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ESTIMACIÓN DE CRECIDAS EN CUENCAS PEQUEÑAS NO AFORADAS Una metodología no convencional
Ing. Gustavo A. Devoto
Keywords: caudal de proyecto, cuencas pequeñas no aforadas, HUI no lineal.
RESUMEN: Se propone una técnica alternativa, a las de uso convencional en Ingeniería Civil, para la estimación de caudales extremos en cuencas pequeñas con información escasa. La hipótesis básica que sustenta a esta propuesta metodológica es que el caudal pico máximo generado por una cuenca en un año cualquiera, depende de: la combinación intensidad-duración de las tormentas generadas de forma aleatoria, de la capacidad de infiltración potencial del suelo que se varía con cada tormenta en particular y de algunos parámetros morfológicos de la cuenca que definen al hidrograma unitario instantáneo (HUI) que a su vez se modifica según sea la magnitud de la solicitación. El modelo GADFLOOD es aplicado en la cuenca del río Marquelia, estado de Jalisco, México y se comparan sus resultados con los obtenidos con otras metodologías.
1. El interés por esta cuestión:
Un desafío frecuente para los hidrólogos y una cuestión relevante para la Ingeniería Civil es la
estimación de las crecidas de proyecto para el diseño de puentes viales y ferroviarios.
Estos cálculos habitualmente tienen que ser realizados para cuencas pequeñas con información
hidrometeorológica escasa, lo que dificulta la asignación de intervalos de recurrencia confiables a
los caudales pico de diseño.
Para salvar la falta de información sobre las crecidas de cuencas no aforadas, la Ingeniería ha
desarrollado numerosos métodos basados en la utilización de hietogramas de diseño e hidrogramas
unitarios sintéticos. Estas técnicas hidrológicas emplean expresiones empíricas de validez regional
que vinculan a los parámetros que definen a los hidrogramas unitarios sintéticos tales como el
caudal pico, el tiempo al pico o el tiempo de retardo (lag-time) con las características morfológicas
de las cuencas como son el área, la longitud del curso principal, el desnivel topográfico y la
pendiente media, las que pueden ser cuantificadas a partir de cartas topográficas.
Se acepta además, como hipótesis de cálculo, que los sistemas hidrológicos, al menos en lo que
hace a su componente de escurrimiento directo, se comportan como lineales e invariantes.
Una pregunta que fatalmente surge al tratar de estimar las probabilidades de crecida a partir de
precipitaciones es: ¿Cuál será la combinación de intensidad y duración de una tormenta capaz de
producir un hidrograma de crecida con un caudal pico de período de retorno determinado?
2
Para salvar este interrogante es habitual adoptar una tormenta de duración semejante al tiempo de
concentración tc de la cuenca y aceptar sin más ni más que, la probabilidad de igualar o superar el
caudal pico así calculado es similar al de la tormenta considerada.
En cuencas pequeñas y medianas a este criterio se lo suele justificar admitiendo que las condiciones
de humedad antecedente del suelo, que es el factor que podría invalidarlo, son muy semejantes en
el caso de ocurrencia de crecidas (Curtis Larson & Brian Reich, 1972)1.
2. Una nueva propuesta, el modelo GADFLOOD:
El modelo GADFLOOD - Generación Aleatoria de Crecidas - responde a un enfoque diferente al
utilizado por los modelos hidrológicos clásicos de simulación de eventos ya comentados y se lo
propone como una técnica alternativa de especial utilidad para la estimación de caudales extremos
en cuencas pequeñas con información escasa.
Desde el Análisis de Sistemas aplicado a los Recursos Hídricos se puede clasificar al GADFLOOD
como un modelo aleatorio, de simulación de eventos, no lineal y de parámetros concentrados,
capaz de generar series sintéticas de caudales pico máximos anuales.
El modelo responde a una concepción estocástica del proceso de escorrentía, que considera que la
aleatoriedad de las crecidas se debe principalmente a la de las tormentas pero no únicamente a
ellas.
La idea básica que sustenta a esta formulación es que el caudal pico máximo que una cuenca puede
generar en un año cualquiera, depende de la combinación intensidad – duración de las tormentas,
de la capacidad de infiltración del suelo antecedente a dicha tormenta en particular y de ciertos
parámetros morfológicos de la cuenca que definen su función de transferencia entre
precipitaciones y caudales, llamada función respuesta o hidrograma unitario instantáneo (HUI).
