 Deducir la ecuación de una parábola dado un foco y la

directriz.• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.A.3 (+) Derivar las ecuaciones de elipses e hipérbolas dados los

focos, utilizando el hecho de que la suma o diferencia de las distancias de los focos es constante.Utilizar coordenadas para demostrar teoremas geométricos simples algebraicamente

• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.4 Uso coordina probar teoremas geométricos simples algebraica. Por ejemplo, probar o refutar que una figura definida por cuatro puntos dados en el plano de coordenadas es un rectángulo, probar o refutar que el punto (1, √ 3) se encuentra en el

círculo centrado en el origen y que contiene el punto (0, 2 ).• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.5 Demostrar los criterios de pendiente de líneas paralelas y perpendiculares, y utilizarlos para resolver problemas geométricos (por ejemplo, encontrar la

ecuación de una recta paralela o perpendicular a una recta dada que pasa a través de un punto dado).

• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.6 encontrar el punto en un segmento de recta dirigido entre dos puntos dados que divide el segmento en una razón dada.

• CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.7 utilizar coordenadas para calcular los perímetros de los polígonos y áreas de triángulos y rectángulos, por ejemplo, utilizando la fórmula de la distancia.

★Geometría »Medición geométrica y Dimensiones

Las normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSG-GMD.A.1• CCSS.Math.Content.HSG-GMD.A.2• CCSS.Math.Content.HSG-GMD.A.3• CCSS.Math.Content.HSG-GMD.B.4

Explicar las fórmulas de volumen y utilizarlos para resolver problemas• CCSS.Math.Content.HSG-GMD.A.1 Dale una discusión informal de las fórmulas para la

circunferencia de un círculo, el área de un círculo, el volumen de un cilindro, pirámide y cono. Usar argumentos disección, principio de Cavalieri y argumentos límite informales.

• CCSS.Math.Content.HSG-GMD.A.2 (+) Dar una discusión informal con el principio de Cavalieri para las fórmulas para el volumen de una esfera y otras figuras sólidas.

• CCSS.Math.Content.HSG-GMD.A.3 utilizar fórmulas de volumen de cilindros, pirámides, conos y esferas para resolver problemas. ★

Visualizar las relaciones entre los objetos bidimensionales y tridimensionales• CCSS.Math.Content.HSG-GMD.B.4 Identificar las formas de las secciones transversales de dos

dimensiones de los objetos tridimensionales, e identificar objetos tridimensionales generados por rotaciones de objetos bidimensionales.

Geometría »Modelado con geometríaLas normas en este ámbito:

• CCSS.Math.Content.HSG-MG.A.1• CCSS.Math.Content.HSG-MG.A.2• CCSS.Math.Content.HSG-MG.A.3

Aplicar conceptos geométricos en situaciones de modelado• CCSS.Math.Content.HSG-MG.A.1 Usar formas geométricas, sus medidas, y sus propiedades para describir objetos (por ejemplo, el modelado de un tronco de árbol o de un torso humano

como un cilindro). ★• CCSS.Math.Content.HSG-MG.A.2 Aplicar conceptos de densidad basado en el área y el volumen en situaciones de modelado (por ejemplo, las personas por milla cuadrada, BTU por pie cúbico).

★• CCSS.Math.Content.HSG-MG.A.3 Aplicar métodos geométricos para resolver problemas de

diseño (por ejemplo, el diseño de un objeto o estructura para satisfacer las limitaciones físicas o minimizar costos, trabajar con sistemas de redes tipográficas basadas en ratios). ★

 High School:

  Estadísticas y Probabilidades » Introducción

Las decisiones o predicciones se basan a menudo en datos números en contexto. Estas decisiones o predicciones sería fácil si los datos siempre se envían un mensaje claro, pero el

mensaje es a menudo oscurecida por la variabilidad. Estadísticas proporciona herramientas para describir la variabilidad de los datos y para la toma de decisiones informadas que toman en

cuenta.Los datos se recogen, muestra, resumida, examinados e interpretados para descubrir patrones y

desviaciones de los patrones. Los datos cuantitativos se pueden describir en términos de las características principales: las medidas de la forma, el centro, y la propagación. La forma de una

distribución de datos podría ser descrito como simétrica, asimétrica, plana, o en forma de campana, y que podría ser resumida por un centro de medición estadística (por ejemplo, media o mediana) y una propagación de medición estadística (tales como la desviación estándar o rango intercuartil ). Las diferentes distribuciones pueden compararse numéricamente utilizando estas

estadísticas y comparación visual mediante gráficos. El conocimiento del centro y de propagación no son suficientes para describir una distribución. Que las estadísticas para

comparar, que las parcelas que utilizan y cuáles son los resultados de una comparación podría significar, dependerá de la cuestión a investigar, y las acciones de la vida real que se deben

tomar.La aleatorización tiene dos usos importantes en la elaboración de conclusiones estadísticas. En primer lugar, la recogida de datos a partir de una muestra aleatoria de una población hace que

sea posible llegar a conclusiones válidas sobre toda la población, teniendo en cuenta la variabilidad. En segundo lugar, al azar la asignación de individuos a diferentes tratamientos

permite una comparación válida de la eficacia de estos tratamientos. Un resultado estadísticamente significativo es uno que es poco probable que sea debido al azar, y esto puede

ser evaluado sólo bajo la condición de aleatoriedad. Las condiciones en que se recogen los datos son importantes para sacar conclusiones de los datos y en la revisión crítica de los usos de las estadísticas en los medios de comunicación públicos y otros informes, es importante tener en cuenta el diseño del estudio, cómo se recopilaron los datos y los análisis empleados, así como

los resúmenes de los datos y las conclusiones extraídas.Procesos aleatorios pueden describirse matemáticamente mediante el uso de un modelo de

probabilidad: una lista o descripción de los resultados posibles (el espacio muestral), cada una de las cuales se le asigna una probabilidad. En situaciones como lanzar una moneda, rodando un

dado, o robar una carta, podría ser razonable suponer diversos resultados son igualmente probables. En un modelo de probabilidad, los puntos de muestreo representan los resultados y se

combinan para formar los acontecimientos; probabilidades de eventos se pueden calcular aplicando la suma y la multiplicación de las Reglas. La interpretación de estas probabilidades se

basa en una comprensión de la independencia y la probabilidad condicional, que puede ser abordado mediante el análisis de tablas de doble entrada.

La tecnología juega un papel importante en la estadística y la probabilidad, haciendo posible la generación de gráficos, funciones de regresión y coeficientes de correlación, y para simular los

posibles resultados en un corto período de tiempo.Conexiones con funciones y Modelado

Las funciones pueden ser utilizados para describir los datos, si los datos sugieren una relación lineal, la relación puede ser modelado con una línea de regresión, y su fuerza y la dirección se

puede expresar a través de un coeficiente de correlación.ndardsStatistics y Probabilidad »Interpretación categóricas y cuantitativa de datos

Las normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.1• CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.2• CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.3• CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.4• CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.5• CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.6• CCSS.Math.Content.HSS-ID.C.7• CCSS.Math.Content.HSS-ID.C.8• CCSS.Math.Content.HSS-ID.C.9

Resumir, representar e interpretar datos en un solo cargo o medida de la variable• CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.1 Representa datos con parcelas en la recta numérica real

(diagramas de puntos, histogramas y diagramas de caja).• CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.2 utilizar las estadísticas correspondientes a la forma de la

distribución de datos para comparar centro (mediana, media) y la extensión (rango intercuartílico, desviación estándar) de dos o más conjuntos de datos diferentes.

