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SEN4 MINISTERIO DE TRABAJO Y SEGURIDAD SOCIAL SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE REGIONAL BOGOTA,CUNOINAMARCA CENTRO DE ADMINISTRACION
, IMPORTANTE:
UNIDAD
SECTOR
FAMILIA OCUPACIONAL
MODULO OCUPACIONAL
MODULO
Este es Materia/en Prueba,sujeto a modihcociones. Prohibido su reproducción total o parcial.
ESTIMACION VEL MOVELO VE REGRESION LINEAL SIMPLE POR M1N1MOS CUAVRAVOS
COMERCIO Y SERVICIOS
TECNICO AVMINISTRAT1VO.
AVMINISTRACION Y SU~RVISION VE VENTAS
INSTRUCCIONAL AVMINISTRACION Y CONTROL VE VENTAS
CODIGO 2 3. 03-1
ELABORADA POR VOCTOR JESUS MARTA SIMBAQ.UEBA HERNANVEZ
ASESORES GUTNAR GOMEZ METOOOLOGICOS MARIO PENARANVA
ILUSTRACIONES
DERECHOS RESERVADOS A FAVOR DEL SENA BOGO TA D. E. /.984
Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional.
CMENIVO
INTROVUCCION 3
OBJETIVO TERMINAL 4 PRUEBA INICIAL 5
ACTIVIVAV VE APRENVIZAJE No. 1 7
I. SISTEMAS Y MOVELOS 7
A. MOVELOS FZS I COS 8 B. MOVELOS ESQUEMAT1COS 8 C. MOVELOS MATEMAT!COS 8 V. EJEMPLO 8
PRUEBA VE AVANCE No. 1 71
ACTIVIVAV VE APREM)IZAJE No. 2 73 A. VEFINICION 13
B. METOVO 14
C. CALCULO PARA LA PRIMERA Y SEGUNVA VERIVAVA 16
V. PUWTOS CRITICOS 18
PRUEBA VE AVANCE No. 2 . 20 ACTIVIVAV VE APR'ENV1ZAJE No. 3 23
PRUEBA VE AVANCE No. 3 29 PRUEBA FINAL 30 BIBLIOGRAFIA 31
3
INTROOUCCION
Una. pteoc.upa.u6n del. 6a.be1t huma.no ha. 1:>..ldo la. de JtepJLuen:ta/L, ú no
total, al. meno.6 pa1tc.,i,aimen;te, e1. 6unuonamlento de l0.6 d..l6e1ten:t.u
c.ompone.n..tu d~ mundo 1t.eai. paJt.a. e1. utud..lo de 6u c:ompoJttami.ento en
e1. 6ut.uM. Se no .6 o 61tec.e, en u.te mamen-to, la o µJlt.t.u.n..lda.d de en -
c.on.tlt.a.Jt la. utltec.ha. 1tel.a.u6n que gua1tda. e1. ba.ga.je ma.temWc.o, 6obJte
li>do el amj unto de l M 6u.nc...lonu ma..temMi c.a.6 de va!t..la.ble Jteai., c.on
lo.6 6en6meno.6 de todo c.a1ufo.te1t que c.onti.cli..a.namente hemo.6 pod..ldo ob
.6 elt.Valt. Podlr...Za. dec...lMe, 1:>..ln ex.a.geJt.M, que .t.ai.e.6 6unc...lonu o 66Jfmu
la.6 4,{)Lven de y.uentu en.t.Jte e1. ¡::rwa.do y e1. 6u;tww del. c.ompolttamlen
to de lo1:> el.emen.t.o.6 del. u.n..lv.M.60 de ..ln.tvtú.
4
OBJETIVO TERMINAL
Con. ba.6 e.. en la -ln.60Jrma.u6n. p11.oven-len .te de. la.6 Mtima.uc.•>1u Li.ne.a
l e...ti uJ.>te..d (.X)<Íltd., c.on e...ti c.a.t>O mall.ge..n. de. VVI.Olt, pJt.e.veeJL a.cti.tude.6 pa.
Jta e...e. 6ld:WLO de l M ve.n.t.M. --- - - - - ----- ---- - - ---,----'
5
PRUEBA INICIAL
1. A. En.tlr.e R.a.6 ec.uau.onu ugU,[_en,tM ldcnt.i 6,i.que .e.a 6unu6n Lineal:
1. 2X-3Y = X X+t
2. y 5X+2 =
3. 3X 2 T4- =
4. 2X2 - 4 = o
5. y = 3.X
B. 1 den,t,iM, cµe .f..a nunc.,<'6n cuacilutt"Á.c.a en:
1 • x2 + y2 = 9
2. XY = 6
3. 2 Y-2X +X -3=0
4. Y2=X
5. X2 -Y2 = 1
6
IL A. Enbte. la.6 c.aJLa.c:t.eAü,ti.c.a..h t,,igu,i,entu, ,i.de.n:U.fi,i,que. .f.a..6 que.
.6e. Jte.fi,ie1t.e.n a una 6unu6n Li.n.e.aJ:
1. Puede. exprua1r~e. en .ea. fi oJona Y=mx+h donde. m IJ h .60n vai.o
lte.6 Jte.ai.e..6 c.onocldot, .