El tratamiento que el modelo hace de la mayoría de estas variables es aleatorio, por lo que el
caudal pico calculado también resulta una variable aleatoria que queda descripta por una función
de distribución de probabilidades que debe ser estimada una vez realizada la generación de
caudales pico.
En definitiva, el GADFLOOD se trata de un modelo no lineal para la generación de caudales pico a
partir de la simulación aleatoria de tormentas intensas de diferentes duraciones y que utiliza el
método del Soil Conservation Service para cálculo de escorrentías directas. No obstante en este
1 Larsen C. L. & Reich. B. M., (1972). Relationship of Observed Rainfall and Runoff Recurrence Intervals, Second International Symposium in Hydrology at Fort Collins.
3
último aspecto agrega la particularidad de que la infiltración potencial S que emplea este último
método también es tratada como una variable aleatoria descripta por una función de densidad de
probabilidades triangular.
De este modo, la estimación de los caudales extremos asociados con sus probabilidades de
excedencia termina siendo calculada directamente sobre la serie de caudales pico generados en vez
de asignarle a estos las probabilidades de ocurrencia de las tormentas que los causan, como es
habitual en el enfoque indirecto y más simple de los métodos hidrológicos tradicionales.
Ventajas del método propuesto:
La modelización de las escorrentías directas es no lineal
Las tormentas que generan los caudales pico tienen duraciones diferentes y son aleatorias
La infiltración potencial del suelo también es una variable aleatoria
Dado que se generan trazas de la variable aleatoria Q máximo anual es posible ajustar una
CDF de valores extremos que permite extrapolar o interpolar para diferentes Tr.
El ajuste de una CDF permite establecer umbrales de confianza para los QXX.
3. Las tres patas del problema:
Siempre me pareció digno de elogio, desde un punto de vista literario, el modo directo y resumido
con el que Julio César dio comienzo su famoso libro “LA GUERRA DE LAS GALIAS": “Gallia is omnis
divisa in partes tres”… al referirse a los territorios ocupados por los Belgas, los Aquitanos y los
Celtas. De un modo análogo al enfoque directo que hizo Julio César también podemos presentar
aquí la generación de picos de crecida como un problema a ser resuelto en tres partes:
La función de producción
La función respuesta
Las lluvias intensas
Series de caudales Máximos
4
Es evidente que las lluvias intensas son la principal fuente de aleatoriedad de los caudales, si bien el
estado de humedad antecedente de los suelos también contribuye, aunque en menor grado, a
sumar aleatoriedad.
Por otra parte se sabe que la función respuesta, que representa el modo en que la cuenca
reacciona al ser sometida a un input instantáneo de precipitación no es invariable, se modifica.
A medida que el input se incrementa la función respuesta se vuelve más severa, el qp aumenta
mientras que el tp se reduce. Además existen varios estudios que demuestran que su producto se
mantiene prácticamente constante e igual a ⅟2 por lo que la relación qp vs. tp varía según una
hipérbola equilátera.
Presentado en estos términos al proceso de producción de caudales pico, queda claro por qué al
modelo GADFLOOD se lo califica como aleatorio y no lineal.
De acuerdo entonces con esta propuesta, para simular la generación aleatoria de caudales
extremos será necesario modelar tres procesos hidrológicos:
i) El de generación de tormentas intensas ii) El de producción de escorrentía directa iii) El de transformación de lluvia en escorrentía (función respuesta o HUI)
3.1. La generación de tormentas intensas
El modelo GADFLOOD propone un algoritmo de generación de tormentas intensas basado en la
distribución de Gumbel – aunque no habría reparos en usar una ley LogNormal – para la generación
sintética de precipitaciones de diferentes duraciones propuestas por el hidrólogo.
Se asegura así preservar los momentos de primero y segundo orden de las series de precipitaciones
máximas anuales para dichas duraciones, ya sea las registradas en un pluviógrafo representativo
para la cuenca o las estimadas mediante el Método de Regionalización de lluvias intensas en
Argentina 2 que es parte de la metodología propuesta pero no del modelo GADFLOOD.