Top of Form• CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.3 Interpretar diferencias en la forma, el centro, y se distribuyen en el contexto de los conjuntos de datos, que representan los posibles efectos de los puntos de datos extremos (outliers).• CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.4 Usar la media y la desviación estándar de un conjunto de datos para ajustarse a una distribución normal para estimar los porcentajes de población. Reconocer que hay conjuntos de datos para los que este procedimiento no es apropiado. Usar calculadoras, hojas de cálculo y tablas para estimar las áreas bajo la curva normal.Resumir, representar e interpretar datos de dos variables categóricas y cuantitativas• CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.5 Resumir datos categóricos para dos categorías de tablas de frecuencias de doble vía. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluyendo frecuencias relativas conjuntas, marginales, y condicional). Reconocer posibles asociaciones y las tendencias en los datos.• CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.6 Representa los datos de dos variables cuantitativas en un gráfico de dispersión, y describir cómo se relacionan las variables.o CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.6a Ajuste una función a los datos, funciones de uso ajustaron a los datos para resolver problemas en el contexto de los datos. Uso de las funciones dadas o elegir una función sugerido por el contexto. Hacer hincapié en los modelos lineales, cuadráticas y exponenciales.o CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.6b Informalmente evaluar el ajuste de una función mediante el trazado y el análisis de residuos.o CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.6c Ajustar una función lineal de un gráfico de dispersión que sugiere una asociación lineal.Interpretar los modelos lineales• CCSS.Math.Content.HSS-ID.C.7 Interpretar la pendiente (tasa de cambio) y el intercepto (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos.• CCSS.Math.Content.HSS-ID.C.8 Compute (usando la tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal.• CCSS.Math.Content.HSS-ID.C.9 Distinguir entre correlación y causalidad.Estadísticas y Probabilidades »Hacer inferencias y justificar conclusionesLas normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSS-IC.A.1• CCSS.Math.Content.HSS-IC.A.2• CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.3• CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.4• CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.5• CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.6Comprender y evaluar los procesos que subyacen al azar experimentos estadísticos• CCSS.Math.Content.HSS-IC.A.1 Entender las estadísticas como un proceso para hacer inferencias acerca de los parámetros de población sobre la base de una muestra aleatoria de la población.• CCSS.Math.Content.HSS-IC.A.2 Decidir si un modelo determinado es consistente con los resultados de un proceso de generación de datos dada, por ejemplo, el uso de la simulación. Por ejemplo, un modelo dice una moneda hilado caídas encabeza con una probabilidad de 0,5. ¿Un resultado de 5 colas en una fila causar a cuestionar el modelo?Hacer inferencias y justificar conclusiones a partir de las encuestas por muestreo, experimentos y estudios observacionales• CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.3 Reconocer los propósitos y las diferencias entre las encuestas por muestreo, experimentos y estudios observacionales, explica cómo la asignación al azar se refiere a cada uno.• CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.4 utilizan datos de una encuesta por muestreo para estimar una media poblacional o la proporción, desarrollar un margen de error a través del uso de modelos de simulación para el muestreo aleatorio.• CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.5 utilizan datos de un experimento aleatorio para comparar dos

tratamientos, el uso de simulaciones para decidir si las diferencias entre los parámetros son significativos.• CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.6 evaluar los informes sobre la base de datos.Estadísticas y Probabilidades »condicional Probabilidad y las reglas de la probabilidadLas normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.1• CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.2• CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.3• CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.4• CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.5• CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.6• CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.7• CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.8• CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.9Comprender la independencia y la probabilidad condicional y los utilizan para interpretar los datos• CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.1 describir eventos como subconjuntos de un espacio muestral (el conjunto de resultados) con características (o categorías) de los resultados, o como uniones, intersecciones, o complementos de otros eventos ( "o", "y", "no").• CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.2 Entender que dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que A y B ocurren juntos es el producto de sus probabilidades, y utilizar esa caracterización para determinar si son independientes.• CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.3 Comprender la probabilidad condicional de A dado B como P (A y B) / P (B), e interpretar la independencia de A y B que decir que la probabilidad condicional de A dado B es la misma que la probabilidad de A, y la probabilidad condicional de B dado A es la misma que la probabilidad de B.• CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.4 Construir e interpretar tablas de frecuencias de dos vías de datos cuando dos categorías están asociadas con cada objeto que se clasifica. Utilice el cuadro de doble entrada como un espacio de muestra para decidir si los eventos son independientes y probabilidades condicionales aproximados. Por ejemplo, recolectar datos de una muestra aleatoria de estudiantes en su escuela sobre su tema favorito entre matemáticas, ciencias, e Inglés. Estimar la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar de la escuela favorecerá la ciencia ya que el estudiante está en décimo grado. Haga lo mismo con otros temas y comparar los resultados.• CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.5 Reconocer y explicar los conceptos de probabilidad condicional e independencia en el lenguaje cotidiano y en situaciones cotidianas. Por ejemplo, comparar la probabilidad de tener cáncer de pulmón, si usted es un fumador, con la posibilidad de ser un fumador si usted tiene cáncer de pulmón.Utilice las reglas de la probabilidad para calcular probabilidades de sucesos compuestos.• CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.6 Encuentre la probabilidad condicional de A dado B como la fracción de los resultados de B, que también pertenecen a A, e interpretar la respuesta en términos del modelo.• CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.7 aplicar la regla de adición, P (A o B) = P (A) + P (B) - P (A y B), e interpretar la respuesta en términos de el modelo.• CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.8 (+) Aplicar la regla general de multiplicación en un modelo de probabilidad uniforme, P (A y B) = P (A) P (B | A) = P (B) P (A | B), e interpretar la respuesta en términos del modelo.• CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.9 (+) Usar permutaciones y combinaciones para calcular probabilidades de sucesos compuestos y resolver problemas.Estadísticas y Probabilidades »Usando la probabilidad para tomar decisionesLas normas en este ámbito:• CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.1• CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.2• CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.3• CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.4• CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.5

• CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.6• CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.7Calcular los valores esperados y utilizarlos para resolver problemas• CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.1 (+) Definir una variable aleatoria de una cantidad de interés mediante la asignación de un valor numérico a cada evento en un espacio de la muestra; gráfico de la distribución de probabilidad correspondiente utilizando las mismas pantallas gráficas como para la distribución de datos.• CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.2 (+) Calcular el valor esperado de una variable aleatoria, lo interpretan como la media de la distribución de probabilidad.• CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.3 (+) Fomentar una distribución de probabilidad de una variable aleatoria definida por un espacio de muestra en la que las probabilidades teóricas se pueden calcular, hallar el valor esperado. Por ejemplo, encontrar la distribución teórica de probabilidad para el número de aciertos obtenidos por adivinar en las cinco preguntas de un examen de opción múltiple que cada pregunta tiene cuatro opciones, y encontrar el grado esperado bajo diferentes esquemas de clasificación.• CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.4 (+) Fomentar una distribución de probabilidad de una variable aleatoria definida por un espacio de muestra en la que se asignan probabilidades empíricamente; encontrar el valor esperado. Por ejemplo, encontrar una distribución de datos actualizada sobre el número de televisores por hogar en los Estados Unidos, y calcular el número esperado de conjuntos por hogar. ¿Cuántos televisores se puede esperar encontrar en 100 hogares seleccionados al azar?Utilice probabilidad para evaluar los resultados de las decisiones• CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.5 (+) Pesar los posibles resultados de una decisión de asignar probabilidades a los valores de rentabilidad y la búsqueda de los valores esperados.o CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.5a Encuentra el pago esperado para un juego de azar. Por ejemplo, encontrar las ganancias esperadas de un billete de lotería estatal o de un partido en un restaurante de comida rápida.o CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.5b evaluar y comparar las estrategias sobre la base de los valores esperados. Por ejemplo, comparar un deducible alto frente a una póliza de seguro de automóvil de bajo deducible utilizando diversos, pero razonable, las probabilidades de tener un menor o un accidente grave.• CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.6 (+) Usar probabilidades de tomar decisiones justas (por ejemplo, la elaboración por lotes, utilizando un generador de números aleatorios).• CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.7 (+) Analizar las decisiones y estrategias que utilizan los conceptos de probabilidad (por ejemplo, pruebas de productos, pruebas médicas, tirando de un portero de hockey en el final de un juego).Deshacer cambiosAlpha

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Mathematics » High School: Number and Quantity » IntroductionNumbers and Number Systems.

During the years from kindergarten to eighth grade, students must repeatedly extend their conception of number. At first, “number” means “counting number”: 1, 2, 3, … Soon after that, 0 is used to represent “none” and the whole numbers are formed by the counting numbers together with zero. The next extension is fractions. At first, fractions are barely numbers and tied strongly to pictorial representations. Yet by the time students understand division of fractions, they have a strong concept of fractions as numbers and have connected them, via their decimal representations, with the base-ten system used to represent the whole numbers. During middle school, fractions are augmented by negative fractions to form the rational numbers. In Grade 8, students extend this system once more, augmenting the rational numbers with the irrational numbers to form the real numbers. In high school, students will be exposed to yet another extension of number, when the real numbers are augmented by the imaginary numbers to form the complex numbers.