2. T i e.ne. e.amo e.cuawn una. de la. 6oJUna ax +by + e = O
3. Son Jte.c.:t1u paJt.ai e.la..6 al e je Y.
4. Son .t.oda.-6 eat, 1tec...ta.6 qu<' puan polt "J.. olLige.n.
5. T ie.ne.n pend,i,en:te. fD-6,l,Uva.
B. E.i Jte.co/VÚdo de. la 6unc.-l6n c.uad!táüca. 1J = -2X2
+4 u <'.Í.. m.te.Jtvai.o:
1. (o,'° J
2. ( -oo, 4]
3. [4,Q:I)
4. Todo-6 loh númeJlo-6 Jte.ai..e.-6.
7
ACTI VI VAV VE
A PRENV1 ZAJE NC'.
I . SISTEMAS Y MOVELOS
OHJET1VO FACI L1 Tt\VOR Nu. 1
Vado un 6en6meno d e. .i.nt.eJté.6 eoticü.uic.o . tt.6:t<' rl e.6 t .aJtá en c.apac.édad
de -<.denti.ó,i,c,M en u.n 70%, e1.. nombl[.e o t a gll.á6-<'c.a ciei. modei..o mate.
mat.i.c.o c.oM~ ¡:xmcllen te .
Muc.ho.6 6en6meno.6 de c.alufc.:teJr 6-[¿i_c.o , &1 c..iai., quJ.mi.co , M.nanc.-ieJro ,
e.te., tienen un. c.omr:v11.:t..amlen:to .6~c.epUbf.e de c.uan.ü6,i.c.M6<.> o me.clút
.6e. y 1r.e,p
8
Se c.on1>.ldeJLan tJtet:i :üpo-6 de modei.o-6 d.l6e1ten;tet:,: fl.,6A.°.c.o.6, uquemW-
c.o-6 y ma-temttlc.o-6. En nuet:i.tlw c.Mo e.Mam0-6 .ln.te!tua.do -6 u ¡=ec.,i.,a.l-
me.n;te en lo -6 tU.:t-<mo .6.
A. Modelo¿, 6.l.óic.o.6. Un. a.v.l6n modelado a. Me.ala Jtep!l.et:i en.ta a uno
del. mundo Jteo.R. c.uyo óunc.ionamie.n.to pod!Ú.a. 1r.ep1toduc.,Ut en lo 6un-
damenW. Con u to.6 modelo.6 .6e r-ue.den evaluM e.o-6 eóec:to,6 a.eJto-
d.lnámfoo.6 o de. un.a c.ow.l6n , de.pe.ncli e.ndo de .f.o 1r.eo.Llt,ta. que. .óe.a.
el modelo; una. maque.,ta. e.-6 la Jte.p'te~ e.n.t.a.c.ión de. un ed.lóic.io.
B. Modelo.6 EJ..quemá..t~!:o.6. Son. 1r.e.p1r.Me11 tac .ione . .6 et:,quemáti.c.M que.
gua.Ir.dan. va.Jr .ÚJ-6 'La..6go.6 comw, e.6 cm, fo.~ modelo 6 61 f.,,<,c.o,6. Son e .fem-
plo-6: un mapa, un oJr.ga.n i g11ama, un p('.i tn o, etc..
C. Modelo,6 ma-temtt.i.c.o.6 . .So» R.a ex.p11.e !i.i.6n, (X)lr. rne.d.lo de. w1 e.c.u.ac.A.°ón ,
de. Jr.e.la.uon.M rna.tem,U.ic.a.6 e.n.tlt.e. un c.onju.n:to de. va1u.a.bi.u que
p.te.de.n c.lM.ló,<°i!.aAf, e {>.n:
1. Ex6genM:
2. End6genM:
aqu.('lla..6 c.u.yo.6 vai.01r.e.ó -óe. c.on,6,<,deJta.n. dado .6.
aqu.e.llM c.uyo.6 valotc.e . .ó .60n de..teJlm.<.nado J.\ de.n:t,w
de.1. modelo mi J.mo.
Un ejemplo que. .il.u..6t.11.a. muy b.i.e.n .e.u.6 c.onc.e. pto-6 a.n..tvc.ioJr. e-6 M
e1. c.Jte.c.hnle.nto del. d.ln.Mo e.u.ando M. pone a int(>Jtt!.- c.omy.ue.-0to.
V. Ejemplo: JUAfn PM.e.z tiene en. la. óe.c.ha. $5.000.00 y ú,.6 lleva
a. uno -, •11.poJtac.ión que. tJt.únet:i:tlt.abne.n-te le va .óuman do é n .teJte 6 e.ti
a. una .ta.tia del 2 8% anual, p{>.ILO c.api . .tai..i.zabee t1W11Mt!r.at'me.n.:te
de. la. J.,,<,g(l,{,ente. ma.neJta:
1, 07 5.000 . 1,07 1 e.Jr. pe/t,[o do
9
Lo anteJr.,,lo1t .6.i.gn.,i6ic.a q.ue. un puo ai. ca.bo de bt.eJ.i me..6U .6e
c.onvie!tte e.n $ 1. 07 IJ lo.6 $5. 000 e.&U ve.e.u má6, u deCÁJL, el
pMducto e.n,t:Ji.e 1.07 IJ 5.000
Razonando e.n 601tma. c.oMe.cta -6 e. y.x.tede. c.on.6tJt.u,llr. .ta ta.bl.a. .6-i.gu.ie.n
.te:
1,07
5.000.J,07
5.000•1,01 2
.
.