Otra alternativa a éste último método, está basada en la desagregación de información
pluviométrica que es mucho más abundante que la pluviográfica, pero la cuestión de cómo estimar
los estadísticos que definen a las lluvias intensas no son temas a ser tratados aquí ya que son
específicos de la región donde se aplique el modelo, de sus características meteorológicas y de la
disponibilidad de datos. 2 Gustavo A. Devoto (2002) Regionalización de lluvias intensas en Argentina. Congreso Nacional del Agua, Carlos Paz.
5
La función de distribución de probabilidades de Gumbel es una doble exponencial, en la
que y se conoce como la variable reducida dónde α es un parámetro de dispersión,
u la moda de la distribución y P la probabilidad de que la variable no sea superada.
Gumbel, en su conocido trabajo de 1954 sobre la teoría de los valores extremos propone, para una
muestra de tamaño finito, la estimación de α y u mediante la técnica de mínimos cuadrados.
Las ecuaciones resultantes son:
En las que y se encuentran tabuladas y su valor depende del tamaño n de la muestra.
Lo que sí puede afirmarse es que cuanto menor sea el tamaño de la muestra con la que se haya
estimado la media y el desvío estándar mayores valores tomarán y , y mayor será la
varianza de la serie generada.
De acuerdo con las expresiones presentadas, se deduce que el algoritmo para generar de una
variable aleatoria distribuida según una ley de Gumbel resulta:
La probabilidad P se encuentra representada por un número pseudo-aleatorio con distribución
uniforme (0,1), lo que asegura que las trazas de precipitaciones aleatorias independientes,
distribuidas según una Gumbel, preserven su media y su varianza para cada duración considerada.
La aparición en la expresión anterior del coeficiente de variación Cv es la causa por la que este
estadístico adimensional junto con la media sean los dos parámetros en los que se fundamenta el
método regional mencionado en la referencia1 de la página anterior.
Para cuantificar el abatimiento de las precipitaciones sobre toda el área de drenaje el modelo
GADFLOOD recurre a la expresión propuesta por Leclerc & Shaake (1972)
)59.2
01.01.1exp()1.1exp(1 25.025.0 Atrtr
tr: duración de la lluvia en horas
A: área sobre la cual se abate la precipitación puntual en Km2
6
3.2. La producción de escorrentía directa
Para cuantificar la infiltración o dicho de otro modo la precipitación efectiva, el modelo recurre al
difundido método de la “Curva Número” del U.S. Soil Conservation Service por lo que no se entrará
en mayores detalles.
La figura siguiente ilustra el tratamiento que el modelo le da a una lluvia P (mm) generada en forma
aleatoria, que tiene una duración de tr (horas), que produce una precipitación efectiva R (mm) con
una duración efectiva de te (horas) teniendo en cuenta un tiempo de encharcamiento to (horas)
calculado en base a una intercepción antecedente Ia (mm) que el modelo estima en función de la
infiltración potencial S y que también es aleatoria de acuerdo con la expresión: que es
una mejora del criterio estándar Ia=0.2*S, en particular si los suelos son bastante permeables.
La particularidad del modelo GADFLOOD en la aplicación de este método es que a la infiltración
potencial del suelo S se la considera una variable aleatoria descripta por una función de densidad
triangular acotada superior e inferiormente por valores S máxima y S mínima dependientes del tipo
de suelo, de su cobertura vegetal y de su tratamiento cultural.
La distribución triangular es habitualmente empleada como una descripción subjetiva de una
población de la que sólo se cuenta con una cantidad limitada de datos muestrales, posiblemente
por la dificultad de recolectarlos. Está basada en un conocimiento del mínimo y el máximo y una
"presunción justificada" del valor modal. Por estos motivos, la distribución triangular de
probabilidades ha sido denominada como la de "falta de información".
t0 te
ir
tr
r
ao
i
It
ee tiR
ie
ore ttt
rr tiP
7
La función de densidad triangular de probabilidades luce como muestra la figura siguiente y
naturalmente integra a 1.