This ascent through number systems makes it fair to ask: what does the word number mean that it can mean all of these things? One possible answer is that a number is something that can be used to do mathematics: calculate, solve equations, or represent measurements.

Although the notion of number changes, the four operations stay the same in important ways. The commutative, associative, and distributive properties extend the properties of operations to the integers, rational numbers, real numbers, and complex numbers. Extending the properties of exponents leads to new and productive notation; for example, since the properties of exponents suggest that (51/3)3 = 5(1/3)·3 = 51 = 5, we define 51/3 to be the cube root of 5.

Calculators are useful in this strand to generate data for numerical experiments, to help understand the workings of matrix, vector, and complex number algebra, and to experiment with non-integer exponents.

Quantities.

In their work in measurement up through Grade 8, students primarily measure commonly used attributes such as length, area, and volume. In high school, students encounter a wider variety of units in modeling, e.g. acceleration, currency conversions, derived quantities such as person-hours and heating degree days, social science rates such as per-capita income, and rates in everyday life such as points scored per game or batting averages. They also encounter novel situations in which they themselves must conceive the attributes of interest. For example, to find a good measure of overall highway safety, they might propose measures such as fatalities per year, fatalities per year per driver, or fatalities per vehicle-mile traveled. Such a conceptual process might be called quantification. Quantification is important for science, as when surface area suddenly “stands out” as an important variable in evaporation. Quantification is also important for companies, which must conceptualize relevant attributes and create or choose suitable measures for them

Number and Quantity » The Real Number SystemStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSN-RN.A.1

CCSS.Math.Content.HSN-RN.A.2

CCSS.Math.Content.HSN-RN.B.3

Extend the properties of exponents to rational exponents.

CCSS.Math.Content.HSN-RN.A.1 Explain how the definition of the meaning of rational exponents follows from extending the properties of integer exponents to those values, allowing for a notation for radicals in terms of rational exponents. For example, we define 51/3 to be the cube root of 5 because we want (51/3)3 = 5(1/3)3 to hold, so (51/3)3 must equal 5.

CCSS.Math.Content.HSN-RN.A.2 Rewrite expressions involving radicals and rational exponents using the properties of exponents.

Use properties of rational and irrational numbers.

CCSS.Math.Content.HSN-RN.B.3 Explain why the sum or product of two rational numbers is rational; that the sum of a rational number and an irrational number is irrational; and that the product of a nonzero rational number and an irrational number is irrational.

Number and Quantity » Quantities*Standards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSN-Q.A.1

CCSS.Math.Content.HSN-Q.A.2

CCSS.Math.Content.HSN-Q.A.3

Reason quantitatively and use units to solve problems.

CCSS.Math.Content.HSN-Q.A.1 Use units as a way to understand problems and to guide the solution of multi-step problems; choose and interpret units consistently in formulas; choose and interpret the scale and the origin in graphs and data displays.

CCSS.Math.Content.HSN-Q.A.2 Define appropriate quantities for the purpose of descriptive modeling.

CCSS.Math.Content.HSN-Q.A.3 Choose a level of accuracy appropriate to limitations on measurement when reporting quantities.

Number and Quantity » The Complex Number SystemStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSN-CN.A.1

CCSS.Math.Content.HSN-CN.A.2

CCSS.Math.Content.HSN-CN.A.3

CCSS.Math.Content.HSN-CN.B.4

CCSS.Math.Content.HSN-CN.B.5

CCSS.Math.Content.HSN-CN.B.6

CCSS.Math.Content.HSN-CN.C.7

CCSS.Math.Content.HSN-CN.C.8

CCSS.Math.Content.HSN-CN.C.9

Perform arithmetic operations with complex numbers.

CCSS.Math.Content.HSN-CN.A.1 Know there is a complex number i such that i2 = –1, and every complex number has the form a + bi with a and b real.

CCSS.Math.Content.HSN-CN.A.2 Use the relation i2 = –1 and the commutative, associative, and distributive properties to add, subtract, and multiply complex numbers.

CCSS.Math.Content.HSN-CN.A.3 (+) Find the conjugate of a complex number; use conjugates to find moduli and quotients of complex numbers.

Represent complex numbers and their operations on the complex plane.

CCSS.Math.Content.HSN-CN.B.4 (+) Represent complex numbers on the complex plane in rectangular and polar form (including real and imaginary numbers), and explain why the rectangular and polar forms of a given complex number represent the same number.

CCSS.Math.Content.HSN-CN.B.5 (+) Represent addition, subtraction, multiplication, and conjugation of complex numbers geometrically on the complex plane; use properties of this representation for computation. For example, (-1 + √3 i)3 = 8 because (-1 + √3 i) has modulus 2 and argument 120°.

CCSS.Math.Content.HSN-CN.B.6 (+) Calculate the distance between numbers in the complex plane as the modulus of the difference, and the midpoint of a segment as the average of the numbers at its endpoints.

Use complex numbers in polynomial identities and equations.

CCSS.Math.Content.HSN-CN.C.7 Solve quadratic equations with real coefficients that have complex solutions.

CCSS.Math.Content.HSN-CN.C.8 (+) Extend polynomial identities to the complex numbers. For example, rewrite x2 + 4 as (x + 2i)(x – 2i).

CCSS.Math.Content.HSN-CN.C.9 (+) Know the Fundamental Theorem of Algebra; show that it is true for quadratic polynomials.

Number and Quantity » Vector & Matrix Quantities Standards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSN-VM.A.1

CCSS.Math.Content.HSN-VM.A.2

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CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.11

CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.12

Represent and model with vector quantities.

CCSS.Math.Content.HSN-VM.A.1 (+) Recognize vector quantities as having both magnitude and direction. Represent vector quantities by directed line segments, and use appropriate symbols for vectors and their magnitudes (e.g., v, |v|, ||v||, v).

CCSS.Math.Content.HSN-VM.A.2 (+) Find the components of a vector by subtracting the coordinates of an initial point from the coordinates of a terminal point.

CCSS.Math.Content.HSN-VM.A.3 (+) Solve problems involving velocity and other quantities that can be represented by vectors.

Perform operations on vectors.

CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.4 (+) Add and subtract vectors.

o CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.4a Add vectors end-to-end, component-wise, and by the parallelogram rule. Understand that the magnitude of a sum of two vectors is typically not the sum of the magnitudes.

o CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.4b Given two vectors in magnitude and direction form, determine the magnitude and direction of their sum.

o CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.4c Understand vector subtraction v – w as v + (–w), where –w is the additive inverse of w, with the same magnitude as w and pointing in the opposite direction. Represent vector subtraction graphically by connecting the tips in the appropriate order, and perform vector subtraction component-wise.

CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.5 (+) Multiply a vector by a scalar.

o CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.5a Represent scalar multiplication graphically by scaling vectors and possibly reversing their direction; perform scalar multiplication component-wise, e.g., as c(vx, vy) = (cvx, cvy).

o CCSS.Math.Content.HSN-VM.B.5b Compute the magnitude of a scalar multiple cv using ||cv|| = |c|v. Compute the direction of cv knowing that when |c|v ≠ 0, the direction of cv is either along v (for c > 0) or against v (for c < 0).

Perform operations on matrices and use matrices in applications.

CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.6 (+) Use matrices to represent and manipulate data, e.g., to represent payoffs or incidence relationships in a network.

CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.7 (+) Multiply matrices by scalars to produce new matrices, e.g., as when all of the payoffs in a game are doubled.

CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.8 (+) Add, subtract, and multiply matrices of appropriate dimensions.

CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.9 (+) Understand that, unlike multiplication of numbers, matrix multiplication for square matrices is not a commutative operation, but still satisfies the associative and distributive properties.

CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.10 (+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplication similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.

CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.11 (+) Multiply a vector (regarded as a matrix with one column) by a matrix of suitable dimensions to produce another vector. Work with matrices as transformations of vectors.