. •
5.000(1,01)n- l_
5. ººº· 1, 07
5. 000. ( 1, 07) , 2
5.000.(1,01) 3
s. 000. (1,07) n
. • • •
1 o . J'YV[,fo do
2o. pvúodo
3o. peJLlodo
---- no.pvú.odo
Se de.duc.e que $5. 000. 00 al. µna1. de.1. e.nfwno pVúodo .6e. ha.bJc.á.n
bt.an.6601tma.do e.n Yn=5.000. (1,07)n , e.6 deCÁJL que una. c.a.n:üda.d de
P pu o.6 al. ca.bo de. n ~odo.6 IJ a u.na .tMa. de. Je.% .6 e tJt.a.n.6 6oJcma.
e.n un c.a.pi:t.o.l Yn•P. (7+)[/r.. Si a 1+>t .6e Jc.ep,'Le..6en.ta. poJc. A y a.
n µ,11. l.a. va.11.ia.ble X .6e. .tiene. Yn =P. Ax que u una. 6unc.i6n ex.pone.n
c.iai..
U e..f('. Y utá medido e.n m<:.i.M de. pe..~ú <'> y .e a. gJc.áM,c.a e.xponenc.iai.,
poJc. Jz.azo ne.6 obv,ia.6, .66.f..o a.pa11.e.c.e en el. lo. c.u.a.dJc.a.n-t e..
Obt.o 6e.n6me.no que .6e c.omp?Jc.:ta. e.xponenc.ia.lme.nte. e6 et c. 'lec..ún icn
.to poblac..ionai..
y 70
8
1
s
4
- - - ,-----...-- ----+-- - ··---+-·- - -- -- --{o.-» 1 2 3 4 !'>
El. modv.,lo d<'. má6 u.M 1J que. de.M}(-'l0ff.a1temo1.> poMeA.ioJunc>n.( c' <' 6
e.l. .fÁYleaf. qu.e;t.<:e.ne i.a nOJrma Y¡ " a+b'J( i donde. a,b -60YL pa1t.ro11et}(O~
du c.on,., c , ..1.0.6 cuyo.t> vl.aoJt.v..6 pu.e.den c.a.lc.u.i.a!L6e c.on bMe. en una
rrue.M/Ul o c.onju.nt.o de da,to .6; .t.a o pv1.acú6n µ:,Jt. me.ello d<'. fo c.wif
.6 e c.a.lcul.an .6u..6 vai..01te . .6 .6e Uama e.6tima.c..-<'.6n del. r11oddo 1f e.a.da
u.no de l.o.6 vai..01tu e.6 un et>ümadoJt...
PRUEBA VE AVANCE No . 1
1.
11
A. Un 6en6meno de. -ln.:te/1.Ú uta.d.l6üc.o y 6,inanc...i.eJW u el. CJtewnlento de. di..n.vw. En:tlLe lo1.; modei.o.6 1.;iguie.n;te,1.; i denli..6,i.que. el. que.
lo Jte p,r.u e.n.:ta.:
1 • y = a.x + b
2. 2 Y = a.x +bx+ c.
3. El ex JX) nen c...i.ai. \
4. U lo g a.,u;tm,le,o
5. u potehc...i.ai.
B. En:tlt.e .f..01, c.once.pto.6 uguien..te,1.;, uno 1.;e. Jte. 6-i,eJte. a..f.. de modelo ma.
temctti.c.o , in.cU.c.aJtlo :
II.
1 • R ep,r.e,1.; entac. . .tm M .tlúcümen c...i.o nal u de o b j e.;to .6
2. Re.p'LM e.n.tadonu gJtd,6.ic.a.6 de modei.o.6 ob.tieJtva.do.6
3. Rela.uonu 6wic...i.ona.le.t, e.n:tlLe va11.-lab.f..e..6 que. c.M.a.c.teJúza.n el.
6e.n6meno ob1.;e1tva.do .
4. Ap1t.0uína.c...i.one..6 a la. Jteilida.d. .
5. Rep1te1.;entauone,1.; ht.c.on,p.f..e.:ta6 de. he.cho.ti ob6eJtvado1.; .
A. U CJte.c.,imien.to p:,blac...i.onal e,1.; wi 6 e.n6me.no que. pue.de. .6 eJl muy bi en
c.aJLa.c.teJúzado poJt un. modelo :
1. L: il.
2. Cua.dJcMl.co .
3. Potenc...i.a..f..
4. Exponenc...i.ai..
5 . S emi.l..o g aJt.l..:onic.o
72
B. U modelo de u.60 mf4 61{.ec.u.e.n.te y.xJI{. ta. na.tuJta.le.za. de. lo4 6e.n6me.n04 utad.1..M.-i.c.04, u el:
1 • PCVLa.b6Uc.o.
2. Une.al.
3. E X p:meua.l
4. Loga!LU.mlc.o.
5. Ge.omUJu.c.o.
OBJETIVO FACI¡ITAVOR No. 2
13
ACTIVIVAV VE APRENVIZAJE No. 2
Vada.6 vallia.6 6u.nci.onu o u.ótema...6 de. óuncione.ti , u.6:te.d poCÍ!c.á. c.alc.u
la1t:
1. Loti vvúMc.an.:tu de. un .6.l6.tema p,r.o P-'uto.6 polt el, rnUodo de. lo!.>
de.,t e.Nnlnan.:tu.
2. La 1a. tJ 2a. dVU:.vada de. c.ualquieJt 6uncl6n.
3. Loti punto .6 C/Ú.;Üco.6.
A. Ve.6ú1.,¿cl..6n. Un U.6.tema Une.al e.1.> wi conjun;to de. doti o ml16 e.c.u.a
c.lonu de. p)Wne.Jr. 91Utdo.