La función de distribución de probabilidades queda expresada por las dos expresiones siguientes:
; si a < x < c
; si c < x < b
Definiendo a U0 como:
Siendo RND un número aleatorio generado con distribución U(0,1) las expresiones para la
generación aleatoria se obtienen despejando la x:
Si RND ≤ U0
Si RND > U0
La variable aleatoria infiltración potencial S asociada a cada número RND generado se convierte
entonces en x. La infiltración potencial mínima, que se corresponde con el CN máximo que admita
el hidrólogo, será SX = b, mientras que la infiltración potencial máxima, que se corresponde con el
mínimo CN que se proponga, será SM = a. Por último, la moda de la distribución, o sea el valor de la
infiltración potencial al que se le asigna mayor probabilidad de ocurrencia será SN = c y se
corresponderá con el CN promedio estimado en los estudios de suelos y de cobertura vegetal de la
cuenca.
a c b
f(x)
x
8
Está por demás aclarar que por cuestiones físicas la diferencia (SX - SM) deberá siempre caer dentro
del rango acotado por las condiciones más severas que propone el método del SCS: CN (I) y CN (III),
el primero se corresponde con el punto de marchitez y el segundo con condición antecedente a una
CMP. Las expresiones siguientes permiten estimar estos valores extremos asignables al CN.
Cuanto mayor sea la diferencia (SX - SM) mayor será naturalmente la varianza de la serie de
caudales generados.
3.3. La función respuesta o HUI
Para que la convolución entre precipitaciones y la función respuesta de la cuenca pueda
concretarse en forma analítica de manera simple, se adopta un hidrograma unitario instantáneo
(HUI) de forma triangular, con una relación igual a 41
, de acuerdo con lo recomendado
por Henderson 3 y con las conclusiones aportadas por la teoría del HUI Geomorfológico de
Rodríguez Iturbe et al. 4.
La base del HUI triangular tb representa la “memoria del sistema hidrológico” o dicho en términos
hidrológicos más comunes, coincide con el tiempo de concentración de la cuenca.
La Escuela Rusa de Hidrología utiliza el concepto de “velocidad de retardo”, de un modo
equivalente al “lag-time” empleado por la los hidrólogos occidentales. La “velocidad de retardo” de
una cuenca la estiman mediante la ecuación empírica de G.A. Alexeev, citada entre otros autores
por Rafael Heras 5 y Villamil Martinez 6:
(1)
En la que el caudal pico Qp asociado a una probabilidad de ser superado está expresado en (m3/s),
la pendiente media del cauce principal so en (m/Km) y la velocidad de retardo en (m/s).
3 Henderson, F.M. (1963). Some properties of the unit hydrograph, Journal Geophys. Res. 68 (16), pp. 4685-4793. 4 Rodriguez Iturbe, I & Valdés, J.B. (1979). The geomorphologic structure of hydrologic response, Water Resources Research, Vol. 15(6), pp. 1435-1444. 5 Heras, Rafael, Recursos Hidráulicos, Síntesis, Métodos y Normas, Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Madrid, 1983. 6 Villamil Martínez A. & Carreras Rodríguez A., Estudio de las velocidades torrenciales y tiempos de retardo en la región oriental de Cuba, XIII Congreso Latinoamericano de Hidráulica, La Habana, 1973.
9
Es por demás notorio que la fórmula de Alexeev está indicando que los tiempos de retardo
decrecen cuando los caudales pico se incrementan.
El parámetro a de la fórmula de Alexeev tiene en cuenta la rugosidad media a lo largo del cauce
principal en el que n es el coeficiente de Manning.
43
)20(
15.0
na
Alexeev recomienda valores de Manning dentro del rango 0.04 a 0.08 ya que durante las crecidas el
escurrimiento desborda el cauce madre y las rugosidades son importantes.
La expresión mencionada por Alexeev tiene implícito el reconocimiento de que el sistema de
escorrentía superficial se comporta como un sistema no lineal, contrariamente a la linealidad
propuesta por Sherman en su teoría del Hidrograma Unitario en 1932.
Justo es señalar que elaboraciones más modernas de la Escuela Occidental de la hidrología como
han sido el modelo de Onda Cinemática elaborado por John Schaake en el MIT, el Hidrograma
Unitario Instantáneo Geomorfológico de Rodríguez Iturbe & Valdés desarrollado en la Universidad
Simón Bolívar, la expresión de Pedersen para estimar el coeficiente de almacenamiento de un
reservorio lineal o fórmulas empíricas para el cálculo del tiempo de concentración como la de
Papadakis & Kazan reconocen también que el sistema de escorrentía superficial se comporta como
un sistema no lineal.