CCSS.Math.Content.HSN-VM.C.12 (+) Work with 2 × 2 matrices as a transformations of the plane, and interpret the absolute value of the determinant in terms of area.

High School: Algebra »

IntroductionExpressions.

An expression is a record of a computation with numbers, symbols that represent numbers, arithmetic operations, exponentiation, and, at more advanced levels, the operation of evaluating a function.

Conventions about the use of parentheses and the order of operations assure that each expression is unambiguous. Creating an expression that describes a computation involving a general quantity requires the ability to express the computation in general terms, abstracting from specific instances.

Reading an expression with comprehension involves analysis of its underlying structure. This may suggest a different but equivalent way of writing the expression that exhibits some different aspect of its meaning. For example, p + 0.05p can be interpreted as the addition of a 5% tax to a price p. Rewriting p + 0.05p as 1.05p shows that adding a tax is the same as multiplying the price by a constant factor.

Algebraic manipulations are governed by the properties of operations and exponents, and the conventions of algebraic notation. At times, an expression is the result of applying operations to simpler expressions. For example, p + 0.05p is the sum of the simpler expressions p and 0.05p. Viewing an expression as the result of operation on simpler expressions can sometimes clarify its underlying structure.

A spreadsheet or a computer algebra system (CAS) can be used to experiment with algebraic expressions, perform complicated algebraic manipulations, and understand how algebraic manipulations behave.

Equations and inequalities.

An equation is a statement of equality between two expressions, often viewed as a question asking for which values of the variables the expressions on either side are in fact equal. These values are the solutions to the equation. An identity, in contrast, is true for all values of the variables; identities are often developed by rewriting an expression in an equivalent form.

The solutions of an equation in one variable form a set of numbers; the solutions of an equation in two variables form a set of ordered pairs of numbers, which can be plotted in the coordinate plane. Two or more equations and/or inequalities form a system. A solution for such a system must satisfy every equation and inequality in the system.

An equation can often be solved by successively deducing from it one or more simpler equations. For example, one can add the same constant to both sides without changing the solutions, but squaring both sides might lead to extraneous solutions. Strategic competence in solving includes looking ahead for productive manipulations and anticipating the nature and number of solutions.

Some equations have no solutions in a given number system, but have a solution in a larger system. For example, the solution of x + 1 = 0 is an integer, not a whole number; the solution of 2x + 1 = 0 is a rational number, not an integer; the solutions of x2 – 2 = 0 are real numbers, not rational numbers; and the solutions of x2 + 2 = 0 are complex numbers, not real numbers.

The same solution techniques used to solve equations can be used to rearrange formulas. For example, the formula for the area of a trapezoid, A = ((b1+b2)/2)h, can be solved for h using the same deductive process. Inequalities can be solved by reasoning about the properties of inequality. Many, but not all, of the properties of equality continue to hold for inequalities and can be useful in solving them.

Connections to Functions and Modeling. Expressions can define functions, and equivalent expressions define the same function. Asking when two functions have the same value for the same input leads to an equation; graphing the two functions allows for finding approximate solutions of the equation. Converting a verbal description to an equation, inequality, or system of these is an essential skill in modeling.

Algebra » Seeing Structure in ExpressionsStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSA-SSE.A.1

CCSS.Math.Content.HSA-SSE.A.2

CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.3

CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.4

Interpret the structure of expressions.

CCSS.Math.Content.HSA-SSE.A.1 Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★

o CCSS.Math.Content.HSA-SSE.A.1a Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients.

o CCSS.Math.Content.HSA-SSE.A.1b Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

CCSS.Math.Content.HSA-SSE.A.2 Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – (y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

Write expressions in equivalent forms to solve problems.

CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.3 Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression.★

o CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.3a Factor a quadratic expression to reveal the zeros of the function it defines.

o CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.3b Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines.

o CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.3c Use the properties of exponents to transform expressions for exponential functions. For example the expression 1.15t can be rewritten as (1.151/12)12t ≈ 1.01212t to reveal the approximate equivalent monthly interest rate if the annual rate is 15%.

CCSS.Math.Content.HSA-SSE.B.4 Derive the formula for the sum of a finite geometric series (when the common ratio is not 1), and use the formula to solve problems. For example, calculate mortgage payments.★

Algebra » Arithmetic with Polynomials & Rational ExpressionsStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSA-APR.A.1

CCSS.Math.Content.HSA-APR.B.2

CCSS.Math.Content.HSA-APR.B.3

CCSS.Math.Content.HSA-APR.C.4

CCSS.Math.Content.HSA-APR.C.5

CCSS.Math.Content.HSA-APR.D.6

CCSS.Math.Content.HSA-APR.D.7

Perform arithmetic operations on polynomials.

CCSS.Math.Content.HSA-APR.A.1 Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

Understand the relationship between zeros and factors of polynomials.

CCSS.Math.Content.HSA-APR.B.2 Know and apply the Remainder Theorem: For a polynomial p(x) and a number a, the remainder on division by x – a is p(a), so p(a) = 0 if and only if (x – a) is a factor of p(x).

CCSS.Math.Content.HSA-APR.B.3 Identify zeros of polynomials when suitable factorizations are available, and use the zeros to construct a rough graph of the function defined by the polynomial.

Use polynomial identities to solve problems.

CCSS.Math.Content.HSA-APR.C.4 Prove polynomial identities and use them to describe numerical relationships. For example, the polynomial identity (x2 + y2)2 = (x2 – y2)2 + (2xy)2 can be used to generate Pythagorean triples.

CCSS.Math.Content.HSA-APR.C.5 (+) Know and apply the Binomial Theorem for the expansion of (x + y)n in powers of x and y for a positive integer n, where x and y are any numbers, with coefficients determined for example by Pascal’s Triangle.1

Rewrite rational expressions.

CCSS.Math.Content.HSA-APR.D.6 Rewrite simple rational expressions in different forms; write a(x)/b(x) in the form q(x) + r(x)/b(x), where a(x), b(x), q(x), and r(x) are polynomials with the degree of r(x) less than the degree of b(x), using inspection, long division, or, for the more complicated examples, a computer algebra system.

CCSS.Math.Content.HSA-APR.D.7 (+) Understand that rational expressions form a system analogous to the rational numbers, closed under addition, subtraction, multiplication, and division by a nonzero rational expression; add, subtract, multiply, and divide rational expressions.

: Algebra » Creating Equations✭

Standards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.1

CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.2

CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.3

CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.4

Create equations that describe numbers or relationships.

CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.1 Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.2 Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.3 Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or nonviable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

CCSS.Math.Content.HSA-CED.A.4 Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

Algebra » Reasoning with Equations & InequalitiesStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSA-REI.A.1

CCSS.Math.Content.HSA-REI.A.2

CCSS.Math.Content.HSA-REI.B.3

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CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.5

CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.6

CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.7

CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.8

CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.9

CCSS.Math.Content.HSA-REI.D.10

CCSS.Math.Content.HSA-REI.D.11

CCSS.Math.Content.HSA-REI.D.12

Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning.

CCSS.Math.Content.HSA-REI.A.1 Explain each step in solving a simple equation as following from the equality of numbers asserted at the previous step, starting from the assumption that the original equation has a solution. Construct a viable argument to justify a solution method.

CCSS.Math.Content.HSA-REI.A.2 Solve simple rational and radical equations in one variable, and give examples showing how extraneous solutions may arise.

Solve equations and inequalities in one variable.

CCSS.Math.Content.HSA-REI.B.3 Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

CCSS.Math.Content.HSA-REI.B.4 Solve quadratic equations in one variable.

o CCSS.Math.Content.HSA-REI.B.4a Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)2 = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form.

o CCSS.Math.Content.HSA-REI.B.4b Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x2 = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi for real numbers a and b.

Solve systems of equations.

CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.5 Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.6 Solve systems of linear equations exactly and approximately (e.g., with graphs), focusing on pairs of linear equations in two variables.

CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.7 Solve a simple system consisting of a linear equation and a quadratic equation in two variables algebraically and graphically. For example, find the points of intersection between the line y = –3x and the circle x2 + y2 = 3.

CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.8 (+) Represent a system of linear equations as a single matrix equation in a vector variable.

CCSS.Math.Content.HSA-REI.C.9 (+) Find the inverse of a matrix if it exists and use it to solve systems of linear equations (using technology for matrices of dimension 3 × 3 or greater).