Ejemplo
a 1x 1 + a 1x. 1 :,: c,
&1x.2 + b2c.2 = c2 u un .6.,¿ .ótema do1> polt do .6, e.1> de.c..ilt, :Ue.ne. d0.6
e.c.uacio nu en do ti oa1uablu x 1 tJ x.2 .
a.,, ªz, b¡ bz , c. , Cz .6on paJtámWo.6 que. t oman vai.oJte..6 J¡_(',ale6
M,.jo.6. Lo.6 ¿,¡¿¡.tema.ti 2x.2, 3x.3, ... ,n.n 11e.ci ben el nomb1te. de. c.orn
µttiblu }XJltque. o hay un único c.onjun . .to de valo,le..6 ¡xvra f.a.6 va
M.ablu que. lo vvú6i can o no e.x.,U.,te. tal conjunto o u .,¿n6,i,;u.,to.
El .61.otema pilo P-' e6t.o pu.e.de. 11.e.p11.ue.n.ta1t1> e. gtuíMcame.n..te. polt do ti
11.e.c:t.M que. .6e. .,¿nte.Ji..6e.c.tan e.n. un punto e.u.ando el, .6i.ótema :Ue.ne
una tioluc.l6n única: ve.11. l a óigUJta No . 2. Si no hay .6ol ue,i6n,
w 11.e.c.ta.6 ¡,60n pMale1-a.6; .61 el con.junto 1>oluu6n et, in6mUo,
la.6 1te.cta.6 coin u den.
y
EJERC1C10 ------
Re P'(.e.6 tn te. 9Jui6.ic.amc1'1.te
1. 2x-3y = 5 2.
4X-t lj = 11
y
X. o
cada uno de fo1:, !>L1.>te111a.1; 6-< f!tLi e II te.,:
3x+ y = 5
3x.+ !f =
3. Zx.-y = 1
6X. - 3lj =3
14
B. Eu6te.n vaJti...06 m~;todo6 y.xur.a ca.f.cu.Rall ef ca11 .fcmtu t. o foc i'1111 , vOIJ
a e.xp.U..c.a11. el mUodo má..6 utiLi.zarlo.
Soluci.6n potr. Vet.!~nante.1.>:
P~ ob:teneJt ()Í.. valotr. de X en un MM.ema et,_ ia 601ttna
a 1 x 1 + a~ v ~ c. 1
b1x 1+b2x2= c. 2 • Potr '1.educu.6r1, -t.e ampli.Mca cada una rle l .a6
Ec.uaci.on.u de. manMa que c1f '1.e MaJt.i.a-t. 6e. e,f,Ün,i.ne. una de ta6 va
túable1.>. MuUÁ.plú·an.do fa ptrime.Jta potr. b2 IJ .ea 1:,e,gunda poJt a2 6 e o b;(i.e.n e.:
15
ª2 61x,+a.2b2x2 = a.2
c.2
nu.ta.ndo mlembno a mlembno 6e el..unina f a ' vaJtia.ble. Xz, a..6,(,:
'ª1 62-ª261) x, = b2c.,-a.2 c.2
La.6 e.xp!lu -i.one1.> de.1. nume.na.don y de.1. denon¡,é_na.don Mn de.teNni.na.n-
te.1.> , pon :ta.n.:to : c. 1 ª2
c.2 b2
x , =
ª1 b1
ª2 b2
c., ª2
c.2 b2
Xz = Ve. te do lo antvuon 1.>e. de.duce. qu." e.a.da a. 1 b,
ª2 b2
vlVU.a.ble. e6 -i..gu.ai. al c.oc.-i..e n.:te. de. do.ti de.tvun<'.a.n.:te.1.> : e.n el ele.no
mina.don de. amba..6 el de.tvw·..lna.n.:te tiene. e.orno plt,i.meJUI c.olwnna .e.o.&
c.oe.6,i.c.ien.te.1.> de. x 1 tJ como 6 e.gunda c.olu.mna. lo.ti de. x2• Pana. x 7 la ptumeJta. c.olWl't'la. del nun,eJLa.don cutá. f.iollma.da. po!t l0.6 tM.múw.6
,Úl.de.pe.nclle.n.:tu IJ la u.gunc'a. pon lo.t:, e.o e6,lc.kn.:tu x2•
Cu.ando .tie.de.1.>p.ja. a. x2, en la .6e.gunda columna del nwneJLado1t M
t.6.n lo-6 tvr.mlno 6 ,lnde.pe.nclc e.n.:te.1.>.
Ejemplo:
{
X + 2tj - Z = 0
Soluclona1r. el .6-l.ótema. 2x. + 3Y + 2 - ;. = O X - 3tj + 2z + 1 = 0
16
Como ya e,m oltdenado e.1.. 6-lMema, u nec.uaJLio .igua.la11. a lo.6 tvr..•
múto.6 ,Útde.peruUert,t;e.t,, Ml: f x + 2 lj - z = O
J.x + 3y + z = ,.
X - 3y + 2z= - 1
O 2 -1
1 3 1
.. 7.3 2 Vupeja.ndo ?<. = ----- =
1 2 -1
2 3 1
1-3 2
1 1
-; 1 2y-z= 1 9 3y+z=9 .~, tj •
1 2
-: ' 3
-12
12
1 + 9
2 + 3
-1 Reemplazando:
10 =- -- = 2.
5
En la. y:!Wne/Ul. ec.ua.c..l6n queda 4 - z = 1 ~ z = 3. Lo.& vvúv.lc.a.n-
.tu .t,On<-1,2,3> pvr,a. < x,y,z> e.orno puede. CJ • .óta.blec.e/L6e.