En la Escuela Occidental hay un consenso creciente que se ha consolidado acerca de que los “lag
times” no son constantes y que varían en relación inversa con los escurrimientos (Pilgrim, 1987;
Pilgrim & Cordery, 1992), lo que implica aceptar que las escorrentías directas no son lineales.
El tiempo de concentración tc representa a su vez la “memoria del sistema hidrológico” que se
corresponde con el tiempo base tb del HUI, el cual puede ser expresado como la longitud L del
curso principal dividido por la velocidad de concentración
c
cbv
Ltt (2)
Varios investigadores como Mockus (1957) y Simas (1996) encontraron para cuencas naturales en
condiciones promedio y aproximadamente uniformes de distribución del escurrimiento que el
tiempo de retardo puede ser estimado por el 60% del tiempo de concentración por lo que la
velocidad de concentración podría ser estimada también por el 0.60 de la velocidad de retardo Vr..
10
Según demuestra Henderson 2, la convolución entre un hietograma rectangular y un hidrograma
unitario instantáneo triangular se reduce a la siguiente relación entre el caudal pico Qp a la salida
de la cuenca y el caudal de equilibrio Qe para una duración de lluvia efectiva tr
b
r
b
r
e
p
t
t
t
t
Q
Q
21
2 (3)
A partir de combinar las ecuaciones (1), (2) y (3), de hacer de algunos reemplazos algebraicos y de
agrupar a varios de los parámetros en la constante 3
1
06.3 sa
LM
se consigue la ecuación:
0241
2
43
M
tQQ
M
tQQ e
epe
ep (4)
Si se realizan las transformaciones de variables que indican a continuación:
41
pQX ; 2
M
tQp e
e;
M
tQq e
e2
La ecuación (4) se transforma entonces en una cúbica perfecta:
03 qXpX
La resolución de esta ecuación se debe al geómetra italiano Tartaglia aunque fue dada a conocer
por el científico enciclopedista italiano, Girolamo Cardano, en su libro Ars Magna en el año 1545:
33 vuX
2742
32 pqqu
2742
32 pqqv
3
3
pvu
Si se adopta un HUI de forma triangular, según se muestra la figura presentada a continuación, que
tenga un pico qp, un tiempo al pico tp y un tiempo base tb es posible deducir las relaciones
siguientes:
(5)
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El cálculo analítico de la convolución entre un HUI triangular y un hietograma rectangular de
duración tr permite determinar que el valor máximo de la función Q(t), o sea el hidrograma que
resulta a la salida de la cuenca, se produce en el instante Tp es decir en el tiempo al pico que es
igual a:
Reemplazando a, b y c por sus expresiones deducidas en (5) resulta:
(6)
Es de interés señalar, a través de un enfoque probabilístico de las escorrentías superficiales, que el
HUI puede ser considerado como una función de densidad de los tiempos de espera de las gotas de
lluvia en la cuenca. El término representa la probabilidad de que una gota elegida al
azar se encuentre todavía en la cuenca en el instante tp, por lo que la expresión (6), que permite
calcular el tiempo al pico del hidrograma, demuestra ser suma de dos tiempos:
a) el tiempo del HUI tp
b) el tiempo de duración de la lluvia tr ponderado por la probabilidad de
permanencia de una gota elegida al azar en el sistema hidrológico
Está claro que la expresión (6) sólo tiene sentido hasta que el tiempo de duración de la lluvia tr es
igual al tiempo base tb del HUI, la memoria del sistema, en cuyo caso se verifica que Tp es igual al
tb
qp
tp
b * t a + c * t
t
12
tiempo de concentración tc. Por el contrario si el input de precipitación fuese instantáneo el Tp sería
coincidente con el tiempo al pico tp del HUI.
Ya se ha comentado en el punto 3 del presente documento que el producto qp * tp es constante e
igual a ⅟2, por lo que la expresión (6) del tiempo al pico Tp resulta:
En un HUI triangular la constancia del producto implica obligadamente que
por lo que la expresión para el cálculo del tiempo al pico que finalmente es utilizada resulta:
(7)
La fórmula (7) sería estrictamente válida en el hipotético caso de que el suelo fuese impermeable y
toda la precipitación se transformara en lluvia efectiva.