Represent and solve equations and inequalities graphically.

CCSS.Math.Content.HSA-REI.D.10 Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).

CCSS.Math.Content.HSA-REI.D.11 Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions approximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

CCSS.Math.Content.HSA-REI.D.12 Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.

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The Standards

High School: Functions In The States

ResoIntroductionFunctions describe situations where one quantity determines another. For example, the return on $10,000 invested at an annualized percentage rate of 4.25% is a function of the length of time the money is invested. Because we continually make theories about dependencies between quantities in nature and society, functions are important tools in the construction of mathematical models.

In school mathematics, functions usually have numerical inputs and outputs and are often defined by an algebraic expression. For example, the time in hours it takes for a car to drive 100 miles is a function of the car’s speed in miles per hour, v; the rule T(v) = 100/v expresses this relationship algebraically and defines a function whose name is T.

The set of inputs to a function is called its domain. We often infer the domain to be all inputs for which the expression defining a function has a value, or for which the function makes sense in a given context.

A function can be described in various ways, such as by a graph (e.g., the trace of a seismograph); by a verbal rule, as in, “I’ll give you a state, you give me the capital city;” by an algebraic expression like f(x) = a + bx; or by a recursive rule. The graph of a function is often a useful way of visualizing the relationship of the function models, and manipulating a mathematical expression for a function can throw light on the function’s properties.

Functions presented as expressions can model many important phenomena. Two important families of functions characterized by laws of growth are linear functions, which grow at a constant rate, and exponential functions, which grow at a constant percent rate. Linear functions with a constant term of zero describe proportional relationships.

A graphing utility or a computer algebra system can be used to experiment with properties of these functions and their graphs and to build computational models of functions, including recursively defined functions.

urcesFunctions » Interpreting FunctionsStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSF-IF.A.1

CCSS.Math.Content.HSF-IF.A.2

CCSS.Math.Content.HSF-IF.A.3

CCSS.Math.Content.HSF-IF.B.4

CCSS.Math.Content.HSF-IF.B.5

CCSS.Math.Content.HSF-IF.B.6

CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7

CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.8

CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.9

Understand the concept of a function and use function notation.

CCSS.Math.Content.HSF-IF.A.1 Understand that a function from one set (called the domain) to another set (called the range) assigns to each element of the domain exactly one element of the range. If f is a function and x is an element of its domain, then f(x) denotes the output of f corresponding to the input x. The graph of f is the graph of the equation y = f(x).

CCSS.Math.Content.HSF-IF.A.2 Use function notation, evaluate functions for inputs in their domains, and interpret statements that use function notation in terms of a context.

CCSS.Math.Content.HSF-IF.A.3 Recognize that sequences are functions, sometimes defined recursively, whose domain is a subset of the integers. For example, the Fibonacci sequence is defined recursively by f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) for n ≥ 1.

Interpret functions that arise in applications in terms of the context.

CCSS.Math.Content.HSF-IF.B.4 For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negative; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity.★

CCSS.Math.Content.HSF-IF.B.5 Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function.★

CCSS.Math.Content.HSF-IF.B.6 Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph.★

Analyze functions using different representations.

CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7 Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases.★

o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7a Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima.

o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7b Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions.

o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7c Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior.

o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7d (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable factorizations are available, and showing end behavior.

o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.7e Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.8 Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function.

o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.8a Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context.

o CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.8b Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

CCSS.Math.Content.HSF-IF.C.9 Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

Functions » Building FunctionsStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.1

CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.2

CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.3

CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.4

CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.5

Build a function that models a relationship between two quantities.

CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.1 Write a function that describes a relationship between two quantities.★

o CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.1a Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context.

o CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.1b Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model.

o CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.1c (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

CCSS.Math.Content.HSF-BF.A.2 Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms.★

Build new functions from existing functions.

CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.3 Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.4 Find inverse functions.

o CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.4a Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1.

o CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.4b (+) Verify by composition that one function is the inverse of another.

o CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.4c (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse.

o CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.4d (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

CCSS.Math.Content.HSF-BF.B.5 (+) Understand the inverse relationship between exponents and logarithms and use this relationship to solve problems involving logarithms and exponents.

Functions » Linear, Quadratic, & Exponential Models*Standards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.1

CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.2

CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.3

CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.4

CCSS.Math.Content.HSF-LE.B.5

Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems.

CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.1 Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions.

o CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.1a Prove that linear functions grow by equal differences over equal intervals, and that exponential functions grow by equal factors over equal intervals.

o CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.1b Recognize situations in which one quantity changes at a constant rate per unit interval relative to another.

o CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.1c Recognize situations in which a quantity grows or decays by a constant percent rate per unit interval relative to another.

CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.2 Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).

CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.3 Observe using graphs and tables that a quantity increasing exponentially eventually exceeds a quantity increasing linearly, quadratically, or (more generally) as a polynomial function.

CCSS.Math.Content.HSF-LE.A.4 For exponential models, express as a logarithm the solution to abct = d where a, c, and d are numbers and the base b is 2, 10, or e; evaluate the logarithm using technology.

Interpret expressions for functions in terms of the situation they model.

CCSS.Math.Content.HSF-LE.B.5 Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context.

Functions » Trigonometric FunctionsStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.1

CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.2

CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.3

CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.4

CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.5

CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.6

CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.7

CCSS.Math.Content.HSF-TF.C.8

CCSS.Math.Content.HSF-TF.C.9

Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle.

CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.1 Understand radian measure of an angle as the length of the arc on the unit circle subtended by the angle.

CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.2 Explain how the unit circle in the coordinate plane enables the extension of trigonometric functions to all real numbers, interpreted as radian measures of angles traversed counterclockwise around the unit circle.

CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.3 (+) Use special triangles to determine geometrically the values of sine, cosine, tangent for π/3, π/4 and π/6, and use the unit circle to express the values of sine, cosine, and tangent for x, π + x, and 2π – x in terms of their values for x, where x is any real number.

CCSS.Math.Content.HSF-TF.A.4 (+) Use the unit circle to explain symmetry (odd and even) and periodicity of trigonometric functions.

Model periodic phenomena with trigonometric functions.

CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.5 Choose trigonometric functions to model periodic phenomena with specified amplitude, frequency, and midline.★

CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.6 (+) Understand that restricting a trigonometric function to a domain on which it is always increasing or always decreasing allows its inverse to be constructed.

CCSS.Math.Content.HSF-TF.B.7 (+) Use inverse functions to solve trigonometric equations that arise in modeling contexts; evaluate the solutions using technology, and interpret them in terms of the context.★

Prove and apply trigonometric identities.

CCSS.Math.Content.HSF-TF.C.8 Prove the Pythagorean identity sin2(θ) + cos2(θ) = 1 and use it to find sin(θ), cos(θ), or tan(θ) given sin(θ), cos(θ), or tan(θ) and the quadrant of the angle.

CCSS.Math.Content.HSF-TF.C.9 (+) Prove the addition and subtraction formulas for sine, cosine, and tangent and use them to solve problems.

High School: Modeling Modeling links classroom mathematics and statistics to everyday life, work, and decision-making. Modeling is the process of choosing and using appropriate mathematics and statistics to analyze empirical situations, to understand them better, and to improve decisions. Quantities and their relationships in physical, economic, public policy, social, and everyday situations can be modeled using mathematical and statistical methods. When making mathematical models, technology is valuable for varying assumptions, exploring consequences, and comparing predictions with data.

A model can be very simple, such as writing total cost as a product of unit price and number bought, or using a geometric shape to describe a physical object like a coin. Even such simple models involve making choices. It is up to us whether to model a coin as a three-dimensional cylinder, or whether a two-dimensional disk works well enough for our purposes. Other situations—modeling a delivery route, a production schedule, or a comparison of loan amortizations—need more elaborate models that use other tools from the mathematical sciences. Real-world situations are not organized and labeled for analysis; formulating tractable models, representing such models, and analyzing them is appropriately a creative process. Like every such process, this depends on acquired expertise as well as creativity.Some examples of such situations might include:

Estimating how much water and food is needed for emergency relief in a devastated city of 3 million people, and how it might be distributed.