C. Cál.c.UA.u de. la. ptwnvra y .6e.gwrda ÜeJÚvada..
Ex.l.6.ten ec.ua.clonu en una. o má.6 vaJt<.albeA -i.ndepencUen:te..6; poi{
ejem y;i.o y = x2 - 3 x + 1 • Q) 1. T.lene una. va.tu.a.ble .lndepe.ncllente. que e.!, x., m.le.n:tJta.~
2 2 A\ Z = X + 3 Xtj + IJ , \E)
2. T .lene do¿, va1t,<.able.6 .lndepencüen,te 6 : x , !f. Ademá.6 e II l' a ¡.v1.úne1a
17
e.c.ua.u.6n, a. e.a.da. valo1¡_ de. x c.oMet,ponde un wu.c.o valo1¡_ de. IJ, u
de.evt, i,e. :tJta.ta. de. una. t5unc..l6n. Tamb,ibr. e.n la. 2a. a. e.ad.a. paJt
de. va,lo1¡_u palUl x, y .6e. a.6oc..la 1m ú.rúc.o vai.oJt d<!. z, e.~ e.c.u.a-
u6n u una. 6unu.6n e.n do.6 vaJt,iabtv.i .inde.pen.d,ie.n:tu. Como amba.6
t5u.nuonM i,on c.on:t.1.n.u.M e.n lo.6 númeJto.6 1teale.6, .ti.e.nen dw.va.da.
e.n c.u.a.lquie!Ul de. .6 u..6 puni.o.6.
La p!L,imeJta de,,ú va.da. de. la. 6 unu6 n (i) e.J1 x = 3 M :
..!!:.Y.. = 2 x - 3 1t.e.empla.za.ndo : dy = 2 • 3 - 3 = 3 dx dx
2 La. -0 e.gun da. deJú vacía. de. 1 M d tJ = 2 •
d/-A la. n un u.6 n. (Y .6 e. le. da. un :tli.a;tami en.to un f.)O e.o cli. n eJte.n,t e. po ILq u.e.
la. dVU:.vada. c.on ILM ¡:;e.e.to a x M ! .. pu.e.de. o b.te.n elL i,upon.,ie.ndo que.
la. vaJt,ia.ble. tJ .6 e. c.ompolr.:ta. e.amo wrn e.o n.6 tant e., u lo que. -0 e. de.
nomina deJúvM pMua.ime.n-te., e.cm l a ~ {9u.,ie.nte. nota.u6n:
ó z = 2x. + 3y tJ la -0e.gunda. d~Jri.va.da. u "ox
-o'"z '-;) --- = 2x. a.náiogame.n.:te. - 2
- = 3x+2y dando a X el tJratcu:ii en to -z,/ oy
de. c.onl.>ta.n:te. .
E j eJtc..l_c.J.._o _ _
En e.a.da. uno de. f o.6 c.a-00-0 .6-C:.gcue.ntu obtenga t a. dc.1¡ivada t o ta l o
pvt.ua.l lte.6 µ!..c.:to a. X e.n X = T
1. Y = - 3X4 - 2 x. - 3
2. Z = X.lj + sx.4 - y3
3. Z .J = 2x. + 3!J
18
Si. 1t.ec.0Jtdamo.6 el. c.ái.c.ulo, todo. 6unc.i..6n r:tr.Uenta. punto.6 má.umo.6,
mln.<ino.6, de ,ln.i,ie.u'..6n, etc., Uama.do.6 p.i.ntoh Clt.Ui.c.o.6.
En la. 6i..guJt.a. No. 3, .6e. ob.6eJt.va.n mixi..mo.6 e.n x= a IJ x=c. ; un mlni..-
mo e.n x = b. En e..6 to .6 p.mto .6 , l.a. p,wnvr..o. dcuú va.do. e..6 c.Vto µ:,1t. -
qu.e. ai..U l.a. Jr.e.c.ta. tangente. üe.ne. pe.n.clle.nte. c.e.Jt.o . E.6te. he.cho
-6,a.c.,i,,R...,lt.a. la. obte.nc.i..6n de. un ,:unto mlixi..mo o mlni..mo po.ttqu.e. ta.n
1,ol.o ha.y qu.e. obte.neJr.. la. pr.imvr..o. de.Jti..va.do. , i..gual.a.lt. a. c.e.M y du
pe.jo.JL el. va.l..011. de. la. va/Lla.bl.e. o va1t.,ta.bl.e..6 i..nde.pe.ncUe.ntu.
y
o b e X
Ejer-r ~ : ho.Le.aA -fo .6 punto.6 e1r.Lt,i.co.6 pa.!La. Y = 2x3
-4/ + 2x - 6
_..!iL_ = 6/ - 8x + 2 .. 6x2 - 8x + 2 = O ~ 3x2 -4x+ = O dx
Re..6 ol.vi..e.ndo la e.c.u.a.c.i..6n .6 e. o büe.ne.:
4-*:_ ..J16- 12 _ = 4 t V 4 ={d X= 6 6 1/ 3
Según uto en x = 1 o < 1 , 6) ha !J un. pm.to c.Jc.U.i..c.o. . 1 -154
Tamb-<.ln en x = - o (1 /3, -r¡¡ > 3
Si en x = 1 ta 2a.. de/Llvada. u y.:oúti.va Je tJr.a,ta de un mútimo
o u e6 negativo de un máumo. Veamo.&:
19
d2 d2 !!-1.. = 12x - 8 .. Re0ttpla.zando ~ = 12 (1) - 8=4. El pun.t.o c!Ú.-
dx dx2
tico en<7 ,6) u un múu'.mo.