Ya se ha comentado en el punto 3.2. de este documento, que una cierta cantidad de la
precipitación, al inicio de la tormenta, no participa del escurrimiento superficial y queda retenida
por la cobertura vegetal y las depresiones del terreno. Esta cantidad es denominada por el método
del SCS intercepción antecedente Ia. Vale decir que el escurrimiento no se inicia hasta que esta
abstracción inicial no se vea superada por la precipitación.
El tiempo que tarda en completarse este proceso se denomina “tiempo de encharcamiento” t0, por
lo que en condiciones reales, una cuenca en la que se exista infiltración, producirá un caudal pico
Qp en el instante Tp expresado por la ecuación:
Donde te es el tiempo de duración de la precipitación efectiva (te = tr – t0) tal como ha sido
señalado en la figura de la página 6.
COMENTARIO ADICIONAL: el modelo GADFLOOD entrega caudales máximos anuales lo que es suficiente para proyectar puentes y alcantarillas. Para aquellas obras en las que se necesita disponer de un hidrograma, como es el caso del proyecto de un vertedero para dar seguridad a una presa de embalse, se ha desarrollado en EXCEL un algoritmo heurístico, que le hace corresponder al caudal pico calculado un hidrograma de determinado volumen y tiempo al pico que el GADFLOOD también estima. Este algoritmo no forma parte del modelo, pero en caso de necesitarse un hidrograma se lo puede ejecutar una vez procesada toda la información que proporciona el modelo GADFLOOD. Al final del trabajo se muestran los hidrogramas así estimados. El esquema siguiente sirve para ilustrar la secuencia del procedimiento seguido por el modelo GADFLOOD para la generación aleatoria de series caudal pico máximo anual.
13
4. Aplicación del modelo GADFLOOD a la cuenca del río Marquelia:
Para presentar un ejemplo de aplicación del modelo GADFLOOD se hizo uso de información
hidrológica básica publicada en el documento Modelación hidrológica. Comparación de
hidrogramas calculados con un método concentrado y uno distribuido de González Escalona,
Aragón-Hernández y Bladé, presentado en el XXVIII Congreso Latinoamericano de Hidráulica,
Buenos Aires, 2018.
Se dispuso así de la información hidrológica básica y confiable para correr el modelo, además
de tener la oportunidad de comparar los resultados obtenidos con el GADFLOOD contra los
caudales registrados y los proporcionados por otros modelos hidrológicos.
Para que la comparación entre diferentes modelos sea aún más amplia se incluyó en este
documento los caudales calculados con el modelo ARHYMO para caudales de 5, 10, 20 y 50 años
de período de recurrencia. El ARHYMO es un modelo de simulación hidrológica de eventos,
lineal y de parámetros concentrados desarrollado por Williams & Hann del USDA en 1973 que
fue mejorado por el Centro Regional Andino del Instituto Nacional del Agua de Argentina. El
modelo cuenta con la ponderable ventaja, de especial interés en cuencas no aforadas o con
HUI
(q)QF
Qi QXX
1
P
CN
tc
f F(p)
14
información escasa, de que los parámetros K y Tp que definen a su hidrograma unitario,
pueden ser estimados en base a las expresiones de James, Winsor & Williams que el modelo
tiene incorporadas, y que son función de variables geomorfológicas cuantificables a partir de la
cartografía.
La cuenca del río Marquelia se encuentra en el estado de Guerrero, México, muy cerca del
límite con el estado de Oaxaca y aproximadamente a 100 km del puerto de Acapulco. La figura,
extraída del trabajo de González Escalona et al., muestra su ubicación geográfica.
La tabla presenta los datos de entrada al modelo GADFLOOD que fueran utilizados para la
generación de una traza de 200 años de caudales máximos del río Marquelia.