Planning a table tennis tournament for 7 players at a club with 4 tables, where each player plays against each other player.

Designing the layout of the stalls in a school fair so as to raise as much money as possible.

Analyzing stopping distance for a car.

Modeling savings account balance, bacterial colony growth, or investment growth.

Engaging in critical path analysis, e.g., applied to turnaround of an aircraft at an airport.

Analyzing risk in situations such as extreme sports, pandemics, and terrorism.

Relating population statistics to individual predictions.

In situations like these, the models devised depend on a number of factors: How precise an answer do we want or need? What aspects of the situation do we most need to understand, control, or optimize? What resources of time and tools do we have? The range of models that we can create and analyze is also

constrained by the limitations of our mathematical, statistical, and technical skills, and our ability to recognize significant variables and relationships among them. Diagrams of various kinds, spreadsheets and other technology, and algebra are powerful tools for understanding and solving problems drawn from different types of real-world situations.

One of the insights provided by mathematical modeling is that essentially the same mathematical or statistical structure can sometimes model seemingly different situations. Models can also shed light on the mathematical structures themselves, for example, as when a model of bacterial growth makes more vivid the explosive growth of the exponential function.

The basic modeling cycle is summarized in the diagram. It involves (1) identifying variables in the situation and selecting those that represent essential features, (2) formulating a model by creating and selecting geometric, graphical, tabular, algebraic, or statistical representations that describe relationships between the variables, (3) analyzing and performing operations on these relationships to draw conclusions, (4) interpreting the results of the mathematics in terms of the original situation, (5) validating the conclusions by comparing them with the situation, and then either improving the model or, if it is acceptable, (6) reporting on the conclusions and the reasoning behind them.

Choices, assumptions, and approximations are present throughout this cycle.

In descriptive modeling, a model simply describes the phenomena or summarizes them in a compact form. Graphs of observations are a familiar descriptive model—for example, graphs of global temperature and atmospheric CO2 over time. Analytic modeling seeks to explain data on the basis of deeper theoretical ideas, albeit with parameters that are empirically based; for example, exponential growth of bacterial colonies (until cut-off mechanisms such as pollution or starvation intervene) follows from a constant reproduction rate. Functions are an important tool for analyzing such problems.

Graphing utilities, spreadsheets, computer algebra systems, and dynamic geometry software are powerful tools that can be used to model purely mathematical phenomena (e.g., the behavior of polynomials) as well as physical phenomena.

Modeling Standards

Modeling is best interpreted not as a collection of isolated topics but rather in relation to other standards. Making mathematical models is a Standard for Mathematical Practice, and specific modeling standards appear throughout the high school standards indicated by a star symbol (★).

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High School: Geometry Th

An understanding of the attributes and relationships of geometric objects can be applied in diverse contexts—interpreting a schematic drawing, estimating the amount of wood needed to frame a sloping roof, rendering computer graphics, or designing a sewing pattern for the most efficient use of material.

Although there are many types of geometry, school mathematics is devoted primarily to plane Euclidean geometry, studied both synthetically (without coordinates) and analytically (with coordinates). Euclidean geometry is characterized most importantly by the Parallel Postulate, that through a point not on a given line there is exactly one parallel line. (Spherical geometry, in contrast, has no parallel lines.)

During high school, students begin to formalize their geometry experiences from elementary and middle school, using more precise definitions and developing careful proofs. Later in college some students develop Euclidean and other geometries carefully from a small set of axioms.

The concepts of congruence, similarity, and symmetry can be understood from the perspective of geometric transformation. Fundamental are the rigid motions: translations, rotations, reflections, and combinations of these, all of which are here assumed to preserve distance and angles (and therefore shapes generally). Reflections and rotations each explain a particular type of symmetry, and the symmetries of an object offer insight into its attributes—as when the reflective symmetry of an isosceles triangle assures that its base angles are congruent.

In the approach taken here, two geometric figures are defined to be congruent if there is a sequence of rigid motions that carries one onto the other. This is the principle of superposition. For triangles, congruence means the equality of all corresponding pairs of sides and all corresponding pairs of angles. During the middle grades, through experiences drawing triangles from given conditions, students notice ways to specify enough measures in a triangle to ensure that all triangles drawn with those measures are congruent. Once these triangle congruence criteria (ASA, SAS, and SSS) are established using rigid motions, they can be used to prove theorems about triangles, quadrilaterals, and other geometric figures.

Similarity transformations (rigid motions followed by dilations) define similarity in the same way that rigid motions define congruence, thereby formalizing the similarity ideas of "same shape" and "scale factor" developed in the middle grades. These transformations lead to the criterion for triangle similarity that two pairs of corresponding angles are congruent.

The definitions of sine, cosine, and tangent for acute angles are founded on right triangles and similarity, and, with the Pythagorean Theorem, are fundamental in many real-world and theoretical situations. The Pythagorean Theorem is generalized to non-right triangles by the Law of Cosines. Together, the Laws of Sines and Cosines embody the triangle congruence criteria for the cases where three pieces of information suffice to completely solve a triangle. Furthermore, these laws yield two possible solutions in the ambiguous case, illustrating that Side-Side-Angle is not a congruence criterion.Analytic geometry connects algebra and geometry, resulting in powerful methods of analysis and problem solving. Just as the number line associates numbers with locations in one dimension, a pair of perpendicular axes associates pairs of numbers with locations in two dimensions. This correspondence between numerical coordinates and geometric points allows methods from algebra to be applied to geometry and vice versa. The solution set of an equation becomes a geometric curve, making visualization a tool for doing and understanding algebra. Geometric shapes can be described by equations, making algebraic manipulation into a tool for geometric understanding,  odeling, and proof. Geometric transformations of the graphs of equations correspond to algebraic changes in their equations.

Dynamic geometry environments provide students with experimental and modeling tools that allow them to investigate geometric phenomena in much the same way as computer algebra systems allow them to experiment with algebraic phenomena.

Connections to Equations

The correspondence between numerical coordinates and geometric points allows methods from algebra to be applied to geometry and vice versa. The solution set of an equation becomes a geometric curve, making visualization a tool for doing and understanding algebra. Geometric shapes can be described by equations, making algebraic manipulation into a tool for geometric understanding, modeling, and proof.

Geometry » CongruenceStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.1

CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.2

CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.3

CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.4

CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.5

CCSS.Math.Content.HSG-CO.B.6

CCSS.Math.Content.HSG-CO.B.7

CCSS.Math.Content.HSG-CO.B.8

CCSS.Math.Content.HSG-CO.C.9

CCSS.Math.Content.HSG-CO.C.10

CCSS.Math.Content.HSG-CO.C.11

CCSS.Math.Content.HSG-CO.D.12

CCSS.Math.Content.HSG-CO.D.13

Experiment with transformations in the plane

CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.1 Know precise definitions of angle, circle, perpendicular line, parallel line, and line segment, based on the undefined notions of point, line, distance along a line, and distance around a circular arc.

CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.2 Represent transformations in the plane using, e.g., transparencies and geometry software; describe transformations as functions that take points in the plane as inputs and give other points as outputs. Compare transformations that preserve distance and angle to those that do not (e.g., translation versus horizontal stretch).

CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.3 Given a rectangle, parallelogram, trapezoid, or regular polygon, describe the rotations and reflections that carry it onto itself.

CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.4 Develop definitions of rotations, reflections, and translations in terms of angles, circles, perpendicular lines, parallel lines, and line segments.

CCSS.Math.Content.HSG-CO.A.5 Given a geometric figure and a rotation, reflection, or translation, draw the transformed figure using, e.g., graph paper, tracing paper, or geometry software. Specify a sequence of transformations that will carry a given figure onto another.

Understand congruence in terms of rigid motions

CCSS.Math.Content.HSG-CO.B.6 Use geometric descriptions of rigid motions to transform figures and to predict the effect of a given rigid motion on a given figure; given two figures, use the definition of congruence in terms of rigid motions to decide if they are congruent.

CCSS.Math.Content.HSG-CO.B.7 Use the definition of congruence in terms of rigid motions to show that two triangles are congruent if and only if corresponding pairs of sides and corresponding pairs of angles are congruent.

CCSS.Math.Content.HSG-CO.B.8 Explain how the criteria for triangle congruence (ASA, SAS, and SSS) follow from the definition of congruence in terms of rigid motions.