1.
20
PRUEBA VE AVANCE No. 2
A. U vai.oJr de. la 1g. deJLi..vada de. la 6unc-l6n F ( x 1 "' 5 ( / - 3 J 2
e.n x=3, e.t,:
1. 60
2. 180
3. 120
4. O 5. 360
B. En d .6-lMema 2 x - 3y + 1 = O
tJ + x= 2,
la.Ir. polt. du:Vtmúuv1..te..6, a.61.:
1. ¡; ; 1
X t ! 1
2. 1; ~I x=---
1 ~ 3
3. 1 ~ 3 1 2 1 f .( -=----
2 -3 ' 1 1
e.l valoJt de x .6e pie.de. e.a.e.cu-
II.
27
4. 1 : ;I
X = 3 ! 1 1
5. 1 : ;1
X = - ---2
_¡
~ 1
A. Cuando la. 2a. de.JL.lva.da. en un p.i.n.to de una. 6unc,.i.6n _u "fX)útlva,
~1. pm.:t.o c11LtÁ e.o c.oMe.6"fX)rtCÜe.nte u:
1 • Un mc1x..imo
2. Ve in6leú.ón.
3. Ve c.oltte c.on el eje X
4. Ve c.olL:te c.on el eje Y
5. Un múumo.
B. El p.m.to < -2 , 3, 5 > c.oJVLe..6 ponde a lo.6 va.lo}[.e.6 de.( x, y, z.)que
Velu.óic.a.n el Wtema.: 1. 2x - lj + z = o
3x + y - 1 = 4
1M. + y -3z = 1
2. 3x + 2 y - z = 1
2x + 1,/ + z = 4
X - 3z = rr
3. X + 2 lj - z = T 2x + lj + z = 4
){ - 3z = 1T
4. X - Z = 4
X + 2tj - Z = 5
X + lj + Z = 10
5. Ninguno de. R.01, a.nte.Juo1tu
22
OBJUIVO FACILITAVOR No.3
23
ACTIVIVAV VE APRENVTZAJE No.3
Vada.6 wttU co.Jta.c:te !Ú M i.c.a.6 c.uo.n:tü:.a.Li..vtU IJ / o c.ua.Li;t a;ti., va.6 de un.
6 en.6men.o de. ,inteJLt.6 e1, t.a.dl.6Uco ( v entcu ) que .6 e c.ompo.tita Une.al -, men..te , U.6:te.d podlr.á c.on MetUO ma1tge.n de eNLOIL, utimalr.:_ .f..o .6 c.oe6 ,i-
uen..tu del modelo de 1C.eg1C.e..6 ,i6n Une.al µiM 6u gM6ic.o..CÁ.Ón 1J óM.-
,_
111.
Ai.guno.6 6e.n6me.no.6 de h1~e/l~.6 eM.a.CÜ.6-tic.o t ter1e11 un com]XJ11,tamiento
Une.al., lo c.ua.t Jr.e.6ui..:t.a f.iá.c. 4.. de ,identi 6,icrv1. polf. me.cli.o de.la.6 ob.6<Ur.
vac.,ionu.
En el ho.6pi;ta1. .. i.n6an.tii 1.,e. .tom6 una n1uut1ta. de e.-.6ta.tulta. !/ pc,60 de
.f..o.6 núí.o.6 1r.e.ubt nac .. i.do.6 e.n.tJtela.6 5 ,, iM 8 P.M. rle. c.ie/l.to cUa, Ct' ' '
i.o.6 .6-lgu,ie.n:tu 1r.uuLta.do.6.
5 i 46 47 1 47 48 49 49
~
' I
,4 2,6 2,6 t 2,812,8 2,9 3
50
3. 1
Sin duda., .ta 6unu6n que. má.6 ~e. apwxúna e..6 ea .li11 e.ai.. S e. Ita ;tlUl.
zado e.n. nOJrma in;tu,,i.;(.,iva una ll e.e.ta que . .6e. C.On ..\ÚÍe.Jr.a .f_a má.6 apll.OU
mo.da pall.a Jr.e.p!I.M en..t.a11. eJ'. c.omp.,Jr.;t.ami.e.nto del pe,.!> o de. lo..6 niño.6 llM -
pz..c.:to de. la e..6ta..twr.a.; c.on ba.6 1. en u :ta 11.e.c..t.a u . .pie.de. p,re.dC' c iJt ~
puo pvta un n.,iño de. 51 c.m.6., po1r. u .. ta. 1ta.z6n a ea vaJt,i.ab.f.c,. X tam-
b.lw .6e. .f..e. .llama pJr.e.cli.c:toJta.. En la g~c.a M . ee.e. un pe.Mi ap,r.o>e.i -
24
y
4
2
1
X
ma.do 3, 35 kil.o.ti.
La nube, de. µ.01-to,fl ILe.CÁ be. d nomblLe. de modelo Un.ea..t'., !f ma,t emtt,i.ca-
men..te. M . 1Le¡:n.u e.r1ta Yl . = a+ bx.,+e. .i.= 1,2 , ••. ,YI . dur1de. r1 1r.e.p,¡_e.tie.n-
:ta el númeJLo de.. p1.m.:t.01.i ob.tie..lLvado.ti . En. el. c.a-60 ¡YLV-i en.te. r1 ,: 9.