Parámetros estadísticos de las tormentas intensas
DURACIÓN 7 horas 8 horas 9 horas 10 horas
media (mm) 101 106 109 113
C. variación 0.5 0.5 0.5 0.5
15
Parámetros morfológicos de la cuenca
Área de cuenca: A = 1016.11 km2
Longitud de cauce principal: L = 76.55 km
Pend. Curso ppal. (Taylor-Schwartz): S0 = 7.92 m/km
n Manning: 0.06
Parámetros del suelo
CN: 76.15
CNM: 70
CNX: 82
Parámetros de la corrida en particular
N° de trazas generadas: 1
N° de años por traza: 200
N° semilla: 321
Para este ejemplo se generó sólo una traza, pero podría generarse el número de trazas que se
deseara. Dado que el “número semilla” está vinculado con el “clock” de la computadora cada
una de las trazas que se generen representaría diferentes realizaciones del proceso “producción
de crecidas máximas anuales” de la cuenca.
A la serie de 200 años de caudales extremos generada con el modelo GADFLOOD se la procesó
con el paquete estadístico STATGRAPHICS. La tabla siguiente permite la comparación entre
parámetros de la serie generada y los de la serie observada en la estación hidrométrica
Marquelia en el período 1963 – 1989 que son de uso común en Estadística Descriptiva:
Resumen Estadístico para QXX_MARQUELIA
GADFLOOD E. Hidrométrica
N° de años 200 27
Promedio 1142.19 1048.17
Desviación Estándar 954.28 959.41
Coeficiente de Variación 83.50% 0.92
Mínimo 22.04 108.70
Máximo 6301.75 3996.00
Sesgo 1.82 1.89
Los test χ2 y Kolmogorov & Smirnov indican que la función de distribución LogNormal_3 es la de
mejor ajuste a la serie generada lo que no puede ser rechazado con el 95% de confiabilidad.
La figura siguiente muestra el hietograma y en línea de trazo continuo la función de densidad.
16
PROCESAMIENTO DE LOS VALORES SUMINISTRADOS POR EL MODELO GADFLOOD
17
Los resultados que suministra el modelo GADFLOOD quedan agrupados en una matriz de cuatro
columnas por N filas, tantas como años se hayan generado.
Cada uno de los cuatro vectores contiene respectivamente a los caudales máximos en (m3/s), las
escorrentías directas en (Hm3), los tiempos al pico en (horas) y las duraciones de las tormentas en
(horas) que generaron el máximo caudal pico anual.
La variable aleatoria que habitualmente representa a un hidrograma de proyecto es el caudal pico
asociado a un período de recurrencia.
El proyectista o la norma oficial establecen el riesgo que es aceptable para la estructura durante su
vida útil, quedando determinado el período de retorno, y a través de la función de distribución de
probabilidades, el caudal de diseño.
El Volumen y Tiempo al pico están vinculados con la variable explicativa - el Q pico - a través de
funciones ajustadas por mínimos cuadrados como se muestra en los dos gráficos anteriores.
Se ha optado operar en este ejemplo con el subconjunto de valores de Volúmenes y Tiempos al
pico provocado por lluvias de 9 horas de duración. Es interesante observar en el primer gráfico, que
18
la función potencial ajustada presenta un exponente β < 1, es decir que debido a la
no linealidad de la función respuesta los caudales pico crecen más que los volúmenes, lo que es
más evidente a medida que el período de retorno es mayor. Por las mismas razones de la no
linealidad, la función hiperbólica muestra cómo a mayor caudal, menor es el tiempo al
pico. La tabla resume los datos utilizados para definir hidrogramas según se explica en el
COMENTARIO ADICIONAL de la página 12.
TR Q pico Volumen T pico
m3/s Hm3 horas
2 865.66 40.90 13.12
5 1703.07 67.87 12.07
10 2382.48 87.26 11.59
20 3125.50 106.93 11.21
50 4223.15 133.94 10.80
100 5157.07 155.55 10.54
19
El gráfico semilogarítmico < Q PICO vs. TR > resume, para los intervalos de recurrencia considerados,
los caudales observados y calculados con los diferentes modelos ensayados. Se han agregado
además, las bandas de confianza al 90% de la distribución LN2 ajustada a los caudales registrados.
TR
(años) HIDRO BLACK
BOX IBER ARHYMO GADFLOOD
2 743.67 --- --- --- 865.66
5 1525.57 1525.10 1399.80 1886.3 1703.07
10 2221.32 2258.00 2158.99 2367.1 2382.48
20 3029.56 3028.60 3077.43 3118.1 3125.50
50 4295.54 4082.50 4473.52 3960.7 4223.15
100 5421.13 --- --- --- 5151.07