Prove geometric theorems

CCSS.Math.Content.HSG-CO.C.9 Prove theorems about lines and angles. Theorems include: vertical angles are congruent; when a transversal crosses parallel lines, alternate interior angles are congruent and corresponding angles are congruent; points on a perpendicular bisector of a line segment are exactly those equidistant from the segment’s endpoints.

CCSS.Math.Content.HSG-CO.C.10 Prove theorems about triangles. Theorems include: measures of interior angles of a triangle sum to 180°; base angles of isosceles triangles are congruent; the segment joining midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and half the length; the medians of a triangle meet at a point.

CCSS.Math.Content.HSG-CO.C.11 Prove theorems about parallelograms. Theorems include: opposite sides are congruent, opposite angles are congruent, the diagonals of a parallelogram bisect each other, and conversely, rectangles are parallelograms with congruent diagonals.

Make geometric constructions

CCSS.Math.Content.HSG-CO.D.12 Make formal geometric constructions with a variety of tools and methods (compass and straightedge, string, reflective devices, paper folding, dynamic geometric software, etc.). Copying a segment; copying an angle; bisecting a segment; bisecting an angle; constructing perpendicular lines, including the perpendicular bisector of a line segment; and constructing a line parallel to a given line through a point not on the line.

CCSS.Math.Content.HSG-CO.D.13 Construct an equilateral triangle, a square, and a regular hexagon inscribed in a circle.

StavGeometry » Similarity, Right Triangles, & TrigonometryStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.1

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.2

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.3

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.B.4

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.B.5

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.C.6

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.C.7

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.C.8

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.9

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.10

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.11

Understand similarity in terms of similarity transformations

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.1 Verify experimentally the properties of dilations given by a center and a scale factor:

o CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.1a A dilation takes a line not passing through the center of the dilation to a parallel line, and leaves a line passing through the center unchanged.

o CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.1b The dilation of a line segment is longer or shorter in the ratio given by the scale factor.

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.2 Given two figures, use the definition of similarity in terms of similarity transformations to decide if they are similar; explain using similarity transformations the meaning of similarity for triangles as the equality of all corresponding pairs of angles and the proportionality of all corresponding pairs of sides.

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.A.3 Use the properties of similarity transformations to establish the AA criterion for two triangles to be similar.

Prove theorems involving similarity

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.B.4 Prove theorems about triangles. Theorems include: a line parallel to one side of a triangle divides the other two proportionally, and conversely; the Pythagorean Theorem proved using triangle similarity.

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.B.5 Use congruence and similarity criteria for triangles to solve problems and to prove relationships in geometric figures.

Define trigonometric ratios and solve problems involving right triangles

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.C.6 Understand that by similarity, side ratios in right triangles are properties of the angles in the triangle, leading to definitions of trigonometric ratios for acute angles.

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.C.7 Explain and use the relationship between the sine and cosine of complementary angles.

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.C.8 Use trigonometric ratios and the Pythagorean Theorem to solve right triangles in applied problems.★

Apply trigonometry to general triangles

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.9 (+) Derive the formula A = 1/2 ab sin(C) for the area of a triangle by drawing an auxiliary line from a vertex perpendicular to the opposite side.

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.10 (+) Prove the Laws of Sines and Cosines and use them to solve problems.

CCSS.Math.Content.HSG-SRT.D.11 (+) Understand and apply the Law of Sines and the Law of Cosines to find unknown measurements in right and non-right triangles (e.g., surveying problems, resultant forces).

Geometry » CirclesStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSG-C.A.1

CCSS.Math.Content.HSG-C.A.2

CCSS.Math.Content.HSG-C.A.3

CCSS.Math.Content.HSG-C.A.4

CCSS.Math.Content.HSG-C.B.5

Understand and apply theorems about circles

CCSS.Math.Content.HSG-C.A.1 Prove that all circles are similar.

CCSS.Math.Content.HSG-C.A.2 Identify and describe relationships among inscribed angles, radii, and chords. Include the relationship between central, inscribed, and circumscribed angles; inscribed angles on a diameter are right angles; the radius of a circle is perpendicular to the tangent where the radius intersects the circle.

CCSS.Math.Content.HSG-C.A.3 Construct the inscribed and circumscribed circles of a triangle, and prove properties of angles for a quadrilateral inscribed in a circle.

CCSS.Math.Content.HSG-C.A.4 (+) Construct a tangent line from a point outside a given circle to the circle.

Find arc lengths and areas of sectors of circles

CCSS.Math.Content.HSG-C.B.5 Derive using similarity the fact that the length of the arc intercepted by an angle is proportional to the radius, and define the radian measure of the angle as the constant of proportionality; derive the formula for the area of a sector.

Geometry » Expressing Geometric Properties with EquationsStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.A.1

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.A.2

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.A.3

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.4

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.5

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.6

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.7

Translate between the geometric description and the equation for a conic section

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.A.1 Derive the equation of a circle of given center and radius using the Pythagorean Theorem; complete the square to find the center and radius of a circle given by an equation.

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.A.2 Derive the equation of a parabola given a focus and directrix.

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.A.3 (+) Derive the equations of ellipses and hyperbolas given the foci, using the fact that the sum or difference of distances from the foci is constant.

Use coordinates to prove simple geometric theorems algebraically

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.4 Use coordinates to prove simple geometric theorems algebraically. For example, prove or disprove that a figure defined by four given points in the coordinate plane is a rectangle; prove or disprove that the point (1, √3) lies on the circle centered at the origin and containing the point (0, 2).

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.5 Prove the slope criteria for parallel and perpendicular lines and use them to solve geometric problems (e.g., find the equation of a line parallel or perpendicular to a given line that passes through a given point).

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.6 Find the point on a directed line segment between two given points that partitions the segment in a given ratio.

CCSS.Math.Content.HSG-GPE.B.7 Use coordinates to compute perimeters of polygons and areas of triangles and rectangles, e.g., using the distance formula.★

Geometry » Geometric Measurement & DimensionStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSG-GMD.A.1

CCSS.Math.Content.HSG-GMD.A.2

CCSS.Math.Content.HSG-GMD.A.3

CCSS.Math.Content.HSG-GMD.B.4

Explain volume formulas and use them to solve problems

CCSS.Math.Content.HSG-GMD.A.1 Give an informal argument for the formulas for the circumference of a circle, area of a circle, volume of a cylinder, pyramid, and cone. Use dissection arguments, Cavalieri’s principle, and informal limit arguments.

CCSS.Math.Content.HSG-GMD.A.2 (+) Give an informal argument using Cavalieri’s principle for the formulas for the volume of a sphere and other solid figures.

CCSS.Math.Content.HSG-GMD.A.3 Use volume formulas for cylinders, pyramids, cones, and spheres to solve problems.★

Visualize relationships between two-dimensional and three-dimensional objects

CCSS.Math.Content.HSG-GMD.B.4 Identify the shapes of two-dimensional cross-sections of three-dimensional objects, and identify three-dimensional objects generated by rotations of two-dimensional objects.

Geometry » Modeling with GeometryStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSG-MG.A.1

CCSS.Math.Content.HSG-MG.A.2

CCSS.Math.Content.HSG-MG.A.3

Apply geometric concepts in modeling situations

CCSS.Math.Content.HSG-MG.A.1 Use geometric shapes, their measures, and their properties to describe objects (e.g., modeling a tree trunk or a human torso as a cylinder).★

CCSS.Math.Content.HSG-MG.A.2 Apply concepts of density based on area and volume in modeling situations (e.g., persons per square mile, BTUs per cubic foot).★

CCSS.Math.Content.HSG-MG.A.3 Apply geometric methods to solve design problems (e.g., designing an object or structure to satisfy physical constraints or minimize cost; working with typographic grid systems based on ratios).★

High School:

Statistics & Probability »

IntroductionDecisions or predictions are often based on data—numbers in context. These decisions or predictions would be easy if the data always sent a clear message, but the message is often obscured by variability. Statistics provides tools for describing variability in data and for making informed decisions that take it into account.