En. el modelo .óe. :üe.ne..n. do.ti vaJUable...ti ..ln.de.pe.ncli.e.n.tu: x . , ~ . • ~ (
La va/Úa.ble e. . 1te.p1te.tien:t.a. el e.M.OJt pOII. e..l c.ual lo.ti pu.n.to.ti •1 0 aµi ..{.
!Le.e.en peJLóedamen.:t.e aUneado.ti; u.te.. e..lLILOll. 6e expUc.a polt de.6ectr .ti de rn e..cü.wn. o pote que. .e.a va.lti.a.ble depencli..ente. o ex pUc.ada Y . e...titá
.{
11.elaci.onada. c.on otJr.o.ti a1.ipe.c.to.6 n.o .te.n..i.do,~ er, c.ue..n:ta e.orno 11.aza ,
aii.men;tac.,i,6n, e.te.. , en. u.te c.a.tio .
25
X,¿ e.ti la v a/Úable. ..i.nde (.X!.nc:Uen:te. o e.x pi¿ c.a,ti, va del pe.6 o . Y,¿ e'-' ea va.!Úable. de~nd..i.ente. o ex rf..(.cada po.lt X ..
,(.
a,b 6on palt4metAo.6 c.uyo.6 valO!r.u. de.ben l>e.Jt u.:tima.do.6 a palLÜJt de.
la.6 •ob.6e.Jtvaci.onu paJta. obtene.Jt la e.c.u.a.c.i.6n de. la JJ.e.c.ta., f f..amo.da I\ ... , ,\
Jte.c.ta C6tima.da, que .6e. nota: Y¡= a + b X .. ,(
El mUodo pvta. u:t.,ima11. a, b c.onl>.iAte. en :toniall. e.l modelo Y . = a+bXj__+ei ., ,(_
dupéja11. el t~i.no de e.JtMJt; e.. = Y . - a - bx. y c.alc.ula.lt valo.1t.u ,(. ,(. .{.
pvta. a, b qu.e. lo hagan mln..i.mo; e.orno .6on n e111r.01r. u fXJ.lt e.xc.e . .60 y poJt
de.!Jec:to hay qu.e. .6wrra!tlo.6, pe.Jto e.orno tal .6wna ,x,d.tr.1.a daJz. c.vw, .6e.
.6uma.n lo.6 c.uadJta.do.6 de lo.6 e.1t..1to.1te.6 Mi:
e./ = ( y ,¿-a-éx.,¿ ) 2 • RuuLta una nwtci 6n c.uadluf.:ti.c.a en do.6 va-n
Júable..6 ..i.nde.pendi..en:tu X . , Y . IJ u.na de. pe.ncüen.te.. Z . = , , (. ,(. ,(, ,, ,
El mUodo .6e llama. de. ,f.o ,~ múumo.6 c.u.adlt.ado.6, po.1tqu.e. 1.>e tJtata de.
obteneJL lo6 vai.oJtu de a. y b que. mlnJmbti.c.e.n .fa 6w1c.,i..6n cu.adtr.ñ,Uc.a:
YI 2 z = "z. ( lj . - a - bX . ) qu.c. 'fD.lt .6u. ~c.te.Jt tan Mio p11.e.6e.n:t.a un
.(.. .(
,l:1
wu.c.o pu.rt:to CJtUJ e.o : un múúmo. Como la. 1 a de.Jú vada en -tal punto
M e.ello, IJ hay do.6 vaJÚablu ..i.rtde.pend..i.entu a, b, l> e dw va p:vt
c...i.a.lme.rt:te. tJ l uego 6 e ,i..guala a e.ello, a1.1,[:
t'\
.. L (Y,¿ - a - l>X,¿ J = O 4 z - - :
ºª . 1::'
/uz f\
~ • '[_ ( Y,¿ - a - bX,¿ J X,¿ = O ,-;; 1
(No.ta: 1Le.c.uMdv.ie. que. la. dvu.vada. de u.na .t,wna. u la. .6uma de
w dvu.vad.M y que. e.u.ando una 6uCJ'Ú6n v.i c.ompuu.ta. hay que
muU:,i,pUc.aJL po1t la. dvu.va.da. h'LteJI.na.).
'l 6
u .6..i..6.tema. 0 Jte.c...i.be. e.e nombli.e. de. e.c.ua.uonv.i noltmai.v.i tj ruede
u CJúlilt.6 e. a.,6,t:
(\ t1
b' · - na - b7 X. = O . ,(. . l.. ,(. •.• • i i
~ ll l 2 2. Y,¿Xi - a.ZX,¿ - b X,¿ = O , o .tamb..i.é.n ;~, ¡~,
alX¡ + b[X,¿ 2 = [:,X,¿Y ,¿· RMo.tvi e.ndo u:te 6 i...&tema pMa .f.M vaJr,i.a.b.f.e6
"l. A o u.:ti.mad.01tu a. y b pon. de.te.Jrm<.na.n :tu:
n ZY . ,(.
LX . ix,.Y,¿ n ZX,¿Y . - LX,¿ . L),¿ ,(. "'- .{. =- -------- -" b =
lx -,(.
X · ~ X -2 ,<. L ,<.
¡ n ~' 2 2 n L)(,¿ - (¿.l(_¿)
;., " ·' /\ - ,,.._
En .ta pnlme.Jta. ec.ua.c...i.6n det .6i..6:tema n. a. = ¿Y <--bJ\ . _. a. = y- bX.