Data are gathered, displayed, summarized, examined, and interpreted to discover patterns and deviations from patterns. Quantitative data can be described in terms of key characteristics: measures of shape, center, and spread. The shape of a data distribution might be described as symmetric, skewed, flat, or bell shaped, and it might be summarized by a statistic measuring center (such as mean or median) and a statistic measuring spread (such as standard deviation or interquartile range). Different distributions can be compared numerically using these statistics or compared visually using plots. Knowledge of center and spread are not enough to describe a distribution. Which statistics to compare, which plots to use, and what the results of a comparison might mean, depend on the question to be investigated and the real-life actions to be taken.

Randomization has two important uses in drawing statistical conclusions. First, collecting data from a random sample of a population makes it possible to draw valid conclusions about the whole population, taking variability into account. Second, randomly assigning individuals to different treatments allows a fair comparison of the effectiveness of those treatments. A statistically significant outcome is one that is unlikely to be due to chance alone, and this can be evaluated only under the condition of randomness. The conditions under which data are collected are important in drawing conclusions from the data; in critically reviewing uses of statistics in public media and other reports, it is important to consider the study design, how the data were gathered, and the analyses employed as well as the data summaries and the conclusions drawn.

Random processes can be described mathematically by using a probability model: a list or description of the possible outcomes (the sample space), each of which is assigned a probability. In situations such as flipping a coin, rolling a number cube, or drawing a card, it might be reasonable to assume various outcomes are equally likely. In a probability model, sample points represent outcomes and combine to make up events; probabilities of events can be computed by applying the Addition and Multiplication Rules. Interpreting these probabilities relies on an understanding of independence and conditional probability, which can be approached through the analysis of two-way tables.

Technology plays an important role in statistics and probability by making it possible to generate plots, regression functions, and correlation coefficients, and to simulate many possible outcomes in a short amount of time.

Connections to Functions and Modeling

Functions may be used to describe data; if the data suggest a linear relationship, the relationship can be modeled with a regression line, and its strength and direction can be expressed through a correlation coefficient.

ndardsStatistics & Probability » Interpreting Categorical & Quantitative DataStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.1

CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.2

CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.3

CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.4

CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.5

CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.6

CCSS.Math.Content.HSS-ID.C.7

CCSS.Math.Content.HSS-ID.C.8

CCSS.Math.Content.HSS-ID.C.9

Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.1 Represent data with plots on the real number line (dot plots, histograms, and box plots).

CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.2 Use statistics appropriate to the shape of the data distribution to compare center (median, mean) and spread (interquartile range, standard deviation) of two or more different data sets.

CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.3 Interpret differences in shape, center, and spread in the context of the data sets, accounting for possible effects of extreme data points (outliers).

CCSS.Math.Content.HSS-ID.A.4 Use the mean and standard deviation of a data set to fit it to a normal distribution and to estimate population percentages. Recognize that there are data sets for which such a procedure is not appropriate. Use calculators, spreadsheets, and tables to estimate areas under the normal curve.

Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.5 Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.6 Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related.

o CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.6a Fit a function to the data; use functions fitted to data to solve problems in the context of the data. Use given functions or choose a function suggested by the context. Emphasize linear, quadratic, and exponential models.

o CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.6b Informally assess the fit of a function by plotting and analyzing residuals.

o CCSS.Math.Content.HSS-ID.B.6c Fit a linear function for a scatter plot that suggests a linear association.

Interpret linear models

CCSS.Math.Content.HSS-ID.C.7 Interpret the slope (rate of change) and the intercept (constant term) of a linear model in the context of the data.

CCSS.Math.Content.HSS-ID.C.8 Compute (using technology) and interpret the correlation coefficient of a linear fit.

CCSS.Math.Content.HSS-ID.C.9 Distinguish between correlation and causation.

Statistics & Probability » Making Inferences & Justifying ConclusionsStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSS-IC.A.1

CCSS.Math.Content.HSS-IC.A.2

CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.3

CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.4

CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.5

CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.6

Understand and evaluate random processes underlying statistical experiments

CCSS.Math.Content.HSS-IC.A.1 Understand statistics as a process for making inferences about population parameters based on a random sample from that population.

CCSS.Math.Content.HSS-IC.A.2 Decide if a specified model is consistent with results from a given data-generating process, e.g., using simulation. For example, a model says a spinning coin falls heads up with probability 0.5. Would a result of 5 tails in a row cause you to question the model?

Make inferences and justify conclusions from sample surveys, experiments, and observational studies

CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.3 Recognize the purposes of and differences among sample surveys, experiments, and observational studies; explain how randomization relates to each.

CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.4 Use data from a sample survey to estimate a population mean or proportion; develop a margin of error through the use of simulation models for random sampling.

CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.5 Use data from a randomized experiment to compare two treatments; use simulations to decide if differences between parameters are significant.

CCSS.Math.Content.HSS-IC.B.6 Evaluate reports based on data.

Statistics & Probability » Conditional Probability & the Rules of ProbabilityStandards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.1

CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.2

CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.3

CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.4

CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.5

CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.6

CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.7

CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.8

CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.9

Understand independence and conditional probability and use them to interpret data

CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.1 Describe events as subsets of a sample space (the set of outcomes) using characteristics (or categories) of the outcomes, or as unions, intersections, or complements of other events (“or,” “and,” “not”).

CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.2 Understand that two events A and B are independent if the probability of A and B occurring together is the product of their probabilities, and use this characterization to determine if they are independent.

CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.3 Understand the conditional probability of A given B as P(A and B)/P(B), and interpret independence of A and B as saying that the conditional probability of A given B is the same as the probability of A, and the conditional probability of B given A is the same as the probability of B.

CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.4 Construct and interpret two-way frequency tables of data when two categories are associated with each object being classified. Use the two-way table as a sample space to decide if events are independent and to approximate conditional probabilities. For example, collect data from a random sample of students in your school on their favorite subject among math, science, and English. Estimate the probability that a randomly selected student from your school will favor science given that the student is in tenth grade. Do the same for other subjects and compare the results.

CCSS.Math.Content.HSS-CP.A.5 Recognize and explain the concepts of conditional probability and independence in everyday language and everyday situations. For example, compare the chance of having lung cancer if you are a smoker with the chance of being a smoker if you have lung cancer.

Use the rules of probability to compute probabilities of compound events.

CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.6 Find the conditional probability of A given B as the fraction of B’s outcomes that also belong to A, and interpret the answer in terms of the model.

CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.7 Apply the Addition Rule, P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B), and interpret the answer in terms of the model.

CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.8 (+) Apply the general Multiplication Rule in a uniform probability model, P(A and B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), and interpret the answer in terms of the model.

CCSS.Math.Content.HSS-CP.B.9 (+) Use permutations and combinations to compute probabilities of compound events and solve problems.

Statistics & Probability » Using Probability to Make Decisions

Standards in this domain:

CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.1

CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.2

CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.3

CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.4

CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.5

CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.6

CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.7

Calculate expected values and use them to solve problems

CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.1 (+) Define a random variable for a quantity of interest by assigning a numerical value to each event in a sample space; graph the corresponding probability distribution using the same graphical displays as for data distributions.

CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.2 (+) Calculate the expected value of a random variable; interpret it as the mean of the probability distribution.

CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.3 (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample space in which theoretical probabilities can be calculated; find the expected value. For example, find the theoretical probability distribution for the number of correct answers obtained by guessing on all five questions of a multiple-choice test where each question has four choices, and find the expected grade under various grading schemes.

CCSS.Math.Content.HSS-MD.A.4 (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample space in which probabilities are assigned empirically; find the expected value. For example, find a current data distribution on the number of TV sets per household in the United States, and calculate the expected number of sets per household. How many TV sets would you expect to find in 100 randomly selected households?

Use probability to evaluate outcomes of decisions

CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.5 (+) Weigh the possible outcomes of a decision by assigning probabilities to payoff values and finding expected values.

o CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.5a Find the expected payoff for a game of chance. For example, find the expected winnings from a state lottery ticket or a game at a fast-food restaurant.

o CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.5b Evaluate and compare strategies on the basis of expected values. For example, compare a high-deductible versus a low-deductible automobile insurance policy using various, but reasonable, chances of having a minor or a major accident.

CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.6 (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number generator).

CCSS.Math.Content.HSS-MD.B.7 (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product testing, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).