E.6:te 11.uu.Ua.do pellmi..:te c.a..f.c.ula!t fo6 va..f.01tu c.on hMe v 1 .f..a-6 da
:to.6 e.amo .6 e. ..i.ncli.c.a en ei.. c.uad.lto .6 ..i.gui .en,te.:
(No.ta: ai.guna..6 c.a.lc..u1.a.dOJrJl6 pellm,lten ob:tenvi..eu.~ d i 11.e c.:tamenh ).
X· ,t y .
. (. X,¿Y ,¿
45 2,4 108
46 2, 6 119, 6
47 2,6 112, 2
47 2, 8 13 1, 6
48 2, 8 134,4
49 'l , 9 142, 1
49 3 147
50 3, 1 755
52 3, 6 187 , 2
433 25, 8 1. '247 . 1
x .2 ,t
2,025
2. 116
2. 209
2. 209
2, 304
2,401
2,401
2. 500
2. 704
20. 869
X = 48, 11
Y= 2,86
X . )2 = 1874&9
,t
27
/\
b = 9. 1.'247, 1 - 433· 25,8
9. 20.869 - 187.489
= 1J • 2 2 3, 9 - 11 . 1 !~_4_ = ~ -L~ 0, 1 5 8 187 . 821 - 187. 489 332
1\ a. = 2,86 - 0, 158.48 ,11 = - 4, 74
/\ La. ~ect.a. u.tima.da. e.6 Y= - 4, 74+ 0, 158X,¿
~~ GJu16i camente Y 1 2,37 13, 76
Cuando X,¿= 51, el pe.M Y,¿= 3,3 18, va.lo~ de. p,'le.clic.c.i 6J1 que no
u.M muy fe j o-0 de.1. .ln:tui;t..lvo 3, 35.
28
" Y : 4-.'f 4 + O. lS~ Xi
1
29
PRUEBA VE AVANCE No. 3
1. 4e .&upone. que. la pl1u:Uda de. puo de una pelt6ona. u 6unc.i.6n del.
nL7meJto de muu de c:U.e.:ta. y palUl pMballl.o .&e 1r.ec.olectalton lo.&
4,i.gu.le.ntu da.:t.o .6:
P u plltc:U.da. de puo !Ub.J 17 64 53 1 45 71 38 40 11 24 M e6 mu u de c:U.e.:ta. 4 17 14 1 10 22 9 12 4
A. Ela.boJt.e un gll.ifrlc.o c.a.Jt.tu..lano y haga. el tJt.a.zo ~vo del
model.o de c.ompo!Ltamle.nto.
B. E.&lime el. model.o pM ¡:uuto polt. el. mUodo de lo.& múumo4 c.ua
dJcado.&.
I I. Se qu-le.Jt.e deteJrmi.n.a.Jt. la. 1r.e.la.cú6n enVte la. expvúencúa. en ve.nta..6
X y el. volúme.n de ve.nta.4 Y )'.XVr..a. e.a.da. ve.ndedoJt. de un gJt.upo de ·1 O
de una.c.ompaJU.a. de 4 eguJt.o.& que o 61t.ec.e lo.& .&i.gu-le.ntu da.to.&:
Expvúe.nC-la. e.n año.& X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ! 10
Volúme.n de. v e.n.t:a6 en Y 3 2 5 4 6 8 9 9 12 1 7 o $700.000.oo
A. CoMtJt.uyri un. gll.46i_~o c.a.Jt.tu-l~o y tJt.a.c.e. en 6oJtma -lntultlva.,
la. Jte.da 'de. 11.eg1tu-l6n.
B. F.:., :'.-<.ma. la. ){ec.ta. de 1teg1tui6n.
C. Ha.ga. un gll.46,lc.o de .ta Jt.e.da u.tima.da. y c.ompí}tel.o c.on la. ob
te.n,i.da e.n 601UM ~va.
7
Pvuilda. de pMo P 17
Muu de cü..e:ta. M 4
'PRUEBA FINAL
64 53 1
17 14 1
45 71
10 22
30
38 40 11 24
9 12 4 7
~.to.blezca. en 601tma glt.46,lca. e bt:tui..ti..va. la. pvuilda. de puo P
pa,r.a. u.na pe/l.6ona. qu.e 4e p!LOpone hace/1. ocho muu de cü..e:ta..
B.S.l el modelo u.tima.do u p = 1,64+3,47 M ¿Cuál '6e/Ú.a la. -pl>c.
cü...da de pe,&o pa1t4 An;ton,la. y M<Vúa, u la. p,ume.Jta. haJtá. 8 muu
de cü..e:ta. y Ma,,úa .tan 4 o.to 3?.
Ex peJúenc.,út en Venta.6 X 1 2 3 4 5 6 7 g 9 10
Mo n-tc de V ent:a-6 y 3 2 5 4 6 8 9 9 12 10
U,tU..lce u.n glt.46ico C.a/1..tu.lano y u.time bt..tu,U;.lvamente lo1.i a.ño-6
de ex.pe.M..enc.-i.a. qu.e pu.e.de .ten.eJt u.n ven.dedo1t. CLUJO mon.to de ven.ta 6u.l: 14 (en $100. 000).
B. Si el modelo u.:Uma.do u Y "' 1, 1 3+ 1, O 3X con u.n 1t. = O, 94 72
1. ·0uJ mQn.to .6e upe.na. que. pu.e.da vende11. u.na pe.Mona qu.e tie
ne 12 año ti de expeh..len.cia.?.
2. ¿Q_u.f .ta.n:to polt. cien.to del mon..to de ventM e.ti ex.pUcado
po1t. la. va.Jt..la.ble ex.pelt..len.ua.? .
BIBLIOGRAFIA
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- ,,
